2012新课标高考数学

2012新课标高考数学（文）一轮复习讲义（带详细解析）：第二编 函数与导数2012新课标高考数学（文）一轮复习讲义（带详细解析）：第二编 函数与导数§2.1 函数及其表示一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·江西改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，因此－4≤x ≤1且x ≠0.答案 [－4,0)∪(0,1]2．(2009·福建改编)下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是________．①f (x )＝ln x ②f (x )＝1x③f (x )＝|x | ④f (x )＝e x解析 y ＝1x定义域为(0，＋∞)，f (x )＝ln x 定义域为(0，＋∞)，f (x )＝1x 定义域为{x |x ≠0}．f (x )＝|x |定义域为R ，f (x )＝e x 定义域为R . 答案 ①3．(2010·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，2x ， x ≤0.若f (a )＝12，则a ＝________.解析 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2，当a ≤0时，2a ＝12＝2－1，∴a ＝－1.∴a ＝－1或 2.答案 －1或 2 4．(2008·陕西理，11)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2， 则f (－3)＝________.解析 f (1)＝f (0＋1)＝f (0)＋f (1)＋2×0×1 ＝f (0)＋f (1)，∴f (0)＝0.f (0)＝f (－1＋1)＝f (－1)＋f (1)＋2×(－1)×1第二编 函数与导数＝f (－1)＋f (1)－2，∴f (－1)＝0.f (－1)＝f (－2＋1)＝f (－2)＋f (1)＋2×(－2)×1 ＝f (－2)＋f (1)－4，∴f (－2)＝2.f (－2)＝f (－3＋1)＝f (－3)＋f (1)＋2×(－3)×1 ＝f (－3)＋f (1)－6，∴f (－3)＝6. 答案 65．(2009·金华模拟)已知f⎝⎛⎭⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为__________．解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，因此f (t )＝1－⎝⎛⎭⎫1－t 1＋t 21＋⎝⎛⎭⎫1－t 1＋t 2＝2t1＋t 2，因此f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2.答案 f (x )＝2x1＋x26．(2009·江苏海安高级中学)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1 (－1<x ≤0)－1 (0<x ≤1)，则f (3)＝________. 解析 f (3)＝f (2＋1)＝－f (2) ＝－f (1＋1)＝f (1)＝－1. 答案 －1 7．(2010·泉州第一次月考)已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x的反比例函数，且φ⎝⎛⎭⎫13＝16，φ(1)＝8，则φ(x )＝____________. 解析 设f (x )＝mx (m 是非零常数)，g (x )＝n x n 是非零常数)，则φ(x )＝mx ＋n x ，由φ⎝⎛⎭⎫13＝16，φ(1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧16＝13m ＋3n 8＝m ＋n，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝5.故φ(x )＝3x ＋5x .答案 3x ＋5x8．(2010·宿迁模拟)如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边 长为2的等边三角形，设直线x=t (0≤t ≤2)截这个三角形可得位于此直线 左方的图形的面积为f(t)，则函数y=f(t)的图象(如下图所示)大致是 (填序号)．解析首先求出该函数的解析式．当0≤t≤1时，如下图甲所示，有f(t)＝S△MON＝32t2.当1≤t<2时，如下图乙所示，有f(t)＝S△AOB－S△MNB＝－32(2－t)2＋3，.)21(3)2(23)10(23)(22⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+--≤≤=∴tttttf答案④9．(2009·浙江温州十校联考)在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数：①f(x)＝sin 2x；②g(x)＝x3；③h(x)＝(13)x；④φ(x)＝ln x，其中是一阶整点函数的是____________________________________．解析对于函数f(x)＝sin 2x，它只通过一个整点(0,0)，故它是一阶整点函数；对于函数g(x)＝x3，当x∈Z时，一定有g(x)＝x3∈Z，即函数g(x)＝x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数h(x)＝(13)x，当x＝0，－1，－2，…时，h(x)都是整数，故函数h(x)通过无数个整点，它不是一阶整点函数；对于函数φ(x)＝ln x，它只通过一个整点(1,0)，故它是一阶整点函数．答案①④二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2009·泰州二模)(1)已知f(x)的定义域是[0,4]，求①f(x2)的定义域；②f(x＋1)＋f(x－1)的定义域．(2)已知f(x2)的定义域为[0,4]，求f(x)的定义域．解(1)∵f(x)的定义域为[0,4]，①f(x2)以x2为自变量，∴0≤x2≤4，∴－2≤x≤2，故f(x2)的定义域为[－2,2]．②f (x ＋1)＋f (x －1)以x ＋1，x －1为自变量，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，∴1≤x ≤3.故f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．(2)∵f (x 2)的定义域为[0,4]，∴0≤x ≤4， ∴0≤x 2≤16，故f (x )的定义域为[0,16]．11．(16分)(2010·徐州模拟)已知f (x )＝x 2－2x ＋1，g (x )是一次函数，且f [g (x )]＝4x 2，求g (x ) 的解析式．解 设g (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [g (x )]＝(ax ＋b )2－2(ax ＋b )＋1＝a 2x 2＋(2ab －2a )x ＋b 2－2b ＋1＝4x 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，2ab －2a ＝0，b 2－2b ＋1＝0.解得a ＝±2，b ＝1. ∴g (x )＝2x ＋1或g (x )＝－2x ＋1. 12．(16分)(2009·广东三校一模)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元 时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)当每辆车的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x 元， 则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝⎛⎭⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50，整理得f (x )＝－x250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，f (x )最大， 最大值为f (4 050)＝307 050.答 (1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出88辆车；(2)当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307 050元．§2.2 函数的单调性及最大（小）值一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·江苏盐城一模)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是________． 解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)， 令u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4.答案 [32，4)2．(2009·湖南改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )， f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为__________________．解析 由f (x )＝2－|x |≤12得－|x |≤－1，∴|x |≥1.∴x ≥1或x ≤－1.∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.当x ∈(1，＋∞)时，f K (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x，在(1，＋∞)上为减函数． 当x ∈(－∞，－1)时，f K (x )＝2x ，在(－∞，－1)上为增函数． 答案 (－∞，－1)3．(2009·江苏扬州模拟)已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (1x)>f (1)的x 的取值范围为__________________．解析 由题意f (1x )>f (1)，1x <1，即1－x x<0，∴x >1或x <0.答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)4．(2010·徐州调研)若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系是________________．解析 ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34)．答案 f (a 2－a ＋1)≤f (34)5．(2010·山东临沂模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________________．解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 得对称轴为x ＝a ，在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，所以a >0，综合得a 的取值范围为(0,1]． 答案 (0,1] 6．(2009·山东烟台调研)关于下列命题：①若函数y ＝2x 的定义域是{x |x ≤0}，则它的值域是{y |y ≤1}；②若函数y ＝1x 的定义域是{x |x >2}，则它的值域是{y |y ≤12}；③若函数y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，则它的定义域一定是{x |－2≤x ≤2}；④若函数y ＝log 2x 的值域是{y |y ≤3}，则它的定义域是{x |0<x ≤8}．其中不正确的命题的序号是________．(注：把你认为不正确的命题的序号都填上)解析 ①中，x ≤0，y ＝2x ∈(0,1]；②中，x >2，y ＝1x ∈(0，12)；③中，y ＝x 2的值域是{y |0≤y ≤4}，但它的定义域不一定是{x |－2≤x ≤2}；④中，y ＝log 2x ≤3，∴0<x ≤8，故①②③错，④正确．答案 ①②③ 7．(2010·惠州一模)已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)<f (1－2m )，则m 的取值范围是______________． 解析 依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2m －1<1－2m⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－12<m <32m <23⇒－12<m <23.答案 ⎝⎛⎭⎫－12，238．(2009·福建厦门适应性考试)若函数f (x )＝(m －1)x 2＋mx ＋3 (x ∈R )是偶函数，则f (x )的单调减区间是____________________． 解析 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，∴(m －1)x 2－mx ＋3＝(m －1)x 2＋mx ＋3，∴m ＝0.这时f (x )＝－x 2＋3，∴单调减区间为[0，＋∞). 答案 [0，＋∞)9．(2010·湛江调研)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是__________________．解析 ∵f (x )＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254，∴f (32)＝－254f (0)＝－4，故由二次函数图象可知 ⎩⎨⎧32≤m ，m －32≤32－0.解得32≤m ≤3.答案 [32，3]二、解答题(本大题共3小题，共46分) 10．(14分)(2010·无锡模拟)已知f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )， f (3)＝1，试解不等式f (x )＋f (x －8)≤2. 解 根据题意，由f (3)＝1， 得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2.又f (x )＋f (x －8)＝f [x (x －8)]， 故f [x (x －8)]≤f (9)．∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.∴原不等式的解集为{x |8<x ≤9}．11．(16分)(2010·镇江模拟)已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述，0<a ≤1. 12．(16分)(2010·无锡调研)函数f (x )对任意的实数m 、n 有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )，且当x >0时 有f (x )>0.(1)求证：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f (1)＝1，解不等式f [log 2(x 2－x －2)]<2. (1)证明 设x 2>x 1， 则x 2－x 1>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)解 ∵f (1)＝1，∴2＝1＋1＝f (1)＋f (1)＝f (2). 又f [log 2(x 2－x －2)]<2，∴f [log 2(x 2－x －2)]<f (2)． ∴log 2(x 2－x －2)<2，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2<4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >2，－2<x <3， 即－2<x <－1或2<x <3.∴原不等式的解集为{x |－2<x <－1或2<x <3}．§2.3 函数的奇偶性一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2009·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )， 且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 008)＋f (2 009)的值为____． 解析 f (－2 008)＋f (2 009)＝f (2 008)＋f (2 009) ＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.答案 1 2．(2010·江苏南京模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则在R 上f (x )的表达式为____________．解析 设x <0，则－x >0，由f (x )为奇函数知 f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≥0)，－x 2－2x (x <0).即f (x )＝x (|x |－2)． 答案 f (x )＝x (|x |－2) 3．(2010·浙江宁波检测)已知函数f (x )＝g (x )＋2，x ∈[－3,3]，且g (x )满足g (－x )＝－g (x )，若 f (x )的最大值、最小值分别为M 、N ，则M ＋N ＝________. 解析 因为g (x )是奇函数，故f (x )关于(0,2)对称， 所以M ＋N ＝4. 答案 4 4．(2010·泰州模拟)f (x )、g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝b ，则F (－a )＝____________.解析 令G (x )＝F (x )－2＝3f (x )＋5g (x )， 故G (x )是奇函数， 又⎩⎪⎨⎪⎧G (a )＝F (a )－2，G (－a )＝F (－a )－2， 解得F (－a )＝－b ＋4. 答案 －b ＋4 5．(2010·无锡模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 ______(填序号)．①y ＝f (|x |); ②y ＝f (－x )； ③y ＝x ·f (x )；④y ＝f (x )＋x .解析 ∵f (x )的定义域为R ，∴f (|－x |)＝f (|x |)， ∴y ＝f (|x |)是偶函数； 令F (x )＝f (－x )，则F (－x )＝f (x )＝－f (－x )＝－F (x )， ∴F (x )是奇函数，∴②是奇函数； 令M (x )＝x ·f (x )， 则M (－x )＝－x ·f (－x )＝x ·f (x )＝M (x )， ∴M (x )是偶函数； 令N (x )＝f (x )＋x ，则N (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x ＝－[f (x )＋x ]＝－N (x )，∴N (x )是奇函数，故②、④是奇函数． 答案 ②④6．(2009·重庆)若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________________.解析 ∵f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，∴2x ＋a －a ·2x 1－2x ＝－1－a ·2x ＋a 2x －1，∴(a －1)2x －a ＝－a ·2x＋(a －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－a ，－a ＝a －1，∴a ＝12.答案127．(2010·江苏如东模拟)定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2 x(x ⊗2)－2的奇偶性为________________．解析 由题意知：f (x )＝4－x 2(x －2)2－2＝4－x 2|x －2|－2， 定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2－x，x ∈[－2,0)∪(0,2]．又∵f (－x )＝4－x 2x＝－f (x )．∴函数f (x )为奇函数． 答案 奇函数 8．(2009·四川改编)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52的值是________． 解析 由xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )可得 32f ⎝⎛⎭⎫52＝52f ⎝⎛32，12f ⎝⎛⎭⎫32＝32⎝⎛⎭⎫12， －12f ⎝⎛⎭⎫12＝12f ⎝⎛⎭⎫－12.又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f ⎝⎛⎭⎫32＝0，f ⎝⎛52＝0. 又∵－1·f (－1＋1)＝(1－1)f (－1)， ∴－f (0)＝0f (－1)＝0. ∴f (0)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫52＝f (0)＝0. 答案 0 9．(2009·连云港模拟)函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递增，则f (－1)，f (0)， f (2)的大小关系是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，又∵y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )向右平移2个单位得到的，而y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递 增，∴f (x )在[－2,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减， ∴f (－1)＝f (1)且f (0)>f (1)>f (2)， ∴其大小关系为f (0)>f (－1)>f (2)． 答案 f (0)>f (－1)>f (2)二、解答题(本大题共3小题，共46分) 10．(14分)(2009·江苏金陵中学三模)已知f (x )是实数集R 上的函数，且对任意x ∈R ，f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)恒成立． (1)求证：f (x )是周期函数； (2)已知f (3)＝2，求f (2 004)． (1)证明 ∵f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，则f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝f (x ＋1)－f (x ) ＝f (x )－f (x －1)－f (x )＝－f (x －1)．∴f (x ＋3)＝f [(x ＋1)＋2]＝－f [(x ＋1)－1] ＝－f (x )．∴f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－f (x ＋3)＝f (x )．∴f (x )是周期函数且6是它的一个周期．(2)解 f (2 004)＝f (334×6)＝f (0)＝－f (3)＝－2. 11．(16分)(2009·广东东莞模拟)已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R . (1)试判断f (x )的奇偶性；(2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．解 (1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )， 此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )为非奇非偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34，∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34，∵a ≥－12，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1.综上得，当－12≤a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1.12．(16分)(2009·东北三省联考)设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0. (1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (2－x )＝f (2＋x )f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (4－x )f (x )＝f (14－x ) ⇒f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)， 从而知函数y ＝f (x )的周期为T ＝10.又f (3)＝f (1)＝0，而f (7)≠0，故f (－3)≠0. 故函数y ＝f (x )是非奇非偶函数．(2)由(1)知y ＝f (x )的周期为10.又f (3)＝f (1)＝0， f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0，故f (x )在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y ＝f (x )在[0,2 005]上有402个解，在[－2 005,0]上有400个解，所以函数y ＝f (x )在[－2 005,2 005]上有802个解．§2.4 指数与指数函数一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·镇江模拟)若0<x <1，则2x,2－x ，0.2x的大小关系是________．解析 取x ＝12，则212＝2，2－12＝22，0.212＝0.2，∴2>22>0.2，即2x >2－x >0.2x .答案 2x >2－x >0.2x2．(2009·江苏，10)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的 大小关系为________．解析 ∵0<a ＝5－12<1，∴函数f (x )＝a x 在R 上是减函数． 又∵f (m )>f (n )， ∴m <n . 答案 m <n3．(2009·山东烟台模拟)函数y ＝2－|x |的单调增区间是______________．解析 画出函数y ＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x x ≥02x x <0的图象，如图．答案 (-∞，0]4．(2010·泰州月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x <0，g (x )， x >0若f (x )是奇函数，则g (2)＝________.解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＝－f (2)∴f (2)＝－14，又∵f (2)＝g (2)，∴g (2)＝－14.答案 －145．(2010·扬州调研)若函数y ＝4x －3·2x ＋3的定义域为集合A ，值域为[1,7]，集合B ＝(－∞， 0]∪[1,2]，则集合A 与集合B 的关系为________． 解析 因为y ＝4x －3·2x ＋3的值域为[1,7]， 所以1≤(2x )2－3·2x ＋3≤7， 所以x ≤0或1≤x ≤2. 答案 A ＝B 6．(2010·南京调研)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是______________．解析 f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＋1>1.故0<a ≤1.答案 (0,1]7．(2010·锦州模拟)函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______．解析 当a >1时，y ＝a x在[1,2]上单调递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32当0<a <1时，y ＝a x在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12故a ＝12或a ＝32.答案 12或328．(2010·盐城模拟)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则 f (b x )________f (c x )．(用“≤”，“≥”，“>”，“<”填空) 解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )．∴f (x )的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2 又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x ≥0，则3x ≥2x≥1， ∴f (3x )≥f (2x )，若x <0，则3x <2x<1，∴f (3x )>f (2x)，∴f (3x )≥f (2x)． 答案 ≤9．(2009·湖北黄冈四市联考)设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b ＝________.解析 因为f (x )＝|2x－1|的值域为[a ，b ]， 所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x－1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以有a ＋b ＝1. 答案 1二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2009·广东韶关一模)要使函数y ＝1＋2x ＋4xa 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．解 由题意得1＋2x ＋4xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．又∵－1＋2x 4x ＝－⎝⎛⎭⎫122x －⎝⎛⎭⎫12x＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋122＋14， ∵x ∈(－∞，1]，∴⎝⎛⎭⎫12x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t ＋122＋14， t ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 则f (t )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上为减函数， f (t )≤f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎝⎛⎭⎫12＋122＋14＝－34， 即f (t )∈⎝⎛⎦⎤－∞，－34. ∵a >f (t )，在[12，＋∞)上恒成立，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.11．(16分)(2009·江苏苏北四市期末)设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立． (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图 象关于直线y ＝x 对称，求h (x )； (3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域． 解 (1)由f (0)＝2，得b ＝1，由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x(a －2)＝0，由a x>0得a ＝2，所以f (x )＝2x＋1.(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x＋1.设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )应该在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)．(3)由已知得y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[54，2]，所以函数y ＝g (x )＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[54，2])．由于函数g (x )＝2x ＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[54，2]上均为增函数，因此当x ＝54时，y ＝242－1，当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[54，2])的值域为[242－1,5]．12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝(13)x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n ，同时满足以下条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]．若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解 (1)因为x ∈[－1,1]，所以(13)x ∈[13，3]．设(13)x ＝t ，t ∈[13，3]， 则g (x )＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，h (a )＝φ(13)＝289－2a 3；当13≤a ≤3时，h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3(a <133－a 2(13a ≤3)12－6a (a >3).(2)因为m >n >3，a ∈[n ，m ]，所以h (a )＝12－6a .因为h (a )的定义域为[n ，m ]，值域为[n 2，m 2]，且h (a )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 212－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，因为m >n ，所以m －n ≠0，得m＋n ＝6，但这与“m >n >3”矛盾，故满足条件的实数m ，n 不存在．§2.5 对数与对数函数一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 ∵a ＝log 3π>1，b ＝12log 23<1，c ＝12log 32<1，∴a >b ，a >c .又log 23log 32＝lg 23lg 22>1，∴b >c ，∴a >b >c . 答案 a >b >c 2．(2009·福建厦门模拟)函数y ＝lg x ＋lg(x －1)的定义域为A ，y ＝lg(x 2－x )的定义域为B ，则 A 、B 的关系是______________．解析 由已知得⎩⎨⎧x >0x －1>0，∴A ＝{x |x >1}，由x 2－x >0得x >1或x <0，∴B ＝{x |x >1或x <0}，∴A B . 答案 A B3．(2009·广东改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ， a )则f (x )＝__________________.解析 由y ＝a x得，x ＝log a y ，即f (x )＝log a x ，由于a ＝log a a ＝12，因此f (x )＝log 12x .答案 log 12x4．(2009·南京十三中三模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ， x <1，log a x ， x ≥1是R 上的减函数，那么a 的取值范围是________________． 解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <13a －1<0(3a －1)＋4a ≥0，解得17≤a <13.答案 [17，13)5．(2010·江苏泰州月考)函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的递增区间是__________．解析 由x 2－3x ＋2>0得x <1或x >2，当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2－3x ＋2单调递减，而0<12<1，由复合函数单调性可知y ＝log 12(x 2－3x ＋2)在(－∞，1)上是单调递增的，在(2，＋∞)上是单调递减的． 答案 ()－∞，1 6．(2010·泰州模拟)方程log 3(x 2－10)＝1＋log 3x 的解是________．解析 log 3(x 2－10)＝log 33x . ∴x 2－10＝3x .∴x 2－3x －10＝0. ∴x ＝－2或x ＝5. 检验知x ＝5适合． 答案 57．(2009·辽宁改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝________.解析 因为2＋log 23<4，故f (2＋log 23)＝f (2＋log 23＋1) ＝f (3＋log 23)．又因为3＋log 23>4，故f (3＋log 23) ＝⎝⎛⎭⎫123＋log 23＝⎝⎛⎭⎫123·13＝124.答案 1248．(2010·淮北调研)函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值 为________．解析 ∵y ＝a x与y ＝log a (x ＋1)具有相同的单调性． ∴f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上单调，∴f (0)＋f (1)＝a ，即a 0＋log a 1＋a 1＋log a 2＝a ，化简得1＋log a 2＝0，解得a ＝12.答案 129．(2009·广东五校联考)设a >0，a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________________． 解析 设t ＝lg(x 2－2x ＋3)＝lg[(x －1)2＋2]． 当x ＝1时，t min ＝lg 2.又函数y ＝f (x )有最大值，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0，得0<x 2－5x ＋7<1， 解得2<x <3.故不等式解集为{x |2<x <3}． 答案 (2,3)二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.(14分)(2010·江苏启东中学模拟)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax －a )在区间(－∞，－12)上为增函数，求a 的取值范围． 解 令g (x )＝x 2－ax －a .∵f (x )＝log 12g (x )在(－∞，－12)上为增函数，∴g (x )应在(－∞，－12)上为减函数且g (x )>0在(－∞，－12)上恒成立．因此⎩⎨⎧a 2≥－12g (－12)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－114＋a 2－a >0.解得－1≤a <12，故实数a 的取值范围是－1≤a <12.11．(16分)(2010·舟山调研)已知函数y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数，求a 的取值范围．解 因为μ(x )＝x 2－2ax －3在(－∞，a ]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数，要使y ＝log a 2(x 2－2ax －3)在(－∞，－2)上是增函数， 首先必有0＜a 2＜1，即0＜a ＜1或－1＜a ＜0，且有 ⎩⎪⎨⎪⎧μ(－2)≥0，a ≥－2，得a ≥－14.综上，得－14≤a ＜0或0＜a ＜1.12．(16分)(2010·扬州模拟)已知函数f (x )＝log a x ＋bx －b(a >0，且a ≠1，b >0)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性．解 (1)由x ＋bx －b>0⇒(x ＋b )(x －b )>0.解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．(2)∵f (－x )＝log a⎝⎛⎭⎫－x ＋b －x －b＝log a ⎝⎛⎭⎫x －b x ＋b ＝log a⎝⎛⎭⎫x ＋b x －b －1＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则u (x )＝1＋2bx －b.它在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．∴当0<a <1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数； 当a >1时，f (x )分别在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．§2.6 幂函数一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2010·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x α的图象经过点(4,2)，则log 2f (2)＝________.解析 由已知得2＝4α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12，∴log 2f (2)＝log 2212＝12.答案 122．(2009·江苏靖江调研)设α∈{－2，－12，12，2}，则使函数y ＝x α为偶函数的所有α的和为____________．解析 符合题意的α为－2和2，则－2＋2＝0. 答案 0 3．(2009·山东临沂模拟)已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a 、b 、c 按从小到大的顺序排列为________________． 解析 由指数函数y ＝0.8x 知， ∵0.7<0.9，∴0.80.9<0.80.7<1，即b <a ，又c ＝1.20.8>1，∴b <a <c . 答案 b <a <c4．(2010·连云港模拟)幂函数y ＝(m 2－m －1)·x －5m －3，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则实数m 的值为________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0.∴m ＝2.答案 25．(2010·盐城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1， x ≤0，x 12， x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是________________．解析 f (x 0)>1，当x 0≤0时，2－x 0－1>1，即2－x 0>2，－x 0>1，∴x 0<－1；当x 0>0时，x 120>1，∴x 0>1.综上，x 0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)6．(2010·西安调研)函数y ＝(0.5x －8)－12的定义域是______________．解析 由题意知0.5x －8>0，即(12)x >8，即2－x >23，∴－x >3，则x <－3. 答案 (－∞，－3)7．(2009·宝城第一次月考)若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则a 的取值范围是______________．解析 ∵(a ＋1)－13<(3－2a )－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>03－2a >0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<03－2a <0a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a ＋1<0解之得23<a <32或a <－1.答案 23<a <32或a <－18．(2009·南京二模)给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，都有函 数值f (x 0)∈D ，则称函数y ＝f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0,1)，则函数 ①f 1(x )＝3x －1；②f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1；③f 3(x )＝1－x ；④f 4(x )＝x 12，其中在D 上封闭的是________．(填序号即可)解析 ∵f 1⎝⎛⎭⎫13＝0∉(0,1)，∴f 1(x )在D 上不封闭．∵f 2(x )＝－12x 2－12x ＋1在(0,1)上是减函数，∴0＝f 2(1)<f 2(x )<f 2(0)＝1，∴f 2(x )适合． ∵f 3(x )＝1－x 在(0,1)上是减函数，∴0＝f 3(1)<f 3(x )<f 3(0)＝1，∴f 3(x )适合．又∵f 4(x )＝x 12在(0,1)上是增函数，且0＝f 4(0)<f 4(x )<f 4(1)＝1，∴f 4(x )适合． 答案 ②③④9．(2010·泉州模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点(18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)； ②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)； ③f (x 1)x 1>f (x 2)x 2； ④f (x 1)x 1<f (x 2)x 2. 其中正确结论的序号是________________．解析 依题意，设f (x )＝x α，则有(18)α＝24，即(18)α＝(18)12，所以α＝12，于是f (x )＝x 12.由于函数f (x )＝x 12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1<x 2时，必有f (x 1)<f (x 2)，从而有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f (x 1)x 1，f (x 2)x 2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，所以③正确．答案 ②③二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.(14分)(2009·辽宁丹东检测)已知幂函数y ＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域内图象关于y 轴对称，求p 的值．解 由题意知：－12p 2＋p ＋32＝－12(p －1)2＋2.因为p ∈Z ，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域上为偶函数，所以p ＝1.11．(16分)(2010·四平调研)已知f (x )＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f (x 2－x )>f (x ＋3)．解 由条件知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1<n <3.又n ＝2k ，k ∈Z ，∴n ＝0,2.当n ＝0,2时，f (x )＝x 13.∴f (x )在R 上单调递增．∴f (x 2－x )>f (x ＋3)，∴x 2－x >x ＋3. 解得x <－1或x >3.∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．12．(16分)(2010·南通模拟)已知函数f (x )＝x1＋x，(1)画出f (x )的草图；(2)由图象指出f (x )的单调区间；(3)设a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c ，证明：f (a )＋f (b )＞f (c )．(1)解 由xx x f +=1)(得.111)(+-=x x f∴f (x )的图象可由xy 1-=的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到如图． (2)解 由图象知(－∞，－1)，(－1，＋∞) 均为f (x )的单调增区间．(3)证明 ∵f (x )在(－1，＋∞)为增函数， a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ＞0，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b＞0，a ＋b ＞c ＞0， ∴f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b ＞c1＋c＝f (c )，∴f (a )＋f (b )＞f (c )．§2.7 函数与方程一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分) 1．(2010·福建厦门模拟)如果函数y ＝x 2＋mx ＋(m ＋3)有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析 方程x 2＋mx ＋(m ＋3)＝0有两个不同的根⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，∴m >6或m <－2. 答案 (－∞，－2)∪(6，＋∞)2．(2010·金华一模)如果函数f (x )＝x 2＋mx ＋m ＋2的一个零点是0，则另一个零点是 ________________．解析 依题意知：m ＝－2. ∴f (x )＝x 2－2x ，∴方程x 2－2x ＝0的另一个根为2， 即另一个零点是2. 答案 2 3．(2009·江苏盐城模拟)用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁 定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________． 解析 令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (32)＝－58<0，由f (32)f (2)<0知根所在区间为(32，2)．答案 (32，2)(说明：写成闭区间也对)4．(2010·江苏兴化模拟)根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为________.解析 令f (x )＝e x由表知f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，∴方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为(1,2)． 答案 (1,2) 5．(2009·江苏扬州模拟)已知函数f (x )＝3x ＋x －5的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *， 则a ＋b ＝________.解析 ∵b －a ＝1，a ，b ∈N *，f (1)＝4－5＝－1<0， f (2)＝6>0，∴f (1)f (2)<0，∴a ＋b ＝3. 答案 36．(2009·山东，14)若函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是______________．解析 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x－x －a (a >0，且a ≠1) 有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图1可知，当 0<a <1时两函数只有一个交点，不符合；由图2知，当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)与y 轴交于点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所 以实数a 的取值范围是a >1.答案 a >1 7．(2010·苏州模拟)偶函数f (x )在区间[0，a ](a >0)上是单调函数，且f (0)·f (a )<0，则方程f (x )＝0在区间[－a ，a ]内根的个数是________． 解析 由f (0)·f (a )<0，且f (x )在[0，a ](a >0)上单调知f (x )＝0在[0，a ]上有一根，又函数f (x ) 为偶函数，f (x )＝0在[－a,0]上也有一根． 答案 2 8．(2010·浙江温州一模)关于x 的实系数方程x 2－ax ＋2b ＝0的一根在区间[0,1]上，另一根在 区间[1,2]上，则2a ＋3b 的最大值为________．解析 令f (x )＝x 2－ax ＋2b ，据题意知函数在[0,1]，[1,2]内各存在一零点，结合二次函数图象可知满足条件 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≥0f (1)≤0f (2)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧b ≥01－a ＋2b ≤04－2a ＋2b ≥0，在直角坐标系中作出满足不等式的点(a ，b )所在的可行域，问题转化为确定线性目标函数： z ＝2a ＋3b 的最优解，结合图形可知当a ＝3，b ＝1时，目标函数取得最大值9. 答案 99．(2009·江苏启东中学月考)若关于x 的方程3tx 2＋(3－7t )x ＋4＝0的两实根α，β满足 0<α<1<β<2，则实数t 的取值范围是______________．解析 依题意，函数f (x )＝3tx 2＋(3－7t )x ＋4的两个零点α，β满足0<α<1<β<2，且函数f (x ) 过点(0,4)，则必有⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4>03t ＋3－7t ＋4<012t ＋6－14t ＋4>0， 解得74<t <5.答案 74<t <5二、解答题(本大题共3小题，共46分)10.(14分)(2010·江苏镇江调研)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围． 解 二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的否定是对于区间[－1,1] 内的任意一个x 都有f (x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (－1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤04＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0 整理得⎩⎪⎨⎪⎧2p 2＋3p －9≥02p 2－p －1≥0，解得p ≥32p ≤－3.∴二次函数在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的实数p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，32.11．(16分)(2010·扬州模拟)x 1与x 2分别是实系数方程ax 2＋bx ＋c ＝0和－ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，且x 1≠x 2，x 1≠0，x 2≠0.求证：方程a2x 2＋bx ＋c ＝0有一个根介于x 1和x 2之间．证明 由于x 1与x 2分别是方程ax 2＋bx ＋c ＝0和－ax 2＋bx ＋c ＝0的根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ax 21＋bx 1＋c ＝0，－ax 22＋bx 2＋c ＝0. 设f (x )＝a 2x 2＋bx ＋c ，则f (x 1)＝a 2x 21＋bx 1＋c ＝－a 2x 21，f (x 2)＝a 222＋bx 2＋c ＝3a 2x 22.于是f (x 1)f (x 2)＝－34a 2x 21x 22，由于x 1≠x 2，x 1≠0，x 2≠0， 所以f (x 1)f (x 2)<0，因此方程a2x 2＋bx ＋c ＝0有一个根介于x 1和x 2之间．12．(16分)(2009·江苏江阴模拟)已知二次函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3. (1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q 的取值范围；(2)问是否存在常数t (t ≥0)，当x ∈[t,10]时，f (x )的值域为区间D ，且区间D 的长度为 12－t .(视区间[a ，b ]的长度为b －a )解 (1)∵函数f (x )＝x 2－16x ＋q ＋3的对称轴是x ＝8， ∴f (x )在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0f (－1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－16＋q ＋3≤01＋16＋q ＋3≥0，∴－20≤q ≤12. (2)∵0≤t <10，f (x )在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x ＝8. ①当0≤t ≤6时，在区间[t,10]上，f (t )最大，f (8)最小， ∴f (t )－f (8)＝12－t ，即t 2－15t ＋52＝0，解得t ＝15±172，∴t ＝15－172；②当6<t ≤8时，在区间[t,10]上f (10)最大，f (8)最小， ∴f (10)－f (8)＝12－t ，解得t ＝8；③当8<t <10时，在区间[t,10]上，f (10)最大，f (t )最小，∴f (10)－f (t )＝12－t ，即t 2－17t ＋72＝0， 解得t ＝8或t ＝9，∴t ＝9.综上可知，存在常数t ＝15－172，8,9满足条件．§2.8 函数模型及应用一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2009·广东揭阳调研)计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________．解析 9年后的价格大约是8 100×(13)3＝300元．答案 300元 2．(2010·江苏南通一模)从盛满20升纯消毒液的容器中倒出1升，然后用水加满，再倒出1 升，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x 和残留消毒液y 之间的函数解析式为_ _______．解析 所倒次数1次，则y ＝19所倒次数2次，则y ＝19×1920……所倒次数x 次，则y ＝19(1920)x －1＝20(1920)x .答案 y ＝20(1920)x3．(2009·扬州期末)某电信公司推出手机两种收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时 间(分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分 钟时，这两种方式电话费相差________．解析 如题图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费差为线段BD 的长度，根据相似三角形的性质可得BD 20＝50100，∴BD ＝10. 答案 10元 4．(2009·苏、锡、常、镇调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不 超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费； 超过8 km 时，超过的部分按每千米2.85元收费，每次乘车需付燃油附加费1元，现某人 乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了____________千米． 解析 设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元，由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧8＋1， 0<x ≤39＋(x －3)×2.15， 3<x ≤89＋5×2.15＋(x －8)×2.85， x >8，令f (x )＝22.6，解得x ＝9.。