机械优化设计实例(人字架优化)讲课教案
第8章机械优化设计实例PPT课件
1.设计变量的选择
• 机械设计中的所有参数都是可变的，但是将所有的设计参 数都列为设计变量不仅会使问题复杂化，而且是没有必要 的。例如材料的机械性能由材料的种类决定，在机械设计 中常用材料的种类有限，通常可根据需要和经验事先选定， 因此诸如弹性模量、泊松比、许用应力等参数按选定材料 赋以常量更为合理;另一类状态参数，如功率、温度、应 力、应变、挠度、压力、速度、加速度等则通常可由设计 对象的尺寸、载荷以及各构件间的运动关系等计算得出， 多数情况下也没有必要作为设计变量。因此，在充分了解 设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响 程度认真分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化 优化设计问题。另外还应注意设计变量应当相互独立，否 则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困 难。
• 前面几章系统地介绍了机械优化设计的理 论和方法。本章将首先针对机械优化设计 实践中需要注意的问题介绍一些可供使用 的方法;接着通过对机床主轴结构优化设计、 齿轮减速器优化设计、平面连杆机构优化 设计等工程实例的分析，来说明在解决一 个工程实际问题时，建立优化设计数学模 型，选择适当的优化方法，编制计算机程 序，最终得出符合要求的优化设计结果等 问题。
5
• 编写计算机程序对于使用者来说，已经没 有多少工作要做了，因为已有许多成熟的 优化方法程序可供选择。使用者只需要将 数学模型按要求编写成子程序嵌入已有的 优化程序即可。
机械优化设计实例(人字架优化)
人字架的优化设计
、问题描述
如图1所示的人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2F=3 X 105N。已知人字架跨度2B=152
5 、 3
cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 10 MPa，材料密度p=7 . 8X 10 kg
/m,许用压应力§ =420 MPa。求钢管压应力3不超过许用压应力Sy和失稳临界应力Q 的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D使钢管总质量m为最小。
二、分析
设计变量：平均直径D、高度h
三、数学建模
所设计的空心传动轴应满足以下条件：
(1) 强度约束条件即
经整理得
F B 2
h
2 2
二 hTD
则目标函数为:
约束条件为:
g i (X )
6 10=577600 x ；
Tx 1x 2
420 乞 0
gQ 6
10\ 577600 x ；
r ：Tx x
259078-3272x 2 625
,0
577600 x ；
g/x ) 10
g 4(x )
X 1
-120 乞 0
g 6t x ) =x 2 - 1000 一 0
(2) 稳定性约束条件:
1
F B 2
h 2
仓 二 hTD
<
二 2ET 2D 2 8B 2
h 2
(3)取值范围：
10 < D <120
200 < h <1000
min f x = 122. 5224
10一丸 577600 x ；
g 5(x )
四、优化方法、编程及结果分析
1优化方法
综合上述分析可得优化数学模型为：X = 1x 1, x/ ； min f (x) ； stg x _ 0
考察该模型，它是一个具有2个设计变量，6个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用 SUMT惩罚函数内点法求解。
机械优化设计实例(人字架优化)
人字架的优化设计
一、问题描述
如图1所示的人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2F=3×105N 。已知人字架跨度2B=152 cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.15
10⨯ MPa ，材料密度p=7．8×103 kg ／m ，许用压应力δy =420 MPa 。求钢管压应力δ不超过许用压应力 δy 和失稳临界应力 δc 的条件下，人字架的高h 和钢管平均直径D 使钢管总质量m 为最小。
二、分析
设计变量：平均直径D 、高度h
三、数学建模
所设计的空心传动轴应满足以下条件： （1） 强度约束条件 即
δ≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y δ 经整理得
(
)
[]y hTD
h B F δπ≤+2
122
（2） 稳定性约束条件：
[]c δδ≤
(
)
(
)
(
)
2
22
222
122
8h
B D T E hTD
h B F ++≤+ππ （3）取值范围：
12010≤≤D 1000200≤≤h
则目标函数为：()2
213
57760010
5224.122min x x x
f +⨯=-
约束条件为：0420577600106)(2
12
2
41≤-+⨯=
x Tx x X g π
()
057760025.63272.259078577600106)(2
2
212
12
2
42≤++-+⨯=
X x x x Tx x g π010)(13≤-=x X g
0120)(14≤-=x X g 0200)(25≤-=x X g
01000)(26≤-=x X g
四、优化方法、编程及结果分析
1优化方法
综合上述分析可得优化数学模型为：()T
x x X 21,=；)(min x f ；
机械优化设计实例教学文稿
机械优化设计实例
压杆是一根足够细长的直杆，以学号为p值，自定义有设计变量的
尺寸限制值，求在p 一定时d i、d2和丨分别取何值时管状压杆的体积或重量最小？（内外直
径分别为d i、d2）两端承向轴向压力，并会因轴向压力达到临界值时而突然弯曲，失去稳定
性，所以，设计时，应使压应力不超过材料的弹性极限，还必须使轴向压力小于压杆的临界载
荷。
解：根据欧拉压杆公式，两端铰支的压杆，其临界载荷为:
I ――材料的惯性矩，EI为抗弯刚度
1、设计变量
现以管状压杆的内径d i、外径d2和长度l作为设计变量
2、目标函数
以其体积或重量作为目标函数
3、约束条件
以压杆不产生屈服和不破坏轴向稳定性，以及尺寸限制为约束条件，在外力为p的情况下建立优化模型：
min F〔孟）=oiia 右詡异）=—一和）J
2） '
压杆的最优化设计
也㈤皿也2亟刍-皿。
4
勿（忙）=韵佃1 dJ = P -卩匕
型—瘩辽（茁—町）
I2~M?
嵐二（工）==止皿_£］玉o
血（兀）=呂.SJ =右 ~ ^lmax —°
3) .3 ■■' -J」j -工—二.
g$ (光)~ & (£) —^2 2JHK—"」
^W = ^W = U-/^o
gO劭刘
罚函数:
反耐皿上严）二7寓-町）f +円｛［诡［o,［cr］-+ mm[ Q@『+nun[鸥『+min[ 0,?]3 + ■■■)
传递扭矩的等截面轴的优化设计
2、目标函数JT 讪(為4-d「)―^—胡
解：1、设计变量:
冈区
I
3、约束条件:
式中：――轴所传递的最大扭矩
勿（匿）二內⑴二兰拿-罔空
J7EZ
2）要求扭转变形小于许用变形。即:
《机械优化设计》第一章 优化设计概述
θ
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化问题的几何解释： 无约束优化问题：目标函数的极小点就是等值面的中心； 等式约束优化问题：设计变量x的设计点必须在 所表示的面或线上，为起作用约束。 不等式约束优化问题：可行点 g ( x) 0
h( x) 0
非可行点
边界点
g ( x)>0
许用压应力σy= 420MPa。
求在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下， 人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
人字架的优化设计问题归纳为 求x=[D h]T 使质量m(x)→min 满足强度约束条件 ( x) y 和稳定约束条件 ( x) e
画出此优化问题的目标函数等值线和约束曲线，并确定
（1）可行域的范围（用阴影画出） （2）在图中标出无约束最优解 X
1
X 2 , f X 2
X 3 , f X 3
, f X 1 和约束最优解
（3）若加入等式约束 h X x1 x2 0在图中标出约束最优解
《机械优化设计》
Mechanical optimization design
第Hale Waihona Puke Baidu章 优化设计概述
机械优化设计教案
吉林大学
教师教案（20 07 ~2008 学年第二学期）
课程名称：机械优化设计
年级：20XX级01-09班
教研室：机械设计及自动化任课教师：李风
吉林大学教务处制
教案
等值线—等高线
●等值线
●等高线：
●它是由许多具有相同目标函数值的设计点所构成的平面曲线。
课后小结1：人字架的优化数学模型2：数学模型的基本构成
第二节机械优化问题示例
第三节优化设计问题的数学模型
2学时
五、优化问题的几何解释
●无约束优化问题就是在没有限制的条件下，对设计变量求目标函数
的极小点。在设计空间内，目标函数是以等值面的形式反映出来的，
则无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。
●约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极
小点在可行域内或在可行域边界上。
课后小结1．机械优化设计数学模型的一般形式2：优化设计的数学基础，梯度的概念
第四节优化设计问题的基本解法
●求解优化问题：解析解法
●数值的近似解法。
2学时
●解析解法：把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来，然后再
用数学解析方法(如微分、变分方法等)求出优化解。
●数值解法：只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函
数式，再来求其优化解，这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解
法。不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析
表达式的优化设计问题。因此，它是实际问题中常用的方法。
●可以按照对函数导数计算的要求，把数值方法分为需要计算
函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不须计
算其导数)的方法。
●
由于数值迭代是逐步逼近最优点而获得近似解的，所以要考虑优化问题解的收敛性及迭代过程的终止条。
第一部分机械优化设计方案概述教学课件
xx1 x2 ... xnT
图2-4 设计空间
二、约束条件
一个可行设计必须满足某些设计限制条件， 这些限制条件称作约束条件，简称约束。
性能约束 约束 （按性质分） 侧面约束
按数学表达形式分：
针对性能要求
只对设计变量的取值范 围限制（又称边界约束）
m in f ( x ) C T x x Rn
s .t . Ax B
x0
b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线 性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：
minF(x)CBTX1XTAX 2
s.t. QXD
X0
XRn
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
约束
等式约束 不等式约束
h(x) 0
g(x) 0
可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在 设计空间的活动范围。
一般情况下，其设计可行域可表示为：
x
gu (x) 0 hv ( x) 0
u 1, 2,..., m v 1, 2,..., p n
图2-5 二维问题的可行域
三、目标函数
目标函数是设计变量的函数，是设计中所 追求的目标。如：轴的质量，弹簧的体积，齿 轮的承载能力等。
其极小点在目标函数等值面的中心。
机械优化设计课程教学设计
《机械优化设计》课程教学设计
（一）基本描述
课程编号：S4080270
课程名称：机械优化设计
课程英文名称：OPTIMAL DESIGN OF MACHINE
总学时：30 讲课学时：30 习题课学时：0 实验学时：0 上机学时：0 学分：2
开课单位：机电工程学院机械制造及其自动化系
授课对象：机电工程学院机械设计制造及其自动化专业，其它相关专业。
先修课程：高等数学理论力学材料力学机械原理机械设计机械制造装备设计高级语言程序设计。
开课时间：第七学期
教材与主要参考书：
孙靖民．《机械优化设计》机械工业出版社20XX年6月
孙全颖．《机械优化设计》哈尔滨工业大学出版社20XX年
（二）课程性质、研究对象及任务
机械优化设计是机械类专业的专业选修课，其目的是使学生树立优化设计的思想，掌握优化设计的基本概念和基本方法，获得解决机械优化设计的初步能力，进一步提高学生的分析问题和解决问题的水平。通过本课程的学习，培养学生具备以下几个方面的能力。
1、树立优化设计的思想，理论联系实际，具有创新设计的能力。
2、掌握机械优化设计的思想、方法和规律。在学习优化设计基本理论
的基础上，应具备数学模型的建立、优化方法的选择、软件使用、优化结果分析等方面的能力。
3、正确的运用已经学过的机械优化设计基础理论和基础知识，能够初
步解决其它领域的最优化问题。
4、正确掌握本领域出现的新技术、新原理和新方法，初步具备进行机
械结构优化与综合研究的能力。
机械优化设计是高等工科院校中机械设计制造及其自动化专业现代设计方法模块的一门主干课，它能够综合的运用先修课程所学到的知识与技能，在进一步加强数学基础理论知识培养的同时，重点训练学生运用数学方法解决机械设计问题的能力，为学生今后从事机械优化设计及其它相关工作打下一定的基础。
《机械优化设计》课件
优化问题的分类
3.5 优化问题几何解释
起作用约束 不起作用约束
3.6 优化设计问题建模
例1.把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆 柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个设计变量：圆柱体底 面半径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重 相等。即
没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为 极值点在无穷远处。
多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极 （小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别） 的值，才能确定极（小）值点。
•欢迎加入湖工 大考试资料群：
361240181
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问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即
min 则得原问题的数学模型：
某车间生产甲、乙两种产品。
产品 甲
材料重量 （kg） 9
用工 （工时）
3
用电 （kW）
4
利润 （元）
60
乙
4
10
5
120
每天可 供资源
360
300
200
问每天生产甲、乙两种产品各多少件， 才能够获得最大利润。
设每天生产的甲、乙两种产品分别为：x1 、x2，则此问题的数学模型如下：
已知：2F=3*105 N
人字架跨度2B=152cm， 钢管壁厚T=0.25cm，材 料的弹性模量
机械优化设计作业——人字架优化设计
人字架的设计问题
考虑如图所示的钢管构造的人字架，设钢管壁厚T 和跨度2B 已给定，试求能承受负荷2F 的最轻设计。
已知条件：钢管壁厚T ；跨度2B ；载荷2F ；
材料性能参数：弹性模量E ；材料密度ρ；允用压应力y σ；
问题的本质归纳为：
X=[D,h]是支架质量m(x)取最小值
问题分析过程：
1、所求参数：钢管平均直径D ，支架高度h
2、目标函数：支架最小质量()()212222,m h B pTD pAL H D +==π的最小值
3、约束条件：
强度约束()y x σσ≤； 稳定性约束()e x σσ≤ 单个刚管所受压力()h h B F h FL F 21221+==
失稳的临界压力()
()
22222228h B D T EA L EL F e ++==ππ 钢管的临界应力()
()222
228h B D T E A F e e ++==πσ 钢管所受压应力()TDh h B F A F π21221+==
σ
实际问题解决：
假设材料为Q235，材料参数：
弹性模量E=200GPa ；材料密度33/1085.7m kg p ⨯=；许用应力a 235MP y =σ 人字架跨度2B=1m ；钢管壁厚T=0.5cm ；所受压力N F 51052⨯=
Matlab 编程实现：用Matlab 中的fmincon 函数来优化设计
(1)目标函数：人字架质量最小
function f=min(x)
B=1;
T=0.003;
P=7850;
f=2*pi*P*x(1)*T*sqrt((B/2)^2+x(2)^2);
end
优化设计【1】
只有两个设计变量的二维设计问题可用图1 只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-1 ( a ) 所 示的平面直角坐标表示; 示的平面直角坐标表示; 有三个设计变量的三维设计问题可用图1 有三个设计变量的三维设计问题可用图1-1 ( b ) 所表 示的空间直角坐标表示. 示的空间直角坐标表示.
第一章 优化设计概述
1.1 1.2 1.3 1.4
人字架的优化设计 机械优化设计问题示例 优化设计问题的数学模型 优化问题的基本解法
重点
1.1 人字架的优化设计
问题
人字架由两个钢管构成,其顶点受外力2F=3×105N. 已知:人字架跨度2B=152cm,钢管壁厚δ=0.25cm,钢管材料的弹性 模量E=2.1×105MPa,材料密度ρ=7.8×103kg/m3,许用压应力σy= 420MPa. 求:在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下, 人字架的高h和钢管平均直径D,使钢管总质量m为最小.
通过x1*的等值 线值即为最小结 构质量,其值为
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人字架的优化设计
一、问题描述
如图1所示的人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2F=3×105N 。已知人字架跨度2B=152 cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.15
10⨯ MPa ，材料密度p=7．8×103 kg ／m ，许用压应力δy =420 MPa 。求钢管压应力δ不超过许用压应力 δy 和失稳临界应力 δc 的条件下，人字架的高h 和钢管平均直径D 使钢管总质量m 为最小。
二、分析
设计变量：平均直径D 、高度h
三、数学建模
所设计的空心传动轴应满足以下条件： （1） 强度约束条件 即
δ≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y δ 经整理得
(
)
[]y hTD
h
B F δπ≤+2
122
（2） 稳定性约束条件：
[]c δδ≤
(
)
(
)
(
)
2
22
222
122
8h
B D T E hTD
h B F ++≤+ππ （3）取值范围：
12010≤≤D 1000200≤≤h
则目标函数为：()22
13
57760010
5224.122min x x x f +⨯=- 约束条件为：0420577600106)(2
12
2
41≤-+⨯=x Tx x X g π
()
057760025.63272.259078577600106)(2
2
212
12
2
42≤++-+⨯=
X x x x Tx x g π010)(13≤-=x X g 0120)(14≤-=x X g
0200)(25≤-=x X g 01000)(26≤-=x X g
四、优化方法、编程及结果分析
1优化方法
综合上述分析可得优化数学模型为：()T
x x X 21,=；)(min x f ；()0..≤x g t s i 。
考察该模型，它是一个具有2个设计变量，6个约束条件的有约束非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用SUMT 惩罚函数内点法求解。
2方法原理
内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。
对于只具有不等式约束的优化问题
)(min x f
),,2,1(0)(..m j x j
g t s Λ=≤
转化后的惩罚函数形式为
⎰∑
=-=m
j j x g r x f r x 1
)
(1
)(),(φ 或[]
∑=--=m
j j x g r x f r x 1
)(ln )()
,(φ
式中r ——惩罚因子，它是由大到小且趋近于0的数列，即
0210→>>>Λr r r 。
[]
∑∑==-m
j m
j j j x g x g 11)(ln )(1
—障碍项—或。 由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子0→r 时，才能求得在约束边界上的最优解。
3编程
首先编制两个函数文件，分别保存为目标函数和约束函数。 function f=objfun(x) B=1520;T=2.5;P=7.8e-3;
f=2*pi*P*x(1)*T*sqrt((B/2)^2+x(2)^2); 再编写非线性约束函数文件M 文件confun.m; function [c,ceq]=confun(x)
B=1520;T=2.5;P=300000;E =2.1e5;F1=420; Q=0.5*P*sqrt((B/2)^2+x(2)^2)/x(2); st=Q/(pi*T*x(1)); g(1)=st-F1;
F2=0.125*pi^2*E*(x(1)^2+T^2)/((B/2)^2+x(2)^2);
g(2)=st-F2;
ceq=[];
在MATLAB命令窗口给出搜索值和线性约束，并调用优化程序：x0=[100;700];
a=[-1,0 ;1,0 ;0 ,-1;0,1];
b=[-10;120;-200;1000];
1b=[10;200];
ub=[120;1000];
[x,fval]=fmincon(@objfun,x0,a,b,[],[],1b,ub,@confun)
4结果分析
优化程序经过11次迭代计算收敛，得到结果如下：
x=64.3083 760.0000
fval=8468.5714
圆整后得到X=(65,760)T.
图1
图2
验算：7.253)(1-=X g <0
65.782)(2-=X g <0
)(3X g <0
)(4X g <0
)(5X g <0
)(6X g <0
五、课程实践心得体会
通过《机械优化设计》这门课程的学习，初步了解和熟悉了机械优化设计的基本设计流程。传统的机械设计往往很保守，这样就造成了材料的浪费，也增加了产品的成本。优化方法随着计算机的应用而迅速发展起来，采用优化方法，既可以使方案在规定的设计要求下达到某些优化的结果，又不必耗费过多的计算工作量，因而得到广泛的重视，其应用也越来越广。再本科做课程设计设计轴以及其他零件的时候，往往把尺寸加大，用这种方法来使零件满足强度要求。这种做法在实际的生产过程中实不可取的。因此作为一名机械专业的学生，在走向工作