线性代数习题及参考答案1快快快

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线代参考答案(完整版)

线性代数练习题第一章行列式系专业班姓名学号第一节行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5）（B ）（13-，5）（C ）（13，5-）（D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a 5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ]（A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）2,3==l k ，符号为正；（D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为负。

线性代数练习题(有答案)

《线性代数》练习题一、选择题1、设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。

(完整word版)线性代数试题和答案(精选版)(word文档良

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数练习题及答案10套

1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量，的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ．已知某个 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2．设矩阵 A= （1， 2）， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是（ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 0; 0 1]D. [0 1; 1 0]2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关的行或列的最大数目D. 矩阵的对角线元素的个数3. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程个数等于未知数个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩4. 向量空间的基具有什么性质？A. 基向量的数量必须为1B. 基向量必须是正交的C. 基向量必须是线性无关的D. 基向量必须是单位向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^Tv=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得A^-1v=λv，则λ是A 的特征值，v是A的特征向量D. 对于矩阵A，如果存在非零向量v，使得Av=v，则λ是A的特征值，v是A的特征向量6. 线性变换的矩阵表示是什么？A. 线性变换的逆矩阵B. 线性变换的转置矩阵C. 线性变换的雅可比矩阵D. 线性变换的对角矩阵7. 以下哪个不是线性代数中的基本概念？A. 向量B. 矩阵C. 行列式D. 微积分8. 什么是线性方程组的齐次解？A. 方程组的所有解B. 方程组的特解C. 方程组的零解D. 方程组的非平凡解9. 矩阵的迹是什么？A. 矩阵的对角线元素的和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆10. 什么是正交矩阵？A. 矩阵的转置等于其逆矩阵B. 矩阵的所有行向量都是单位向量C. 矩阵的所有列向量都是单位向量D. 矩阵的所有行向量都是正交的答案：1-5 C C C C A；6-10 D D C A A二、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述线性代数中的向量空间（Vector Space）的定义。

线性代数试题(完整试题与详细答案)

线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数复习题部分参考答案

线性代数复习题部分参考答案线性代数试题（一）一、填空题1.行列式4100031000210001的值 242.设a b 为实数，则当a= 0 且b= 0 时，10100--a b b a =03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 -1 4.已知矩阵A 3×2 B 2×3 C 3×3，则B A ⋅为 3 × 3 矩阵 5.A 为n 阶方阵，且d A =，则A K ⋅=d K n ⋅ 二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3.用一初等矩阵左乘一矩阵B ，等于对B 施行相应的 ① 变换 ①行变换 ②列变换 ③既不是行变换也不是列变换4.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④25.向量组r ααα⋅⋅⋅21线性无关的充要条件是 ②①向量组中不含0向量 ②向量组的秩等于它所含向量的个数 ③向量组中任意r -1个向量无关 ④向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出 6.向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t7.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②设解 ③只有0解 ④有非0解8.当K= ④ 时，（2. 1. 0. 3）与（1. -1. 1. K ）的内积为2 ①-1 ②1 ③23 ④329.已知A 2=A ，则A 的特征值是 ③①λ=0 ②λ=1 ③λ=0或=λ1 ④λ=0和λ=110.1111111111111111b a a +-+的值为 ④ ①1 ②0 ③a ④-a 2b线性代数试题（二）一、填空题（4分/题）1.行列式21064153247308021的值为 0 2.二次型yz xy z y x yz x f 222)(2221-+-+=对应的实对称矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---110121011 3.10110111)(--=x x f 中x 的一次项系数是 -14.已知A 为3×3矩阵，且A =3，则A 2= 24二、选择题（4分/题） 1.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②行列式D 中对角线上元素全为0 ③行列式D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行与另一行元素对应成比例 2.设23⨯A 32⨯B 33⨯C ，则下列 ② 运算有意义 ①AC ②BC ③A+B ④AB -BC3. 向量组t βββ⋅⋅⋅21可由s ααα⋅⋅⋅21线性表出，且t βββ⋅⋅⋅21线性无关，则s 与t 的关系为 ④①s=t ②s>t ③s<t ④s≥t4.齐次线性方程组Ax=0是Ax=B 的导出组则 ③①Ax=0只有零解,Ax=B 有唯一解 ②Ax=0有非零解,Ax=B 有无穷多解 ③U 是Ax=0的通解,X0是Ax=B 的一个解,则X0+U 是Ax=B 的通解 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα线性代数试题（三）一、填空题（4分/题）1.向量)1.0.0.1(=α )0.1.1.0(-=β，则2βα+= （2. 1. -1. 2）2.设aER bER ，则当a= 0 ，b= 0 时10100b a a b -=03.10111111)(-=x x f 中，x 的一次项系数是 1 4.已知A 为3×3矩阵，且1=A ，则A 2= 85.已知A3×3 B3×2 C2×4，则矩阵A.B.C 为 3 × 4 矩阵6.用一初等矩阵右乘矩阵C ，等价于对C 施行初等列变换7.向量组γααα⋅⋅⋅21.可由向量组s βββ⋅⋅⋅21线性表示且γααα⋅⋅⋅21.线性无关则 s ≤γ 8.如果线性方程组Ax=B 有解则必有)(A γ=)~(A γ9.行列式1111141111311112的值为 6 10.当K= 2 时（1. 0. 0. 1）与（a. 1. 5. 3）的内积为5 二、选择题（4分/题）1.已知矩阵满足A 2=3A ，则A 的特征值是 ③ ①λ=1 ②λ=0 ③λ=3或λ=0 ④λ=3和λ=02.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组 ③ ①有解 ②没解 ③只有零解 ④有非0解3.矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101001100001100001000101的秩为 ①①5 ②4 ③3 ④2 4.下列各式中 ④ 的值为0①行列式D 中有两列对应元素之和为0 ②D 中对角线上元素全为0 ③D 中有两行含有相同的公因子 ④D 中有一行元素与另一行元素对应成比例 5.向量组)1.1.1(1=α )5.2.0(2=α )6.3.1(3=α是 ①①线性相关 ②线性无关 ③0321=++ααα ④02321=++ααα三、复习题及参考答案填空题1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数习题及解答

线性代数习题及解答 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),TT+=---+=--αβαβ则+αβ=（） A ．（0，-2，-1，1）T B ．（-2，0，-1，1）T C ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。

答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。

答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。

线性代数练习题及答案1

线性代数综合练习题（一）一、选择题1. 设A 、B 为n 阶矩阵，则下面必成立的是（）。

（A ）B A B A +=+ （B ）111)(---+=+B A B A （C ）BA AB = （D ）BA AB = 2. 设A 为n 阶矩阵，且0=kA ，则=--1)(A E （）。

（A ）A E + （B ）12-++++k A A A E（C ）12-----k AA A E （D ）A E -3. 设向量组m ααα,,,21 的秩为3，则（）。

（A ）任意三个向量线性无关（B ）m ααα,,,21 中无零向量（C ）任意四个向量线性相关（D ）任意两个向量线性无关 4. 线性方程组11⨯⨯⨯=m n n m b x A ，)0(≠b 有解的充要条件是（）。

（A ）)|()(b A R A R = （B ）m A R =)( （C ）n A R =)( （D ）)|()(b A R A R ≠5. n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是（）。

（A ）A 的n 个特征值互不相同（B ）A 可逆（C ）A 无零特征值（D ）A 有n 个线性无关的特征向量二、填空题1. 各列元素之和为0的n 阶行列式的值等于。

2. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432A ，则=-1A 。

3. 设矩阵⎪⎭⎫⎝⎛=31211A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321B ，则=AB ，=BA ，=k BA )( （k 为正整数）。

4. 设2)(43=⨯A R ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300220111P ，则=)(PA R 。

5. 设向量组321,,ααα线性无关，则向量组211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=线性。

6. 设三阶可逆矩阵A 的特征值分别为2、3、5，则=A ，A 的伴随矩阵*A 的特征值为。

7. 设实二次型3231212322213212222),,(x x x x x x kx x x x x x f +++++=为正定二次型，则参数k 的取值范围是。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。

答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。

矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。

2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。

答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。

转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。

3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。

答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。

若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。

4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。

答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。

5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。

答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。

行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。

其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。

6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。

答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。

线性代数课后作业及参考答案

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

线性代数试题及答案

线性代数试题和答案一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数试题及答案

线性代数习题和答案好东西第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536= .16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a11A21+a12A22+a13A232+a21A21+a22A22+a23A232+a31A21+a32A22+a33A232= .18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a线性相关,则a= .19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A是m×n矩阵,A的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A=01061332108---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx1,x2,x3,x4,x5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =1212242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550---- =5116205506255301040---=---=+=.27.解 AB =A +2B 即A -2EB =A ,而A -2E -1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =A -2E -1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 28.解一 ----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112 所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解对矩阵A 施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解 fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。

线性代数练习题及答案解析(一)

线性代数练习题及答案解析（一）一、行列式1、排列25341的逆序数为 7 ；2、排列643125的逆序数是 9 ；3、方程211123049x x =的根为 2,3 ；（范德蒙行列式） 4、行列式D=162021304---中，元素－3的代数余子式是（ A ）（A ）10 （B ）2 （C ）－10 （D ）－2 考点：代数余子式定义5、(1)三阶行列式det()ij D a =中含有因子1322a a 的项为 132231-a a a ，含有因子1223a a 的项为 122331a a a . 考点：行列式展开式的定义规则(2)四阶行列式det()ij D a =中含有因子1123a a 的项为 12233144a a a a 或12233441-a a a a .6、设n 阶行列式60D =，且D 中的每列的元素之和为6，则D 中的第三行的代数余子式之和为 10 .考点：行列式的性质6，行列式按行（列）展开7、(1)设n 阶行列式det()ij D a =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）. 考点：行列式按自己的行（列）展开等于行列式，如行（列）与代数余子式的行（列）不一致则等于零。

A 、10nijij i aA ==∑；B 、10nijij j aA ==∑； C 、1nijij j aA D ==∑； D 、121ni i i aA D==∑(2)若4阶行列式D 中第2行的元素212223242,1,3,0,a a a a ====余子式212M =,2223241,3,0M M M ===则D= -12 .注意：代数余子式与余子式的区别。

行列式的展开只与代数余子式有关。

(3)若3阶行列式D 中第1行的元素1112133,2,5,a a a ===代数余子式114A =,12131,2,A A =-=则D= 20 .8、行列式112233440000000a b a b b a b a =（ B ）。

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