二次根式的概念与性质1
二次根式总结归纳
二次根式总结一、引言二次根式是数学中的一个重要概念，也是初等代数中一个基础的内容。
它在解方程、求根、化简表达式等问题中起着重要作用。
本文将对二次根式进行全面、深入的总结，包括重要观点、关键发现和进一步思考。
二、基本概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，√a有两个实数解；当a为零时，√0=0；当a为负实数时，√a没有实数解。
2. 二次根式的性质•非负实数的平方根仍为非负实数；•平方根具有唯一性，即对于任意非负实数a，√a唯一确定。
3. 二次根式的运算•加减法：对于两个二次根式√a和√b，如果它们的被开方数相同，则可以直接相加或相减；如果被开方数不同，则需要化简后再运算。
•乘法：对于两个二次根式√a和√b，它们的乘积可以化简为√ab。
•除法：对于两个二次根式√a和√b，它们的商可以化简为√a√b =√ab，其中b不能为零。
三、重要观点1. 二次根式的化简化简二次根式是解题中常见的操作。
可以利用平方根的性质，将二次根式化简为最简形式。
√8=√4⋅√2=2√2。
2. 二次根式的应用二次根式在解方程、求根、化简表达式等问题中经常出现。
在解关于x的方程时，可能会遇到形如x2=5的方程，需要求得x=±√5。
3. 二次根式与无理数二次根式通常是无理数。
无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
π和e都是无理数。
而对于正实数a来说，如果其平方不是有理数，则其平方根一定是无理数。
四、关键发现1. 二次根式的图像二次根式的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
图像关于x轴对称。
2. 二次根式的大小比较对于两个非负实数a和b，如果a<b，则√a<√b。
但当a<0时，√a没有实数解。
3. 二次根式的近似值可以使用计算器或牛顿迭代法等方法求得二次根式的近似值。
可以利用牛顿迭代法逼近√2的值。
二次根式的性质
二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。
它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。
一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
这里√称为根号，a称为被开方数。
当然，a可以是一个整数、小数或者分数。
二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。
因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。
2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。
这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。
3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。
当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。
例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。
（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。
两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。
例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。
（3）除法：二次根式可以进行除法运算。
两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。
例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。
4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。
例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。
化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。
（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。
例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。
3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。
这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。
四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。
1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是数学中一个重要的概念，它在代数学和几何学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次根式的概念、计算方法以及其性质。
通过对二次根式的深入理解，读者将能够更好地应用它解决实际问题。
一、二次根式的概念在代数学中，二次根式是指一个被平方的数的根。
普遍形式下，二次根式可以表示为√a，其中a为一个非负实数。
二次根式可以分为有理二次根式和无理二次根式两类。
当a为有理数的平方时，二次根式是一个有理数；当a为无理数的平方时，二次根式是一个无理数。
二、二次根式的计算计算二次根式时，可以运用以下几种常见方法：1. 提取因式法当二次根式的被开方数具有完全平方因式时，可以利用提取因式法进行计算。
例如：√16 = √(4×4) = 42. 合并同类项法当二次根式的被开方数可以分解为多个相同的完全平方数时，可以利用合并同类项法进行计算。
例如：√12 = √(4×3) = 2√33. 分解因式法当二次根式的被开方数不能直接提取完全平方因式时，可以利用分解因式法进行计算。
例如：√20 = √(4×5) = √4×√5 = 2√5三、二次根式的性质二次根式具有以下几个性质：1. 乘法性质：对于任意非负实数a和b，有√(ab) = √a × √b。
2. 除法性质：对于任意非负实数a和b（b≠0），有√(a/b) = √a / √b。
3. 加法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a + √b也是一个二次根式。
例如：√2 + √2 = 2√24. 减法性质：对于任意非负实数a和b，如果√a和√b是二次根式，且它们的被开方数和指数相等，那么√a - √b也是一个二次根式。
例如：√5 - √25. 乘方性质：对于任意非负实数a和整数n（n为奇数），有（√a）^n = a^(n/2)。
例如：（√2）^3 = 2^（3/2）= 2√2四、应用举例二次根式在几何学中有广泛的应用。
二次根式的概念和性质
基础知识1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的算术平方根；另 。
一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.
题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】
【练一练】
4、
5、
6、
7、
题型三积的算数平方根的性质
【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简
【例题精析】
【例15】
【例16】
【例17】
【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
二次根式的概念和性质
2
0.04
0.04
2
( a ) a (a 0)
2
2 2 ( ) 7
2
面积 a
a
a
2 7
1 1 2 ( 2 ) 2 3 3
( 5) 5
2 2 2 ( ) 3 3
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
2
(1 x ) 1 x,则x的取值范围为
2
(
)
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
与 （√ a ） 是一样的吗？ 你的理由是什么，请小组讨论一下。
3.
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为 2；
课堂小结
（2）被开方数必须是非负数。 3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 = a -a |a| ； 。
。
a a
2
例2 计算：
(1)
2
我们已经得到:
根据等式的定义，可得
a
2
a , ( a 0)
a
a , (a 0。 )
2
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写 2 成一个数的平方的形式。如 4= 4 。
试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3=
3 ，
2
二次根式的基本概念
二次根式的基本概念
二次根式是指一个数的平方根形式表示的数，一般形式为√a，其中a为非负实数，称为被开方数。
二次根式中的根号√表示平方根，它是求平方根的数学符号。
二次根式的基本概念包括以下几个方面：
1. 二次根式的定义：二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
2. 被开方数：二次根式中的a被称为被开方数，它表示要进行开方的数。
3. 平方根：二次根式中的√表示平方根，它代表被开方数的非负平方根，即√a的平方等于a。
4. 化简：二次根式的化简是指将二次根式表示为最简形式，即去除根号下的平方因子，并将不能再提取平方根的因子提取出来。
5. 运算规则：二次根式的运算遵循一些规则，如同底数相同就可以直接合并，当两个二次根式相互乘除时，可以将根号下的因子相乘或相除。
二次根式在数学中经常出现，它具有广泛的应用，例如在平面几何中用于求解长度、面积等问题，在代数中用于求解方程、求解二次函数的根等。
掌握二次根式的基本概念能够帮助我们更好地理解和应用相关的数学知识。
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
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二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
二次根式知识点
二次根式知识点一、二次根式的定义二次根式是指具有形式√a的数，其中a为非负实数。
在二次根式中，根号下的数a叫做被开方数。
二、二次根式的性质1. 二次根式的值始终为非负实数，即√a ≥ 0。
2. 二次根式的积仍然是一个二次根式，即√a · √b = √(a·b)。
3. 二次根式的商仍然是一个二次根式，即√a ÷ √b = √(a÷b)，其中b≠ 0。
4. 二次根式的乘方仍然是一个二次根式，即(√a)^n = √(a^n)，其中n为正整数。
5. 二次根式可以与整数运算，即√a + √b = √a + √b。
6. 同类项相加，即a·√b + c·√b = (a+c)·√b。
三、二次根式的化简1. 将二次根式改写成带有平方数因子的形式，如√(a ·b) = √a · √b。
2. 合并同类项，如√a + √a = 2√a。
3. 分解被开方数的因数，如√(a·a·b) = a√b。
4. 有理化分母，如分母有根号，可以将其乘以一个形如√b/√b的式子，使分母变为有理数。
四、二次根式的运算1. 二次根式的加法：将二次根式看作是整体进行运算，合并同类项，如√a + √b = √a + √b。
2. 二次根式的减法：使用减法的性质，将减法改写为加法，如√a -√b = √a + (-√b)。
3. 二次根式的乘法：使用分配律进行展开，合并同类项，如(√a +√b)·(√c + √d)。
4. 二次根式的除法：利用有理化分母将除法转化为乘法，然后进行乘法运算。
五、二次根式的应用1. 二次根式在几何中的应用：例如计算正方形的对角线长度，三角形中的边长等。
2. 二次根式在物理中的应用：例如求解速度、加速度等问题。
3. 二次根式在方程中的应用：例如求解二次方程的根。
六、常见的二次根式1. 2的二次根式约等于1.414，常用符号表示为√2。
二次根式的概念和性质
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
x-2 x-1
有
意
义
，
字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什 么 条 件 ？ x≥2
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
想一想：
10 、
3 -5 、 8
5 3、
(-2)2
a (a＜ 0﹚ 、
a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
二次根式的概念与性质
二次根式一考点、热点回顾1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
4.二次根式的性质：1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a ·b （a≥0，b≥0）；b b aa=（b≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 二 典型例题例1下列各式(1)x21, 1)2(-, 5)3(2+x , 2)3()4(-, 44)5(2+-x x其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x (3)121--x x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ）A ．1) 2)B ．3) 4)C ．1) 3)D ．1) 4) 例4、计算32)2145051183(÷-+的值例5、要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（ ）A.321≤≤x B. 3≤x 且21≠x C.21 ＜x ＜3 D.21 ＜x ≤3例6. 将根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.； B. －； C. －； D.例7. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式 例8、已知x 满足xx x =-+-20112010，那么22010-x 的值为_____________例9、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---三 课后练习一、填空题1．在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个． 2. 当x = 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 3. 化简82-的结果是_____________4. 计算： 若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则_____,______m n ==。
二次根式知识点总结
知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
二次根式的有关概念及性质
二次根式的有关概念及性质一、二次根式的有关概念：1. 二次根式：式子(a>0)叫做二次根式。
2. 最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或I为式。
如卷不是最简二次根式，因被开方数中含仃4是W升得尽方的因数,又如*，刷，仙+方................... 都不是最简二次根式，而万，而，5据,都是最简二次根式。
3. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如卷，很，而就是同类二次根式，因为思=2®,灰=3^,它们与①的被开方数均为2。
4. 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如也与也,a+而与a-而，石而与石'+而，互为有理化因式。
二、二次根式的性质：1. (a>0)是-个非负数,即^>0;2. 非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(石')2=a(a20)；a(a>0)3. 某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即摒'=|a|=〔-角(角〈°)4. 非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即■庵盘•而(a>0,b>0)o5. 非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即(a>0,b>0) o三、例题：例1.X 为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：”3-- （1） （2）摒 +3（3） AI 幻 1 IS（4）J2N + 3 + J- & + 5 （ 5） — 1 （ 6） Jx — 2 + J2 — N分析：这是•组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每•个数学&达式的含义，根据分式 和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于 零。
二次根式的概念和性质
基础知识
1、二次根式的定义：
我们已经知道：每一个正实数有且只有两个平方根，一个记作a，称为a的。
算术平方根；另一个是a
我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数a叫作被开方数.
由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义．
2、二次根式的性质
3、二次根式的积的算数平方根的性质
4、最后的计算结果，具有以下特点：
（1）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）；
（2）被开方数不含分母.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.
注意：①化简二次根式时，最后结果要求被开方数中不含开得尽方的因数.
②化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母.
③今后在化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平
方号以后移到根号外（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）.题型一、二次根式的概念和条件
【例1】
【例2】
【例3】
【例4】
【例5】
【例6】
题型二、二次根式的性质【例7】计算
【例8】
【例9】【练一练】
4、
5、
6、
7、
8、
题型三积的算数平方根的性质【例10】
【例11】
【例12】
【例13】
【例14】
题型四二次根式的化简【例题精析】
【例15】
【例16】【例17】【例18】
【练一练】
4、
5、6、6、
7、。
二次根式的概念
二次根式的概念二次根式是数学中的一个重要概念，通常与平方根有关。
在本文中，我们将深入探讨二次根式的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、二次根式的定义二次根式是指具有如下形式的数学表达式：√a，其中a代表一个非负实数。
√a称为二次根号或平方根，表示满足b²=a的非负实数b。
二次根式可以进一步扩展到包含多个项的复合根式，例如：√(a+b)或√(a-b)。
这些复合根式可以通过符合基本二次根式定义的方法来求解。
二、二次根式的性质1. 非负性质：二次根式的值不会是负数。
因为二次根式的定义要求被开方数是非负实数，所以二次根式的结果也是非负的。
2. 运算性质：二次根式具有一些特殊的运算性质，例如：a) 二次根式的乘法：√a * √b = √(a*b)。
这意味着，二次根式的乘积等于这两个数的乘积的平方根。
b) 二次根式的除法：√a / √b = √(a/b)。
这表示，二次根式的商等于这两个数的商的平方根。
c) 二次根式的化简：对于某些特殊情况，我们可以将一个二次根式化简为更简单的形式，例如√(a²)等于|a|，其中|a|表示a的绝对值。
3. 比较性质：我们可以通过比较两个二次根式的大小。
例如，如果a>b，那么√a>√b。
三、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：二次根式经常出现在几何学的计算中。
例如，计算一个矩形的对角线长度时，我们可以利用二次根式来表示。
2. 物理学：物理学中的许多公式和方程涉及二次根式。
例如，求解自由落体运动中的时间或求解抛物线的轨迹等。
3. 金融学：金融学中的一些复利计算和利率计算也会涉及到二次根式。
例如，计算复利投资的未来价值或计算贷款的月均还款额等。
四、总结二次根式在数学中扮演着重要的角色，其定义、性质和应用都是我们学习数学的基础。
通过本文的介绍，我们希望读者对二次根式有更深入的理解，并能够将其运用到实际问题中。
二次根式
二次根式一、定义1.二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。
说明：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，又可以是一个带有字母的式子，但必须注意a ≥0是a 为二次根式的前提；（3）形如b （a ≥0）的式子也是二次根式b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是分数时，不能写成带分数的形式。
二、性质1.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
（2）（a ）2=a （a ≥0）；即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
（3）==a a 2 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。
2、典型例题例1、如果 是二次根式，那么m,n 应满足的条件是（ ）例2、求下列二次根式中字母的取值范围例3、 - ； =例4、如果a+ =1，那么a 的取值范围是（）。
例5、若化简|1-x|- 的结果是2x-5，则x 的取值范围是（） 例6、要使式子有意义，则M 的取值范围是( )a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；例7、已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）例8、已知a,b为两个连续的整数，且a>则a+b=( )例9、 + =( )例10、=·成立的条件是（）+|x+y-2|=0,则x-y=（）例11、如果=成立，那么（）A. m≥3B. m﹥3C.0≤m≤3D. m≥0例12、已知数a，b=b－a，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b例13、x为何值时，在实数范围内有意义（）A. x>1B. x<0C. x≥1D. x≤0例14、 =3-a,则3与a的大小关系是( )A. 3>aB. 3<aC. 3≥aD. 3≤a例15、如果x<-4，那么|2- |的值是( )A. 4+xB. -xC. -4-xD. x例16、若有意义，则m能取的最小整数值是（）A. m=0B. m=1C. m=2D. m=3三、化简、运算1、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a ≥0，b ≥0）；此法可推广到多个二次根式相乘的情况即 · ·= （a ≥0，b ≥0，c ≥0）b ≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是我们在数学学习过程中常常遇到的一种特殊形式的根式。
在本文中，我们将探讨二次根式的概念以及其重要的性质。
一、二次根式的概念二次根式是指具有“根号下一次方的数”的形式。
具体而言，若a为非负实数，则√a表示其非负平方根，而√(-a)表示其虚数平方根。
因此，二次根式包括了实数根式和虚数根式两种情况。
实数根式的概念是我们初中就已经学习过的，它表示的是可以找到一个非负实数，将其平方得到原始数。
例如，√4=2，√9=3，这些都是实数根式的例子。
虚数根式则是更加复杂一些。
它指的是无法找到一个非负实数来满足平方后得到原始数的情况。
例如，√(-4)=2i，其中i表示虚数单位。
虚数根式在进一步的数学学习中有着重要的应用。
二、二次根式的性质1. 二次根式的有理化：有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的形式。
对于二次根式，我们常常利用有理化的方法将其转化为一个更加简洁的形式。
例如，对于√2，我们可以乘以√2/√2得到2/√2，这样就进行了有理化。
2. 二次根式的运算：二次根式在进行运算时有一些特殊的性质。
首先，根号下的数相同的二次根式可以进行加减运算。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=0。
其次，二次根式可以与有理数进行乘法运算。
例如，2√2*3=6√2，√3*4=4√3。
然而，二次根式的乘法运算并不满足交换律。
即，a√b*b√a不一定等于ab。
3. 二次根式的简化：对于二次根式，我们可以将其进行简化，使其表达更加方便。
例如，对于√8，我们可以简化成2√2。
4. 二次根式的大小比较：在进行大小比较时，二次根式也有一些规律。
如果a和b都是非负实数，则当a<b时，√a<√b；当a>b时，√a>√b；当a=b时，√a=√b。
这些规律在解决不等式问题时有着重要的应用。
结语：通过本文的学习，我们了解了二次根式的概念与性质。
二次根式的概念涵盖了实数根式和虚数根式两种情况，而其性质包括有理化、运算、简化以及大小比较等方面。
二次根式的概念和性质是什么
二次根式的概念和性质是什么二次根式的概念和性质是什么一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
下面是店铺给大家整理的二次根式的概念和性质简介，希望能帮到大家!二次根式的概念和性质定义如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。
即：若，则叫做a的平方根，记作x=。
其中a叫被开方数。
其中正的平方根被称为算术平方根。
关于二次根式概念，应注意：被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一般步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
二次根式的性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣;最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零，即;3. 负数的.平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示，如:。
6. 当a≥0时，;与中a取值范围是整个复平面。
7.[任何一个数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如(a>0) ，(a<0)，(a≥0)，(a<0)。
9.注意：，然后根据绝对值的运算去除绝对值符号。
10.具有双重非负性，即不仅a≥0而且≥0。
二次根式性质与运算
（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】 若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m
2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星 【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n
2 n
(n
1 1)2
(
n 1)2 n
2 n
(n
1 1)2
二次根式的有关概念及性质
二次根式的有关概念及性质二次根式的概念及性质一、二次根式的概念：1.二次根式：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子。
2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
例如，$\sqrt{4}$含有可开得尽方的因数4，不是最简二次根式；而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最简二次根式。
3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。
例如，$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同类二次根式。
4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
例如，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。
二、二次根式的性质：1.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq 0$）。
2.非负数的算术平方根是非负数，即$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq 0$）。
3.某数的平方的算术平方根等于该数的绝对值，即$\sqrt{a^2}=|a|$。
4.非负数的积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$（$a\geq 0,b\geq 0$）。
5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0,b>0$）。
三、例题：例1.求$x$的取值范围，使得以下各式有意义：1) $\frac{1}{\sqrt{6-x}}$；(2) $\sqrt{x^2+3}$；(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$；(4) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$；(5) $\sqrt{4-x^2}$；(6) $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。
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二次根式的概念与性质1一．选择题（共30小题）1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．下列判断正确的是（）A．带根号的式子一定是二次根式B．一定是二次根式C．一定是二次根式D．二次根式的值必定是无理数3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各式中，二次根式有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）A．B．C．D．8．若有意义，则x满足条件是（）A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣39．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣210．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥311．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．12．二次根式中，字母a的取值范围是（）A．a B．a C．a D．a13．使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠214．若式子有意义，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠115．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．16．下列说法正确的个数有（）①代数式的意义是a除以b的商与1的和；②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0；④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2．A．1个B．2个C．3个D．4个17．使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个18．已知实数x、y满足y=﹣2，则y x值是（）A．﹣2B．4C．﹣4D．无法确定19．要使代数式有意义，则下列关于x的描述正确的是（）A．最小值是1B．最大值是1C．最小值是﹣1D．最大值是﹣1 20．如果式子是有意义，那么a的取值范围是（）A．a≥2B．a＞2C．a=2D．a≤1 21．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．任意实数22．下列计算正确的是（）A．﹣|﹣3|=3B．﹣32=9C．D．23．化简等于（）A．B．±C．D．524．二次根式的值是（）A．2017B．﹣2017C．2017或﹣2017D．2017225．下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．26．若=a﹣2，则a与2的大小关系是（）A．a=2B．a＞2C．a≤2D．a≥2 27．等于（）A．8B．﹣8C．2D．﹣228．化简（﹣）2的结果是（）A．±3B．﹣3C．3D．929．给出下列化简①（﹣）2=2：②=2；③=12；④=，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．③④30．=（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）31．已知a≥0时，=a．请你根据这个结论直接填空：（1）=；（2）若x+1=20182+20192，则=．32．化简二次根式a后的结果是33．若=1.2，则a=；若=m，则m=；34．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简：+|a﹣1|=．35．若a＜2，化简+a﹣1=．36．若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+化简为．37．若a＞1，化简的结果是．38．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为．39．化简：2＜x＜4时，﹣=．40．当a＜0，b＞0时．化简：=．二次根式的概念与性质1参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据二次根式的定义即可求出答案．【解答】解：形如的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数，被开方数必须大于或等于0∴④；⑤；⑥是二次根式，故选：C．【点评】本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练运用二次根式的定义，本题属于基础题型．2．下列判断正确的是（）A．带根号的式子一定是二次根式B．一定是二次根式C．一定是二次根式D．二次根式的值必定是无理数【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，故此选项错误；B、，a≥0时，一定是二次根式，故此选项错误；C、一定是二次根式，故此选项正确；D、二次根式的值不一定是无理数，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键．3．下列各式中①；②；③；④；⑤一定是二次根式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得．【解答】解：在①；②；③；④；⑤一定是二次根式的是③④⑤，故选：C．【点评】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．4．下列各式中，二次根式有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项进行判断即可【解答】解：①能满足被开方数为非负数，故①正确；②被开方数为负数，不是二次根式，故②错误；③根指数为3，不是二次根式，故③错误；④x2+2x+1能满足被开方数为非负数，故④正确；综上二次根式有2个，故选：B．【点评】主要考查了二次根式的概念．式子（a≥0）叫二次根式．（a≥0）是一个非负数．5．下列各式中：①；②；③；④．其中，二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：①；②；③；④．二次根式的只有①，故选：A．6．在式子，，，，（x≤0）中，一定是二次根式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】依据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式求解可得．【解答】解：在所列式子中一定是二次根式的是，（x≤0）这2个，故选：B．【点评】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．7．x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，分别计算即可．【解答】解：A，x+3≥0，解得，x≥﹣3，错误；B、x﹣3＞0，解得，x＞3，错误；C、x+3＞0，解得，x＞﹣3，错误；D、x﹣3≥0，解得，x≥3，正确，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．8．若有意义，则x满足条件是（）A．x≥﹣3且x≠1B．x＞﹣3且x≠1C．x≥1D．x≥﹣3【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵有意义，∴x满足条件是：x+3≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥﹣3且x≠1．故选：A．9．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x=2D．x＜﹣2【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，∴2﹣x≥0，x﹣2≥0，解得：x=2．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．10．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≠3B．x＜3C．x＞3D．x≥3【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x﹣3＞0，∴x＞3，故选：C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．11．使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，解得x≥2，在数轴上表示如下：．故选：B．【点评】本题主要考查了二次根式的被开方数是非负数，属于基础题．12．二次根式中，字母a的取值范围是（）A．a B．a C．a D．a【分析】直接利用二次根式的性质分析得出答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴1﹣2a＞0，解得：a＜，故字母a的取值范围是：a＜．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．13．使式子+成立的x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x＞﹣2，且x≠2D．x≥﹣2，且x≠2【分析】先由分式有意义的性质得到：x2﹣4≠0，x≠±2，根据二次根式有意义的条件，得x+2≥0，解答即可求解．【解答】解：由题意得：x2﹣4≠0，∴x≠±2又∵x+2≥0，∴x≥﹣2∴x的取值范围是：x＞﹣2且x≠2．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的性质与分式有意义的性质，解不等式，是基础题．14．若式子有意义，则实数m的取值范围是（）A．m＞﹣2B．m＞﹣2且m≠1C．m≥﹣2D．m≥﹣2且m≠1【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：∴m≥﹣2且m≠1故选：D．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式的条件，本题属于基础题型．15．代数式+中x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】根据被开方数是非负数且分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意，得3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得x≤3且x≠1，在数轴上表示如图，故选：A．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不能为零得出不等式是解题关键．16．下列说法正确的个数有（）①代数式的意义是a除以b的商与1的和；②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0；④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据代数式的意义，二次根式和分式有意义的条件以及科学计数法进行解答．【解答】解：①代数式的意义是a除以b与1的和的商，故错误；②要使y=有意义，则x应该满足x≤3且x≠0，故错误；③当2x﹣1=0时，2xy﹣8x2y+8x3y=2xy（1﹣4x+4x2）=2xy（1﹣2x）2=0，故正确；④地球上的陆地面积约为14900万km2，用科学计数法表示为1.49×108km2，故正确；故选：B．【点评】考查了代数式的意义，二次根式和分式有意义的条件以及科学计数法．科学计数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学计数法．【科学计数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数】．17．使代数式有意义的整数x有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】直接利用二次根式的得出x的取值范围，进而得出整数x的值．【解答】解：∵代数式有意义，∴x+3＞0，3﹣3x≥0，解得：x＞﹣3，x≤1，则﹣3＜x≤1，故代数式有意义的整数x有：﹣2，﹣1，0，1，共4个数．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．18．已知实数x、y满足y=﹣2，则y x值是（）A．﹣2B．4C．﹣4D．无法确定【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值，然后可得到y的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵实数x、y满足y=﹣2，∴x=2，y=﹣2，∴y x=（﹣2）2=4．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．19．要使代数式有意义，则下列关于x的描述正确的是（）A．最小值是1B．最大值是1C．最小值是﹣1D．最大值是﹣1【分析】根据二次根式有意义的条件解答可得．【解答】解：要使代数式有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，所以x有最小值1，故选：A．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数为非负数．20．如果式子是有意义，那么a的取值范围是（）A．a≥2B．a＞2C．a=2D．a≤1【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵式子是有意义，∴a﹣2＞0，解得：a＞2，∴a的取值范围是：a＞2．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．21．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．任意实数【分析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答．【解答】解：依题意得：x2≥0且x≠0．解得x≠0．故选：C．【点评】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．解题时，注意分母不等于零且被开方数是非负数．22．下列计算正确的是（）A．﹣|﹣3|=3B．﹣32=9C．D．【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、﹣|﹣3|=﹣3，故此选项错误；B、﹣32=﹣9，故此选项错误；C、=3，正确；D、=3，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．23．化简等于（）A．B．±C．D．5【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：==．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．24．二次根式的值是（）A．2017B．﹣2017C．2017或﹣2017D．20172【分析】根据=|a|化简可得．【解答】解：=|﹣2017|=2017，故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握=|a|．25．下列各式中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：A、=4，故此选项错误；B、﹣=﹣4，正确；C、=4，故此选项错误；D、=4，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．26．若=a﹣2，则a与2的大小关系是（）A．a=2B．a＞2C．a≤2D．a≥2【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣2≥0，∴a≥2，故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．27．等于（）A．8B．﹣8C．2D．﹣2【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：=8．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握运算法则是解题关键．28．化简（﹣）2的结果是（）A．±3B．﹣3C．3D．9【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【解答】解：原式=3，故选：C．【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．29．给出下列化简①（﹣）2=2：②=2；③=12；④=，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②D．③④【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：①原式=2，故①正确；②原式=2，故②正确；③原式==2，故③错误；④原式==，故④错误；故选：C．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．30．=（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：，故选：D．【点评】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质进行化简．二．填空题（共10小题）31．已知a≥0时，=a．请你根据这个结论直接填空：（1）=3；（2）若x+1=20182+20192，则=4037．【分析】（1）由=根据二次根式性质可得；（2）由x+1=20182+20192=2×20182+2×2018+1得x=2×20182+2×2018，代入得==，从而得出答案．【解答】解：（1）==3，故答案为：3；（2）∵x+1=20182+20192=20182+（2018+1）2=20182+20182+2×2018+1=2×20182+2×2018+1，∴x=2×20182+2×2018，则===2×2018+1=4037，故答案为：4037．【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和完全平方公式的应用．32．化简二次根式a后的结果是﹣或【分析】分﹣1＜a＜0和a＞0两种情况，根据二次根式的性质化简．【解答】解：当﹣1＜a＜0时，原式=﹣，当a＞0时，原式=，故答案为：﹣或．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．33．若=1.2，则a=；若=m，则m=非负数；【分析】直接利用二次根式的性质计算得出答案．【解答】解：∵=1.2，∴a=（）2=，∵=m，∴m≥0，即m为非负数．故答案为：，非负数．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．34．已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简：+|a﹣1|=1﹣2a．【分析】直接利用数轴上a的位置，进而得出a的取值范围，进而化简即可．【解答】解：由数轴可得：﹣1＜a＜0，则+|a﹣1|=﹣a+1﹣a=1﹣2a．故答案为：1﹣2a．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．35．若a＜2，化简+a﹣1=1．【分析】直接利用a的取值范围，再结合二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵a＜2，∴+a﹣1=2﹣a+a﹣1=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．36．若实数a、b在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+化简为2a﹣b．【分析】直接利用数轴上a，b的位置进而得出b﹣a＜0，a＞0，再化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：b﹣a＜0，a＞0，则|b﹣a|+=a﹣b+a=2a﹣b．故答案为：2a﹣b．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各项符号是解题关键．37．若a＞1，化简的结果是a﹣1．【分析】根据=|a|进行化简即可．【解答】解：原式==|1﹣a|=a﹣1，故答案为：a﹣1．【点评】此题主要考查了二次根式的化简和性质，关键是掌握=|a|．38．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为7．【分析】根据数轴可以求得a的取值范围，从而可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．【解答】解：由数轴可得，4＜a＜8，∴=a﹣3+10﹣a=7，故答案为：7．【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．39．化简：2＜x＜4时，﹣=2x﹣6．【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．【解答】解：∵2＜x＜4，∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，∴原式=﹣=|x﹣2|﹣|x﹣4|=x﹣2﹣（4﹣x）=x﹣2﹣4+x=2x﹣6．故答案为：2x﹣6．【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．40．当a＜0，b＞0时．化简：=﹣a．【分析】直接利用a，b的符号，进而化简得出答案．【解答】解：∵a＜0，b＞0，∴=﹣a．故答案为：﹣a．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．。