排序不等式

三排序不等式[学习目标] 1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.了解排序不等式的结构与基本原理.3.理解排序不等式的简单应用．[知识链接]某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系．与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种．与单价一元对应的只有一种．由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案．根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元．[预习导引]1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n 的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．2．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．要点一 利用排序原理证明不等式例1 已知a ，b ，c 为正数，求证b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc . 证明 根据所要证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab . 由排序原理：顺序和≥乱序和，得：bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b. 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ， 因为a ，b ，c 为正数，所以abc ＞0，a ＋b ＋c ＞0，于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc . 规律方法 (1)在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．跟踪演练1 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 证明 不妨设a ≤b ≤c ，则由排序不等式得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，上式两边同乘2再加a 2＋b 2＋c 2，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23＝13，命题得证． 要点二 利用排序原理证明n 项不等式例2 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2. 证明 ∵12＜22＜32＜…＜n 2，∴112＞122＞…＞1n 2. 设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列，即c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ，根据排序原理中，反序和≤乱序和，得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2， 而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1,2，…，n ，∴c 1＋c 222＋c 332＋...＋c n n 2≥1＋222＋332＋...＋n n 2＝1＋12＋ (1)， ∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a n n 2. 规律方法 利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．跟踪演练2 设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .证明 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排序， 故由排序原理：反序和≤乱序和得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n. 即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n . 要点三 利用排序原理求最值例3 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值． 解 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b， 由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋ba b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b上述两式相加得：2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， 即a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b取最小值32. 规律方法 求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值．跟踪演练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值． 解 令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )， 则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋ab c (a ＋b )·ab . 由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc . ∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋ab c (a ＋b )·bc ＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋b c (a ＋b ). 又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋ab c (a ＋b )·ac ＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )， 两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3. ∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )A ．反序和≥乱序和≥顺序和B ．反序和＝乱序和＝顺序和C ．反序和≤乱序和≤顺序和D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案 C2．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．答案 32 28解析 由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32；最小值为28.3．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b. 证明 由于不等式关于a 、b 、c 对称，可设a ≥b ≥c ＞0.由排序不等式，得a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c (逆序和)≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a(乱序和)． 及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b. 以上两个同向不等式相加再除以2，即得a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.1.在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体环境分类讨论．2．求证一个与排序有关的不等式．若 a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对称的，解答时不妨设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．排序不等式1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( )A ．A ≥B ≥CB ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( ) A ．P ≥Q B ．P ＝Q C ．P ≤Q D ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )]＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c 2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花的钱数为( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、 7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B ) ＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )． 答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc. 证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc .根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .①又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值． 解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式，得 a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b， 以上两式相加，得2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32， 即当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称，不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x ，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.。