二次根式的概念与性质1

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第一讲_二次根式的概念与性质

第十六章二次根式

16.1 二次根式

一、复习

1、什么叫平方根？开平方？

如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，求一个数a 平方根的运算叫做开平方

2、平方根如何表示？

一个非负数a 的平方根可以表示为a ±

3、求下列各数的平方根：

4、求下列各数的正平方根：

（1）4；（2）0.16；（3）925

. （1）225; （2）0.0001；（3）1681. 二、二次根式的意义

1. 二次根式的意义

_根号a,其中a 是被开方数. 做二次根式.。

2．二次根式何时有意义：二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零即：a ≥0

3. 例题

例题1 下列各式是二次根式吗？

2、32、2-、 12+a 、)0(

例题2 设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？

（1）12-x ；（2）x -2；（3）x

1；（4）21x + 4．练习（一）

设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？

（1 （2 （3三、二次根式的性质

性质1a a 2=; 性质2：_________________________;

性质3：______________________; 性质4：________________________________.

例题3 求下列二次根式的值：

（1）2)3(π-；（2）122+-x x ，其中3-=x .

（1

（2

（3

)0x ≥；

（4

（5

（6

0)b > 例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++-

练习（二）：1、化简下列二次根式

二次根式的概念与性质

二次根式的概念和性质

学习目标

1．理解二次根式的概念；理解a 有意义的条件，会根据二次根式有意义的条件求被开方数中字母的取值范围.

2．理解二次根式的基本性质，知道等式成立的条件；会利用二次根式的性质化简二次根式.

3．经历归纳等式a a =2的过程，体会数学知识之间的联系及其表达性质的转换.

内容剖析

知识点一二次根式的概念

在实数这一章，我们学习了开平方运算.当0≥a 时，a 表示a 的一个平方根.把它看成由平方根号“

”与a 所组成的式子时，这是一个代数式.

由此得出：代数式)0(≥a a 叫做二次根式.仍读作“根号a ”，其中a 是被开方数. 例如：3、5

、12+a 、)04(422≥--ac b ac b 、

)2(21>-x x 等，都是二次根式.

在实数范围内，负数没有平方根，所以如3-、)0(<b b 这样的式子没有意义. 所以a 有意义的条件是0≥a .

当a 是实数时，下列各式中哪些是二次根式？

22+a 、2a 、a 、5+a 、12-a 、

a 、2)2(-a

当x 取何值时，下列各式有意义？

12-x ；（2）x 32-；（3）x x -+；（4）

+x . 例1 例2

知识点二二次根式的性质1、2

我们在平方根的学习中，根据开平方与平方互为逆运算的关系，得到下列等式.现在把这两个等式作为二次根式的性质：

性质1 )0(2≥=a a

a 性质2

())0(2

≥=a a

当a 为实数时，2a 与a 有什么关系？试填写下表：

32-

0 32 1 3 2a

一般来说，由2

二次根式的概念和性质

①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x1 (2) 3x x0
(3) 4x2x为全体实数 (4) 1 x0
x
(5) x3 x0
(7)
1
a
1
1 2a 2
1 (6) x2 (8) 3 x
| x | 4
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
解：(1) (3 )2 |3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x 2 2 x1 (x1 )2 |x1 |
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x 2 2 x11x1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 11 3
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a |
≥０
a2
a b 0 a 0,b 0 a | b| 0 a 0,b 0 a2 | b| 0 a 0,b 0 ......
式
两个公式
2、
a b
a b
(a0,b0)
四种运算
加、减、乘、除
题型：最简二次根式：
１、被开方数不含分数；
２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；
注意：分母中不含二次根式。
练习1：把下列各式化为最简二次根

二次根式的概念和性质 (1)

二次根式的概念和性质

教学目标:理解二次根式的概念，会运用二次根式的性质进行运用

知识与技能:

了解二次根式的概念和二次根式的性质

1、过程与方法:

在学生原有的知识基础上，经历知识

产生的过程，探索新知识。

2、通过计算，观察，猜想，归纳总结的

过程得到二次根式的性质。

情感态度与价值观:

激发学生应用数学的热情，培养学生主

动探索，敢于实践，善于发现的科学的

精神以及合作精神，树立创新意思。

第一环节:创设情境，引入新课:

活动内容，求出下列各值:

(1)在一个直角三角形行中，两条直角边

的长度分别是1，2，那么斜边的长度是多少?

(2)学校有一个正方形的花坛面积是11.则它的边长是多少？

练一练:1、请指出下列哪些是二次根式

(1、5 (2)√3 (3)3/21 (4)、(≥ 0)(5)√a-2a≥2(6)a-b(a<6)(7)3/5m2(8x+1

2、当x____时，二次根式在实数范围内有意义。

介绍二次根式的概念:

一般地，式子a(a≥0)叫做二次根式。a叫做被开方数

课堂小结:什么是二次根式以及二次根式有无意义的条件是什么？布置作业

习题2.9必做题:第1、2题

选做题:第3、4题

二次根式的概念和性质

二次根式的概念和性质
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它0；负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
2、 a 表示什么？表示非负数a的算术平方根
解：(1) (3 )2 |3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x2 2x1 (x1)2 |x1|
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０)
|a |
2
思考： a 1 是不是二次根式?
不是,它是二次根式的代数式.
形如 a (a 0 ) 的式子叫做二次根式 .
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？解：由 x -1 ≥ 0 ，得 x ≥ 1 。
问：将式子 x -1 改为 1 -x ，则字母 x 的取值必须满足什么条件呢？

第一讲——二次根式的概念及性质

第一讲——二次根式的概念及其性质

知识导航与知识总结

本节主要涉及以前学过的知识有：算术平方根，不等式，去绝对值等

知识点一：二次根式的概念形如a )0(≥a 的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以)0(≥a 是a 为二次根式的前提条件，如6﹑ 2x ﹑

)01-≥x x （等是二次根式，而5﹣，2-2x ﹣等都不是二次根式。知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当)0(≥a 时，a 有意义，所以只要使被开方数。

二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当时，a 没有意义知识点三：二次根式a )0(≥a 的非负性

a )0(≥a 表示a 的算术平方根，也就是说，a )0(≥a 是一个非负数，即0≥a )0(≥a —— 双重非负性

注：这个性质和、类似知识点四：二次根式（a ）2

的性质

（1）（a ）2=a )0(≥a （逆用平方根得来）

文字语言叙述为：（2）⎩⎨⎧≥)

0(-)0(2＜＝＝a a a a a a 文字语言叙述为：。注：化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简知识点五：2)(a 与2a 的异同点

1、不同点：

（1）意义不同。2)(a 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而2a 表示一个实数a 的平

方的算术平方根；

（2）a 的取值范围不同。2)(a 在中)0(≥a ，而2a 中a 可以是正实数，0，负实数。

（3）运算结果不同。)0()(2≥a a a ＝，而⎩⎨⎧≥)

沪教版数学八年级上册16.1《二次根式的概念与性质》(第1课时)教学设计

沪教版数学八年级上册16.1《二次根式的概念与性质》（第1课时）教学设计

一. 教材分析

《二次根式的概念与性质》是沪教版数学八年级上册第16章的第1节课程。

本节内容主要介绍二次根式的定义、性质及其运算。教材通过生活实例引入二次根式，让学生体会数学与实际的联系，培养学生的数学应用能力。教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握二次根式的基本概念和性质，为后续的二次根式运算打下基础。

二. 学情分析

学生在学习本节内容前，已掌握了实数、分数、有理数等基础知识，具备一定

的逻辑思维能力和运算能力。但对于二次根式这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和生活情境来理解和接受。同时，学生可能对二次根式的性质和运算规律一时难以掌握，需要在教学过程中给予充分的时间和引导。

三. 教学目标

1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。

2.能够对简单的二次根式进行运算。

3.培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点

1.二次根式的概念及其理解。

2.二次根式的性质及其运用。

3.二次根式的运算规律。

五. 教学方法

1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式，让学生感受数学与实际的

联系。

2.引导发现法：教师引导学生发现二次根式的性质和运算规律，培养学

生的自主学习能力。

3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对二次根式概念和性质的理

解。

六. 教学准备

1.教学课件：制作涵盖生活实例、二次根式定义、性质及运算规律的课

件。

2.练习题：准备适量的一次和二次根式运算练习题。

3.教学道具：准备一些实际物品，如直尺、三角板等，用于演示和操作。

二次根式 (一)定义、性质、性质应用

个性化教学辅导教案

教师姓名学生姓名上课时间

学科数学年级教材版本浙教版

课称名称二次根式（一）定义、性质、性质应用

教学目标理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握结论利用它们进行计算和化简教学重点结论及其运用

教学难点利用结论解决具体问题

课堂教学过程知识点一：二次根式的概念

一般地，我们把形如(a≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

理解并掌握下列结论：

，，

并利用它们进行计算和化简．

知识点二：二次根式的性质

1. 非负性：a a()

≥0是一个非负数．

2. ()()

a aa

=≥．

3. a a

a a

≥

⎧

⎨

⎩

()

4. 公式a a

a a

≥

⎧

⎨

⎩

()

与()()

a aa

=≥的区别与联系

（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．

（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．

（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．

5 积的算术平方根的性质：；

6. 商的算术平方根的性质：.

知识点三：代数式

形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、

除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression).

例题解析

类型一：二次根式的概念

例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；

沪教版数学八年级上册16.1《二次根式的概念与性质》(第1课时)教学设计

沪教版数学八年级上册16.1《二次根式的概念与性质》（第1课时）教学设计

一. 教材分析

沪教版数学八年级上册16.1《二次根式的概念与性质》是学生在学习了实数、

分数、代数等知识的基础上，进一步探讨二次根式的基础知识和性质。本节课的内容包括二次根式的定义、性质、运算规则等，旨在让学生理解并掌握二次根式的基本概念和运用方法，为学生后续学习更高级的数学知识打下基础。

二. 学情分析

学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、分数、代数等知识，具备一定的数

学基础。但二次根式作为一个新的概念，对学生来说较为抽象，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。同时，学生对于二次根式的运算规则和性质的推导还需要一定的引导和启发。

三. 教学目标

1.了解二次根式的定义和性质，掌握二次根式的运算规则。

2.培养学生运用二次根式解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点

1.二次根式的定义和性质的理解。

2.二次根式的运算规则的掌握。

3.二次根式在实际问题中的应用。

五. 教学方法

1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生思考和探索，激发学生的学

习兴趣和主动性。

2.使用多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示二次根式

的概念和性质。

3.学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。

4.通过例题和练习题，巩固学生的知识和技能。

六. 教学准备

1.教学PPT和多媒体素材。

2.练习题和答案。

3.教学黑板和粉笔。

七. 教学过程

1.导入（5分钟）

通过一个实际问题引入二次根式的概念，例如：一个正方形的对角线长度为8cm，求这个正方形的面积。

1.二次根式的概念及其性质

x 1且x 2
2 ( x 5)2， 2 x 5 0
x为任意实数
3
3 x ，
3 x 0 x0
4
x，
2
5
x 1 ，
6
2x 1
x2 0
x0
x 1 0
x为任意实数
1 x 2 x 1 0 1 x 0 1 x1 2
4.利用二次根式性质，把下列各式中根号外的因式适当改变后移到
根号内.
2 4 0.2 3.2 (1) 4 0.2
1 1 (2) 8ab 8ab 2ab 2 2
2
y (3) 2 x ( y 0) x
y 2 x 4 xy x
2. x取何值时，下列等式才能成立？
1 2 3 4
( x 8)2 x 8 x2 x x2 x
x8 0 x 8 x 0
x 0
x 0 x 1
( x 1)2 1 x 1 x 0
3. 计算、化简：
1 2
被开方数是非负数，和分式的分母不为零，列
1
3 4x ， 2
1 ， 2x 8
3
x2 ， x3
不等式或不等式组求解.
二次根式 a 的双重非负性的应用：
a 0 (a 0)

二次根式的概念和性质

一、二次根式的概念和性质

二次根式

0a ≥）的式子叫做二次根式.

说明：（1）被开方数是正数或

0；（20a ≥）表示非负数a 的算术平方根. 2.

二次根式的性质：

（10；（2）2(0)a a =≥；（3

(0)

(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

；

（4）当0a ≥

时，2

=二、最简二次根式

最简二次根式

最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：

（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．

说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．

三、二次根式的加减同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减

二次根式

知识点

同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

合并同类二次根式：

(

a b =+ 分母有理化

分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．

互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．

0．

四、二次根式综合运算

二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．

注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义来计算．

二次根式的概念和性质是什么

一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!

二次根式的概念和性质

定义

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的平方根，记作x=。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。

关于二次根式概念，应注意：

被开方数可以是数，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

最简二次根式

最简二次根式条件：

1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;

2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：

1.把带分数或小数化成假分数;

2.把开方数分解成质因数或分解因式;

3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;

4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;

5.约分。

算术平方根

非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

二次根式的性质

1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的

算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣;最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零，即;

3. 负数的.平方根也有两个，它们是共轭的。如负数a的平方根是。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示，如:。

二次根式的概念和性质

引例： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。解： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0，
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解：由 x-2≥ 0，且 x-3≠ 0, 得 x≥ 2 且 x≠ 3。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有
意
义
，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是正数。
二次根式
1.二次根式的概念
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它0；负数没有平方根。
Think 思考
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。