信号与系统第二章---2(1)
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信号与系统课后题解第二章
)
g '' (t ) = 4C1e −2t + C2 e t ε (t ) + − 2C1e −2t + C 2e t δ (t ) + − 2C1e − 2t
(
(
( + C e )δ (t ) + C e
t 2
)
)
− 2t
1
1 + C 2e t − δ ' (t ) 2
将阶跃响应 g (t ) 及其一阶、二阶导数代入原方程，得：
ic (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) = C duc (t ) 1 duc (t ) = dt 2 dt
⑶式和⑷式代入⑵式中，有：
e(t ) = 4i1 (t ) + 2i 2 (t ) + u c (t )
将⑴式代入⑹式中，得到：
⑹
e(t ) = 2
di 2 (t ) + 2i 2 (t ) + u c (t ) dt
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
信号与系统课件：第二章 LTI系统
离散线性时不变系统的输入输出关系常用常系
数线性差分方程表示，即
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
或者
i0
i 1
N
M
ai y(n i) bix(n i),
i0
i0
a0 1
若系数中含有n，则称为“变系数”。
差分方程的阶数等于y(n)的变量序号的最高值 与最低值之差，例如上式就是N阶差分方程。
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
1.交换性: x(t)*h(t) = h(t)*x(t)
2. x(t) * (t t0 ) x(t t0 ) 筛选性质： x(t)* (t) x(t)
3.一个积分器：
t
y(t) x( )d
因此如果输入 x(t) (t)
Biblioteka Baidu
t
输出y(t)=h(t)
h(t) ( )d u(t)
t
即 y(t) x(t) * h(t) x(t) *u(t) x( )d
信号与线性系统-2 (1)
信号与线性系统-2
(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、计算题(总题数：19，分数：100.00)
已知信号f(t)波形如图(a)所示，试绘出下列函数的波形：
（分数：6.00）
(1).f(2t)；（分数：1.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：解 f(2t)可由f(t)的波形沿时间轴压缩2倍而得到，如图(b)所示；
(2).f(t)ε(t)；（分数：1.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：解 f(t)ε(t)可由f(t)的波形取t＞0的部分而得到，如图(c)所示；
(3).f(t-2)ε(t)；（分数：1.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：解将f(t)的波形沿时间轴右移2得到f(t-2)，如图(d)所示，再取f(t-2)的波形中t＞0的部分即得f(t-2)ε(t)，如图(e)所示；
(4).f(t-2)ε(t-2)；（分数：1.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
信号与系统教案第2章
若系统为时不变的，则系数均为常数，此时方程为n 阶线性常系数微分方程。
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
第2-4页
2.1 LTI连续系统的响应
求解方程时域经典法是：齐次解+特解
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
n
Ak ekt 注意重根情况处理方法。
k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程→比较系数 定出特解。
第2-7页
2.1 LTI连续系统的响应
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 例1: 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
（2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
第2-8页
2.1 LTI连续系统的响应
解: （1）齐次解: 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 特解: 当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得
阶次：方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。
第2-4页
2.1 LTI连续系统的响应
求解方程时域经典法是：齐次解+特解
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
n
Ak ekt 注意重根情况处理方法。
k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程→比较系数 定出特解。
第2-7页
2.1 LTI连续系统的响应
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励 f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 例1: 描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；
（2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
第2-8页
2.1 LTI连续系统的响应
解: （1）齐次解: 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t 特解: 当f(t) = 2e – t时，其特解可设为 yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得
信号与系统-第2章
1 2
(t
+2)
－2＜t＜0
－(t－1) 0＜t＜1
f (t)
1
求 f(t +1), f(t－1).
－2 0 1
t
解: f(t +1) =
1 2
(t
+1+2)
－(t +1－1)
－2＜t +1＜0 0＜t +1＜1
f(t +1)
1
= f(t－1) =
1 2
(t
+3)
－t
1 2
(t
+1)
－(t－2)
－3＜t＜－1 －1＜t＜0
零输入响应: 输入为零, 仅由系统的初始状态产生的响应. 与激励信号无关.
零输入响应的时域求解办法与微分方程的齐次解类似。
齐次解的形式
(1) 特征根是不等实根 1, 2...n yh (t) C1e1t C2e2t Cnent
(2) 特征根是相等实根 1 2 ... n yh (t) C1e t C2te t Cnt n1e t
e 3 2t
t 2k dt
e 3 2t t e 2t t 2 dt 1 e4
0
k
0
δ2(t)
③
e 3 2t
t 2k dt
e 3 2t t 2 dt e4
信号与系统讲义-2
uc
Us
P2 R P 1 0 L LC
(特征方程)
3
特征根:
P1, 2
R 2L
±
( R )2 2L
1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc (A Bt)ept Us
第二章 连续系统时域分析
2-1 二阶电路时域模型与分析
一、 RLC串联电路零输入响应
t<0 , K在1,电路稳定，有
uc (0 ) Us i(0 ) 0
t 0 , K在2，由KVL,有
iR
L di dt
uc
0
又 可得
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC uc
0
t<0 , K在2,电路稳定，有 uc (0 ) 0 i(0 ) 0
t0 , K在1，由KVL,有
iR
L
di dt
uc
Us
又 i C duc
dt
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC
信号与线性系统分析 第二章
9
其一阶导数为 y'(t)=−2C'1e−2t−3C2e−3t+e−2t−2te−2t 令t=0，并代入初始值y(0)=1、y'(0)=0得 y(0)=C'1+C2=1 y'(0)=−2C'1−3C2+1=0 解得C'1=2、C2=−1，由此得 y(t)=2e−2t−e−3t+te−2t t0 例：微分方程为 y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f(t)。求：当f(t)= 10cost，t0；y(0)=2，y'(0)=0时的全解。 解：微分方程的齐次解 yh(t)=C1e−2t+C2e−3t 当f(t)=10cost (t0)，其特解形式为 yp(t)=Pcost+Qsint 10
n+an−1n−1+…+a0=0 上式称为微分方程的特征方程，其n个根称为微分方程 的特征根。 yh(t)的函数形式完全由n个特征根i(i=1,2,…n)决定。
i可为单根或重根。
i可为实数或复数，微分方程为实常系数时，总是以 共轭复数的形式出现。
3
特征根 单实根 r重实根
齐次解yh(t) Cet (Cr−1tr−1+Cr−2tr−2+…+C0)et
微分方程的全解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成 y(t)=yh(t)+yp(t) 齐次解 齐次解由齐次微分方程求得 y(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+…+a0y(t)=0
信号与系统王明泉第二章习题解答
(3)若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项： 倍乘表中特解。假如这种重
复形式有 次（特征为 次），则依次增加倍乘 ， ，…， 诸项。
2.4.3起始点的跳变-从 到 状态的转换
在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号 加入后系统的状态变化区间。一般激励 都是从 时刻加入，此时系统的响应区间定义为 。
当系统用微分方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。如果包含有 及其各阶导数项，说明相应的 到 状态发生了跳变，即 或 等等。这时为确定 、 等状态，可以用冲激函数匹配法。
2.4.4系统的零输入响应与零状态响应
（1）零输入响应
系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。
特征方程为 ，
特征根为 ，
所以
代入初始条件 ， ，解得 ，
所以，
（2）求零状态响应
（3）
2.6 已知某线性时不变系统的方程式为
试求系统的冲激响应h(t)。
解：方程右端的冲激函数项最高阶数为 ，设
，
则有： ，将其代入原系方程，得
2.7若描述系统的微分方程为
试求系统的阶跃响应。
解：由题可知：
阶跃响应：
2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中 ， ， ,试求该系统的冲激响应 。
（3）卷积运算的性质
复形式有 次（特征为 次），则依次增加倍乘 ， ，…， 诸项。
2.4.3起始点的跳变-从 到 状态的转换
在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号 加入后系统的状态变化区间。一般激励 都是从 时刻加入，此时系统的响应区间定义为 。
当系统用微分方程表示时，系统从 到 状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及其各阶导数项。如果包含有 及其各阶导数项，说明相应的 到 状态发生了跳变，即 或 等等。这时为确定 、 等状态，可以用冲激函数匹配法。
2.4.4系统的零输入响应与零状态响应
（1）零输入响应
系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。
特征方程为 ，
特征根为 ，
所以
代入初始条件 ， ，解得 ，
所以，
（2）求零状态响应
（3）
2.6 已知某线性时不变系统的方程式为
试求系统的冲激响应h(t)。
解：方程右端的冲激函数项最高阶数为 ，设
，
则有： ，将其代入原系方程，得
2.7若描述系统的微分方程为
试求系统的阶跃响应。
解：由题可知：
阶跃响应：
2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中 ， ， ,试求该系统的冲激响应 。
（3）卷积运算的性质
信号与系统(郑君里)第二版 讲义 第二章
第二章 连续时间系统的时域分析
第一讲 微分方程的建立与求解
一、微分方程的建立与求解
对电路系统建立微分方程，其各支路的电流、电压将为两种约束所支配： 1.来自连接方式的约束：KVL 和
KIL ，与元件的性质无关。
2.来自元件伏安关系的约束：与元件的连接方式无关。
例2-1 如图
2-1所示电路，激励信号为，求输出信号。电路起始电压为零。
图2－1
解以输出电压为响应变量，列回路电压方程：
所以齐次解为：。
因激励信号为，若，则，将其代入微分方程：
所以，从而求得完全解：
由于电路起始电压为零并且输入不是冲激信号，所以电容两端电压不会发生跳变，，从而
若，则特解为，将其代入微分方程，并利用起始条件求出系数，从而得到：
二、起始条件的跳变——从到
1.系统的状态(起始与初始状态)
(1)系统的状态：系统在某一时刻的状态是一组必须知道的最少量的数据，利用这组数据和系统的模型
以及该时刻接入的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。由于激励信号的接入，系统响应及其
各阶导数可能在t=0时刻发生跳变，所以以表示激励接入之前的瞬时，而以表示激励接入以后的瞬
时。
(2)起始状态：，它决定了零输入响应，在激励接入之前的瞬时t=系统的状态，它总结
了计算未来响应所需要的过去的全部信息。
(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接入之后的瞬时系统的状态。
(4)初始条件：它决定了完全响应。
这三个量的关系是：。
2.初始条件的确定（换路定律）
电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能
[信号与系统作业解答]第二章
![[信号与系统作业解答]第二章](https://img.taocdn.com/s3/m/90bd92d5240c844769eaeeda.png)
起始状态为h(0 ) 0
3 (t)„„（5）
其解为 h(t) Ae 2tu(t), t 0 „„（6）
用冲激函数匹配法求h(0 ) 。设
h (t) a (t) b (t) c (t) d u(t) h(t) a (t) b (t) c u(t)
代入原方程（5）得 a b c 1 从而h(0 ) 1 ，代入（6）式得A 1
从 0-到 0+状态发生变化。 解答：
（1）因为r (t) 2r(t) u(t)，方程右端不包含冲激函数及其各阶导数，r(t) 在t 0 处 连续，r(0 ) r(0 ) 1
（2）因为 r (t) 2r(t) 3 (t)，假设 r (t) a (t) b u(t)，则 r(t) a u(t) ， 代入方程，比较两端系数，可知a 3 。r(t) 在t 0 处跳变，r(0 ) r(0 ) 3 3
t
vozi(t) Ce RC , t 0
将初始状态vo(0 ) E 代入可得：C E
t
所以：vozi(t) Ee RC , t 0
从而
t
零状态响应分量：vozs(t) RIs RIse RC , t 0
t
自由响应分量：(E RIs )e RC , t 0 强迫响应分量： RIs, t 0
2-8 所示电路，t 0 时，开关位于“1”且达到稳态，t 0 时刻，开关自“1”转至“2”。
信号系统-2
duc 0 dt 0
t0 , 列关于uc(t)的微分方程：
di iR L dt uc 0
又 i C duc dt
uL
可得
RC
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
0
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
0
二阶常系数线性 齐次微分方程
初始条件
uc (0 ) U0
duc 0
0 0
yx(t)dt
3
0 0
yx
(t
)dt
2
0 0
y
x
(t
)
dt
0
[ yx (0 ) yx (0 )] 3[ yx (0 ) yx (0 )] 0
[ yx (0 ) yx (0 )] 3[ yx (0 ) yx (0 )] 0
yx (0 ) yx (0 ) yx (0 ) yx (0 )
代入： [a (t) b (t) c(t)] 3[a (t) b(t)] 3 (t)
得： a 3, b 9, c 9
（2）作0-~0+积分(方程右边最高为冲激，否则用冲激函数匹配法)
适用于n阶系统当 y(t), y(t), y(n2) (t)
在0-到0+不发生跳变时。
例1： y(t) 3y(t) 2y(t) 2 f (t) 6 f (t)
信号与系统(第二章)
X
第
3．反褶
f (t ) → f (−t )
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 例：
f (t ) 1 −2 −1 O f (− t ) 1
14 页
O
1
t
2
t
有可实现此 功能的实际 器件。 号处 理中可 没 器件。数字信 实现此概念， ， 中的 后进先 ” “ 出。 以 实现此概念 例如堆栈
1
4 页
u(t )
O
u(t − t0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t < t0 0 u(t − t0 ) = , t0 > 0 t > t0 1
t < −t0 0 1 u(t + t0 ) = , t0 > 0 t > −t0 1 由宗量 (t ± t ) = 0 可知t = ∓t , 即时 − t0 O 0 0 断点， ，函数有断点 间为∓ t0时 函数有断点，跳变点 宗量<0 函数值为 函数值为0 宗量>0 函数值为 函数值为1 宗量 宗量
1．抽样性 ． 2．奇偶性 ． 3．冲激偶 ． 4．标度变换 ．
X
第
1.
抽样性(筛选性)
29 页
如果f(t)在 处连续， 如果 在t = 0处连续，且处处有界，则有 处连续 且处处有界，
第
3．反褶
f (t ) → f (−t )
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调。 例：
f (t ) 1 −2 −1 O f (− t ) 1
14 页
O
1
t
2
t
有可实现此 功能的实际 器件。 号处 理中可 没 器件。数字信 实现此概念， ， 中的 后进先 ” “ 出。 以 实现此概念 例如堆栈
1
4 页
u(t )
O
u(t − t0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t < t0 0 u(t − t0 ) = , t0 > 0 t > t0 1
t < −t0 0 1 u(t + t0 ) = , t0 > 0 t > −t0 1 由宗量 (t ± t ) = 0 可知t = ∓t , 即时 − t0 O 0 0 断点， ，函数有断点 间为∓ t0时 函数有断点，跳变点 宗量<0 函数值为 函数值为0 宗量>0 函数值为 函数值为1 宗量 宗量
1．抽样性 ． 2．奇偶性 ． 3．冲激偶 ． 4．标度变换 ．
X
第
1.
抽样性(筛选性)
29 页
如果f(t)在 处连续， 如果 在t = 0处连续，且处处有界，则有 处连续 且处处有界，
信号与系统 第2章(1-2)
一、尺度变换(展缩)
1. 函数变化 2. 波形变化
x( t )
1
1
X
x(t) → x(at) ，a > 0
当a＞1 时， x(t)被压窄 a 倍 当0<a<1 时, x(t)被展宽 1/a 倍
x( 2t )
1
x( t/2)
0
2
4
t
0
1 2
t
0
4
8
t
尺度变换后语音信号的变化
X
x(t)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 0
X
(t) = 0 , t 0
(t)
(1)
0
t
2.1.2 奇异信号
二、单位冲激信号
3. 关于冲激信号的说明
① 任意时刻 t0的单位冲激信号以符号 (t-t0)表示，
其定义式和波形图如下：
X
(t t0 )
(1)
0
t0
t
2.1.2 奇异信号
二、单位冲激信号
3. 关于冲激信号的说明
x2 (t ) = u(t 1) 2r (t ) 2r (t 1)
2.1.2 奇异信号
四、冲激偶信号
1. 冲激偶信号的定义 (1) 函数表示:
(1) 0
信号与系统课后答案2
即
d2 dt 2
i(t) + 11 d i(t) + 30i(t) = 10 d
dt
dt
f (t) + 10 f (t)
2-3 图题 2-3 所示电路，已知 uC(0-)=1 V, i(0-)=2 A。求 t>0 时的零输入响应 i(t)和 uC(t)。
解 其对应的算子电路模型如图题 2.3（b）所示。故对节点 N 可列写出算子形式的 KCL 方程为
代入数据并写成算子形式为
( p2 + 5 p + 4)i(t) = 4 f (t) = 4δ (t)
故得
i(t) =
p2
4
δ (t) =
+5p + 4
4 3+ p +1
− 4
p
3 +4
δ
(t
)
=
4 3
×
1 δ (t) − p +1
4 3
×
1 δ (t) p+4
i(t) = 4 e−t − 4 e−4t U (t) A
解
(a). y1(t) = f1(t) ∗ f 2(t) = f1(t) ∗[−δ (t +1) + δ (t −1)] = − f1(t +1) + f1(t +1)
信号与系统第2章ppt课件
（1）连续时间信号的傅立叶变换； （2）拉普拉斯变换； （3）离散时间信号的z变换。
拉普拉斯变换是傅立叶变换的一种推广。z变换则是傅立叶变 换在离散时间序列中的普遍化。
1周期信号的频谱分析——博立叶级数
①基函数：三角函数，指数函数；
②利用傅里叶级数研究周期信精选号ppt的频谱特性
第二章
2 三角函数的傅里叶级数 三角函数集：
A0 a0
An 称为幅度频谱.
n 称为相位频谱.
精选ppt
第二章 傅立叶变换 4 指数函数的傅里叶级数
指数函数集： 这是一个完备正交函数集。 任何一个周期函数f(t)都可以用指数函数集中各函数分量 的线性组合来表示。
精选ppt
第二章 傅立叶变换
5 傅里叶级数三角形式与指数形式之间的关系
Cn
1 2
的2π倍。
精选ppt
第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。 傅里叶级数为
精选ppt
第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换
矩形脉冲信号f(t)的
傅里叶系数为：
① f(t)的傅里叶级数为
②周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为
③单脉冲f0(t) 的傅
里叶变换为
精选ppt
第二章 傅立叶变换
Cn, F(ω), F0(ω)具有相同的包络线。
拉普拉斯变换是傅立叶变换的一种推广。z变换则是傅立叶变 换在离散时间序列中的普遍化。
1周期信号的频谱分析——博立叶级数
①基函数：三角函数，指数函数；
②利用傅里叶级数研究周期信精选号ppt的频谱特性
第二章
2 三角函数的傅里叶级数 三角函数集：
A0 a0
An 称为幅度频谱.
n 称为相位频谱.
精选ppt
第二章 傅立叶变换 4 指数函数的傅里叶级数
指数函数集： 这是一个完备正交函数集。 任何一个周期函数f(t)都可以用指数函数集中各函数分量 的线性组合来表示。
精选ppt
第二章 傅立叶变换
5 傅里叶级数三角形式与指数形式之间的关系
Cn
1 2
的2π倍。
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第二章 傅立叶变换
例4. 求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。 傅里叶级数为
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第二章 傅立叶变换
例5. 求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换
矩形脉冲信号f(t)的
傅里叶系数为：
① f(t)的傅里叶级数为
②周期矩形脉冲信号的傅里叶变换为
③单脉冲f0(t) 的傅
里叶变换为
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第二章 傅立叶变换
Cn, F(ω), F0(ω)具有相同的包络线。
信号与系统-第2章例题
零状态响应yf(t)。
[解]
y f (t)
f (t) h(t)
f ( ) h(t )d
=
3u(
)
2e 3(t
)u(t
)d
=
t 3 2e -3(t- )d
0
0
2(1 e3t ) =
0
t 0 t0 t 0 t0
= 2(1 e3t )u(t)
例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为
对系统线性的进一步认识
例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t) 时，其全响应 为 r1(t) 2e3t sin(2t) u(t) ； 当 激 励 为 2e(t) 时 ， 其 全 响 应 为
r2 (t) e3t 2sin(2t) u(t) 。求： (1)初始条件不变，当激励为 e(t t0 ) 时的全响应 r3(t) ，t0 为大于零的实常数。 (2)初始条件增大 1 倍，当激励为 0.5e(t) 时的全响应 r4 (t) 。
2
6
3
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则 系统的完全响应y(t) =？ 2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y’(0)=1, 则 系统的完全响应y(t)=？
冲激函数匹配法确定初始条件
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该
[解]
y f (t)
f (t) h(t)
f ( ) h(t )d
=
3u(
)
2e 3(t
)u(t
)d
=
t 3 2e -3(t- )d
0
0
2(1 e3t ) =
0
t 0 t0 t 0 t0
= 2(1 e3t )u(t)
例1 已知某线性时不变系统的动态方程式为
对系统线性的进一步认识
例：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为 e(t) 时，其全响应 为 r1(t) 2e3t sin(2t) u(t) ； 当 激 励 为 2e(t) 时 ， 其 全 响 应 为
r2 (t) e3t 2sin(2t) u(t) 。求： (1)初始条件不变，当激励为 e(t t0 ) 时的全响应 r3(t) ，t0 为大于零的实常数。 (2)初始条件增大 1 倍，当激励为 0.5e(t) 时的全响应 r4 (t) 。
2
6
3
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则 系统的完全响应y(t) =？ 2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y’(0)=1, 则 系统的完全响应y(t)=？
冲激函数匹配法确定初始条件
配平的原理：t =0 时刻微分方程左右两端的δ(t)及各阶导数应该
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h(t) C1e-2t C2e-3t ,
将初始值代入，得
t 0
h(0 ) C1 C2 3 h(0 ) 2C1 3C2 12
C1 3 C2 6
得系统的冲激响应为：
h(t) δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
二、阶跃响应
一个LTI系统，其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所 引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表g示(t)
h(n) (t) an1h(n1) (t) a0h(t) (t)
h( j) (0 ) 0, j 0,1,2,, n 1
用前面类似的方法，可推得各0+初始值为：
h( j) (0 ) 0, j 0,1,2,, n 2
h(n1) (0 ) 1 若微分方程的特征根均为单根，则冲激响应
h(t) dg(t) dt
t
g(t) h(x)dx
将初始条件代入冲激响应函数中 h(t) C1e3t (t) h(0 ) C1 1
系统的冲激响应为：
h(t) e 3t (t)
第二章 连续系统的时域分析
总结：若n阶微分方程的右端只含有f(t),即：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a0 y(t) f (t) 当 f (t) ，(t其) 零状态响应（即冲激响应满足）
解得： C1 1,C2 1 系统的冲激响应为：
h(t) (e2t e3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：
y(n)
(t)
a y(n1) n1
(t)
a0
y(t)
bm
f
(m)
(t)
bm1
f
( m 1)
(t)
b0
f
(t)
可分为如下两步求解系统的冲激响应h(t)
得： h(0 ) h(0 ) 3 3 h(0 ) h(0 ) 12 12
a 1; b 3 c 12
得系统的冲激响应为： h(t) δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
当t>0时，h(t)满足方程
h(t) 5h(t) 6h(t) 0
它的特征根 2, 。故3系统的冲激响应
即：
def
g(t) T[0, (t)]
(t)
g (t )
(t) LTI系统 g(t)
t
{x(0)}={0}
o
o
t
阶跃响应示意图
第二章 连续系统的时域分析
由于单位阶跃函数 (t与) 单位冲激函数 的(t)关系为：
(t) d (t)
dt
t
(t) (x)dx
根据LTI系统的微积分性质，同一系统的阶跃响应和冲激 响应的关系为：
h(0 ) 0 h(0 ) 1
第二章 连续系统的时域分析
将初始条件代入冲激响应函数中 h(t) (C1e2t C2e3t ) (t) h(t) (2C1e2t 3C2e3t ) (t) (C1 C2 ) (t) h(0 ) C1 C2 0 h(0 ) 2C1 3C2 1
h(t) h1(t) 2h1(t) 3h1(t)
由于 h1(t) (e2t e3t ) (t)
h(t) h1(t) 2h1(t) 3h1(t)
δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
解法二：根据冲激响应的定义，当 f (t) 系(t统) 的零状态响
def
h(t) T[0, (t)]
(t)
h(t)
(t)
LTI系统 h(t)
t
{x(0)}={0}
o
o
t
第二章 连续系统的时域分析
例1： 已知某线性时不变系统的微分方程为
y(t) 3y(t) f (t)
试求系统的冲激响应h(t。)
解：当 f (t) (t), yzs (t) h(t)
第二章 连续系统的时域分析
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质
第二章 连续系统的时域分析
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
对于LTI系统，当初始状态为零时，输入为单位冲激
函数 (所t) 引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应。
应 yzs (t) ，h(t)满h足(t) h(t) 5h(t) 6h(t) (t) 2 (t) 3 (t)
h(0 ) h(0 ) 0
求0+时刻初始值h(0 ), h(0 )
设： h(t) a (t) b (t) c (t) r0 (t) h(t) a (t) b (t) r1(t) h(t) a (t) r2 (t)
则 h(t) 3h(t) (t)
h(0 ) 0 微分方程的特征根解得：
3
系统的冲激响应为 h(t) C1e 3t (t) 令： h(t) a (t) r0 (t)
h(t) r1(t) a 1
第二章 连续系统的时域分析
h(0 ) h(0 ) 1 h(0 ) h(0 ) 1 1
1)求右端只含有f(t)的冲激响应h1(t)
y (n) 1
(t
)
an1
y1(
n1)
(t
)
Fra Baidu bibliotek
a0
y1(t
)
f (t)
2)根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分性质
得原微分方程的冲激响应h(t)
h(t) bmh1(m) (t) bm1h1(m1) (t) b0h1(t)
第二章 连续系统的时域分析
h(t) n C jejt (t)
j1
第二章 连续系统的时域分析
例2：设描述某二阶LTI系统的微分方程为 y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
求其冲激响应。
解：当 f (t) (t), yzs (t) h(t)
则：h(t) 5h(t) 6h(t) (t)
h(0 ) h(0 ) 0 微分方程的特征根为： 1 2, 2 3 系统的冲激响应为：h(t) (C1e2t C2e3t ) (t)
例3：设描述某二阶LTI系统的微分方程为
y(t) 5y(t) 6y(t) f (t) 2 f (t) 3 f (t)
求其冲激响应。 解法一：选新变量y1(t)，其冲激响应为h1(t),满足方程
y1(t) 5y1(t) 6y1(t) f (t)
设其冲激响应为h1(t),则原方程的冲激响应为