求连续自然数平方和的公式

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自然数的平方和

自然数的平方和是指前n个自然数的平方和，包括1到n自然数的平方。它是一个相当简单但又有实际意义的数学概念，先从数学原理上对它

进行简单介绍：

1、两个自然数的平方和：

a + b的平方和 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab；

2、三个自然数的平方和：

a +

b + c的平方和= (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2b

c + 2ca；

3、四个自然数的平方和：

a +

b +

c + d的平方和 = (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2c

d + 2da + 2ac + 2bd；

4、五个自然数的平方和：

a +

b +

c +

d + e的平方和 = (a + b + c + d + e)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2d

e + 2ea + 2ac + 2bd + 2ce + 2ad；

5、六个自然数的平方和：

a+b+c+d+e+f的平方和

=(a+b+c+d+e+f)2=a2+b2+c2+d2+e2+f2+2ab+2bc+2cd+2de+2ef+2fa+2ac+

2bd+2ce+2de+2ae+2bf+2cf；

可以看出，求解前n个自然数的平方和的推导公式是幂次乘法的重复应用，也可以看出，求解前n个自然数的平方和的通用公式：

Sn = n * n * (n + 1) * (n + 1) / 4；

其次，可以通过计算把公式化成算法，常用解法如下：

平方和公式是什么什么时候学的

有许多小伙伴想了解平方和公式什么时候学的，快来和小编一起看看吧。下面是由小编为大家整理的“平方和公式是什么什么时候学的”，仅供参考，欢迎大家阅读。

平方和公式是什么什么时候学的

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6，即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：=N^2=N的平方)。平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数也就是正方形数的级数。

平方和公式是初中二年级学的。

拓展阅读：快速记忆数学公式的方法

1.要有良好的数学学习方法和习惯

良好的数学学习习惯，会减轻数学学习的难度，要学会把课堂知识用自己特殊方法记忆下来，那就要做到认真预习、专心上课、及时复习、独立作业、系统小结。

2.掌握常用的数学思想和方法

做数学题时，也要注意解题思维策略问题，经常要思考:选择什么角度来进入，应遵循什么原则性的东西，是否可以运用哪些数学公式来做这些题。

3.慢慢养成“以我为主”的学习模式

学习数学就要积极主动地参与学习过程，养成实事求是的科学态度，独立思考、勇于探索的创新精神;对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

4.针对自己的学习情况，采取一些具体的措施

(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。

(2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。

(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到

了自动化或半自动化的熟练程度。

平方和的计算方法

1×1＋2×2＋3×3＋……＋n×n=n(n＋1)(2n＋1)/6

来历是:用完全立方公式和等差数列求和公式推导

因为:

(n＋1)³=n³+3n²+3n+1

在这个等式中,让依次取从1开始的n个连续的自然数,就得到n个相对应的等式, 2³=1³+3×1²+3×1+1

3³=2³+3×2²+3×2+1

4³=3³+3×3²+3×3+1

………………

(n+1) ³=n³+3n²+3n+1

将这个等式中等号两边的式子分别加起来,划去等号两边相同的数,就得到,

(n+1) ³=1+3(1²+2²+3²+……+n²)+3(1+2+3+……+n)+n

第二个括号内的和就是一个等差数列,和为n(1+n)÷2,于是

(n+1) ³=1+3(1²+2²+3²+……+n²)+3n(n+1)÷2+n

所以, 3(1²+2²+3²+……+n²)= (n+1) ³－3n(n+1)÷2－(n+1)

=n³+3n²+3n+1－3n²/2－3n/2－n－1

=n³+3/2n²+n/2

所以, 1²+2²+3²+……+n²=1/3(n³+3n²/2+n/2)

=n(n+1)(2n+1)/6

前n个自然数的和:

1+2+...+n=n(n+1)/2

前n个自然数平方和:

n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

=n^2+(n-1)^2+n^2-n

=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2

3^3-2^3=2*3^2+2^2-3

4^3-3^3=2*4^2+3^2-4

连续自然数平方求和公式

我们要找出一个公式，这个公式可以用来求出一系列连续自然数的平方的总和。

假设我们有一个连续的自然数序列，从 n 开始，到 n+k-1 结束。

我们要计算这些数的平方和。

每一个数的平方是 (n + i)^2，其中 i 是从 0 到 k-1 的整数。

所以，连续自然数平方的总和是：

(n + 0)^2 + (n + 1)^2 + ... + (n + k - 1)^2

我们可以使用数学公式来简化这个求和过程。

连续自然数平方和的公式是：

(n + k - 1)^3 - n^3 + 3n(n + k - 1)

现在我们有了公式，我们可以使用它来计算任何连续自然数平方的和。

连续自然数平方和的公式为：-n**3 + 3*n*(k + n - 1) + (k + n - 1)**3

所以，给定任何起始自然数 n 和连续的个数 k，我们都可以使用这个公式来计算连续自然数平方的总和。

求连续自然数平方和的公式精品

求连续自然数平方和的公式

前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中, 也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式：

12+ 22+ 3一+ n2二

n(n 1)(2n 1)

这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。

首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表:

n 1 2 3 4 5 r\6

1 +

2 + 3+^+ n 1

3 6 10 15 21

12+ 22+ 32+…+ n2 1 5 14 30 55 91

然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数

,2 小2小2 2

1 2 3

n—-------------------- ，

1 2 3 n

既然人=匚上

3------- ，而它的通项公式是•红」，于是大胆猜想

1 2 3 n 3

2 2 2 2

1 2 3 n 2n 1

------------- = ----- 。

1 2 3 n 3

因为分母1+2+ 3+…+ n= n(n 1)，所以

2 2 2 2

1 2 3 n 2n 1

------------- = ----- 。

n(n 1) 3

再根据表中的数据，算出分数A的值，列出下表:

由此得到

2+ 22 + 32...+ n 2

= n(n 1) % 2n 1 = n(n 1)(2n 1)。

。

用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平

方和的公式。

这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了 “猜想一证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。

自然数平方和公式的推导与证明

一. 自然数平方和推导与证明

12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

设：S=12+22+32+…+n2

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解另设：S

题的关键！（通常不容易这么去设想）

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2有了此步设题，第一：S

中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为

(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+

…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，

即

=2S+n3+2n(1+2+3+...+n) (1)

=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：第二：S

=[12+32+52…+ (2n-1)2] +[22+42+62…+(2n)2] ，

其中：

22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S (2)

12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1)2+…+ (2n-1)2

= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+

连续自然数的平方和

连续自然数的平方和的求法

问题：求和

解法1：

∵()3

321331k k k k --=-+

∴()()3

233k =131k k k ⎡⎤--+-⎣⎦

从而有

()()3

3131n

k k k k

k k k ===⎡⎤=--+-⎣⎦∑∑∑ 由迭加法，可知：

()3

3111-- ()3

3221--

()3

3331--

……

()3

31n n --

将以上各式迭加，即得到

()33311n

k k k n =⎡⎤--=⎣⎦∑ 由等差数列求和公式，可得

()()1

31312

k n n k n =+-=

-∑

于是有

()()()3

311

3131312

k k k n n k k k k n n ===+⎡⎤=--+-=+-⎣⎦∑∑∑

化简并整理，得

()()

1216

n n n S ++=

解法2：定理：

由等式

()22112k k k k k C k +=+-=-

从而有

()()2

222

2311

2123n

n k k

C C C n +==+++-++++∑

由定理可得

()3

1122

n n n S C ++=-

展开得到

()()()2112321

n n n n n S +++=⋅-⨯⨯

化简并整理，得

()()

1216

n n n S ++=

两数平方和公式

平方和，数学术语，定义为2个或多个数的平方相加。

通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。

平方和公式：n(n+1) ( 2n+1 ) /6 。

平方和公式是一个比较常用公式，于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数也就是方形数的级数。

平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。此公式是冯哈伯公式(Faulhaber's formula)的一个特例。

自然数平方和公式推导

我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：

2 2

3 3 3

4 4 4 4

……

n n …… n

这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和

接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n

这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用

如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求

1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢

注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：

1 1 1 (1)

2 2 2 (2)

3 3 3 (3)

4 4 4 (4)

……

n n n …… n

这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2

而我们补上的数字是哪些呢？

1 1 1 …… 1 (n-1)个的1

2 2 …… 2 (n-2)个的2

3 …… 3 (n-3)个的3

………

n-1

又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，

最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于

常用的数列求和公式：平方和公式、立方和公式是什么？

平方和公式、立方和公式

在数学的数列求和试题中，除了等差数列和等比数列外，还会考到两个公式。平方和公式与立方和公式。

平方和公式：

从1 开始，前n个自然数平方的和。

（先平方，再相加）

1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+……+n²

=n(n+1)(2n+1)/6

G老师纯手写

立方和公式：

从1 开始，前n个自然数立方的和。

（先立方，再相加）

1³+2³+3³+4³+5³+6³+7³+……+n³

=(1+2+3+4+5+6+7+……+n)²

=n²(n+1)²/4

注意，

①平方和与立方和公式运用时，一定要从1开始。

②遇见类似数列但不是从1开始，先补充完整计算后，再减去增添的部分。

这两个公式证明过程略微复杂，

在小学奥数中不需要掌握，

感兴趣的家长和同学可以自行网上搜索查阅学习。

自然数平方和公式及证明

自然数平方和公式

证明1：

此式对于任何自然数n都成立。

依次把n=1，2，3,...,n-1,n代入止式可得

把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后

只剩下；而前n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是n个1。因而我们得到。

现在这里

对这个结果进行恒等变形可得

移项，合并同类项可得

即

证明2:

设12+ 22 + … + n 2 =An 3+Bn 2+Cn+D,令n=1，2，3，4得关于A ，B ，C 。D 的四元一次方程组，可解得A=C=16 ，B=1

2 ，D=0，再用数学归纳法证明。

证明3:

设f(x)=(1+x)2+ (1+x)3 +… +(1+x)n ,则x 2的系数和为 C 22 + C 23 +… + C 2n

=12 [12+ 22 + … + n 2

]-12 (1+2+… + n) = 12 [12+ 22 + … + n 2]- -1

n(n+1) 又f(x)=(1+x)2-(1+x)n+1

,其中x 2的系数为C 3

n+1 ,于是有

12 [12+ 22 + … + n 2]- -14 n(n+1)= C 3n+1 ，解得 12+ 22 + … + n 2 = n(n+1)(2n+1)

关于自然数平方和的几个模型

归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外，还可以构造模型来证明

示k 个k 之和(图1(1))．旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵(图1(2)、1(3))，每一线段上的数字顺序成等差数列，再重叠三个数阵，则每一点上的数字和为(2n ＋1)．于是

自然数平方和公式

自然数平方和公式推导：

大家都知道自然数前n项和公式：

1+2+...+n=n(n+1)/2。

它的推导方法很简单，就是利用所谓的倒序相加法（据传德国大数学家高斯在其读小学的时候就已经独自想出这一方法）。

令Sn=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n

则Sn=n+(n-2)+(n-1)+...+3+2+1

所以

2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+...+[(n -2)+3]+[(n-1)+2]+(n+1) (*)

注意到

1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=...=(n-2)+3=(n-1) +2=n+1

也就是说（*）式右边每一项均等于n+1，一共有n项，因此有2Sn=n(n+1)，所以

Sn=n(n+1)/2。

即：1+2+...+n=n(n+1)/2。

但是对于自然数前n项的平方和公式，恐怕很多朋友就不是很清楚了，现在推导如下。

首先回顾一个重要公式，两个数的和的立方展开式

(a+b)^3=a^3+3*(a^2)*b+3*a*(b^2)+b^3 所以：(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1

2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2+3*1+1

3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2+3*2+1

4^3=(3+1)^3=3^3+3*3^2+3*3+1

......

(n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1

等式左右两边相加得，消掉相同的立方项得：

(n+1)^3=1^3+3*(1^2+2^2+...+n^2)+3*(1+ 2+...+n)+n

令Sn=1^2+2^2+...+n^2，则

连续自然数平方和公式推导

推导连续自然数数平方和公式有多种方法，今天我们主要用代数法和三角形数阵图法来推导连续自然数求和公式。

代数法推导过程：

用代数法推导连续自然数求和公式，我们需要知道以下两个公式。

（1）连续自然数求和公式：

这个公式很容易可以证明，就不再赘述。

(2)整数列项公式：

对于这个公式，我们可以对每一项作如下拆分。比如3✖️4=（3✖️4✖️5-2✖️3✖️4）➗3

3✖️4后面加一个因数5扩大5倍，前面加一个因数2扩大2倍，作减法后扩大3倍，因此后面除以3。然后把每一项都作上述拆分并相加，相加后几乎所有项都可以抵消，只剩最小的第一项和最大的最后

一项，因为第一项是0✖️1✖️2=0，因此省略。得如上公式形式。

上述从1✖️2开始的整数列项如果用语言表述，就是最后一项后边添一项，然后再除以3.

（3）推导过程：

把每个平方数拆为两数相乘形式，并把其中一个因数写成一个数减1的形式，或一个数加1的形式。比如3✖️3=3✖️（4-1）或3✖️3=3✖️（2+1）。这两种形式选一种即可。我们选择相减，拆分后如下。

1×(2-1)+2×(3-1)+3×(4-1)+…+n×[(n+1)-1]

然后再把括号展开变为如下形式

1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)-(1+2+3+4+…+ n)

然后按照上面所讲的整数裂项公式和连续自然数求和公式求得结果如下

最后通分相减得出公式：这个就是连续自然数求和公式的结果

数阵图法推导过程

看如下三角形数阵图

这个数阵图每一行的和刚好是该行数字的平方，比如倒数第2行，2个2就是2的平方。因此这个数阵图的所有数字和就是从1开始的连续自然数平方和。

自然数的平方和公式推导

自然数的平方和，也叫特殊等差数列前n项和，是数学中经常用到的一种求和公式，它是指两两相邻的自然数的平方之和。它被广泛的应用于很多领域，比如建筑物的图形推导、数学建模等。本文将以自然数的平方和公式推导为标题，主要介绍它的推导过程及运用。

首先，自然数的平方和公式是指两两相邻的自然数的平方之和，即n (n+1) (2n+1) / 6.其中n为自然数，即1、2、3、4、5……由

此可见，它是一种特殊的等差数列前n项和。

为了更好地认识自然数的平方和公式，我们可以通过推导来看一下。以n=5为例，开始推导：5的平方和为1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2，即1 + 4 + 9 + 16 + 25，也就是55；继续使用公式，n (n+1) (2n+1) / 6，把n的值设置为5，那么此时公式为：5 (5+1) (2*5+1) / 6，即5*6*11/6，于是我们就得到了结果55，也就是我们自己推导出来的结果，验证了公式的正确性。

推导完毕之后，我们可以看一下自然数的平方和公式的实际应用。自然数的平方和公式在数学建模中有着重要的作用，可以用于求解各种抽象问题，比如各种几何图形和函数的构成，或者研究建筑物图形推导时，它可以极大提高建筑物推导的准确性。此外，它也可以在计算机程序的设计中用到，计算机程序就是通过自然数的平方和公式来计算结果，从而快速准确地完成任务。

最后，我们来总结一下自然数的平方和公式推导。自然数的平方和公式是指两两相邻的自然数的平方之和，做推导时可以将n的值设

【推荐下载】平方和的计算公式是怎样的

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平方和的计算公式是怎样的

平方和的计算公司为：n(n+1)(2n+1)/6。平方和是一个比较常见计算公司，是用于解多个连续的自然数的平方和，常被用于求解有关平方数的数学问题，所得出来的结果也被成为是“四角锥数”或“金字塔数”，也被称之为正方形数的级数。

平方和的计算在当今的数学领域中是极其重要的，可以通过多个方面来计算出结果，在Excel表格中也能够计算出结果。那么平方和的计算公式是怎样的，以及如何应用Excel计算平方和，各位是否了解呢?现在我们一起来看看吧。

一、平方和的计算公式是怎样的

平方和的计算公司为：n(n+1)(2n+1)/6。平方和是一个比较常见计算公司，是用于解多个连续的自然数的平方和，常被用于求解有关平方数的数学问题，所得出来的结果也被成为是四角锥数或金字塔数，也被称之为正方形数的级数。

二、如何应用Excel计算平方和

1、通过一个简单的例子，来了解下，如何使用Excel的使用方法。首先，根据下面这张表格，在D2列的这个框框里，输入一个等于号，这是代表输入函数的标志。

2、接着，还是在D2这个框框中，在等于号的后边继续操作，输入英文sumsq,然后系统就会在英文的正下方跳出一个相关的函数，这时只需要双击点击就可以了。

3、当一切都准备好之后，就差不多完成了，这时只需要用鼠标选中求和的那一栏，在表格中，就会出现以下的现象，在D2这个框框中会跳出=SUMSQ(A2：C2这样的字样。

4、在出现=SUMSQ(A2：C2这样的字样之后，在按下回车键，这时系统就会自动计算出结果，并将结果显示于D2框框之中。若是还要计算出下面几行的平方和，只需按住D2往下拉，就可以了。另外，直接在框框内输入SUMSQ(2，3)，也能出结果哦。关于平方和的计算公式是怎样的，以及如何应用Excel计算平方和，就先介绍到这里

自然数平方和的求和公式

自然数平方和的求和公式是指将自然数的平方相加的公式。这个公式在数学中有着重要的应用和意义，可以帮助我们计算出自然数平方和的值。本文将介绍自然数平方和的求和公式的推导过程和应用场景。

让我们来看一下自然数平方和的具体形式。自然数平方和可以表示为：

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2

其中，n代表自然数的最大值。为了方便计算，我们可以用符号∑来表示求和，于是自然数平方和的公式可以进一步简化为：

∑(n^2)

接下来，让我们来推导一下自然数平方和的求和公式。我们可以利用数学归纳法来证明这个公式的正确性。首先，我们可以验证n=1时公式成立，即1^2=1。接着，假设当n=k时，公式也成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。那么当n=k+1时，我们需要证明1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (k+1)^2 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6。

我们可以将1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (k+1)^2拆分成两部分，即(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2) + (k+1)^2。根据我们的假设，前一部分可以表示为k(k+1)(2k+1)/6，而后一部分可以表示为

(k+1)^2。将这两部分相加，我们得到了1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (k+1)^2的表达式。

接着，我们对1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + (k+1)^2进行化简：

(k(k+1)(2k+1)/6) + (k+1)^2