投影变换旋转法
投影变换
A
C
O
A1
B
25
a
═
b’
o’
c’
a’ b
o c
a1
26
b’
c1’
a’a1’
d’ ═
c’ b c1
aa1
d║ c
b1
27
§4－5 度量问题定位问题举例
定位: 解决空间几何元素之间的相互位置问题，如从属性、交点、交线等。 度量: 解决空间几何元素的形状、大小、倾角或相互间的距离、角度问题等。
12 23
基本作图 1、把一般位置直线变换成投影面的平行线
b a
X
b1 V1
O O1
B
a1
bA
X1
aH
a
V X
H
a
b
一次
O b
b1
a1
实长
13
基本作图 2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线
V1
V b a A
O B a1 (b1) O1
a
V X
H a
a X
b
H
X1
b 一次
O
b a1 (b1)
14
c
H
X1
X
V H
b
d
a
2.2几种常见变换——投影变换
y x
2.2几种常见的平面变换
投影变换
三维目标
1.知识与技能
掌握投影变换的矩阵表示与几何意义 2.过程与方法
通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示. 3.情感、态度与价值观
将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。 教学重点 投影变换 教学难点 投影变换矩阵 教学过程
一、情境设置
如果把正午的太阳光近似看做垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根，而它们的正视图可以用右图来表示，在右图中，树木投影前后可以看做一个平面几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？
二、学生活动 对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到x 轴上时，横坐标保持，纵坐标变化为0，特殊地，x 轴上的点原地不动.因此，垂直投影前后可以看做一个几何变换T ，并且有
T ：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡0'
'
x y x y x
故变换T 对应的矩阵为M ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡00
01
三、建构数学
像⎥⎦⎤⎢
⎣⎡0101，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0001这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称之为投影变换矩阵，相应的投影称做投影变换.
说明：投影变换虽然是映射，但不是一一映射. 四、数学运用 例5研究矩阵⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡01
01所确定的变换. 解：对于平面上的向量⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡y x ，有 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡x x y x 0101， 因此，矩阵⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡0101
使得平面上的点的横坐标不变，而纵坐标变为与横坐标相等，该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y ＝x 上，如图所示. 例6 研究线段AB 在矩阵⎥⎥⎥
土木工程制图第5章投影变换换面法
5.2
【例5-3】
作图步骤如图5-17(b) (1)将直线AB经过二次变换成为垂直线，其在H2面上的投影 积聚为a2(b2)。直线CD也随之变换，在H2面上的投影为 c2d2。(2)从a2(b2)作m2k2⊥c2d2，m2k2即为公垂线MK在 H2面上的投影，它反映直线AB、CD 若要求公垂线MK在V/H体系中的投影m′k′、mk可根据 m2k2、m1′k1′返回求出。
图5-8 平行线变换成垂直线
5.2
3.
将一般位置直线变换成垂直线时，必须经过二次变 换，第一次将一般位置直线变换成平行线，第二次将平 行线变换成垂直线。如图5-9
(1)作X1轴∥ab，求得AB在V1面上的新投a1′b1′。 (2)作X2轴⊥a1′ b1′，得出AB在H2面上的投影 a2(b2)，这时a2与 b2
5.2
图5-17 求两条交叉直线间的距离
5.2
【例5-4】
求两平面ABC和ABDE之间的夹角，如图5-18(a) 【解】分析：当两个平面的交线垂直于投影面时，则这两个平面 在该投影面上的投影为两条相交直线，它们之间的夹角即反映两
作图步骤如图5-18(b) (1)将平面ABC和ABDE的交线AB经二次变换成为垂直于H2面的 直线。(2)平面ABC和ABDE在H2面上的投影分别积聚为直线 c2a2(b2)和a2e2(b2d2) (3)∠c2a2e2即反映两个平面间的夹角θ。
画法几何与阴影透视复习题
《画法几何与阴影透视》复习资料
1.1103年，在中国宋代李诫所著的《营造法式》一书中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时尚未
形成画法的理论。
2.《立体几何》是在立体上解决一些平面几何问题，而《画法几何》则是将立体进行，（投影）在平
面上解决空间问题。
3.投影线在有限远处相交于一点（投影中心）的投影法称为（中心投影法）。
4.平行投影法又可分为正投影法和斜投影法
5.1799年，法国数学家蒙日发表了《画法几何》一书，提出用多面正投影图表达空间形体。这为画法
几何奠定了理论基础。以后的各国学者又在投影变换、轴测图，以及其他方面不断提出新的理论和方法，使这门学科日趋完善。
6.《立体几何》是在立体上解决一些平面几何问题，而《画法几何》则是将立体进行投影，在平面上
解决空间问题。
7.图线有：实线、虚线、点划线、折断线、波浪线等型式。
8.正投影法──投射线⊥投影面。斜投影法──投射线倾斜于投影面。
9.正投影的基本特性：从属性，全等性，积聚性，类似性
10.主视俯视长相等且对正长对正；主视左视高相等且平齐高平齐；俯视左视宽相等且对应宽相等
11.正平线（平行于Ｖ面）；侧平线（平行于Ｗ面）；水平线（平行于Ｈ面）
12.正垂线（垂直于Ｖ面）；侧垂线（垂直于Ｗ面）；铅垂线（垂直于Ｈ面）
13.投影变换的方法有：旋转法——投影体系不动而转动空间几何要素。换面法——保持空间几何要素
位置不动,设立新的投影面代替旧的投影面,使新投影面处于有利于解题的位置,求出新投影的方法。
14.直角定理：二直线垂直相交（或交叉），其中有一条直线为投影面平行线，则二直线在所平行的投
投影变换的名词解释
投影变换的名词解释
随着科技的不断进步和发展，投影技术在我们的日常生活中变得越来越常见。
当我们使用投影仪将图像或视频投射到屏幕上时，其背后的原理就是投影变换。那么，投影变换到底是什么呢？在本文中，我们将对投影变换进行深入解释。
投影变换是一种在空间中进行几何变换的方法。它将一个三维的对象投影到一
个或多个二维的平面上，从而使得我们可以在屏幕或其他平面上观察并解释该对象。投影变换可以应用于多个领域，如工程、建筑、艺术和游戏等。
投影变换最常见的形式是透视投影。透视投影使用一个点作为投影中心，并将
对象上的每个点映射到屏幕上的相应位置。这种投影方式在我们的眼睛看到的世界中起着重要的作用。例如，当我们在街道上看到建筑物时，远处的建筑物看起来比近处的建筑物小。这是因为远处的建筑物在透视投影下被压缩了。透视投影使我们能够感知到深度和远近的差异。
另一种常见的投影变换是平行投影。与透视投影不同，平行投影将对象上的每
个点都以平行的方式映射到屏幕上。这种投影方式通常用于制图和测绘等领域，因为它能够准确地保持对象之间的相对关系和尺寸。
投影变换不仅仅是将三维对象映射到二维平面上，还可以进行更复杂的变换。
例如，我们可以通过旋转、缩放和平移等操作，改变对象在投影中的位置和形状。这些变换可以用于创建各种视觉效果，例如在电影和游戏中创建逼真的动画。
此外，投影变换还可以用于图像处理和计算机视觉中。通过对图像进行透视或
平行投影变换，我们可以实现图像纠正、角度测量和模式识别等功能。这些应用使得投影变换成为现代技术中不可或缺的一部分。
投影变换
4.1 换面法
4.2 旋转法
4.3 点、线、面综合题的解题方法和举例
4.1 换面法
4.1.1 换面法的基本概念
4.1.2 点的换面变换
4.1.3 四个基本作图问题
4.1.1 换面法的基本概念
在原投影面体系中，保持空间几何元素的位置不动，再建立一个新的投影 面，使新建立的投影面相对于空间几何元素处于特殊位置以有利于解题。这种 方法称为变换投影面法，简称换面法。
4.2.3 四个基本作图问题
进行线段和平面的旋转时，一经确定了旋转轴的方向和 位置，线、面上所有点均要绕同轴、沿同一方向，旋转同一 角度，即“三同”原则。
1. 将一般位置直线变为投影面的平行线
o' b'Biblioteka Baidu
a' X
a1' o'
O
o
b
a1
a
图4-16 直线AB绕铅垂线旋转为正平线
2. 将投影面平行线变为投影面的垂直线
图4-9 一般位置平面变换为投影面铅垂面
b) 投影图
3. 将一般位置平面变为投影面的垂直面
V
a'
X
ax
H
新 投 影 b' 面 b1' 应 k' B 垂 a1'(k1') V1 直 于 c’ K 平 c1 ' 面 A 内 bx bx1 的 C a x1 平 cx 1 X1 行 b 线 k ！
投影变换——换面法
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
3.3.5
绕垂直轴 二次旋转
c1’ o’
C1
B C
c1
O
a
(b)
c
使ABC绕轴旋转
到与V面平行的位 置，则ABC1在V 面的投影反映实
形。
结束 返回
旋转法
3.3.1 问题的提 出 3.3.2 旋转法 的概念
3.3.3
绕垂直轴 旋转
3.3.4
绕垂直轴 一次旋转 可解决四 种作图问 题
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。
作 图： c●
几个解？
a
d b
两个解！
●a2
X
V H
a
●
c
d ●
b
.
b2●d●2 60°
.
a'1●b'1
D点的投影 如何返回？ ● c2
如何解？
思考：
HX1V1
●
c1'
H2 V1 X2
解法相同！
已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，
c2●
例7:求两交叉直线的公垂线.
四、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。
空间及投影分析：
作图:
求C点到直线AB的距离， c
6. 投影变换
H2
（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面
b′ b′ a′ d′ c′ D X A C b a d c H B b1
V
a′ V X d1H1 H a1 a c1
c′ b d c
例题3
求点S到平面ABC的距离
b′ d′ a′ s' b s d a c c′ s1 k1
例题4 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e′。
1、直线的旋转
（1）、直线的旋转可用直线上两点的旋 转来决定。且必须遵循绕同一轴、按同一方向 ，旋转同一角度的“三同原则”，以保证几何 元素相对位置不改变。
（2）、直线旋转的投影规律
AB绕铅垂线O沿反时针方向旋 转一个φ角，在水平投影中， 由于 oa=oa1 ； ob=ob1； ∠aob= ∠a1ob1 ； 则△aob≌
直线旋转的投影特性： 直线旋转的投影特性：当直线绕垂直线旋转时，直线对该投影面的
倾角不变，在该投影面上的投影长度不变，直线两端点到该投影面的距 离差不变，直线上各点的另一投影平行于X轴移动。
平面旋转的投影特性： 平面旋转的投影特性：当平面绕垂直线旋转时，它对该投影面的倾
角不变，在该投影面上的投影形状大小亦不变，平面上各点的另一投影 平行于X轴移动。
d′ d c b a c 直线与平面的交点 d
两点之间距离
§6-2 换面法
建筑制图 第三章2
a
B b
b1’
X1
返回
3.1
二、点的投影变换规律
换面法
点的变换规律：
1)点的新投影和不变投影的连线，必 垂直于新投影轴。
2)点的新投影到新轴的距离等于被代 换的旧投影到旧轴的距离。
点的一次换面
下页
3.1
换面法
二、点的投影变换规律 当一次换面不能满足需要时，则需要多次换面。在换面时 ，V面和H面必须交替更换，并且始终遵循点的变换规律。
B X
b X1
a
a1 ´
实长
b1´
返回
2、把投影面的平行线 —— 投影面垂直线 （得：直线积聚为点）
X1 X1 V
变换为
H1
a1b1
V
H1
b´
a1b1
b´ B
a´ A X a
a´ b
X
V H a b
下页
直线的二次变换
把一般位置直线
变换为 变换为
b' a' XV H b
—— 投影面平行线 ——投影面垂直线
V/H——V/H1——V2/H1——V2/H3
X2 V2 H1 X1 H1 V a' X V H a a1 a2 '
X3 V2 H3 a3
返回
1、把一般位置直线 —— 投影面平行线 （可求：实长 、 倾角）
第三章投影变换
第三章投影变换
知识点：投影变换的目的及所采用的方法、换面法、直线的换面、平面的换面、换面法在解题中的应用
难点：换面法在解题中的应用
时间：2学时
讲课内容：
§3-1投影变换的目的与方法
投影变换的目的，主要在于将原投影体系中的某一个（注意是“某一个”）处于一般位置下的几何元素，改造为特殊位置的元素，以利于图解。当然，这种改造是以不改变有关元素的已定关系为前提的。否则，改造是毫无意义的。这种对原投影进行有目的的改造的方法，称为投影变换。
投影变换所采用的方法，主要有两种：
一．置换投影面法。也即以新的投影面置换某一旧的投影面，建立起一个新的二面体系，使某一直线或平面由一般位置变换为特殊位置。这种方法简称为换面法；
二．旋转几何元素法。也即在原投影体系中，令空间各有关元素按同轴、同向、同速进行旋转，使其中的某一元素（直线或平面）由一般位置旋转到特殊位置上，重新进行投影。这种方法简称为旋转法。根据所设旋转轴的位置不同，可以有垂直轴旋转法和水平轴
§3-2
设有
AB
一个H
Z
如示。
实长，即a1
线。
线的投影面。图3-1 直线的一次换面（平行）
一个新的H1面，
一个V1面，所以
的y坐标等值。
根据y
H1上的投影如图
这时，AB
正垂线。
[例一] 求二交叉直线的公垂线。
这是一个典型的例题。若应用换面法来求解，则颇为简便。这里，只要使其中的一线
图3-3 求公垂线
二．平面的换面
在二面体系中，一般位置平面的换面，应借助于该面上的投影面平行线（正平线或水平线）来进行。这样只要这条面上的平行线垂直于新投影面，则该一般位置平面在新投影面上的投影，就产生积聚，成为新二面投影体系的垂直面。见图3-4和图3-5。
投影变换
XV H b m
a' a
n
b1’ m1’ n1’
n2 c2
c H V1 X1
c1’
H2 V1 X2
返回到原投影面体系 将平面 投影面垂直面 将平面 投影面平行面 空间分析 在实形图形上直接反映直线夹角 投影分析
大小，实质是求实形问题。 X1 平面的积聚性投影 X2 // 平面内一投影面平行线
直线的旋转规律
直线绕某轴旋转一角度时， 只要使该直线上的两个点绕同一 轴，沿相同方向，旋转同一角度， 然后把旋转后的两个点连接起来， 即为该直线的新投影。
R
当一直线绕铅垂轴旋转时， 其水平投影长度保持不变。直线 对H面的倾角不变。
0
0 R
当一直线绕正垂轴旋转时， 其正面投影长度保持不变。直线 对V面的倾角不变。
旋转法
五要素
O R O1 P
A
O
旋转轴OO、 旋转平面P、 旋转中心O1 旋转半径R、 旋转点A
绕垂直轴旋转
点的旋转规律
a’ a’ a1’ a a a1 o a1
o’
a1’
o
点A绕铅垂轴旋转
绕垂直轴旋转
点A绕正垂轴旋转 点的旋转规律
投影规律：点的一个投影在垂直于旋转 轴的投影面上作圆周运动，在另一投影面上 的投影作与投影轴平行的直线运动。
k' l' a' b'
如何进行地理坐标转换与投影变换
如何进行地理坐标转换与投影变换
地理坐标转换与投影变换是地理信息系统(GIS)中的一项基础工作，它涉及到
将地球上的经纬度坐标转换为平面坐标，以及在不同地理参考系统下进行坐标转换。本文将介绍地理坐标转换与投影变换的基本概念、方法和工具。
一、地理坐标转换的基本概念
地理坐标是描述地球表面点位置的一种表达方式，通常使用经度和纬度来表示。经度指的是点在东西方向上的位置，纬度指的是点在南北方向上的位置。地理坐标转换是指将地球上的经纬度坐标转换为其他地理坐标系统下的坐标，以满足不同的分析和应用需求。
二、地理坐标转换的方法
1. 数学模型转换法
数学模型转换法是最常用的地理坐标转换方法之一，它利用数学模型来描述地
理坐标的转换关系。常见的数学模型包括坐标旋转、坐标平移和坐标缩放等。通过测量和计算，可以确定数学模型的参数，并将经纬度坐标转换为其他坐标系统下的坐标。
2. 数据转换法
数据转换法是指通过使用现有的地理数据集，将经纬度坐标与其他坐标系统下
的坐标进行匹配，然后进行坐标转换。这种方法适用于有大量地理数据的情况，可以通过将经纬度坐标与其他坐标的对应关系进行建模，实现大规模的坐标转换。三、投影变换的基本概念
投影变换是地图制图中常用的技术，它将地球上的经纬度坐标映射到平面上，
以便在地图上展示地理信息。由于地球是一个球体，而平面是一个二维的表面，所以必须进行投影变换来实现地图的制作。
投影变换有很多种方法，常见的有等角投影、等距投影和等积投影等。不同的
投影方法适用于不同的实际应用需求。一般情况下，投影变换会引入一定的形变，如形状失真、面积失真或角度失真等。
第六章~《画法几何》
10
6.2.2 点的换面规律
2．点的二次换面
如图6-5所示，第一次V1面垂直于H面，形成 V1 /H投影体系，第二次作H2面垂直于V1面，形成 V1 / H2投影体系。点A在V1面上的投影为a1′ ，在H2 面上的投影为a2， H2面和V1面的交线O2X2为第二新 投影a1′ a⊥ O1X1轴。将各个投影面依次展开到一个 平面上后，即得到两次换面后点A的投影图，由轴、 a1′ ax1 = a′ ax求出a1′ ，再由a2a1′ ⊥ O2X2轴， a2ax2
= aax1求出a2 。注意， aax1 称为第二次换面中被替
换投影到原投影轴的距离，而a1′称为第二次换面中 的不变投影。
画法几何
（a）
图6-5 点的二次变换
（b）
11
6.2.3 六个基本作图问题
1．将一般位置直线变换成投影面平行线
将一般位置直线变换成投影面平行线只需一次换面。 如图6-6所示，在V/H投影体系中，AB为一般位置直线，现 设置V1面垂直于H面并平行于直线AB，在新建立的投影体系 V1 /H中，AB变换成 V1面的平行线。
4
画法几何
6.1.2 投影变换的分类
投影变换的方法一般有换面法和旋转法两种。 1．换面法
保持空间几何元素不动，设置一个新的投影面替换原投影体系中的某一个投影面，组成一个新 的投影体系，使几何元素在新投影面上的投影直接反映所需要的几何关系，这种方法称为换面法。
投影变换对称变换旋转变换正交变换
投影变换对称变换旋转变换正交变换
投影变换、对称变换、旋转变换和正交变换是线性代数中的重要概念，它们在数学、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用。本文将分别介绍这四种变换的概念、特点和应用，并对它们进行比较和联系。
一、投影变换
投影变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间的操作。具体而言，对于一个n维向量空间V和一个m维向量空间W，投影变换可以将V中的向量映射到W中的向量。投影变换通常用一个矩阵表示，称为投影矩阵。投影变换具有保持向量在某个方向上的长度和角度不变的特点，常用于计算机图形学中的三维投影和几何变换。
二、对称变换
对称变换是指将一个向量空间中的向量映射到其自身的操作。具体而言，对于一个n维向量空间V，对称变换可以将V中的向量映射到V中的向量。对称变换通常用一个矩阵表示，称为对称矩阵。对称变换具有保持向量长度和角度不变的特点，常用于计算机图形学中的镜像和仿射变换。
三、旋转变换
旋转变换是指将一个向量绕某个中心点进行旋转的操作。具体而言，
对于一个n维向量空间V，旋转变换可以将V中的向量绕某个中心点旋转一定角度。旋转变换通常用一个矩阵表示，称为旋转矩阵。旋转变换具有保持向量长度不变但改变角度的特点，常用于计算机图形学中的三维旋转和空间定位。
四、正交变换
正交变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间，并且保持向量之间的内积不变的操作。具体而言，对于一个n维向量空间V和一个m维向量空间W，正交变换可以将V中的向量映射到W中的向量，并且满足向量之间的内积等于原始向量之间的内积。正交变换通常用一个矩阵表示，称为正交矩阵。正交变换具有保持向量长度和角度不变的特点，常用于计算机图形学中的坐标变换和旋转。
投影变换
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
d2
机械制图——立体及其表面交线
三.例题
[例5]如下图所示，试求直线MN与平面△ABC的交点Ｋ。
b' m'
k'
a'
d'
n' XV
c'
H
n
b
kd
a
c
m
n1'
b1'
k'1 a'1d1'
c'1
m1'
HXV11
14
2020年4月5日星期日
机械制图——立体及其表面交线
三.例题
[例6]如下图所示，已知Ｋ点到平面△ABC的距离为Ｌ，试 求点Ｋ的正面投影。
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
几何几何变换与投影法
几何几何变换与投影法
引言：
几何几何变换是几何学中的重要概念，它描述了点、线、面在空间
中的位置关系在某些条件下如何变化。而投影法是几何学中常用的一
种表示法，通过投影将三维图形映射到二维平面上，常用于解决实际
问题中的空间关系。本教案将介绍几何几何变换和投影法的基本概念、方法和应用。
一、几何几何变换
1. 平移变换
平移变换是将图形沿着某一方向上的直线移动一定的距离，而保持
图形的形状和大小不变。在平面几何中，平移变换可以通过向量表示，通过加法的方式将点的坐标进行平移。
2. 旋转变换
旋转变换是指将图形按照一定的旋转轴和旋转角度，绕旋转轴旋转
一定的角度，而保持图形的形状和大小不变。在二维几何中，旋转变
换可以通过矩阵乘法和坐标变换的方式实现。
3. 缩放变换
缩放变换是指将图形按照一定的比例因子，在某一方向上进行扩大
或缩小，而保持图形的形状和大小不变。在二维几何中，缩放变换可
以通过矩阵乘法和坐标变换的方式实现。
4. 对称变换
对称变换是指将图形相对于某一直线或者某个点对称，使得图形的
一个部分和另一个部分完全对应。在二维几何中，对称变换可以通过
坐标变换的方式实现。
5. 图形的组合变换
图形的组合变换是指将多个几何变换或者其它变换进行叠加，从而
得到更复杂的变换结果。通过将平移、旋转、缩放等操作按照一定的
顺序进行组合，可以得到丰富多样的几何变换效果。
二、投影法
1. 平行投影
平行投影是指将三维空间中的点、线、面通过平行光线投影到平面上，得到二维的影像。平行投影常用于工程绘图、建筑设计等领域。
在平行投影中，光线方向和投影面平行，保持了图形的大小和形状。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.3 平面的旋转
平面的旋转是通过旋 转该平面所含不共直线的 三个点来实现的，旋转时， 必须遵循同轴、同方向、 同角度的规则。
平面的旋转性质：
1)平面绕垂直轴旋转时，平面在旋转轴所垂直的投影 面上的投影，其形状和大小都不变。
2)平面对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。
3)平面的另一个投影，其形状和大小发生改变，并且， 该平面对旋转轴所不垂直的那个投影面的倾角也改变。
［例3］试将正平线AB旋转成为铅垂线
分析：正平线和铅垂线都平行于V面，因此，在旋转过程 中，直线对V面的倾角应保持不变，只改变它对H面的倾角， 所以应取正垂线为旋转轴。
作图步骤： 1）过点A作正垂轴OO：ａ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ； ａ′与ｏ′重合 2）以OO为轴，将AB旋转成铅垂线：即将正面投影 ｂ′沿圆周（ 以ａ′为圆心，以ａ′ｂ′为半径） 旋转至ｂ1’。 3）连接ｂ1’ａ′（ｂ1′ａ′⊥ＯＸ），水平投影 ａ与ｂ1重合。
§３ 旋转法
如图所示，空间点A 绕直线OO旋转，点A称 为旋转点，直线OO称为 旋转轴。自A点向OO轴 引垂线，其垂足O称旋 转中心，AO称旋转半径， A点的旋转轨迹是以O为 圆心，以AO为半径的圆 周，称为轨迹圆，轨迹 圆所在的平面与旋转轴 垂直。
按旋转轴与投影面的相对位置不同，旋转法分为： 1)绕垂直于投影面的轴线旋转，简称绕垂直轴旋转。 2)绕平行于投影面的轴线旋转，简称绕平行轴旋转。 3)绕一般位置的轴线旋转。
［例1］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的 实长和α角
分析：欲求一般位置直线AB的实长和α角，需把直线 AB绕铅垂轴旋转成正平线。为了作图简便，使该轴过直线 的一个端点，如A点，那么，只旋转B点即可。
作图步骤： 1）过点A作铅垂轴OO：ａ′∈ｏ′ｏ′，ｏ′ｏ′⊥ＯＸ 2）求新投影ｂ1、b’1：将水平投影ｂ以ｏ（ｏ与ａ重合） 为圆心，ａｂ为半径旋转至ｂ1，ａｂ1∥ＯＸ，b1’沿OX轴平 行线平移至b’。 3）连接ａ’ｂ1’、ａｂ1；ａ′ｂ1’反映AB的实长。 4）确定α角：ａ′ｂ1’与OX轴的夹角α即为所求。
Hale Waihona Puke Baidu［例3］试将正垂面ABC 旋转成为水平面
作图步骤：
1）作β＝４５°的水平线ＭＮ1：作ｍｎ1，使ｍｎ1 与OX轴的夹角为４５°，ｍ′ｎ1’∥ＯＸ。
2）过点M作正垂轴OO：ｍ∈ｏｏ，ｏｏ⊥ＯＸ；ｍ ′与ｏ′重合。
3）将正面投影ｎ1’旋转至ａ′ｂ′上的ｎ′位置， 同时求出水平投影ｎ，ｎ∈ａｂ。
4）连接ｍ′ｎ′，ｍｎ，即为所求。
直线旋转的基本性质
1)直线绕垂直轴旋转时，直线在旋转轴所垂直的投影面 上的投影长度不变。
2)直线对旋转轴所垂直的那个投影面的倾角不变。
3)直线在旋转轴所平行的投影面上的投影长度及对该投 影面的倾角都改变。
3.2.1 把一般位置直线旋转成投影面平行线
直线绕垂直轴旋转一次，就能改变直线对一个投影面的 倾角，因此，用绕垂直轴旋转的方法，求一般位置直线的实 长及对投影面的倾角时，只要旋转一次即可实现。
3.3.1 把一般位置平面旋转成投影面垂直面
只要将平面内的一条投影面平行线旋转成垂直于某投 影面，则平面就垂直于该投影面。
［例1］试求一般位置平面 ABC对V面的倾角β
分析：欲求一般位置平面ABC对V面的倾角β，须将 平面ABC旋转成为铅垂面，为此，应在平面内取一条正平 线（如CD），只要将正平线CD绕正垂轴(含C点)旋转成为 铅垂线，那么平面ABC就旋转成为铅垂面。
由上可知点的旋转规律：当点绕垂直轴旋转时，点在与 旋转轴垂直的那个投影面上的投影作圆周运动，而另一投影 则沿与旋转轴垂直的直线移动。
3.2 直线的旋转
直线的旋转，仅需使属于 该直线的任意两点遵循绕同一 轴、沿相同方向、转同一角度 的规则作旋转，然后，把旋转 后的两个点连接起来。
如图所示，直线AB绕铅垂 轴OO按逆时针方向旋转θ角， 也就是使A、B两点分别绕OO轴 逆时针旋转θ角，按照点的旋 转规律求得ａ1b1、 ａ1’ b1’。
3.1 点的旋转
如图所示，点A绕垂直于V面的OO轴(正垂轴)旋转，其 V投影反映轨迹圆实形，而H投影为过A点且平行于X轴的直 线段，其长度等于轨迹圆的直径。
如图所示，点A绕铅垂轴旋转，其H投影反映轨迹圆实 形，即H投影ａ沿圆周旋转θ角到ａ1，其V投影ａ′沿投影 轴的平行线移动至ａ1’，ａ′ａ1’∥ＯＸ。
作图步骤： 1）含点Ｃ作正垂轴ＯＯ：C∈OO，ｏｏ⊥ＯＸ；ｃ′与 ｏ′重合 2）作平面ABC内的正平线CD：ｃｄ∥ＯＸ，并求出ｃ′ ｄ′。 3）求平面的新投影：将ｃ′ｄ′旋转至ｃ’ｄ1’， ｃ’ ｄ1’⊥ＯＸ，ａ、ｂ旋转相同的角度，平面△ＡＢＣ就 成为铅垂面，它的水平投影ａ1ｃｂ1积聚成一直线。正面 投影ａ′、ｂ′依三同原则旋转至ａ1’、ｂ1’位置。 4）求β角：ａ1ｃｂ1与OX轴的夹角β即为所求。
［例2］已知一般位置直线AB的两投影，试求直线AB的β角
分析：欲求一般位置 直线的β角，需把直线AB 绕正垂轴旋转成水平线。
3.2.2 把投影面平行线旋转成投影面垂直线
某投影面的平行线绕该投影面的垂直轴旋转时，始终保 持与该投影面平行，而能改变对另一投影面的倾角。所以投 影面平行线可经一次旋转为投影面垂直线。
［例2］试求一般位置平面ABC对H面的倾角α
分析：欲求一般位置平 面ABC对H面的倾角α，需 把平面ABC旋转成为正垂面。 为此应在平面内取一条水平 线CD，只要将水平线CD绕 铅垂轴（含C点）旋转成为 正垂线，那么，平面ABC就 旋转成为正垂面。
3.3.2 把投影面垂直面旋转成为投影面平行面
投影面垂直面绕同一投影面的垂直轴旋转时，可改变 垂直面对另一投影面的倾角。所以只要经一次旋转，就能 使垂直面旋转成为另一投影面的平行面。