经济学课后计算题答案

第四章3. 已知生产函数Q ＝f(L，K)＝2KL－0.5L2－0.5K2，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。

(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TP L函数、劳动的平均产量AP L函数和劳动的边际产量MP L函数。

(2)分别计算当劳动的总产量TP L、劳动的平均产量AP L和劳动的边际产量MP L各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。

(3)什么时候AP L＝MP L？它的值又是多少？解答：(1)由生产函数Q ＝2KL－0.5L2－0.5K2，且K ＝10，可得短期生产函数为Q＝20L－0.5L2－0.5×102＝20L－0.5L2－50于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数劳动的总产量函数：TP L＝20L－0.5L2－50劳动的平均产量函数：AP L＝TP L/L＝20－0.5L－50/L劳动的边际产量函数：MP L＝d TP L/d L＝20－L(2)关于总产量的最大值：令d TP L/d L＝0，即20－L＝0解得L＝20且d2TP L/d L2＝－1＜0所以，当劳动投入量L ＝20时，劳动的总产量TPL 达到极大值。

关于平均产量的最大值：令d AP L/d L＝0，即d AP L/d L＝－0.5＋50L－2＝0解得L＝10(已舍去负值) 且d2AP L/d L2＝－100L－3＜0所以，当劳动投入量L ＝10时，劳动的平均产量AP L达到极大值。

关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数MP L＝20－L可知，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。

考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量L＝0时，劳动的边际产量MP L达到极大值。

(3)当劳动的平均产量AP L达到最大值时，一定有AP L＝MP L。

由(2)已知，当L＝10时，劳动的平均产量AP L达到最大值，相应的最大值为AP L的最大值＝20－0.5×10－50/10＝10;将L＝10代入劳动的边际产量函数MP L＝20－L，得MP L＝20－10＝10。

很显然，当AP L＝MP L＝10时，AP L一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为L=10。

6.假设某厂商的短期生产函数为Q＝35L＋8L2－L3。

求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。

(2)如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝Q(L)/L＝35＋8L－L2边际产量函数：MP(L)＝d Q(L)/d L＝35＋16L－3L2(2)首先需要确定生产要素L投入量的合理区间。

在生产要素L投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L2。

解得L＝0和L＝4。

L＝0不合理，舍去，故取L＝4。

在生产要素L投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35＋16L－3L2＝0。

解得L＝－5/3和L＝7。

L＝－5/3不合理，舍去，故取L＝7。

由此可得，生产要素L投入量的合理区间为[4,7]。

因此，企业对生产要素L的使用量为6是处于短期生产的合理区间的。

11.已知生产函数Q＝AL1/3K2/3。

判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？解答：(1)因为Q＝f(L，K)＝AL1/3K2/3f(λL，λK) =A（λL）1/3（λK）2/3=λAL1/3K1/3=λf(L,K)所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。

(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以K表示；而劳动投入量可变，以L表示。

对于生产函数Q=AL1/3K2/3，有：MP L=1/3AL-2/3K2/3，且d MP L/dL=-2/9 AL-5/3K-2/3<0这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。

相类似，在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量是递减的。

以上推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。

第五章3. 假定某企业的短期成本函数是TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66。

(1)指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分；(2)写出下列相应的函数：TVC(Q)、AC(Q)、A VC(Q)、AFC(Q)和MC(Q)。

解答：(1)在短期成本函数TC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q＋66中，可变成本部分为TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15Q；不变成本部分为TFC＝66。

(2)根据已知条件和(1)，可以得到以下相应的各类短期成本函数TVC(Q)＝Q3－5Q2＋15QAC(Q)＝TC(Q)/Q＝(Q3－5Q2＋15Q＋66)/Q＝Q2－5Q＋15＋66/QA VC(Q)＝TVC(Q)/Q＝(Q3－5Q2＋15Q)/Q＝Q2－5Q ＋15AFC(Q)＝TFC/Q＝66/Q MC(Q)＝d TC(Q)/d Q＝3Q2－10Q＋155. 假定某厂商的边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100，且生产10单位产量时的总成本为1 000。

求：(1)固定成本的值。

(2)总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。

解答：(1) 根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC＝3Q2－30Q＋100积分可得总成本函数，即有TC＝∫(3Q2－30Q＋100)d Q＝Q3－15Q2＋100Q＋α(常数)又因为根据题意有Q＝10时的TC＝1 000，所以有TC ＝103－15×102＋100×10＋α＝1 000解得α＝500；所以，当总成本为1 000时，生产10单位产量的总固定成本TFC＝α＝500。

(2) 由(1)可得TC(Q)＝Q3－15Q2＋100Q＋500TVC(Q)＝Q3－15Q2＋100Q AC(Q)＝TC(Q)/Q＝Q2－15Q＋100＋500/QA VC(Q)＝TVC(Q)/Q＝Q2－15Q＋1008.已知生产函数Q＝A1/4L1/4K1/2；各要素价格分别为P A＝1，P L＝1，P K＝2；假定厂商处于短期生产，且16=k。

推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变成本函数；边际成本函数。

解答：本题应先运用拉格朗日函数法，推导出总成本函数TC(Q)，然后再推导出相应的其他各类函数。

具体地看，由于是短期生产，且16=k，P A＝1，P L＝1，P K＝2，故总成本等式C＝P A·A＋P L·L＋P K·K可以写成：C＝1·A＋1·L＋32＝A＋L＋32生产函数Q＝A1/4L1/4K1/2可以写成Q＝A1/4L1/4K1/2＝4A1/4L1/4而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。

因此，根据以上的内容，相应的拉格朗日函数法表述如下min,(A，L)A＋L＋32s.t.4A1/4L1/4＝Q(其中，Q为常数) L(A，L，λ)＝A＋L＋32＋λ(Q－4A1/4L1/4)将以上拉格朗日函数分别对A、L、λ求偏导，得最小值的一阶条件为∂L/∂A＝1－λA－3/4L1/4＝0(1)∂L/∂L＝1－λA1/4L－3/4＝0(2)∂L/∂λ＝Q－4A1/4L1/4＝0(3)由式(1)、式(2)可得：L/A＝1/1 即L＝A将L＝A代入约束条件即式(3)，得：Q－4A1/4A1/4＝0解得A*＝Q2/16且L*＝Q2/16在此略去关于成本最小化问题的二阶条件的讨论。

于是，有短期生产的各类成本函数如下TC(Q)＝A＋L＋32＝Q2/16+Q2/16＋32＝Q2/8＋32AC(Q)＝TC(Q)/Q＝Q/8＋32/QTVC(Q)＝Q2/8AVC(Q)＝TVC(Q)/Q＝Q/8MC(Q)＝d TC(Q)/d Q＝1/4Q9. 已知某厂商的生产函数为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投入量K＝50时资本的总价格为500；劳动的价格P L＝5。

求：(1)劳动的投入函数L＝L(Q)。

(2)总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。

(3)当产品的价格P＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？解答：根据题意可知，本题是通过求解成本最小化问题的最优要素组合，最后得到相应的各类成本函数，并进一步求得相应的最大利润值。

(1)因为当K＝50时的资本总价格为500，即P K·K＝P K·50＝500，所以有P K＝10。

根据成本最小化的均衡条件MP L/MP K＝P L/P K，其中，MP L＝1/6L－2/3K2/3，MP K＝2/6L1/3K－1/3，P L＝5，P K＝10。

于是有1056/26/131313232=--KLKL整理得K/L＝1/1即K＝L将K＝L代入生产函数Q＝0.5L1/3K2/3，有Q＝0.5L1/3L2/3得劳动的投入函数L(Q)＝2Q。

此外，也可以用以下的拉格朗日函数法求解L(Q)。

具体如下：min,(L，K)5L＋10Ks.t.0.5L1/3K2/3＝Q(其中Q为常数)L(L，K，λ)＝5L＋10K＋λ(Q－0.5L1/3K2/3)一阶条件为∂L/∂L＝5－1/6λL－2/3K2/3＝0(1)∂L/∂K＝10－2/6λL1/3K－1/3＝0 (2)∂L/∂λ＝Q－0.5L1/3K2/3＝0 (3)由式(1)、式(2)可得：K/L ＝1/1 即：K＝L将K＝L代入约束条件即式(3)，可得：Q＝0.5 L1/3K2得劳动的投入函数L(Q)＝2Q (2)将L(Q)＝2Q代入成本等式C＝5L＋10K得TC(Q)＝5×2Q＋500＝10Q＋500AC(Q)＝TC(Q)/Q＝10＋500/QMC(Q)＝d TC(Q)/d Q＝10 (3)由(1)可知，K＝L，且已知K＝50，所以，有K＝L ＝50。

代入生产函数，有Q＝0.5L1/3K2/3＝0.5×50＝25由于成本最小化的要素组合(L＝50，K＝50)已给定，相应的最优产量Q＝25也已给定，且令市场价格P ＝100，所以，由利润等式计算出的就是厂商的最大利润。

厂商的利润＝总收益－总成本＝P·Q－TC＝P·Q－(P L·L＋P K·K)＝(100×25)－(5×50＋500)＝2 500－750＝1 750。

所以，本题利润最大化时的产量Q＝25，利润π＝1 750。

第六章3.请分析在短期生产中追求利润最大化的厂商一般会面临哪几种情况？解答：在短期生产中，厂商根据MR＝SMC这一利润最大化或亏损最小化的原则进行生产。

在实现MR＝SMC原则的前提下，厂商可以获得利润即π>0，也可以收支平衡即π＝0，也可以亏损即π<0，其盈亏状况取决于厂商的生产技术、成本以及市场需求情况。