高考数学一轮复习配餐作业一元二次不等式及其解法含解析理68

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苏教版高考一轮数学理一元二次不等式及其解法一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案

一元二次不等式及其解法分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 (2,3)2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)3．(2012·南京二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)·(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．答案 (－2,1)4．(2012·南京师大附中调研)已知实数x ，y 满足1≤x 3y ≤4，2≤x 2y2≤3，则xy 的取值范围是________．解析 xy ＝x 3y ·y 2x2，∵1≤x 3y ≤4，13≤y 2x 2≤12，∴13≤xy ≤2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1，x ＞0，则f (x )＞x 的解集为________．解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＞x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＋1＞x ，解得x ＜0或x ＞0，即x ≠0. 答案 {x |x ≠0}6．(2013·苏中六校联考)已知函数f (x )＝x 2－|x |，若f (－m 2－1)<f (2)，则实数m 的取值范围是________．解析因为f (－x )＝(－x )2－|－x |＝x 2－|x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．所以f (－m 2－1)＝f (m 2＋1)，因为m 2＋1≥1,2>1且f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以m 2＋1<2，解得－1<m <1. 答案 (－1,1)二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4a ＋2a －1＜0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a －2a ＋3＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3，或a ＞2，所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．8．(2012·宿迁联考)已知集合A ＝{x |x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －ax －a 2＋1＜0，x ∈R. (1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围； (2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解 (1)若4∈B ，则4－a3－a 2＜0⇔a ＜－3或3＜a ＜4.∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)． (2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}． ①当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12.②当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在．③当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ，必须⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12.分层训练B 级创新能力提升1．(2012·南京外国语学校检测)若不等式ax 2＋ax ＋ (a －1)＜0的解集是全体实数，则a 的取值范围为________．解析不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，所以a ＝0时满足题意，当a ＜0时，判别式Δ＜0，得a ＜0，故a ∈(－∞，0]．答案 (－∞，0]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2≥－1，所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤ 2－1. 答案 (－∞，2－1]3．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析由题意，得f (mx )＋mf (x )<0可化为 2mx 2<m ＋1m，①①当m >0时，不等式可化为x 2<12＋12m2，∴∀x ∈[1，＋∞)，上述不等式不成立，这样的m 不存在； ②当m <0时，不等式①可化为x 2>12＋12m 2.∵∀x ∈[1，＋∞)，x 2有最小值1.∴12＋12m2<1，解得m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． ∴m <－1，即m 的取值范围为(－∞，－1)．答案 (－∞，－1)4．(2012·济南模拟)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析由已知得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立．∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，n ∈N *； ∴x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]上恒成立．解不等式x 2＋12x ≥12，得x ≤－1或x ≥12，∴当λ≤－1时，x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]恒成立．答案 (－∞，－1]5．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b . (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解 (1)由f (1)＞0，得－3＋a (6－a )＋b ＞0，即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式解集为∅. ②当Δ＞0时，即b ＞－6时，方程有两根x 1＝3－6＋b ，x 2＝3＋6＋b ，所以不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．综上所述：b ≤－6时，原不等式解集为∅；b ＞－6时，原不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0，即3x 2－a (6－a )x －b ＜0. 因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a 6－a3，－1×3＝－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3－3，b ＝9或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9.6．(2012·泰州模拟)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解 (1)x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点，在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a2<－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73.此不等式组无解．③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点，在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.综合①②③得a ∈[－7,2].。

高考数学(理科)一轮复习一元二次不等式及其解法学案含答案

高考数学（理科）一轮复习一元二次不等式及其解法学案含答案学案34一元二次不等式及其解法导学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1,2＝－b±b2－4ac2a(x1x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集a>0{x|x或x>x2}{x|x≠____}______a自我检测1．(2011•广州模拟)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，xf(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)3．已知不等式x2－2x－3A．－3B．1C．－1D．34．(2011•厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是()5．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4探究点一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：(1)－x2＋2x－23>0；(2)9x2－6x＋1≥0.变式迁移1解下列不等式：(1)2x2＋4x＋3(2)－3x2－2x＋8≤0；(3)8x－1≥16x2.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a变式迁移2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1探究点三一元二次不等式恒成立问题例3(2011•巢湖月考)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．变式迁移3(1)关于x的不等式4x＋mx2－2x＋3(2)若不等式x2＋px>4x ＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．转化与化归思想的应用例(12分)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0【答题模板】解由已知不等式的解集为(α，β)可得a∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系可得ba＝－ α＋β 0.②4分]∵a则cx2＋bx＋a0.6分]①÷②，得bc＝－ α＋β αβ＝－1α＋1β0，∴1α、1β为方程x2＋bcx＋ac＝0的两根．10分]∵01α}．12分]【突破思维障碍】由ax2＋bx＋c>0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a0，因a1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是a>0，Δ＝b2－4ac(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y＝的定义域是()A．－2，－1)∪(1，2]B．－2，－1]∪(1，2)C．－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)2．(2010•抚顺模拟)已知集合P＝{x|x＋1x－1>0}，集合Q＝{x|x2＋x－2≥0}，则x∈Q是x∈P的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．(2011•银川模拟)已知集合M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若M∪N＝R，M∩N＝(2009，2010]，则()A．a＝2009，b＝－2010B．a＝－2009，b＝2010C．a＝2009，b＝2010D．a＝－2009，b＝－20104．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)A．m>1B．mC．m1或m5．(创新题)已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2A.0，1a1B.0，2a1C.0，1a3D.0，2a3二、填空题(每小题4分，共12分)6．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)7．已知函数f(x)＝log2x，x>0，x2，x≤0，则满足f(x)>1的x的取值范围为______________．8．(2011•泉州月考)已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如右图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)解关于x的不等式x－ax－a210．(12分)若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x|－13≤x≤2，求不等式cx2＋bx＋a11．(14分)(2011•烟台月考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；(2)当x∈－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．学案34一元二次不等式及其解法自主梳理1．22.－b2a－b2aR∅∅自我检测1．C2.A3.A4.D5．(－∞，－5]解析记f(x)＝x2＋mx＋4，根据题意得Δ＝m2－16>0，f 1 ≤0，f 2 ≤0，解得m≤－5.课堂活动区例1解题导引解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．解(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2因为3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33，所以原不等式的解集是{x|1－33(2)∵不等式9x2－6x＋1≥0，其相应方程9x2－6x＋1＝0，Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x＝13，结合二次函数y＝9x2－6x＋1的图象知，原不等式的解集为R.变式迁移1解(1)∵不等式2x2＋4x＋32(x＋1)2＋10，∴2x2＋4x＋3(2)两边都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，因为3>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是x1＝－2，x2＝43，所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪43，＋∞)．(3)原不等式可转化为16x2－8x＋1≤0，即(4x－1)2≤0，∴原不等式的解集为{14}．例2解题导引(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，当a≠0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解．(1)a＝0时，解为x>0.(2)a>0时，Δ＝4－4a2.①当Δ>0，即0方程ax2－2x＋a＝0的两根为1±1－a2a，∴不等式的解集为{x|1－1－a2a②当Δ＝0，即a＝1时，x∈∅；③当Δ1时，x∈∅.(3)当a①Δ>0，即－1不等式的解集为{x|x1－1－a2a}．②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为(x＋1)2>0，∴解为x∈R且x≠－1.③Δ综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；当0{x|1－1－a2a当a＝0时，解集为{x|x>0}；当－1{x|x1－1－a2a}；当a＝－1时，解集为{x|x∈R且x≠－1}；当a变式迁移2解①当a＝0时，解得x>1.②当a>0时，原不等式变形为(x－1a)(x－1)∴a>1时，解得1aa＝1时，解得x∈∅；0③当a0，∵1a1.综上所述，当a当a＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；当0当a＝1时，不等式解集为∅；当a>1时，不等式解集为(1a，1)．例3解题导引注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解方法一f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a②当a∈－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.方法二令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或Δ>0，a解得－3≤a≤1.变式迁移3解(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴不等式4x＋mx2－2x＋30.要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立．∴Δ整理并解得m∴实数m的取值范围为(－∞，－2)．(2)∵x2＋px>4x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0.令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有g 0 >0g 4 >0.∴x>3或x∴实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．课后练习区1．A由已知有(x2－1)≥0，∴x2－1>0，x2－1≤1.∴x>1或x∴－2≤x2．D化简得P＝{x1}，Q＝{x≤－2，或x≥1}，集合P，Q之间不存在包含关系，所以x∈Q是x∈P的既不充分又不必要条件．]3．D化简得M＝{x|x2009}，由M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．所以b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即a＝－2009.]4．C当m＝－1时，不等式变为2x－6当m≠－1时，由题意知m＋1化简，得m＋10，解得m5．B(1－aix)2即aix(aix－2)0，这个不等式可以化为xx－2ai即ai应最大，也即是06．(－12，32)解析由题意知，(x－a)⊗(x＋a)⇔(x－a)(1－x－a)⇔x2－x－(a2－a－1)>0.因上式对x∈R都成立，所以Δ＝1＋4(a2－a－1)即4a2－4a－37．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析当x>0时，由log2x>1，得x>2；当x≤0时，由x2>1，得x综上可知，x的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．8．(2,3)∪(－3，－2)解析由导函数图象知当x0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x>0时，f′(x)故不等式f(x2－6)>1等价于f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，即－2解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．9．解x－ax－a2①当a＝0或a＝1时，原不等式的解集为∅；(4分)②当a1时，a③当0a2，此时a2综上，当a1时，原不等式的解集为{x|a当0当a＝0或a＝1时，原不等式解集为∅.(12分)10．解由ax2＋bx＋c≥0的解集为x|－13≤x≤2，知a又－13×2＝ca0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，(6分)∴－ba＝53，即ba＝－53.又∵ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.(8分)∴不等式cx2＋bx＋a即2ax2＋5ax－3a>0.又∵a∴所求不等式的解集为x|－311．解(1)∵x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.(4分)(2)当x∈－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方，满足条件时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.(7分)②如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a2即a2－4 3－a ≥0，－a24，a≤73，解之，得a∈∅.(10分)③如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，即Δ≥0，x＝－a2>2，g 2 ≥0，即a2－4 3－a ≥0，－a2>2，4＋2a＋3－a≥0⇔a≥2或a≤－6，a⇔－7≤a≤－6.(13分)综合①②③，得a∈－7,2]．(14分)。

新高考数学一轮复习练习-一元二次不等式解法及运用(提升)(解析版)

2.1 一元二次不等式解法及运用(提升）一、单选题1．（2021·广东珠海市·高三二模）已知，满足，，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因，，则a>0，b<0，，A 不正确；，则，B 不正确；又，即，则，，C 正确；由得，D 不正确.故选：C2．（2021·天津高三一模）已知，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】（由函数为增函数）对于A ，，故正确；对于B ，取，，故错误；对于C ，取，显然不成立，故错误；对于D ，假设成立，则，即，可得，而时，不能一定有，故不成立.,a b ∈R 0ab <0a b +>a b >11a b<0b a a b+>22a b >a b<0ab <a b >110,0a b><0,0b a a b <<0b aa b +<0a b +>0a b >->22()a b >-22a b >0a b >->||a b >0,0,lnlg y xx y x y >>>11x y>sin sin y x>y x x y<10x y yxe >lnlg y x x y> ln ln lg lg y x x y ∴->-ln lg ln lg y y x x∴+>+0x y ∴>>ln lg y x x =+011x x y y>>⇒>,2y x ππ==sin 0sin 1y x =<=2,1y x ==10x y yxe >ln ln10x y yxe >ln10y xx y>22ln10y x >0y x >>22ln10y x >故选：A3．（2021·全国高三专题）若关于的不等式()的解集为空集，则的最小值为（）AB ．C ．D．【答案】D【解析】关于的不等式()的解集为空集所以，，得，∴，令，则，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值为4，故选：D.4．（2020·上海市建平中学）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的整数的值之和是（）A ．13B ．18C ．21D ．26【答案】C 【解析】x 210x bx c a++<1ab >1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--24x 210x bx c a++<1ab >10a >240c b a -≤24ab c ≥221(2)122(1)12(1)a b c ab a b T ab ab ab +++=+≥---1ab m -=0m >212(1)(1)22422m m m T m m++++≥=++≥2m =1(2)2(1)1a b c T ab ab +=+--设，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则，即，解得5<a ⩽8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8.则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21.故选C.5．（2020·全国高三）设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是（）A ．B ．18C ．8D ．-6【答案】C【解析】因为是关于的一元二次方程的两个实根所以由韦达定理得，且所以2()6f x x x a =-+260x x a -+≤()()2010f f ⎧⎪⎨>⎪⎩…2226201610a a ⎧-⨯+⎨-⨯+>⎩…,a b x 2260x mx m -++=22(1)(1)a b -+-494-,a b x 2260x mx m -++=26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩()2460m m ∆=--≥()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭且或由二次函数的性质知，当时，函数取得最小值为即的最小值为故选C.6．（2021·山西太原市）设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆[1，3]，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则不等式的解集，①若，则，即，解得②若，则，∴综上，故实数的取值范围是故选A．7．（2021·全国高三专题练习）已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是（）A．2－<m<2＋B．m<2C．m<2＋D．m≥2＋【答案】C【解析】令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有或,3m≥2m≤-3m=2349444y m⎛⎫=--⎪⎝⎭822(1)(1)a b-+-8111,5⎛⎤- ⎥⎝⎦111,5⎛⎤⎥⎝⎦112,5⎛⎤⎥⎝⎦(]1,3-222f x x ax a=-++（）2220x ax a-++≤[]13A⊆，A∅=24420a a=-+V（）＜220a a--＜12a＜＜-A∅≠()()103013ffa∆≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪<<⎩1125a≤≤1115a-<≤a111]5-（，()()2410m m∆=--+<()121110mf m m∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩解得，所以m <2＋.故选：C8．（2021·全国高三专题练习）若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A ．0B ．-2C ．D ．-3【答案】B【解析】，，由对勾函数性性质可知，当为减函数，当时，为增函数，故，即恒成立，，故的最小值为-2故选：B9．（2021·浙江高三专题练习）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】不等式恒成立，即，即恒成立，即恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选B.10．（2021·全国高三专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意构造函数：，由于当时，不等式恒成立，即，解得，即，故选A.11．（2021·四川成都市·高三月考）给出下列命题:①且;②22m -<<+2m ≤-210x ax ++≥(]0,2x ∈a 52-(]0,2x ∈ 2110x ax x a x∴++≥⇔+≥-()0,1,x ∈()1f x x x =+()12x ,∈()1f x x x=+()()min 1112f x f ==+=2a -≤2a ≥-a ()2223122x axx a -+<a (0,1)-3(,)4+∞3(0,43(,)4-∞22231()22x axx a -+<222(3)11()()22x ax x a --+<222(3)x ax x a ->-+22(32)0x a x a +-+>22(32)40a a ∆=--<34a >a 3(,)4+∞()1,2x ∈240x mx ++<m 5m ≤-5m <-5m <5m ≥()()241,2f x x mx x =++∈，12x ∈（，）240x mx ++<()()1020f f ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩45m m ≤-⎧⎨≤-⎩5m ≤-11x y x y -≠⇔-≠1y x -≠;③.其中真命题的个数为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于①，且的逆否命题为：或，因为：或是真命题，所以原命题是真命题；对于②，由得，解得或，所以是假命题；对于③，由得，由得，即，因为，即，所以是真命题.故选：C.12．（2021·全国高三专题练习）下列选项中，使成立的的取值范围是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】故选A.13．（2020·湖北高三期中）已知，恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意，函数，令，111x x <⇒>22330aba b ab a b>⇔>-012311x y x y -≠⇔-≠1y x -≠1x y -=1y x -=⇔1x y -=1x y -=1y x -=⇔1x y -=11x <10xx-<1x >0x <22a b ab >()0ab a b ->330ab a b>-()330ab a b ->()()220ab a b a ab b -++>22223024b a ab b a b⎛⎫⎛⎫++=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()3300ab a b ab a b ->⇔->22330aba b ab a b >⇔>-21x x x<<x (,1)-∞-(1,0)-(0,1)(1,)+∞22(1)(1)11,01{,{{ 1.11,0(1)(1)0x x x x x xxx x x x x x x x x+-<<<-<<∴∴∴<-><-++<> 或原不等式可化为，或2()41f x x x a =+++,(())0x R f f x ∀∈≥⎫+∞⎪⎪⎭[2,)+∞[1,)-+∞[3,)+∞2()41f x x x a =+++()2241(2)33t f x x x a x a a ==+++=+-+≥-又由恒成立，即对任意恒成立，当时，即时，，解得，此时无解；当时，即时，，解得，综上可得，实数a 的取值范围为.14．（2020·浙江宁波市·高三期中）已知，，对任意的实数均有，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为，，对任意的实数均有，令，则有对任意的恒成立；若，则，原不等式可化为，因为，所以解不等式可得或，因，所以不满足原不等式对任意的恒成立；即不满足题意；若，当时，，则原不等式可化为，令，则是开口向上的二次函数，且零点为和，为使对任意的恒成立；只有；当时，；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不能满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或,(())0x R f f x ∀∈≥()0f t ≥3t a ≥-32a -≤-1a ≤()min (2)30f t f a ==-≥3a ≥32a ->-1a >()2min (3)20f t f a a a =-=--≥2a ≥[2,)+∞a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥2+a b 1581782a b R ∈x ()()()210x a x b x a +---≥t x =()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞0b ≤0t b -≥()()210t a t a +--≥()2221311024a a a a a ⎛⎫+--=++=++> ⎪⎝⎭()()210t a t a +--≥21t a ≥+t a ≤-21a a +>-[)0,t ∈+∞0b ≤0b >0a ≥0t a +≥()()210t b t a ---≥()()()21f t t b t a =---()f t t b =21t a =+()()210t b t a ---≥[)0,t ∈+∞21b a =+0a <0a ->21a b a -<<+()()()210t a t b t a +---≥()()210t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩21t a ≥+a t b -≤≤21b a <+[)0,t ∈+∞21b a a <-<+()()()210t a t b t a +---≥()()2010t b t a t a -≥⎧⎪⎨+--≥⎪⎩，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则由不等式可得或，解得或，因为，所以不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得或，不满足原不等式对任意的恒成立；若，则不等式可化为，解得，不满足原不等式对任意的恒成立；综上，为使对任意的恒成立，只有，所以，令，则其是开口向上的二次函数，对称轴为，所以其在上单调递增，因此.故选：D.二、多选题15．（2021·烟台市教育局高三三模）已知，，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD【解析】对A ，由，，且可得，则，()()210t b t a t a -≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩21t a ≥+b t a ≤≤-21a a -<+[)0,t ∈+∞21a a b -<+<()()()210t a t b t a +---≥()()2010t a t b t a +≥⎧⎪⎨---≥⎪⎩()()210t a t b t a +≤⎧⎪⎨---≤⎪⎩t b ≥21a t a -≤≤+21a b +<[)0,t ∈+∞=-b a ()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥21t a ≥+t a =-[)0,t ∈+∞21b a =+()()()210t a t b t a +---≥()()2210t a t a +--≥t a ≥-[)0,t ∈+∞()()()210t a t b t a +---≥[)0,t ∈+∞21a b a ≥⎧⎨=+⎩222111511522222216848a b a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211522248y a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭14a =-[)0,+∞2220022y a a =++≥++=0a >0b >1a b -=e e 1a b ->e e 1a b -<914a b-≤222log log 2a b -≥0a >0b >1a b -=0a b >>()()11ba abbb eee e e e -=-=--，，又，，即，故A 正确；对B ，令，则，故B 错误；对C ，，当且仅当时等号成立，故C正确；对D ，，当且仅当，即时等号成立，故D 正确.故选：ACD.16．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知实数a ，b ，c ，则下列命题为真命题的是（）A ．若，则B ．若，则的最小值为8C ．若，，则D ．若，则【答案】ABC 【解析】选项A 中，则A 正确；B ，，当且仅当，即时，等号成立，则B 正确；选项C 中，因为，所以，则，所以，则C 正确；若，满足，而，D 不正确，故选:ABC ．17．（2021·全国高三专题练习）下列四种说法中正确的有（）A ．命题“，”的否定是“，”；B ．若不等式的解集为，则不等式的解集为C ．复数满足，在复平面对应的点为，则D ．已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范0b > 1b e ∴>11e ->()11be e ∴->e e 1a b ->2,1a b ==e e 211e a b =-->()9191910104b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-=--=-+≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9b a a b =()22222222112log log log log lo 2g 22log b a b b b b a b ⎛⎫+⎛⎫==++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭-⎝=1b b=1b =0a b >>11a b>0,0,21a b a b >>+=21a b+0a b >>1ab =12a b a b<+0a b >>sin sin a b>110b a a b ab --=>214(2)48b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭4b a a b =11,24a b ==1,0ab a b =>>10>>>a b 11122,222a ab a a b a +=>=<⋅12a b a b <+,2a b ππ==0a b >>sin sin a b <x R ∀∈231x x >+x R ∃∈231x x <+210ax bx ++>{}13x x -<<23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ z 21z i -=z (),x y ()2221x y +-=1:32p x ≤≤()21:100q x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭p q a围是【答案】BCD【解析】选项A ：命题“，”的否定应该是“，”，故选项A 错误；选项B ：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且.由，解出.所以不等式可化为：，即，解得或.所以不等式的解集为，故选项B 正确；选项C ：设，，所以满足.故选项C 正确；由得到：.当时，，所以有.由题意可得：，解得；当时，，[)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U x ∀∈R 231x x >+0x ∃∈R 02031xx ≤+210ax bx ++>{}13x x -<<210ax bx ++=1-0a <213b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1323a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23650ax bx ++<2450x x -++<2450x x -->1x <-5x >23650ax bx ++<()(),15,-∞-+∞ i z a b =+()2i 2i 1z a b -=+-==()2221x y +-=()21100x a x a a ⎛⎫-++≤> ⎪⎝⎭()10x a x a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1a ≥1a a>1:q x a a≤≤1123a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩3a ≥01a <<1a a<所以有.由题意可得：，解得.因此，实数的取值范围是.故选项D 正确.故选：BCD.18．（2021·全国高三专题练习）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（）.A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】ABC【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为，则解得，.又，故可以为6，7，8.故选：ABC19．（2021·全国高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（）A ．-8B ．-5C ．1D ．41:q a x a≤≤1213a a⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103a <≤a [)10,3,3⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U a Z ∈x 260x x a -+≤a 26y x x a =-+3x =x 260x x a -+≤3x =2226201610⎧-⨯+≤⎨-⨯+>⎩a a 58a <≤a Z ∈a 2340x x +-<()222330x k x k k -+++>k【答案】ACD【解析】，解得，即，解得或，由题意知，所以或，即.故选：ACD三、填空题20．（2020·奉新县第一中学高三月考）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____【答案】或.【解析】由题意得应满足解得：或.故答案为：或.21．（2020·全国高三专题练习）要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意，设，要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足，即，即，解得，即实数的取值范围是.22．（2021·固原市第五中学高三期末）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..2340x x +-<41x -<<()222330x k x k k -+++>()[(3)]0x k x k --+>x k <3x k >+(4,1)-n (,)(3,)k k -∞⋃++∞1k ³34k +≤-(,7][1,)k ∈-∞-⋃+∞2(1)30mx m x -++=1-m 2m <-5m ≥+0,11,20,(1)0m m m mf ≠⎧⎪+⎪>-⎪⎨⎪∆≥⎪->⎪⎩2m <-5m ≥+2m <-5m ≥+x ()22120x a x a +-+-=a 21a -<<()22(1)2f x x a x a =+-+-x 22(1)20x a x a +-+-=()10f <220a a +-<(1)(2)0a a -+<21a -<<a 21a -<<(,1]x ∈-∞-21()2()12x xm m --<m【答案】【解析】不等式转化为,化简为，令,又,则,即恒成立，令，又，当时，取最小值，所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）设关于x 的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________【答案】【解析】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.24．（2021·全国高三专题练习）设函数,若对于恒成立,则的取值范围是________.【答案】()2,3-()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭2214x x m m +-<2211(22x x m m -<+12x t =(],1x ∈-∞-[)2,t ∈+∞22m m t t -<+2()f t t t =+[)2,t ∈+∞2t =()f t min ()(2)6f t f ==26m m -<260m m --<23m -<<()2,3-28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈10-28(1)716y ax a x a =++++a 0y ≥0a <167a ≥-a Z ∈2a =-1a =-22820x x --+≥290x -+≥22x --≤≤-33x -≤≤x 4,3,2,1x =----3,2,1,0,1,2,3x =---10-10-2()1,(0)f x mx mx m =--≠[1,3],()5x f x m ∈<-+m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或【解析】要使上恒成立,则在上恒成立.令,当时,在上是增函数,,则当时,在上是减函数,,故:综上所述,的取值范围是.故答案为:.四、解答题25．（2021·全国高三专题练习）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )．【答案】答案见解析【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1．若a <0，原不等式等价于，解得或x >1．若a >0，原不等式等价于．①当a ＝1时，，无解； [1,3],()5x f x m ∈<-+∴260mx mx m -+-<2136024m x m ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭[1,3]x ∈213()624g x m x m ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭[1,3]x ∈0m >[1,3]∴max ()(3)760g x g m ==-<∴67m <607m <<0m <()g x [1,3]∴max ()(1)60g x g m ==-<∴6m <0m <m 6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或6|007m m m ⎧⎫<<<⎨⎬⎩⎭或()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭1x a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11a =()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭②当a >1时，，解，得；③当0<a <1时，，解，得；综上所述，当a <0时，解集为或；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为．26．（2021·上海市）已知，其中.（1）当时，解关于的不等式；（2）若在时恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）∵，∴，∵，∴当时，的解集为当时，的解集为当时，的解集为（2）根据题意得，在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立即11a <()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<11a >()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭11x a <<1|x x a ⎧<⎨⎩}1x >1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()()21f x ax a x =-+()13g x a x =-+a R ∈0a <x ()0f x <()()f x g x <[]2,3x ∈a 6a ≤()()21f x ax a x =-+()()21010ax a x ax a x -+<⇔--<0a <01a >>-()0f x <()1,0,a a ⎛⎫-∞+∞ +⎪⎝⎭ 1a =-()0f x <()(),00,-∞+∞ 1a <-()0f x <(),0,1a a ⎛⎫-∞+∞+⎪⎝⎭ ()2113ax a x a x -+<-+[]2,3x ∈()2140ax a x a -++<[]2,3x ∈()2114a x x x -+≤[]2,3x ∈21414111x a x x x x≤=-++-[]2,3x ∈min 1411a x x ⎛⎫ ⎪≤ ⎪ ⎪+-⎝⎭∵在，单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围是．27．（2021·全国高三）解关于x 的不等式：．【答案】见解析【解析】将不等式变形为.当a <0或时，有a < a 2，所以不等式的解集为或；当a =0或时，a = a 2=0，所以不等式的解集为且；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为或；28．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式：.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式移项得，即.∵，∴当时，当时，当时，综上所述：当时，解集为当时，解集为当时，解集为29．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式:【答案】当时，解集为；当时，解集为或； 11y x x =+-[]2,3x ∈max 173133y =+-=14673a ≤=a 6a ≤()2230x a ax a -++>()2230x a a x a -++>()()20x a x a -->1a >{|x x a <2}x a >1a ={|,x x R ∈}x a ≠2{|x x a <}x a >x ()2220ax x ax a -≥-<()2220ax a x +--≥()()120x ax +-≥0a <()210x x a ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭20a -<<21x a≤≤-2a =-1x =-2a <-21x a -≤≤20a -<<21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭2a =-{}1x x =-2a <-21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭x 22(2)20().ax a x a a R -++>∈0a ={}0x x <0a <<2{|x x a>}x a <当或；当时，解集为；当时，解集为；当；当；【解析】由则因为，故对分情况讨论当时，则，所以，不等式的解集为当时，由，不等式的解集或当或当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当当30．（2021·全国高三专题练习）解关于的不等式【答案】当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.【解析】不等式可化为.①当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于.a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a <<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅22(2)20().ax a x a a R -++>∈(2)()0ax x a -->a R ∈a 0a =20x ->0x <{}0x x <0a <<(2)()0ax x a -->2{|x x a >}x a <a >{|x x a >2}x a <0a <<2{|}x x a a<<a <2{|}x a x a <<a ={|x x ≠a =∅x 2(21)20()ax a x a R -++<∈0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a<<(1)(2)0ax x --<0a >1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭因为方程的两个根分别是2，，所以当时，，则原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；当时，，则原不等式的解集是.②当时，原不等式为，解得，即原不等式的解集是.③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，这个不等式等价于，由于，故原不等式的解集是或.综上所述，当时，不等式的解集是或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为.1(2)0x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭1a 102a <<12a<1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭12a =∅12a >12a <1|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0a =(2)0x --<2x >{|2}x x >0a <1(2)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭1(2)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭12a<1{|x x a<2}x >0a <1{|x x a <2}x >0a ={|2}x x >102a <<1{|2}x x a <<12a =∅12a >1{|2}x x a <<。

高考数学一轮复习配餐作业36一元二次不等式及其解法含解析理

配餐作业(三十六) 一元二次不等式及其解法(时间：40分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]解析当x ≤0时，x ＋2≥x 2，即x 2－x －2≤0 －1≤x ≤2，∴－1≤x ≤0。

当x >0时，－x ＋2≥x 2，即x 2＋x －2≤0 得－2≤x ≤1，∴0<x ≤1。

综上，不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}。

故选A 。

答案 A2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析 ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3。

又∵2x 2－7x ＋6>0， ∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)。

故选B 。

答案 B3．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B ．(a 2＋2,3a ) C ．(3,4)D ．(3,6)解析由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )。

故选B 。

答案 B4．(2017·辽宁模拟)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0。

高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法

B.{x｜－1＜x＜3}
C.{x｜x＜－3或x＞1}
D.{x｜x＜－1或x＞3}
解析：C 根据题意，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3＞0
的解集为{x｜x＜－3或x＞1}.
目录
1
1
2
3.若不等式ax ＋bx＋2＞0的解集为{x︱－＜x＜ }，则a－b＝
2
A.－10
B.－14
ax2＋bx＋c＞0（a
＞0）的解集
ax2＋bx＋c＜0（a
＞0）的解集
Δ＞0
{x｜x＜x1，或x＞x2}
{x｜x1＜x＜x2}
Δ＝0
⁠
Δ＜0

︱ ≠ −
2
R
⌀
⌀
目录
⁠
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.
（
）
答案：（1）×
（2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.
03
课时·过关检测
/目录
01
目录
⁠
⁠
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
y＝ax2＋bx＋c（a＞
0）的图象
Δ＞0
⁠
Δ＝0
⁠
Δ＜0
⁠
ax2＋bx＋c＝0（a
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数没有实数
＞0）的根
x1，x2（x1＜x2）

根x1＝x2＝－
2
根
目录
判别式Δ＝b2－4ac
ቊ 2
⇔ቊ
⇔
(−3)(
+
2)
≤

2021高三统考北师大版数学一轮第7章第2讲一元二次不等式的解法含解析

2021高三统考北师大版数学一轮课时作业：第7章第2讲一元二次不等式的解法含解析课时作业1．下列不等式中解集为R的是（)A．－x2＋2x＋1≥0 B．x2－25x＋错误!〉0C．x2＋6x＋10〉0 D．2x2－3x＋4<0答案C解析在C项中，对于方程x2＋6x＋10＝0,Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式的解集为R。

2．若0<m<1，则不等式（x－m)错误!<0的解集为（)A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!答案D解析当0〈m〈1时，m〈错误!，故不等式(x－m)错误!<0的解集为错误!.3．（2019·潍坊模拟）函数f（x）＝错误!的定义域是(）A．（－∞，1）∪（3，＋∞）B．(1,3）C．(－∞，2）∪(2,＋∞) D．(1，2)∪（2，3）答案D解析由题意知错误!即错误!故函数f（x）的定义域为(1，2）∪（2，3)．故选D。

4．若集合A＝｛x|x2－x<0｝,B＝｛x|(x－a)(x＋1）〈0｝，则“a〉1”是“A∩B≠∅”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由题意得A＝{x|0<x〈1｝，因为A∩B≠∅，所以只需要满足条件a〉0即可，所以“a>1”是“A∩B≠∅”的充分不必要条件．5．(2019·吉林模拟）不等式x2－2x＋m>0对一切实数x恒成立的充要条件是（)A．m〉2 B．0<m〈1C．m>0 D．m>1答案D解析若不等式x2－2x＋m>0对一切实数x恒成立，则对于方程x2－2x＋m＝0，Δ＝4－4m<0，解得m>1，所以m〉1是不等式x2－2x＋m〉0对一切实数x恒成立的充要条件，结合选项知选D。

6．（2019·郑州模拟）已知关于x的不等式错误!>0的解集是（－∞，－1)∪错误!，则a的值为（）A．－1 B.错误!C．1 D．2答案D解析由题意可得a≠0且不等式等价于a(x＋1)错误!>0，由解集的特点可得a〉0且错误!＝错误!，故a＝2.故选D.7．(2019·江西九江模拟)不等式（a2－4）x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为()A。

2020_2021学年高考数学一轮复习训练一元二次不等式及其解法pdf

2020-2021年新高三数学一轮复习训练：一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解法1 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，则∁R A 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 A解析由题意可得，∁R A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，表示为区间形式即(1,2)．故选A.2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．解原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a. 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 3 已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.解析设x <0，则－x >0，因为f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ).又f (0)＝0.于是不等式f (x )>x 等价于⎩⎨⎧x >0，x 2－2x >x 或⎩⎨⎧x <0，－x 2－2x >x ，解得x >3或－3<x <0.故不等式的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).答案 (－3，0)∪(3，＋∞)4 解下列不等式：(1)0<x 2－x －2≤4；(2)12x 2－ax >a 2(a ∈R ).解 (1)原不等式等价于⎩⎨⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，可得⎩⎨⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}.(2)∵12x 2－ax >a 2，∴12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a >0时，－a 4<a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，－a 4>a 3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <a 3或x >－a 4.一元二次方程与一元二次不等式1.关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(1，3)C.(－1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1，3).答案 C2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2，1).答案 D3.若实数a ，b ，c 满足对任意实数x ，y 有3x ＋4y －5≤ax ＋by ＋c ≤3x ＋4y ＋5，则( )A.a ＋b －c 的最小值为2B.a －b ＋c 的最小值为－4C.a ＋b －c 的最大值为4D.a －b ＋c 的最大值为6解析由题意可得－5≤(a －3)x ＋(b －4)y ＋c ≤5恒成立，所以a ＝3，b ＝4，－5≤c ≤5，则2≤a ＋b －c ≤12，即a ＋b －c 的最小值是2，最大值是12，A 正确，C 错误；－6≤a －b ＋c ≤4，则a －b ＋c 的最小值是－6，最大值是4，B 错误，D 错误，故选A.答案 A一元二次不等式恒成立问题1.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是( ) A.0 B.－2 C.－52 D.－3解析由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时恒成立，令g (x )＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，易知g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，则y ＝－g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数.∴y ＝－g (x )的最大值是－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝－52. 因此a ≥－52，则a 的最小值为－52.答案 C2.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析因为f (x )在R 上为奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎨⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2). 答案 A3.设a <0，若不等式－cos 2x ＋(a －1)cos x ＋a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________.解析令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]，则不等式f (t )＝t 2－(a －1)t －a 2≤0对t ∈[－1，1]恒成立，因此⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≤0⇒⎩⎨⎧a －a 2≤0，2－a －a 2≤0，∵a <0，∴a ≤－2. 答案 (－∞，－2]4.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x .若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围.解因为函数f (x )是偶函数，故函数图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增.所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立，从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立，化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立，设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎨⎧h （a ）＝0≤0，h （a ＋1）＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.考点四一元二次不等式的应用1.甲厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，解得x ≥3或x ≤－15，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3，10].(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.规律方法求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.2.已知产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0，240).若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台解析由题设，产量x 台时，总售价为25x ；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本，即25x ≥3 000＋20x －0.1x 2，即0.1x 2＋5x －3 000≥0，x 2＋50x －30 000≥0，解之得x ≥150或x ≤－200(舍去).故欲使生产者不亏本，最低产量是150台.故选C.答案 C3.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0，解得0≤x ≤2. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为{x |0≤x ≤2}.(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.1．(2020·武汉调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,2)B ．(－1,0)C ．(－3,2)D ．(－1,3)2．(2020·黄冈调研)关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( )A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >14．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]5．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)6．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－1,3]D ．[－2,4]7．(多选)下列四个解不等式，正确的有( )A ．不等式2x 2－x －1>0的解集是{x |x >2或x <1}B ．不等式－6x 2－x ＋2≤0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C ．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是3D ．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q,1)，则p ＋q 的值为－18．(多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，则下列说法正确的是( )A ．若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B ．若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66 C ．若不等式的解集为R ，则k <－66 D ．若不等式的解集为∅，则k ≥669．(2020·北京市顺义区模拟)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是________．10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________．11．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A.12B.13C.14D.2212.已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________． 13．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．14．若集合A ＝{x ∈Z |x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________．15．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．16．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．17．(2020·南京六校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1.若对任意的a ∈(0,3)，存在x 0∈[0,4]，使得t ≤|f (x 0)|成立，求实数t 的取值范围．1.不等式x 2＋2x －3<0的解集为( )A ．{x |x <－3或x >1}B ．{x |x <－1或x >3}C ．{x |－1<x <3}D ．{x |－3<x <1}2.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B ＝( )A.(－2，3)B.(－2，2)C.(－2，2]D.[－2，2] 3.不等式1－x 2＋x≥0的解集为( ) A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)4.设一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，则ab 的值为( )A.1B.－14C.4D.－125.已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值范围是______.6. y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________.7.已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．8.已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．9.解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．拓展练1.答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2.答案 C解析关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，∴a >0，且－b a＝1， ∴关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0可化为⎝⎛⎭⎫x ＋b a (x －2)<0，即(x －1)(x －2)<0， ∴不等式的解集为{x |1<x <2}．故选C.3.答案 A解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0， ∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A. 4.答案 B解析原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.5.答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.6.答案 C解析因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C.7.答案 BCD解析对于A ，∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12， ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <－12.故A 错误；对于B ，∵－6x 2－x ＋2≤0，∴6x 2＋x －2≥0，∴(2x －1)(3x ＋2)≥0，∴x ≥12或x ≤－23.故B 正确；对于C ，由题意可知－7和－1为方程ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝21a，∴a ＝3.故C 正确；对于D ，依题意q,1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，故D 正确．8.答案 ACD解析对于A ，∵不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，∴k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.故A 正确；对于B ，∵不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.故B 错误；对于C ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.故C 正确；对于D ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.故D 正确． 9.答案 (－2，－1)(答案不唯一) 解析不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是(－2，－1)．10.答案 ⎝⎛⎭⎫－12，32 解析由题意，可知不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，又由(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 11.答案 C解析由题意知a <0，a <b ，则①当b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2，所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14； ②当b >0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；③当b ＝0时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以0<b －a ≤14. 综上所述，b －a 的最大值为14. 12.答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎨⎧ －12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5. 故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≥3或x ≤2.13.答案 (1,5]解析设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立，符合题意；当a ＝1时，f (－1)＝0，不符合题意；当a ＝4时，f (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2>0对x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)恒成立，符合题意；当Δ>0 时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．14.答案 ⎝⎛⎦⎤12，23解析 f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0，即x 2－2x ＋1<a (x ＋1)－1，分别令y 1＝x 2－2x ＋1，y 2＝a (x ＋1)－1，易知y 2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A ＝{x ∈Z |f (x )<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，2a －1>0，3a －1≤1，解得12<a ≤23.15.解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．16.解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457 500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．17.解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1的对称轴为x ＝a ，且a ∈(0,3)，∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0，a ]上是减函数，在[a,4]上是增函数；∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0,4]上的最小值为f (a )＝－(a －1)2∈(－4,0]，|f (a )|＝(a －1)2，①当2≤a <3时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1(x ∈[0,4])在x ＝0时取得最大值，且最大值为2a －1，由于此时2≤a <3，则3≤2a －1<5，易知当2≤a <3时，(a －1)2<2a －1，所以|f (x )|max ＝max{|f (a )|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a －1∈[3,5)．∴t ≤3.②当0<a <2时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1(x ∈[0,4])在x ＝4时取得最大值，且最大值为42－8a ＋2a －1＝15－6a ，由于此时0<a <2，所以3<15－6a <15，且15－6a >(a －1)2，|f (x )|max ＝max{|f (a )|，|f (4)|}＝|f (4)|＝15－6a ∈(3,15)，∴t ≤3.综上， t 的取值范围是(－∞，3]．模拟练1.答案 D解析由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x <1.故选D.2.答案 C解析因为A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |－2<x <3}，所以A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}＝(－2，2].3.答案 B解析原不等式化为⎩⎨⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎨⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 4.答案 B解析因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <2}，所以方程ax 2＋bx ＋1＝0的解为－1和2，所以－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝1a ，所以a ＝－12，b ＝12，所以ab ＝－14.5.答案 [－4，0]解析若a ＝0，则f (x )＝－1≤0恒成立，若a ≠0，则由题意，得⎩⎨⎧a <0，Δ＝a 2＋4a ≤0，解得－4≤a <0，综上，得a ∈[－4，0].6.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 7.解设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，－－(m ＋1)2×2>0，f (0)>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋1)2－8m >0，m >－1，m >0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <3－22或m >3＋22，m >0⇒0<m <3－22或m >3＋22，即m 的取值范围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．8.解由(m ＋2)·f (1)<0 ，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0 ⇒－2<m <－12，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 9.解原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. 当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a 4，＋∞.。

高考数学一轮复习配餐作业36一元二次不等式及其解法含解析理

当x >0时，－x ＋2≥x 2，即x 2＋x －2≤0 得－2≤x ≤1，∴0<x ≤1。

综上，不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}。

故选A 。

答案 A2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 解析 ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3。

又∵2x 2－7x ＋6>0， ∴(x －2)(2x －3)>0， ∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)。

故选B 。

答案 B3．设实数a ∈(1,2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( ) A ．(3a ，a 2＋2) B ．(a 2＋2,3a ) C ．(3,4)D ．(3,6)解析由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1,2)，∴3a >a 2＋2， ∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2,3a )。

故选B 。

高考数学一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法练习理

第二节一元二次不等式及其解法基础回顾Ｋ一、一元二次不等式的概念1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．二、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系三、求解一元二次不等式的程序框图四、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号和b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，此时Δ＝b2－4ac>0，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求得解集．五、高次不等式与分式不等式的解法1．高次不等式的解法：先将最高次项的系数化为正数，然后分解因式，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集．数轴标根法的操作过程：(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式；(2)各因式中x的系数全部变为1，约去偶次因式；(3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向右端依次取根判断，并“引线”；(4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内．2．分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，通过“穿针引线”法得出不等式的解集．f （x ）g （x ）>0(<0)可转化为f(x)g(x)>0(<0)；f （x ）g （x ）≥0(≤0)可以转化为⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.基础自测Ｋ1．不等式x 2>x 的解集是(D ) A.()－∞，0 B.()0，1 C.()1，＋∞D.()－∞，0∪()1，＋∞解析：由x 2>x 得x(x －1)>0，所以解集为()－∞，0∪()1，＋∞.故选D.2．(2013·青海质检)不等式x 2－4>3|x|的解集是(A ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：因为|x|2－3|x|－4>0，所以(|x|－4)(|x|＋1)>0，所以|x|>4，得x>4或x<－4，故选A.3．不等式x －1x ＋2>1的解集是{}x|x<－2．解析：∵x －1x ＋2>1⇒x －1x ＋2－1>0⇒－3x ＋2>0，∴x ＋2<0⇒x<－2.4．设集合A ＝{x||x|＜4}，B ＝{x|x 2－4x ＋3＞0}，则集合{x|x∈A 且x ∉A ∩B}＝[1，3]．解析：A ＝{x|－4＜x ＜4}，B ＝{x ＜1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x|－4＜x ＜1或3＜x ＜4}． ∵x ∈A 且x ∉A ∩B ，∴x ∈[1，3]．高考方向1.以选择题或填空题的形式考查一元二次不等式的解法及恒成立问题.2.常常与集合运算、函数定义域求解、用导数求单调区间等问题结合在一起进行考查，难度为中等及以下.品味高考1．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f(10x)>0的解集为(D )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}解析：由已知条件知不等式f(x)＞0的解集为{x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12}，所以－1＜10x ＜12，但10x＞0，所以有0＜10x＜12，解得x ＜lg 12＝－lg 2.2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为(A )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)1，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[)1，＋∞解析：x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0⇒－12<x ≤1.故选A.高考测验1．已知全集U ＝R ，且A ＝{x||x －1|＞2}，B ＝{x|x 2－6x ＋8＜0}，则∁U A ∩B 等于(C ) A ．(2，3) B ．[2，3] C ．(2，3] D ．(－2，3]解析：A ＝{x|x ＞3或x ＜－1}，∁U A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|2＜x ＜4}，所以(∁U A )∩B ＝(2，3]，故选C.2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f(－a)＋f(a )≤2f(1)，则a 的取值范围是(C )A ．[－1，0)B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．[－2，2]解析：依题意f(1)＝3，当a ＝0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)成立；当a≠0时，不等式f(－a)＋f(a)≤2f(1)等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，2（a 2＋2a ）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，2（a 2－2a ）≤6，由此解得0＜a≤1或－1≤a＜0.综上所述，不等式f(－a)＋f (a)≤2f (1)的解集是[－1，1]，故选C.课时作业1．不等式1x ≤1的解集是(C )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 解析：1x ≤1⇔1－1x ＝x －1x ≥0，解得x<0或x≥1.故选C.2．若集合A ＝{x|ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的值的集合是(D ) A ．{a|0＜a ＜4} B ．{a|0≤a ＜4} C ．{a|0＜a≤4} D ．{a|0≤a ≤4}解析：此题等价于ax 2－ax ＋1≥0，x ∈R 恒成立．当a ＝0时，1≥0恒成立；当a≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a≤0，解得0＜a ≤4，综上，a 的取值范围是[0，4]．故选D. 3．已知集合M ＝{x|log 2x ≤1}，N ＝{x|x 2－2x≤0}，则“a∈M”是“a∈N”的(A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：因M ＝{x|0<x≤2}，N ＝{x|0≤x≤2}，由a∈M 可推得a∈N，但由a∈N 推不出a∈M.故选A.4．若0＜a ＜1，则不等式(a －x)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0的解集为(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a C ．(－∞，a )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(a ，＋∞)解析：∵(a－x)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，∴(x －a)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， ∵0＜a ＜1， ∴a ＜1a，∴x ＜a 或x ＞1a.故选C.5．设二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c ，满足f(x ＋3)＝f(3－x)，则使f(x)＞c －8的x 的取值范围为(D )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞) 解析：∵f(x＋3)＝f(3－x)， ∴x ＝3是y ＝f(x)的对称轴， ∴－b2＝3，∴b ＝－6，∴f(x)＝x 2－6x ＋c ，∴f(x)＞c －8，即x 2－6x ＋8＞0，解得x ＜2或x ＞4.故选D.6．(2013·云南昆明一中月考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是(B ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)解析：f(x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 0≥1，2x 0＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1⇔x 0≥1或x 0<－1.故选B.7．若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x∈(1，2)恒成立，则实数k 的取值范围是(－∞，2]．解析：由x 2－kx ＋k －1>0得k(x －1)<x 2－1. ∵1<x<2， ∴x －1>0.∴k<x ＋1.当1<x<2时，k<x ＋1恒成立， ∴k ≤2.8．(2013·南京师大附中月考)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为(－∞，－3]∪{3}．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x 2－9≥0或x 2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x≥3或x ＝±3，即x≤－3或x ＝3. 9．(2013·四川卷)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，则不等式f(x ＋2)<5的解集是{x|－7<x<3}．解析：令x<0，则－x>0， ∵x ≥0时，f(x)＝x 2－4x ，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)＝x 2＋4x ，又f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝x 2＋4x ，故有f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f(x)<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x ＜5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，x 2＋4x ＜5得－5<x<0，即f(x)<5的解为(－5，5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x ＋2)，故f(x ＋2)<5的解集为{x|－7<x<3}．10．已知关于x 的不等式：ax 2＋(a －1)x ＋a －1＜0的解集为R ，求a 的取值范围．解析：当a ＝0时，得x ＞－1，不符合题意；当a≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，（a －1）2－4a （a －1）＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3a 2－2a －1＞0，解得a ＜－13.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13. 11．解关于x 的不等式x 2－x －a(a －1)＞0. 解析：原不等式可以化为：(x ＋a －1)(x －a)＞0. 当a ＞－(a －1)，即a ＞12时，则x ＞a 或x ＜1－a.当a ＝－(a －1)，即a ＝12时，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＞0，得x≠12，x ∈R.当a ＜－(a －1)，即a ＜12时，则x ＜a 或x ＞1－a ，综上：当a ＞12时，不等式的解集为{x|x ＜1－a 或x ＞a}当a ＝12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠12，x ∈R ；当a ＜12时，不等式的解集为{x|x ＜a 或x ＞1－a}．。

高考数学一轮复习专题7.2 一元二次不等式及其解法(讲

专题7.2 一元二次不等式及其解法【考纲解读】内容要求备注A B C集合一元二次不等式√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划√基本不等式√【直击考点】题组一常识题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．【解析】根据题意，得3000＋20x－0.1x2≤25x，整理得x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.因为x∈N，所以生产者不亏本时的最低产量是150台．3. 若关于x的一元二次方程mx2－(1－m)x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是______________．【解析】易知m≠0，Δ＝[－(1－m)]2－4m2<0，整理得－3m2－2m＋1<0，即3m2＋2m－1>0，解得m<－1或m>13，所以m的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞.4．已知函数f(x)＝(ax－1)·(x＋b)，如果不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是 ______________.题组二常错题5．不等式x (2－x )>0的解集为________．【解析】由不等式x (2－x )＞0，得不等式x (x －2)＜0，则0＜x ＜2. 6．不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．【解析】当a <0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x ＜1a或x >2；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.7．不等式x －12x ＋1≤0的解集是________．【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1.题组三常考题8．设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝________________．【解析】集合A ＝(1，3)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.9．不等式2x 2－x ＜4的解集为________．【解析】因为2x 2－x <4＝22，所以x 2－x <2，解得－1<x <2，故不等式的解集为(－1，2)．10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，则m 的取值范围是 ________．【解析】要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0，所以m 的取值范围为－4＜m ≤0.【知识清单】考点1 一元二次不等式的解法对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅考点2 一元二次不等式恒成立问题由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式20ax bx c>＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式20axbx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.当定义域不是全体实数时，可结合二次函数图象考虑或者参变分离或转化为求二次函数最值．考点3 一元二次不等式的应用构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.一元二次不等式及其解法主要有两种常见的考查方式：一是解一元二次不等式，往往是比较简单的，是一些问题的基础；二是与恒成立问题相结合，这一般都要与一元二次方程和一元二次函数相结合，也就是常说的“三个二次”问题.【重点难点突破】考点1 一元二次不等式的解法【1-1】不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，则______,a b == .【答案】a =－4，b =－9【解析】Q 不等式220ax bx +-≥的解集为1{|2}4x x --≤≤，12,4∴--为方程220ax bx +-=的两根，则根据根与系数关系可得1122(),(2)()44b a a-+-=--⋅-=-，4,9a b ∴=-=-. 【1-2】已知不等式022>++bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则不等式022<++a bx x 的解集为 .【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-211x x解为211<<-x ；【1-3】已知函数22,1,()45,1,x x f x x x x ≤⎧=⎨-+>⎩若()1f a ≥，则实数a 的取值范围为 .【答案】[)0,+∞【解析】1()121a a f a ≤⎧≥⇒⎨≥⎩或21451a a a >⎧⎨-+≥⎩，∴10a a ≤⎧⎨≥⎩或1a x R >⎧⎨∈⎩，∴01a ≤≤或1a >，∴0a ≥.【1-4】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a<－4或a>4. 【1-5】解不等式2221x ax a -≤-+【思想方法】1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 【温馨提醒】注意一元二次方程、二次函数、二次不等式的联系，解二次不等式应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；当0∆>时，需要计算相应二次方程的根，其解集是用根表示，对于含参数的二次不等式，需要针对开口方向、判别式的符号、根的大小分类讨论. 考点2 一元二次不等式恒成立问题【2-1】不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 【答案】[－1,4]【解析】x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A. 【2-2】若不等式的解集是R ，则m 的范围是 .【答案】【2-3】若不等式对满足的所有都成立，则x 的取值范围是 .【答案】【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立所以只需即，所以x 的范围是.【2-4】若不等式2230x x a -+-<成立的一个充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围应为 . 【答案】11a ≥【解析】记2()23f x x x a =-+-，因为(0),(4)f f 不同时为0，所以仅需(0)011(4)0f a f ≤⎧⇒≥⎨≤⎩. 【2-5】在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是 . 【答案】1322a -<< 【解析】根据定义可得不等式()()1x a x a -⊗+<为()[1()]1x a x a --+<即2(1)10x x a a -+-+>，此不等式对任意实数x都成立，所以214[(1)1]04430(21)(23)0a a a a a a ∆=--+<⇒--<⇒+-<，从中解得1322a -<<.【思想方法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．【温馨提醒】二次函数的恒成立问题实质是相应的图象落在x 轴上方或者下方，借助数形结合思想或者分类讨论思想求解.考点3 一元二次不等式的应用【3-1】有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．【答案】(8]403，【3-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【思想方法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【温馨提醒】仔细分析已知条件，将实际问题转化为数学模型．考点4 不等式性质的应用【易错试题常警惕】1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．2．当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0 (a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．。

2020年数学新高考一轮复习(理) 一元二次不等式及其解法

第二节一元二次不等式及其解法“三个二次”的关系[小题体验]1．(2019·温州模拟)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．∅解析：选A 由题意知，A ＝{x |1＜x ＜2}，故A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 2．(教材习题改编)不等式－x 2＋2x －3＞0的解集为________．答案：∅3．不等式ax 2＋abx ＋b ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＝________，b ＝________. 解析：由题意知2,3是ax 2＋abx ＋b ＝0的两根，则⎩⎨⎧2＋3＝－aba＝－b ，2×3＝ba ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，a ＝－56. 答案：－56－51．对于不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论． [小题纠偏]1．不等式x －3x －1≤0的解集为( )A ．{x |x ＜1或x ≥3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |1＜x ≤3}D ．{x |1＜x ＜3}解析：选C 由x －3x －1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)≤0，x －1≠0，解得1＜x ≤3.2．若不等式mx 2＋2mx ＋1＞0的解集为R ，则m 的取值范围是________．解析：①当m ＝0时，1＞0显然成立．②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝4m 2－4m ＜0.得0＜m ＜1. 由①②知0≤m ＜1. 答案：[0,1)考点一一元二次不等式的解法(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1，x ≤0，－2x ，x ＞0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．解析：当x ≤0时，原不等式等价于2x 2＋1－x ≤2，∴－12≤x ≤0；当x ＞0时，原不等式等价于－2x －x ≤2，∴x ＞0.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥－12. 答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≥－122．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．解析：将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x －4)(x －5)≥0，x －5≠0，解得x ＞5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x ＞5. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤43或x ＞5 3．解下列不等式：(1)(易错题)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)x ＋5(x －1)2≥2. 解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ＋5≥2(x －1)2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，2x 2－5x －3≤0，解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ＜1或1＜x ≤3. [谨记通法]解一元二次不等式的4个步骤考点二含参数的一元二次不等式的解法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a . 当a ＝1时，不等式的解集为∅.当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [由题悟法]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[提醒] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[即时应用]1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a ，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0，即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．2．若不等式ax 2＋5x －2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜2.(1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集．解：(1)由题意知a ＜0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式为－2x 2－5x ＋3＞0，即2x 2＋5x －3＜0，解得－3＜x ＜12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－3，12. 考点三一元二次不等式恒成立问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数的范围；(3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围．[题点全练]角度一：形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R)确定参数的范围1．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．角度二：形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数的范围2．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围为________．解析：由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.所以b 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)角度三：形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．若不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＞0在|a |≤1时恒成立，则x 的取值范围是________．解析：将原不等式整理成关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9＞0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )＞0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12＞0，x 2－5x ＋6＞0，解得x ＜2或x ＞4. 故x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[通法在握]一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法[演练冲关]1．(2018·台州模拟)不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江名校联考)已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1}，B ＝{x |x 2－x －6＞0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．[1,2]B ．[1,3]C ．[1,2)D ．[1,3)解析：选B 由题意知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故∁R B ＝[－2,3]，A ∩∁R B ＝[1,3]．2．(2018·台州模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.3．(2018·镇海中学月考)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为________．解析：令f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其图象如下图所示，再画出f (－x )的图象即可，所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为{x |－3＜x ＜－2}．答案：{x |－3＜x ＜－2}4．(2018·金华十校联考)若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围为___________．解析：原不等式化为(x 2－1)m －(2x －1)＜0. 令f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)(－2≤m ≤2)．则⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)＜0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)＜0. 解得－1＋72＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋72，1＋325．(2018·湖州五校联考)已知实数x ，y 满足x 2＋2y 2＋12≤x (2y ＋1)，则x ＝________，y＝________，2x ＋log 2y ＝________.解析：法一：由已知得2x 2＋4y 2－4xy －2x ＋1≤0，即(x －1)2＋(x －2y )2≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x －2y ＝0，解得x ＝1，y ＝12，2x ＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.法二：由已知得，关于x 的不等式x 2－(2y ＋1)x ＋2y 2＋12≤0(*)有解，所以Δ＝[－(2y＋1)]2－4⎝⎛⎭⎫2y 2＋12≥0，即Δ＝－(2y －1)2≥0，所以2y －1＝0，即y ＝12，此时不等式(*)可化为x 2－2x ＋1≤0，即(x －1)2≤0，所以x ＝1,2x ＋log 2y ＝2＋log 212＝2－1＝1.答案：1121 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.2．若a ＜0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2＞0的解集是( ) A ．(－∞，－a )∪(5a ，＋∞) B ．(－∞，5a )∪(－a ，＋∞) C ．(5a ，－a ) D ．(a ，－5a )解析：选B 由x 2－4ax －5a 2＞0，得(x －5a )(x ＋a )＞0， ∵a ＜0，∴x ＜5a 或x ＞－a .3．(2018·丽水五校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝0，则关于x 的不等式f (x )≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：选C 因为f (－4)＝f (0)，所以当x ≤0时，f (x )的对称轴为x ＝－2，又f (－2)＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，(x ＋2)2，x ≤0，不等式f (x )≤1的解为[－3，－1]∪(0，＋∞)，故选C. 4．(2018·宁波四校联考)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)，若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：选A 设f (x )＝x 2－x ＋a ＝0的两个根为α，β，由f (m )＜0，则α＜m ＜β，由于二次函数f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12，且f (0)＝a ＞0，则|α－β|＜1，f (m －1)＞0，故选A.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4＞0，即a 2＞16. ∴a ＞4或a ＜－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)7．若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________．解析：由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，即5x 2＋x －4＜0，解得－1＜x ＜45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．(2018·萧山月考)不等式x 2＋ax ＋b ＞0(a ，b ∈R )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12a ，x ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为不等式x 2＋ax ＋b ＞0(a ，b ∈R )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－12a ，x ∈R ，所以x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2＝0，那么不等式x 2＋ax ＋b ＜c ，即⎝⎛⎭⎫x ＋12a 2＜c ，所以c ≥0，所以－c －12a ＜x ＜c －12a，又m ＜x ＜m ＋6，c －12a－⎝⎛⎭⎫－c －12a ＝m ＋6－m ，即2c ＝6，所以c ＝9.答案：99．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}．(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3. 10．关于x 的不等式⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＜0，的整数解为x ＝－2，又∵方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 和－52. ①若－k ＜－52，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；②若－52＜－k ，则应有－2＜－k ≤3.∴－3≤k ＜2. 综上，所求k 的取值范围为[－3,2)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )＜g (4)＝－2，∴a ＜－2.2．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝72，问是否存在a ，b ，c ∈R ，使得不等式x 2＋12≤f (x )≤2x 2＋2x ＋32对一切实数x 都成立，证明你的结论．解：由f (1)＝72，得a ＋b ＋c ＝72. 令x 2＋12＝2x 2＋2x ＋32，解得x ＝－1. 由f (x )≤2x 2＋2x ＋32推得f (－1)≤32，由f (x )≥x 2＋12推得f (－1)≥32， ∴f (－1)＝32.∴a －b ＋c ＝32.故a ＋c ＝52且b ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋x ＋52－a . 依题意ax 2＋x ＋52－a ≥x 2＋12对一切x ∈R 都成立，即(a －1)x 2＋x ＋2－a ≥0对一切x ∈R 都成立．∴a ≠1且Δ＝1－4(a －1)(2－a )≤0.即(2a －3)2≤0，∴(2a －3)2＝0，由a －1＞0得a ＝32.∴f (x )＝ 32x 2＋x ＋1. 证明如下：32x 2＋x ＋1－2x 2－2x －32＝－12x 2－x －12＝－12(x ＋1)2≤0. ∴32x 2＋x ＋1≤2x 2＋2x ＋32对x ∈R 都成立． 32x 2＋x ＋1－x 2－12＝12x 2＋x ＋12＝12(x ＋1)2≥0， ∴x 2＋12≤32x 2＋x ＋1对x ∈R 都成立．∴存在实数a＝32，b＝1，c＝1，使得不等式x2＋12≤f(x)≤2x2＋2x＋32对一切x∈R都成立．。

高考数学一轮复习学案：7.2 一元二次不等式及其解法(含答案)

高考数学一轮复习学案：7.2 一元二次不等式及其解法（含答案）7.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数.一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.1“三个二次”的关系判别式b24ac000的图象一元二次方程ax2bxc0a0的根有两相异实根x1，x2x10a0的解集x|xx2xxb2ax|xR一元二次不等式ax2bxc0的解集x|x10x|xbx|xax|xaxaxb0的解集是，x1x2，，则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.3若方程ax2bxc0a0没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.4不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0的解集为，173173，.题组三易错自纠4不等式x23x40的解集为________用区间表示答案4,1解析由x23x40可知，x4x10的解集为，132，，即原不等式的解集为，132，.命题点2含参不等式典例解关于x的不等式ax222xaxaR解原不等式可化为ax2a2x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为x2ax10，解得x2a或x1.当a1，即a0，x3x20，可得x2或x0，则必有a0，a24a0.解得x3.故当x的取值范围为，13，时，对任意的m1,1，函数fx的值恒大于零思维升华1对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值2解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数跟踪训练函数fxx2ax3.1当xR时，fxa恒成立，求实数a的取值范围；2当x2,2时，fxa恒成立，求实数a的取值范围；3当a4,6时，fx0恒成立，求实数x的取值范围解1当xR时，x2ax3a0恒成立，需a243a0，即a24a120，实数a的取值范围是6,22当x2,2时，设gxx2ax3a0，分如下三种情况讨论如图所示如图，当gx的图象恒在x轴上方且满足条件时，有a243a0，即6a2.如图，gx的图象与x轴有交点，但当x2，时，gx0，即0，xa22，g20，即a243a0，a22，42a3a0，可得a2或a6，a4，a73，解得a.如图，gx的图象与x轴有交点，但当x，2时，gx0.即0，xa22，g20，即a243a0，a22，7a0，可得a2或a6，a4，a7.7a6，综上，实数a的取值范围是7,23令haxax23.当a4,6时，ha0恒成立只需h40，h60，即x24x30，x26x30，解得x36或x36.实数x的取值范围是，3636，题型三一元二次不等式的应用典例甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品生产条件要求1x10，每小时可获得的利润是1005x13x 元1要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；2要使生产900千克该产品获得的利润最大，问甲厂应该选取何种生产速度并求最大利润解1根据题意，得2005x13x3000，整理得5x143x0，即5x214x30，又1x10，可解得3x10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是3,102设利润为y元，则y900x1005x13x910451x3x2910431x1626112，故当x6时，ymax457500元即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元思维升华求解不等式应用题的四个步骤1阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系2引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型3解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义4回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果跟踪训练某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件若售价降低x成1成10，售出商品数量就增加85x成要求售价不能低于成本价1设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式yfx，并写出定义域；2若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围解1由题意，得y1001x101001850x.因为售价不能低于成本价，所以1001x10800.所以yfx4010x254x，定义域为x0,22由题意得4010x254x10260，化简得8x230x130，解得12x134.所以x的取值范围是12，2.转化与化归思想在不等式中的应用典例1已知函数fxx2axba，bR的值域为0，，若关于x的不等式fx0恒成立，则实数a的取值范围是________思想方法指导函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题解析1由题意知fxx2axbxa22ba24.fx 的值域为0，，ba240，即ba24.fxxa22.又fx0恒成立即当x1时，ax22x恒成立令gxx22x，则gxx22xx121在1，上单调递减，gxmaxg13，故a3.实数a的取值范围是a|a3答案192a|a3。

高考数学一轮复习高效作业：《一元二次不等式及其解法》

时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·湛江二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：x ⊙(x －2)＝x(x －2)＋2x ＋x －2＜0⇒x 2＋x －2＜0⇒－2＜x ＜1.故选B. 答案：B2．(2014·黑龙江部分重点中学联考)不等式x ＋5x －12≥2的解集是( )A ．[－3，12]B ．[－12，3]C ．[12，1)∪(1,3]D ．[－12，1)∪(1,3]解析：x ＋5x －12≥2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥2x －12x －1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x≤3，x≠1.∴x ∈[－12，1)∪(1,3]．故选D.答案：D3．(2014·东北四校一模)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x≥0x ＋6， x ＜0，则不等式f(x)＞f(1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意知f(1)＝3，则当x≥0时，f(x)＞f(1)＝3，即x 2－4x ＋6＞3，可解得x ＞3或0≤x＜1；当x ＜0时，f(x)＞f(1)＝3，即x ＋6＞3，解得－3＜x ＜0.故原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A. 答案：A4．(2014·广安期末)若集合A ＝{x|x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x|x≥a}满足A∩B＝{2}，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－2解析：∵A ＝{x|x 2－3x ＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又∵A∩B＝{2}，∴a ＝2.故选A. 答案：A5．(2014·莆田二模)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， x ＞0，x 2＋bx ＋c ，x≤0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x 的不等式f(x)≤1的解集为( )A ．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B ．[－3，－1]C ．[－3，－1]∪(0，＋∞)D ．[－3，＋∞)解析：由f(－4)＝f(0)，得函数f(x)＝x 2＋bx ＋c(x≤0)的对称轴x ＝－2＝－b 2，所以b＝4.f(－2)＝0得c ＝4.不等式f(x)≤1等价于x ＞0时－2≤1，x≤0时x 2＋4x ＋4≤1，解得x ＞0或－3≤x≤－1.故选C. 答案：C6．(2014·衡水一模)已知集合A ＝{x|(12)x 2－x －6＜1}，B ＝{x|log 4(x ＋a)＜1}，若A∩B＝Ø，则实数a 的取值范围是( )A ．1＜a ＜2B ．1≤a≤2C ．ØD ．1＜a≤2解析：A ＝{x|x ＞3或x ＜－2}， B ＝{x|－a ＜x ＜4－a}，由A∩B＝Ø，得⎩⎪⎨⎪⎧－a≥－2，4－a≤3，解之，得1≤a≤2.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(2014·临沂期末)若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集是(1，m)，则m ＝________. 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：28．(2014·株洲联考)已知不等式ax 2＋bx ＋a ＜0(ab ＞0)的解集是空集，则a 2＋b 2－2b 的取值范围是________．解析：∵不等式ax 2＋bx ＋a ＜0(ab ＞0)的解集是空集， ∴a ＞0，b ＞0，且Δ＝b 2－4a 2≤0， ∴b 2≤4a 2.∴a 2＋b 2－2b≥b 24＋b 2－2b ＝54(b －45)2－45≥－45.∴a 2＋b 2－2b 的取值范围是[－45，＋∞)．答案：[－45，＋∞)9．(2014·九江模拟)若a ＋1＞0，则不等式x≥x 2－2x －ax －1的解集为________________．解析：原不等式变形为x －x 2－2x －a x －1≥0⇔x ＋ax －1≥0.又a ＞－1，∴－a ＜1，∴x≤－a 或x＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a]∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－a]∪(1，＋∞)10．(2014·岳阳二模)已知函数y ＝f(x)的图象如图，则不等式f(2x ＋1x －1)＞0的解集为________．解析：由题图知：f(x)在(－∞，1)上恒大于0，即2x ＋1x －1＜1，∴x ＋2x －1＜0，解得－2＜x＜1.答案：(－2,1)三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(2014·伽师二中二模)若不等式(1－a)x 2－4x ＋6＞0的解集是{x|－3＜x ＜1}，求a 的值．解：∵(1－a)x 2－4x ＋6＞0的解集是{x|－3＜x ＜1}， ∴1－a ＜0，即a ＞1.于是原不等式可化为(a －1)x 2＋4x －6＜0，a －1＞0，其解集为{x|－3＜x ＜1}．则方程(a －1)x 2＋4x －6＝0的两根为－3和1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，－3＋1＝－4a －1，－3×1＝－6a －1，解得a ＝3.所以，满足条件的a 的值为3.12．(2014·南昌一模)已知关于x 的方程x 2＋(12－2m)x ＋m 2－1＝0(m 是与x 无关的实数)的两个实根在区间[0,2]内，求m 的取值范围．解：设函数f(x)＝x 2＋(12－2m)x ＋m 2－1，由图可知，方程的两根都在区间[0,2]内的充要条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝12－2m 2－4m 2－1≥00≤－12－2m 2≤2f 0＝m 2－1≥0f 2＝4＋212－2m ＋m 2－1≥0即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤17814≤m≤94，m≤－1或m≥1，m －22≥0.故m 的取值范围为[1，178]．13．(2014·南阳一中模拟)已知函数f(x)＝ax 2＋x －a ，a ∈R. (1)若函数f(x)有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f(x)＞1(a ∈R)．解：(1)a≥0时不合题意， f(x)＝a(x ＋12a )2－1＋4a24a，当a ＜0时，f(x)有最大值，且－1＋4a 24a ＝178，解得a ＝－2或a ＝－18.(2)f(x)＞1，即ax 2＋x －a ＞1， (x －1)(ax ＋a ＋1)＞0， ①当a ＝0时，解集为{x|x ＞1}； ②当a ＞0时，(x －1)(x ＋1＋1a )＞0，解集为{x|x ＞1或x ＜－1－1a }；③当a ＝－12时，(x －1)2＜0，解集为Ø；④当－12＜a ＜0时，(x －1)(x ＋1＋1a )＜0，解集为{x|1＜x ＜－1－1a}；⑤当a ＜－12时，(x －1)(x ＋1＋1a )＜0，解集为{x|－1－1a ＜x ＜1}．。

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