利用五角星研究三角形的角

合集下载

利用五角星研究三角形的角

一副三角板有如图所示的位置放置，
那么∠1= ，
你还有其他摆放方法吗？摆出角，考考你的同伴。
学在今天
用在平时
A B E
C
1
2
D
∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E =∠A＋∠ACE＋∠ADB＋ (∠B ＋∠E) =∠A＋∠ACE＋∠ADB＋ (∠1＋∠2) =∠A＋∠ACD＋∠ADC = 180
A B E
O
C
D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E = (∠A＋∠C＋∠D)＋ ∠B＋∠E = ∠COD＋ ∠B＋∠E = ∠BOE＋ ∠B＋∠E = 180
X
∠BDC=∠A＋ ∠B +∠C
A
D B C
1
2
3
A
1
2
D B 3 4 C
A
E D B 1 C
A
D B C
下面是一个五角星，你能求出∠A＋∠B＋∠C＋ ∠D＋∠E的度数吗？你能有多少种求法？
A
B
E
C
D
A
B
A
A E B E
E B
C
(1)
D
C
(2)
D
C
(3)
D
A B
1 2
E
C
D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E = ∠A ＋(∠C＋∠E )＋(∠B＋∠D) = ∠A＋∠1＋∠2 = 180
利用五角星研究与三角形有关的角
补星星：将下列图形补成
A B E
A B E
C
D
C
D
A B E
A B E
C
D
C
D
你能在每副图中找旗型
B
C

01认识五角星案例（编辑稿）-2doc

怎么让数学既好玩又有数学味——“认识五角星”教学案例及反思唐彩斌这是一个传统教材没有的内容。

作为六年级的综合与实践活动内容，“五角星”走进了数学课堂。

根据学生对五角星的了解以及小学数学学习的相关目标，笔者在教学实验的过程中为“五角星”拟定了如下教学目标：（1）通过观察五角星，提出相关的数学问题，并能利用已学的知识和技能解决问题；（2）经历观察、操作、推理的过程，了解五角星形、边、角、顶点的特点，并尝试应用已学知识求一个角的度数和五角星的面积与周长，增强应用数学的能力；（3）结合五角星的现实材料和数学作品，感受五角星的数学美，感悟五角星的文化价值。

创建一个适合小学生学习的新内容，总是要上下兼顾左右权衡，创造总比演绎、模仿更有价值，但也更加艰难。

笔者把原汁原味的教学实践流程与相关思考陈述如下，与大家分享，并求教大家。

教学案例（一）引出五角星，提出数学问题。

（1）师：这是我们国家的国旗和国徽，在国旗和国徽上都有一个共同的图形，是什么图形？生：五角星。

师：你们认识五角星吗？生：认识。

（2）师追问：那你们能不能说说什么样的图形是五角星？（学生虽说认识但表达比较难。

）师：有些事物很熟悉，但当有人突然问是什么的时候会觉得困难，那我们就改改：说说五角星是怎样的？（学生尝试回答。

）（3）师：尽管你们很难说出五角星的特点，但是你们一定能判断下面哪个是标准的五角星？（说明：3号五角星在超级画板中是可以变化的，在变化的过程中让学生判断是否为标准的五角星。

判断的过程实际上就是在感知寻找标准五角星的共同特点。

）（4）师：那么五角星到底有哪些特点呢？今天我们就一起来研究它。

（5）师：请同学们观察标准五角星（强调标准是为了限定研究的范围），结合我们所学的知识和研究其他平面图形的方法，能不能提出一些数学问题？（学生提出的问题有：五角星是不是对称图形？五角星的角是多少度？怎么计算五角星的周长和面积？图中有多少个顶点和交点？中心点在哪里？五角星的五个点是不是在同一个圆上？如果把五个顶点连起来是一个什么图形？）（7）师：刚才大家提出了关于五角星的很多问题，我们选择其中的一些按照一定顺序来尝试解决。

什么是递进关系并列关系因果关系包含关系

什么是递进关系并列关系因果关系包含关系
递进关系：递进关系是指一个类概念的衍生概念，其前者会以某种方式推导出后者，从而使后者的细分沿着一系列的细分导向。

例如：五角星—》五角星三角形—》五角星三角形三角形角落—》镂空五角星三角形—》镂空五角星三角形角落。

并列关系：并列关系指的是两个或更多的概念之间没有明确的关系，也就是说，它们之间仅存在浅显的关系，或者说没有关系的关系。

例如：苹果，橘子，葡萄，梨之间的关系。

因果关系：因果关系是一种常见的概念关系，指的是一个事件产生了一定影响或结果，而另一个事件就是它的原因或前提。

例如：一场大雨可以引起河道洪水，而大雨就是这次洪水的原因。

包含关系：包含关系是概念之间最常见的关系之一，指的是某个概念位于另一个概念之内，两者之间具有层级关系。

例如：动物包含有鸟，猫，狗，马等概念，人则属于动物的子集。

以上就是关系的四种分类，分别是递进关系、并列关系、因果关系和包含关系。

它们是认知性的概念，可以用来定义、整合、分析不同的概念，使它们之间具有某种合理的关系，从而形成一个完整的系统，从不同层面上解释事物之间的关系。

五角星十个点的坐标计算公式

五角星十个点的坐标计算公式要计算五角星十个点的坐标，我们可以使用数学公式和三角函数。

五角星可以被分成五个等腰三角形，每个三角形的顶点位于五角星的一个角上，而底边则位于五角星的一条边上。

假设五角星的一个角位于原点(0, 0)，并且五角星的一个边与x 轴重合。

我们可以使用以下步骤来计算其他九个点的坐标：1.确定五角星的一个边长（假设为a）。

2.使用三角函数（如正弦和余弦）来计算每个点的x 和y 坐标。

以下是计算五角星十个点坐标的公式：1.第一个点（原点）：(0, 0)2.第二个点（位于x 轴上）：(a, 0)3.第三个点：使用余弦和正弦函数计算，假设与x 轴夹角为36 度（五角星内角为36 度）：1.x 坐标: a * cos(36 * π / 180)2.y 坐标: a * sin(36 * π / 180)4.第四个点：与第三个点对称，夹角为72 度（因为五角星有5 个角，所以每个角之间的夹角是360 / 5= 72 度）：0.x 坐标: a * cos(72 * π / 180)1.y 坐标: a * sin(72 * π / 180)5.第五个点：与第四个点对称，夹角为108 度：0.x 坐标: a * cos(108 * π / 180)1.y 坐标: a * sin(108 * π / 180)接下来，对于五角星的上半部分，我们可以使用相同的逻辑，但是需要将y 坐标取负值，因为它们在y 轴的负方向上。

6.第六个点（与第一个点对称）：(0, -a)7.第七个点（与第二个点对称）：(a, -a * tan(36 * π / 180))8.第八个点（与第三个点对称）：1.x 坐标: a * cos(36 * π / 180)2.y 坐标: -a * sin(36 * π / 180)9.第九个点（与第四个点对称）：0.x 坐标: a * cos(72 * π / 180)1.y 坐标: -a * sin(72 * π / 180)10.第十个点（与第五个点对称）：•x 坐标: a * cos(108 * π / 180)•y 坐标: -a * sin(108 * π / 180)请注意，这些公式假设五角星的一个边长为a，并且五角星的一个角位于原点。

五角星数三角形个数的规律

五角星数三角形个数的规律五角星数是一种特殊的数列，它的每一项都表示一个五角星的边数。

换句话说，第n个五角星数表示一个具有n个边的五角星。

我们可以用一个简单的公式来表示第n个五角星数，即P(n) = 5n^2 - 5n + 2。

现在我们来看看五角星数与三角形个数之间的规律。

在一个五角星中，我们可以找到许多不同大小的三角形。

我们可以将这些三角形分为两类：内部三角形和边界三角形。

内部三角形是指完全位于五角星内部的三角形，而边界三角形则是指至少有一个顶点位于五角星的边界上的三角形。

我们先来研究一下内部三角形的个数。

在一个五角星中，我们可以找到以任意一个顶点为顶点的三角形。

由于五角星有5个顶点，所以在一个五角星中，内部三角形的个数至少为5个。

我们还可以找到以两个顶点为顶点的三角形。

在一个五角星中，我们可以选择任意两个相邻的顶点，然后将它们与五角星的中心点连接起来，这样就可以得到一个以这两个顶点为顶点的三角形。

由于五角星有5个顶点，所以我们可以得到5个以两个顶点为顶点的三角形。

同样地，我们还可以找到以三个顶点为顶点的三角形。

在一个五角星中，我们可以选择任意三个相邻的顶点，然后将它们与五角星的中心点连接起来，这样就可以得到一个以这三个顶点为顶点的三角形。

由于五角星有5个顶点，所以我们可以得到10个以三个顶点为顶点的三角形。

内部三角形的个数为5+5+10=20个。

接下来我们来研究一下边界三角形的个数。

在一个五角星中，我们可以找到以任意一条边为边的三角形。

由于五角星有5条边，所以在一个五角星中，边界三角形的个数至少为5个。

我们还可以找到以任意两条相邻的边为边的三角形。

在一个五角星中，我们可以选择任意两条相邻的边，然后将它们与五角星的中心点连接起来，这样就可以得到一个以这两条边为边的三角形。

由于五角星有5条边，所以我们可以得到5个以两条边为边的三角形。

同样地，我们还可以找到以任意三条相邻的边为边的三角形。

在一个五角星中，我们可以选择任意三条相邻的边，然后将它们与五角星的中心点连接起来，这样就可以得到一个以这三条边为边的三角形。

数图形的方法五角星

数图形的方法五角星五角星是一种常见的几何图形，它由五条等长的线段组成，被称为五角星是因为它的形状像一个五角形。

本文将介绍五角星的构造方法、性质、应用以及一些有趣的事实。

五角星的构造方法有多种，其中最常见的方法是使用直尺和圆规。

以下是一种简单的构造方法：1. 使用直尺画一条水平线段。

2. 在水平线段的中心点上方画一条垂直线段。

3. 在垂直线段的顶端，使用圆规画一个半径等于水平线段长度的圆。

4. 在圆上选择一个点作为起始点，然后依次连接该点与圆上每隔144度的点，一共画5条线段。

这五条线段连接起来就构成了五角星。

五角星有一些独特的性质。

首先，五角星的五条边和五个角都是等长的，因此它是一种正多边形。

其次，五角星具有对称性，可以按照某个中心点进行轴对称或旋转对称。

此外，五角星可以分解成一对等腰三角形，其中每个角都是36度。

五角星在日常生活中有许多应用。

它常常被用作装饰品、纹身以及国家旗帜的图案。

在美国国旗中，五角星被用来代表每个州，总数为50颗。

此外，五角星也是一些组织和机构的标志，如美国国防部的标志就是一个五角星。

除了具有实际应用，五角星还有一些有趣的事实。

首先，五角星是一个黄金比例图形，意味着它的各条线段之间存在黄金比例的关系。

这使得五角星在艺术和设计中被广泛使用，因为黄金比例被认为是最美的比例之一。

其次，五角星还与数学中的费马点和五线谱有关。

费马点是指到三角形三个顶点距离之和最短的点，而五线谱中的五条线段形成了五角形的轮廓。

总的来说，五角星是一种常见的几何图形，它可以通过直尺和圆规构造而成。

五角星具有一些独特的性质，如边和角的等长性、对称性以及黄金比例关系。

它在日常生活中有许多应用，如装饰品、旗帜和标志。

同时，五角星还有一些有趣的事实，如与费马点和五线谱的关联。

通过了解五角星的构造、性质和应用，我们可以更好地理解和欣赏这个美丽的几何图形。

五角星正方形三角形正方形数学题

文章标题：深度探讨：五角星、正方形、三角形数学题的解析与思考一、引言在数学领域，五角星、正方形和三角形一直是研究的热点之一。

而有关这三种图形的数学题更是常常出现在学生的课本和数学竞赛中。

本文将针对这些数学题展开深度探讨，以便读者能更全面地理解这些图形之间的关系和性质。

二、五角星、正方形、三角形的基本性质1. 五角星五角星是一种几何图形，由五条等长的线段连接而成，其内部形成一个封闭的区域。

五角星是一个中心对称的图形，具有对称性和稳定性。

在数学题中，我们经常需要计算五角星的对角线长度、面积等相关问题。

2. 正方形正方形是一种特殊的四边形，具有四条相等的边和四个直角。

正方形是正规多边形中的一种，其特点是所有角均为直角。

在数学题中，我们通常需要求解正方形的对角线长度、周长和面积等问题。

3. 三角形三角形是一种具有三条边的几何图形，其内部形成一个封闭的区域。

根据角度的不同，三角形又可以分为直角三角形、等腰三角形、等边三角形等多种类型。

在数学题中，我们会涉及到三角形的边长、角度、高度以及面积等问题。

三、数学题的解析与思考1. 五角星、正方形和三角形的关系在解决数学题时，我们常常会遇到将五角星、正方形和三角形结合在一起的题目。

给定一个正方形，要求在其上绘制一个包含五角星和三角形的图案，并计算各个图形的面积和周长。

这就需要我们深入理解这些图形的性质和关联，灵活运用相关知识来解决问题。

2. 从简到繁，由浅入深地探讨为了更好地理解这些数学题，我们可以从简单的例子开始，逐步引入更复杂的情形。

可以先从计算各个图形的周长和面积开始，然后逐步引入相关的角度和对称性等概念，最终深入探讨这些图形的数学性质和应用。

3. 个人观点与理解在我看来，五角星、正方形和三角形是数学世界中的经典图形，它们不仅具有艺术美感，更重要的是具有丰富的数学性质和广泛的应用价值。

通过学习和探索这些图形之间的关系，我们可以锻炼自己的逻辑思维和数学推理能力，为今后的学习和工作打下坚实的基础。

认识正五角星和正六角星教案

认识正五角星和正六角星教案引言
本教案旨在介绍正五角星和正六角星的定义、特点和相关应用。

通过研究本教案，学生将能够认识和区分这两种几何形状，并了解
它们在不同领域的运用。

正五角星
定义
正五角星是指具有五个等边三角形作为边的五角星形状。

每个
等边三角形的顶点连接成五角星的顶点，而等边三角形的边则构成
五角星的边。

特点
- 五个等边三角形的边长相等
- 五个等边三角形的内角均为60度
- 五个等边三角形的边和内角之间呈现特定的布局和对称性
应用
- 广泛应用于纹身艺术和装饰设计中
- 作为数学学科中的几何图形，用于教学和研究
正六角星
定义
正六角星是指具有六个等边三角形作为边的六角星形状。

每个等边三角形的顶点连接成六角星的顶点，而等边三角形的边则构成六角星的边。

特点
- 六个等边三角形的边长相等
- 六个等边三角形的内角均为60度
- 六个等边三角形的边和内角之间呈现特定的布局和对称性
应用
- 常用于建筑设计和装饰中，如六角星形状的窗户、瓷砖等
- 在旗帜、表彰章等设计中，常用来象征特定的意义和价值观
总结
通过本教案，学生可以认识到正五角星和正六角星的定义、特
点和应用。

这两种几何图形在不同领域有着广泛的运用，培养学生
对几何学的兴趣和认知。

学生可以通过实际观察和思考，发现这些
形状在日常生活中的应用，并探索它们背后的数学原理和几何概念。

希望通过本教案的学习，学生能够加深对正五角星和正六角星
的理解，培养对几何学的兴趣，并将所学知识应用到实际生活和学
习中。

穿透心灵的数学之美——“五角星中的数学奥秘”教学过程与育人意蕴

|小学衣学下半月.数学数学文化穿透心灵的数学之美“五角星中的数学奥秘”教学过程与育人意蕴◊李铁安王晓娟■O在数学史和人类文化史中，五角星是一个古老而又神秘和神奇的几何图形，也是一个深受人类尊崇而又神妙和神圣的几何图形。

在距今5000余年的美索不达米亚文明的文献里发现的“西方最早的五角星”与中华史前文化遗址——“良渚文化遗址”出土的一件陶盘底部所刻的“中国最早的五角星”交相辉映;古希腊毕达哥拉斯学派用五角星作为他们的徽章标志；中国古代“五行”关系也架构出一个五角星模型；全球有55个国家的国旗上有五角星图案;用五角星作为表达精神追求和文化品位的标志符号更是数不胜数。

我们甚至想象，五角星曾在一代代儿童的心灵圣地里晶莹闪烁和熠熠生辉。

想来似乎没有任何一个几何图形能够像五角星那样被人们如此青睐并赋予其意味深长的象征意义。

那么何以如此呢?或许，正是五角星那独有的“屹立不倒的美”和纯净的臻于“不可撼动的极致”，给人们带来无法抗拒的钟爱与敬畏——那是一种穿透人类心灵的数学之美！虽然五角星不是中小学数学课程中的必学内容,但因其极具丰富的数学内涵、厚重的数学文化和宝贵的育人价值,恰可作为数学文化育人的优质课程资源。

而探索五角星中的数学奥秘，感悟五角星的文化韵味，彰显五角星的育人意蕴，这岂不是一节妙不可言的数学文化课？教学过程：除节~~：说五角星体会意义I师：同学们，这些图形（如图1）你们一定都生:我喜欢三角形，因为它是坚固的图形。

生:我喜欢正方形，因为它美观、平整、方正,就如老师教育我们要做堂堂正正的人。

生:我喜欢圆,因为它与其他图形不同，是曲边图形，而且使用圆做的物品,很圆滑，不划手。

生:我还喜欢五角星!它就像夜空中闪烁的星星，照耀夜行人的路。

生:我喜欢正六边形，因为它很好看,是一个轴对称图形，还可以分割成很多图形，如三角形、梯形、长方形。

师:同学们都有自己喜欢的图形，你们想知道老师最喜欢哪个图形吗?三角形、正方形、圆，数这些图形我都喜欢!但我最喜欢的是——五角星!为什么呢？师:一看到或者一想到五角星,就会唤起我对它神圣的崇拜!我会想到解放军叔叔头顶上的帽徽,我会想到电影《闪闪的红星》里指引少年英雄潘东子去战斗的那颗红五星!最激动人心的当然是永远高高飘扬的五星红旗,我们的中华人民共和国国旗！环节二：画五角星——感知结构|师:这么神圣的五角星,怎么把它画出来呢？生:画五角星特别简单,我可以一笔画出来。

二年级数学题五角星加三角形

二年级数学题五角星加三角形《神奇的数学世界：五角星加三角形》嘿，同学们！你们知道吗？在数学的奇妙世界里，有一个特别有趣的组合，那就是五角星加三角形！这可不是简简单单的图形相加，里面藏着好多好多的小秘密呢！有一天，在数学课上，老师在黑板上画了一个大大的五角星和一个三角形。

我看着它们，心里充满了好奇，这两个家伙加在一起会变成什么样呢？我同桌小明也凑过来，瞪大眼睛说：“哎呀，这可难倒我啦，怎么加呀？”我皱着眉头想了想说：“也许我们得从它们的边和角来考虑呢？”老师看着我们疑惑的样子，笑着说：“孩子们，别着急。

我们先来看看五角星有几条边，几个角。

”大家七嘴八舌地数起来，“五条边！五个角！”老师又问：“那三角形呢？”“三条边，三个角！”我们齐声回答。

这时候，我突然好像有点明白了，“老师，是不是把它们的边数和角数加起来呀？”老师笑着摇摇头，“不是这么简单哦。

那我们假设五角星的每条边长度是5 厘米，三角形的每条边长度是3 厘米，那它们的周长能加吗？”大家又陷入了沉思，我心里想：“这可真像个谜团呀！”小红举起手说：“老师，我觉得可以加，加起来就是8 厘米。

”老师还是摇摇头，“不对哦，小红。

五角星和三角形的边可不能直接这么加，因为它们的形状不一样呀。

”哎呀，这可真让人头疼！就好像我们在拼图，可这两块怎么也拼不到一起去。

后来，老师给我们讲了，要想把五角星和三角形加起来，得看具体的题目要求。

如果是算它们的面积之和，那得用不同的公式分别算出面积再相加；如果是算它们的边长之和，那得看是不是在同一个规则下。

这一堂课下来，我真是又兴奋又有点沮丧。

兴奋的是数学原来这么有趣，沮丧的是自己还是没完全搞明白。

不过我可不会放弃，我一定要把这个“五角星加三角形”的难题攻克！我相信，只要我多思考，多练习，一定能在数学的海洋里畅游，找到更多的宝藏！同学们，你们是不是也觉得数学有时候像个调皮的小精灵，总是给我们出难题，但又让我们忍不住去探索呢？反正我是这么觉得的！。

思维点拨：巧解三角形典型例题

思维点拨：巧解三角形典型例题【例1】如图，已知五角星ABCDE，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数和.【思考与分析】我们可以连结DE，在由三角形ACF和三角形DEF构成的图形中，∠A+∠C=∠CED+∠EDA，从而把五角星ABCDE的五个内角放到了三角形BED中，根据三角形内角和定理即可求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.解：连结DE，由以上结论可知：∠A+∠C=∠CED+∠EDA，又因为在三角形BED中，∠B+∠BEC+∠BDA+∠CED+∠EDA=180°，所以∠B+∠BEC+∠BDA+∠A+∠C=180°.即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.【例2】如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.【思考与分析】我们按照例1的思路，连结CD，则在三角形AEF和三角形DCF 所构成的图形中，∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，这样就把∠1、∠2、∠3、∠4、∠5同时放到了三角形BDC中，即可求出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数和.解：连结CD，则∠3+∠4＝∠EDC+∠DCA，又因为在三角形BDC中，∠1+∠5＋∠2+∠EDC+∠DCA=180°，所以∠1+∠5＋∠2+∠3+∠4=180°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5=180°.【小结】按照这种思路，以上两题还有多种解法，大家不妨试一试，看能找到多少种解法.【例3】如图，三角形ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，下列四个式子中正确的是（）.【思考与解】因为EG⊥AD，交点为H，AD平分∠BAC，所以在直角三角形AHE中，∠1＝90°－12BAC在三角形ABC中，易知∠BAC＝180°－（∠2＋∠3），所以∠1＝90°－12［180°－（∠2＋∠3）］=12（∠3+∠2）.又因为∠1是三角形EBG的外角，所以∠1＝∠2＋∠G.所以∠G＝∠1－∠2＝12（∠3+∠2）－∠2＝12（∠3－∠2）.所以应选C.【例4】如图，点D为三角形ABC内的一点，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝25°，∠A＝35°.你能求出∠BDC的度数吗？【思考与解】延长BD，与AC交于E点，因为∠DEC是三角形ABE的外角，所以∠DEC=∠A+∠ABD＝35°+20°=55°.又因为∠BDC是三角形CDE的外角，所以∠BDC=∠DEC+∠ACD=55°+25°=80°.【小结】记准一些常用的结论，有助于我们快速地、正确地解题.【例5】如图，已知∠B＝10°，∠C＝20°，∠BOC＝110°，能求出∠A的度数吗？【思考与分析】要求∠A的度数，我们可以设法让∠A成为某个与已知角相关的三角形的内角.我们可延长BO交AC于D，则∠A、∠B即为三角形ABD 的两个内角.根据三角形外角的性质，欲求∠A的度数，可先求∠ODC的度数，由∠BOC＝110°，∠C＝20°即可求出∠ODC的度数.解：延长BO交AC于D.因为∠BOC是三角形ODC的外角，所以∠BOC＝∠ODC+∠C.因为∠BOC=110°，∠C＝20°，所以∠ODC＝110°－20°＝90°.因为∠ODC是三角形ABD的外角，所以∠ODC＝∠A+∠B.因为∠B＝10°，所以∠A＝90°－10°＝80°.【例6】如图，点D是三角形ABC内一点，连结BD、CD，试说明∠BDC>∠BAC.【思考与分析】∠BDC和∠BAC在两个不同的三角形内，而且不能直接比较它们的大小，必须做辅助线把这两个角联系起来.我们延长BD交AC于P，或连结AD并延长交BC于Q，都可以利用三角形外角的性质解题.解：延长BD交AC于P，则∠BDC>∠DPC，∠DPC>∠BAC，所以∠BDC>∠BAC.【反思】我们还可以连结AD并延长交BC于Q，如图，请大家试一试，看能不能得到相同的结论.【例7】已知三角形ABC的一个内角度数为40°，且∠A=∠B，你能求出∠C的外角的度数吗？【思考与分析】在三角形ABC中，∠A=∠B，因此三角形ABC是一个等腰三角形，我们必须要讨论40°的角是三角形ABC的顶角还是底角，应分两种情况解答.解：（1）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的顶角时，则∠α的外角等于180°－40°＝140°，而∠C＝∠α，所以∠C的外角的度数为140°.（2）设∠α＝40°，当∠α是等腰三角形的底角时，∠A=∠B＝∠α＝40°，此时∠C的外角＝∠A＋∠B＝80°.【例8】已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在的直线交于H，你能求出∠BHC的度数吗？【思考与分析】三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，因此我们应该分两种情况进行讨论.解：（1）当三角形ABC为锐角三角形时，如图1所示.因为BD、CE是三角形ABC的高，∠A=45°，所以∠ADB=∠BEH=90°，∠ABD=90°－45°＝45°.所以∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.（2）当三角形ABC为钝角三角形时，如图2所示.因为H是三角形的两条高所在直线的交点，∠A=45°，所以∠ABD＝90°－45°＝45°.所以在直角三角形EBH中，∠BHC=90°－∠ABD＝90°－45°＝45°.由（1）、（2）可知，∠BHC的度数为135°或45°.【小结】我们在解题中，经常遇到题目中某些条件交代不清，此时，我们一定要注意分情况考虑，用分类讨论的方法使解完整.【例9】如图，已知三角形ABC中，∠B=∠C＝2∠A，你能求出∠A的度数吗？【思考与分析】我们由三角形内角和可知，∠A+∠B+∠C=180°，又因为∠B=∠C＝2∠A，可得∠A+∠B+∠C=∠A＋2∠A＋2∠A＝180°，即可求出∠A 的度数.我们还可以用方程来解这道题，根据三角形内角和定理与∠B=∠C＝2∠A 这两个已知条件求未知量∠A的度数.用方程解决问题，我们必须在弄清题中已知数量和未知数量的关系的基础上，要抓住题中的不变量，建立等量关系.题中的不变量是三角形内角和等于180°，其等量关系是∠A+∠B+∠C=180°，然后我们用数学语言把这个等量关系式转化为方程.设∠A的度数为x，则可以用2x分别表示∠B、∠C的度数，将这个等式转化为方程x＋2x＋2x＝180°，即可求出∠A的度数.解法一：因为∠B=∠C＝2∠A，∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A+∠B+∠C=∠A ＋2∠A＋2∠A＝180°，即∠A＝36°.解法二：设∠A的度数为x，则∠B、∠C的度数都为2x，列方程得x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠A＝36°.【例10】判断适合下列条件的三角形ABC是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形.（1）∠A=80°，∠B=25°；（2）∠A－∠B=30°，∠B－∠C=36°；【思考与分析】根据角判断三角形的形状，我们只需求出三角形中各角的度数就可以了，本题判断三角形是否是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，只需求出三角形中最大角的度数即可.（1）题通过直接计算就可以求出∠C的度数，（2）（3）题不便于直接计算，可以运用方程思想抓住等量关系，列方程进行求解.解：（1）因为∠A＝80°，∠B=25°，所以∠C=180°-80°-25°=75°，所以三角形ABC是锐角三角形.（2）设∠B＝x°，则∠A＝（30+x）°，∠C＝（x-36）°，所以x°＋（30+x）°+（x-36）°＝180°，解得x＝62，所以最大角∠A＝92°，所以三角形ABC是钝角三角形.（3）设∠A＝x°，∠B＝2x°，∠C＝6x°，则x°＋2x°＋6x°＝180°，解得x ＝20，所以∠C＝120°，所以三角形ABC是钝角三角形.【小结】利用方程求角度是我们常用的方法之一.在三角形中，给出的条件不能直接求出结果，且各角之间有相互关系，我们可以设其中一个角为未知数，再把其它角用此未知数表示，然后列方程即可求解.1.利用高线与边垂直的性质求度数【例11】已知△ABC的高为AD，∠BAD=70°，∠CAD=20°，求∠BAC的度数．【思考与分析】由于AD为底边BC上的高，过A做底边BC的垂线时，垂足D可能落在底边BC上，也有可能落在BC的延长上.因此，我们需要分情况讨论．解：（1）当垂足D落在BC边上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70°+20°=90°.（2）当垂足D落在BC的延长线上时，如图，因为∠BAD=70°，∠CAD=20°，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70°-20°=50°．所以∠BAC为90°或50°．【小结】由于三角形可以分为锐角三角形、直角三角形与钝角三角形，在题目所给条件中如果没有确切说明三角形的具体类型时，我们就要分类讨论，以防遗漏.2. 利用三角形面积公式求线段的长度【例12】如图，△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC=5cm，AD=3cm，CE=4cm，你能求出AB的长吗？【思考与分析】由于三角形面积等于底与高乘积的一半.因此，三角形的面积就有三种不同的表达方式.我们若设△ABC的三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a，h b，h c，那么三角形的面积S=12ah a=12bh b=12ch c.本题中已知三角形的两条高与其中一条高所对应的边，求另一条边，利用三角形面积S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，解决十分方便.解：S△ABC =12BC·AD=12AB·CE1 2×5×3=12AB·4，解得AB=154（cm）．【小结】用同一个三角形不同的面积表达式建立等式求线段的长度，是一种很重要的方法，在今后的学习中，我们应注意这种方法的运用．【例13】如图，已知AD、AE分别是三角形ABC的中线、高，且AB＝5cm，AC＝3cm，则三角形ABD与三角形ACD的周长之差为，三角形ABD 与三角形ACD的面积之间的关系为.【思考与解】（1）三角形ABD与三角形ACD的周长之差＝（AB+BD+AD）－（AD+CD+AC）=AB+BD-CD-AC.而BD=CD ，所以上式＝AB-AC=5-3=2（cm ）.（2）因为S 三角形ABD ＝12BD×AE ，S 三角形ACD ＝12CD×AE ，而BD=CD ，所以S 三角形ABD ＝S 三角形ACD .【例14】如图，在三角形ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于为AB 上的一点，CF ⊥AD 于H.下列判断正确的有（）.（1）AD 是三角形ABE 的角平分线.（2）BE 是三角形ABD 边AD 上的中线.（3）CH 为三角形ACD 边AD 上的高.个个个个【思考与解】由∠1＝∠2，知AD 平分∠BAE ，但AD 不是三角形ABE 内的线段，所以（1）不正确；同理，BE 虽然经过三角形ABD 边AD 的中点G ，但BE 不是三角形ABD 内的线段，故（2）不正确；由于CH ⊥AD 于H ，故CH 是三角形ACD 边AD 上的高，（3）正确.应选A.【例15】如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AB ＝13cm ，BC=12cm ，AC=5cm.（1）求三角形ABC 的面积.（2）求CD 的长.【思考与分析】求直角三角形的面积，有两种方法：①S △=12ab （a 、b 为两条直角边的长）；②S △=12ch （c 为直角三角形斜边的长，h 为斜边上的高）.由此可知ab ＝ch ，在a 、b 、c 、h 四个量中，已知其中三个量，就可以求出第四个量.解：（1）在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC=12cm ，AC=5cm ，所以S△ABC ＝12AC×BC＝30（cm2）.（2）因为CD是AB边上的高，所以S△ABC ＝12AB×CD，即12×13×CD＝30.解得CD＝6013cm.【例16】如图1所示，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数吗？【思考与解】我们可以连结EF，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数转化为求四边形BCEF的内角和.如图2所示.因为∠A+∠D+∠AOD=∠OFE+∠EOF+∠OEF=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠OFE+∠OEF＋∠C+∠B+∠E+∠F＝360°.【例17】如图3，凸六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出这个六边形的周长吗？【思考与分析】要求六边形的周长，必须先求出边EF和AF的长.由六边形ABCDEF的六个角都是120°，可知六边形的每一个外角的度数都是60°，如图4，如果延长BA，得到的∠PAF=60°，延长EF，得到的∠PFA=60°，两条直线相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度数为180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等边三角形.同样的道理，我们分别延长AB、DC，交于点G，那么三角形BGC为等边三角形.分别延长FE、CD交于点H，则三角形DHE也是等边三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等边三角形.于是我们得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四个等边三角形.于是就把多边形的问题转化为和等边三角形有关的问题.利用等边三角形的三边相等的性质，可以轻松的求出AF和EF的长，从而求出六边形ABCDEF的周长.解：如图4，分别作直线AB、CD、EF的延长线使它们交于点G、H、P.因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°.所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等边三角形.所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm.所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm.所以六边形的周长为2＋8+11+6+4+15＝46cm.【反思】本题解题的关键是利用多边形和三角形的关系，通过添加辅助线，利用六边形构造出等边三角形，从而利用转化的思想，把多边形问题转化为和三角形有关的问题，利用三角形的性质、定理来解答多边形的问题.方程思想是我们学习数学的重要思想方法之一.用方程思想求解数学问题时，应从题中的已知量与未知量的关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程，再通过解方程，使问题得到解决.方程思想应用非常广泛.我们不但能用方程思想解决代数问题，而且还能够解决有关的几何问题.【例18】已知三角形的第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30°，求这三个内角的度数.【思考与分析】题中的已知量是“第一个内角是第二个内角的倍，第三个内角比这两个内角的和大30°”，未知量是这三个角的度数.题中没有给出三角形内角的度数.但第一个内角和第三个内角与第二个内角的度数相关联，所以解这道题的关键是求出第二个内角的度数.要想解决这个问题，不妨设第二个内角的度数为x，利用方程思想来解.根据三角形的内角和为180°，由此我们可以得到这样的等式关系：第一个内角＋第二个内角＋第三个内角＝180°.当我们用数学语言表示第二个内角为x，第一个内角为，第三个内角为x++30°，利用代换法，将上述的等量关系转化为方程：x+＋（x++30°）＝180°.通过解这个方程就能使问题得到解决.解：设这个三角形的第二个内角的度数为x，则第一个内角的度数为，第三个内角的度数为（x＋＋30°），列方程可得x+＋（x++30°）＝180°，解得x＝30°.所以三角形的三个内角分别为45°，30°，105°.【例19】如图，已知在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC 边上的高，求∠DBC的度数.【思考与分析】我们欲求∠DBC的度数，因为∠DBC是直角三角形DBC 的一个内角，因此问题转化为求∠C的度数，由已知条件知三角形ABC的三个内角关系为∠C=∠ABC=2∠A，又根据三角形内角和定理有等量关系：∠A+∠ABC+∠C＝180°，从而我们用一个角的度数来表示另外两个角，代入这个等量关系求三个内角的度数，即用方程的方法解决问题.可设∠A＝x，则∠C=∠ABC=2x，代入上述等量关系得方程x＋2x＋2x＝180°，可解得x的值，从而可求得∠DBC的度数.解：设∠A=x，∠C=∠ABC＝2x，在三角形ABC中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，则∠C＝72°.因为BD是AC边上的高，所以∠BDC＝90°.在直角三角形BDC中，∠DBC＝90°－72°＝18°.。

三角形中角度计算七大几何模型(学生版)-初中数学

三角形中角度计算七大几何模型【模型18字模型】 1【模型2飞镖模型】 5【模型3A字模型】 11【模型4老鹰抓小鸡模型】 14【模型5双内角平分线模型】 19【模型6双外角平分线模型】 24【模型7内外角平分线模型】 30【模型18字模型】【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D.【证明】在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°.在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°.∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D.【练习】1.如图，∠C=∠D=90°，∠A=20°，则∠COA=，∠B=．2.如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=．3.如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为4.如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于()A.240°B.300°C.360°D.540°6.如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．7.我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC．(1)如图1，试说明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；(2)如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用(1)中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系；(3)如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ=1 4∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系．【模型2飞镖模型】【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C.【证明】如图,延长BD交AC于点E.∠BEC是△ABE的外角，∵∠BEC=∠A+∠B.又∵∠BDC是△CDE的外角，∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.【练习】8.如图，∠BDC=98°，∠C=38°，∠B=23°，则∠A的度数是()A.37°B.61°C.60°D.39°9.如图，已知在△ABC中，∠A=40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD=( )度．A.90B.60C.50D.4010.如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为()A.90°B.180°C.360°D.无法确定11.在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F=°．12.如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°．13.如图，已知BE、CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC的度数是．14.【探究】如图①，求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C．【应用】(1)如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，∠A=28°，∠D=12°，∠ABC=64°，∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数；(2)如图③，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．15.已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．(1)如图1，若∠A=28°，∠B=72°，∠C=11°，求∠ADC；(2)如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．【模型3A字模型】【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A.【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A.【练习】16.如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，∠BDE+∠CED的值为()A.180°B.215°C.235°D.245°17.如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，∠1+∠2=214°，则∠A的度数为()A.17°B.34°C.68°D.无法确定18.如图，在△ABC中，∠C=70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=()A.140°B.180°C.250°D.360°19.在△ABC中，∠B=58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．20.如图，已知∠A=40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．【模型4老鹰抓小鸡模型】【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【证明】如图，连接AF.∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角，∴∠FCE=∠CAF+∠CFA，∴∠DBF+∠FCE=∠BAF+∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC，即∠BAC+∠BFC=∠DBF+∠FCE.【练习】21.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2等于()A.40°B.60°C.80°D.140°22.如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为()A.20°B.30°C.40°D.50°23.如图，三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1=20°，则∠2的度数为()A.80°B.90°C.100°D.110°24.如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是．25.一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．(点A′在△ABC的内部)(1)如图1，若∠A=45°，则∠1+∠2=°．(2)利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．(3)如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用(2)中得出的结论求∠BA′C的度数．26.Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．(1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠α=50°，求∠1+∠2的度数；(2)若点P在边AB上运动，如图(2)所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图(3)所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：．(不需说明理由)．【模型5双内角平分线模型】【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC=90°+12∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y.由△ABC的内角和为180°,得∠A+2x+2y=180°.①由△BDC的内角和为180°,得∠BDC+x+y=180°.②由②得x+y=180°-∠BDC.③把③代入①,得∠A+2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°+∠A，即∠BDC=90°+12∠A.【练习】27.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠BAC=80°，则∠BOC的度数是()A.130°B.120°C.100°D.90°28.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°，则∠CAD的度数为()A.20°B.30°C.45°D.50°29.如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为．30.已知在△ABC中，∠A=100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD．(1)如图1，求∠BDC的度数；(2)如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED-∠AFD=12°，求∠ACF的度数．31.已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O(1)若∠A=70°，求∠BOC的度数；(2)若∠A=a，求∠BOC的度数；∠ABC，∠OCB=(3)如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC=131∠ACB，∠A=a，求∠BOC的度数．332.已知△ABC 中，∠A =60°，在图(1)中∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O 1，则计算可得∠BO 1C =120°：(1)在图(2)中，设∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于O 1、O 2，得到∠BO 2C ．则∠BO 2C =；(2)在图(3)中请你猜想，当∠ABC 、∠ACB 同时n 等分时，(n -1)条等分角线分别对应交于O 1、O 2⋯O n -1，则∠BO n -1C =(用含n 的代数式表示)．【模型6双外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC 的外角平分线BD 和CD 相交于点D ，则∠BDC =90°-12∠A .【证明】设∠EBD =∠CBD =x ，∠BCD =∠FCD =y .由△BCD 的内角和为180°,得x +y +∠BDC =180°.②易得2x +2y =180°+∠A .②由①得x +y =180°-∠BDC .③把③代人②,得2(180°-∠BDC )=180°+∠A ，即2∠BDC =180°-∠A ，即∠BDC =90°-12∠A .【练习】33.如图，∠ABD 和∠ACE 是△ABC 的外角，BF 和CG 分别是∠ABD 和∠ACE 的角平分线，延长FB 和GC 交于点H ．设∠A =α，∠H =β，则α与β之间的数量关系为．34.在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线相交于点P ．∠ABC 的外角平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点Q ，当∠Q =65°，则∠BPC =°．35.如图，点F ，C 在射线AN 上，点B ，E 在射线AM 上，∠MEF 与∠NFE 的角平分线交于点P ，∠MBC 与∠NCB 的角平分线交于点G ．若∠G =67°，那么∠P =°．36.如图，△ABC 中，∠CAB =n °，∠CBA =m °，点D 是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB 到点G ，∠FCB 与∠CBG 的平分线将于点E ，若BE ∥AC ，则45n +35m =．37.如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，BD 是△ABC 内角∠ABC 的平分线，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，CD 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，以下结论不正确的是()A.AD ∥BCB.∠ACB =2∠ADBC.∠ADC =90°-∠ABDD.BD 平分∠ADC38.如图，AD ，BD 分别是△ABC 的外角∠BAF ，∠ABG 的角平分线；AE ，BE 分别是∠DAB ，∠ABD 的角平分线；AM ，BN 分别是∠FAD ，∠DBG 的角平分线．当∠C =( )时，AM ∥BN ．A.45°B.50°C.60°D.120°【模型7内外角平分线模型】【结论】如图所示，∠ABC 的内角平分线BD 和外角平分线CD 相交于点D ，则∠D =12∠A .【证明】设∠ABD =∠DBC =x ，∠ACD =∠ECD =y .由外角定理得2y =∠A +2x ，①y =∠D +x .②把②代人①,得2(∠D +x )=xA +2x ,即∠D =12∠A .【练习】39.如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，∠ABC 的角平分线和∠ACB 的外角平分线交于点P ；若∠BPC =25°，则∠ACB 的度数为()A.25°B.50°C.65°D.70°40.如图，BE 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CE 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABC =40°，∠ACD =100°，则∠A +∠E =()A.40°B.90°C.100°D.140°41.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 相交于点P ，若∠BPC =40°，则∠CAP 的度数为()A.40°B.50°C.55°D.60°42.如图，在△ABC 中，∠ACB <∠A ，BD 是角平分线，BE 是边AC 上的高，延长BD 与外角∠ACF 的平分线交于点G ．以下四个结论：①∠ABD =∠CBD ；②∠ABE +∠A =90°；③∠G =12∠A ；④∠A -∠ACB =2∠EBD ．其中结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.443.如图，在△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 和外角∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，⋯，∠A 2023BC 和∠A 2023CD 的平分线交于点A 2024，则∠A 2024的度数为()A.3022024 °B.3022023 °C.6022024 °D.6022023°44.如图，在△ABC 中，∠A =∠ABC ，BH 是∠ABC 的平分线，BD 和CD 是△ABC 两个外角的平分线，D 、C 、H 三点在一条直线上，下列结论中：①DB ⊥BH ；②∠D =90°-12∠A ；③DH ∥AB ；④∠H =12∠A ；⑤∠CBD =∠D ，其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个45.在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：(1)【问题再现】如图(1)，若∠MON =90°，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线交∠BAO 的平分线于点D ．则∠D =°；(2)【问题推广】①如图(2)，若∠MON =α(0°<α<180°)，(1)中的其余条件不变，则∠D =°(用含α的代数式表示)；②如图(2)，∠MON =α(0°<α<180°)，点A 、B 分别在OM 、ON 上运动(不与点O 重合)，点E 是OB 上一动点，BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与射线AE 交于点D ，若∠D =12α，则AE 是△OAB 的角平分线吗？请说明理由；(3)【拓展提升】如图(3)，若∠NBC=1m∠ABN，∠DAO=1m∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．。

五角星的认识与性质

五角星的认识与性质五角星是一种常见的几何形状，由五条线段组成，呈现出独特的形态。

它广泛存在于自然界和人类创作的艺术作品中，具有独特的美学价值和数学特性。

在本篇文章中，我们将对五角星的认识与性质进行探讨。

一、五角星的形态五角星由五条相等的线段组成，在空间中呈现出封闭的形状。

每条线段都与其他两条线段相交于一点，具有对称性。

五角星没有平行线段，因此不存在平行四边形、矩形等特殊形态。

二、五角星的性质1. 对称性：五角星具有轴对称性和点对称性。

轴对称性指五角星可以以某条线段为轴进行翻转对称，翻转后的五角星与原五角星完全一致。

点对称性指五角星可以以某个点为中心旋转180度，旋转后的五角星与原五角星完全一致。

2. 内角和：对于任意一个五角星，其内角和等于540度。

这是因为五角星可以划分为三个等腰三角形和两个等边三角形，每个三角形的内角和为180度，故而五角星的内角和为3*180+2*60=540度。

3. 黄金比例：五角星中各个线段之间存在黄金比例的关系，即相邻两个线段的比例等于整体线段与较大线段的比例。

这种黄金比例被广泛运用于建筑、艺术和设计中，被认为具有美学上的完美比例。

4. 特殊构造性质：五角星可以通过正五角形的方法构造。

正五角形是一种具有五个相等边和五个相等内角的多边形，通过将正五角形的对角线连接，即可构成五角星。

这种构造性质使得五角星在实际应用中具有一定的灵活性和可设计性。

三、五角星的应用五角星具有独特的美观和表现力，因此在各个领域中得到广泛应用。

1. 国旗和徽章：许多国家的国旗上都印有五角星的图案，如美国、中国等。

五角星代表着国家的象征和荣誉，描绘了一个国家的特色和精神。

2. 警徽和军标：五角星常常出现在警徽和军标中，代表着警察和军队的威严和勇气。

五角星的尖锐形状也暗示着警察和军人对公共安全的坚守和保卫。

3. 艺术创作：五角星常常出现在绘画、雕塑和装饰艺术中，被艺术家用来表达美学观念和独特的创意。

4. 数学研究：五角星作为一种几何形状，也在数学领域中得到广泛研究。

五角星线段的长度关系

五角星线段的长度关系五角星是一种常见的几何图形，由五条线段组成。

在五角星中，线段之间存在着特定的长度关系。

本文将从五角星线段的长度关系着手，探讨其相关特点。

我们来看五角星的基本构造。

五角星是由五条线段组成的，其中有一条线段作为五角星的中心轴，称为中轴线。

其他四条线段以中轴线为对称轴，呈放射状向外延伸。

这四条线段相互平行，且相邻两条线段长度相等。

我们可以用a、b、c、d来表示这四条线段的长度。

我们来分析五角星线段的长度关系。

根据五角星的构造特点，可以得出以下结论：1. 中轴线与周边线段之间的长度关系五角星的中轴线与周边线段之间存在一定的长度关系。

根据观察，我们可以发现中轴线的长度是周边线段长度的2倍。

即中轴线的长度等于2a。

2. 周边线段之间的长度关系在五角星的周边线段中，相邻两条线段长度相等。

即a=b=c=d。

3. 周边线段与中轴线之间的长度关系周边线段与中轴线之间存在一定的长度关系。

根据观察，我们可以发现周边线段的长度是中轴线长度的一半。

即a=0.5(2a)=a。

通过以上分析，我们可以总结出五角星线段的长度关系：中轴线长度：2a周边线段长度：a接下来，我们来探讨一下这些长度关系的应用。

1. 使用长度关系构造五角星根据五角星线段的长度关系，我们可以利用这些关系来构造五角星。

只需确定中轴线的长度，就可以确定周边线段的长度，并据此画出五角星的图形。

2. 利用长度关系计算五角星的面积五角星的面积可以通过周边线段的长度来计算。

我们知道，五角星可以看作是由五个等边三角形组成的。

而等边三角形的面积可以通过边长来计算。

由于周边线段的长度相等，因此我们可以利用周边线段的长度来计算五角星的面积。

3. 应用于美术设计和装饰五角星是一种常见的图案，在美术设计和装饰中经常会用到。

了解五角星线段的长度关系，可以帮助我们更好地设计和绘制五角星图案，使其更加美观和协调。

五角星线段的长度关系是五角星构造中的重要特点。

通过研究这些长度关系，我们可以更好地理解和应用五角星。

角的概念及其分类

角的概念及其分类在我们的日常生活和数学学习中，角是一个非常常见且重要的概念。

从建筑物的棱角到钟表指针的夹角，从三角形的内角到五角星的尖角，角无处不在。

那么，究竟什么是角？角又有哪些分类呢？让我们一起来深入探讨一下。

首先，我们来明确角的定义。

角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。

这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。

打个比方，就好像一个张开的剪刀，剪刀的两个刀刃就是角的边，而刀刃交汇的那个点就是角的顶点。

角的大小与边的长短无关，而是取决于两条边张开的程度。

两条边张开得越大，角就越大；两条边张开得越小，角就越小。

想象一下，一个圆规张开的角度，无论圆规的两条腿是长是短，只要张开的角度不变，角的大小就不变。

接下来，我们来看看角的分类。

根据角的大小，我们可以将角分为以下几类：锐角是指大于 0 度而小于 90 度的角。

比如一个等边三角形的每个内角都是 60 度，这就是一个锐角。

在日常生活中，我们使用的三角板中较小的那个角通常也是锐角。

直角是指等于 90 度的角。

我们的书本、桌面的四个角通常都是直角。

直角在几何图形中具有特殊的地位，很多几何问题的解决都依赖于直角的性质。

钝角则是大于90 度而小于180 度的角。

就像一把打开较大的折扇，其扇骨之间形成的角就可能是钝角。

平角等于 180 度。

当一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边在同一条直线上，方向相反时，所形成的角就是平角。

想象一下时钟的指针，从 6 点转到 12 点，指针所转过的角度就是平角。

周角等于 360 度。

一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角就是周角。

周角是角的一种特殊情况，就像一个完整的圆，它所对应的圆心角就是周角。

在实际应用中，角的概念和分类有着广泛的用途。

在建筑设计中，工程师需要精确计算各种角度，以确保建筑物的结构稳定和美观。

在物理学中，角度的测量和计算对于研究物体的运动和力学问题至关重要。

在地理学中，通过测量地球上不同地点之间的夹角，可以确定它们的相对位置。

利用五角星研究三角形的角