高中数学空间向量的及其运算

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高二空间向量法知识点梳理

高二空间向量法知识点梳理介绍：在高中数学中，空间向量法是一个重要的概念。

它为我们解决空间中的几何问题提供了一个有力的工具。

本文将对高二空间向量法的知识点进行梳理和总结，以帮助读者更好地理解和运用这一方法。

一、向量及其运算1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。

2. 向量的表示方法：可以用坐标表示，也可以用字母表示。

3. 向量的运算：包括加法、减法和数乘。

4. 向量的性质：零向量、单位向量等。

二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模表示向量的长度，可以通过勾股定理求得。

2. 向量的方向角：向量的方向角是指与某一基准轴之间的夹角。

三、向量的共线与垂直1. 向量共线的判定：如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们共线。

2. 向量垂直的判定：如果两个向量的内积为0，则它们垂直。

四、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：可以通过平面上一点和法向量表示。

2. 直线的向量方程：可以通过直线上一点和方向向量表示。

五、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：也称为内积，表示两个向量之间的相似程度。

2. 向量的数量积的性质：包括交换律、分配律等。

3. 向量的向量积：也称为叉乘，表示两个向量所确定的平行四边形的面积与方向。

4. 向量的向量积的性质：包括分配律、反交换律等。

六、空间向量的线性运算与共面问题1. 空间向量的线性运算：包括向量的线性组合和线性相关性。

2. 共面向量的判定：如果三个向量在同一平面内，则它们共面。

七、空间直线与平面的位置关系1. 空间直线与平面的位置关系：包括平行、垂直和相交等情况。

总结：空间向量法是解决几何问题的重要方法，具有广泛的应用范围。

通过对高二空间向量法知识点的梳理和总结，我们可以更好地掌握和运用这一方法。

希望本文对你在学习空间向量法时有所帮助！。

空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。

下面是空间向量知识点的归纳总结：1.空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。

2.空间向量的运算：(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和结合律。

(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满足分配律。

(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。

(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。

3.空间向量的基本性质：(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量本身。

(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。

(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。

(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。

4.空间向量的共线与异面：(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。

(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。

(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。

5.空间向量的投影：(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。

(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。

(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。

6.空间向量的表示：(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。

(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。

(3)坐标：一个向量可以用它在基底向量上的投影的值表示。

7.空间向量的几何意义：(1)位移向量：两点之间的位移可以用一个向量表示。

(2)向量的数量积：两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量的方向上的投影乘以另一个向量的长度。

(3)向量的矢量积：两个向量的矢量积的大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面。

高考空间向量知识点总结

高考空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要概念之一，也是高考中常考的知识点。

掌握好空间向量的相关知识对于解题和理解几何概念都非常重要。

本文将为您总结高考空间向量的相关知识点，帮助您更好地备考高考。

一、空间向量的定义和表示方法空间向量是有大小和方向的量，通常用有序三元组表示。

设有两点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)，则向量AB可以表示为：AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)二、空间向量的模、方向余弦和共线性1. 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，计算方式为：|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]2. 向量的方向余弦：设向量AB与坐标轴的夹角分别为α、β、γ，则方向余弦分别为：cosα = (x₂-x₁) / |AB|cosβ = (y₂-y₁) / |AB|cosγ = (z₂-z₁) / |AB|3. 向量的共线性：若两个向量平行或反向平行，则称其共线。

当两个向量的坐标比例相等时，它们共线。

三、空间向量的运算1. 向量的加法：设有两个向量AB和CD，其和可以表示为：AB + CD = (x₂-x₁+x₄-x₃, y₂-y₁+y₄-y₃, z₂-z₁+z₄-z₃)2. 向量的数量乘法：设有一个向量AB和实数k，其数量乘积为：kAB = (kx, ky, kz)，其中x, y, z分别为向量AB的坐标3. 向量的点乘和叉乘：(1) 点乘：设有两个向量AB和CD，其点乘结果为：AB · CD = |AB||CD|cosθ，其中θ为两个向量夹角的余弦值(2) 叉乘：设有两个向量AB和CD，其叉乘结果为：AB × CD = (i, j, k)，其中i表示x轴分量，j表示y轴分量，k表示z 轴分量四、空间向量的应用1. 向量在平面内的投影：设有一个向量AB和平面α，向量AB在平面α上的投影为向量AC，计算公式为：AC = |AB|cosθ，其中θ为向量AB与平面α的夹角的余弦值2. 平面的方程：设平面α过点A(x₁,y₁,z₁)且法向量为n(a,b,c)，则平面α的方程为：ax + by + cz = d，其中d = ax₁ + by₁ + cz₁3. 空间向量的夹角：设有两个向量AB和CD，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (AB · CD) / (|AB||CD|)五、空间向量的坐标表示和平行四边形法则1. 坐标表示：空间中的向量可以通过坐标表示，即将向量的尾点移到坐标原点，将向量的起点坐标作为表示该向量的坐标。

高中数学 2空间向量与立体几何(带答案)

空间向量与立体几何一．空间向量及其运算1．空间向量及有关概念（1）共线向量定理：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

a 平行于b 记作a ∥b。

推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式 A O P O =a t+①其中向量a叫做直线l 的方向向量。

在l 上取a AB =，则①式可化为.)1(OB t OA t OP +-=②当21=t 时，点P 是线段AB 的中点，则 ).(21OB OA OP += ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB 的中点公式。

（2）向量与平面平行：如果表示向量a 的有向线段所在直线与平面α平行或a在α平面内，我们就说向量a 平行于平面α，记作a ∥α。

注意：向量a∥α与直线a ∥α的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y ，使.b y a x p+=①推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y ，使,MB y MA x MP +=④或对空间任一定点O ，有.MB y MA x OM OP ++=⑤在平面MAB 内，点P 对应的实数对（x, y ）是唯一的。

①式叫做平面MAB 的向量表示式。

又∵.,OM OA MA -=.,OM OB MB -=代入⑤，整理得.)1(OB y OA x OM y x OP ++--= ⑥由于对于空间任意一点P ，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P 就在平面MAB 内；对于平面MAB 内的任意一点P ，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量MA 、MB （或不共线三点M 、A 、B ）确定的空间平面的向量参数方程，也是M 、A 、B 、P 四点共面的充要条件。

高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳

高中数学中的空间向量应用重点知识点归纳在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的概念，它在几何问题的解决中具有广泛的应用。

本文将对高中数学中的空间向量应用的重点知识点进行归纳，帮助同学们更好地理解和掌握相关内容。

一、基本概念1. 空间向量的定义：空间向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2. 空间向量的表示：空间向量可以用坐标表示，也可以用位置矢量表示，其中位置矢量由起点和终点确定。

3. 零向量：零向量是长度为0，方向任意的特殊向量，用0表示。

4. 相等向量：具有相同大小和方向的向量称为相等向量，记作→AB = →CD。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量，具有平行四边形法则和三角形法则两种运算法则。

2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量，可利用向量加法实现。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘得到一个新的向量。

4. 点乘：点乘又称为数量积或内积，表示为A·B，结果是一个实数。

点乘有几何意义和代数意义，具有交换律和分配律等运算规则。

5. 叉乘：叉乘又称为向量积或外积，表示为A×B，结果是一个向量。

叉乘有几何意义和代数意义，具有反交换律和满足叉乘的运算规则。

三、空间向量的应用1. 直线的方程：通过两个不共线的点可以确定一条直线，可以利用向量求解直线的方程。

2. 平面的方程：通过三个不共线的点可以确定一个平面，可以利用向量求解平面的方程。

3. 点到直线的距离：点到直线的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到直线的最短距离问题。

4. 点到平面的距离：点到平面的距离可以通过向量的投影求得，利用这一点可以解决点到平面的最短距离问题。

5. 直线的位置关系：通过向量的共线性可以判断直线的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。

6. 平面的位置关系：通过向量的共面性可以判断平面的位置关系，包括相交、平行和重合等情况。

高考空间向量知识点

高考空间向量知识点空间向量是高考数学中的重要内容之一。

本文将围绕空间向量的定义、向量的共线性与共面性、向量的线性运算以及向量的数量积等知识点展开详细论述。

一、空间向量的定义空间向量是具有大小和方向的有向线段，可以表示为A→。

空间中的向量通常用坐标表示，比如向量A可以表示为(A₀, A₁, A₂)，其中A₀、A₁、A₂分别表示向量A在x、y、z轴上的投影。

二、向量的共线性与共面性1. 共线性空间中的三个向量A→、B→、C→共线的条件是存在实数k₁、k₂，使得A→=k₁B→+k₂C→成立。

此时，向量A、B、C共线。

2. 共面性空间中的四个向量A→、B→、C→、D→共面的条件是存在实数k₁、k₂、k₃，使得A→=k₁B→+k₂C→+k₃D→成立。

此时，向量A、B、C、D共面。

三、向量的线性运算1. 向量的加法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→+B→=(A₀+B₀, A₁+B₁, A₂+B₂)。

2. 向量的减法设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和B→(B₀, B₁, B₂)，则A→-B→=(A₀-B₀, A₁-B₁, A₂-B₂)。

3. 向量的数乘设有向量A→(A₀, A₁, A₂)和实数k，则kA→=(kA₀, kA₁, kA₂)。

四、向量的数量积1. 定义向量A→(A₀, A₁, A₂)和向量B→(B₀, B₁, B₂)的数量积记为A→·B→=A₀B₀+A₁B₁+A₂B₂。

数量积是一种标量。

2. 性质(1) A→·B→=B→·A→；即数量积的交换律成立。

(2) A→·(B→+C→)=A→·B→+A→·C→；即数量积的分配律成立。

(3) k(A→·B→)=(kA→)·B→=A→·(kB→)；即数量积的数乘性质成立。

五、空间向量的应用1. 三角关系的解题空间向量可以用于解决三角关系的几何问题。

2.2空间向量及其运算(1)

2.2空间向量及其运算（1）一、课程标准经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

二、教学目标1.理解空间向量的概念。

2.掌握空间向量的线性运算。

3.掌握共线向量定理及其应用。

三、内容与学情分析本节课是高中数学选择性必修第二册《第2章空间向量与立体几何》的第2课《空间向量及其运算》第1课时，介绍空间向量的基本概念，空间向量的加减法，向量与实数相乘等部分内容。

本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。

本小节的主要内容可分为两部分，一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。

空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始章节，是在学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。

四、教学重难点重点：空间向量的有关概念，掌握空间向量的线性运算，掌握共线向量定理，掌握共线向量定理及其应用。

难点：理解空间向量的概念，掌握共线向量定理及其应用。

五、教学过程设计（一）情景引入国庆期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？（二）新知探究思考1：基本概念的类比a，ABa，|AB|方向相同且长度相等方向相反且长度相等的向量思考2：线性运算法则的类比ka（k为正数，负数，零）思考3：运算律的类比加法交换律 a b b a +=+加法结合律 ()()a b c a b c ++=++向量加法分配律和实数加法的分配律()a b a b λλλ+=+ 1212+a a a λλλλ=+（）结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量；结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。

高中数学必修知识点空间向量知识点

高中数学必修知识点空间向量知识点在高中数学的学习中，空间向量是一个重要的知识点，它为我们解决空间几何问题提供了全新的思路和方法。

接下来，就让我们一起深入了解一下空间向量的相关知识。

一、空间向量的基本概念空间向量是指具有大小和方向的量。

它与平面向量类似，但存在于三维空间中。

一个空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，若向量的起点坐标为\（（x_1,y_1,z_1)＼），终点坐标为\（（x_2,y_2,z_2)＼），则该向量的坐标为\（（x_2 x_1, y_2 y_1, z_2 z_1)＼）。

零向量：长度为\（0\）的向量，其方向任意。

单位向量：长度为\（1\）的向量。

二、空间向量的运算1、加法和减法空间向量的加法和减法运算遵循三角形法则和平行四边形法则。

若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b} ＝（x_1 ＋ x_2, y_1 ＋ y_2, z_1 ＋ z_2)＼），＼（＼overrightarrow{a} ＼overrightarrow{b} ＝（x_1 x_2, y_1 y_2, z_1z_2)＼）2、数乘运算若\（＼lambda\）为实数，＼（＼overrightarrow{a} ＝（x,y,z)＼），则\（＼lambda\overrightarrow{a} ＝（＼lambda x, ＼lambda y, ＼lambda z)＼）数乘运算的规律：＼（＼lambda （＼overrightarrow{a} ＋＼overrightarrow{b}）＝＼lambda\overrightarrow{a} ＋＼lambda\overrightarrow{b}＼）3、数量积空间向量的数量积\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼cos ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼）若\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1,y_1,z_1)＼），＼（＼overrightarrow{b} ＝（x_2,y_2,z_2)＼），则\（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ x_1x_2 ＋ y_1y_2 ＋ z_1z_2\）数量积的性质：＼（＼overrightarrow{a} ＼perp ＼overrightarrow{b} ＼Leftrightarrow ＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{b} ＝ 0\）＼（＼overrightarrow{a} ＼cdot ＼overrightarrow{a} ＝｜＼overrightarrow{a}｜＾2\）4、向量积空间向量的向量积\（＼overrightarrow{a} ＼times ＼overrightarrow{b}＼）是一个向量，其模长为\（｜＼overrightarrow{a}｜｜＼overrightarrow{b}｜＼sin ＜＼overrightarrow{a}，＼overrightarrow{b}＞＼），方向垂直于\（＼overrightarrow{a}＼）和\（＼overrightarrow{b}＼）所确定的平面，遵循右手定则。

空间向量的基本概念与运算(理)-高中数学专题复习

空间向量的基本概念及运算知识精要1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

空间向量及其线性运算(25张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册

0 AC
9.空间向量共面的充要条件如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面→存在唯一的有序实数对(x,y), 使p=xa+yb
A 、B、P 三点共线< →AP= tA一 OP=OA+tABOP 十(x+J=1)
P与A,B,C共面一 AP=xAB+yAC一 OP=OA+xAB+yAC
λ(@+b)=Aa+Ab
a 十h 十C
三、例题精析[例1]已知平行六面体AC’, 求证：AC+AB'+AD'=2ACD
B'B
A
6.向量共线定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a//b一存在实数入，使a=λb。
7.直线的方向向量O是直线l 上一点，在直线上取非零向量a, 则对于直线上任意一点P, 由数乘向量的定义与向量共线的充要条件知，存在实数λ,使OP=λa。
(x+J=1) x+y+z=1)
A 、B 、P三点共线
OP=OA+tAB
例 2J 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点 0作射线OA 、OB 、OC 、OD,在四条射线上分别取点E、F、
求证：四点E、F、G、H 共面
G、H, 并平行的非零向量称为直线/的方向向量，I 上任意一点都可以由直线1上的一点和它的方向向量表示，即直线可由其上一点和它的方
向向量确定。
8.共面向量如果表示向量a的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线1,如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α。平行于同一个平面的向量，叫共面向量。
(2)空间向量的数乘运算：当λ>0时，当 A<0 时，当λ=0时，A7=0

高中数学第三章空间向量与立体几何1空间向量及其运算1空间向量及其加减法2课件新人教A版选修2

于平面MAB内的充要条件是存在有序实数
论
对(x，y)，使 MP
＝ x MA＋y MB ，
或对空间任意一点O
若在l上取 AB ＝a，则①式可化来说，有 OP ＝OM
为
OP＝ OA ＋t AB.
＋xMA＋ y MB .
小结
1.λa是一个向量.当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 2.平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立． 3.共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．
4.直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
5.共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来.另外，还可以用OP ＝xOA＋yOB＋zOC ，且 x ＋y＋z＝1 判断 P,A,B,C 四点共面．
跟踪训练
5．在下列条件中，使 M 与 A,B,C 一定共面的是( ) A．OM ＝3OA－2OB－OC B．OM ＋OA＋OB＋OC ＝0 C． MA＋ MB＋ MC ＝0 D．OM ＝14OB－OA＋12OC 解析：∵ MA＋ MB＋ MC ＝0， ∴ MA＝－ MB－ MC ， ∴M 与 A,B,C 必共面．
DF ＝－CF
②
将②代入①中，两式相加得 2 EF ＝ AD＋ BC .
所以 EF ＝12 AD＋12BC ，即 EF 与 BC , AD共面．
[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数 x，y 使向量 EF ＝x AD＋yBC 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用 AD, BC 表示 EF .

空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册

C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解析：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与向量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：

2025版新教材高中数学第1章空间向量及其线性运算课件新人教A版选择性必修第一册

②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b； ③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，模与A→A1的模相等的向量一共有 4 个．
其中不正确的命题的个数是( C )
A．1
B．2
(2)方法一(转化为加法运算) (A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D ＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D ＝A→B＋B→D＋D→C＋C→A＝0. 方法二(转化为减法运算) (A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝(A→B－A→C)＋(B→D－C→D) ＝C→B＋B→C＝0.
提示：(1)三条直线不一定在同一平面内． (2)当M→A与M→B共线，M→P与M→A不共线时，x，y 不存在． (3)由 2a－b＝2·a＋(－1)·b 得 2a－b 与 a，b 共面．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
空间向量及相关概念的理解
1．给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；
C．3
D．4
[解析] 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，它们的起点和终点均不一定相同，故①错；模相
等的两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错；根据正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，向量A→C与A→1C1的方向相同，模也相等，必有A→C＝A→1C1，故③正确；命题④显然正确；在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，与A→A1的模一定相等的向量是A→1A，B→B1，B→1B，C→C1，C→1C，一共有 5 个．故⑤错．
[规律方法] 证明空间三点共线的三种思路对于空间三点 P、A、B 可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数 λ，使P→A＝λP→B成立． (2)对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R)． (3)对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1)．

高中数学空间向量的相关概念及解答方法

高中数学空间向量的相关概念及解答方法一、引言空间向量是高中数学中的重要概念之一，它是描述空间中点的位置和方向的工具。

在解题过程中，我们常常会遇到与空间向量相关的问题。

本文将介绍空间向量的相关概念，并提供解答方法和技巧，帮助高中学生更好地理解和应用空间向量。

二、基本概念1. 空间向量的定义空间中的向量是由起点和终点确定的有向线段，它具有大小和方向。

我们可以用字母加上箭头来表示一个空间向量，如AB→表示从点A到点B的向量。

2. 向量的模与方向角向量的模表示向量的长度，用|AB→|表示。

方向角是向量与坐标轴正方向之间的夹角，通常用α表示。

3. 向量的加法与减法向量的加法是指将两个向量的起点相连，构成一个新的向量。

向量的减法是指用一个向量的终点减去另一个向量的起点，得到一个新的向量。

4. 向量的数量积与向量积向量的数量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

向量的向量积是指两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积。

三、解答方法与技巧1. 利用向量的平行关系当两个向量平行时，它们的方向角相等或互补。

利用这一性质，我们可以通过已知向量的方向角来求解未知向量的方向角。

例如，已知向量AB→与向量CD→平行，且α为AB→的方向角，β为CD→的方向角。

我们可以得到α=β或α+β=180°。

利用这一关系，我们可以求解未知向量的方向角。

2. 利用向量的共线关系当三个或多个向量共线时，它们的数量积为0。

利用这一性质，我们可以通过已知向量的数量积来求解未知向量的模或方向角。

例如，已知向量AB→与向量CD→共线，且|AB→|=a，|CD→|=b，α为AB→与CD→的夹角。

根据共线向量的性质，我们有a·b·cosα=0。

利用这一关系，我们可以求解未知向量的模或方向角。

3. 利用向量的垂直关系当两个向量垂直时，它们的数量积为0。

利用这一性质，我们可以通过已知向量的数量积来求解未知向量的模或方向角。

高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件

(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由其上一点和它的方向向量确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的非零向量称为直线 l 的方向向量．

高中数学第1部分第3章3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算讲义含解析苏教版选修2_1

3．1.1 空间向量及其线性运算[对应学生用书P48]春节期间，我国南方遭受了寒潮袭击，大风降温天气频发，已知某人某天骑车以a km/h 的速度向东行驶，感到风是从正北方向吹来．问题：某人骑车的速度和风速是空间向量吗？提示：是．1．空间向量(1)定义：在空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量．(2)表示方法：空间向量用有向线段表示，并且空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．2．相等向量凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量.问题1：如何进行平面向量的加法、减法及数乘运算．提示：利用平行四边形法则、三角形法则等．问题2：平面向量的加法及数乘向量满足哪些运算律？提示：交换律、结合律、分配律．1．空间向量的加减运算和数乘运算＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，＝λa(λ∈R)．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R).空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在惟一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．1．共线向量或平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．向量a与b平行，记作a∥b.规定，零向量与任何向量共线．2．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.1．空间向量的加法满足平行四边形和三角形法则．2．空间向量的数乘运算是线性运算的一种，结果仍是一个向量，方向取决于λ的正负，模为原向量模的|λ|倍．3．两向量共线，两向量所在的直线不一定共线，可能平行．[对应学生用书P49][例1] 下列四个命题：(1)所有的单位向量都相等；(2)方向相反的两个向量是相反向量；(3)若a、b满足|a|>|b|，且a、b同向，则a>b；(4)零向量没有方向．其中不正确的命题的序号为________．[思路点拨] 根据空间向量的概念进行逐一判断，得出结论．[精解详析] 对于(1)：单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定义，故(1)错；对于(2)：长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(2)错；对于(3)：向量是不能比较大小的，故不正确；对于(4)：零向量有方向，只是没有确定的方向，故(4)错．[答案] (1)(2)(3)(4)[一点通]1．因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．2．对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例而排除或否定相关命题。

空间向量知识点总结

空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。

下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。

一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。

2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。

3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。

4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。

5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。

若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。

6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。

二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。

设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。

2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。

3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。

当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。