压缩感知简介
压缩感知介绍
f 2 ( x)
Minmum
Minmum
f1 (x)
压缩感知稀疏优化原理示意图
Two-Objective Minimum Problem:
Minmum
f (x) ( f1 (x), f 2 (x))
Pareto前沿
f 2 ( x)
Minmum
f1()：k f2()：err
University of illinois
压缩感知应用实例十—动态CT图像 重建
压缩感知介绍
压缩感知介绍
1.压缩感知简介。
2.压缩感知的优势。
3.压缩感知稀疏优化原理示意图。
4.压缩感知应用条件。
5. 压缩感知应用。
背景
信息技术飞速发展：信息需求量剧增。
带宽增加：采样速率和处理速率增加。
压缩感知的发现者
伊曼纽尔· 坎迪斯： “这就好像，你给 了我十位银行账号 的前三位，然后我 能够猜出接下来的 七位数字。” 华裔数学家陶哲 轩
压缩感知介绍
1.压缩感知简介。 2.压缩感知的优势。
3.压缩感知稀疏优化原理示意图。
4.压缩感知应用条件。
5. 压缩感知应用。 6.工作中可能结合之处。
压缩感知稀疏优化原理示意图
Two-Objective Minimum Problem:
Minmum
f (x) ( f1 (x), f 2 (x))
压缩感知介绍
1.压缩感知简介。
2.压缩感知的优势。
3.压缩感知稀疏优化原理示意图。
4.压缩感知应用条件。
5. 压缩感知应用。
传统的数据压缩与压缩感知
采集
压缩
解压
直接采集压缩后的数据
压缩感知
压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。
它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号[1]。
压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。
他在信息论、图像处理、地球科学、光学/微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，[2]并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
编辑本段基本知识现代信号处理的一个关键基础是Shannon 采样理论：一个信号可以无失真重建所要求的离散样本数由其带宽决定。
但是Shannon 采样定理是一个信号重建的充分非必要条件。
在过去的几年内，压缩感知作为一个新的采样理论，它可以在远小于Nyquist 采样率的条件下获取信号的离散样本，保证信号的无失真重建。
压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业的界的广泛关注。
[3]压缩感知理论的核心思想主要包括两点。
第一个是信号的稀疏结构。
传统的Shannon 信号表示方法只开发利用了最少的被采样信号的先验信息，即信号的带宽。
但是，现实生活中很多广受关注的信号本身具有一些结构特点。
相对于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一部分自由度所决定。
换句话说，在很少的信息损失情况下，这种信号可以用很少的数字编码表示。
所以，在这种意义上，这种信号是稀疏信号（或者近似稀疏信号、可压缩信号）。
另外一点是不相关特性。
稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。
理论证明压缩感知的采样方法只是一个简单的将信号与一组确定的波形进行相关的操作。
这些波形要求是与信号所在的稀疏空间不相关的。
压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。
它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。
这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。
压缩感知简介
压缩感知简介 压缩感知（也称为压缩感知、压缩采样或稀疏采样）是⼀种信号处理技术，通过寻找⽋定线性系统的解决⽅案来有效地获取和重构信号。
这是基于这样的原理，即通过优化，可以利⽤信号的稀疏性从⽐Nyquist-Shannon 采样定理所需的样本少得多的样本中恢复它。
有两种情况可以恢复。
第⼀个是稀疏的，这要求信号在某些域中是稀疏的。
第⼆个是不相⼲性，它通过等距属性应⽤，这对于稀疏信号来说已经⾜够了。
概述 信号处理⼯程领域的⼀个共同⽬标是从⼀系列采样测量中重建信号。
⼀般来说，这项任务是不可能的，因为在未测量信号的时间内⽆法重建信号。
然⽽，通过对信号的先验知识或假设，可以从⼀系列测量中完美地重建信号（获取这⼀系列测量称为采样）。
随着时间的推移，⼯程师们对哪些假设是实⽤的以及如何推⼴它们的理解有所提⾼。
信号处理的早期突破是奈奎斯特-⾹农采样定理。
它指出，如果真实信号的最⾼频率⼩于采样率的⼀半，则可以通过sinc 插值完美地重构信号。
主要思想是，利⽤关于信号频率约束的先验知识，重构信号所需的样本更少。
⼤约在 2004 年，Emmanuel Candès、Justin Romberg、Terence Tao和David Donoho证明，在了解信号稀疏性的情况下，可以使⽤⽐采样定理所需更少的样本来重建信号。
这个想法是压缩感知的基础。
历史 压缩传感依赖于其他⼏个科学领域在历史上使⽤过的技术。
在统计学中，最⼩⼆乘法由L1-norm，由Laplace引⼊。
随着线性规划和Dantzig单纯形算法的介绍，L1-norm ⽤于计算统计。
在统计理论中，L1-norm 被George W. Brown和后来的作者⽤于中值⽆偏估计量。
它被Peter J. Huber 和其他从事稳健统计⼯作的⼈使⽤。
L1-norm 也⽤于信号处理，例如，在 1970 年代，地震学家根据似乎不满⾜Nyquist-Shannon 标准的数据构建了地球内反射层的图像。
压缩感知-----介绍资料
Introduction to Compressive Sensing
2019/4/5
1
目录
一、背景与现状
理论产生背景 研究现状
二、压缩感知理论介绍
压缩感知的基本思想 压缩感知的数学模型 压缩感知要解决的问题
三、应用与展望
压缩感知的初步应用
压缩感知研究的公开问题 压缩感知的总结与展望
2019/4/5 2
国内也将其翻译成压缩传感或压缩采样。
2019/4/5 8
1、背景现状
1.2 研究现状
理论一经提出，就在信息论、信号处理、图像处理等
领域受到高度关注。 在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许多国 家的知名大学(如麻省理工学院、斯坦福大学、普林斯 顿大学、莱斯大学、杜克大学、慕尼黑工业大学、爱 丁堡大学等等)成立了专门的课题组对CS进行研究。 此外，莱斯大学还建立了专门的CompressiveSensing 网站，及时报道和更新该方向的最新研究成果。
2019/4/5
4
1、背景现状
1.1 理论产生背景 原始图像
采样
采样数据 恢复图像
压缩
数据传输
解压缩
通过显示器 显示图像
另一方面， 在实际应用中, 为了降低存储、处理和传输的成本, 人
们常采用压缩方式以较少的比特数表示信号, 大量的非重要的数据被抛
弃。这种高速采样再压缩的过程浪费了大量的采样资源。
缩性），就能以较低的频率（远低于奈奎斯特采样频率） 采样该信号，并可能以高概率重建该信号。
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7
1、背景现状
1.2 研究现状 2006《Robust Uncertainty Principles： Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information》 Terence Tao、Emmanuel Candè s 2006《Compressed Sensing》David Donoho 2007《Compressive Sensing》Richard Baraniuk 上述文章奠定了压缩感知的理论基础。
压缩感知介绍
提出的背景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
传统的信息获取和处理，为达到Nyquist采样率需 要大量的数据。 先采集再压缩然后传输，造成资源浪费。
概念
压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。 它作为一个新的采样理论，通过开发信号的稀疏特性，在 远小于 Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的 离散样本，然后通过非线性重建算法，完美的重建信号。
y x s s
（2）
问题阐述
信号稀疏化，也就是稀疏域Ф的选取； 如何建立一个稳定的测量矩阵ψ； 如何设计一个信号重建算法。
问题解决1
信号在某种表示方式下的稀疏性，是压缩感知 应用的理论基础； 经典的稀疏化的方法
离散余弦变换（DCT） 傅里叶变换（FFT） 离散小波变换（DWT）
问题解决3
最小二乘法 最小 范数的求解（几何解释） 欠定方程的求解 最小 范数的求解（最稀疏）
arg min s， such that s, =y s 0
范数的求解 最小
最小
范数的求解（RIP）
arg min s， such that s, =y s 1
扩展与应用
压缩感知
Compressive Sensing Richard Baraniuk Rice University [Lecture Notes in IEEE Signal Processing Magazine] Volume 24, July 2007
提纲
提出的背景 概念 问题阐述 问题解决 扩展与应用
问题阐述
设原始信号x长度为N , 在某个变换域 ψ上具有稀疏性, 即x = ψs, s 中非零元素为K( K<<N ) 个, 是x在变换域 ψ上的稀疏投影。
压缩感知方程 定位
压缩感知方程定位
压缩感知（Compressed Sensing, CS）是一种新兴的信号处理
理论，它可以在采样率远低于传统理论所要求的情况下，实现对信
号的准确重构。
压缩感知方程定位是指利用压缩感知技术来实现对
目标位置的准确定位。
这种方法可以在较短的时间内，使用远远低
于传统方法所需的采样率，实现对目标位置的高精度定位。
压缩感知方程定位的关键在于如何设计合适的测量矩阵和重构
算法。
测量矩阵是指在采样过程中对目标位置进行测量的矩阵，而
重构算法则是指如何从这些测量数据中准确地重构出目标位置信息。
通过合理设计测量矩阵和高效的重构算法，压缩感知方程定位可以
实现对目标位置的高精度定位，并且具有较强的抗干扰能力。
压缩感知方程定位在无线通信、雷达、定位导航等领域具有广
泛的应用前景。
相比传统的定位方法，压缩感知方程定位可以大大
减少采样数据的传输和处理量，从而降低了系统的能耗和成本，并
且能够在复杂的环境下实现更加可靠的定位效果。
随着压缩感知理论的不断深入和发展，压缩感知方程定位技术
将会在未来的定位领域发挥越来越重要的作用，为我们的生活和工作带来更多便利和效益。
压缩感知理论
压缩感知理论一、压缩感知理论简介压缩感知，又称压缩采样，压缩传感。
它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于Nyquist 采样率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。
压缩感知理论一经提出，就引起学术界和工业界的广泛关注。
它在信息论、图像处理、地球科学、光学、微波成像、模式识别、无线通信、大气、地质等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
二、压缩感知产生背景信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。
多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的Nyquist 采样定理。
定理指出，只有当采样速率达到信号带宽的两倍以上时，才能由采样信号精确重建原始信号。
可见，带宽是Nyquist 采样定理对采样的本质要求。
但是，对于超宽带通信和信号处理、核磁共振成像、雷达遥感成像、传感器网络等实际应用，信号的带宽变得越来越大，人们对信号的采样速率、传输速度和存储空间的要求也变得越来越高。
为了缓解对信号传输速度和存储空间的压力，当前常见的解决方案是信号压缩但是，信号压缩实际上是一种严重的资源浪费，因为大量采样数据在压缩过程中被丢弃了，它们对于信号来说是不重要的或者只是冗余信息。
故而就有人研究如何很好地利用采集到的信号，压缩感知是由 E. J. Candes 、J. Romberg 、T. T ao 和D. L. Donoho 等科学家于2004 年提出，压缩感知方法抛弃了当前信号采样中的冗余信息。
它直接从连续时间信号变换得到压缩样本，然后在数字信号处理中采用优化方法处理压缩样本。
这里恢复信号所需的优化算法常常是一个已知信号稀疏的欠定线性逆问题。
三、压缩感知理论压缩感知理论主要涉及到三个方面，即信号的稀疏表示、测量矩阵的设计和重构算法的构造。
稀疏信号广义上可理解为信号中只有少数元素是非零的，或者信号在某一变换域内少数元素是非零的。
压缩感知求解欠定方程
压缩感知求解欠定方程【原创实用版】目录1.压缩感知简介2.欠定方程的概念3.压缩感知求解欠定方程的方法4.压缩感知在欠定方程求解中的应用实例5.总结正文1.压缩感知简介压缩感知（Compressed Sensing，CS）是一种信号处理技术，它的主要思想是在保证信号重构质量的前提下，大幅度减少信号的采样频率。
压缩感知是基于信号稀疏特性的一种技术，它利用稀疏性质将信号从原始空间映射到低维空间，从而实现信号的压缩与重构。
2.欠定方程的概念欠定方程（Underdetermined Equations）是指方程组中未知数的数量大于方程的数量，导致无法唯一地求解方程组。
在实际应用中，由于测量数据的局限性或者故意设置的欠定条件，欠定方程经常出现。
3.压缩感知求解欠定方程的方法压缩感知作为一种信号处理技术，能够利用信号稀疏特性来求解欠定方程。
主要方法有以下几种：（1）基于最小化误差的求解方法：通过最小化重构误差，例如 L1 范数、L2 范数等，来求解欠定方程。
（2）基于最大似然原理的求解方法：该方法假设信号在某个稀疏基上具有非负系数，并使用最大似然原理来求解欠定方程。
（3）基于压缩感知的求解方法：该方法结合了信号稀疏特性和欠定方程的求解，通过寻找信号在稀疏基上的表示，从而求解欠定方程。
4.压缩感知在欠定方程求解中的应用实例压缩感知在欠定方程求解中有广泛的应用，例如：（1）图像压缩与重构：在图像压缩中，由于图像的稀疏特性，可以利用压缩感知技术在保证图像质量的前提下，大幅度减少图像的存储空间。
（2）信号处理：在信号处理领域，由于测量数据的局限性，欠定方程经常出现。
压缩感知技术能够利用信号稀疏特性，求解欠定方程，从而恢复信号。
5.总结压缩感知作为一种信号处理技术，能够利用信号稀疏特性来求解欠定方程。
在实际应用中，由于测量数据的局限性或者故意设置的欠定条件，欠定方程经常出现。
压缩感知简介
6
2.4 观测基的选取
2. 压缩感知的流程
观测基的意义： 保证能够从观测值准确重构信号，其需要满足一定的限制： 1. 观测基矩阵不稀疏基矩阵的乘积满足RIP性质（有限等距性质） 这个性质保证了观测矩阵丌会把两个丌同的K稀疏信号映射到同 一个集合中。 研究现状： 1. 如果稀疏基和观测基丌相关，则很大程度上保证了RIP性。则一 般用随机高斯矩阵作为观测矩阵。 2. Rademacher矩阵等一样可以满足RIP性质。
1.1 信号获取及压缩
传统成像过程： 被拍摄物体 JPEG编码图像
1. 压缩感知概念
被感知对象
未压缩信号
压缩信号
重建信号
RAW图像
通过显示器显示
1
1.2 压缩感知理论框架
1. 压缩感知概念
被感知对象
压缩感知
重建信号
名称解释：压缩感知 —— 直接感知压缩后的信号。
基本方法：信号在某一个正交空间具有稀疏性（即可压缩性），就能以较
3
2.1 基本理论依据
理论依据：
2. 压缩感知的流程
长度为N的信号X在某个正交基Ψ上是稀疏的， 如果能找到一个不Ψ丌相关（丌相干）的观测基 Φ， 用观测基Φ观测原信号得到M个观测值， K<M<<N ，得到观测值Y， 那么可以利用最优化方法从观测值中高概率重构X。
压缩感知方程为y=Φ x=ΦΨs=Θs。 将原来的测量矩阵Φ变换为Θ=ΦΨ（称之为传感矩阵），解 出s的逼近值s’，则重构后原信号为x’=Ψs’。
7
2.4 重构算法的设计
最后，运用重构算法由测量值及投影矩阵重构原始信号。 信号重构过程一般转换为一个最小L0 范数的优化问题， 求解方法主要有最小L1 范数法、匹配追踪系列算法、最小全变分方法、 迭代阈值算法等。 重构是基于如下严格的数学最优化（Optimization）问题：
压缩感知求解欠定方程
压缩感知求解欠定方程摘要：一、压缩感知技术简介二、欠定方程问题三、压缩感知求解欠定方程方法四、算法应用与性能分析五、结论与展望正文：压缩感知（Compressed Sensing，CS）技术是一种近年来快速发展的新型信号处理方法，它突破了传统的奈奎斯特采样定理限制，实现对稀疏信号的高效采集与重建。
在许多实际应用中，信号往往是欠定（underdetermined）的，即已知观测数据无法唯一确定原始信号。
本文将探讨如何利用压缩感知技术求解这类欠定方程问题。
一、压缩感知技术简介压缩感知是一种基于信号稀疏特性的采样与重建方法。
其基本思想是：首先将原始信号通过一个合适的变换矩阵，得到变换域中的系数；然后根据一定的准则，对这些系数进行压缩采样；最后利用重建算法从压缩采样数据中恢复出原始信号。
二、欠定方程问题欠定方程问题是指已知方程组中未知数的个数大于方程数的线性方程组问题。
在实际应用中，这类问题常见于图像、音频、视频等领域。
由于方程组欠定，直接求解往往面临病态问题，导致解的不稳定性。
三、压缩感知求解欠定方程方法针对欠定方程问题，压缩感知提供了一种新的求解思路。
在压缩感知框架下，将欠定方程问题转化为一个优化问题。
具体来说，假设原始信号为x，观测到的信号为y，变换矩阵为A，则求解过程可以表示为以下最小化问题：min_x ||y - Ax||_2^2其中，||·||_2表示L2范数。
通过求解该优化问题，可以得到原始信号的估计。
四、算法应用与性能分析压缩感知求解欠定方程方法在许多领域都有广泛应用，如图像重建、音频信号处理等。
与传统方法相比，压缩感知技术具有以下优势：1.采样率提高：压缩感知技术可以实现远低于奈奎斯特采样率的信号重建，有利于降低数据量。
2.抗噪声性能强：压缩感知方法在一定程度上了提高了信号的抗噪声能力。
3.高精度重建：通过优化算法，可以实现对原始信号的高精度重建。
五、结论与展望压缩感知技术在求解欠定方程问题方面具有显著优势，已成功应用于众多领域。
压缩感知简介
压缩感知简介
内容
1
背景介绍
2
压缩感知理论分析
3
压缩感知应用
1.背景介绍
1.1传统压缩、采样理论介绍及问题提出 1.2压缩感知理论的基本思想
1.1传统压缩、采样理论介绍及问题提出
传统的基于Nyquist采样定理指导下的信息处理主要 表现在两个方面： 1.采样速率需达到信号带宽的两倍以上才能精确重构 信号。采样硬件成本昂贵，获取效率低下，对宽带信 号处理困难。 2.在实际应用中，为降低成本，人们常将采样的数据 经压缩后以较少的比特数表示信号，而很多非重要的 数据将被抛弃，这种高速采样在压缩的方式浪费了大 量的采样资源，另外一旦压缩数据的某个或者某几个 丢失，将可能造成信号恢复的错误。
由于观测数量M<<N，不能直接求解，在信号可压缩的 前提下，估算原信号的问题转化为最小0-范数问题：
min || s ||0 s.t.y s
对于0-范数问题问题的求解是个NP-hard问题，在实 际应用中难获得问题的可行性，因此，寻求对以上问 题的松弛以获得理想的逼近，已成为稀疏信号重构的 重要手段，Chen等人之处求解一个优化问题会产生同 等的解，于是问题转化为：
3.压缩感知的应用
3.1信号仿真分析 3.2CS图像融合 3.3在无线传感网中的应用
3.1信号的仿真分析
2 Original 0 -2
50
100
150
200
250
20 Measurements y 0 -20
20
40
60
80
100
120
Reconstruction SNR = -3.1597dB 2 0 -2 Original Recovered
压缩感知的原理和应用课件
压缩感知概念首次提出。
2
2006
基于稀疏表示的压缩感知算法被提出。
3
2008
压缩感知应用于图像压缩领域。
压缩感知技术的基本思想
压缩感知通过信号的稀疏性和测量矩阵的设计，实现了信号的高效压缩和重 建，从而减少了数据的传输和存储成本。
压缩感知与传统压缩的对比
传统压缩
通过无损或有损压缩算法降低数据存储和传输的容量。
压缩感知的原理和应用
压缩感知是一种先进的信号处理技术，通过基于信号的稀疏表示和测量过程 的优化，可以以更高效的方式对信号进行压缩和重建。
什么是压缩感知技术
压缩感知技术是一种通过测量信号的子集来恢复原始信号的方法。它可以在 数据压缩和重建中实现更高的效率和更少的数据传输。
压缩感知技术的发展历程
1
2004
压缩感知
通过测量信号的子集，以更少的数据进行信号重建，降低了数据传输和存储的需求。
优势
压缩感知能更高效地进行信号传输和存储，适用于稀疏信号的处理。
压缩感知技术的数学模型
压缩感知利用数学模型来描述信号的稀疏性，并通过优化算法来恢复稀疏信号。
稀疏性与测量矩阵的关系
信号的稀疏性与测量矩阵的设计密切相关，优化的测量矩阵可以提高信号的 稀疏性和压缩感知的性能。
压缩感知的重建算法
1
近似最小二乘法算法
通过最小化重建误差通过迭代优化的方式提高压缩感知的重建效果。
3
组合稀疏重建算法
结合了多个稀疏表示方法的算法，提高了信号的重建质量。
压缩感知技术在图像压缩中的 应用
压缩感知技术可以通过捕捉图像的稀疏特性，实现更高效的图像压缩，并在 图像传输和存储中起到重要作用。
压缩感知概述
除此之外，还有很多国内学者在压缩感知方面做了重要 的工作，如清华大学、天津大学、国防科技大学、厦门大 学、湖南大学、西南交通大学、南京邮电大学、华南理工 大学、北京理工大学、北京交通大学等等单位，在此不一 一列举。
二、压缩感知描述
2020/8/22
2.1 压缩传感
2、CS描述
x是K稀疏的，并且
y与ɸ满足一定关系 时
找到某个正 交基Ψ ，信 号在该基上
稀疏
找到一个与 Ψ不相关， 且满足一定 条件的观测
基Φ
以Φ观测真 实信号，得 到观测值Y
对Y采用最 优化重建， Ψ Φ均是其
约束。
2020/8/22
主要解决的问题： 1. 信号的稀疏表示 2. 观测基的选取 3. 重构算法的设计
3.1 应用举例
3、应用展望
2020/8/22
Introduction to Compressive Sensing 压缩感知概述
2020/8/22
学号：姓名：
目录
背景现状 理论产生背景 研究现状
压缩感知描述 压缩传感 稀疏表示 测量矩阵 重构算法 模拟实验 整体流程
应用展望 应用举例 展望
2020/8/22
一、背景现状
轮换矩阵 多项式矩阵 哈达吗矩阵 托普利兹矩阵 Chirp测量矩阵
……..
2020/8/22
2.4 重构算法
2、CS描述
直接求解相当困难。以下两种解决方案：
1 不改变目标函数，寻求近似的方法求解 用近似的方法直接求解0范数问题，如贪婪算法等。
2 将目标函数进行转化，变为更容易求解的问题 （1）将0范数问题转化为1范数问题 （2）采用光滑函数逼近0范数，从而将0范数问题转化为 光滑函数的极值问题
压缩感知介绍课件
通过压缩感知技术，可以从部分 观测数据中重建出原始图像，这 在医学成像、遥感等领域具有广 泛的应用。
无线通信中的信号处理
信号编码
利用压缩感知对信号进行编码，可以在有限带宽下传输更多的数据，提高通信效率。
信号恢复
在接收端，通过压缩感知技术，可以从接收到的信号中恢复出原始信号，降低噪声和干扰的影响。
发展初期
2006年以后，众多学者开始关 注并研究压缩感知理论及其应用。
应用拓展期
近年来，压缩感知在各个领域 得到了广泛的应用和发展。
未来展望
随着技术的不断进步和应用需 求的增加，压缩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知有望在未
来发挥更加重要的作用。
02
压缩感知的基本原 理
稀疏表示
稀疏表示
在压缩感知中，信号被表示为稀 疏的形式，即大部分系数为零或 接近零。这使得信号在变换域中
具有高度的可压缩性。
稀疏基
使用稀疏基（如离散余弦变换、离 散小波变换等）对信号进行变换， 使其在变换域内具有稀疏性。
压缩感知应用
稀疏表示使得压缩感知在图像处理、 信号处理、雷达成像等领域具有广 泛的应用前景。
测量矩阵
测量矩阵
在压缩感知中，测量矩阵用于将稀疏 信号从高维空间投影到低维空间，同 时保留足够的信息以恢复原始信号。
优化算法
优化算法（如L1最小化算法、梯度下降算法等）可以求解更为复杂的压 缩感知问题，但计算复杂度较高。
03
压缩感知算法比较
不同压缩感知算法具有各自的优缺点，适用于不同类型和规模的信号处
理问题。在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的算法。
03
压缩感知的算法 实 现
匹配追踪算法
总结词
压缩感知采集数据恢复matlab
压缩感知采集数据恢复matlab摘要：一、压缩感知简介二、压缩感知在数据采集中的应用三、使用Matlab 进行压缩感知数据恢复四、总结正文：压缩感知（Compressed Sensing）是一种从少量测量数据中恢复稀疏信号的技术。
它利用信号的稀疏特性，通过非线性优化方法，从较少的测量值中还原出完整的信号。
在数据采集领域，压缩感知技术可以提高采样效率，降低数据存储和传输成本。
在本文中，我们将介绍压缩感知的基本原理，并探讨其在数据采集中的应用。
最后，我们将使用Matlab 工具包实现压缩感知数据恢复，并通过实例演示其操作过程。
一、压缩感知简介压缩感知的核心思想是信号的稀疏特性。
许多实际信号（如图像、音频、文本等）都具有稀疏特性，即它们的大部分能量集中在少数频率上。
压缩感知利用这一特点，通过非线性优化方法，从较少的测量值中恢复出原始信号。
二、压缩感知在数据采集中的应用在数据采集领域，压缩感知技术可以提高采样效率，降低数据存储和传输成本。
例如，在图像采集过程中，可以使用压缩感知技术降低图像的采样率，从而减少图像的数据量。
在无线通信中，压缩感知可以降低信号的采样率，从而降低传输带宽的需求。
三、使用Matlab 进行压缩感知数据恢复Matlab 提供了丰富的工具包，可以方便地实现压缩感知数据恢复。
下面我们通过一个简单的例子，演示如何使用Matlab 进行压缩感知数据恢复。
假设我们有一个信号x，其稀疏特性如下：x = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1];现在，我们使用压缩感知技术对其进行采样，采样过程如下：1.构建测量矩阵A：```matlabA = [1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];```2.对信号x 进行压缩感知采样：```matlaby = A * x;```3.使用Matlab 的`l1-ls`函数进行压缩感知数据恢复：```matlabx_recovered = l1-ls(A", y);```4.绘制原始信号x 和恢复后的信号x_recovered：```matlabfigure;plot(x);hold on;plot(x_recovered);```从上述过程可以看出，使用Matlab 进行压缩感知数据恢复非常简单。
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2011.No31 03.2 熟悉结构施工图结构施工图是关于承重构件的布置,使用的材料、形状、大小及内部构造的工程图样,是承重构件以及其他受力构件施工的依据。
看结构施工图最难的就是钢筋，要把结施图看懂就要知道钢筋的分布情况，现在都是在使用平法来标示钢筋，所以也要把平法弄懂才行。
在识读与熟悉结施图的过程中应该充分结合钢筋平法表示的系列图集，搞清楚：a 各结构构件的钢筋的品种，规格，以及受力钢筋在各构件的布置情况。
b 箍筋与纵向受力钢筋的位置关系。
c 各个构件纵向钢筋以及箍筋弯钩的角度及其长度。
d 熟悉各构件节点的钢筋的锚固长度。
e 熟悉各个构件钢筋的连接方式。
f 熟悉在钢筋的搭接区域内，钢筋的搭接长度。
g 核算钢筋的间距是否满足施工要求，尤其是各个构件节点处的钢筋间距。
h 弯起钢筋的弯折角度以及离连接点的距离。
除此以外，对于钢筋混凝土构件，还应该熟悉各个构件的砼保护层厚度，各个构件的尺寸大小、布置位置等。
特别注意的是对于结施图的阅读应充分结合建施图进行。
4 结束语在熟悉施工图纸的过程中，施工技术人员对于施工图纸中的疑问，和比较好的建议应该做好记录，为后续工作（图纸自审和会审）做好准备。
参考文献[1]《建筑识图》周坚主编 中国电力出版社 2007年；[2]《建筑工程项目管理》银花主编 机械工业出版社 2010年；摘 要 压缩感知（Compressive Sensing, CS）理论是一个充分利用信号稀疏性或可压缩性的全新信号采集、编解码理论。
本文系一文献综述，主要介绍了压缩感知的三部分即信号的稀疏表示、测量矩阵的设计、信号恢复算法的设计。
关键词 压缩感知 稀疏表示 测量矩阵 信号恢复算法1 引言1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特（Nyquist）首先提出，1948年信息论的创始人C.E.香农（Shannon）又对其加以明确说明并正式作为定理引用的奈奎斯特采样定理，是采样带限信号过程所遵循的规律。
它指出：在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>=2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。
一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的5～10倍。
该理论支配着几乎所有的信号/图像等的获取、处理、存储、传输等。
随着科技的发展，成为目前信息领域进一步发展的主要瓶颈之一，主要表现在两个方面：(1)数据获取和处理方面。
在许多实际应用中(例如超宽带信号处理、核磁共振、空间探测等），Nyquist采样硬件成本昂贵、获取效率低下，信息冗余及有效信息提取的效率低下，在某些情况甚至无法实现。
(2)数据存储和传输方面。
通常的做法是先按照Nyquist方式获取数据，然后将获得的数据进行压缩，最后将压缩后的数据进行存储或传输，这样会造成很大程度的资源浪费。
另外，为保证信息的安全传输，通常以某种方式对信号进行编码，这给信息的安全传输和接收带来一定程度的麻烦。
近年来，由D .D o n o h o (美国科学院院士)、E . Candes(Ridgelet， Curvelet创始人)及华裔科学家T. Tao(2006年菲尔兹奖获得者，2008年被评为世界上最聪明的科学家)等人提出了一种新的信息获取指导理论，即压缩感知（Compressive Sensing(CS)，或称Compressed Sensing、Compressed Sampling）。
该理论指出：对可压缩的信号通过远低于Nyquist标准的方式进行数据采样，仍能够精确地恢复出原压缩感知简介刘太明1 黄 虎2（1、成都理工大学,四川成都,610059;2、成都理工大学,四川成都,610059）始信号。
该理论一提出，就在信息论、信号/图像处理、医疗成像、模式识别、地质勘探、光学/雷达成像、无线通信等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
2 CS基本原理信号x∈R n×1压缩传感的测量过程可以表示为y=Ax∈R M×1,M<<N. (1)式中ｙ为获得的信号测量矢量，Ａ为测量矩阵；信号重建可以表示为min‖x‖0,s.t. y=Ax （2）式中‖·‖0表示x的l 0范数，即x中非零值元素的个数，也称为信号稀疏度，用S表示，式（2）是一个难解的组合优化问题。
Candes和Donoho等给出了信号稳定重建时，测量矩阵应满足的充分条件，即RIP(restricted isometry property）或者UUP(uniform uncertainty principles)条件，并指出信号重建可以用ι1范数最小化求解，即min‖x‖1,s.t. y=Ax (3)式（3）是一个可解的凸优化问题。
在CS框架中，测量矩阵可以是随机Gaussian、Bernulli及部分随机抽样Fourier等。
信号重建是一个非线性过程，方法有计算复杂度为O(MNS)的贪婪搜索算法）(MP,OMP,stOMP)、计算复杂度为O(N 3)基于ι1范数的BP等。
3 CS理论三部分简介CS 理论主要包括三部分：一是信号的稀疏表示，二是设计测量矩阵，要在降低维数的同时保证原始信号x的信息损失最小；三是设计信号恢复算法，利用M个观测值无失真地恢复出长度为N的原始信号。
3.1 信号的稀疏表示自然界存在的真实信号一般不是绝对稀疏的，而是在某个变换域下近似稀疏，即为可压缩信号。
信号的稀疏性或可压缩性是压缩感知的重要前提和理论基础。
由小波理论，我们知道，绝大部分小波系数的值是小的，为数不多的大系数包含了有关对象的主要信息。
用数学的语言描述：假定我们有一个矢量f∈R n ，以正交基2011.No31 1（如小波基）Ψ=[Ψ1,Ψ1,…Ψ1]展开为： （4）其中x是系数列，x i =(f,Ψ1(t))，将f表示成x。
现在明确稀疏性的含义：当信号有稀疏展开时，可以丢掉小系数而不会失真。
按正式的说法，f s (t)是保留展开式（4）中S个最大系数(x i )值得到的结果。
有定义f s =Ψx s ，此后x s 就是系数向量x i ，只不过除了S个最大值外其余都是0，该向量严格意义上是稀疏的，因为，除了少数几个非零元素外，其余元素都为0。
我们称这种几乎S个非零元的对象为S-稀疏的，由于Ψ是正交基，可以得到：‖f-f s ‖l2=‖x-x s ‖l2如果x在按值排序快速衰减的意义上是稀疏的，x就能很好地用x s 逼近，误差‖f-f s ‖l2就是小量。
也就是说除了几个大系数外丢弃其他系统，不会造成太大的损失。
信号的稀疏性原理为现代有损失编码基础，稀疏性是一种基本模型工具，它允许有效的基本信号处理，如有效的数据压缩等。
信号的可稀疏表示是压缩感知的先验条件。
在已经信号可压缩的前提下，压缩感知过程可分为两步：(1)设计一个与变换基不相关的M×N(M<<N)维测量矩阵对信号进行观测，得M×1到维的测量向量；(2)从M×1维的测量向量重构信号。
3.2 测量矩阵选取从M<<N个测量y中重构长度为N的信号x，由于M<<N，如果x是K稀疏的，且S中K个非零系数的位置是已知的，那么，只要M>K，问题就有解。
对于具有K个非零元素的任意矢量v，若ε>0，上述简化后问题的充分必要条件是： （5）即矩阵必须保持特定K稀疏矢量的长度。
当然，一般情况下，S中K个非零系数的位置是不知道的。
然而，K稀疏压缩信号有稳定解的一个充分条件是：对于任意3K稀疏矢量v，满足公式（5）。
该条件即为约束等距特性（Restricted Isometry Property(RIP)）。
一个相关条件要求的行向量不能表示Ψ的列向量。
同样Ψ的行向量也不能表示的列向量。
Barniuk给出了约束等距特性的等价条件是测量矩阵Φ和稀疏表示的基Ψ不相关。
压缩感知的关键是测量矩阵的构造，它可由测量波形和采样方式决定。
目前常采用的测量波形是i.i.d.高斯随机波形，i.i.d.贝努力分布的随机波形，正交函数系等；常用的采样方式是均匀采样，随机采样，jitter采样等。
CS测量矩阵的实现硬件是将CS推向实用的必备条件。
在RIP理论指导下，莱斯大学R. Baraniuk教授等研制的单像素相机和A/I转换器。
随后，有多种CS硬件相继报道，例如，麻省理工学院L.L.Wald教授等人研制的MRI RF脉冲设备，麻省理工学院W. T. Freeman教授等人研制的编码孔径相机，耶鲁大学研制的超谱成像仪，伊利诺伊州立大学O. Milenkovic等人研制的DNA微阵列传感器。
3.3 信号恢复算法区别于Nyquist理论的线性感知问题，CS理论的信号复原需要求解一个非线性优化问题。
统计理论和组合优化理论告诉我们：通过选择合适的测量方式和重建算法，仅需要K+1次测量就可将N维空间的K-稀疏信号精确重建。
但是，组合优化是一个NP问题，当N很大时，数值上无法有效实现，且抗噪声能力很差；然而，K+1测量是CS追求的目标。
Candes， Tao和Donoho等人已证明，当测量矩阵满足RIP条件时，组合优化问题(或称，ι0约束优化问题)转化为ι1约束的凸优化问题，数值上容易处理的优化问题。
目前已有的CS重建算法可以分为三类，第一类贪婪算法（Y.C.Pati，G.Davis，S.Mallat and Z.Zhang等人提出）（注意：贪婪算法是针对组合优化提出，为讨论方便，暂且与凸优化问题列在一起），目前已发展了多种变形，例如，OMP，OOMP，CosMP等。
该类重建算法速度快(计算复杂性是O(N*K^2))， 然而需要的测量数据多(O(K*logN))且精度低。
第二类方法是凸优化算法，代表性方法为LASSO， l1-Maggic， GPSR，等。
该类算法速度慢(计算复杂性为N^3)，然而需要的测量数据少(O(K*log(N/K))，且精度高。
第三类方法是以Sparse Bayesian为代表的统计优化算法，该类方法位于前两者之间。
另外，值得强调的是目前的CS理论均架设信号的稀疏度K是已知的，然而在许多情况下，K并不已知，那么建立动态的测量方式和相应的重建算法也是今后关键的问题。
综上所述，CS重建算法的目的是配合CS测量矩阵尽可能减少测量数据。
因此所设计的最优化算法需要满足如下条件： 需要最少的采集数据，计算速度快，普适，能够解决大尺度问题等。
4 结语本文阐述了CS理论的产生背景，模型框架，基于CS的信号恢复主要算法和CS理论应用与研究现状。
CS理论提出之后便引起了广泛的关注，许多机构和领域的研究人员都投入了极大的热情参与进这一新领域的研究工作。