线性代数第三章(B)1
线性代数第3章向量空间
表示, 又 m>n, 由表示不等式
r(Blm ) r( Aln ) n m 从而 B 必相关.
-26-
(6) “短的无关, 则长的也无关.等价地… ” P101推论3
无穷多种表示, 并求所有表示方法.
解 记 A [1,2 ,3 ] 只需讨论 Ax 解的情况.
具体解方程组过程略。
0 时,方程组无解, 不能由 A 表示. 0 且 3时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.
-12-
3 时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.
1
1 2
,
2
3 4
是无关的.
1
3
n r( Amn ) r(Bln ) n
1 , 2 也是无关的.
2
4
r(Bln ) n
1
再如:1
2 0 0
,
0
2
101,
0
3
9 0 1
.
-27-
(7)含有n个向量的n元向量组线性相关(无关)
由它构成的n阶矩阵的行列式 | A | 0 (| A | 0) 例4 t 取何值时,下列向量组线性相关 ? P101推论2
(用矩阵的秩) r( A) n
把向量组排成矩阵,如果矩阵的秩等于向量的个数就线性 无关,否则如果矩还阵是的转秩换小!于转向换量线的性个无数关就…线性相关。
-18-
例1
1
0
2
1 1,2 2,3 4,
1
5
7
问向量组 {1,2 ,3 } 和 {1,2 }的线性相关性?
【知识】线性代数第3章知识梳理
【关键字】知识本章结构常用方法:1、矩阵化等价标准形,求出矩阵的秩,则标准形2、求矩阵的逆3、消元法求线性方程组的解增广矩阵行最简阶梯4、求矩阵的秩5、判断向量能否由向量组线性表示以为列向量的矩阵行最简阶梯6、求向量组的秩和一个极大无关组,并将其它向量用该极大无关组线性表示以为列向量的矩阵行最简阶梯7、用根底解系表示(非)齐次线性方程组的全部解增广矩阵行最简阶梯一、用消元法求解非齐次线性方程组1、,进而求出和2、观察和的关系:(1) ,方程组无解;(2) ,方程组有解:①、,方程组有唯一解;②、,方程组有无穷多个解.3、在有解的情况下,将阶梯形矩阵继续进行初等行变换,从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零;4、写出相应的同解方程组,令自由未知量取任意常数,可得方程组的全部解。
定理3.1线性方程组有解,且当时方程组有唯一解;当,方程组有无穷多个解.二、用消元法求解齐次线性方程组:1、,进而求出;2、观察:(1) ,方程组有唯一解,即只有零解;(2) ,方程组有无穷多个解,即有非零解;3、在有解的情况下,将阶梯形矩阵继续进行初等行变换,从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零;4、写出相应的同解方程组,令自由未知量取任意常数,可得方程组的全部解。
定理3.2齐次方程组有非零解推论当,即当方程个数小于未知元个数时,齐次线性方程组有非零解三、维向量的概念及线性运算(看作特殊的矩阵)书P121-123四、向量与向量组的线性组合(向量由向量组线性表示)对非齐次线性方程组,设,,则线性方程组可表示,从而.定义3.5 (P124)对于给定向量,如果存在一组数,使成立,则称向量是向量组的线性组合,或称向量可由向量组线性表示。
线性组合的判别定理设向量,向量,则五、向量组的线性相关性对齐次线性方程组,设,,则齐次线性方程组可表示为.它一定有零解,考虑其是否有非零解:定义3.7(P128)对于向量组,如果存在一组不全为零的数使成立,则称向量组线性相关;否则称向量组线性无关.注:(1)线性无关.(2)一个零向量线性相关;一个非零向量线性无关.(3)包含零向量的任何向量组都是线性相关的.(4)仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。
线性代数 第三章
( b1 , b2 ,, bm 为不全为零的常数) (3-1-1)
在上一章知道,它的矩阵表达式为 常数项与未知阵。
a11 a 21 A , B 将系数矩阵与常数项矩阵放在一起构成的矩阵 ~ 称为方程组(3-1-1)的增广矩阵(也可记作 A )。 a m1
第三章 向量组与线性方程组
• 3.1 线性方程组及其矩阵表示
设非齐次线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
Ax B与 Sx T 同解。(证)
证明 由于对矩阵作一次初等行变换等价于矩阵左乘一个初等矩阵,因此存在初等矩 阵 P 记 Pk Pk 1 P1 P 显然 P 可逆。 1, P 2 ,, P k 使得 P kP k 1 P 1 ( A, B) ( S , T )
x x1 为 Ax B 的解,即 Ax1 B Sx1 T 于是 x x1 为 Sx T 的解。
21 1
22
2
2n
n
x1 2 x 2 2 x3 x 4 1 【例1】把线性方程组 2 x1 x 2 2 x 2 5 x 4 2 表示为矩阵方程的形式。 x 3 x 7 x 4 x 0 2 3 4 1 x1 1 2 2 1 1 解 设 A x2 B 2 1 2 5 2 则原方程组可表示为 Ax B x 1 3 7 4 0 x3 x 4
Ax B 其中 A, B, x 分别是系数阵、
线性代数第三章
线性代数第三章1.【线性无关与线性相关】要点重点记住线性相关与线性无关的定义式,其他种种皆可由此推导引申出来。
这节希望大家能理解向量从二三维扩展到n维的思路过程,当对于空间的理解不能再用几何意义来描述时,代数的表示就扩展了向量的深度与广度,从而可以满足工程和经济模型分析的需要。
从几何到代数,就是从低维到高维抽象的线性代数方法论。
本节需要大家掌握的要点是:2.【向量组的秩】要点我们说过,如果一个向量组中向量的个数非常多时,要去研究这个庞大的向量组是很困难的。
此时,如果有一个向量个数较少的向量组同样能反映这个大向量组的性质,那么我们在实际工程计算中就可以大大简化计算量和工作量了。
极大无关组就是属于向量组中与其等价的无关向量组中向量最少的一个,我们可以通过研究该向量组的极大无关组来研究这个大向量组。
而我们在这节课学的一系列定理和证明,其实就是证明以上的思路是可行的,且还推导得出一个求极大无关组和秩比较简便的算法。
看了基的定义,是不是非常眼熟啊??对了,就是跟极大无关组相同哦,不过一个是以空间阐述,一个是代数上的阐述。
此处,注意把单个向量分量的维度与空间的维度区分开。
比如,u=(2,1),v=(4,2)都是2维向量,可是因为他俩线性相关,张成的空间降维了,构成的却是一维空间。
以上基与维数的定义就解答了以下几个问题:空间的维度是几维?空间又是由什么生成的呢?可以生成空间的基不唯一,而每一组基一旦确定,其余向量在这组基中的坐标也就唯一确定了。
那么,既然基不唯一,如果我换一组基,某向量原来在这组基的坐标是不是也就转换了呢?基与坐标的含义呢,其实就可以理解为,如果我们在一个空间中找的参照物不同,那么对应该参照物角度的坐标就会不同的意思。
线性代数_第三章
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.
推论1 两个等价的且线性无关的向量组,含有相 同个数的向量。
推论2 等价的向量组有相同的秩。
推论3 向量组(I)的秩为r1,向量组(II)的秩为r2,且
组(I)可由组(II)线性表出,则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1
显然第三行是前两行的代数和; 也就是说,第三个方程能由前两 个方程“表示”;
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.
证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n,则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是,其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证:必要性. 因为Q可逆,必有l1,l2,…,lm不全为零, 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此,R(A)=m。
线性代数 第三章
第三章 向量组与矩阵的秩§1 n 维向量在平面几何中,坐标平面上每个点的位置可以用它的坐标来描述,点的坐标是一个有序数对(,)x y .一个n 元方程1122n n a x a x a x b +++=可以用一个1n -元有序数组12(,,,,)n a a a b来表示.1n ⨯矩阵和1n ⨯矩阵也可以看作有序数组.一个企业一年中从1月到12月每月的产值也可用一个有序数组1212(,,,)a a a 来表示.有序数组的应用非常广泛,有必要对它们进行深入的讨论.定义 1 n 个数组成的有序数组12(,,,)n a a a (3.1)或12n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.2)称为一个n 维向量,简称向量.一般,我们用小写的粗黑体字母,如,α,β,γ等来表示向量,(3.1)式称为一个行向量,(3.2)式称为一个列向量.数12,,,n a a a 称为这个向量的分量.i a 称为这个向量的第i 个分量或坐标.分量都是实数的向量称为实向量;分量是复数的向量称为复向量.实际上,n 维行向量可以看成1n ⨯矩阵,n 维列向量也常看成1n ⨯矩阵.下面我们只讨论实向量.设k 和l 为两个任意的常数.α,β和γ为三个任意的n 维向量,其中12(,,,)n a a a =α, 12(,,,)n b b b =β.定义 2 如果α和β对应的分量都相等,即,1,2,,i i a b i n ==就称这两个向量相等,记为α=β.定义 3 向量(a 1+b 1,a 2+b 2,…,a n +b n )称为α与β的和,记为α+β.称向量(ka 1,ka 2,…,ka n )为α与k 的数量乘积,简称数乘,记为k α.定义 4 分量全为零的向量(0, 0, …, 0)称为零向量,记为0.α与-1的数乘(-1)α=(-a 1,-a 2,…,-a n )称为α的负向量,记为-α.向量的减法定义为α-β=α+(-β).向量的加法与数乘具有下列性质: (1) α+β=β+α;(交换律) (2) (α+β)+γ=α+(β+γ);(结合律) (3) α+0=α;(4) α+(-α)=0; (5) k (α+β)=k α+k β; (6) (k +l )α=k α+l α; (7) k (l α)=(kl )α; (8) 1α=α; (9) 0α=0; (10) k 0=0.在数学中,满足(1)-(8)的运算称为线性运算.我们还可以证明:(11) 如果k ≠0且α≠0, 那么k α≠0.显然n 维行向量的相等和加法、减法及数乘运算的定义,与把它们看作1×n 矩阵时的相等和加法、减法及数乘运算的定义是一致的.对应地,我们也可以定义列向量的加法、减法和数乘运算,这些运算与把它们看成矩阵时的加法、减法和数乘运算也是一致的,并且同样具有性质(1)-(11).§2线性相关与线性无关通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组,n 维行量组α1,α2,…,αs 可以排列 成一个s ×n 分块矩阵12s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦a a A a ,其中αi 为由A 的第i 行形成的子块,α1,α2,…,αs 称为A的行向量组.n 维列向量组β1,β2,…,βs 可以排成一个n ×s 矩阵B=(β1,β2,…,βs ),其中βj 为B的第j 列形成的子块,β1,β2,…,βs 称为B 的列向量组.很多情况下,对矩阵的讨论都归结于对它们的行向量组或列向量组的讨论.定义 5 向量组α1,α2,…,αs 称为线性相关的,如果有不全为零的数k 1,k 2,…,k s , 使1si ii k =∑a=k 1α1+k 2α2+…+k s αs =0. (3.3)反之,如果只有在k 1= k 2 = … =k s =0时(3.3)才成立,就称α1,α2,…,αs 线性无关. 换言之,当α1,α2,…,αs 是行向量组时,它们线性相关就是指有非零的1×s 矩阵 (k 1,k 2,…,k s )使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0a a a .当α1,α2,…,αs 为列向量组时,它们线性相关就是指有非零的s ×1矩阵(k 1,k 2,…,k s )′使1212(,,,)s s k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦0a a a .显然单个零向量构成的向量组是成性的相关的. 例1 判断向量组12(1,0,,0),(0,1,,0),(0,0,,1)n =⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩εεε 的线性相关性.解 对任意的常数k 1,k 2,…,k n 都有k 1ε1+k 2ε2+…+k n εn =(k 1,k 2,…,k n ).所以k 1ε1+k 2ε2+…+k n εn =0当且仅当k 1=k 2=…=k n =0.因此ε1,ε2,…,εn 线性无关.ε1,ε2,…,εn 称为基本单位向量. 例2 判断向量组α1=(1,1,1), α2=(0,2,5), α3=(1,3,6)的线性相关性.解 对任意的常数k 1,k 2, k 3都有k 1α1+k 2α2+ k 3α3=(k 1+k 3,k 1+2k 2+3k 3,k 1+5k 2+6k 3).所以k 1α1+k 2α2+ k 3α3=0当且仅当131231230,230,560.k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 由于k 1=1,k 2=1,k 3=-1满足上述的方程组,因此1α1+1α2+(-1)α3=α1+α2-α3=0.所以α1,α2,α3线性相关.例3 设向量组α1,α2,α3线性无关,β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1, 试证向量组β1,β2,β3也线性无关.证 对任意的常数都有k 1β1+k 2β2+k 3β3=(k 1+k 3)α1+(k 1+k 2)α2+(k 2+k 3)α3 .设有k 1,k 2,k 3使k 1β1+k 2β2+k 3β3=0.由α1,α2,α3线性无关, 故有1312230,0,0.k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 由于满足此方程组的k 1,k 2,k 3的取值只有k 1=k 2=k 3=0,所以β1,β2,β3线性无关.定义 6 向量α称为向量组β1,β2,…,βt 的一个线性组合,或者说α可由向量组β1,β2,…,βt 线性表出(示),如果有常数k 1,k 2,…,k t 使α=k 1β1+k 2β2+…+k t βt . 此时,也记1ti ii k ==∑a β.例4 设α1=(1,1,1,1),α2=(1,1,-1,-1),α3=(1,-1,1,-1),α4=(1,-1,-1,1), β=(1,2,1,1).试问β能否由α1,α2,α3,α4线性表出?若能,写出具体表达式.解 令β=k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4α4于是得线性方程组12341234123412341211k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩ 因为1111111116011111111D ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==-≠⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦, 由克莱姆法则求出1234511,,444k k k k ====-所以12345111,4444=+--βαααα即β能由α1,α2,α3,α4线性表出.例5 设α=(2,-3,0),β=(0,-1,2),γ=(0,-7,-4),试问γ能否由α,β线性表出? 解 设 γ=k 1α+k 2β 于是得方程组1122203724k k k k =⎧⎪--=-⎨⎪=-⎩由第一个方程得k 1=0,代入第二个方程得k 2=7,但k 2不满足第三个方程,故方程组无解.所以γ不能由α,β线性表出.定理 1 向量组α1,α2,…,αs (s ≥2) 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出.证 设α1,α2,…,αs 中有一个向量能由其他向量线性表出,不妨设α1=k 2α2+k 3α3+…+k s αs ,那么-α1+k 2α2+…+k s αs =0,所以α1,α2,…,αs 线性相关.反过来,如果α1,α2,…,αs 线性相关,就有不全为零的数k 1,k 2,…,k s , 使k 1α1+k 2α2+…+k s αs =0.不妨设k 1≠0, 那么32123111.ss k k k k k k =----αααα 即α1能由α2,α3,…,αs 线性表出.例如,向量组α1=(2,-1,3,1),α2=(4,-2,5,4),α3=(2,-1,4,-1) 是线性相关的,因为α3=3α1-α2.显然,向量组α1,α2线性相关就表示α1=k α2或者α2=k α1(这两个式子不一定能同时成立).此时,两向量的分量成正比例.在三维的情形,这就表示向量α1与α2共线.三个向量α1,α2,α3线性相关的几何意义就是它们共面.定理 2 设向量组β1,β2,…,βt 线性无关,而向量组β1,β2,…,βt ,α线性相关,则α能由向量组β1,β2,…,βt 线性表出,且表示式是惟一的.证 由于β1,β2,…,βt ,α线性相关,就有不全为零的数k 1,k 2,…,k t ,k 使k 1β1+k 2β2+…+k t βt +k α=0.由β1,β2,…,βt 线性无关可以知道k ≠0. 因此1212tt k k kk kk=----αβββ, 即α可由β1,β2,…,βt 线性表出.设α=l 1β1+l 2β2+…+l t βt =h 1β1+h 2β2+…+h t βt为两个表示式.由α-α=(l 1β1+β2+…+l t βt )-(h 1β1+h 2β2+…+h t βt )=(l 1-h 1)β1+(l 2-h 2)β2+…+(l t -h t )βt =0和β1,β2,…,βt 线性无关可以得到l 1=h 1, l 2=h 2, …, l t =h t .因此表示式是惟一的.定义 7 如果向量组α1,α2,…,αs 中每个向量都可由β1,β2,…,βt 线性表出,就称向量组α1,α2,…,αs 可由β1,β2,…,βt 线性表出,如果两个向量组互相可以线性表出,就称它们等价.显然,每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时,如果向量组α1,α2,…,αt 可以经向量组β1,β2,…,βs 线性表出,向量组β1,β2,…,βs 可以经向量组12,,,p γγγ线性表出,那么向量组α1,α2,…,αt 可以经向量组12,,,p γγγ线性表出.事实上,如果1,1,2,,,si ij j j k i t ===∑αβ1,1,2,,,pj jmm m lj s ===∑βγ那么111111pppsss i ij jm m ij jm m ij jm m j m j m m j k l k l k l ======⎡⎤===⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑αγγγ.这就是说,向量组α1,α2,…,αt 中每一个向量都可以经向量组12,,,p γγγ线性表出.因而,向量组α1,α2,…,αs 可以经向量组12,,,p γγγ线性表出.由上述结论,得到向量组的等价具有下述性质:(1) 反身性:向量组α1,α2,…,αs 与它自己等价.(2) 对称性:如果向量组α1,α2,…,αs 与β1,β2,…,βt 等价,那么β1,β2,…,βt 也与α1,α2,…,αs 等价.(3) 传递性:如果向量组α1,α2,…,αs 与β1,β2,…,βt 等价,而向量组β1,β2,…,βt 又与12,,,p γγγ等价,那么α1,α2,…,αs 与12,,,p γγγ等价.§ 3线性相关性的判别定理利用定义判断向量组的线性相关性往往比较复杂,我们有时可以直接利用向量组的特点来判断它的线性相关性,通常称一个向量组中的一部分向量组为原向量组的部分组.定理 3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关. 证 设向量组α1,α2,…,αs 有一个部分组线性相关.不妨设这个部分组为α1,α2,…,αr .则有不全为零的数k 1,k 2,…,k r 使1110,s r si ii iji i j r k k ===+=+=∑∑∑0ααα因此α1,α2,…,αs 也线性相关.推论 含有零向量的向量组必线性相关. 定理 4 设p 1,p 2,…,p n 为1, 2, …,n 的一个排列,α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 为两向量组,其中1212n ip i ip i i i in ip ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααααα=,βαα, 即β1,β2,…,βs 是对α1,α2,…,αs 各分量的顺序进行重排后得到的向量组,则这两个向量组有相同的线性相关性.证 对任意的常数k 1,k 2,…,k s 注意到列向量111221*********1122s s ss s i i i n n s sn k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦∑αααααααααα和1112221122112211122n n n p p s sp sp p s sp i i i p p s sp k k k k k k k k k k =+++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦∑ααααααβααα 只是各分量的排列顺序不同,因此k 1β1+k 2β2+…+k s βs =0当且仅当k 1α1+k 2α2+…+k s αs =0.所以α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βs 有相同的线性相关性.定理4 是对列向量叙述的.对行向量也有相同的结论.类似这样的情形,今后不再说明.定理 5 在r 维向量组α1,α2,…,αs 的各向量添上n -r 个分量变成n 维向量组β1,β2,…,βt .(1)如果β1,β2,…,βs t 线性相关,那么α1,α2,…,αs 也线性相关. (2) 如果α1,α2,…,αs 线性无关,那么β1,β2,…,βs 也线性无关. 证 我们对列向量来证明定理,设(α1,α2,…,αs )=A1,(β1,β2,…,βs )=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A ,如果β1,β2,…,βs 线性相关,就有一个非零的s ×1矩阵X使(β1,β2,…,βs )X=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A X=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦X X A A =0. 从而(α1,α2,…,αs )X =A1X=0.因此α1,α2,…,αs 也线性相关,即(1)成立.利用(1),用反证法容易证明(2)也成立.引理 1 如果n 阶方阵A 的行列式等于零,那么A 的行(列)向量组线性相关.证 因|A |=0,由上章内容,用初等行变换把A 化成上三角矩阵D ,主对角线上至少有一个元素为零,即11121222000n n nn d d d dd d ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦D中至少有一个d ij =0.如果d nn =0,那么D 最后一行元素全为零,可见A 中有一行可由其余行线性表出,因此,A 的行向量组线性相关.如果d nn ≠0,设D 的主对角线上元素d 11,d 22,…,d nn 中从后起第一个等于零的数为d jj .易见,对D 再施行几次初等行变换后,可得到第j 行全为零的矩阵.同样得出A 中有一行可由其余行线性表出.因此,A 的行向量组线性相关.当|A|=0时,|A′|=0,A 的列向量组可看成A ′的行向量组,得A 的列向量组也线性相关.定理 6 n 维向量组α1,α2,…,αn 线性无关的充要条件是矩阵11112122122212n n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A ααα 的行列式不为零(A 可逆).此时,矩阵A 的n 个列向量也线性无关.证 如果|A|≠0,(k 1,k 2,…,k n )A =0,两边同时右乘A-1得(k 1,k 2,…,k n )=0,所以α1,α2,…,αn 线性无关.反过来,如果α1,α2,…,αn 线性无关.反设|A|=0,由引理1,A 的行向量组α1,α2,…,αn 线性相关,矛盾.由上面证明可以看出,当|A|≠0时,|A′|≠0,可见A 的n 个列向量也线性无关.例6 试证明n 维列向量组α1,α2,…,αn 线性无关的充分必要条件是行列式1112121222120n n nn nn '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥=≠⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦D αααααααααααααααααα证 令矩阵A ={α1,α2,…,αn }则向量组α1,α2,…,αn 线性无关⇔行列式|A |≠0.由于[]1111212212221212n n n nnn nn ''''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''''⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''''⎣⎦⎣⎦A ααααααααααααααA αααααααααα在上式两端取行列式,得|A |2=|A ′||A |=D故|A |≠0⇔D ≠0,所以α1,α2,…,αn 线性无关⇔D ≠0.定理 7 n +1个n 维向量α1,α2,…,αn +1必线性相关.证 对每个αs 添加等于零的第n +1个分量,得到n +1维向量β1,β2,…,βn +1.易见,由β1,β2,…,βn +1构成的方阵的行列式等于零,因而β1,β2,…,βn +1线性相关,由αi 与βi 的关系,易知α1,α2,…,αn +1也线性相关.推论 当m >n 时,m 个n 维向量线性相关. 讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性:123132221;021.343201-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B C由于|B|=2≠0,因此B的行(列)向量组线性无关; 由于|C|=0,所以C 的行(列)向量组线性相关.定理 8 如果向量组α1,α2,…,αs 可由β1,β2,…,βt 线性表出且s >t ,那么α1,α2,…,αs 线性相关.证 我们不妨假定讨论的是列向量,如果α1,α2,…,αs 可由β1,β2,…,βt 线 性表出,那么()()121212i i i n n i it p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦αββββββγ.令A=(γ1,γ2,…,γs ),有(α1,α2,…,αs )=(β1,β2,…,βt )A,这里γ1,γ2,…,γs 为由s 个向量组成的t 维向量组.注意到s >t ,根据推论,它们必线性相关.因此有非零s ×1矩阵(k 1,k 2,…,k s )′使112212(,,,)s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0A γγγ.从而()11221212(,,,)s s s s k k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦0αααβββA .即有α1,α2,…,αs 线性相关.推论 1 如果向量组α1,α2,…,αs ,可由向量组β1,β2,…,βt 线性表出,且α1,α2,…,αs 线性无关,那么s ≤t .推论 2 两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量.§ 4向量组的秩与矩阵的秩定义 8 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量(如果还有的话),所得的部分组都线性相关.例7 在向量组α1=(2,-1,3,1),α2=(4,-2,5,4),α3=(2,-1,4,-1)中,α1,α2为它的一个极大线性无关组.首先,由α1与α2的分量不成比例,所以α1,α2线性无关,再添入α3以后,由α3=3α1-α2可知所得部分组线性相关,不难验证α2,α3也为一个极大线性无关组.我们容易证明定义8与下列定义8′等价.定义 8′ 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出.向量组的极大线性无关组具有以下性质:性质 1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价. 性质 2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价.性质 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.性质3表明向量组的极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关,它反映了向量组本身的特征.定义 9 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 例如,例7中向量组α1,α2,α3的秩为2. 线性无关向量组本身就是它的极大线性无关组,所以我们有:一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同.我们知道每个向量组都与它的极大线性无关组等价,由等价的传递性可知任意两个等价的向量组的极大线性无关组也等价,根据定理8的推论1就有等价的向量组必有相同的秩.如果向量组α1,α2,…,αs 能由向量组β1,β2,…,βt 线性表出,那么α1,α2,…,αs的极大线性无关组可由β1,β2,…,βt 的极大线性无关组线性表出.因此α1,α2,…,αs 的秩不超过β1,β2,…,βt 的秩.定理 9 向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组.证 设,i i i 12καα,,α是向量组α1,α2,…,αs 中的一个线性无关的部分组,如果α1,α2,…,αs 中每个向量都可由这个部分组线性表出,那么这个部分组就是一个极大线性无关组,如果还有某向量αik +1不能被这个部分组线性表出,那么由121121i i k i l l l κ+++++ααα=0就有l k +1=0.再由原部分组线性无关就可得l 1=l 2=…=l k =l k +1=0.这样,我们就得到了一个含k +1个向量的线性无关的部分组121,i i i κ+αα,,α.重复这个过程,最后必可得到α1,α2,…,αs 的一个线性无关的部分组使向量组中每个向量都可由这个部分组线性表出,这个部分组就是一个极大线性无关组.推论 秩为r 的向量组中任意含r 个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组. 例8 求向量组α1=(1,-1,0,3),α2=(0,1,-1,2),α3=(1,0,-1,5),α4=(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.解 α1是α1,α2,α3,α4的一个线性无关的部分组,显然α2不能由α1线性表示,所以α1可以扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,容易证明α3=α1+α2,但α4不能由α1,α2线性表出,所以α1,α2又可扩充为一个线性无关的部分组α1,α2,α4,从而α1,α2,α3,α4的秩为3,α1,α2,α4是它的一个极大线性无关组. 定义 10 矩阵的行秩是指它的行向量组的秩,矩阵的列秩是指它的列向量组的秩.为了证明一个矩阵的行秩等于列秩,我们引入矩阵的子式的概念.定义 11 在一个s ×n 矩阵A 中任意选定k 行和k 列,位于这些选定的行和列的交点上的k 2个元素按原来的次序所组成的k ×k 级矩阵的行列式,称为A 的一个k 级子式.在定义中,当然有k ≤m in (s ,n )(s ,n 中较小的一个). 例9 在矩阵11361012400005301102⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 中,选第1,第3行和第3,第4列,它们交点上的元素所组成的二级行列式361505⎡⎤=⎢⎥⎣⎦就是一个2级子式,易见,A 共有2级子式的个数为2245C C 60=.引理 2 设r ≤n .n 维向量组α1,α2,…,αr 线性无关的充要条件是:矩阵111212122212n n r r rn r a a a a a a a a a 12⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααA α 中存在一个不为零的r 级子式.证 充分性 当A 中存在一个不为零的r 级子式时,由定理6,定理5易知,A 的r 个行向量α1,α2,…,αr 线性无关.必要性 对向量的个数r 用数学归纳法证明.当r =1时,因α1线性无关,故α1≠0,A 中有一个不为零的1级子式. 假设当r =k 时,结论成立.当r =k +1≤n 时,因α1,α2,…,αk +1线性无关,其部分组也线性无关.由归纳假设,矩阵111212122212n n k k k kn a a a a a a a a a 12⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ααB α 中存在不为零的k 级子式,不妨设1112121222120k k k k kk a a a aa a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 令γi =(a i 1,a i 2,…,a ik ),k 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦γγγC 是一个k 阶可逆矩阵,i =1,2,…,k+1.显然,γi 是由αi 的前k 个分量构成,设()11,,,k κc c c -2+1=γC ,易见()1,,,k c c c 2是一组确定的数,且()()111,,,,,,κk k k c c c c c c 2+122⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦γγγγC ,即()11,,,κk k c c c +122-=0γγγγ.(3.4) 令()()111,,,κk k n c c c b b b +1222=-+++=βαααα,即有b j =a k +1,j -(c 1a 1j +c 2a 2j +…+c k a kj ), j =1,2,…,n .由于γ1,γ2,…,γk ,γk +1分别由α1,α2,…,αk ,αk +1的前k 个分量构成,根据(3.4)式,β的前k 个分量应为零,即b 1=b 2=…=b k =0.又因为α1,α2,…,αk ,αk +1线性无关,所以β≠0. 因此,必有某b j ≠0(k <j ≤n ).于是有k +1级子式11121111121121222221222212121,11,21,1,0000k j kj k j k j j k k kk kj k k kk kj k k k kk j j a a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a a a a a a b ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C . 由定理6及引理2,可以看出,如果A 有一个k 级子式不为零,那么这个k 级子式所在的行向量组线性无关,所在的列向量组也线性无关.定理 10 矩阵的行秩等于列秩.证 设矩阵A 的行秩为r 1,A 的列秩为r 2,那么,A 中有r 1个行向量线性无关,由引理2,A 中有一个r 1级子式D 不为零,那么A 中子式D 所在的r 1个列向量也线性无关;因而,r 1≤r 2.这说明,任意矩阵的列秩大于或等于行秩,由此,A ′的列秩(A 的行秩r 1)≥A ′的行秩(A 的列秩r 2),即有r 1≥r 2.因此r 1=r 2.下面统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩.矩阵A 的秩一般记为R (A).规定零矩阵的秩为0,由引理2,可得定理 11 矩阵A 的秩为r 的充要条件是它有一个不为零的r 阶子式,而所有r +1阶子式全为零,这时,这个非零的r 级子式所在的行和列就分别为A 的行向量组和列向量组的极大线性无关组.例10 已知矩阵111111111111αa a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的秩为3,求a 的值. 解 R (A )=3,即A 中非零子式的最高阶数为3,故有1111111111111(3)111111111111αa a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 11110100(3)00100001a a a a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=+⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦=(a +3)(a -1)2=0 由此得a =-3或a =1.当a =1时,显然有R (A )=1;而当a =-3时,A 的左上角的3阶子式为311131160113-⎡⎤⎢⎥-=-≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦即A 中存在非零的3阶子式,且不存在更高阶的非零子式,故当且仅当a =-3时,R (A )=3.§5 矩阵的初等变换由上节介绍的方法求阶数较高的矩阵的秩的计算量很大,本节来介绍一种简单有效的求矩阵的秩的方法,即利用矩阵的初等变换求出矩阵的等价标准型,矩阵的秩就等于它的等价标准型的秩.下面我们回顾一下矩阵的初等行变换.定义 12 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 对换矩阵两行的位置(对换第i 行和第j 行的位置记为r (i ,j )).(2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数(第i 行乘以k 记为r (i (k ))).(3) 把矩阵一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去[第i 行的k 倍加到第j 行上去记为r (j +i (k ))].显然,矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换.r (i ,j )的逆变换仍为r (i ,j );r (i (k ))的逆变换为r (i (1/k ));r (j +i (k ))的逆变换为r (j +i (-k )).定理 12 如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B ,则A 的行向量组与B 的行向量组等价,而A 的任意k 个列向量与B中对应的k 个列向量有相同的线性关系.证 当A 经过一次初等行变换变为B 时,B 的行向量组显然可由A 的行向量组线性表出,对A 的任意k 个列向量α1,α2,…,αk ,设它们所对应的B 的列向量依次为12k'''a ,a ,,a ,如果α1,α2,…,αk 线性相关,就有不全为零的常数12,,,k l l l 使1122k k l l l +++a a a =0.由12k'''a ,a ,,a 各分量与α1,α2,…,αk 各分量的关系容易得出 1122k kl l l '''+++a a a =0, 因此12k'''a ,a ,,a 也线性相关.由初等行变换的逆变换也是初等行变换可以知道A的行向量组也可由B的行向量组线性表出,并且由12k'''a ,a ,,a 线性相关也可以导出α1,α2,…,αk 线性相关,此时命题成立.当A要经若干个初等变换变为B时,用数学归纳法容易证明命题也成立.例11 求下列向量组α1=(1,-2,2,3), α2=(-2,4,-1,3), α3=(-1,2,0,3), α4=(0,6,2,3),α5=(2,-6,3,4) 的一个极大线性无关组与秩.解 作12102242662102333334--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A , 对A作初等行变换得(21(2))(31(2))(2,3)(41(3))(3,4)121212102000620322103021096320933200062r r r r r ++-+-----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A (32(3))12102032210003100062r +---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−−→⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦(43(2))12102032210003100000r +--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. (3.5) 上面最后一个矩阵(3.5)满足:从每一行的第一个元素到第一个非零元素下面全为零,这些零的排列像一个阶梯,每个阶梯都只有一行,它称为一个行阶梯矩阵.易见,行阶梯矩阵(3.5)中有一个3级子式不为零,而所有4级子式全为零,故矩阵(3.5)的秩为3,它的第1、2、4列线性无关,所以R (A)=3,且R (α1,α2,α3,α4,α5)=3,α1,α2,α4为该向量组的一个极大线性无关组.对(3.5)继续进行初等行变换还可化为更简单的形式:1(2())31(3())312102221013331000130000r r ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦矩阵(3.5) (12(2))2(23())311610039210103910001300000r r ++-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(3.6) (3.6)仍是一个行阶梯形矩阵,但它的每一非零行的第一个非零元素为1,且这些元素所在的列的其他元素都为0,这个矩阵称为矩阵A的行最简形.例12 求向量组α1=(1,4,1,0,2),α2=(2,5,-1,-3,2),α3=(0,2,2,-1,0), α4=(-1,2,5,6,2)的一个极大无关组,并把不属于极大无关组的向量用该极大无关组线性表出.解 把向量组按列排成矩阵A ,利用初等行变换把A 化为行最简形矩阵B .1201120145220326112503260316031622020204⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A1201100301020102001000100000000000000000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B 易见B 的第1,2,3列线性无关,由于A 的列向量组与B 的对应的列向量组有相同的线性组合关系,故与其对应的矩阵A 的第1,2,3列线性无关,即α1,α2,α3是该向量组成的一个极大无关组.由矩阵B 易得α4=3α1-2α2.求向量组的极大无关组时,不管所给的是行向量组还是列向量组,都要按列排成矩阵再进行初等行变换.对应于矩阵的初等行变换,我们还可以定义矩阵的初等列变换.对矩阵的初等列变换c (i ,j ),c (i (k ))和c (j +i (k ))也有类似于矩阵的初等行变换的结论.所以,我们同样可以通过求矩阵的列阶梯形矩阵和列最简形来求矩阵的秩以及行向量组的极大线性无关组.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.事实上,我们在求矩阵的秩时,经常对矩阵既进行初等行变换也进行初等列变换,使计算过程得到简化.定义 13 如果矩阵A 经有限次初等变换化成B ,就称矩阵A 与B 等价. 我们容易证明,矩阵的等价关系具有下列性质: (1) 反身性: A 与A 等价.(2) 对称性: 如果A 与B 等价,那么B 与A 等价.(3) 传递性: 如果A 与B 等价,B 与C 等价,那么A 与C 等价. 定理 13 如果矩阵A 与B 等价,那么R (A )=R (B). 对矩阵(3.6)再进行初等列变换可得1(31())316(51())92(32())31(52())(3,4)91(54())31000010000010000100000010001000000000000r r r r c r +-+-+-++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦矩阵(3.6). (3.7)矩阵(3.7)的左上角为一个单位矩阵E 3,它的阶数就是A 的秩,其他各分块矩阵都是零矩阵, 矩阵(3.7)就称为A 的等价标准型.事实上,我们有如下定理定理 14 每个矩阵都有等价标准型,矩阵A 与B 等价,当且仅当它们有相同的等价标准型.推论 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.当A 为n 阶可逆方阵时,R (A)=n ,所以A 的等价标准型为n 阶单位矩阵.由于可逆方阵的秩等于阶数,所以可逆方阵又称为满秩方阵,而奇异方阵就称为降秩方阵.§ 6初等矩阵与求矩阵的逆这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系,并在此基础上给出用初等变换求逆矩阵的方法.定义 14由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.显然,初等矩阵都是方阵.互换E 的第i 行与第j 行(或者互换E的第i 列和第j 列)的位置,得11011(,)11011i i j j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行第行E ; 用常数k 乘E 的第i 行(或第i 列)得11(())11i k i k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行E ; 把E的第j 行的k 倍加到第i 行(或把第i 列的k 倍加到第j 列)得11(())11i k i j k j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行第行E . 这三类矩阵就是全部的初等矩阵,显然111()(),(())(())i j i j i k i k--==,,E E E E ,1(())(())i j k i j k -+=+-E E .定理15 对一个s ×n 矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s ×s 初等矩阵;对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n ×n 初等矩阵.证 我们只看行变换的情形,列变换的情形可同样证明.令B=(b ij )s ×s 为任意一个s ×s 矩阵,A1,A2,…,As 为A 的行向量组,由矩阵的分块乘法,得111122121122221122s s s s s s ss s b b b b b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +A ++A A +A ++A BA A +A ++A ,令B=E (i ,j ),得1()j i s i j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,A A E A A A ,这相当于把A 的i 行与j 行互换;令B=E (i (k )),得1(())i s i k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A E A A A ,这相当于用k 乘A 的第i 行;令B=E (i +j (k )),得1(())i j j s k i j k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A A +A E A A A ,这相当于把A 的第j 行的k 倍加到第i 行.推论1 矩阵A 与B 等价的充分必要条件是:有初等方阵P1,P2,…,Ps ,Q1,…,Qt使A=P1P2…Ps BQ1Q2…Qt.推论2 n×n矩阵A 可逆的充分必要条件是:它能表成一些初等矩阵的乘积. 推论3 两个s×n矩阵A 、B 等价的充分必要条件是:存在可逆的s×s矩阵P 与可逆的n ×n 矩阵Q 使A=PBQ.推论4 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵.证 如果A 是可逆方阵,由推论2知道它可以写成一些初等矩阵的乘积:A=Q1Q2…Qm.因此11121m---=Q Q Q A E .由于初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵,而A 左乘初等矩阵就相当于对A 施行初等行变换,所以A 可以经初等行变换化为单位矩阵.值得注意的是,如果有初等矩阵P1,…,Pm使Pm…P1A=E,那么A-1=Pm…P1=Pm…P1E,这说明,如果用一系列初等行变换可把可逆矩阵A 化为单位矩阵,那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵,就得到A -1.如果我们把A ,E 这两个矩阵凑在一起作成一个n ×2n 矩阵.(A┊E),按矩阵的分块乘法可得Pm…P1(A┊E)=(Pm…P1A┊Pm…P1E )=(E ┊A-1).这就给我们提供了一个具体的求可逆矩阵A 的逆矩阵的方法:作n×2n 矩阵(A ┊E ),用初等行变换把它的左边一半化成E ,这时,右边的一半就是A -1.例13 设012114210⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ,求A-1.解 对(A┊E)作初等行变换012100()114010210001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A E(1,2)114010012100210001r ⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ (31(2))114010012100038021r +-⎡⎤⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ (32(3))114010012100002321r +⎡⎤⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(23(1))(13(2))(12(1))100211010421002321r r r +++--⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(3())210021101042131001122r -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦.于是121142131122-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A .当然,同样可以证明,可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵,这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.§7 向量空间定义15 设V 为n 维向量组成的集合.如果V 非空,且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的α,β∈V 和常数k 都有α+β∈V,kα∈V,就称集合V 为一个向量空间.例14 n 维向量的全体R n构成一个向量空间.特别地,三维向量可以用有向线段来表示,所以R 3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体.例15 n 维零向量所形成的集合{0}构成一个向量空间.例16 集合V ={(0,x2,x3,…,xn)}|x2,x3,…,xn∈R }构成一个向量空间.例17 集合V ={(x1,x2,…,xn)|x1+x2+…+xn=1}不构成向量空间. 例18 设α1,α2,…,αm为一个n 维向量组,它们的线性组合V={k1α1+k2α2+…+k m αm |k 1,k 2,…,k m ∈R }构成一个向量空间.这个向量空间称为由α1,α2,…,αm所生成的向量空间,记为L (α1,α2,…,αm).例19 证明由等价的向量组生成的向量空间必相等.证 设α1,α2,…,αm和β1,β2,…,βs 是两个等价的向量组.任意的α∈L(α1,α2,…,αm)都可经α1,α2,…,αm线性表出.由向量组α1,α2,…,αm又可经β1,β2,…,βs 线性表出可以知道α也能经β1,β2,…,βs 线性表出,即有α∈L(β1,β2,…,βs ).由α的任意性得L (α1,α2,…,αm)⊆L (β1,β2,…,βs ).同理可证L (β1,β2,…,βs )⊆L ().于是L (α1,α2,…,αm)=L (β1,β2,…,βs ).定义16 如果V 1和V2都是向量空间且V 1⊆V2,就称V1是V2的子空间.任何由n 维向量所组成的向量空间都是R n的子空间.R n和{0}称为R n的平凡子空间,其他子空间称为R n的非平凡子空间.定义17 设V 为一个向量空间.如果V 中的向量组α1,α2,…,αr 满足(1)α1,α2,…,αr 线性无关;(2) V 中任意向量都可经α1,α2,…,αr 线性表出,那么,向量组α1,α2,…,αr 就称为V 的一个基,r 称为V 的维数,并称V 为一个r 维向量空间.如果向量空间V 没有基,就说V 的维数为0,0维向量空间只含一个零向量.如果把向量空间V 看作向量组,那么V 的基就是它的极大线性无关组,V 的维数就是它的秩.当V 由n 维向量组成时,它的维数不会超过n .例20 设 ()123221212122-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A a ,a ,a , ()12140342⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ,ββ, 验证α1,α2,α3是R 3的一个基并将β1,β2用这个基线性表出.解 由|A|≠0可以知道α1,α2,α3线性无关,因此α1,α2,α3是R 3的一个基.设β1=x11α1+x21α2+x31α3,β2=x12α1+x22α2+x32α3,即(β1,β2)=(α1,α2,α3)111221223132x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 那么 ()1112112122123132x x x x x x --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,=AB ββ.如果P 1,P2,…,Pl为初等矩阵,使P1P2…PlA=E,则 A-1=P1P2…Pl且11122122123132l x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P P P B .因此只需对矩阵(A┊B)作初等行变换,当把A 变为E 时,B 就变成了A-1B.(A┊B)=221142*********-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1,3)122422*********r --⎡⎤⎢⎥−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(21(2))(31(2))122420368706378r r ++--⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(1(1))(32(2))122420368700996r r -+----⎡⎤⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(3())9(23(6))(13(2))21202303023200113r r r -+-+⎡⎤--⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1(2())3(12(2))2410033201013200113r r +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以 112321232242,3333--++=a a a =a a a ββ. 习 题 三1. 设α1=(1,1,0),α2=(0,1,1),α3=(3,4,0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.2. 设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α),其中α1=(2,5,1,3),α2=(10,1,5,10),α3=(4,1,-1,1).求α.3. 判断下列命题是否正确:(1) 若向量组α1,α2,…,αm线性相关,那么其中每个向量可经其他向量线性表示.(2) 如果向量β1,β2,…,βs 可经向量组α1,α2,…,αm线性表示且α1,α2,…,αm 线性相关,那么β1,β2,…,βs 也线性相关.(3) 如果向量β可经向量组α1,α2,…,αm线性表示且表示式是惟一的,那么α1,α2,…,αm线性无关.(4) 如果当且仅当λ1=λ2=…=λm=0时才有λ1α1+λ2α2+…+λm αm +λ1β1+λ2β2+…+λmβm=0,那么α1,α2,…,αm线性无关且β1,β2,…,βm 也线性无关.(5) α1,α2,…,αm线性相关,β1,β2,…,βm 也线性相关,就有不全为0的数λ1, λ2,…,λm使λ1α1+λ2α2+…+λm αm =λ1β1+λ2β2+…+λmβm.(6) 如果R (A )=r,则A 的r-1阶子式全为0.(7) 如果R (A )=r,则A 的r阶子式不为0.(8) 如果由矩阵A 划去一行得到B ,则R (A )>R (B ).(9) 如果P 为一个可逆s×s方阵,Q 为一个可逆n×n方阵,A 为一个s×n阵,那么R (A )=R (PAQ).4. 判别下列向量组的线性相关性.(1)α1=(2,5), α2=(-1,3);(2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3);(3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).5. β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,证明向量组β1,β2,β3,β4线性相关.6. 设向量组α1,α2,…,αr 线性无关,证明向量组β1,β2,…,βr 也线性无关,这里βi=α1+α2+…+αi.7. 作一个以(1,0,1,0)和(1,-1,0,0)为行向量的秩为4的方阵.8. αi=(αi1,αi2,…,αin),i =1,2,…,n.证明:如果|aij|≠0,那么α1,α2,…,αn 线性无关.。
线性代数第三章第一节
数学中把具有上述三条性质的关系称为等
价, 例如两个线性方程组同解, 就称这两个线性 方程组等价.
3. 两个矩阵等价的几何意义
设矩阵 A 与矩阵 B 等价, 则由引例知, 以 A
四、行阶梯形矩阵
1. 定义 满足下面两个条件的矩阵称为 行阶梯形矩阵:
(1) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于 零行(元素全为零的行)的标号; (2) 设矩阵有 r 个非零行,第 i 个非零行的第 一个非零元素所在的列号为 ti (i = 1, 2, · · ·, r ), 则 t1 < t2 < · · ·< tr .
即 特别地,如果 B = E,则 P = A-1 , (A, E) ~ (E, A-1) 我们可以采用下列形式求 A-1 : 将A与E
r
并排放在一起,组成一个 n 2n 矩阵 ( A , E ) . 对矩阵 ( A , E ) 作一系列的行初等变换,将其左半 部分化为单位矩阵 E ,这时其右半部分就是 A-1. 即 (A,E) 行初等变换 (E , A-1 )
1 1 2 0 0 0 1 0 0
4 0 6 0 4 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
A-1B 通常都用此方法. 这是当 A 为可逆矩阵时,
求解方程 AX = B 的方法(求 A-1 也就是求方程 AX
= E 的解). 这方法就是把方程 AX = B,从而求得方程的解. 这
与求解线性方程组 AX = b 时把增广矩阵 (A , b) 化 为行最简形的方法是一样的.
系了起来,从而可以依据矩阵乘法的运算规律得到
初等变换的运算规律, 也可以利用矩阵的初等变换 去研究矩阵的乘法. 由定理 1 可得如下推论.
线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)
证明
必要性 设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便 有
(9) 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组,则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其 构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组,则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. (10) 若a1 , a2 , ... , am是n维向量组,且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。 特别地,n+1个n维向量必线性相关。
第 三 章 向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义 定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量,n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1:非齐次线性方程组(Ⅰ)有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。 引例2:齐次线性方程组(Ⅱ)有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。 从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个
武汉理工线性代数课件第三章
第三章 线性方程组本章包含两个内容:向量和线性方程组.研究线性方程组的解是《线性代数》的最主要的任务,用矩阵方法来讨论线性方程组的解的情形和求解线性方程组,用向量表示线性方程组的解和表达解之间的关系.§1 线性方程组定义3.1 由m 个方程n 个未知量组成的线性方程组的一般形式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 矩阵形式是:b Ax =其中矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a aa a aa a a A 212222111211,b =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m b b b 21, x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m x x x21分别称为系数矩阵,常数项矩阵和未知量矩阵,称()b A 为增广矩阵,满足线性方程组的有序数组n x x x ,,,21 称为线性方程组的解,线性方程组的全部解组成解集,求解的过程称为解线性方程组.对方程进行适当变化而解不变,叫做同解变换.显然,以下三种变换是同解变换:(1) 交换两个方程的位置;(2) 用一个非零数同乘某个方程的两边;(3) 把一个方程乘以某个数加到另一个方程上. 2 线性方程组的消元解法 线性方程组的消元解法就是利用上述的三种同解变换,逐步消去未知量化为一元一次方程,得到这个方程中的未知量的解,再逐步回代得出其它未知量的解。
也就是两个过程:消元和回代。
观察下面的例子,体会同解变换和消元法:⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=++42321321321321x x x x x x x x x 〔1〕 先把第1个方程的〔-1〕,〔-2〕倍分别加到第2,3个方程上去,消去1x :⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=++6334213232321x x x x x x x 〔2〕 把第3个方程两边同乘〔-1/3〕并且和第2个方程换位置:⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-=++42213232321x x x x x x x 〔3〕 再把第2个方程的2倍加到第3个方程上去,消去2x :⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++0321332321x x x x x x 〔4〕 在中学时,我们一般从第3个方程得到3x 回代到第2个方程得到2x ,再把2x 和3x 回代到第1个方程中,得到1x 。
线性代数第三章课后答案
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010. (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201.2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是 E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ; 解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X . (2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(TT B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X , 从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X . 解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X . 6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3. 0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2,71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ). 证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使 (1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1;(2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2;(3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数). (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ; 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x , 故方程组的解为 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331, 于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000000021101201, 于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212, 即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k 为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ; 解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010002/102/12/11, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).(4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x .解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171, 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数).14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x 为通解的齐次线性方程组.解 根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x x x x , 与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x c x c c x c c x , 或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x , 或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr . (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0.因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故(1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0.因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x当λ取何值时有解?并求出它的解.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ. 要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2.当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001101101, 方程组解为⎩⎨⎧=+=32311x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x , 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数). 当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021102101, 方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x , 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.解 B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ. 要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须(1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解.要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须(1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0,所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须(1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时,增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221, 方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=3322321 1x x x x x x x ,或 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数).18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T . 证明 必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为)0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅, 即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A . 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T . 充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1,所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ;证明 由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=R (A , E m ),而| E m |是矩阵(A , E m )的最高阶非零子式, 故R (A )=R (A , E m )=m . 因此, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m .(2)方程YA =E n 有解的充分必要条件是R (A )=n .证明 注意, 方程YA =E n 有解的充分必要条件是A T Y T =E n 有解. 由(1) A T Y T =E n 有解的充分必要条件是R (A T )=n . 因此,方程YA =E n 有解的充分必要条件是R (A )=R (A T )=n .20. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明: 若AX =AY , 且R (A )=n , 则X =Y .证明 由AX =AY , 得A (X -Y )=O . 因为R (A )=n , 由定理9, 方程A (X -Y )=O 只有零解, 即X -Y =O , 也就是X =Y .。
线性代数课本第三章习题详细答案
第三章 课后习题及解答将1,2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合:1.()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2.()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解:设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=,整理得02321=++k k k ,04321=+++k k k k ,0342=-k k ,1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3,4题中的向量组的线性相关性: 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ,解:3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ,由0651321101=,解得321,,k k k 不全为零, 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零,故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量)(n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解:设存在k 使得0=αk ,若0≠α,要使0=αk ,当且仅当0=k ,故,单个向量线性无关的充要条件是0≠α;相反,单个向量)(n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明:如果向量组线性无关,则向量组的任一部分组都线性无关. 证:设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关,利用反证法,假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关,则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关,与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾, 所以该命题成立.7.证明:若21,αα线性无关,则2121,αααα-+也线性无关.证:方法一,设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ,整理得,0)()(221121=-++ααk k k k ,因为21,αα线性无关,所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ,可解得021==k k ,故2121,αααα-+线性无关.方法二,因为=-+)(2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21)(αα, 又因为021111≠-=-,且21,αα线性无关,所以向量组2121,αααα-+的秩为2,故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量,证明:(1) 若s ααα,,,21 线性无关,则s βββ,,,21 线性无关; (2) 若s βββ,,,21 线性相关,则s ααα,,,21 线性相关.证:证法1,(1)设()s A ααα,,,21 =,()s B βββ,,,21 =,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,即,)(s A r = 且s B r =)(,s βββ,,,21 线性无关.证法2,因为s ααα,,,21 线性无关,所以齐次线性方程0=AX 只有零解,再增加方程的个数,得0=BX ,该方程也只有零解,所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得,即假设s ααα,,,21 线性无关,再由(1)得s βββ,,,21 线性无关,与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明:133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证:方法1,(133221,,αααααα+++)=(321,,ααα)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关,且02110011101≠=,可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关;反之也成立.方法2,充分性,设321,,ααα线性无关,证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ,整理得,0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ,可解得0321===k k k ,所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性,(方法1)设133221,,αααααα+++线性无关,证明321,,ααα线性无关,假设321,,ααα线性相关,则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示,不妨设321,ααα可由线性表示,则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示,且23>,所以133221,,αααααα+++线性相关,与133221,,αααααα+++线性无关矛盾,故321,,ααα线性无关.方法2,令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=,设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ,由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得)()()(32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=,代入 0332211=++αααk k k 得,0212121321332123211=++-+-+++-)()()(βββββββββk k k ,即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ,所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确?如正确,证明之;如不正确,举反例:(1)m ααα,,,21 )(2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关; 解:不正确,必要条件成立,充分条件不成立,例:2维向量空间不在一条直线的3个向量,虽然两两线性无关,但这3个向量线性相关。
《线性代数》第三章线性方程组
5、方程组的解:
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值: x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记为c: 1,c2( ,,cn)
例如:
显然,
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
x1 0
x2
0
x 3 0
就是它的一 组解。
(P-132)
含有自由未知量的解称为方程组的一般解。
自由未知量可以取任的意值,因此有无穷多。
【例6】设线性方程组AX=b的增广矩阵通过
初等行变换化为:1 3 1 2 6
0 1 3 1
4
0 0 0 2 1
0
0
00
0
则此线性方程组的一般解中自由未知量的
个数为____1______。
【分析】先确定基本未知量为: x1, x2, x4 则其余的为自由未知量: x 3
A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1 0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组,要使其有非零解,
则要求: 秩r(A)n 3
故 5 = , 0 , = 5 时 当 即 r A 2 , 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为:
1 3 2
定理3.1,3.2实际上告诉我们要通过 求“增广矩阵”的秩来判断解的情况。总结:
设r=秩(A),n为未知量的个数.
(1)若 r秩 (A)秩 (A)则, 方程组无解。 (2)若 r秩 (A)秩 (A)则方程组有解。
(2.1)若r = n 就有唯一解; (2.2)若r < n 就有无穷多解。
线性代数课件第三章
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换化为行
最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换化为标准形矩 阵.
下面我们还是通过例子来说明该定理.
单击这里开始
从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等行变换 必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵, 但不一定能化 成标准形矩阵, 如果再使用初等列变换, 则一定能化成 标准形矩阵. 将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一 的, 所得结果也不唯一. 但一个矩阵的标准形是唯一的, 这反映了矩阵的另一个属性, 即矩阵的秩的概念.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
第一节 矩阵的初等变换 第二节 矩阵的秩 第三节 线性方程组的解 知识要点 释疑解难 习题课
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章先引进矩阵的初等变换, 建立矩阵的秩的概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要 条件和非齐次线性方程组有解的充要条件, 并介绍用初 等变换解线性方程组的方法.
(i) 对调两行(对调 i, j 两行, 记作 ri rj ); (ii) 以数 k 0 乘某一行中的所有元素
(第 i 行乘 k , 记作 ri k ); (iii) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素 上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上,记作 ri + krj).
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等列变 定义换. 的矩阵的初等行变换与初等列变换, 统称初等变换.
①
①-② ②-③
x2 x3 3, x4 3,
② ③
(B5)
0 0. ④
至此消元结束, 且得到 (1) 的同解方程组 (B5), (B5) 是方程组 (1) 的所有同解方程组中最简单的一个, 其中
《线性代数》第三章矩阵的初等变换与线性方程组精选习题及解答
例 3.10
求齐次线性方程组
⎧ ⎪ ⎨
x1 x1
− −
x2 x2
− +
x3 x3
+ x4 = 0 − 3x4 = 0
的通解.
⎪⎩x1 − x2 − 2x3 + 3x4 = 0
解 系数矩阵经过初等变换得
⎡1 −1 −1 1 ⎤
⎡1 −1 0 −1⎤
A = ⎢⎢1 −1 1 −3⎥⎥ ⎯r⎯→ ⎢⎢0 0 1 −2⎥⎥
阶梯形的非零行数判断矩阵的秩.
2
⎛1 3 1 4⎞
解
A
⎯r⎯→
⎜ ⎜
0
6
−4
4
⎟ ⎟
,故
R(
A)
=
2
.
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠
⎡1 1 2 2 3 ⎤
例 3.2
设A=
⎢⎢0 ⎢2
1 3
1 a+2
−1 3
−1 a+6
⎥ ⎥ ⎥
,则
A
的秩
R(
A)
=
(
).
⎢⎣4 0 4 a + 7 a +11⎥⎦
(A) 必为 2
6
⎡ 1 1 0 −2 1 −1⎤
⎡1 0 0 2 −1 −1⎤
( A | b) = ⎢⎢−2 −1
1
−4 2
1
⎥ ⎥
⎯r⎯→
⎢⎢0
1
0
−4
2
0
⎥ ⎥
⎢⎣−1 1 −1 −2 1 2 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1 −4 2 −1⎥⎦
R( A) = R( A | b) = 3 < 5 ,所以方程组有无穷多解,令 x4 = c1, x5 = c2 ,得
《线性代数》课件第3章
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵,通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
线性代数学习笔记——第三章
线性代数学习笔记——第三章线性代数学习笔记——第三章肝了两个多⼩时,还是肝完了⼀篇笔记,借鉴了很多其他⼤佬的整理。
(不过基本上还是宋浩⽼师的原话),今天的任务算是完成⼀半了,我东某⼈真是可悲!向量的定义n维向量:n个数组成的有序数组。
⾏向量(α1,α2,α3)。
列向量将上述的竖着写。
零向量:分量全部为零。
负向量:取相反数。
向量相等:同维数,元素对应相等。
只有同维向量才能⽐较⼤⼩,以及相加。
kα = 0 ⇔ k = 0 or α = 0 。
矩阵:AB = 0 ⇏ A=0 or B=0。
向量间的线性关系线性关系:零向量可由任意向量组表⽰。
向量组中任⼀向量可由向量组表⽰eg:\alpha1=\alpha1 + 0\alpha2 + 0\alpha3。
任意向量都可由n维单位向量组表⽰。
向量组的等价:①:同维。
②:两个向量组可以相互线性表⽰。
线性组合:β、α1……αn。
若β可以⽤α向量组表⽰出来,那么就叫β是α向量组的线性组合(或者称β可以由α向量组线性表⽰)。
同时在表⽰的过程中系数可以全取零。
反⾝性、对称性、传递性均适⽤。
线性相关:α1、α2……αn是n个m维向量组,若存在⼀组不全为0的k1,k2……k n,使得k1α1 + ……+ k nαn= 0,那么则叫α1……αn是线性相关。
线性⽆关:①:不是线性相关。
②:找不到⼀组不全为0的k1……k n满⾜线性相关的条件。
③:使得k1+k2+……+k n=0的k1,k2……必定全为零。
向量组中两向量成⽐例,向量组必线性相关。
含零向量的向量组必线性相关。
⼀个⾮零向量必⽆关。
⼀个向量α相关\Leftrightarrowα=0 。
部分组线性相关\longrightarrow整体组线性相关。
整体组线性⽆关\longrightarrow部分组线性⽆关。
线性⽆关的向量组,它的接长向量组也线性⽆关。
线性相关的向量组,它的截短向量组也线性相关。
n个n维向量(维数 = 个数)构成的⾏列式D \neq 0,那么线性⽆关,否则相关。
线性代数知识点总结(第3章)
线性代数知识点总结(第3章)(一)向量的概念及运算1、向量的内积:(α,β)=αTβ=βTα2、长度定义:||α||=3、正交定义:(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+a n b n=04、正交矩阵的定义:A为n阶矩阵,AA T=E ←→ A-1=A T←→ A T A=E → |A|=±1 (二)线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件:非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示(1)←→非齐次线性方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,x s)T=β有解。
★(2)←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)6、线性表示的充分条件:(了解即可)若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示。
7、线性表示的求法:(大题第二步)设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示。
(α1,α2,…,αs|β)→初等行变换→(行最简形|系数)行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0(三)线性相关和线性无关8、线性相关注意事项:(1)α线性相关←→α=0(2)α1,α2线性相关←→α1,α2成比例9、线性相关的充要条件:向量组α1,α2,…,αs线性相关(1)←→有个向量可由其余向量线性表示;(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,x s)T=0有非零解;★(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s 即秩小于个数特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关(1)←→ r(α1,α2,…,αn)<n(2)←→|α1,α2,…,αn |=0(3)←→(α1,α2,…,αn)不可逆10、线性相关的充分条件:(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关(2)部分相关,则整体相关(3)高维相关,则低维相关(4)以少表多,多必相关★推论:n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1,α2,…,αs线性无关(1)←→任意向量均不能由其余向量线性表示;(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,x s)T=0只有零解(3)←→r(α1,α2,…,αs)=s特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn线性无关←→r(α1,α2,…,αn)=n ←→|α1,α2,…,αn |≠0 ←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件:(1)整体无关,部分无关(2)低维无关,高维无关(3)正交的非零向量组线性无关(4)不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定(1)定义法★(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关【专业知识补充】(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。
工学四川大学线性代数课件第三章第一节 可逆矩阵
A32=-4 A33=2
得 所以
b1
B
b2
b3
1/ b1
如b1b2b30,
B可逆,
且
B1
1/ b2
1/ b3
求逆运算容易出错, 在求得A1后, 可验证 AA1=E, 保证结果是正确的.
可逆矩阵的性质:
(1)如果方阵A可逆,则其逆矩阵唯一。
(2) 若 A E 或 B B E , 则 A B A 1 .
3若 A 可,则 逆 A 有 1A 1.
4 若 A 可 ,则 A 逆 1 亦 ,且 可 A 1 1 A 逆 .
5 若A, B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且
AB 1 B 1 A 1
证明 A B 1 A B 1 A B 1 A 1 B
AE1AAA 1E,
A 1 B B 1 A 1 .
即 A1 1 A A
定理1
矩阵 A可逆的充要条件是 A 0 ,且 A1 1 A, A
其A 中 为矩 A的 阵伴随 . 矩阵
例1 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
b1
B b2
b3
解 因为
2 A 2 0
所以A-1存在。
同理可得
A12=-3 A22=10 A13=1 A23=-4
2
又 A 2 A 由 2 E 0
A 2 E A 3 E 4 E 0 所以A A 22E E可逆1 4,A A 32 E E 1 E A 12E A 13E
4
课后思考: 设方阵满足方程 A 2 3 A 1 E 0 0 证:明 A和 A4E都可逆,并逆 求矩 出阵
例5:设方阵B为幂等矩阵,
满足什么条件的方阵是可逆的 ?
设n阶方阵A可逆,由 A A-1= A-1 A=E 有
计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法
“回代”解得
xn
bn ann
xk
1 akk
[bk
n
akj x j ]
j k 1
其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1
xi
b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i
2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.(Ei )(Ej ): 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为(x1,x2 ,x3 ,x4 )T (1,2,0,1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)
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§1、线性方程组的消元法 §2、向量与向量组的线性组合 、 §3、向量组的线性相关性 、 §4、向量组的秩 、 §5、线性方程组解的结构 、
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§1、 线性方程组的消元法 、
一、 m×n线性方程组的矩阵表示
第一次课
的矩阵表示为 AX = b ( )
a11 a21 其中: 其中:系数矩阵 A = M am1 a11 a12 a21 a22 增广矩阵 B = M M am1 am2 L a1n 1n L a2n O M L amn b 1 b2 M bm
的列向量组. 称为矩阵 A 的列向量组.
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r b 1 r b2 r bi
r bm
向量组 矩阵 可以由 称为矩阵 A 的行向量组. 的行向量组. n 个m 维列向量构成 m 个n 维行向量构成
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四、向量组的线性组合 1. 定义 定义2.2: 如果存在 m 个数 r r r r b = k1a1 + k2a2 +L+ kmam 则:向量 向量 或称 称为向量组 可由 , 使得 使得: 的线性组合; 的线性组合 线性表示(表出 线性表示 表出). 表出 r r a2 an
r r r r 2. 线性无关 如果要 k1a1 + k2a2 +L+ kmam = 0 , 只有当 线性无关:
时才成立, 时才成立 则称: 则称 线性无关. 线性无关
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【例6】判断下列向量组的线性相关性 】
解: 要使 则: 只有 0 解 所以向量 线性无关
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P123 例1
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向量组的概念: 三、向量组的概念 1.定义 : 1.定义2.1:由若干个同维数的列(行)向量组成的集合 定义 的列( 称为向量组,记为 A,B,C,... 称为向量组, , , ,... 2.矩阵与向量组 2.矩阵与向量组 r
r a1 a2
r aj
r an
向量组
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解: 要使 则:
(*)
因为
所以齐次线性方程组( 所以齐次线性方程组(*)有非 0 解 所以向量
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线性相关
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二、线性相关性的几个重要结论 1. n 个 n 维向量有如下结论 维向量有如下结论: 线性无关 行向量 线性相关 列向量 线性无关 线性相关 证明: 证明: 列向量 线性无关 r r r r a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 +L+ an ⋅ xn = 0 只有 0 解 法则, 由Cramer法则, 法则
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,故无解
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其中
取任意实数
故方程组有无穷多组解
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2. Th2.1 线性方程组 A X = b (1)当 (1)当 (2)当 (2)当 (3)当 (3)当 时无解 时有唯一解 时有无穷多组解
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【例2】λ,µ为何值时线性方程组 】 为何值时线性方程组
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是解. 是解.
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有解的判别法,及解的求法 四、A X = b 有解的判别法 及解的求法 1.引例: 1.引例:用消元法解下列线性方程组 引例
① ② ③
②-2① ① ③-3① ①
其解为
有解时看出
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① ② ③ ① ① ② ② ③ 2① ② - 2① ③-11① ① ① ② ③
☆
(1)无解 有唯一解 有无穷多组解,并求其通解. 无解,(2)有唯一解 有无穷多组解,并求其通解. 无解 有唯一解,(3)有无穷多组解 解:
(1)当 (1)当
时,
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无解
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(2)当 (2)当 此时 (3)当 (3)当 此时
时,
有唯一解 其解为 时, 有无穷多组解 x3为自由未知量
r 2. 线性方程组的向量表示 a1 线性方程组的向量表示
r b
r r r r 即: a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 +L+ an ⋅ xn = b
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【例4】将 】
表示成
的线性组合
由定义, 解: 由定义 求 k1 , k2 , k3 使得 :
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r r r r 使得 k1a1 + k2a2 +L+ kr ar = 0 r r r r r r r 显然 k1a1 + k2a2 +L+ kr ar + 0⋅ ar+1 + 0⋅ ar+2 L+ 0⋅ am = 0
又 故 推论1: 1) 推论1: 如果
是不全为0的数 是不全为 的数 线性相关. 线性相关 线性无关, 线性无关 则 也线性无关. 也线性无关
未 知 量 阵
a12 a22 M am2
b 1 b2 b= M bm
常 数 矩 阵
L a1n L a2n O M L amn
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Байду номын сангаас结束
二、线性方程组 AX = b是否有解
有解,但不止一个, 有解,但不止一个,例如 无解. 无解. 解法: 三、线性方程组 AX = b 解法 1.A为方阵,当|A|≠0 时可用 . 为方阵 为方阵, 法则; 0 时可用Cramer法则; 法则 2.A为方阵,当|A|≠0 时 . 为方阵 为方阵, 0 3.消元法 .
行变换
1.分析:(1)如果 1.分析:(1)如果dr+1≠0, 从而 分析:(1)如果 (2)如果 r+1= 0, (2)如果d 如果 ①若 r = n,即 r(A) = r(A|b)= n ,方程有唯一解 , 方程有唯一解 ②若 r < n,即 r(A) = r(Ab)= r<n ,则有 , 则有
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【例3】λ为何值时齐次线性方程组 】 为何值时齐次线性方程组 (1)只有 ,(2)有无穷多组解 并求其通解. 有无穷多组解, (1)只有0 解,(2)有无穷多组解,并求其通解. 只有 解: (1)当 (1)当 (2)当 (2)当 时, 时, 只有0 解 只有 有无穷多组解 令 x3 = c 得通解为
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第一次作业: 第一次作业: P157 1(3), 2(2)
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§2、 向量与向量组的线性组合 、
一、n 维向量的概念 1. 二, 三维向量 三维向量: 平面上 空间上
第二次课
2. n 维向量的定义 n 个实数 维向量的定义:
组成的一个
x1 x2 维向量, 有序实数组 (x1, x2,L, xn ) 或 M 称为 n 维向量 记为 x1 xn r x2 r 表示列向量 a = (x1, x2 ,L, xn ) 表示行向量 a = M 表示列向量, 表示行向量, 其中: 其中 xn
结论: 结论:
初等行变换 初等列变换
行向量组 A 与 B等价 等价
存在非异阵D 存在非异阵 使得 线性表示 列向量组 B 被 A线性表示 线性
存在非异阵D 存在非异阵 使得 线性表示 列向量组 A 被 B 线性表示
结论: 结论:
初等列变换
列向量组 A 与 B等价 等价
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【例1】 解线性方程组 】 解:
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得等价方程为 其中x 其中 4,x5为自由未知量 则方程组的全部解(通解) 令 x4 = c1, x5 = c2 则方程组的全部解(通解)为
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五、 线性方程组解的个数
(一)A X = b 解的情况
令 x3=c 得通解为
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(二) A X = 0 解的情况 A X = 0 称为齐次线性方程组 显然 称为齐次线性方程组, 必有解. 故 A X = 0 必有解 1. Th2.2 线性方程组 A X = 0 (1) 当 (2) 当 时只有 0 解 时有无穷多组解
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从而: 从而:
即: 行向量组 A 被 B 表示
.反之也然. 反之也然. 存在 D , 使得
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2. 初等变换与向量组等价的关系
初等行变换 存在非异阵C 存在非异阵 使得 线性表示 行向量组 B 被 A 线性表示 存在非异阵C 存在非异阵 使得 线性表示 行向量组 A 被 B 线性表示
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2. 矩阵乘法与向量组线性表示的关系 1) 设列向量组 对应的矩阵分别为 表示, 如果向量组 A 被 B 表示, 则有: 则有: 从而: 从而: 即: 列向量组 A 被 B 表示
.反之也然. 反之也然. 存在C,使得 存在 使得