排列、组合的概念和公式典型例题分析
排列与组合的基本计算
排列与组合的基本计算排列与组合是数学中常见的计数方法，用于计算对象的排列和组合方式。
它在概率论、组合数学等领域有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、排列的基本概念在开始讨论排列与组合之前，我们首先需要了解排列的基本概念。
排列是指从一组元素中取出若干个元素进行排列，所得到的所有不同的排序方式的总数。
1. 无重复元素的排列当一组元素都是不相同的时候，计算其排列数时，可以使用下面的公式：P(n) = n!其中，P(n)表示n个元素的排列数，n!表示n的阶乘，即n × (n-1) ×(n-2) × ... × 2 × 1。
例如，如果有3个元素A、B、C，那么它们的排列数为：P(3) = 3! = 3 × 2 × 1 = 62. 有重复元素的排列当一组元素中有重复的元素时，计算其排列数时，需要考虑到重复元素出现的次数。
假设有n个元素中，其中m个元素是相同的，那么它们的排列数可以使用下面的公式计算：P(n, m) = n! / (m1! × m2! × ... × mk!)其中，P(n, m)表示n个元素中有m个相同元素的排列数，mi表示第i个元素的重复次数。
例如，如果有3个元素A、A、B，那么它们的排列数为：P(3, 2) = 3! / (2! × 1!) = 3二、组合的基本概念与排列不同，组合是指从一组元素中取出若干个元素，不考虑它们的顺序，所得到的所有不同的选择方式的总数。
1. 无重复元素的组合当一组元素都是不相同的时候，计算其组合数时，可以使用下面的公式：C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
例如，如果有5个元素A、B、C、D、E，我们要从中选择3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! × 2!) = 102. 有重复元素的组合当一组元素中有重复的元素时，计算其组合数时，也需要考虑到重复元素出现的次数。
初中数学知识归纳排列与组合的基本概念
初中数学知识归纳排列与组合的基本概念在初中数学中，排列与组合是一个重要的概念，它涉及到数学的计数和组合的方法。
在本文中，我们将对排列与组合的基本概念进行归纳总结，并介绍其在数学中的应用。
一、排列排列是指从一组元素中选取部分元素按照一定顺序进行排列的方法。
在排列中，元素的顺序是重要的，不同的顺序会得到不同的排列结果。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n表示总元素个数，r表示选取的元素个数，"!"表示阶乘。
例如，如果有5个人，要从中选择3个人进行排列，那么排列的可能性是P(5,3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60。
二、组合组合是指从一组元素中选取部分元素，不考虑其顺序，进行组合的方法。
在组合中，元素的顺序不重要，不同的顺序会得到相同的组合结果。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n表示总元素个数，r表示选取的元素个数，"!"表示阶乘。
例如，如果有5个人，要从中选择3个人进行组合，那么组合的可能性是C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = 5! / (3!2!) = 10。
三、排列与组合的应用排列与组合在数学中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景：1. 排列的应用：在日常生活中，我们常常遇到需要按照一定顺序进行排列的情况，比如选举、抽奖、比赛等。
排列的计算可以帮助我们准确计算出可能的结果数量。
2. 组合的应用：在一些情况下，我们仅关心选取元素的组合而不考虑顺序，比如在购买彩票时选择号码的组合、从一组物品中选取几个物品进行搭配等。
组合的计算可以帮助我们确定可能的组合情况。
3. 随机事件的计数：排列与组合的概念也可以应用于概率计算中。
通过排列与组合的计算，可以确定某个事件的发生可能性，从而进行概率的计算与预测。
4. 概率与统计问题：排列与组合的概念在概率与统计的问题中也有重要作用，比如某次实验的结果可能有多少种、某个事件发生的概率等，都可以通过排列与组合的计算进行分析。
排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合是高中数学中的一个重要知识点，也是各类数学竞赛常见的题型之一。
它在实际生活中有着广泛的应用，如排队、选材、抽奖等。
因此，对排列组合的掌握至关重要。
下面将对排列组合的概念、性质、计数原理以及常见题型进行总结。
一、排列与组合的概念1. 排列：对给定的一组元素，按照一定的顺序进行排列。
有放回的排列叫做重复排列，不放回的排列叫做不重复排列。
2. 组合：从给定的一组元素中，取出一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
有放回的组合叫做重复组合，不放回的组合叫做不重复组合。
二、排列组合的性质1. 排列性质：(1) 重复排列：对于n个不同元素，重复排列数为P(m, n) =n^m。
(2) 不重复排列：对于n个不同元素取m个元素进行不重复排列数为A(m, n) = n! / (n-m)!2. 组合性质：(1) 重复组合：对于n个不同元素，从中取出m个元素进行重复组合，共有C(m+n-1, m)种组合方式。
(2) 不重复组合：对于n个不同元素取m个元素进行不重复组合，共有C(m, n)种组合方式。
三、排列组合的计数原理1. 乘法原理：当某件事情分为几个步骤进行，并且每个步骤的选择数目不受前一步骤选择的限制时，总的选择数目等于各个步骤选择数目的乘积。
2. 加法原理：当某件事情可以分为几种情况进行，并且这些情况没有重叠部分，总的选择数目等于各种情况选择数目的和。
3. 减法原理：当某件事情总的选择数目已知，但其中某些选择数目不符合要求时，可以采用总的选择数目减去不符合要求的选择数目得到符合要求的选择数目。
四、常见排列组合题型1. 对于排列问题，常见的题型有：(1) 从n个元素中取m个元素进行排列有多少种方法？(2) 字母排列问题，例如：用字母ABCDF构成几位无重复、有重复的排列？(3) 位置固定的排列问题，例如：某实验有4个步骤，进行3次，每个步骤有多少种选择方法？(4) 特殊位置的排列问题，例如：某分队有4名队员，第一、二名只能选A或B，第三名只能选C或D，第四名只能选E 或F，共有多少种分队方法？2. 对于组合问题，常见的题型有：(1) 从n个元素中取m个元素进行组合有多少种方法？(2) 元素重复的组合问题，例如：甲、乙、丙、丁四个人挑选队员，队员不多于2人，共有多少种选择方法？(3) 特定条件下的组合问题，例如：某公司有5个经理、7个主管、10个员工，要从中选取3个人组成考核小组，其中至少一人是经理，共有多少种选择方法？(4) 若干元素组成一个团队，其中必须包含A，B两人，并且团队至少需要5人，共有多少种选择方法？以上只是排列组合题型的几个常见例子，实际应用中还会出现更复杂的题型。
组 合
组 合【要点梳理】要点一：组合1.定义：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．要点诠释：① 从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关． 排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．② 如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到.要点二：组合数及其公式1.组合数的定义：从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记作m n C ．要点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 例如，从3个不同元素a ，b ，c 中取出2个元素的组合为ab ，ac ，bc ，其中每一种都叫做一个组合，而数字3就是组合数．2．组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数mm A ．根据分步计数原理，得到m m m n n m A C A =⋅． 因此这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为!()!m n n A n m =-，所以组合数公式还可表示为：!!()!m n n C m n m =-．要点诠释：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题。
排列与组合的基本原理与应用
排列与组合的基本原理与应用排列与组合是概率与数学中的重要概念，它们在许多实际问题中都具有广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本原理以及在实际生活中的应用。
一、排列的基本原理排列是从若干元素中选出若干个元素按一定的顺序排列的方式。
在排列中，元素的顺序非常重要，不同的顺序会得到不同的结果。
1. 排列的定义从n个不同元素中选取m个进行排列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，记作P(n, m)。
2. 排列的计算公式n个不同元素中选取m个进行排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!3. 排列的实例例如，有3个不同的球，分别编号为1、2、3。
从中选取2个进行排列，则可能的排列结果有：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)，共有6种排列方式。
二、组合的基本原理组合是从若干元素中选出若干个元素按任意顺序组成的方式。
在组合中，元素的顺序不重要，不同的顺序会得到相同的结果。
1. 组合的定义从n个不同元素中选取m个进行组合，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，记作C(n, m)。
2. 组合的计算公式n个不同元素中选取m个进行组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)3. 组合的实例例如，有3个不同的球，分别编号为1、2、3。
从中选取2个进行组合，则可能的组合结果有：(1,2)、(1,3)、(2,3)，共有3种组合方式。
三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有许多应用，以下列举几个常见的实例。
1. 赛事排列在体育比赛或其他比赛中，要确定参赛者的出场顺序，可以使用排列的方法。
假设有8名选手参加比赛，按照排列的方法，共有8!种不同的出场顺序。
2. 密码生成在电子设备或网络账号中，为了保护信息安全，常常需要设置密码。
使用排列的方式可以生成各种组合的密码，增加破解的难度。
3. 彩票号码彩票中的号码选择也可以使用组合的方法。
排列与组合知识总结及经典例题OK
排列与组合1.排列与排列数“排列”的定义包含两个基本内容: 一是“取出元素；二是“按一定的书序排列。
“排列数”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数”, 它是所有排列的个数, 是一个数值。
)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n ∈Z ） 全排列、阶乘的意义；规定 0!=12.组合与组合数“一个组合”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素合成一组”, 它是一件事情, 不是一个数；（隐含n ≥m ）“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数”, 它是一个数值。
基本公式: 或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 组合数公式具有的两个性质: （1）常用的等式:（3）0132n n n n n n C C C C ++++= （由二项式定理知）证明: ∵又)!(!!m n m n C m n -=∴m n n m n C C -= )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n)!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m nm n C 1+=∴ ＝ + .式（1）说明从n 个不同元素中取出m 个元素, 与从n 个不同元素中取出n-m 个元素是一一对应关系, 即“取出的”与“留下的”是一一对应关系；式（2）说明从a, b, c ……（n+1个元素）中取出m 个元素的组合数可以分为两类: 第一类含某个有元素（ ）, 第二类不含这个元素（ ）要解决的问题是排列问题还是组合问题, 关键是看是否与顺序有关排列问题的主要题型⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题, 通常是先排特殊元素或特殊位置, 称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；⑵ 某些元素要求必须相邻时, 可以先将这些元素看作一个元素, 与其他元素排列后, 再考虑相邻元素的内部排列, 这种方法称为“捆绑法”；⑶ 某些元素不相邻排列时, 可以先排其他元素, 再将这些不相邻元素插入空挡, 这种方法称为“插空法”；⑷ 在处理排列问题时, 一般可采用直接和间接两种思维形式, 从而寻求有效的解题途径, 这是学好排列问题的根基．第一部分1.⑴ 7位同学站成一排, 共有多少种不同的排法？⑵ 7位同学站成两排（前3后4）, 共有多少种不同的排法？ ⑶ 7位同学站成一排, 其中甲站在中间的位置, 共有多少种不同的排法？⑷7位同学站成一排, 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？⑸7位同学站成一排, 甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？2.7位同学站成一排.⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？⑶甲、乙两同学必须相邻, 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？3.7位同学站成一排.⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？4.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单, 如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上, 则共有多少种不同的排法？5.⑴八个人排成前后两排, 每排四人, 其中甲、乙要排在前排, 丙要排在后排, 则共有多少种不同的排法？⑵不同的五种商品在货架上排成一排, 其中a, b两种商品必须排在一起, 而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？⑶6张同排连号的电影票, 分给3名教师与3名学生, 若要求师生相间而坐, 则不同的坐法有多少种？6.⑴由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字的正整数？⑵由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字, 并且比13 000大的正整数？7、用1, 3, 6, 7, 8, 9组成无重复数字的四位数, 由小到大排列．⑴第114个数是多少？⑵ 3 796是第几个数？8、用0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的四位数, 其中⑴能被25整除的数有多少个？⑵十位数字比个位数字大的有多少个？9、现有8名青年, 其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）, 现在要从中挑选5名青年承担一项任务, 其中3名从事英语翻译工作, 2名从事德语翻译工作, 则有多少种不同的选法？10、甲、乙、丙三人值周, 从周一至周六, 每人值两天, 但甲不值周一, 乙不值周六, 问可以排出多少种不同的值周表？11.6本不同的书全部送给5人, 每人至少1本, 有多少种不同的送书方法？变题1: 6本不同的书全部送给5人, 有多少种不同的送书方法？变题2: 5本不同的书全部送给6人, 每人至多1本, 有多少种不同的送书方法？变题3: 5本相同的书全部送给6人, 每人至多1本, 有多少种不同的送书方法？12、6本不同的书, 按下列要求各有多少种不同的选法:⑴分给甲、乙、丙三人, 每人两本；⑵分为三份, 每份两本；⑶分为三份, 一份一本, 一份两本, 一份三本；⑷分给甲、乙、丙三人, 一人一本, 一人两本, 一人三本；⑸分给甲、乙、丙三人, 每人至少一本．13.身高互不相同的7名运动员站成一排, 甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？14.⑴四个不同的小球放入四个不同的盒中, 一共有多少种不同的放法？⑵四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？15、马路上有编号为1, 2, 3, …, 10的十盏路灯, 为节约用电又不影响照明, 可以把其中3盏灯关掉, 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏, 在两端的灯都不能关掉的情况下, 有多少种不同的关灯方法？16.九张卡片分别写着数字0, 1, 2, …, 8, 从中取出三张排成一排组成一个三位数, 如果6可以当作9使用, 问可以组成多少个三位数？17、平均分组问题除法策略6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？18、重排问题求幂策略把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法19、排列组合混合问题先选后排策略有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.20、小集团问题先整体后局部策略用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？第二部分一. 选择题1.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检, 每校分配1名医生和2名护士, 不同分配方法共有（）（A）90种（B）180种（C）270种（D）540种2.从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排, 其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（）A. 1320B. 960C. 600D. 3603.20个不加区别的小球放入编号为1号, 2号, 3号三个盒子中, 要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数, 则不同的放法总数是（）（A）760 （B）764 （C）120（D）914. 从10名女学生中选2名, 40名男生中选3名, 担任五种不同的职务, 规定女生不担任其中某种职务, 不同的分配方案有（）A. B. C. D.5．编号1, 2, 3, 4, 5, 6的六个球分别放入编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的六个盒子中, 其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有（）A. 20B. 40C. 120D. 4806．如果一个三位正整数形如“”满足, 则称这样的三位数为凸数（如120、363.374等）, 那么所有凸数个数为（）A. 240B. 204C. 729D. 9207．有两排座位, 前排11个座位, 后排12个座位, 现安排2人就座, 规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不左右相邻, 那么不同排法的种数是( )A. 234B. 346C. 350D. 3638. 某校高二年级共有六个班级, 现从外地转入4名学生, 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名, 则不同的安排方案种数( )A. B. C. D.9．4名教师分配到3所中学任教, 每所中学至少1名教师, 则不同的分配方案共有( )A. 12 种B. 24 种 C 36 种 D. 48 种10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师, 派到3个班担任班主任（每班1位班主任）要求这3位班主任中男、女教师都要有, 则不同的选派方案共有A. 210种B. 420种C. 630种D. 840种11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种, 分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植, 不同的种植方法共有( )A. 24种B. 18种C. 12种D. 6种12．用0、1.2.3.4这五个数字组成无重复数字的五位数, 其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A. 48B. 36C. 28D. 1213．已知集合A={1, 2, 3, 4}, B={5, 6}, 设映射, 使集合B中的元素在A中都有原象, 这样的映射个数共有（）A. 16B. 14C. 15D. 12 14．ABCD—A1B1C1D1是单位正方体, 黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行, 每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→……, 黑蚂蚁爬行的路是AB→BB1→……, 它们都遵循如下规则: 所爬行的第段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数）.设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑、白两蚂蚁的距离是A. 1B.C.D. 015.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为.. )A.480B.240C.120D.9616.从1, 2, 3, 4, 5, 6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有( )A321144432A A C C++ B.311443A A C+ C.3612A+24A D.36A17.有7名同学站成一排照毕业照, 其中甲必须站在中间, 并且乙、丙两位同学要站在一起, 则不同的站法有( )（A）240 （B）192 （C）96 （D）48二. 填空题1. 五个不同的球放入四个不同的盒子, 每盒不空, 共有____ 种放法。
高中数学解题技巧之排列组合问题
高中数学解题技巧之排列组合问题在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和考点。
它不仅在数学中有广泛的应用，而且在生活中也有很多实际的应用场景。
掌握排列组合的解题技巧对于高中学生来说非常重要。
本文将介绍一些常见的排列组合问题，并提供解题技巧和实例，帮助读者更好地理解和应用。
一、排列问题排列是指从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
例题1：某班有5名男生和3名女生，要从中选出3名学生组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解析：这是一个典型的排列问题，要求选出3名学生组成一个小组。
由于男生和女生是区分开的，我们可以分别计算男生和女生的组合方式，然后再将两者相乘得到最终的结果。
男生的组合方式为从5名男生中选出3名，即C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。
女生的组合方式为从3名女生中选出0名，即C(3,0) = 1种。
最终的结果为男生的组合方式乘以女生的组合方式，即10 * 1 = 10种。
例题2：某班有6名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，其中2名学生是男生，3名学生是女生，问有多少种不同的组合方式？解析：这个问题相比例题1稍微复杂一些，因为要考虑到男生和女生的区分。
我们可以分别计算男生和女生的组合方式，然后将两者相乘得到最终的结果。
男生的组合方式为从2名男生中选出2名，即C(2,2) = 1种。
女生的组合方式为从3名女生中选出1名，即C(3,1) = 3种。
最终的结果为男生的组合方式乘以女生的组合方式，即1 * 3 = 3种。
二、组合问题组合是指从给定的元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。
例题3：某班有5名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问有多少种不同的组合方式？解析：这是一个典型的组合问题，要求选出3名学生组成一个小组。
由于不考虑元素的顺序，我们可以直接计算组合的方式。
组合的计算公式为C(5,3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种。
排列组合概念举例
Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积举例：（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )个个个个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P1=9(种).3例四例五可能有问题，等思考。
排列与组合题目及解析
排列与组合题目及解析排列与组合是数学中的一个重要概念，用于描述事物的排列顺序和组合方式。
它在解决实际问题和推理推断中起到非常关键的作用。
本文将介绍排列与组合的基本概念，以及几个常见的排列与组合题目，并给出详细的解析。
一、排列与组合的基本概念排列是指从一组元素中任取若干个元素按一定的顺序排列的方式，常用P表示。
而组合则是指从一组元素中任取若干个元素不考虑顺序的方式，常用C表示。
1.1 排列的计算公式若从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素进行排列，排列的总数可用以下公式表示：P(n, m) = n! / (n-m)!其中"!"表示阶乘运算，表示连乘。
n!表示从1到n的所有正整数相乘。
1.2 组合的计算公式若从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素进行组合，组合的总数可用以下公式表示：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)二、常见的2.1 例题一：某班共有10名学生，其中5名男生和5名女生，从中选取3名学生作为代表，问有多少种选择方式？解析：根据题意可知，从5名男生中选取1名男生，从5名女生中选取2名女生，然后进行排列。
其中，男生之间没有顺序关系，女生之间也没有顺序关系。
所以，选择方式的总数可以表示为C(5,1) *C(5,2)。
带入计算公式可得：C(5,1) * C(5,2) = 5! / (1! * (5-1)!) * 5! / (2! * (5-2)!) = 5 * 10 = 50所以，选择方式的总数为50种。
2.2 例题二：某队共有12名队员，包括4名门将和8名场上队员。
现需从中选取7名队员作为比赛首发人员，其中至少包括1名门将，问有多少种选法？解析：根据题意可知，首发人员中至少包括1名门将，那么有两种情况：选取1名门将和6名场上队员，或选取2名门将和5名场上队员。
第一种情况：选取1名门将和6名场上队员。
门将有4人可选，场上队员有8人可选，所以选择方式的总数可以表示为C(4,1) * C(8,6)。
排列组合知识点总结典型例题与复习资料解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!!10=n C 规定：组合数性质：.2nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
【小站教育】GRE数学—排列组合公式及例题讲解
GRE数学—排列组合公式及例题讲解排列A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n>个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n>个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m>表示.b5E2RGbCAPA(n,m>=n(n-1>(n-2>……(n-m+1>= n!/(n-m>!(规定0!=1>.2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n>个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n>个元素p1EanqFDPw的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m> 表示.c(n,m>=A(n,m>/m!=n!/((n-m>!*m!>；c(n,m>=c(n,n-m>。
3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝A(n,r>/r=n!/r(n-r>!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!>.k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m>. 排列<Anm(n为下标，m为上标>）Anm=n×<n-1）....<n-m+1）；Anm=n！/<n-m）！<注：！是阶乘符号）；Ann<两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；An1<n为下标1为上标）=n组合<Cnm(n为下标，m为上标>）Cnm=Anm/Amm ；Cnm=n！/m！<n-m）！；Cnn<两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1<n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式A是指排列，从N个元素取R个进行排列。
高中数学排列组合的方法与例题分析
高中数学排列组合的方法与例题分析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法，它涉及到许多实际问题的解决。
本文将介绍排列组合的基本概念、计算方法以及一些常见的例题分析，帮助读者更好地理解和应用排列组合。
一、排列组合的基本概念排列和组合是两个不同的概念，它们在解决问题时有着不同的应用场景。
排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
当元素个数为n，取出的元素个数为m时，排列的计算公式为A(n,m) = n!/(n-m)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
组合是指从一组元素中取出若干个元素，不考虑其顺序的方式。
当元素个数为n，取出的元素个数为m时，组合的计算公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)。
二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：a) 当元素个数n与取出的元素个数m相等时，即n=m时，排列数为n!。
b) 当元素个数n大于取出的元素个数m时，排列数为A(n,m)。
c) 当元素个数n小于取出的元素个数m时，排列数为0，因为无法满足条件。
2. 组合的计算方法：a) 当元素个数n与取出的元素个数m相等时，即n=m时，组合数为1。
b) 当元素个数n大于取出的元素个数m时，组合数为C(n,m)。
c) 当元素个数n小于取出的元素个数m时，组合数为0，因为无法满足条件。
三、例题分析1. 例题一：从10个人中选出3个人组成一支篮球队，问有多少种不同的组队方式？解析：根据题目可以知道，这是一个组合问题，因为不考虑选出的顺序。
根据组合的计算公式，可以得到C(10,3) = 10!/(3!*(10-3)!) = 120 种不同的组队方式。
2. 例题二：某班有10个学生，要从中选出3个学生参加数学竞赛，问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可以知道，这是一个排列问题，因为考虑选出的顺序。
根据排列的计算公式，可以得到A(10,3) = 10!/(10-3)! = 720 种不同的选取方式。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
高中数学排列与组合的应用及解题思路
高中数学排列与组合的应用及解题思路在高中数学中，排列与组合是一个重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域的问题求解中。
掌握排列与组合的应用方法和解题思路，对于高中学生来说至关重要。
本文将以具体的题目为例，分析排列与组合的考点和解题技巧，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、排列与组合的基本概念在开始讨论具体问题之前，我们先来回顾一下排列与组合的基本概念。
排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列成一列，通常用P 表示。
组合是指从一组元素中选取若干个元素按照任意顺序组合成一组，通常用C 表示。
例如，从1、2、3、4四个数字中选取2个数字进行排列，可以得到以下6种不同的排列：12、13、14、23、24、34。
而组合就是将这6种排列中相同的数字组合在一起，即{12, 13, 14, 23, 24, 34}。
二、排列与组合的应用举例1. 题目：某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？解析：这是一个典型的组合问题。
我们需要从10个学生中选出3个学生，顺序不重要，即为组合。
根据组合的定义，可以使用组合公式C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)来求解。
代入具体的数值，即C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120。
答案：有120种不同的选法。
2. 题目：某班有10个学生，要从中选出3个学生排成一排，问有多少种不同的排法？解析：这是一个典型的排列问题。
我们需要从10个学生中选出3个学生排成一排，顺序重要，即为排列。
根据排列的定义，可以使用排列公式P(n, k) = n! / (n-k)!来求解。
代入具体的数值，即P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720。
答案：有720种不同的排法。
三、排列与组合的解题思路在解决排列与组合问题时，我们可以采用以下几个步骤：1. 确定问题类型：首先要明确问题是排列还是组合，根据题目的要求来确定使用哪种方法。
组合数学中的排列与组合问题
组合数学中的排列与组合问题组合数学是数学中的一个分支，研究对象是集合的排列和组合问题。
排列和组合是数学中常见的概念，在实际生活和各个学科领域中都有广泛应用。
本文将重点讨论组合数学中的排列和组合问题以及相关的性质和应用。
一、排列问题排列是从给定的元素中选取若干个进行有序排列的方法。
通常用P(n,m)表示从n个元素中选取m个进行排列的方法。
排列的性质如下：1.1 排列的计算公式P(n,m) = n! / (n-m)!其中n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
排列的计算公式可以通过对每个位置的选择数进行递推推导得到。
1.2 排列的应用排列在实际生活和学科领域中有广泛的应用。
例如，在密码学中，使用排列可以实现数据的混淆和加密；在统计学中，使用排列可以处理样本的排列和随机化。
二、组合问题组合是从给定的元素中选取若干个进行无序组合的方法。
通常用C(n,m)表示从n个元素中选取m个进行组合的方法。
组合的性质如下：2.1 组合的计算公式C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)组合的计算公式可以通过排列的计算公式推导得到。
由于组合是无序的，所以需要消除重复计数。
2.2 组合的应用组合也有着广泛的应用。
在概率论中，组合可以用于计算事件的组合数和可能性的计算；在图论中，组合可以用于计算图的连通性和循环结构等问题。
三、排列与组合问题的区别排列和组合问题的区别在于是否考虑元素的顺序。
在排列问题中，元素的顺序是重要的，每个位置上的选择数不同都会导致不同的排列；而在组合问题中，元素的顺序不重要，只要元素相同就被视为相同的组合。
例如，从集合{1, 2, 3}中选取2个元素进行排列，可以得到以下6个排列：{1, 2}，{1, 3}，{2, 1}，{2, 3}，{3, 1}，{3, 2}；而只考虑组合的话，只有3个不同的组合：{1, 2}，{1, 3}，{2, 3}。
排列组合题型总结
排列组合题型总结
排列组合是数学中的一个重要概念，在计算中经常用到，以下是排列组合题型的总结：
1. 排列问题：
排列指的是从n个元素中取出m个元素进行排列的问题，其公式为：
A(n, m) = n!/(n-m)!
主要注意点：
- 选取的元素是有序的。
- 选取m个元素后，这m个元素之间是有先后顺序的。
2. 组合问题：
组合指的是从n个元素中选取m个元素的问题，其公式为：
C(n, m) = n!/((n-m)!*m!)
主要注意点：
- 选取的元素是无序的。
- 选取的元素数量固定为m，之间没有先后顺序。
3. 常见的排列组合问题：
- 从n个元素中取出m个元素进行排列，且要求选取的元素必须包含某几个元素。
- 从n个不同的元素中取出m个，其中有k个元素必须选取，且这k个元素的排列方式已经确定，求剩余元素的排列方式。
- 对于排列或组合问题，统计满足特定条件的个数。
以上是排列组合问题的常见形式，需要掌握常用的排列组合公式，并根据具体问题理解是否需要考虑先后顺序或特定条件。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
(完整版)高中排列组合知识点汇总情况及典型例题(全)
适用标准一．基来源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，则达成这件事的方法数等于各种方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步达成，则达成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地点同意重复使用，求方法数经常用基来源理求解。
二．摆列：从 n 个不一样元素中，任取m（ m≤ n ）个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从 n个不一样元素中拿出m个元素的一个摆列，所有摆列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.(1) (3)规定： 0!1n!n(n 1)!,( n1) n!( n 1)!(2) n n! [( n 1) 1] n! ( n 1) n! n! (n 1)! n!；n n 1 1n1111(n1)!( n1)!(n1)!( n 1)!n!(n 1)!三．组合：从 n 个不一样元素中任取 m（m≤n）个元素并构成一组，叫做从n 个不一样的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!m !定： C n01A m m m!m! n2.组合数性质： C n m C n n m， C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2 L C n r1 C n r C r r11C r r1 C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2 L C n r1 C n r C n r11若 C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1 +m 2n四．办理摆列组合应用题 1.①明确要达成的是一件什么事（审题）②有序仍是无序③分步仍是分类。
2．解摆列、组合题的基本策略（1）两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不切合条件的所有状况去掉。
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排列、组合的概念和公式典型例题分析1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例1 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解： 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )A.60个B.48个C.36个D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解： 将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P 13=9(种).例四 例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解： 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种；甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C.例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )A.-27C610 B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A.1B.-1C.0D.2解：A.例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
应选B.例10从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同取法共有( ).A.140种B.84种C.70种D.35种解：取出的3台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.∵C24·+C25·C14=5×6+10×4=70.∴应选C.例11某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2 名代表，至少有1名女生当选的不同选法有( )A.27种B.48种C.21种D.24种解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类：∵C13·C1 7+C23=3×7+3=24，∴应选D.例12由数学0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( ).A.210个B.300个C.464个D.600个解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P15·P 55=600个.由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半. ∴有×600=300个符合题设的六位数.应选B.例13以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有( ).A.70个B.64个C.58个D.52个解：如图，正方体有8个顶点，任取4个的组合数为C48=70个.其中共面四点分3类：构成侧面的有6组；构成垂直底面的对角面的有2组；形如(ADB1C1)的有4组.∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组) 应选C.例14如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有( ).A.12对B.24对C.36对D.48对解：设正六棱锥为O—ABCDEF.任取一侧棱OA(C16)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.∴共有C16×4=24对异面直线.应选B.例15正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共个(以数字作答).解：7点中任取3个则有C37=35组.其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).∴三角形个数为35-3=32个.例16设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为。