2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(五)(原卷版)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(三)(原卷版)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（三）1．（2020秋•昌平区期末）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：*12(3,)n n n a a a n n N --=+∈，121a a ==．若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则2021(b = ) A ．1B ．2C ．3D ．52．（2020秋•天津期末）已知函数2()(||x e f x e x =为自然对数的底数），关于x 的方程2[()]2()20()f x af x a a R -+-=∈恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围为( ) A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．2(,)21e e +∞-D ．242(,)41e e -+∞-3．（2020秋•天津期末）已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，M 为双曲线左支上一点，且满足112||2||MF F F =，若125cos 16MF F ∠=-，则该双曲线的离心率为( )A B C ．2 D ．924．（2020秋•黄浦区期末）已知R ∈，函数22()|4|f x x x x =-++的定义域为R ，若函数()f x 在区间(0,4)上有两个不同的零点，则的取值范围是( ) A ．72-<<-B ．7<-或2>-C ．70-<<D ．20-<<5．（2020秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy 中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点)O 于A 、B 两点．若A 、B 两点的纵坐标分别为正数a 、b ，且cos()0αβ-，则a b +的最大值为( )A ．1B C ．2D ．不存在6．（2020秋•大通县期末）已知01t <<，3log a t =，4log b t =，5log c t =，则( ) A ．453b c a <<B ．534c a b <<C ．543c b a <<D ．435b a c <<7．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2.C 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林()G Dandelin ⋅利用这个模型证明了平面a 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是( )A ．6B ．8C．D．8．（2020秋•海淀区期末）数列{}n a 的通项公式为23n a n n =-，*n N ∈，前n 项和为.n S 给出下列三个结论： ①存在正整数m ，()n m n ≠，使得m n S S =；②存在正整数m ，()n m n ≠，使得m n a a += ③记12(1n n T a a a n =⋯=，2，3，)⋯则数列{}n T 有最小项． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．③C ．①③D ．①②③9．（2021•天津模拟）已知函数2(43)3,0()(0,1)(1)1,0ax a x a x f x a a log x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++⎪⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2]3B ．2[3，3]4C ．1[3，23]{}34D ．1[3，23){}3410．（2020•辽宁一模）已知函数()2(|cos |cos )sin f x x x x =+给出下列四个命题： ①()f x 的最小正周期为π； ②()f x的图象关于直线4x π=对称；③()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；④()f x 的值域为[2-，2]． 其中所有正确的编号是( ) A ．②④B ．③④C ．①③④D ．②③11．（2020秋•大通县期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 为以F 为圆心、AF 为半径的圆与抛物线C 的一个交点，O 为坐标原点，记ABO θ∠=，则tan (θ= )A ．14B ．13C ．12D 12．（2020秋•临沂期末）已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(1,1+C ．D ．(1-+13．（2020•东安区校级模拟）已知函数244()()x f x lnx x-=++，[4∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为()A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞14．（2020秋•兴宁市校级期末）已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当(0,2)x ∈时，1()()12x f x =-，则函数()f x 在区间[2018，2021]上的( )A ．最小值为34-B ．最小值为12-C ．最大值为34D ．最大值为1215．（2020秋•王益区期末）已知函数()([1f x lnx ax x =-∈，))+∞，若不等式()0f x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，)+∞B ．1(,)e-∞C ．1[e，)+∞D ．[0，)+∞16．（2020秋•公主岭市期末）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当20x -<时，()1(0)x f x a a =->，且f （2）8=-，则f （1）f +（2）f +（3）(2019)(f +⋯+= ) A ．10-B ．12-C ．4D ．1217．（2020•渭南二模）1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A B CD18．（2020秋•新华区校级期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC ∆的面积的最大值为( )A B ．C ．D ．19．（2020秋•和平区期末）已知函数2(3),0()2,0x x f x x x +<⎧=⎨-⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A ．(,4)-∞-B ．(4,)+∞C ．(-∞，0)(4⋃，)+∞D ．(-∞，4)(4⋃，)+∞20．（2020•天津模拟）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，其中0ω>，||ϕπ<．若5()28f π=，11()08f π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则( ) A ．23ω=，12πϕ= B ．23ω=，1112πϕ=-C ．13ω=，1124πϕ=-D ．13ω=，724πϕ=21．（2020秋•河北区期末）已知函数2226,&(),&x mx x mf x x x m⎧-+<=⎨⎩，其中0m <，若存在实数，使得关于x的方程()0f x -=恰有三个不同的实数根，则m 的取值范围是( )A ．(,3)-∞-B ．(,-∞C ．[3-，0)D ．(22．（2020秋•徐汇区校级期末）已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量1x ，2x ，3x ，4x ，5x 和1y ，2y ，3y ，4y ，5y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =++++，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，max S 表示S 所有可能取值中的最大值．下列说法中正确的个数是( ) ①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，且||||1a b ==，则5max S =；③若||4||b a >，则0min S >；④若||2||b a =，28||min S a =，则a 与b 的夹角为3π．A ．1B ．2C ．3D ．423．（2020秋•郴州期末）设动直线x m =与函数2()f x x =，()2g x lnx =的图象分别交于M ，N ，则||MN 的最小值为( ) A ．12B ．1C ．12ln +D ．12ln -24．（2020秋•黄浦区期末）已知11(P a ，1)b 与22(P a ，2)b 是直线(y x =为常数）上异于坐标原点的两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是( )A ．无论，1P ，2P 如何，总是无解B ．无论，1P ，2P 如何，总有唯一解C ．存在，1P ，2P ，使之恰有两解D ．存在，1P ，2P ，使之有无穷多解25．（2020秋•兴宁市校级期末）如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的为( )A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMN C ．AC BD =D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45︒26．（2020秋•兴宁市校级期末）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，设圆22:1O x y +=，则下列说法中正确的是( )A ．函数3y x =是圆O 的一个太极函数B ．圆O 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数C ．函数sin y x =是圆O 的一个太极函数D ．函数()f x 的图象关于原点对称是()f x 为圆O 的太极函数的充要条件27．（2020秋•新华区校级期末）函数()(1)x f x x e lnx =---在(0,)+∞上有唯一零点0x ，则下列四个结论正确的是( ) A ．1=B ．1>C ．001x x e =D ．0112x e <<28．（2020秋•新华区校级期末）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是( )A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF = C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为329．（2020秋•郴州期末）已知函数321()23f x x x =+-在区间(2,3)a a -+上存在最小值，则整数a 可以取() A ．2-B ．1-C ．0D ．130．（2020秋•昌平区期末）已知函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<，那么函数()f x 的最小正周期是 ：若函数()f x 在5[,]26ππ上具有单调性，且5()()26f f ππ=-，则ϕ= ．31．（2020秋•天津期末）如图，在圆锥SO 中，SO ，ABC ∆是圆锥底面圆O 的内接正三角形，P 为SO 上一点，且90APC ∠=︒，则圆锥SO 的体积为 ，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 ．32．（2020秋•黄浦区期末）已知平面向量a 、b 满足||5a =，||1b =，3a b ⋅=，向量(1)()c a b R λλλ=⋅+-⋅∈，且对任意R λ∈，总有||25c a +成立，则实数的取值范围是 ．33．（2020秋•黄浦区期末）已知a 、b R ∈，函数22()||()f x x ax b x ax b x R =+++--∈，若函数()f x 的最小值为22b ，则实数b 的取值范围是 ．34．（2020秋•静安区期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 以每秒2π的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒3π的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O ，则上述过程中动点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数表达式为 ．35．（2020•新建区校级模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ．若1||||PH PF +的最小值为4a ，则双曲线C 的离心率为 ．36．（2020秋•海淀区期末）已知圆22:(5)(2)2P x y -+-=，直线:l y ax =，点(5,2M +，点(,)A s t ．给出下列4个结论：①当0a =，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 圆P 的一条对称轴，则25a =； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=︒，则a 的最大值为2021；④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=︒，则t ．其中所有正确结论的序号是 ．37．（2020秋•天津期末）已知扇形AOB 半径为1，60AOB ∠=︒，弧AB 上的点P 满足(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的最大值是 ；PA PB 最小值是 ．38．（2020秋•香坊区校级期末）若存在实常数和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x x b +和()G x x b +恒成立，则称直线y x b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2h x elnx =，则有下列命题：①()y g x =-与()h x 有“隔离直线”；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-； ③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线“，且的取值范围是(4-，0]； ④()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-． 其中真命题的序号为 .（请填上所有正确命题的序号）39．（2021•雅安模拟）已知函数2()cos()f n n n π=，且()(1)n a f n f n =++，则1220a a a ++⋯+= ． 40．（2020秋•兴宁市校级期末）函数2()f x x axlnx =-在2(,2)e上不单调，则实数a 的取值范围是 ．41．（2020秋•朝阳区校级期末）已知ABC ∆三个顶点都在球O的表面上，且1,AC BC AB ===S 是球面上异于A 、B 、C 的一点，且SA ⊥平面ABC ，若球O 的表面积为16π，则球心O 到平面ABC 的距离为 ． 42．（2021•株洲二模）数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，11(1)2n n nS a +=-，2log n n b a =，则数列11{}n n b b +的前n 项和n T = ．43．（2020秋•新华区校级期末）棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为 ，内切球球面上有一动M ，则13MB MC +的最小值为 ．44．（2020秋•和平区期末）在菱形ABCD 中，23BAD π∠=，2AB =，点M ，N 分别为BC ，CD 边上的点，且满足||||||||BM CN BC CD=，则AM AN ⋅的最小值为 ．45．（2020秋•河北区期末）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值为 ．46．（2020秋•徐汇区校级期末）过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆221:(4)4C x y ++=和圆222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为 ．47．（2020秋•徐汇区校级期末）已知O 为ABC ∆的外心，||16AB =，||AC =，AO xAB y AC =+，且322525x y +=，则||AO = ．48．（2020秋•徐汇区校级期末）已知曲线:(,)0F x y Γ=对坐标平面上任意一点(,)P x y ，定义[](,)F P F x y =．若两点P ，Q 满足[][]0F P F Q ⋅<，称点P ，Q 在曲线Γ两侧．记到点(0,1)与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线22:(,)0F x y x y y a Γ=+--=，若曲线C 上总存在两点M ，N 在曲线Γ两侧，则实数a 的取值范围是 ．49．（2020秋•黄浦区期末）若向量a ，b 的夹角为3π，||2a =，||3b =，m 为非零实数，则1||ma b m+的最小值为 ．50．（2020秋•黄浦区期末）过直线:2()l y x b b R =+∈上一点P 作圆221x y +=的切线，A ，B 为两切点，若直线l 上不存在满足0PA PB ⋅<的点P ，则的b 取值范围为 ．。
2021届全国新高考地区压轴卷 数学 PDF版
2021新高考地区高考压轴卷数学第I 卷（选择题）一.选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的1. 设集合{ln(1)}A x y x ==-∣，集合{}2B y y x ==∣，则A ∩B =（ ）A. []0,1B. [)0,1C. (),1-∞D. ∅2.若复数z 满足：(1)2z i ⋅+=，则||z =（ ）A. 1B.C.D. 23.已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c，c =1b =，23C π=，则a =（ ）A.B. 2C.D. 34.已知1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，若a ＝1e ＋2e ，b ＝－41e ＋22e ，则a 与b 的夹角为( ). A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°5.函数()222()2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ） A. 8岁B. 11岁C. 20岁D. 35岁7.已知二面角l αβ--为60°，点A α∈，点B β∈，异面直线AB 与l 所成的角为60°，4AB =.若A 到βB 到α的距离为（ ）A.B.C.D. 38.已知双曲线2222:1x y C a b -=的右焦点为F ，过点F 的直线交双曲线的右支于A 、B 两点，且3AF FB =，点B 关于坐标原点的对称点为B '，且2B F B F B A '''=⋅，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.二．选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符号题目要求.全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ）A. 在△ABC 中，::sin :sin :sin a b c A B C =B. 在△ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则A B =C. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A B >；若A B >，则sin sin A B >D. 在△ABC 中，sin sin sin +=+a b cA B C10.下列说法正确的是（ ）A. 对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小B. 在回归分析中，相关指数2R 越大，说明回归模型拟合的效果越好C. 随机变量()~,B n p ξ，若()30E x =，()20D x =，则45n =D. 以kx y ce =拟合一组数据时，经ln z y =代换后的线性回归方程为0.34z x =+，则4c e =，0.3k =11.已知函数()121x f x a =+-，则（ ）A. 对于任意实数a ，f (x )在(),0-∞上均单调递减B. 存在实数a ，使函数f (x )为奇函数C. 对任意实数a ，函数f (x )在()0,+∞上函数值均大于0D. 存在实数a ，使得关于x 的不等式()1f x >的解集为(0,2) 12.如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，14AA AB ==，2BC =，M ，N 分别为棱C 1D 1，CC 1的中点，则下列说法正确的是（ ）A. A 、M 、N 、B 四点共面B. 平面ADM ⊥平面11CDD CC. 直线BN 与1B M 所成角的为60°D. //BN 平面ADM第II 卷（非选择题）三.填空题:本大题共4道小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望()E ξ=______.14.已知函数()2ln 23f x x x x=+-，则函数()f x 在1x =处的切线方程为______.15.已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭__________． 16.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A 、B 两点，点M 在抛物线C 上，且点M 在直线l 的下方，若MAB △面积的最大值是C 的方程是_______；此时，点M 的坐标为_______.三、解答题（本题共6道小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在 ①()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-； ②sinsin 2B Cb a B +=； ③()cos 23cos 1A B C -+=；这三个条件中任选一个完成下列内容： （1）求A 的大小；（2）若△ABC 的面积S =5b =，求sin sin B C 值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18.在各项均不相等的等差数列{a n }中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{b n }的前n 项和122n n S +=-．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）设22log n an n c b =+，求数列{c n }的前n 项和n T ．19.某省2020年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分．其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中选择3门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A ，B +，B ，C +，C ，D +，D ，E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30八个分数区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级．而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分为x ，696570655861xx --=--，求得66.73x =．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67．为给高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级2000人，根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该校高一学生的物理原始成绩X 服从正态分布()2,(0)N μσσ>，用这2000名学生的平均物理成绩x 作为μ的估计值，用这2000名学生的物理成绩的方差2s 作为2σ的估计值．（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为86分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取100人，记Y 表示这100人中等级成绩在区间[81,100]内的人数，求Y 最有可能的取值（概率最大）；（2）①求x ，2s （同一组中的数据用该组区间的中点作代表）；②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于84分的人数为Z ，求()E Z ．附：若()2~,(0)X N μσσ>，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+=．20.如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，1SD =.（1）求平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的大小；（2）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小.21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为，且经过点A ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，且满足OM ON OA λ+=，求MON △面积最大时直线l 的方程．22.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =+-+．（1）当1a =时，求函数f (x )的单调区间； （2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2021新高考地区高考压轴卷 数学试卷答案1.【 答案】B2. 【 答案】B3. 【 答案】B4. 【 答案】C5. 【 答案】B6. 【 答案】B7. 【 答案】A8. 【 答案】C9. 【 答案】ACD 10. 【 答案】BD 11. 【 答案】ABD 12. 【 答案】BC 13. 【 答案】214. 【 答案】230x y --=15. 【 答案】5665-∵3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴3,22παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭, ∴()4cos 5αβ+=． 又3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，12sin ,413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴5cos()=413πβ-=-． ∴cos()cos[()()]44ππααββ+=+--cos()cos()sin ()sin()44ππαββαββ=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-． 答案：5665-16. 【 答案】24x y = ；(2,1) 17. 【 答案】（1）无论选哪种，3A π=（2）5sin sin 7B C =【 解析】选择①：（1）由正弦定理得()()()a b a b c b c +-=-，222a b c bc -=-，由余弦定理得1cos 2A =，∵0A π<<，∴3A π=. （2）由面积公式1sin 2S bc A ==4c =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-得221a =， 由正弦定理得2sin a R A=，()2228R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =，25sin sin 47bc B C R ==. 18. 【 答案】（1）21n a n =-，2nn b =；（2）2122232n n n nT +-+=+【 解析】 （1）设数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，514a a d =+，∵1a ，2a ，5a 成等比数列，2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =，解得0d =（舍去）或122d a ==，()1121n a a n d n ∴=+-=-.当1n =时，12b =，当2n ≥时，()112222n n n n n b S S +-=-=---1222222n n n n n +=-=⨯-=．验：当1n =时，12b =满足上式，∴数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）由（1）得，2122log 2n a n n n c b n -==++，()()()3521(21)22232n n T n -=++++++++()35212222(123)n n -=+++++++++()214(1)142n n n -+=+-2122232n n n +-+=+. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19. 【 答案】（1）Y 最有可能的取值是10．（2）①60，144②45.5【 解析】（1）设张明转换后的物理等级分为x ，由938690868281xx --=--，求得84.27x ≈．所以，张明转换后的物理成绩为84分． 由题意，~(100,0.1)Y B ．由()(1),()(1)P Y k P Y k P Y k P Y k ==-⎧⎨==+⎩……得10011100(1)10010010011100(1)1001000.10.90.10.9,0.10.90.10.9.k k k k k k k k k k k k C C C C ------++--⎧⎨⎩…… 解得9.110.1k ≤≤．又*k ∈N ，所以10k =． 所以，Y 最有可能的取值是10．（2）①解：300.02400.08500.22600.36700.22800.08900.0260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．22222(3060)0.02(4060)0.08(5060)0.22(6060)0.36s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯222(7060)0.22(8060)0.08(9060)0.02144+-⨯+-⨯+-⨯=．②由①中的数据，60μ=，12σ=，所以()2~60,12X N ．所以26021284μσ+=+⨯=．所以1(22)10.9545(84)0.0227522P X P X μσμσ--<+->===…由题意，~(2000,0.02275)Z B ． 所以()20000.0227545.5E Z =⨯=．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算均值的方差，考查二项分布及其期望，考查正态分布，对学生数据处理能力有一定的要求，本题属于中档题． 20. 【 答案】 （1）45°；（2）90°.【 解析】（1）由题意可知底面ABCD 是边长为1的正方形， 则BC CD ⊥，又因为SD 垂直于底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 则SD BC ⊥，由于SC CD C ⋂=， 则BC ⊥平面SDC ， 而SC ⊂平面SDC ， 所以BC SC ⊥，则SCD ∠即为平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的平面角， 由1SD DC ==可知，在Rt SCD ∆中，45SCD ∠=；（2）由1SD AD ==，且SD AD ⊥，M 为棱SA 的中点， 所以由等腰三角形性质可知DM SA ⊥, 又因为BA AD ⊥，且SD BA ⊥， 所以BA ⊥平面SDA ， 而DM ⊂平面SDA ，所以BA DM ⊥，而DM SA ⊥且BA SA A ⋂=， 所以DM ⊥平面SAB ， 而SB ⊂平面SAB ， 所以DM SB ⊥，则异面直线DM 与SB 垂直，所以异面直线DM 与SB 的夹角为90.【点睛】本题考查了平面与平面形成的二面角求法，异面直线的夹角求法，由线面垂直判断线线垂直的方法，直线与平面垂直的判定，属于基础题.21. 【 答案】（1）2213x y +=；（2）13y x =-±【 解析】(1)由题意得2222233144c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得2231a b ⎧=⎨=⎩,所以椭圆C 的方程为2213x y +=;(2)由题意可知,直线MN 的斜率显然存在,设直线MN 的方程为()0y kx m m =+≠,()11,M x y ,()22,N x y ,由2213x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222316330k x kmx m +++-=, ()()()222222364313312310k m k m k m ∆=-+-=+->①所以12221226313331km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩,所以()121222231m y y k x x m k +=++=+, 因为OM ON OA λ+=,所以12212263122312km x x k m y y k λ⎧+=-=⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩, 所以13k =-,代入①得33m -<<且0m ≠, 所以121122MONS m x x =-=△12==22343422m m +-=≤⋅=, 当且仅当22343m m=-,即3m =±时上式取等号,此时符合题意, 所以直线MN 的方程为13y x =-±【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,结合了基本不等式求最值,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.22. 【 答案】（1）()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在,724a ≥【 解析】（1）当1a =时，21()2ln 3(0)2f x x x x x =+->． 所以2()3f x x x '=+-=232(2)(1)x x x x x x-+--=11页 令()0f x '≥，则01x <≤或2x ≥，令()0f x '<，则12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(]0,1和[)2,+∞，单调递减区间为()1,2（2）存在724a ≥，满足题设， 因为函数34()()9g x f x ax x =++=23142ln 229x a x x x +-+ 所以224()23a g x x x x '=+-+ 要使函数()g x 在0,∞（+）上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-≥+∈+∞ 即3243660x x x a +-+≥，(0,)x ∈+∞⇔324366x x x a +-≥-，(0,)x ∈+∞ 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞， 则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17224h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴324366x x x +--在(0,)+∞上的最大值为724． 所以存在724a ≥，满足题设． 【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0f x >确定增区间，用'()0f x <确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法用得较多．。
压轴题05 立体几何压轴题(原卷版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用-文)
压轴题05立体几何压轴题题型/考向一：点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积题型/考向二：外接球、内切球等相关问题题型/考向三：平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题一、空间几何体的体积、表面积热点一空间几何体的侧面积、表面积柱体、锥体、台体和球的表面积公式：(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l).(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l).(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l ＋rl).(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.热点二空间几何体的体积柱体、锥体、台体和球的体积公式：(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；Sh(S为底面面积，h为高)；(2)V锥体＝13(S上＋S下＋S上S下)h(S上、S下分别为上、下底面面积，h为高)；(3)V台体＝13(4)V球＝4πR3.3二、外接球、内切球问题类型一外接球问题考向1墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝a2＋b2＋c2.常见的有以下三种类型：考向2对棱相等模型对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2(长方体的长、宽高分别为a ，b ，c )，即R 2＝18(x 2＋y 2＋z 2)，如图.考向3汉堡模型汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，由对称性可知，球心O 的位置是△ABC 的外心O 1与△A 1B 1C 1的外心O 2的连线的中点，算出小圆O 1的半径AO 1＝r ，OO 1＝h 2，所以R 2＝r 2＋h 24.考向4垂面模型垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球；如图所示，由对称性可知球心O 的位置是△CBD 的外心O 1与△AB 2D 2的外心O 2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝h2，则R＝r2＋h24.类型二内切球问题内切球问题的解法(以三棱锥为例)第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式V P－ABC＝V O－ABC＋V O－P AB＋V O－P AC＋V O－PBC⇒V P－ABC＝13S△ABC·r＋13S△P AB·r＋13S△P AC·r＋13S PBC·r＝13(S△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC)r；第三步：解出r＝3V P－ABCS△ABC＋S△P AB＋S△P AC＋S△PBC.类型三球的截面问题解决球的截面问题抓住以下几个方面：(1)球心到截面圆的距离；(2)截面圆的半径；(3)直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形).三、平行关系和垂直关系的证明、二面角等热点一空间线、面位置关系的判定判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断.(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.热点二几何法证明平行、垂直1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面○热○点○题○型一点、线、面间的位置关系和空间几何体的体积、表面积一、单选题1．设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若//l α，//l β，则//αβC ．若l α⊥，m α⊥，则//l mD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ2．将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（）A ．273πB ．27πC ．3πD ．9π3．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线m 、n 分别在平面ABCD 和11ABB A ，且m n ⊥，则下列命题中正确的是（）A ．若m 垂直于AB ，则n 垂直于AB B ．若m 垂直于AB ，则n 不垂直于ABC ．若m 不垂直于AB ，则n 垂直于ABD ．若m 不垂直于AB ，则n 不垂直于AB4．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为40cm ，下底面边长为10cm ，侧棱长为30cm ，则该款粉碎机进物仓的容积为（）A ．32cmB ．386003cmC ．3105002cmD ．33cm5．已知在春分或秋分时节，太阳直射赤道附近.若赤道附近某地在此季节的日出时间为早上6点，日落时间为晚上18点，该地有一个底面半径为4m 的圆锥形的建筑物，且该建筑物在一天中恰好有四个小时在地面上没有影子，则该建筑物的体积为（）A ．643πB ．π3C ．16π3D ．π36．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（）A ．4B 3C D 7．在三棱锥A BCD -中，4AB AC BD CD BC =====，平面α经过AC 的中点E ，并且与BC 垂直，则α截此三棱锥所得的截面面积的最大值为（）A B ．34C 2D ．328．已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1：3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为π2，则圆台的高为（）A ．BC ．4D ．二、多选题9．已知平面α，β，直线l ，m ，则下列命题正确的是（）A ．若αβ⊥，,,m l m l αβα⋂=⊥⊂，则l β⊥B ．若l αβα⊂∥，，m β⊂，则//l mC ．若m α⊂，则“l α⊥”是“l m ⊥”的充分不必要条件D ．若m α⊂，l α⊄，则“l α∥”是“l m ”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（）A ．若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B ．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C ．设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D ．若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补三、解答题11．已知直棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且2AB AD BD ===，1AA =，点E 为11B D 的中点．(1)证明：//AE 平面1BDC ；(2)求三棱锥1E BDC -的体积．12．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为边长为2的正三角形，D 为BC 的中点，12AA =，且160CCB ∠= ，平面11BB C C ⊥平面ABC .(1)证明：1C D AB ⊥；(2)求三棱锥111B AA C -的体积.○热○点○题○型二外接球、内切球等相关问题一、单选题1．已知ABC 是边长为3的等边三角形，其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为323π，则球心O 到平面ABC 的距离为（）AB ．32C ．1D ．22．已知三棱锥-P ABC 的底面ABC 是边长为1的正三角形，侧棱,,PA PB PC 两两垂直，若此三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（）A ．3πB ．πC ．3π4D ．3π23．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在一个球面上，且这个球的半径为5，则这个圆锥的体积的最大值时，圆锥的底面半径为（）A ．103B ．2C ．3D 4．已知圆锥的侧面积为2π，母线与底面所成角的余弦值为12，则该圆锥的内切球的体积为（）A ．4π3B C D 5．如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C ，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）．已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A ．56πB ．70π3C ．48πD ．64π6．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O 的球面上，3AB =，BC =，且四棱锥O ABCD-的体积为，则球O 的表面积为（）A ．76πB ．112πCD 7．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A ．4B ．2C ．2D ．68．已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在球O 的球面上，2PA BC ==，PB AC ==PC AB =Q 为球O 的球面上一动点，则点Q 到平面PAB 的最大距离为（）A 2211B C 2211D 二、填空题9．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为______．10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB BC ==．设D 为1AC 的中点，三棱锥D ABC -的体积为94，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______．11．如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为___________.12．如图所示的由4个直角三角形组成的各边长均相等的六边形是某棱锥的侧面展开图，若该六边形的面积为12，则该棱锥的内切球半径为___．○热○点○题○型三平面关系、垂直关系、体积、表面积等综合问题1．已知直棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且2AB AD BD ===，1AA =，点E 为11B D 的中点．(1)证明：//AE 平面1BDC ；(2)求三棱锥1E BDC -的体积．2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是等边三角形，底面ABCD 是棱长为2的菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，O 是AD 的中点，π3DAB ∠=.(1)证明：OB ⊥平面PAD ；(2)求点O 到平面PAB 的距离.3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为边长为2的正三角形，D 为BC 的中点，12AA =，且160CCB ∠= ，平面11BB C C ⊥平面ABC .(1)证明：1C D AB ⊥；(2)求三棱锥111B AAC -的体积.4．如图1，在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，AB CD ，122AD CD AB ===，E 为AC 的中点，将ACD 沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直，如图2.在图2所示的几何体D ABC -中：(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)点F 在棱CD 上，且满足AD EF ，求几何体F BCE -的体积.5．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为菱形，60BCD ∠=︒，4AB =，EF CD ∥，2EF =，4CF =，点F 在平面ABCD 内的射影恰为BC 的中点G ．(1)求证：平面ACE 平面BED；(2)求该几何体的体积．。
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(七)(原卷版)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）一．选择题（共20小题）1．（2020秋•梅河口市校级月考）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈都满足(1)(1)f x f x +=-，当1x 时，,01(),0x lnx x f x e x <⎧=⎨⎩．（其中e 为自然对数的底数），若函数()||2g x m x =-与()y f x =的图象恰有两个交点，则实数m 的取值范围是( ) A ．0m 或m e =B ．302m< C ．32m e << D ．m e >2．（2020秋•湖州期末）已知函数22()(1)(1)(02a f x a lnx x a a xb x =-++--+>，a R ∈，)b R ∈．若函数()f x 有三个零点，则( ) A ．1a >，0b <B ．01a <<，0b >C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b <3．（2020秋•湖州期末）已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60︒，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=︒，则四面体ABCD 体积的最大值是( )A B C ．83D ．434．（2020秋•海珠区期末）几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成30︒角，则该椭圆的离心率为( )A B C D ．125．（2020秋•安徽期末）已知P 为直线:60l x y -+=上一个定点，M ，N 为圆22:4210C x y y ++-=上两个不同的动点．若MPN ∠的最大值为60︒，则点P 的横坐标为( )A ．4-B ．3-C ．4-D ．3-6．（2020•广西一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]64ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．1]B ．C ．D ． 7．（2020•闵行区二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为地面ABCD 内一动点，设1PD 、PE 与地面ABCD 所成的角分别为1θ、21(θθ、2θ均不为0)，若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线8．（2020秋•泉州期末）若(,,0)OA m n =，4(0,,)OB p n=，(0F ，1，0)，||1AF m =+，||1BF p =+，则m p+的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．69．（2020•成都四模）如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是( )A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6，8]D ．[8，12]10．（2020秋•眉山期末）设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12||||PF PF <，线段1||PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值( ) A ．2B ．4C ．6D ．811．（2020秋•眉山期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在棱1C C ，11D C 上，且12C E EC =，112D F FC =，下列几个命题：①异面直线1A D 与BF 垂直；②过点B ，E ，F 的平面截正方体，截面为等腰梯形； ③三棱锥1B BEF -的体积为32；④过点1B 作平面α，使得AE α⊥，则平面α． 其中真命题的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．112．（2020秋•阜阳期末）直四棱柱1111ABCD A B C D -的每个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 为平行四边形．若2AB AD =，侧面11ADD A 的面积为O 表面积的最小值为( ) A ．32πB ．36πC ．40πD ．50π13．（2020秋•阜阳期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 上一点，12120F PF ∠=︒，△12F PF 的内切圆与外接圆的半径分别为1r ，2r ，若216r r =，则C 的离心率为( )A B C ．1920D ．91014．（2020秋•玉林期末）在三棱锥P ABC -中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =．当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A B C D 15．（2020秋•玉林期末）已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线(0)y x =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，则22||2||AF BF +的最小值是( ) A ．36B ．48C ．72D ．9616．（2020秋•信阳期末）已知圆221:(3)(1C x y -+-=和焦点为F 的抛物线22:8C y x =，点N 是圆1C 上一点，点M 是抛物线2C 上一点，则||||MF MN +的最小值为( )A ．1B ．C ．4D ．517．（2020秋•蚌埠期末）直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则( )A ．PM 与y 轴垂直B ．PM 的中点在抛物线上C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直18．（2020秋•菏泽期末）某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a 1，a 2，a 3，…．则2035年年底存栏头数为（ ）（参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4） A ．1005B ．1080C ．1090D ．110519．（2020秋•顺德区期中）已知函数f （x ）＝ln （2|x |﹣1）+x 2﹣1，则不等式xf （x ﹣2）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，0）∪（2，3）B ．（﹣3，﹣1）∪（0，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（1，2）∪（2，3）D ．（﹣3，0）∪（0，2）∪（2，+∞）20．（2020秋•佛山期末）已知函数f （x ）x 4ax 2+ax ，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在实数a ，使f （x ）有最小值且最小值大于0 B ．对任意实数a ，f （x ）有最小值且最小值大于0C ．存在正实数a 和实数x 0，使f （x ）在（﹣∞，x 0）上递减，在（x 0，+∞）上递增D ．对任意负实数a ，存在实数x 0，使f （x ）在（﹣∞，x 0）上递减，在（x 0，+∞）上递增 二．多选题（共12小题）21．（2020秋•荆州期末）已知点1(2A -，0)，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，直线AP交y 轴于点M ，且2AP AM =，则下列表述正确的是( ) A ．点P 的纵坐标为1B ．APF ∆为锐角三角形C ．点A 与点F 关于坐标原点对称D ．点P 的横坐标为1222．（2020秋•海珠区期末）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于2，离心率1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为2213y x +=B ．椭圆C 的方程为2213x y +=C ．||PQ =D ．△2PF Q 的周长为23．（2020秋•泉州期末）已知图1中，A ，B ，C ，D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB ，BC ，CD ，DA 把ABF ∆，BCG ∆，CDH ∆，DAE ∆向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则( )A ．AEF ∆是正三角形B ．平面AEF ⊥平面CGHC ．直线CG 与平面AEF 所成角的正切值为2D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为8324．（2020秋•衡阳县期末）在平行四边形ABCD 中，||||,3,2AB AD AB AD DE EC CF FB +=-==，且18AE AF ⋅=，则平行四边形ABCD 的面积可能为( )A ．17B ．18C ．19D ．2025．（2020秋•衡阳县期末）如果函数32()f x ax x =-，那么下列命题为真命题的是( ) A ．()f x 的导函数可能是奇函数 B ．若0a >，则0x =是()f x 的极小值点 C ．直线1y x =-可能与曲线()y f x =相切D ．若()f x 在2[,)3+∞上单调递增，则a 的取值范围是[1，)+∞26．（2020秋•泉州期末）已知(1,0)A ，(4,0)B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有( ) A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．圆C 上任意一点P 都满足||2||PB PA =C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN 的最小值为D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD 的最小值为4-27．（2020秋•菏泽期末）设函数()(1)()f x x x x a =--，则下列结论正确的是( ) A ．当4a =-时，函数()f x 在1[1,]2-上的平均变化率为194-B ．当1a =时，函数()f x 的图象与直线1y =-有1个交点C ．当2a =时，函数()f x 的图象关于点(0,1)中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a 时，12()()0f x f x28．（2020秋•菏泽期末）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，其长轴长是短轴长的，若点P 是椭圆上不与F 1，F 2共线的任意点，且△PF 1F 2的周长为16，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为 B ．C 的离心率为C ．双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限内的交点为D ．点Q 是圆x 2+y 2＝25上一点，点A ，B 是C 的左、右顶点（Q 不与A ，B 重合），设直线PB ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，若A ，P ，Q 三点共线，则25k 1＝16k 2 29．（2020秋•深圳期末）已知a ＞b ＞0，且a +b ＝1，则（ ） A ．log a b ＞log b a B ．C ．a b ＜b aD ．2a ﹣2b ＞2﹣b ﹣2﹣a30．（2020秋•顺德区期中）已知函数，方程f （x ）﹣x ＝0在区间[0，2n ]（n ∈N *）上的所有根的和为b n ，则（ ）A ．f （2020）＝2019B ．f （2020）＝2020C ．b n ＝22n ﹣1+2n ﹣1D ．31．（2020秋•常州期末）已知曲线y ＝sin （）（ω＞0）在区间（0，1）上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在ω，使sin （） B ．存在ω，使sin （）C ．有且仅有一个x 0∈（0，1），使sin （ωx 0）D ．存在x 0∈（0，1），使sin （ωx 0）＜032．（2020秋•佛山期末）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，M 为BB 1的中点，过B 1M 作长方体的截面α交棱CC 1于N ，则（ ）A ．截面α可能为六边形B ．存在点N ，使得BN ⊥截面αC ．若截面α为平行四边形，则1≤CN ≤2D ．当N 与C 重合时，截面面积为 三．填空题（共18小题）33．（2020秋•成都月考）对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足对1x ∀，2x D ∈且12x x ≠时都有1212()(()())0x x f x f x --，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[0，2]上的“非减函数”且f （2）2=，()(2)2f x f x +-=，又当3[2x ∈，2]，()2(1)f x x -恒成立，有下列命题：①f （1）1= ②33()22f =③3[2x ∀∈，2]，()1f x④192527()()()()414161814f f f f +++=其中正确的所有命题的序号为 ．34．（2020秋•荆州期末）在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当入0>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，A ，B 为双曲线的左、右顶点，C ，D 为双曲线的虚轴端点，动点P 满足||2||PA PB =，PAB ∆面积的最大值为643，PCD ∆面积的最小值为4，则双曲线的离心率为 ．35．（2020秋•湖州期末）已知x ，y R ∈，且3x y +=的最小值是 ．36．（2020秋•海珠区期末）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左、右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是 .（用区间表示）37．（2020秋•安徽期末）已知点(,)P m n 是抛物线214y x =-上一动点，的最小值为 ．38．（2020春•普洱期末）在菱形ABCD 中，3A π=，AB =ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，三棱锥P BCD -的外接球球心为O ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为 ．39．（2020秋•泉州期末）设正项数列{}n a 的前n 项和1(3)6n n n S a a =+，则n a = ；若对任意的*n N ∈，不等式248(1)n n n S a +-恒成立，则的取值范围是 ．40．（2020秋•眉山期末）实数x ，y 满足||||1x x y y +=，则点(,)x y 到直线10x y ++=的距离的取值范围是 ．41．（2020秋•阜阳期末）已知函数4,1()2,1x a x f x x a x +-⎧=⎨++<⎩，21()|log ()2|g x x x =+-，若函数(())y f g x =恰有6个零点，则实数a 的取值范围是 ．42．（2020秋•衡阳县期末）若对任意的i ，*j N ∈且i j ≠，总存在*n N ∈，使得()n i j a a a i j n =⋅+，则称数列{}n a 是“T 数列”．现有以下四个数列：①{31}n +；②{41}n -；③{3}n ；④2{1}n +．其中所有“T 数列”的序号为 ．43．（2020秋•玉林期末）已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别是1F ，2F ，点M 关于1F ，2F 对称的点分别是A ，B ，线段MN 的中点在双曲线C 的右支上，则||||AN BN -= ．44．（2020秋•信阳期末）伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，30AB m =，BC =，50CD m =，45ABC BCD ∠=∠=︒，要建设一条从点A 到点D 的空中长廊，则AD = m ．45．（2020秋•蚌埠期末）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则三棱锥P ABC -的体积为 ． 46．（2020秋•菏泽期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 与双曲线221(0)3x y λλλ-=>的右焦点相同，则双曲线的方程为 ，过点F 分别作两条直线1l ，2l ，直线1l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D ，E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则||||AB DE +的最小值为 ．47．（2020秋•顺德区期中）三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在半径为2的球面上，已知△ABC 是边长为2的正三角形，P A ＝PB ，则△P AB 面积的最大值为 ．48．（2020秋•佛山期末）已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 上，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝1，AD ＝2，AC＝5，平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥PD，则球O的体积为．49．（2020秋•佛山期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l交x轴于点K，过F作倾斜角为α的直线与C交于A，B两点，若∠AKB＝60°，则sinα＝．50．（2020秋•宣城期末）椭圆的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b）分别为其三个顶点．直线CF与AB交于点D，若椭圆的离心率，则tan∠BDC＝．。
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（十六）一．选择题（共20小题）1．（2021•霞山区校级模拟）如图所示，直线l 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线，1F ，2F 是双曲线C 的左、右焦点，1F 关于直线l 的对称点为1F '，且1F '是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为( )A B C ．2D ．32．（2021•湖北模拟）已知函数23,1()1,1lnx x f x x x +⎧=⎨+<⎩，若m n ≠，且()()4f m f n +=，则m n +的最小值是() A ．2B ．1e -C ．433ln -D ．332ln -3．（2021•陕西模拟）已知M ，N 是函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+>图像与直线y =的两个不同的交点．若||MN 的最小值是12π，则(ω= )A ．6B ．4C ．2D ．14．（2021•湖南模拟）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用．平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量(,)AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P ．已知平面内点(1,2)A ，点(1B +-，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4π后得到点P ，则点P 的坐标为( ) A ．(2,1)-B ．(4,1)C ．(2,1)-D ．(0,1)-5．（2021•湖南模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1//B E 平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )A ．13B C ．12D 6．（2021•湖南模拟）已知连续型随机变量~(i i X N u ，2)(1i i σ=，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是( )A ．1221()()P X P X μμ<B ．2233()()P X P X μμ>C ．1223()()P X P X μμ<D ．11111(22)(22)(1i i i i i i i i i i P X P X i μσμσμσμσ+++++-+=-+=，2) 7．（2021•河北模拟）已知函数2()1xf x x e =++，若正实数m 、n 满足(9)(2)2f m f n -+=，则21m n+的最小值为( ) A ．8B ．4C ．83D ．898．（2021•烟台一模）某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线l 上取长度为2的线段AB ，并作等边三角形ABC ，第一次画线：以点B 为圆心、BA 为半径逆时针画圆弧，交线段CB 的延长线于点D ；第二次画线：以点C 为圆心、CD 为半径逆时针画圆弧，交线段AC 的延长线于点E ；以此类推，得到的螺线如图所示，则( )A ．第二次画线的圆弧长度为43π B ．前三次画线的圆弧总长度为4πC ．在螺线与直线l 恰有4个交点（不含A 点）时停止画线，此时螺线的总长度为30πD ．在螺线与直线l 恰有6个交点（不含A 点）时停止画线，此时螺线的总长度为60π 9．（2021•青岛一模）在抛物线212x y =第一象限内一点(n a ，)n y 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1n a +，其中*n N ∈，已知232a =，n S 为{}n a 的前n 项和，若n m S 恒成立，则m 的最小值为( ) A ．16B ．32C ．64D ．12810．（2021•抚顺一模）已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()0f x f x '+>，令221()()m m f m m a m R e-+-=∈，b f=（1），则有( ) A ．a bB ．a b >C ．a bD ．a b <11．（2021•抚顺一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(4,0)F ，直线y =与双曲线C相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，线段AF 、BF 的中点分别为P 、Q ，且OP OQ ⊥，则双曲线C 的离心率为( )A BC ．4D ．212．（2021•洮北区校级模拟）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U 盘，图2中的正八边形窗花．在图3的正八边形12345678A A A A A A A A 中，647172A A A A A A λ+=，则(λ= )2213．（2021•洮北区校级模拟）已知函数2()cos(21)44f x x ax ax =+++只有一个零点，则(a = ) A ．2-B ．4C ．2D ．114．（2021•洮北区校级模拟）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，以A 为球心的球A 与线段11A C 交于点E ，设BE 与底面ABCD 所成角为θ，且球A 的表面积为24π，则cos2(θ= )A ．13-B ．35-C ．23-D ．45-15．（2021•吉林模拟）平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，该平面上的动线段PQ 的端点P 和Q 满足||5OP ，6OP OA ⋅=，2OQ PO =，则动线段PQ 所形成图形的面积为( )A ．36B ．60C ．72D ．10816．（2021•吉林模拟）已知函数2()f x alnx x=-，在区间(0,3)内任取两个实数1x ，2x ，且12x x ≠，若不等式1221(1)(1)1f x f x x x +-+<-恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．92-B ．2- C．-D ．113-17．（2021•吉林模拟）对于0x ∀>，0x ae lnx lna -+恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．1[2e，)+∞ B．，)+∞ C．，)+∞ D ．1[e，)+∞18．（2018•上海）已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ，6AP AB ⋅=，2AQ AP =-，则动线段PQ 所形成图形的面积为( ) A ．36B ．60C ．72D ．10819．（2021•吉林模拟）如图：ABC ∆和DEF ∆是同一圆O 的两个内接正三角形；且//BC EF ．一个质点P 在该圆内运动，用M 表示事件“质点P 落在扇形OEF （阴形区域）内”， N 表示事件“质点P 落在DEF ∆内”，则(|)(P N M = )3320．（2021•长春二模）已知函数2()xx xe f x e e-=-与函数3()121g x x x =-++的图象交点分别为：11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，⋯，(k k P x ，*)()k y k N ∈，则1212()()(k k x x x y y y ++⋯++++⋯+= )A ．2-B ．0C ．2D ．4二．多选题（共14小题）21．（2021•霞山区校级模拟）已知函数()y f x =在R 上可导且(0)1f =，其导函数()f x '满足(1)[()()]0x f x f x +'->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是( ) A ．函数()g x 在(,1)-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点C ．函数()g x 必有2 个零点D ．2e f （e ）e e > f （2）22．（2021•霞山区校级模拟）抛物线24x y =的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，(2,2)P 是平面内一定点，下列说法正确的有( ) A ．准线方程为1x =-B ．若||||8AF BF +=，则线段AB 中点到x 轴为3C ．APF ∆3D ．以线段AB 为直径的圆与准线相切23．（2021•湖北模拟）数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．经研究发现，在平面直角坐标系xOy 中，到定点(,0)A a -，(,0)B a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹C 是“∞曲线”．若点0(P x ，0)y 是轨迹C 上一点，则下列说法中正确的有( ) A ．曲线C 关于原点O 中心对称 B ．0x 的取值范围是[a -，]aC ．曲线C 上有且仅有一个点P 满足||||PA PB =D ．22PO a -的最大值为22a24．（2021•湖北模拟）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点．则( )A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等25．（2021•湖南模拟）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，球1O 同时与以B 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1D 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E ，若球1O ，2O 的半径分别为1r ，2r ，则( ) A．1O B = B ．123r r +=C ．这两个球的体积之和的最大值是9πD ．这两个球的表面积之和的最小值是18π26．（2021•湖南模拟）已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且11135a b =，22304a b =，33529a b =，则下列各数是数列{}n n a b 中项的有( ) A ．810B ．922C ．1147D ．154027．（2021•湖南模拟）已知奇函数()f x 的定义域为R ，且满足对任意的x R ∈，都有()(1)f x f x -=+．当102x时，2()log (1)f x x =+，则下列说法正确的是( ) A ．()f x 的周期为2B ．若*i N ∈，则1()0ni f i ==∑C ．点(1,0)-为()f x 的一个对称中心D ．20211011213()log ()22i i f ==∑28．（2021•河北模拟）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点（不含端点），将ABE ∆沿EE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点（不含端点），则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的有( )A ．B 、E 、C 、F 四点不共面 B ．存在点F ，使得//CF 平面BAE C ．三棱锥B ADC -的体积为定值D ．存在点E 使得直线BE 与直线CD 垂直29．（2021•烟台一模）已知函数()2|sin ||cos |1f x x x =+-，则( ) A ．()f x 在[0，]2π上单调递增B ．直线2x π=是()f x 图象的一条对称轴C ．方程()1f x =在[0，]π上有三个实根D ．()f x 的最小值为1-30．（2021•烟台一模）骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷六面骰n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n n +，则算闯过第n 关，1n =，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则( )A ．直接挑战第2关并过关的概率为712 B ．连续挑战前两关并过关的概率为524C ．若直接挑战第3关，设A = “三个点数之和等于15”， B = “至少出现一个5点”，则1(|)13P A B =D ．若直接挑战第4关，则过关的概率是35129631．（2021•青岛一模）若实数a b <，则下列不等关系正确的是( ) A ．223()()()555b a a <<B ．若1a >，则log 2a ab >C ．若0a >，则2211b a a b>++ D ．若53m >，a ，(1,3)b ∈，则33221()()03a b m a b a b ---+-> 32．（2021•青岛一模）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐浙成为一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是( )A ．分笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120︒B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 C ．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表而积为1600π平方厘米 D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为30厘米 33．（2021•抚顺一模）下列说法正确的是( )A ．已知函数()f x 的定义域为(,)a b ，若“(,)x a b ∃∈，使得()()0f x f x +-≠”是假命题，则()0f a b +=B ．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +为偶函数，若1x ∀，2x R ∈，121x x <都有2121()()0f x f x x x -<-，则f （3）(0)f >C ．已知函数()1xf x x =-，若对定义域内的任意x 值，均有()(2)2f x f a x b +-=，则2a b += D ．已知偶函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，则对任意实数a ，b ，“||a b >”是“f （a ）f >（b ）”的充要条件34．（2021•抚顺一模）已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是( )A．B．C．D．1)三．填空题（共16小题）35．（2021•霞山区校级模拟）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布(0.1N ，20.3)，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间(0.4,0.7)内的概率为 ．（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，(22)95.45%)P μσξμσ-<<+= 36．（2021•湖北模拟）已知不等式2(2)[(1)1]0ax lnx x a x --++对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是 ．37．（2021•湖南模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，且双曲线C 与椭圆2215x y +=有相同的焦点．点P 在双曲线C 上，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则||AB 的最小值为 ．38．（2021•湖南模拟）若过点(,0)A a 的任意一条直线都不与曲线:(1)x C y x e =-相切，则a 的取值范围是 ． 39．（2021•湖南模拟）已知点M 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足CM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为 ．40．（2021•湖南模拟）已知点P 是等边ABC ∆外一点，且点P 在ABC ∆所在平面内的射影恰好在边BC 上，若ABC ∆的边长为2，三棱锥P ABC -的外接球体积为，则三棱锥P ABC -体积的最大值为 ． 41．（2021•河北模拟）如图，在ABC ∆中，8AB =，12BC AC +=，分别取三边的中点D ，E ，F ，将BDE ∆，ADF ∆，CEF ∆分别沿三条中位线折起，使得A ，B ，C 重合于点P ，则当三棱锥P DEF -的外接球的体积最小时，其外接球的半径为 ，三棱锥P DEF -的体积为 ．42．（2021•河北模拟）如图，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，P 为抛物线C 在第一象限内的一点，抛物线C 在点P 处的切线PM 与圆F 相切（切点为)M 且交y 轴于点Q ，过点P 作圆F 的另一条切线PN （切点为)N 交y 轴于T 点．若已知||||FQ FP =，则||FT 的最小值为 ．43．（2021•烟台一模）已知正三棱锥P ABC -的底面边长为2PAB ，PBC 分别切于点M ，N ，则MN 的长度为 ．44．（2021•青岛一模）2021年是中同传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线2:4Z x y =的焦点为F ，圆22:(1)4F x y +-=与抛物线Z 在第一象限的交点为2(,)4m P m ，直线:(0)l x t t m =<<与抛物线Z 的交点为A ，直线l 与圆F 在第一象限的交点为B ，则m = ；FAB ∆周长的取值范围为 ．45．（2021•抚顺一模）已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长之和为36，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值时，其外接球的体积为 ．46．（2021•抚顺一模）已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF 的值是 ．47．（2021•洮北区校级模拟）已知抛物线2:8C y x =与圆22:128D x y +=交于A ，B 两点．F 是C 的焦点，ABF ∆的重心为G ，设P 是圆D 上一动点，则||PG 的最大值为 ．48．（2021•洮北区校级模拟）已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点(P m ，0)(0)m >且交C 于A ，B 两点．过点A 和C 的顶点O 的直线交C 的准线于点D ，若BD 与C 的对称轴平行，则m = ．49．（2021•吉林模拟）已知圆22:(1)16C x y ++=，P 是圆C 上任意点，若(1,0)A ，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程是 ；若A 是圆C 所在平面内的一定点，线段AP 的垂直平分线与直线CP 相交于点Q ，则点Q 的轨迹是：①一个点；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线，其中可能的结果有 ．50．（2021•长春二模）“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图），其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠表面积2S Rh π=，其中R 为球的半径，h 球冠的高），设球冠底的半径为r，周长为C，球冠的面积为S，则rR的值为（结果用S、C表示）。
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(十一)(原卷版)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编〔十一〕一．选择题〔共19小题〕1．〔2021•全国模拟〕()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≠时，恒有()0xf x '<，那么( ) A ．58171(log )()(log )395f f f >>B ．58117(log )(log ))()359f f f >>C ．85117(log )(log )()539f f f >>D ．85711()(log )(log )953f f f >>2．〔2021•全国模拟〕设2{}n a n +为等比数列，且11a =，20a =，现有如下四个命题： ①1a ，2a ，3a 成等差数列； ②5a 不是质数；③2{}n a n +的前n 项和为122n +-； ④数列{}n a 存在相同的项． 其中所有真命题的序号是( ) A ．①④B ．①②③C ．①③D ．①③④3．〔2021•浙江模拟〕正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，点M ，N 分别为线段AB '，AC 上的动点，点T 在平面BCC B ''内，那么||||MT NT +的最小值是( )A B C D ．14．〔2021•安徽一模〕当1x >时，函数2()1y lnx alnx =++的图象在直线y x =的下方，那么实数a 的取值范围是( )A ．(,)e -∞B ．25(,)2e --∞C ．(-∞D ．(,2)e -∞-5．〔2021•甘谷县一模〕早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为外表可构成四种规那么的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，正二十面体的体积公式为3V =〔其中a 为棱长〕，一个正二十面体各棱长之和为，那么该正二十面体内切球的半径为( )A B C D 6．〔2021•渭南模拟〕函数()sin x f x e x =+，假设3(log 11)a f =，4log 3(2)b f =，21(log 3)2c f =，那么a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a b c >>7．〔2021•榆林模拟〕双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴的一个顶点为D ，直线2x a =与C 交于A ，B两点，假设ABD ∆的垂心在C 的一条渐近线上，那么C 的离心率为( )A B ．2C D 8．〔2021•湖南模拟〕(2,2)A ，B ，C 是拋物线22y px =上的三点，如果直线AB ，AC 被圆22(2)3x y -+=截得的两段弦长都等于BC 的方程为( ) A ．210x y ++=B ．3640x y ++=C ．2630x y ++=D ．320x y ++=9．〔2021•凌源市模拟〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图中，B ，C 是线段AD 的三等分点，且AD =．假设该三棱柱的外接球O 的外表积为12π，那么1(AA = )A B ．2CD ．10．〔2021•道里区校级一模〕定义在R 上的函数()f x 满足：2,0()(1)(2),0x x f x f x f x x ⎧-=⎨--->⎩，那么(2020)(2021)f f +的值等于( )A ．5-B ．4-C ．3-D ．2-11．〔2020•山东模拟〕()f x '是函数()f x 的导数，且()()f x f x -=，当0x 时，()3f x x '>，那么不等式3()(1)32f x f x x --<-的解集是( )A ．1(,0)2-B ．1(,)2-∞-C ．1(,)2+∞D ．1(,)2-∞12．〔2020•海淀区校级三模〕某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体外表会聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图．假设激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为91600(110)nm nm m -=，测得某时刻频移为98.010(1/)h ⨯，那么该时刻高铁的速度v 约等于( )A ．320/km hB ．330/km hC ．340/km hD ．350/km h13．〔2020•天津模拟〕函数2()3323x x f x x -=++-，假设函数()|()|log (2)(0a g x f x x a =-+>且1)a ≠在区间[1-，1]上有4个不同的零点，那么实数a 的取值范围是( ) A ．11(,)32B ．(2,)+∞C ．37[3,2)D ．37[3,)+∞14．〔2021•珠海一模〕从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i 行第j 列的数记为,i j a ，如3,17a =，4,315a =，那么,2021i j a =时，1102(3)log (19)(j i --+= )A ．54B ．18C ．9D ．615．〔2021•潍坊一模〕某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬( )A ．144B ．72C ．36D ．2416．〔2021•张家口一模〕设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，那么不等式(4)(4)0f x f x x+--->的解集是( )A ．(0,4)B ．(8,4)--C ．(4-，0)(0⋃，4)D ．(8-，4)(0-⋃，4)17．〔2021•湖北模拟〕函数()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()0(()f x f x f x +'<'为函数的导函数〕，假设01a b <<<且1ab =，那么以下不等式一定成立的是( ) A ．f 〔a 〕(1)a f >+〔b 〕 B ．f 〔b 〕(1)a f >-〔a 〕 C ．af 〔a 〕bf >〔b 〕D ．af 〔b 〕bf >〔a 〕18．〔2020•章丘区校级模拟〕在三棱锥A BCD -中，BCD ∆3BAC π∠=，二面角A BC D --的大小为θ，且1cos 3θ=-，那么三棱锥A BCD -体积的最大值为( )A B C D 19．〔2021•岳阳一模〕对于函数()f x =，假设存在0x ，使00()()f x f x =--，那么点0(x ，0())f x 与点0(x -，0())f x -均称为函数()f x 的“先享点〞．函数316,0()6,0ax x f x x x x ->⎧=⎨-⎩，且函数()f x 存在5个“先享点〞，那么实数a 的取值范围为( ) A ．(0,6)B ．(,6)-∞C ．(3,)+∞D ．(6,)+∞二．多项选择题〔共10小题〕20．〔2021•湖南模拟〕函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递增，那么( ) A ．函数()()cos g x f x x =为奇函数B ．函数()[()h x x f x f =-〔2〕]有且只有3个零点C ．不等式[()x f x f -〔2〕]0的解集为(-∞，2][0-，2]D ．()f x 的解析式可能为2()x x f x e e x -=+-21．〔2021•凌源市模拟〕函数2()sin f x x x =+，那么以下说法正确的选项是( ) A ．()f x 有且只有一个极值点B ．设()()()g x f x f x =⋅-，那么()g x 与()f x 的单调性相同C ．()f x 有且只有两个零点D ．()f x 在[0,]2π上单调递增22．〔2020•山东模拟〕一个正方体的平面展开图如下图，在这个正方体中，点H 是棱DN 的中点，P ，Q 分别是线段AC ，BN 〔不包含端点〕上的动点，那么以下说法正确的选项是( )A ．在点P 的运动过程中，存在//HP BMB ．在点Q 的运动过程中，存在FQ AH ⊥C ．三棱锥H QAC -的体积为定值D ．三棱锥B PEM -的体积不为定值23．〔2021•珠海一模〕由样本数据1(x ，1)(1y i =，2，3，⋯，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ20.4yx =-且2x =，去除两个歧义点(2,7)-和(2,7)-后，得到新的回归直线的斜率为3．那么以下说法正确的选项是( )A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除歧义点后的回归直线方程为ˆ3 3.2yx =-C ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D ．去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为〔附11:)i e y y =- 24．〔2021•珠海一模〕函数()3|sin |4|cos |f x x x =+，那么( ) A ．π-是函数()f x 的一个周期 B ．直线()2k x k Z π=∈为函数()f x 的对称轴方程C ．函数()f x 的最大值是5D ．()4f x = 在[0，]π有三个解25．〔2021•潍坊一模〕实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，且2221x y z ++=，那么以下结论正确的选项是( )A ．0xy yz xz ++=B ．z 的最大值为12C ．z 的最小值为13-D ．xyz 的最小值为427-26．〔2021•张家口一模〕函数()2tan f x x x =+，其导函数为()f x '，设()()cos g x f x x ='，那么( ) A ．()f x 的图象关于原点对称B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在(0,)2π上的最小值为27．〔2021•湖北模拟〕半正多面体(semiregular )solid 亦称“阿基米德多面体〞，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，表达了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成〔如下图〕( )A ．BF ⊥平面EAB B ．该二十四等边体的体积为203C ．该二十四等边体外接球的外表积为8πD ．PN 与平面EBFN 28．〔2020•章丘区校级模拟〕假设函数2322,0()4,0x lnx x f x x x x ⎧>=⎨--⎩的图像和直线y ax =有四个不同的交点，那么实数a 的取值可以是( ) A ．1e-B ．0C ．2D ．429．〔2021•岳阳一模〕将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，点P 为线段AD 上的一动点，以下结论正确的选项是( )A ．异面直线AC 与BD 所成的角为60︒B ．ACD ∆是等边三角形C ．BCP ∆D ．四面体ABCD 的外接球的外表积为8π 三．填空题〔共21小题〕30．〔2021•全国模拟〕抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为0l ，过F 且斜率为1的直线l 与C 交于A ，B 两点(A 在B 的上方〕，过点A 作0AP l ⊥，垂足为P ，点G 为PAB ∠的角平分线与0l 的交点，那么||FG = ． 31．〔2021•浙江模拟〕函数22()2|||4|f x x x a x x a =-++-+，假设对任意的(1,)x a ∈不等式()(1)f x a x -恒成立，那么实数a 的最大值为 ．32．〔2021•浙江模拟〕抛物线22y px =的焦点为F ，假设点A ，B 是该抛物线上的点，||6AB =，0AF BF ⋅=，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，那么||MN 的最大值为 ．33．〔2021•浙江模拟〕单位向量a ，b ，c 满足|23|1a b c ++，那么a b ⋅的最大值为 ，最小值为 ．34．〔2021•安徽一模〕如图，在三棱锥A BCD -中，BCD ∆是边长为1的等边三角形，AB AC AD ===，点M ，N ，P 分别在棱AB ，AC ，AD 上，平面//MNP 平面BCD ，假设12AM MB =，那么三棱锥A BCD -的外接球被平面MNP 所截的截面面积为 ．35．〔2021•未央区校级二模〕假设函数2()1f x x =+与()21g x alnx =+的图象存在公共切线，那么实数a 的最大值为 ．36．〔2021•甘谷县一模〕如图，抛物线21:8C y x =，圆222:40C x y x +-=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆依次交于P ，M ，N ，Q ，那么||||PM QN ⋅= ．37．〔2021•榆林模拟〕关于函数()4sin()6f x x ππ=-有如下四个命题：①()f x 的最小正周期为2； ②()f x 的图像关于点7(,0)6对称；③假设()()f a x f a x -=+，那么||a 的最小值为23； ④()f x 的图像与曲线125(0)6y x x =<<共有4个交点．其中所有真命题的序号是 ．38．〔2021•湖南模拟〕在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1PA AB ==，AC =锥P ABC -的所有顶点都在球O 的外表上，那么球O 的半径为 ；假设点M 、N 分别是ABC ∆与PAC ∆的重心，直线MN 与球O 外表相交于D 、E 两点，那么线段DE 长度为 ． 39．〔2021•凌源市模拟〕假设5x xe =，51elny y-=，那么xy = ． 40．〔2021•道里区校级一模〕ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设2A B =，那么82c bb a+的取值范围为 ．41．〔2020•山东模拟〕抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，点M 在抛物线C 上，且点M 在直线l 的下方，假设M AB ∆面积的最大值是线C 的方程是 ，此时，点M 的坐标为 ． 42．〔2020•天津模拟〕0x >，0y >，那么222224xy xyx y x y +++的最大值为 ．43．〔2021•珠海一模〕假设以函数()y f x =的图像上任意一点1(P x ，1)y 为切点作切线，()y f x =图像上总存在异于P 点的点2(Q x ，2)y ，使得以Q 为切点的直线1l 与21平行，那么称函数()f x 为“美函数〞，下面四个函数中是“美函数〞的是 ． ①32y x x =-； ②13y x x=+； ③cos y x =； ④2(2)y x lnx =-+．44．〔2021•潍坊一模〕某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出奉献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如下图，其中扇形OAB 的半径为10，60PBA QAB ∠=∠=︒，AQ QP PB ==，假设按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP 最长时，该奖杯比拟美观，此时AOB ∠= ．45．〔2018•江苏三模〕函数31,0,()|2|,0ax x f x x ax x x -⎧=⎨-+->⎩的图象恰好经过三个象限，那么实数a 的取值范围是 ．46．〔2019•南通四模〕在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．假设不等式22233kS b c a +-恒成立，那么实数k 的最大值为 ．47．〔2021•张家口一模〕早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为外表可构成四种规那么的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin 36︒按35计算，那么该正二十面体的外表积与该正二十面体的外接球外表积之比等于 ．48．〔2021•湖北模拟〕双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F 0)，点N 的坐标为(0,2)，点M为双曲线C 左支上的动点，且MNF ∆的周长不小于20，那么双曲线C 的离心率的取值范围为 ． 49．〔2021•湖北模拟〕为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12212.5()m m lgE lgE -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．“心宿二〞的星等是，“天津四〞的星等是，那么“心宿二〞的亮度大约是“天津四〞的 倍．〔结果精确到．当||x 较小时，2101 2.3 2.7)x x x ≈++50．〔2019•山东模拟〕一正四棱柱〔底面为正方形的直四棱柱〕内接于底面半径为1，高为2的圆锥，当正四棱柱体积最大时，该正四棱柱的底面边长为 ．。
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(含答案)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编一．选择题（共19小题）1．（2021•天心区校级一模）如图所示，直线l 为双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，F 1关于直线l 的对称点为F 1′，且F 1′是以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3【解析】解：直线l 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线，则直线l为y =bax ，∵F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点， ∴F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∵F 1关于直线l 的对称点为F 1′，设F 1′为（x ，y ）， ∴y x+c=−a b，y+02=b a•x−c2，解得x =b 2−a 2c ，y =−2ab c，∴F 1′（b 2−a 2c，−2abc ），∵F 1′是以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点， ∴（b 2−a 2c−c ）2+（−2abc−0）2＝c 2， 整理可得4a 2＝c 2， 即2a ＝c ， ∴e =ca =2，故选：C ．2．（2020秋•海门市校级月考）已知函数f(x)=sin(ωx +π6)+cosωx(ω＞0)在[0，π]内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83，113) B ．(83，113] C ．(103，133] D ．[103，133) 【解析】解：f(x)=sin(ωx +π6)+cosωx =sinωxcos π6+cosωxsin π6+cosωx =√32sinωx +32cosωx =√3sin(ωx +π3)． ∵当x ∈[0，π]时，ωx +π3∈[π3，πω+π3]， ∵f （x ）在[0，π]有且仅有3个零点， ∴3π≤πω+π3＜4π， 综上：83≤ω＜113．故选：A ．3．（2020秋•海曙区校级期中）已知|a →|＝|b →|＝1，a →⋅b →=12，c →=(m ，1−m)，d →=(n ，1−n)（m ，n ∈R ）．存在a →，b →，对于任意实数m ，n ，不等式|a →−c →|+|b →−d →|≥T 恒成立，则实数T 的取值范围为（ ）A ．(−∞，√3+√2]B ．[√3+√2，+∞)C ．(−∞，√3−√2]D ．[√3−√2，+∞) 【解析】解：设a →=OA →，b →=OB →，c →=OC →，d →=OD →， 由c →=(m ，1−m)，d →=(n ，1−n)（m ，n ∈R ）可知，C ，D 两点在直线y ＝﹣x +1上运动，A ，B 两点在单位圆上运动， 因为cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=121×1=12，所以∠AOB =π3，又|a →−c →|+|b →−d →|=AC +BD ，先固定A ，B 两点， 如图，当AC ⊥CD ，BD ⊥CD 时，AC +BD 有最小值d ，取AB的中点M，过M作直线的垂线MN，AC+BD有最小值d＝2MN，当点A，B运动时，MN≤OM+OE=√32+√22，所以d max=(2MN)max=√3+√2，即T≤√3+√2．故选：A．4．（2020秋•海曙区校级期中）设a∈R，则函数f（x）＝||x2﹣3x+2|﹣a|的零点个数最多有（）A．4个B．6个C．8个D．12个【解析】解：函数f（x）＝||x2﹣3x+2|﹣a|的零点等价于方程f（x）＝||x2﹣3x+2|﹣a|＝0的根，即求|x2﹣3x+2|＝a根的个数，即求函数y＝|x2﹣3x+2|与y＝a的图象交点的个数，作出函数y＝|x2﹣3x+2|与y＝a的图象如图所示，由图象可知，函数y＝|x2﹣3x+2|与y＝a的图象交点最多有4个，故函数f（x）＝||x2﹣3x+2|﹣a|的零点个数最多有4个．故选：A．5．（2021春•沈阳期末）设f （x ）是定义在R 上的函数，f （0）＝2，对任意x ∈R ，f （x ）+f ′（x ）＞1，则不等式e x f （x ）＞e x +1的解集为（ ） A ．（0，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【解析】解：令g （x ）＝e x f （x ）﹣e x ， 则g ′（x ）＝e x f （x ）+e x f ′（x ）﹣e x ， ∵对任意x ∈R ，f （x ）+f ′（x ）＞1， ∴g ′（x ）＝e x [f （x ）+f ′（x ）﹣1]＞0， ∴函数y ＝g （x ）在R 上单调递增． ∵f （0）＝2， ∴g （0）＝1．∴当x ＜0时，g （x ）＜1； 当x ＞0时，g （x ）＞1． ∵e x f （x ）＞e x +1， ∴e x f （x ）﹣e x ＞1， 即g （x ）＞1， ∴x ＞0． 故选：A ．6．（2021春•芗城区校级月考）若函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +sin x ﹣x ，则满足f （a ﹣2ln （|x |+1））+f （x 22）≥0恒成立的实数a 的取值范围为（ ）A ．[2ln2−12，+∞) B ．(ln2−14，+∞) C ．[74，+∞)D ．(32，+∞)【解析】解：函数f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +sin x ﹣x ，故函数f （x ）的定义域是R ，关于原点对称，且f （﹣x ）＝e ﹣x ﹣e x +sin （﹣x ）+x ＝﹣（e x ﹣e ﹣x +sin x ﹣x ）＝﹣f （x ），故函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， 且满足f （a ﹣2ln （|x |+1））+f （x 22）≥0恒成立，故f （a ﹣2ln （|x |+1））≥﹣f （x 22）＝f （−x 22）， 由cos x ∈[﹣1，1]，f ′（x ）＝e x +e ﹣x +cos x ﹣1≥2√e x ⋅e −x +cos x ﹣1＝cos x +1≥0（当且仅当x ＝0时“＝”成立）， 故函数f （x ）在R 单调递增，由f （a ﹣2ln （|x |+1））≥f （−x 22），故a ﹣2ln （|x |+1）≥−x 22，即a ≥2ln （|x |+1）−x 22，令g （x ）＝2ln （|x |+1）−x 22，欲使a ≥2ln （|x |+1）−x 22恒成立，则a ≥g （x ）max 恒成立，g （﹣x ）＝2ln （|﹣x |+1）−(−x)22=2ln （|x |+1）−x 22=g （x ），且函数g （x ）的定义域是R ，关于原点对称， 故函数g （x ）是定义在R 上的偶函数，故要求解g （x ）在R 上的最大值，只需要求解函数g （x ）在[0，+∞）上的最大值即可， 当x ∈[0，+∞）时，g （x ）＝2ln （x +1）−x 22， 故g ′（x ）=2x+1−x =−(x+2)(x−1)x+1， 故当x ∈[0，1]时，x ﹣1≤0，则g ′（x ）≥0，g （x ）在[0，1]上递增， 当x ∈（1，+∞）时，x ﹣1＞0，则g ′（x ）＜0，g （x ）在（1，+∞）递减， 故g （x ）max ＝g （1）＝2ln 2−12，故a ≥2ln 2−12，故a 的取值范围是[2ln 2−12，+∞）， 故选：A ．7．（2021春•泰安期末）四边形ABCD 中，AB ＝BC ，AD ⊥DC ，AC ＝2，∠ACD ＝θ，若DB →⋅AC →=13，则cos2θ等于（ ）A ．23B ．13C ．12D ．16【解析】解：如图所示，取AC 的中点O ，连接OD ，OB ， ∵AB ＝BC ，OA ＝OC ， ∴OB ⊥AC ， ∴OB →•AC →=0；又∵DB →⋅AC →=13，DB →=DO →+OB →，DO →=12（DA →+DC →），∴（DO →+OB →）•AC →=DO →•AC →+OB →•AC →=12（DA →+DC →）•AC → =12（DA →+DC →）•（DC −DA →） =−12DA →2+12DC →2=13①，又AD ⊥DC ，∴DA →2+DC →2=AC →2=4②， 由①②解得DC →2=73， ∴|DC →|=√73，∴cos θ=|DC →||AC →|=√732； ∴cos2θ＝2cos 2θ﹣1＝2×712−1=16． 故选：D ．8．（2021•郑州一模）已知函数f(x)={e x −a ，x ≤02x −a ，x ＞0(a ∈R)，若函数f （x ）在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1]B ．[1，+∞）C ．（0，1）D ．（﹣∞，1]【解析】解：当x ≤0时，f （x ）单调递增，∴f （x ）≤f （0）＝1﹣a ， 当x ＞0时，f （x ）单调递增，且f （x ）＞﹣a ． ∵f （x ）在R 上有两个零点， ∴{1−a ≥0−a ＜0，解得0＜a ≤1． 故选：A ．9．（2021春•河南月考）已知三棱柱ABC ﹣DEF ，DA ，DE ，DF 两两互相垂直，且DA ＝DE ＝DF ，M ，N 分别是BE ，AB 边的中点，P 是线段CA 上任意一点，过三点P ，M ，N 的平面与三棱柱ABC ﹣DEF 的截面有以下几种可能：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．其中所有可能的编号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．②③④【解析】解：以点D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DF 为z 轴，延长MN 分别交x 轴，y 轴于点N '，M '．连接N 'P 交z 轴于点P '，则过P ，M ，N 三点的平面与过点N '，M '，P '的平面相同， 当点P 与点A 重合时，截面为四边形； 当0＜P A ＜12AC 时，截面为五边形；当12AC ≤P A ＜AC 时，截面为四边形；当点P 与点C 重合时，截面为三角形；而该三棱柱只有五个面，截面与每个面相交最多产生五条交线，故截面形状最多为五边形，即不可能为六边形． 故选：C ．10．（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知函数f(x)={|log 2x|0＜x ＜2sin(π4x)2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则(x 3−1)(x 4−1)x 1x 2+2x 4−5x 3的取值范围是（ ） A ．（14，17）B ．（14，19）C ．（17，19）D ．(17，774]【解析】解：作出函数f （x ）的图象如图所示：因为存在实数x 1，x 2，x 3，x 4，满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4， 且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）， ∴12＜x 1＜1，1＜x 2＜2，2＜x 3＜4，8＜x 4＜10，∵﹣log 2x 1＝log 2x 2，∴log 21x 1=log 2x 2，∴x 1x 2＝1，∵y ＝sinπx 4关于直线x ＝6对称，∴x 3+x 4＝12，∴(x 3−1)(x 4−1)x 1x 2+2x 4−5x 3=（x 3﹣1）（x 4﹣1）+2x 4﹣5x 3＝x 3x 4﹣6x 3+x 4+1＝﹣x 32+5x 3+13＝﹣（x 3−52）2+774， 令g （x 3）＝﹣（x 3−52）2+774，则g （x 3）在（2，52）是增函数，在（52，4）递减， ∵g （2）＝19，g （4）＝17，g （52）=774，∴17＜g （x 3）≤774． 故选：D ．11．（2020秋•渝中区校级月考）直线l 1：3x ﹣4y +13＝0，l 2：3x ﹣4y +23＝0，圆M ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2与直线l 1和l 2都相切，AB 是圆M 的一条直径，N （﹣1，0），则NA →⋅NB →的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】解：直线l 1：3x ﹣4y +13＝0，l 2：3x ﹣4y +23＝0，则l 1和l 2平行， 又圆M ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2与直线l 1和l 2都相切， ∴圆心在直线l ：3x ﹣4y +18＝0上，点N （﹣1，0）到直线l 的距离d min ＝3，且AB 是圆M 的一条直径， 则NA →⋅NB →=(NM →+MA →)⋅(NM →+MB →)=(NM →−12AB →)⋅(NM →+12AB →)=|NM →|2−14|AB →|2，∵直线l 1和l 2的距离为22=2，∴|AB →|=2，∴NA →⋅NB →=|NM →|2−1， 又|NM →|min =|−3+18|5=3， ∴NA →⋅NB →的最小值为8， 故选：C ．12．（2020秋•河南月考）已知函数f （x ）为定义在R 上且图像连续的偶函数，满足xf '（x ）＞0（或xf '（x ）＜0）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立．若把函数y ＝f （x ）向右平移4个单位可得函数y ＝g （x ），则方程g(x)=g(2−1x+1)的所有根之和为（ ） A ．4B ．6C ．10D ．12【解析】解：函数f （x ）为定义在R 上且图像连续的偶函数，满足xf '（x ）＞0（或xf '（x ）＜0）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立， 可得f （x ）在（﹣∞，0）、（0，+∞）都单调，由题意可得g （x ）的图像关于直线x ＝4对称，且在（﹣∞，4），（0，+∞）内都单调， 若g(x)=g(2−1x+1)，可得x ＝2−1x+1或8﹣x ＝2−1x+1， 由x ＝2−1x+1即x 2﹣x ﹣1＝0，有两个实根，其和为1； 由8﹣x ＝2−1x+1即x 2﹣5x ﹣7＝0，有两个实根，其和为5． 所以方程g(x)=g(2−1x+1)的所有根之和为1+5＝6． 故选：B ．13．（2020秋•河南月考）已知函数f （x ）=3x−13x +1+x |x |+2，且f （﹣a ）+f （2a ﹣3）＞4，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．（32，+∞）C ．（3，+∞）D ．（4，+∞）【解析】解：因为f （x ）=3x−1x +x |x |+2＝3−2x +x |x |，所以f （﹣x ）+f （x ）＝3−23−x+1−x |﹣x |+3−23x +1+x |x |， ＝6−2⋅3x1+3x −23x+1＝6﹣2＝4，因为f （﹣a ）+f （2a ﹣3）＞4＝f （a ）+f （﹣a ）， 所以f （2a ﹣3）＞f （a ），又f （x ）=3x−13x +1+x |x |+2＝3−23x +1+x |x |在R 上单调递增，所以2a ﹣3＞a ， 解得a ＞3． 故选：C ．14．（2020•新课标Ⅱ）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝2f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，94]B ．（﹣∞，73]C ．（﹣∞，52]D ．（﹣∞，83]【解析】解：因为f （x +1）＝2f （x ），∴f （x ）＝2f （x ﹣1），∵x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）∈[−14，0]，∴x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，f （x ）＝2f （x ﹣1）＝2（x ﹣1）（x ﹣2）∈[−12，0]； ∴x ∈（2，3]时，x ﹣1∈（1，2]，f （x ）＝2f （x ﹣1）＝4（x ﹣2）（x ﹣3）∈[﹣1，0]， 当x ∈（2，3]时，由4（x ﹣2）（x ﹣3）=−89解得x =73或x =83， 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥−89，则m ≤73．故选：B ．15．（2020秋•吴忠月考）已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0）与x 轴的交点为A 、B ，以A 、B 为左、右焦点的双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支与圆O 交于P ，Q 两点，若直线PQ 与x 轴的交点恰为线段AB 的一个四等分点，则双曲线的离心率等于（ ） A ．√3+1B ．2√3−1C ．√3+12D ．2√3−12【解析】解：由题意可知PQ 为OB 的中垂线， 因为点A ，B 坐标为（﹣r ，0），（r ，0）， 所以PQ 方程为x =r 2，与x 2+y 2＝r 2联立， 可取P(r2，√3r2)，Q(r 2，−√3r2)，所以双曲线的焦距2c ＝2r ，即c ＝r ，因为|PA|=(r 2+r)2+(3r2)2=√3r ，|PB|=(r 2−r)2+(3r2)2=r ，由双曲线定义可得2a =|PA|−|PB|=(√3−1)r ，a =(√3−1)r2， 所以双曲线的离心率e =c a =√3−12r=√3+1． 故选：A ．16．（2020秋•吉林月考）已知双曲线C ：x 29−y 27=1的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，则1|FA|−4|FB|的取值范围是（ ）A ．[−16，37)B ．[−16，37]C ．[−16，0)D ．[−16，+∞)【解析】解：设|AF |＝m ，|BF |＝n ，由双曲线的右焦点为F ′，连接BF ′，AF ′， 由对称性可得四边形AFBF ′为平行是变形， 则|BF ′|＝|AF |＝m ， 所以n ﹣m ＝2a ＝6，所以n ＝m +6，且m ≥c ﹣a ＝1， 则1|FA|−4|FB|=1m −4m+6，设f （m ）=1m −4m+6，m ≥1， 所以f ′（m ）=−1m 2+4(m+6)2=3m 2−12m−36m 2(m+6)2=3(m+2)(m−6)m 2(m+6)2，所以当1＜m ＜6时，f ′（m ）＜0，f （m ）单调递减， 当m ＞6时，f ′（m ）＞0，f （m ）单调递增， 当m →+∞时，f （m ）→0， 所以f （m ）min ＝f （6）=16−46+6=−16， f （1）＝1−47=37， 所以f （m ）∈[−16，37]，故选：B ．17．（2020秋•安徽月考）函数f （x ）={x 2−2ax +a 2，x ＜3ax −1116，x ≥3，数列{a n }满足a n ＝f （n ），n ∈N *，且为递增数列．则实数a 的取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．（34，32）C ．[34，1）D ．[54，32）【解析】解：x ＜3时，f （x ）＝x 2﹣2ax +a 2，数列{a n }满足a n ＝f （n ），n ∈N *，且为递增数列．所以a 1＝1﹣2a +a 2＜a 2＝4﹣4a +a 2，解得a ＜32，可得：{0＜a ＜3222−2a ⋅2+a 2＜3a −1116，解得34＜a ＜32．故选：B ．18．（2020秋•安徽月考）已知函数f （x ）＝e 2x +（a ﹣2）e x ﹣x 有两个零点，则实数a 取值范围是（ ） A ．（0，1）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，﹣1）【解析】解：令f （x ）＝0，则a ＝﹣e x +xe ﹣x +2，令g （x ）＝﹣e x +xe ﹣x +2，则g ′(x)=−e x +(1−x)e −x =1−x−e 2xe x， 令h （x ）＝1﹣x ﹣e 2x ，易知函数h （x ）单调递减，又h （0）＝0，故当x ∈（﹣∞，0）时，h （x ）＞0，则g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增， 当x ∈（0，+∞）时，h （x ）＜0，则g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减， ∴g （x ）max ＝g （0）＝1，又当x →﹣∞时，g （x ）→﹣∞，当x →+∞时，g （x ）→﹣∞， ∴a ＜1． 故选：C ．19．（2020秋•北碚区校级月考）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ，若不等式f （x +1）＞x ﹣ae x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，0]D ．[0，1]【解析】解：f （e x ）＝x ﹣ae x ，所以f （x +1）≥x ﹣ae x 在（0，+∞）上恒成立， 等价于f （x +1）≥f （e x ）在（0，+∞）上恒成立， 令g （x ）＝x +1﹣e x ，x ＞0，g ′（x ）＝1﹣e x ，当x ＞0时，g ′（x ）＜0，所以g （x ）单调递减， 所以g （x ）＜g （0）＝0，所以1＜x +1＜e x ， 所以只需f （x ）在（1，+∞）上单调递减， 即x ＞1，f ′（x ）≤0恒成立， 即x ＞1时，1x −a ≤0恒成立，即a ≥1x，因为(1x)max =1，所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，+∞）． 故选：B ．二．多选题（共13小题）20．（2020秋•临沂期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．(AA 1→+AB →+AD →)2=2(AC →)2B ．AC 1→⋅(AB →−AD →)=0 C ．向量B 1C →与AA 1→的夹角是60° D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√63【解析】解：因为以A 为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为60°，不妨设棱长为a ，对于A ，（AA 1→+AB →+AD →）2=AC 1→2＝3a 2+3×2a 2×12=6a 2， 因为AC →2＝（AB →+AD →）2＝2a 2+2a 2×12=3a 2，则2（AC →）2＝6a 2，所以（AA 1→+AB →+AD →）2＝2AC 1→2，故A 正确；对于B ，因为AC 1→⋅(AB →−AD →)=（AA 1→+AB →+AD →）（AB →−AD →）=AA 1→⋅AB →−AA 1→⋅AD →+AB →2−AB →⋅AD →+AD →⋅AB →−AD →2＝0，故B 正确；对于C ，因为B 1C →=A 1D →，显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D ＝60°， 所以向量A 1D →与AA 1→的夹角为120°，向量B 1C →与AA 1→的夹角为120°，故C 不正确； 对于D ，因为BD 1→=AD →+AA 1→−AB →，AC →=AB →+AD →，则|BD 1→|=√(AD →+AA 1→−AB →)2=√2a ，|AC →|=√(AB →+AD →)2=√3a ， 所以BD 1→⋅AC →=（AD →+AA 1→−AB →）（AB →+AD →）＝a 2， 所以cos ＜BD 1→，AC →＞=BD 1→⋅AC →|BD 1→||AC →|=a 22a×3a=√66，故D 不正确．故选：AB ．21．（2021春•扬中市校级月考）已知函数y ＝f （x ）在R 上可导且f （0）＝1，其导函数f ′（x ）满足（x +1）[f ′（x ）﹣f （x ）]＞0，对于函数g （x ）=f(x)e x ，下列结论正确的是（ ） A ．函数g （x ） 在（﹣∞，﹣1）上为增函数 B ．x ＝﹣1是函数g （x ）的极小值点 C ．函数 g （x ）必有2 个零点D ．e 2f （e ）＞e e f （2） 【解析】解：g ′（x ）=f′(x)−f(x)e x，∵（x +1）[f ′（x ）﹣f （x ）]＞0，∴当x ＜﹣1时，f ′（x ）﹣f （x ）＜0，当x ＞﹣1时，f ′（x ）﹣f （x ）＞0， ∴当x ＜﹣1时，g ′（x ）＜0，当x ＞﹣1时，g ′（x ）＞0，∴g （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故A 错误； x ＝﹣1是g （x ）的极小值点，故B 正确；g （x ）的极小值为g （﹣1）＝ef （﹣1），故当g （﹣1）＞0时，g （x ）没有零点，故C 错误；由g （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增可得g （2）＜g （e ），即f(2)e ＜f(e)e ，∴e e f （2）＜e 2f （e ），故D 正确． 故选：BD ．22．（2020秋•城厢区校级期中）已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．点F 的坐标为（1，0）B ．若A ，F ，B 三点共线，则OA →⋅OB →=−3C ．若直线OA 与OB 的斜率之积为−14，则直线AB 过点FD ．若|AB |＝6，则AB 的中点到x 轴距离的最小值为2【解析】解：抛物线x 2＝4y 中的p ＝2，则焦点F 坐标为（0，1），故A 错误， 设直线AB 的方程为y ＝kx +1，联立方程可得{x 2=4y y =kx +1，消y 可得x 2﹣4kx ﹣4＝0，∴x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4， ∴y 1y 2＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+1＝1，∴OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝﹣4+1＝﹣3，故B 正确， 设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，联立方程可得{x 2=4yy =kx +m ，消y 可得x 2﹣4kx ﹣4m ＝0，∴x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4m ，∴y 1y 2＝k 2x 1x 2+k （x 1+x 2）+m 2＝﹣4k 2m +4mk 2+m 2＝m 2， ∵直线OA 与OB 的斜率之积为−14，∴y1x1•y2x2=−14，即m2−4m =−14，解得m＝1，∴直线AB的方程为y＝kx+1，即直线过点F；故C正确，∵|AB|=√1+k2•√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2•√16k2+16m=6，∴4（1+k2）（k2+m）＝9，∴m=94(1+k2)−k2，∵y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝4k2+2m，∴AB的中点到x轴距离d＝2k2+m＝2k2+94(1+k2)−k2＝k2+94(1+k2)=k2+1+94(1+k2)−1≥2√(k2+1)⋅94(1+k2)−1＝3﹣1＝2，当且仅当k2=12时取等号，故AB的中点到x轴距离的最小值为2，故D正确．综上所述：结论正确的是BCD．故选：BCD．23．（2020秋•潍坊月考）已知函数f(x)=|x|e|x|+1，g(x)={f(x)，x≤0x2−2x+a，x＞0，且g（1）＝0，则关于x的方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0实根个数的判断正确的是（）A．当t＜﹣2时，方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0没有相异实根B．当−1+1e＜t＜0或t＝﹣2时，方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0有1个相异实根C．当1＜t＜1+1e时，方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0有2个相异实根D．当﹣1＜t＜−1+1e或0＜t≤1或t=1+1e时，方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0有4个相异实根【解析】解：当x≤0时，f(x)=|x|e|x|+1=−xe−x+1=−xe x+1，因为g（1）＝0，所以1﹣2+a＝0，所以a＝1，所以g(x)={−xe x +1，x ≤0x 2−2x +1，x ＞0，图象如图所示：当x ≤0时，﹣x ≥0，e x ＞0，则﹣xe x +1≥1，当且仅当x ＝0时等号成立，g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是增加的，在（﹣1，0）上是减少的； 当x ＞0时，f （x ）在（0，1）上是减少的，在（1，+∞）上是增加的， 故g （x ）≥g （﹣1）＝0恒成立．故g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是增加的，在（﹣1，1）上是减少的，在（1，+∞）上是增加的．令m ＝g （x ）﹣t ，则g （m ）﹣1＝0， 解得：m ＝0或m ＝2， 当m ＝0即g （x ）﹣t ＝0时， g （x ）＝t ，当t ＜﹣2时，g （x ）＜﹣2，无解， 当m ＝2即g （x ）﹣t ＝2时， g （x ）＝2+t ，当t ＜﹣2时，g （x ）＜0，无解，故方程g （g （x ）﹣t ）﹣1＝0没有相异实根， 故A 正确；当t ＝﹣2时，由A 可知：g （x ）＝0，解得x ＝1， 当−1+1e ＜t ＜0时，2+t ∈(1+1e ，2)，由上可知f （x ）在x ＝﹣1时取得极大值为g （﹣1）=1+1e ， 结合图象可知，此时y ＝2+t 与g （x ）有且仅有一个交点， 故B 正确；当1＜t ＜1+1e 时，g （x ）＝t 或g （x ）＝2+t ， 若g （x ）＝t ，结合图象可知g （x ）与y ＝t 有三个不同的交点，若g（x）＝2+t，2+t∈(3，3+1e )，此时g（x）与y＝t有一个交点，故方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0有4个相异实根，故C错误；当﹣1＜t＜−1+1e时，g（x）＝2+t∈(1，1+1e)，由C可知此时有三个不等实根，当0＜t≤1时，g（x）＝t或g（x）＝2+t，当g（x）＝t时，由图可知有两个不等实根，当g（x）＝2+t时，由图可知有一个实根，当t=1+1e时，g（x）＝t或g（x）＝2+t，当g（x）＝t时，由图可知有两个不等实根，当g（x）＝2+t时，由图可知有一个实根，故此时方程g（g（x）﹣t）﹣1＝0共有9个不等实根，故D错误．故选：AB．24．（2021•2月份模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=√22a，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到△BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的112D．异面直线AE，BF所成的角为定值【解析】解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，所以A正确；对于B，A到平面BDD1B1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为V三棱锥A﹣BEF=13•12EF•AB•BB1•sin45°=13×12×√22a×a×√22a=112a3，三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的112，正确；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：ABC．25．（2021春•芗城区校级月考）已知函数f（x）＝sin（3x﹣φ）（−π2＜φ＜π2）的图象关于直线x =π4对称，则（ ） A ．函数y ＝f （x ）的图象向左平移π12个单位长度得到的图象关于原点对称B ．函数y ＝f （x ）在[0，π4]上单调递增C ．函数y ＝f （x ）在[0，2π]有且仅有3个极大值点D ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为2π3【解析】解：∵函数f （x ）＝sin （3x ﹣φ）（−π2＜φ＜π2）的图象关于直线x =π4对称， 则3×π4−φ＝k π+π2，k ∈Z ，∴φ=π4，函数f （x ）＝sin （3x −π4）． 函数y ＝f （x ）的图象向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin （3x +3π12−π4）＝sin3x 的图象，显然所得图象关于原点对称，故A 正确；当x ∈[0，π4]，3x −π4∈[−π4，π2]，故函数y ＝f （x ）在[0，π4]上单调递增，故B 正确；当x ∈[0，2π]，3x −π4∈[−π4，23π4]，故当3x −π4=π2，5π2，9π2时，函数f （x ）取得最大值，故C 正确；若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为f （x ）的半个周期，即12×2π3=π3，故D错误， 故选：ABC ．26．（2020•威海一模）设函数f （x ）＝2cos2x ﹣2﹣cos2x，则（ ）A ．f （x ）在(0，π2)单调递增 B ．f （x ）的值域为[−32，32] C ．f （x ）的一个周期为πD ．f(x +π4)的图象关于点(π4，0)对称【解析】解：令t ＝cos2x ，t ∈[﹣1，1]，函数化为：f （x ）=2t −12t ，由复合函数的单调性可知，f （x ）在(0，π2)单调递减，不正确；函数的最大值为：2−12=32，最小值为：12−2=−32，所以f （x ）的值域为[−32，32]，正确；t ＝cos2x 的周期为：π，所以f （x ）的一个周期为π，正确；x =π4时，t ＝0，函数f （x ）＝0，所以函数f （x ）的图象关于点(π4，0)对称，不是f(x +π4)的图象关于点(π4，0)对称，所以D 不正确； 故选：BC ．27．（2020秋•顺德区月考）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ）A ．“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形B ．“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形C ．三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体“的体积为2√95D ．三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体“的外接球直径为√a 2+b 2+c 2 【解析】解：如图，将“等腰四面体”补成一个长方体，设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则{x 2+y 2=a 2y 2+z 2=b 2x 2+z 2=c 2，得x 2=a 2+c 2−b 22，y 2=a 2+b 2−c 22，z 2=b 2+c 2−a 22， 结合图形，容易判断出选项AB 都是正确的；对于C ，由a ＝5，b ＝6，c ＝7，得x =√19，y =√6，z =√30，因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积，所以“等腰四面体”的体积为xyz −4×13×12xyz =13xyz =2√95，故选项C 正确；对于D ，三组对棱长度分别为a ，b ，c 的“等腰四面体”的外接球直径为2R =√x 2+y 2+z 2≠√a 2+b 2+c 2，故选项D 错误． 故选：ABC ．28．（2020秋•湛江期中）已知a ＝log 3π，b ＝log π3，c =log π13，则（ ） A ．ab ＜a +b ＜b +cB ．ac ＜b +c ＜bcC ．ac ＜bc ＜b +cD ．b +c ＜ab ＜a +b【解析】解：∵0＜logπ3＜1＜log3π，∴0＜b＜1＜a，且c=logπ13＜0，∴ac＜bc＜0，b+c=logπ3+logπ13=0，∴ac＜bc＜b+c，即C正确，B错误；∵ab＝log3π•logπ3＝1，a+b＝log3π+logπ3＞1，∴b+c＜ab＜a+b，即D正确，A错误．故选：CD．29．（2020秋•琼山区校级期末）已知函数f（x）＝e x，g(x)=ln x2+12的图象与直线y＝m分别交于A、B两点，则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f（x）在A处的切线平行于曲线g（x）在B处的切线C．函数f（x）﹣g（x）+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f（x）在点A处的切线也是曲线g（x）的切线【解析】解：令f（x）＝e x＝m，得x＝lnm，令g(x)=ln x2+12=m，得x=2e m−12，则点A（lnm，m）、B(2e m−12，m)，如下图所示：由图象可知，|AB|=2e m−12−lnm，其中m＞0，令ℎ(m)=2e m−12−lnm，则ℎ′(m)=2e m−12−1m，则函数y＝h'（m）单调递增，且ℎ′(12)=0，当0＜m＜12时，h'（m）＜0，当m＞12时，h'（m）＞0．∴函数ℎ(m)=2e m−12−lnm在(0，12)上单调递减，在(12，+∞)上单调递增，∴|AB|min=ℎ(12)=2−ln12=2+ln2，A选项正确；∵f（x）＝e x，g(x)=ln x2+12，则f'（x）＝e x，g′(x)=1x，曲线y＝f（x）在点A处的切线斜率为f'（lnm）＝m，曲线y＝g（x）在点B处的切线斜率为g′(2e m−12)=12e m−12，令f′(lnm)=g′(2e m−12)，即m=12e m−12，即2me m−12=1，则m=12满足方程2mem−12=1，∴∃m使得曲线y＝f（x）在A处的切线平行于曲线y＝g（x）在B处的切线，B选项正确；构造函数F(x)=f(x)−g(x)+m=e x−ln x2+m−12，可得F′(x)=e x−1x，函数F′(x)=e x−1x在（0，+∞）上为增函数，由于F′(1e)=√e−2＜0，F'（1）＝e﹣1＞0，则存在t∈(12，1)，使得F′(t)=et−1t=0，可得t＝﹣lnt，当0＜x＜t时，F'（x）＜0；当x＞t时，F'（x）＞0．∴F(x)min=F(t)=e t−ln t2+m−12=e t−lnt+m+ln2−12=1t+t+m+ln2−12＞2√t⋅1t+m+ln2−12=32+ln2+m＞0，∴函数F（x）＝f（x）﹣g（x）+m没有零点，C选项错误；设曲线y＝f（x）在点A处的切线与曲线y＝g（x）相切于点C（n，g（n）），则曲线y＝f（x）在点A处的切线方程为y﹣m＝e lnm（x﹣lnm），即y＝mx+m（1﹣lnm），同理可得曲线y＝g（x）在点C处的切线方程为y=1nx+ln n2−12，∴{m=1nm(1−lnm)=ln n2−12，消去n得m−(m−1)lnm+ln2+12=0，令G(x)=x−(x−1)lnx+ln2+12，则G′(x)=1−x−1x−lnx=1x−lnx，函数y＝G'（x）在（0，+∞）上为减函数，∵G'（1）＝1＞0，G′(2)=12−ln2＜0，则存在s∈（1，2），使得G′(s)=1s−lns=0，且s=e1s．当0＜x＜s时，G′（x）＞0，当x＞s时，G′（x）＜0．∴函数y＝G（x）在（2，+∞）上为减函数，∵G(2)=52＞0，G(8)=172−20ln2＜0，由零点存定理知，函数y＝G（x）在（2，+∞）上有零点，即方程m −(m −1)lnm +ln2+12=0有解． ∴∃m 使得曲线y ＝f （x ）在点A 处的切线也是曲线y ＝g （x ）的切线． 故选：ABD ．30．（2020秋•渝中区校级月考）在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABC ，△BCD 都是边长为2√3的正三角形，AD ＝a （0＜a ＜6），M 是棱AC 的中点，则在a 的变化过程中，下列说法正确的是（ ）A ．直线AD 与直线BC 所成的角都为π2B ．当a =2√3时，三棱锥A ﹣BCD 的体积取得最大值C ．当a =3√3时，三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积为28π D ．存在某个实数a ，使得∠MBD ＝90°【解析】解：对于A ：取BC 的中点E ，如图1所示：图（1）则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，则BC ⊥平面ADE ，故AD ⊥BC ， 故选项A 正确；对于B ：因为棱长为2√3，则AE ＝DE ＝3，故当AE ⊥平面BCD 时，三棱锥的A ﹣BCD 的体积取得最大值，则a =3√2，故B 错误； 对于C ：当a =3√3时，∠AED ＝120°，分别取平面ABC 和平面BCD 的外心O 1，O 2， 如图2所示：图（2），可求得|O 1E |＝|O 2E |＝1，|O 2B |＝|O 2C |＝|O 2D |＝2，过|O 2D|2+|OO 2|2=7分别作平面ABC 和平面BCD 的垂线交点为O ，则平面图如图2， 因为∠AED ＝120°，则∠O 1EO 2＝120°，则∠OEO 2＝60°，则|OO2|=√3，则外接球半径R2=|O2D|2+|OO2|2=7，故球的表面积为4πR2＝28π，故C正确；对于D：如图3所示：图（3），当A∈平面BCD时，A与G点重合，故A在平面BCD的投影为GD，因为M是棱AC的中点，故M在平面BCD的投影为M1M2，其中M1，M2分别是GC，CD的中点，因为∠MBD＝90°，则∠M'BD＝90°，其中M'在M1M2上，则M'与M1重合，此时a＝6，故不成立，则D错误；综上所述，故选：AC．31．（2020秋•渝中区校级月考）函数f（x）＝lnx+1，g（x）＝e x﹣1，下列说法正确的是（）（参考数据：e2≈7.39，e3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10）A．存在实数m，使得直线y＝x+m与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切B．存在实数k，使得直线y＝kx﹣1与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切C．函数g（x）﹣f（x）在区间(23，+∞)上不单调D．当x∈（0，1）时，g(x)−f(x)＞16恒成立【解析】解：对于选项A，B是考查公切线问题，设直线l分别与y＝f（x）与y＝g（x）分别相切于点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1=f(x1)=lnx1+1，y2=g(x2)=e x2−1，且f′(x)=1x，g′(x)=ex，故1x1=e x2，且lnx1+1−e x2+1x1−x2=e x2，−x2−e x2+21e x2−x2=e x2，化简得(e x2−1)(x2−1)=0，故x2＝0或x2＝1，故公切线y＝kx+b的斜率为k＝1或ℎ′(23)＞0，对应的截距分别是b＝0或b＝﹣1，故公切线为y＝x或y＝ex﹣1，故选项A，B都正确；对于选项C，D：是考查g（x）﹣f（x）的问题，令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝e x﹣lnx﹣2，则ℎ′(x)=e x−1x，ℎ″(x)=ex+1x2，故x＞0时，ℎ″(x)=e x+12＞0，ℎ′(x)=e x−1x在（0，+∞）上单调递增，又ℎ′(23)=e23−32，e2−278=7.39−278＞0，则ℎ′(23)＞0，故x∈(23，+∞)时，h'（x）＞0，故函数g（x）﹣f（x）在区间(23，+∞)上单调递增，故选项C错误；又ℎ′(12)=√e−2＜0，ℎ′(23)＞0，故存在x0∈(12，23)，使得h'（x0）＝0，即e x0−1x=0，lnx0＝﹣x0，且x∈(12，x0)时，h'（x）＜0，x∈（x0，1）时，h'（x）＞0，故h（x）在x∈(12，x0)上单调递减，在x∈(x0，23)上单调递增，则h（x）≥h（x0），ℎ(x0)=e x0−lnx0−2=1x0+x0−2＞32+23−2=16，故选项D正确．故选：ABD．32．（2020秋•霞山区校级月考）已知定义在R上的奇函数f（x）满足以下条件：①f（2﹣x）＝f（2+x），②f（x）在区间（0，2]内单调递增，③f（1）＝0，则以下判断正确的是（）A．f（x）是周期函数，最小正周期是8B．f（x）的图象关于直线x＝2对称C．f（x）在区间（﹣5，5）上有9个零点D．当x∈（﹣3，﹣1）时，f（x）＞0【解析】解：由f（2﹣x）＝f（2+x）得函数关于x＝2对称，故B正确，∵f（x）是奇函数，∴f（2﹣x）＝f（2+x）＝﹣f（x﹣2），即f（x+4）＝﹣f（x），则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），即函数是周期函数，最小正周期为8，故A正确，∵f（x）在区间（0，2]内单调递增，∴f（x）在区间[﹣2，0）内单调递增，∵f（1）＝0，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，f（3）＝f（1）＝0，f（﹣3）＝f（3）＝0，f （4）＝f（0）＝0，f（﹣4）＝0，即f（x）在区间（﹣5，5）上有7个零点，故C正确，当x∈（﹣3，﹣1）时，f（x）＜0，故D错误，故选：AB．三．填空题（共18小题）33．（2021•天津）设a+b＝2，b＞0，则当a＝﹣2时，12|a|+|a|b取得最小值．【解析】解：法一：∵a+b＝2，b＞0，∴12|a|+|a|b=12|a|+|a|2−a，（a＜2）设f（a）=12|a|+|a|2−a，（a＜2），画出此函数的图象，如图所示．利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=−12a+a a−2，f′（a）=12−2(a−2)2=−(3a−2)(a+2)2a2(a−2)2，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a＝﹣2时，12|a|+|a|b取得最小值34．同样地，当0＜a＜2时，得到当a=23时，12|a|+|a|b取得最小值54．综合，则当a＝﹣2时，12|a|+|a|b取得最小值．法二：因为a+b＝2，b＞0，要取得最小值，则a＜0，则12|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，≥a4|a|+2√b4|a|⋅|a|b=a4|a|+1=−14+1=34，当且仅当b4|a|=|a|b，a＜0时取等号，此时b＝﹣2a，因为a+b＝2，所以a＝﹣2，b＝4，故答案为：﹣2．34．（2021春•扬中市校级月考）红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布N（0.1，0.32），从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间（0.4，0.7）内的概率为13.59%．（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝68.27%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝95.45%）【解析】解：由红外线自动测温门测量体温误差服从正态分布N（0.1，0.32），得μ＝0.1，σ＝0.3．∴测量体温误差在区间（0.4，0.7）内的概率为：P（0.4＜ξ＜0.7）＝P（μ+σ＜ξ＜μ+2σ）=12[P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）]＝13.59%．故答案为：13.59%．35．（2020秋•下城区校级月考）若存在两个正实数x ，y 使等式x +m （y ﹣x ）（lny ﹣lnx ）＝0成立，（其中e ＝2.71828…），则实数m 的取值范围是 （﹣∞，0） ． 【解析】解：方程变形为m =x(x−y)(lny−lnx)，所以1m=(x−y)(lny−lnx)x=(1−y x)⋅ln y x，设t =yx＞0 且t ≠1，设g （t ）＝（1﹣t ）lnt ， 那么g ′(t)=−lnt +(1−t)⋅1t =−lnt +1t −1， g ″(t)=−1t−1t 2=−t+1t 2＜0 恒成立， 所以g '（t ）是单调递减函数， 当t ＝1时，g '（1）＝0，当t ∈（0，1）时，g '（t ）＞0，函数单调递增， 当t ∈（1，+∞），g '（t ）＜0，函数单调递减， 所以g （t ）在t ＝1时，取得最大值，g （1）＝0， 即1m＜0，解得：m ＜0，故答案为：（﹣∞，0）．36．（2020秋•海曙区校级期中）在△OAB 中，已知|OB →|=√2，|AB →|=1，∠AOB ＝45°，点P 满足OP →=λOA →+μOB →，其中2λ+μ＝3，|OP →|的最小值为 3√55． ．【解析】解：∵|OB →|=√2，|AB →|=1，∠AOB ＝45°， ∴AB sin45°=OB sinA，即√22=√2sinA，则sin A ＝1，即A ＝90°， 即△OAB 为等腰直角三角形，则OA ⊥AB ， 则OB →=OA →+AB →，∵OP →=λOA →+μOB →，2λ+μ＝3，∴OP →=λOA →+μOB →=（λ+μ）OA →+μAB →=（λ+3﹣2λ）OA →+（3﹣2λ）AB →=（3﹣λ）OA →+（3﹣2λ）AB →．则|OP →|2＝（3﹣λ）2OA →2+（3﹣2λ）2AB →2＝（3﹣λ）2+（3﹣2λ）2＝5λ2﹣18λ+18＝5（λ−95）2+95，即当=95时，取得最小值95，此时|OP →|的最小值为√95=3√55，故答案为：3√55．37．（2020•拉萨二模）设函数f （x ）＝e x （2x ﹣1）﹣ax +a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）＜0，则a 的取值范围是 [32e，1） ．【解析】解：函数f （x ）＝e x （2x ﹣1）﹣ax +a ，其中a ＜1， 设g （x ）＝e x （2x ﹣1），y ＝ax ﹣a ， ∵存在唯一的整数x 0，使得f （x 0）＜0，∴存在唯一的整数x 0，使得g （x 0）在直线y ＝ax ﹣a 的下方， ∵g ′（x ）＝e x （2x +1）， ∴当x ＜−12时，g ′（x ）＜0，∴当x =−12时，[g （x ）]min ＝g （−12）=−2e −12．当x ＝0时，g （0）＝﹣1，g （1）＝e ＞0，直线y ＝ax ﹣a 恒过（1，0），斜率为a ，故﹣a ＞g （0）＝﹣1， 且g （﹣1）＝﹣3e ﹣1≥﹣a ﹣a ，解得32e≤a ＜1．∴a 的取值范围是[32e，1）．故答案为：[32e，1）．38．（2020秋•福州期中）设S n是数列{a n}的前n项和，满足a n2+1＝2a n S n，且a n＞0，则S64＝8．【解析】解：由a n2+1＝2a n S n，可得（S n﹣S n﹣1）2+1＝2（S n﹣S n﹣1）S n（n≥2），整理可得，S n2﹣S n﹣12＝1，又当n＝1时，a12+1＝2a1S1，解得S12＝1，所以数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2＝n，由a n＞0，可得S n＞0，故S n=√n，所以S64=√64=8．故答案为：8．39．（2020秋•厦门期末）2020年是苏颂诞辰1000周年．苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处．此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P至少经过12分钟（结果取整数）进入水中．（参考数据：cos π15≈0.98，cos2π15≈0.91，cosπ5≈0.81）【解析】解：设x分钟后P点转至A点，和水面重合，OP＝OA＝r＝1.7m，如图所示：，则x分钟后，OB＝1.19+0.017x，∴cos∠AOB=OBOA=1.19+0.017x1.7=0.7+0.01x，∵转一圈需要30分钟，∴每分钟转12°，当∠AOB＝24°时，x＝13，代入得：0.91≠0.7+0.01×13（舍去），当∠AOB＝36°时，x＝12，代入得：0.81≈0.7+0.01×12，可取，∴点P至少经过12分钟进入水中．故答案为：12．40．（2020•房山区二模）已知函数f（x）＝x|2x﹣a|﹣1．①当a＝0时，不等式f（x）+1＞0的解集为（0，+∞）；②若函数f（x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（2√2，+∞）．【解析】解：①当a＝0时，不等式f（x）+1＞0⇔x|2x|﹣1+1＞0，即2x|x|＞0，若x＜0，得﹣2x2＞0，不合题意；若x＝0，得0＞0，不合题意；若x＞0，得2x2＞0，则x＞0．综上，当a＝0时，不等式f（x）+1＞0的解集为（0，+∞）；②若函数f（x）有三个不同的零点，即方程x|2x﹣a|﹣1＝0有3个不同根．即|2x﹣a|=1x有三个解，令y ＝|2x ﹣a |，则y =1x {2x −a ，x ≥a2a −2x ，x ＜a2，画出两个函数的图象，如图：x ＜a 2，y =1x ，由y ′=−1x 2=−2，解得x =√22，x =−√22（舍去）， 此时切点坐标（√22，√2），代入y ＝a ﹣2x ，可得a ＝2×√22+√2=2√2， 函数f （x ）＝x |2x ﹣a |﹣1有三个零点， 则实数a 的取值范围为（2√2，+∞）． 故答案为：（0，+∞）；（2√2，+∞）．41．（2020•和平区校级一模）已知平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，|AD →|＝6，E 为线段BC 的中点，若F 为线段DE 上的一点，且AF →=λAB →+56AD →，则λ＝ 13；AF →⋅AE→的值为 9 ．【解析】解：根据题意，作出如下所示图形，∵E 为线段BC 的中点，∴AB →=AE →+EB →=AE →−12BC →=AE →−12AD →．∵AF →=λAB →+56AD →，且D 、E 、F 三点共线，∴AF →=λ（AE →−12AD →）+56AD →=λAE →+（56−λ2）AD →，∴λ+56−λ2=1，解得λ=13．∵平行四边形ABCD 的面积为9√3，∠BAD =2π3，|AD →|＝6，∴9√3=2×12|AB |•|AD |sin ∠BAD ＝|AB |×6sin2π3，解得|AB |＝3．∴AF →⋅AE →=（13AB →+56AD →）•（AB →+12AD →）=13AB →2+AB →⋅AD →+512AD →2=13×9+3×6×cos 2π3+512×36=9．故答案为：13；9．42．（2020秋•顺德区月考）已知直线l ：2x +y ﹣2＝0过抛物线C ：y 2＝mx 的焦点F ，且与y 轴交于点P ，M 是抛物线C 上一点，O 为坐标原点，FM 的中点Q 满足PQ →=λ（PM→|PM →|+PO→|PO →|），则∠PMF ＝ 90° ，点M 的坐标为 （1，2） ．【解析】解：令直线中y ＝0，可得x ＝1，由题意可得抛物线的焦点为（1，0），P （0，2）， 所以m 4=1，所以m ＝4，即抛物线的方程为：y 2＝4x ， 因为PQ →=λ（PM→|PM →|+PO →|PO →|），所以PQ 平分∠OPM ，作QN ⊥y 轴于N ，作MM 1⊥y 轴于M 1，交抛物线的准线于M 2， 则2|QN |＝|MM 1|+|OF |＝|MM 2|＝|MF |， 所以|QN |=12|MF |＝|QM |， 由PQ 平分∠OPM ，所以QM ⊥PM ，可得∠PMF ＝90°， 则M 在以线段PF 为直径的圆上，设M （x 0，y 0），则（x 0﹣1）2+（y 0﹣1）2=54，将x 0=y 024，代入 y 0（y 03+12y 0﹣32）＝0，且y 0≠0，所以y 03+12y 0﹣32＝0⇒（y 0﹣2）（y 02+2y 0+16）＝0， 解得：y 0＝2，可得x 0＝1， 所以M 的坐标（1，2）， 故答案为90°，（1，2）．。
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(七)(原卷版)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）一．选择题（共20小题）1．（2020秋•梅河口市校级月考）已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈都满足(1)(1)f x f x +=-，当1x 时，,01(),0x lnx x f x e x <⎧=⎨⎩．（其中e 为自然对数的底数），若函数()||2g x m x =-与()y f x =的图象恰有两个交点，则实数m 的取值范围是( ) A ．0m 或m e =B ．302m< C ．32m e << D ．m e >2．（2020秋•湖州期末）已知函数22()(1)(1)(02a f x a lnx x a a xb x =-++--+>，a R ∈，)b R ∈．若函数()f x 有三个零点，则( ) A ．1a >，0b <B ．01a <<，0b >C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b <3．（2020秋•湖州期末）已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60︒，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=︒，则四面体ABCD 体积的最大值是( )A B C ．83D ．434．（2020秋•海珠区期末）几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段，某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成30︒角，则该椭圆的离心率为( )A B C D ．125．（2020秋•安徽期末）已知P 为直线:60l x y -+=上一个定点，M ，N 为圆22:4210C x y y ++-=上两个不同的动点．若MPN ∠的最大值为60︒，则点P 的横坐标为( )A ．4-B ．3-C ．4-D ．3-6．（2020•广西一模）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]64ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．1]B ．C ．D ． 7．（2020•闵行区二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为地面ABCD 内一动点，设1PD 、PE 与地面ABCD 所成的角分别为1θ、21(θθ、2θ均不为0)，若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线8．（2020秋•泉州期末）若(,,0)OA m n =，4(0,,)OB p n =，(0F ，1，0)，||1AF m =+，||1BF p =+，则m p+的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．69．（2020•成都四模）如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是( )A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6，8]D ．[8，12]10．（2020秋•眉山期末）设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12||||PF PF <，线段1||PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值( ) A ．2B ．4C ．6D ．811．（2020秋•眉山期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在棱1C C ，11D C 上，且12C E EC =，112D F FC =，下列几个命题：①异面直线1A D 与BF 垂直；②过点B ，E ，F 的平面截正方体，截面为等腰梯形； ③三棱锥1B BEF -的体积为32；④过点1B 作平面α，使得AE α⊥，则平面α． 其中真命题的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．112．（2020秋•阜阳期末）直四棱柱1111ABCD A B C D -的每个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 为平行四边形．若2AB AD =，侧面11ADD A 的面积为O 表面积的最小值为( ) A ．32πB ．36πC ．40πD ．50π13．（2020秋•阜阳期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 上一点，12120F PF ∠=︒，△12F PF 的内切圆与外接圆的半径分别为1r ，2r ，若216r r =，则C 的离心率为( )A B C ．1920D ．91014．（2020秋•玉林期末）在三棱锥P ABC -中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，2PA AC ==，3AB =．当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A B C D 15．（2020秋•玉林期末）已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线(0)y x =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，则22||2||AF BF +的最小值是( ) A ．36B ．48C ．72D ．9616．（2020秋•信阳期末）已知圆221:(3)(1C x y -+-=和焦点为F 的抛物线22:8C y x =，点N 是圆1C 上一点，点M 是抛物线2C 上一点，则||||MF MN +的最小值为( )A ．1B ．C ．4D ．517．（2020秋•蚌埠期末）直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则( ) A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直18．（2020秋•菏泽期末）某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a 1，a 2，a 3，…．则2035年年底存栏头数为（ ）（参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4） A ．1005B ．1080C ．1090D ．110519．（2020秋•顺德区期中）已知函数f （x ）＝ln （2|x |﹣1）+x 2﹣1，则不等式xf （x ﹣2）＜0的解集是（ ） A ．（﹣∞，0）∪（2，3）B ．（﹣3，﹣1）∪（0，+∞）C ．（﹣∞，0）∪（1，2）∪（2，3）D ．（﹣3，0）∪（0，2）∪（2，+∞）20．（2020秋•佛山期末）已知函数f （x ）x 4ax 2+ax ，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在实数a ，使f （x ）有最小值且最小值大于0 B ．对任意实数a ，f （x ）有最小值且最小值大于0C ．存在正实数a 和实数x 0，使f （x ）在（﹣∞，x 0）上递减，在（x 0，+∞）上递增D ．对任意负实数a ，存在实数x 0，使f （x ）在（﹣∞，x 0）上递减，在（x 0，+∞）上递增 二．多选题（共12小题）21．（2020秋•荆州期末）已知点1(2A -，0)，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，直线AP交y 轴于点M ，且2AP AM =，则下列表述正确的是( ) A ．点P 的纵坐标为1B ．APF ∆为锐角三角形C ．点A 与点F 关于坐标原点对称D ．点P 的横坐标为1222．（2020秋•海珠区期末）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于2，离心率，过焦点1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为2213y x +=B ．椭圆C 的方程为2213x y +=C ．||PQ =D ．△2PF Q 的周长为23．（2020秋•泉州期末）已知图1中，A ，B ，C ，D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB ，BC ，CD ，DA 把ABF ∆，BCG ∆，CDH ∆，DAE ∆向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则( )A ．AEF ∆是正三角形B ．平面AEF ⊥平面CGHC ．直线CG 与平面AEF 所成角的正切值为2D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为8324．（2020秋•衡阳县期末）在平行四边形ABCD 中，||||,3,2AB AD AB AD DE EC CF FB +=-==，且18AE AF ⋅=，则平行四边形ABCD 的面积可能为( )A ．17B ．18C ．19D ．2025．（2020秋•衡阳县期末）如果函数32()f x ax x =-，那么下列命题为真命题的是( ) A ．()f x 的导函数可能是奇函数 B ．若0a >，则0x =是()f x 的极小值点 C ．直线1y x =-可能与曲线()y f x =相切D ．若()f x 在2[,)3+∞上单调递增，则a 的取值范围是[1，)+∞26．（2020秋•泉州期末）已知(1,0)A ，(4,0)B ，圆22:4C x y +=，则以下选项正确的有( ) A ．圆C 上到B 的距离为2的点有两个B ．圆C 上任意一点P 都满足||2||PB PA =C ．若过A 的直线被圆C 所截得的弦为MN ，则||MN 的最小值为D ．若点D 满足过D 作圆C 的两条切线互相垂直，则||BD 的最小值为4-27．（2020秋•菏泽期末）设函数()(1)()f x x x x a =--，则下列结论正确的是( )A ．当4a =-时，函数()f x 在1[1,]2-上的平均变化率为194-B ．当1a =时，函数()f x 的图象与直线1y =-有1个交点C ．当2a =时，函数()f x 的图象关于点(0,1)中心对称D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a 时，12()()0f x f x28．（2020秋•菏泽期末）已知椭圆C ：的左、右焦点分别为F 1，F 2，其长轴长是短轴长的，若点P 是椭圆上不与F 1，F 2共线的任意点，且△PF 1F 2的周长为16，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为 B ．C 的离心率为C ．双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限内的交点为D ．点Q 是圆x 2+y 2＝25上一点，点A ，B 是C 的左、右顶点（Q 不与A ，B 重合），设直线PB ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，若A ，P ，Q 三点共线，则25k 1＝16k 2 29．（2020秋•深圳期末）已知a ＞b ＞0，且a +b ＝1，则（ ） A ．log a b ＞log b a B ．C ．a b ＜b aD ．2a ﹣2b ＞2﹣b ﹣2﹣a30．（2020秋•顺德区期中）已知函数，方程f （x ）﹣x ＝0在区间[0，2n ]（n ∈N *）上的所有根的和为b n ，则（ ）A ．f （2020）＝2019B ．f （2020）＝2020C ．b n ＝22n ﹣1+2n ﹣1D ．31．（2020秋•常州期末）已知曲线y ＝sin （）（ω＞0）在区间（0，1）上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在ω，使sin （） B ．存在ω，使sin （）C ．有且仅有一个x 0∈（0，1），使sin （ωx 0）D ．存在x 0∈（0，1），使sin （ωx 0）＜032．（2020秋•佛山期末）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，M 为BB 1的中点，过B 1M 作长方体的截面α交棱CC 1于N ，则（ ）A ．截面α可能为六边形B ．存在点N ，使得BN ⊥截面αC ．若截面α为平行四边形，则1≤CN ≤2D ．当N 与C 重合时，截面面积为 三．填空题（共18小题）33．（2020秋•成都月考）对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足对1x ∀，2x D ∈且12x x ≠时都有1212()(()())0x x f x f x --，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[0，2]上的“非减函数”且f （2）2=，()(2)2f x f x +-=，又当3[2x ∈，2]，()2(1)f x x -恒成立，有下列命题：①f （1）1=②33()22f =③3[2x ∀∈，2]，()1f x④192527()()()()414161814f f f f +++=其中正确的所有命题的序号为 ．34．（2020秋•荆州期末）在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足||||PA PB λ=，当入0>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，A ，B 为双曲线的左、右顶点，C ，D 为双曲线的虚轴端点，动点P 满足||2||PA PB =，PAB ∆面积的最大值为643，PCD ∆面积的最小值为4，则双曲线的离心率为 ．35．（2020秋•湖州期末）已知x ，y R ∈，且3x y +=的最小值是 ．36．（2020秋•海珠区期末）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点且斜率为3的直线，与双曲线的左、右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是 .（用区间表示）37．（2020秋•安徽期末）已知点(,)P m n 是抛物线214y x =-上一动点，的最小值为 ．38．（2020春•普洱期末）在菱形ABCD 中，3A π=，AB =ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，三棱锥P BCD -的外接球球心为O ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为 ．39．（2020秋•泉州期末）设正项数列{}n a 的前n 项和1(3)6n n n S a a =+，则n a = ；若对任意的*n N ∈，不等式248(1)n n n S a +-恒成立，则的取值范围是 ．40．（2020秋•眉山期末）实数x ，y 满足||||1x x y y +=，则点(,)x y 到直线10x y ++=的距离的取值范围是 ．41．（2020秋•阜阳期末）已知函数4,1()2,1x a x f x x a x +-⎧=⎨++<⎩，21()|log ()2|g x x x =+-，若函数(())y f g x =恰有6个零点，则实数a 的取值范围是 ．42．（2020秋•衡阳县期末）若对任意的i ，*j N ∈且i j ≠，总存在*n N ∈，使得()n i j a a a i j n =⋅+，则称数列{}n a 是“T 数列”．现有以下四个数列：①{31}n +；②{41}n -；③{3}n ；④2{1}n +．其中所有“T 数列”的序号为 ．43．（2020秋•玉林期末）已知双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点分别是1F ，2F ，点M 关于1F ，2F 对称的点分别是A ，B ，线段MN 的中点在双曲线C 的右支上，则||||AN BN -= ．44．（2020秋•信阳期末）伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，30AB m =，BC =，50CD m =，45ABC BCD ∠=∠=︒，要建设一条从点A 到点D 的空中长廊，则AD = m ．45．（2020秋•蚌埠期末）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则三棱锥P ABC -的体积为 ． 46．（2020秋•菏泽期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点F 与双曲线221(0)3x y λλλ-=>的右焦点相同，则双曲线的方程为 ，过点F 分别作两条直线1l ，2l ，直线1l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线2l 与抛物线C 交于D ，E 两点，若1l 与2l 的斜率的平方和为1，则||||AB DE +的最小值为 ．47．（2020秋•顺德区期中）三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在半径为2的球面上，已知△ABC 是边长为2的正三角形，P A ＝PB ，则△P AB 面积的最大值为 ．48．（2020秋•佛山期末）已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 上，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝1，AD ＝2，AC＝5，平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥PD，则球O的体积为．49．（2020秋•佛山期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l交x轴于点K，过F作倾斜角为α的直线与C交于A，B两点，若∠AKB＝60°，则sinα＝．50．（2020秋•宣城期末）椭圆的左焦点为F，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b）分别为其三个顶点．直线CF与AB交于点D，若椭圆的离心率，则tan∠BDC＝．。
2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编(五)(原卷版)
2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）一、单选题 1．（2022·广东汕头·高三阶段练习）直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()3ln e g x x =的公切线，则b =（ ） A ．2e ln 3B ．3e ln 3C ．3D ．()2ln 3e2．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知函数()()()()()222sin 2π2π3,R 216,x a x a f x a x a x a x a ⎧-<⎪=∈⎨-++-+≥⎪⎩，若()f x 在区间()0,∞+内恰好有7个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．5817,,3236⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B ．581711,,2363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦C ．51711,3,263⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦D ．81711,3,363⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦3．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）设函数()ln ,0πsin ,π04xx x f x x x ω⎧>⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩有4个不同零点，则正实数ω的范围为（ ） A ．913,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．913,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．913,44⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．913,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知三棱锥D ABC -的顶点都在球O 的球面上，底面ABC 为等边三角形，且其所在圆1O 的面积为6π.若三棱锥D ABC -的体积的最大值为3O 的体积为（ ）A ．2563π B ．3436π C ．256π D ．3432π 5．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知菱形ABCD 的边长为2，且60DAB ∠=，沿BD 把ABD △折起，得到三棱锥A BCD '-，且二面角A BD C '--的平面角为60°，则三棱锥A BCD '-的外接球的表面积为（ ）． A ．13π9B ．52π9C ．3π5D ．2π36．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz-的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．37．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2022·湖北武汉·高三开学考试）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与双曲线右支交,A B 两点，设AB 中点为P ，若1||AB P =，且145F PA ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）AB C D 9．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数()()πsin 0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，π6x =是()f x 的一个极值点，π6x =-是与其相邻的一个零点，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．210．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知20212022e a -=，12022b =，2023ln 2022c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知数列{}n a 满足220(1)21,650nn n a a n S +⋅-+=-=，则23a =（ ） A ．231B ．234C ．279D ．27612．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，圆222:O x y a +=与E 的一条渐近线的一个交点为M .若212MF F =，则E 的离心率为（ ）AB C D 13．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知0.40.7e a =， 1.4b eln =，0.98c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>14．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知函数()()πsin 04,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<< ⎪⎝⎭，若π2π263f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．πππ5π,,Z 26212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππππ,,Z 21226k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．π2ππ+,π+,Z 63k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦D ．πππ,π+,Z 36k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦15．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为A ．0a ≥B ．2a ≥-C ．52a ≥-D ．3a ≥-16．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知函数23ln ,1()46,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，若不等式()2f x x a ≥-对任意(0,)x ∈+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为A ．13,3e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[3,3ln 5]+C ．[3,4ln 2]+D ．[2,5]17．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知函数1()323xxf x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(),2(1,)-∞-+∞C ．()2,1-D ．(1,2)-18．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）设x ，y 为正实数，则433xyM x y x =++的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题19．（2022·广东汕头·高三阶段练习）若π02b a <<<，则（ ） A ．11e 2e 2e e b aa ba b ++>++ B ．e e e e a b b a b a ->- C ．sin sin a b b b a a +<+D ．sin cos sin b a a >20．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）如图，正方形ABCD 中，CD a =，3DE EC =，将ADE 沿AE 翻折到AEP △位置，点P ∉平面ABCD 内，记二面角P AB C 大小为θ，在折叠过程中，满足下列什么关系（ ）A ．四棱锥P ABCE V -最大值为38aB ．角θ可能为61C ．15tan 16θ≤D．tan θ≤21．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）下列判断，正确的选项有（ ） A ．若()f x 的图象关于点(,0)a 对称()f a kx ⇔-是奇函数(0)k ≠ B ．曲线 ()()2212y f x f x =-+-的图象关于直线12x =对称； C ．函数()f x 定义在R 上的可导函数，其导函数()'f x 为奇函数，则()f x 为偶函数． D ．函数()f x 定义在R 上的可导函数，导函数()'f x ，且()32f x '+是偶函数，则()f x 的图象关于点(2,(2))f 对称．22．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124A B AB ==，12AA =，则（ ）．AB．该棱台的表面积为16+C．该棱台的体积为D23．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）过平面内一点P 作曲线|ln |y x =两条互相垂直的切线12,l l ，切点为P 1、P 2(P 1、P 2不重合），设直线12,l l 分别与y 轴交于点A ，B ，则下列结论正确的是（ ）A ．P 1、P 2两点的横坐标之积为定值B ．直线P 1P 2的斜率为定值C ．线段AB 的长度为定值D ．三角形ABP 面积的取值范围为(0，1]24．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）若1201x x ，则（ ）A ．21211e e ln1x xx x +->+ B ．21211e e ln1x xx x +-<+ C ．1221e e x xx x > D ．1221e e x xx x <25．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）已知函数()()2e 21R xf x ax x a =+++∈，下列说法不正确的是（ ）A ．当3a >-时，函数()f x 仅有一个零点B ．对于R a ∀∈，函数()f x 都存在极值点C ．当1a =-时，函数()f x 不存在极值点D ．R a ∃∈，使函数()f x 都存在3个极值点26．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中k ∈N ；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；27．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知函数1()e ln x f x x -=+，则过点(,)a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（ ） A ．211b a =-> B ．211b a =-< C ．21()a b f a -<<D ．211b a <--28．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）在平面四边形ABCD 中，10,0,||||1,2AB BC AD CD AB AD AD BA ⋅=⋅===⋅=，若点E 为线段CD 上的动点，则AE BE ⋅的值可能为（ ） A ．1B ．2116C ．2D ．7229．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数()y f x =对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均满足()()cos sin ln f x x f x x x +='，其中()f x '是()f x 的导函数，则下列不等式成立的是（ ）A ππ2364⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()ππ231124f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()π5π312312f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．)π5π312312f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭30．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层，第1层有1个球，第2层有3个球；…；第堆有n 层，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，……，第n 层有n a 个球.记第n 堆的球的总数为n S ，则（参考公式：()()222211231216n n n n +++⋅⋅⋅+=++）（ ）A ．()12n n a a n n -=+≥B ．()12n n n a -=C ．()()1122n n n n S S +++=+D ．()()1126n S n n n =++31．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，()()2f x f x -=-，且当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则（ ）A ．()f x 的图像关于点()1,0-对称B ．()f x 在区间[]5,6上单调递减C ．若关于x 的方程()f x m =在区间[]0,6上的所有实数根的和为253，则23m =- D ．函数()ln y f x x =-有4个零点32．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）对于函数()2ln xf x x =，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在x 12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．f ff <<⎝⎭D ．若()21f x k x <-在(0,)+∞上恒成立，则2e k > 33．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点()1,0对称.以下关于()f x 的结论正确的有（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()f x 满足()()4f x f x =- C ．()f x 在()0,2上单调递减 D ．()πcos2xf x =是满足条件的一个函数34．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()()cos g x f x x =为奇函数B ．函数()[()(2)]h x x f x f =-有且只有3个零点C ．不等式[()(2)]0x f x f -≤的解集为(,2][0,2]-∞-D ．()f x 的解析式可能为2()x x f x e e x -=+- 三、填空题35．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________.36．（2022·广东汕头·高三阶段练习）已知双曲线C 的左､右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点.若222AF F B =，1AB BF =，则C 的离心率为___________. 37．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）直线l 过抛物线22 (0)y px p =>的焦点(1,0)F 且与抛物线交于A 、B 两点，则2||||AF BF -的最小值为___________. 38．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知()()223f x x a x a b =+-++，若存在常数a ，使()0f x ≥恒成立，则b 的取值范围是______.39．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 40．（2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习）已知2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，()g x 为三次函数，其图象如图所示.若()()y f g x m =-有9个零点，则m 的取值范围是___________.41．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的面积为2，其中AB ⊥AC ，点O ，M ，N 分别在线段BC ，AB ，AC 上，AO ⊥BC 且23MON π∠=，当点M ，N 在对应线段上运动时（含端点位置），2211OMON+的最大值为______．42．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习）已知函数()()ln202x af x ae a x =+->+，若()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为______. 43．（2022·湖北武汉·高三开学考试）在四棱锥P ABCD -中，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒，且APC BPD ∠=∠，,PB PD PA ==锥存在半径为1的内切球，则PC_______.44．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知函数()e e 21x x f x x -=--+，则不等式(23)()2f x f x -+>的解集为______________．45．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）对任意的1x >，不等式1e ln(1)52ln 0x x a a---+≥恒成立，则a 的范围为__________．46．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，11AA =，1AA 与平面1AB C 所成的角为45°.当三棱柱111ABC A B C -的体积最小时，三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为______.47．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）若(),P x y 是圆22:1O x y +=上任意一点，则3483412x y x y -++-+的取值范围是______.（用区间表示）48．（2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习）已知函数()222222x x f x x mx e me m =-+-+，若存在实数0x ，使得()012f x ≤成立，则实数m =_________.49．（2022·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知定义在R 上的函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，且(1)f x +是偶函数，不等式(2)(1)f m f x +≥-对任意的[1,0]x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是____. 四、双空题50．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）对于两个均不等于1的正数,m n ，定义：log ,*log ,m n n m n m m n m n ≥⎧=⎨<⎩，则3*124*12+的值是______；设,,a b c 均为小于1的正数，且ab c =，则()()11**a c b c --+的值是______．。
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(一)(原卷版)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（一）一．选择题（共20小题）1．（2020•渭南二模）1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A B CD2．（2020秋•新华区校级期末）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC ∆的面积的最大值为( )A B ．C ．D ．3．（2020秋•和平区期末）已知函数2(3),0()2,0x x f x x x +<⎧=⎨-⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数的取值范围是( ) A ．(,4)-∞-B ．(4,)+∞C ．(-∞，0)(4⋃，)+∞D ．(-∞，4)(4⋃，)+∞4．（2020秋•河北区期末）已知函数2226,&(),&x mx x mf x x x m⎧-+<=⎨⎩，其中0m <，若存在实数，使得关于x 的方程()0f x -=恰有三个不同的实数根，则m 的取值范围是( )A ．(,3)-∞-B ．(,-∞C ．[3-，0)D ．(5．（2020秋•辽阳期末）已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象在(0,1)处的切线方程为21y x =+，若()f x mx x +恒成立，则m 的取值范围为( )A ．[1-，21]e -B ．(-∞，21]e -C ．[1-，1]e -D ．(-∞，1]e -6．（2020秋•大武口区校级期末）已知函数2(),x a f x x x a =>⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(-∞，0]D ．[0，)+∞7．（2020秋•张家口期末）太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台、三茅宫、白云观的标记物；到中医、气功、武术及中国传统文化的书刊封面、会徽、会标，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．已知函数1,0()0,01,0x sgn x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则以下图形中，阴影部分可以用不等式组22224{[()]1}0x y x x y sgn x ⎧+⎨+--⎩表示的是( ) A ． B ．C ．D ．8．（2020•衢州二模）已知a R ∈，若函数21()|2|2f x x x a =--有三个或者四个零点，则函数2()41g x ax x =++的零点个数为( ) A ．1或2B ．2C ．1或0D ．0或1或29．（2020秋•红桥区期末）已知函数21,1()41,1a ax x x f x log x x ⎧--⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．11[,)42B ．11[,]42C ．(0，1]2D ．1[,1)210．（2020秋•东安区校级期末）已知圆221:(3)(1C x y -+-=和焦点为F 的抛物线22:8C y x =，N 是1C 上一点，M 在2C 上，当点M 在1M 时，||||MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，||||MF MN -取得最大值，则12||(M M = ) A．B．C．D11．（2020秋•香坊区校级期末）已知定义在R 上的函数(1)3y f x =+-是奇函数，当(1,)x ∈+∞时，1()31f x x x '+--，则不等式[()3](1)0f x ln x -+>的解集为( ) A ．(1,)+∞B ．(1-，0)(e ⋃，)+∞C ．(0，1)(e ⋃，)+∞D ．(1-，0)(1⋃，)+∞12．（2020•栖霞市模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有2()()x f x e f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若(21)(1)a e f a f a ++，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，2]3B ．2[,0]3-C ．[0，)+∞D ．(-∞，0]13．（2020•西安三模）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=且[1x ∈-，1]时，()||f x x =，则方程3()log ||f x x =的根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．714．（2020•包河区校级月考）已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，若3()()22f x f x x x =---，且当0x 时，2()31f x x '<--，则不等式2(1)332()f x x x f x ++++>的解集为( ) A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．1(,)2-∞-D ．1(,)2-+∞15．（2020秋•广东月考）若函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，()f x 对任意的实数x 都有(4)()2f x f x f +-=（2），且f （1）1=，则(2022)(2021)(f f += ) A ．0B ．1C ．2D ．316．（2020•海淀区期末）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ≈，30.477)lg ≈ A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒17．（2020秋•相城区月考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x 时，1,&01(),&1x x f x lnx x -⎧=⎨>⎩，若函数3()()g x f x mx =-有且仅有三个零点，则m 的取值范围是( ) A ．33(,0)(0,)e e - B ．(,0)(0,)33e e - C ．11(,0)(0,)ee- D ．11(,0)(0,)33ee-18．（2020秋•浙江月考）已知抛物线2:4E y x =和直线:0l x m ++=在第一象限内的交点为1(M x ，1)y ．设2(N x ，2)y 是抛物线E 上的动点，且满足210y y <<，记2222||x x m t ++=，则( )A ．当103x <<时，t 的最小值是|1|m +B ．当103x <<时，t 的最小值是|1|2m +-C ．当13x >时，t 的最小值是|1|m +D ．当13x >时，t 的最小值是|1|2m +-19．（2020•聊城一模）已知函数,01(),0xx x f x lnx x x⎧⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，若关于x 的方程()f x x a =+无实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(-∞，10)(e ⋃，1)B ．(1,0)-C ．1(0,)eD ．(0,1)20．（2020•昌平区二模）点P 在函数x y e =的图象上．若满足到直线y x a =+P 有且仅有3个，则实数a 的值为( ) A．B．C ．3D ．4二．多选题（共9小题）21．（2020秋•新华区校级期末）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是( )A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF = C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为322．（2020秋•新华区校级期末）函数()(1)x f x x e lnx =---在(0,)+∞上有唯一零点0x ，则下列四个结论正确的是( ) A ．1=B ．1>C ．001x x e =D ．0112x e <<23．（2020秋•辽阳期末）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，14||3PF =，214||3PF =．过点(2,1)M -的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，则下列结论正确的有( )A ．椭圆的方程为22194x y +=BC ．椭圆上存在4个点Q ，使得120QF QF ⋅=D ．直线l 的方程为89250x y -+=24．（2020秋•张家口期末）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点F ，斜率0>，且交抛物线C 于A ，B （点A 在x 轴的下方）两点，抛物线的准线为m ，1AA m ⊥于1A ，1BB m ⊥于1B ，下列结论正确的是()A ．若3BF FA =，则3=B ．111||||FA FB += C ．若1=，则||12AB =D ．1190A FB ∠=︒25．（2020秋•广东月考）在平面四边形ABCD 中，ABC ∆的面积是ADC ∆的面积的3倍，又数列{}n a 满足16a =，当2n 时恒有11(3)(3)n n n n AC a AB a AD --=++-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ．则下列判断正确的是( )A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列D ．113()322n n S n +=-+26．（2020秋•株洲月考）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者．现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示．如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法不正确的是( )A ．若在1t 、2t 时刻满足：12()()y t y t =，则12()()x t x t =B ．如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降C ．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D ．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值27．（2020秋•相城区月考）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 为双曲线C 上在第一象限内的一个点，直线1PF 与y 轴相交于点Q ，2PQF ∆及为等边三角形，则( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y =B ．双曲线CC ．若点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的标准方程为22136x y -=D ．若点M 在双曲线C 上，则点Q 的坐标为28．（2020秋•相城区月考）声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数sin y A t ω=，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数1()sin sin 22f x x x =+，则( )A ．()f x 在[0,]2π上是增函数B ．()f xC ．()f x 在[0，2]π上有3个零点D ．()f x 在[0，2]π上有3个极值点29．（2020秋•秦淮区校级月考）ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别是a ，b ，c 依次成等差数列，则( ) A ．(0,]3B π∈B ．[,)3B ππ∈C ．cos2cos24cos24sin sin A C B A C +--是常数D ．cos cos 22cos A C B +=- 三．填空题（共21小题）30．（2020•株洲二模）数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，11(1)2n n nS a +=-，2log n n b a =，则数列11{}n n b b +的前n 项和n T = ．31．（2020秋•新华区校级期末）棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为 ，内切球球面上有一动M ，则13MB MC +的最小值为 ．32．（2020秋•和平区期末）在菱形ABCD 中，23BAD π∠=，2AB =，点M ，N 分别为BC ，CD 边上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的最小值为 ． 33．（2020秋•河北区期末）如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，且2BE EA =，若3AB AC AD EC ⋅=⋅，则ABAC的值为 ．34．（2020秋•辽阳期末）已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，PA AD ⊥，PA AB =，PB ，且BC =O 的体积为323π，则AB = ，棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 ．35．（2020秋•张家口期末）随机变量X 的概率分布满足10()(0C P X M===，1，2，3，⋯，10)，则()E X = ．36．（2020秋•南开区期末）已知正数a ，b 满足1ab =，则11a b b a+++的最小值为 ． 37．（2020•武昌区校级模拟）对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx b =+和2y kx b =+，使得对任意的x D ∈都有12()kx b f x kx b ++，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道．给出下列函数：①1()f x x=；②()f x =③()lnx f x x =；④()sin f x x x =+．其中在区间[1，)+∞上通道宽度为1的函数有 （写出所有正确的序号）．38．（2020•厦门模拟）双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与Γ的左、右两支分别交于A ，B 两点，点M 在x 轴上，213F A MB =，2BF 平分1F BM ∠，则Γ的离心率为 ．39．（2020秋•道里区校级期末）已知数列{}n a 满足11a =且12311111(*)23n n a a a a a n N n ++++⋯+=-∈，数列{}2nna 的前n 项和为n S ，则使不等式n S m <对任意正整数n 恒成立的最小整数m 为 ． 40．（2020•鄂州期末）对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点(2-，(2))f -处的切线的斜率为22e -； ②函数()f x 的最小值为2e-；③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(-∞，1]-上为减函数，在(0，1]上也为减函数． 其中正确命题的序号是 ．41．（2020•包河区校级月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +-=，若函数3221sin ()1x x x xg x x ++++=+与()y f x =有n 个公共点，分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(n x ，)n y ，则1()nii i xy =+=∑ ．42．（2020秋•广东月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y T a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线T 右支上一点，12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，||(PM c c =为半焦距），且22OM MF =（点O 为坐标原点），则双曲线T 的离心率为 ．43．（2020秋•株洲月考）以ABC 为底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球，并且正三棱锥P ABC -的侧面与底面ABC 所成的角为45︒，记正三棱锥P ABC -和正三棱锥Q ABC -的体积分别为1V 和2V ，则12V V = .（注:底面为正三角形且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥为正三棱锥） 44．（2020秋•相城区月考）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)A m n 在直线60x y -+=上，点B ，C 在圆2210x y +=上，若四边形ABOC 为正方形，则OA = ；若BAC ∠为直角，则实数m 的取值范围是 ． 45．（2020秋•浙江月考）已知平面向量a ，b ，c 满足|||2|0a b a c -=-≠，则a b -与2c b -所成夹角的最大值是 ．46．（2020秋•浙江月考）已知函数()(1)(1)(3)f x e x x a =----有两个零点1x ，212()x x x ≠，()(1)1g x x ln a =-+-有唯一零点3x ，且1323()()0x x x x --<，则实数a 的取值范围是 ．47．（2020秋•秦淮区校级月考）在三棱锥P ABC -中，侧棱PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，10AB AC ==且2PA BC =，则该三棱锥的外接球的体积为 ．48．（2020秋•龙凤区校级月考）斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯，在数学上，斐波那契数列{}n a 定义为11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据21n n n a a a ++=+可得：21n n n a a a ++=-，所以1232432122()()()n n n n a a a a a a a a a a a +++++⋯+=-+-+-=-，类比这种方法，请计算2221210a a a ++⋯+= 49．（2012秋•清河区校级期中）设O 为ABC ∆的内心，当5AB AC ==，6BC =时，AO mAB nBC =+，则m n +的值为 ．50．（2020秋•河南月考）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在第一象限的点0(M x ，0)y ，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点(,0)(2c c 为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是 ．。
专题05 不等式之恒成立问题(填空题)(解析版))2021年新高考数学考前压轴冲刺(新高考地区专用)
专题05 不等式之恒成立问题2021年新高考填空题考点预测新高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .典型例题1.若不等式|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，则实数a 的最大值为 ．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x ﹣2|﹣|x +2|≤4，然后由不等式恒成立可得a 的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x ﹣2|﹣|x +2|≤|（x ﹣2）﹣（x +2）|＝4，当且仅当（x ﹣2）（x +2）≤0，即﹣2≤x ≤2时取等号，∵|x ﹣2|﹣|x +2|≤21﹣3a 对任意实数x 都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题2.已知a是实数，若对于任意的x＞0，不等式恒成立，则a的值为．【分析】设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，讨论4a ﹣2≥0，不符题意；4a﹣2＜0，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），将B的坐标分别代入一次函数和二次函数解析式，解方程可得a，检验可得所求值．【解答】解：设y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣，由△＝a2+＞0，可得y＝x2+ax﹣的图象与x轴有两个交点，分别作出y＝（4a﹣2）x+，y＝x2+ax﹣的图象，可得4a﹣2≥0，不满足题意；则4a﹣2＜0，即a＜，且y＝（4a﹣2）x+经过二次函数y＝x2+ax﹣图象的B（x2，0），即有（4a﹣2）x2+＝0，即x2＝，代入x2+ax﹣＝0，化为48a2﹣40a+7＝0，解得a＝或a＝＞（舍去），故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题3.若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为．【答案】[25，57]【分析】由题意不等式恒成立化为﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]，求出f（x）的值域，根据一次函数的性质转化为，即；设，求出a、b的表达式，把目标函数z＝|a|+|a+b+25|化为关于y、x的解析式，利用线性规划的知识求出z的取值范围，即可得出结论．【解答】解：对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x+）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x+，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得f（2）时取得最小值4，f（1）＝f（4）时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，（y＝af（x）为f（x）的一次函数，最大值与最小值都在端点处）即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图所示；当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，所以x＝0，y＝0时z min＝25，x＝4，y＝5时z max＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，所以x＝0，y＝0时为临界值z min＝25，x＝4，y＝4时z max＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．故答案为：[25，57]．【知识点】不等式恒成立的问题专项突破一、填空题（共14小题）1.设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a＝．【分析】分类讨论，（1）a＝1；（2）a≠1，在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间，在各自的区间内恒正或恒负，即可得到结论．【解答】解：（1）a＝1时，代入题中不等式明显不成立．（2）a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x 2﹣ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．考查函数y1＝（a﹣1）x﹣1：令y＝0，得M（，0），∴a＞1；考查函数y2＝x2﹣ax﹣1，∵x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，∴y2＝x2﹣ax﹣1过点M（，0），代入得：，解之得：a＝，或a＝0（舍去）．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题2.若存在实数b使得关于x的不等式|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4恒成立，则实数a的取值范围是﹣．【答案】[-1，1]【分析】运用正弦函数的值域可得2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，讨论a＝0，a ＞0，a＜0，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求范围．【解答】解：|a sin2x+（4a+b）sin x+13a+2b|﹣2sin x≤4，即为|a（sin2x+4sin x+4）+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），即有|a（2+sin x）2+b（2+sin x）+9a|≤2（2+sin x），由2+sin x∈[1，3]，可得|a（2+sin x）++b|≤2恒成立，当a＝0时，显然成立；当a＞0，可得a（2+sin x）+∈[6a，10a]，﹣2﹣b≤a（2+sin x）+≤2﹣b，可得﹣2﹣b≤6a且2﹣b≥10a，可得﹣2﹣6a≤b≤2﹣10a，即﹣2﹣6a≤2﹣10a，可得0＜a≤1；当a＜0，可得a（2+sin x）+∈[10a，6a]，可得﹣2﹣b≤10a且2﹣b≥6a，可得﹣2﹣10a≤b≤2﹣6a，即﹣2﹣10a≤2﹣6a，可得﹣1≤a＜0；综上可得a的范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【知识点】不等式恒成立的问题3.若不等式≥a对x＜2恒成立，则a的最大值是﹣【分析】设t＝2﹣x，得出x＝2﹣t，其中t＞0，把化为f（t），利用基本不等式求出f（t）的最小值，由此求出a的最大值．【解答】解：不等式≥a对x＜2恒成立，设t＝2﹣x，则x＝2﹣t，其中t＞0，所以化为f（t）＝＝+t﹣3≥2﹣3＝2﹣3，当且仅当＝t，即t＝时取“＝”，∴f（t）的最小值为2﹣3；∴不等式≥a对x＜2恒成立时，a的最大值是2﹣3．故答案为：2﹣3．【知识点】不等式恒成立的问题4.若不等式|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，则实数a的最大值为．【分析】依据题设借助绝对值的几何意义得|x﹣2|﹣|x+2|≤4，然后由不等式恒成立可得a的范围．【解答】解：由绝对值的几何意义知|x﹣2|﹣|x+2|≤|（x﹣2）﹣（x+2）|＝4，当且仅当（x﹣2）（x+2）≤0，即﹣2≤x≤2时取等号，∵|x﹣2|﹣|x+2|≤21﹣3a对任意实数x都成立，∴21﹣3a≥（|x﹣2|﹣|x+2|）max＝4＝22，∴1﹣3a≥2，∴a≤﹣，∴实数a的最大值为：﹣．故答案为：﹣．【知识点】不等式恒成立的问题5.已知a，b∈R，若关于x的不等式lnx≤a（x﹣2）+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，b的值为﹣．【分析】由题意可得只要考虑直线y＝a（x﹣2）+b与y＝lnx相切，设出切点（m，lnm），运用导数的几何意义，可得a，b，m的方程，再由x＝3时，a+b取得最小值，结合构造函数法，运用导数求得最小值，即可得到所求b的值．【解答】解：设y＝lnx的图象与直线y＝a（x﹣2）+b相切的切点为（m，lnm），由y＝lnx的导数为y′＝，可得a＝，lnm＝a（m﹣2）+b，可得b＝2a﹣lna﹣1，由x＝3时，可得a+b≥ln3，可得a+b的最小值为ln3，即有2a﹣lna﹣1＝ln3﹣a，即3a﹣lna＝1+ln3，由y＝3x﹣lnx的导数为y′＝3﹣，可得0＜x＜时，函数y＝3x﹣lnx递减，在x＞时，函数y＝3x﹣lnx递增，可得x＝处函数y取得最小值1+ln3，则3a﹣lna＝1+ln3的解为a＝，即有b＝ln3﹣．故答案为：ln3﹣．【知识点】不等式恒成立的问题6.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝，若对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则实数λ的取值范围是．【分析】根据等比数列前n项和公式，求得a n，即可求得t的值，代入根据函数的单调性即可求得实数λ的取值范围．【解答】解：由题意可知：2S n＝3n+1+t，当n≥2时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1＝3n+1+t﹣3n﹣t＝2×3n，∴a n＝3n，由数列{a n}为等比数列，则a1＝3，当n＝1，则a1＝S1＝＝3，则t＝﹣3，∴S n＝（3n﹣1），对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5），即3n+1λ≥27（n﹣5），∴λ≥＝，n∈N*，由对任意的n∈N*，（2S n+3）λ≥27（n﹣5）恒成立，则λ≥（）max，由函数f（x）＝在[1，+∞），f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，则x＝+5，则f（x）在[1，+5）单调递增，在（+5，+∞）单调递减，由n∈N*，f（5）＝0，f（6）＝，∴当n＝6时，取最大值，最大值为，∴实数λ的取值范围[，+∞），故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题、利用导数研究函数的单调性7.已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是﹣【分析】根据题意，分段讨论x≤1和x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，去掉绝对值，利用函数的最大、最小值求得a的取值范围，再求它们的公共部分．【解答】解：函数f（x）＝，当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值为﹣；由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值为，则﹣≤a≤；…①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣2；由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2；…②由①②可得，﹣≤a≤2；综上，a的取值范围是﹣≤a≤2．故答案为：﹣≤a≤2．【知识点】不等式恒成立的问题8.若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．【分析】当x＞0时a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，g（x）﹣=，求得y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数和符号，即可得到所求a的范围．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，设g（x）=，由y=lnx﹣x+1的导数为y′=﹣1=，x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得y=lnx﹣x+1的最大值为0，即lnx≤x﹣1，则g（x）﹣=，由y=2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为y′=2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）=2[ln（x+1）﹣x]，由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，可得a≥，则a的范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题9.对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．【解答】解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．【知识点】不等式恒成立的问题10.设a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，则a的取值范围为．【答案】3【分析】利用基本不等式，确定x的最小值，即可求得a的最小值．【解答】解：∵a＞0，x＞1，∴x＝（x﹣3）+3≥2+1∵a＞0，若关于x的不等式x≥9在x∈（3，+∞）恒成立，∴2+3≥9．∴a≥3∴a的最小值为3．故答案为：3．【知识点】不等式恒成立的问题11.不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】[2，6）【分析】由于二次项系数含有参数，故需分a﹣2＝0与a﹣2≠0两类讨论，特别是后者：对于（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，有求出a的范围，再把结果并在一起．【解答】解：当a＝2时，原不等式即为1＞0，原不等式恒成立，即a＝2满足条件；当a≠2时，要使不等式（a﹣2）x2+（a﹣2）x+1＞0对一切x∈R恒成立，必须解得，2＜a＜6．综上所述，a的取值范围是2≤a＜6，故答案为：[2，6）．【知识点】不等式恒成立的问题12.若对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，则实数x的取值范围是﹣∞﹣【答案】（-∞，-1）∪（1，+∞）【分析】通过变换主元，利用函数恒成立转化为不等式组求解即可．【解答】解：由题意对任意a∈[1，2]，不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0恒成立，即为a（x2+x）﹣x﹣1＞0对任意a∈[1，2]恒成立，所以，解得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【知识点】不等式恒成立的问题13.若不等式2kx2+kx+＜0对于一切实数x都成立，则k的取值范围是﹣∞﹣．【答案】（-∞，-2）【分析】根据不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，讨论k＝0和k≠0时，即可求出k的取值范围．【解答】解：不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立，k＝0时，不等式化为＜0不成立，k≠0时，应满足，解得k＜﹣2．综上，不等式2kx2+kx+＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．【知识点】二次函数的性质与图象、不等式恒成立的问题14.若关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b的最小值为．【答案】0【分析】设f（x）＝（x2﹣a）（2x+b），x∈（a，b），讨论a＞0和a≤0时，利用f（x）≥0在x∈（a，b）恒成立，即可求出2a+b的最小值．【解答】解：关于x的不等式（x2﹣a）（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立，当a＞0时，b＞a＞0，f（x）＝（x2﹣a）（2x+b）的三个零点分别为±，﹣；显然有＞﹣，＞﹣；则f（x）在（a，b）上是单调增函数，f（x）≥0在（a，b）上恒成立，则f（a）＝（a2﹣a）（2a+b）＝a（a﹣1）（2a+b）≥0，即或；则2a+b≥0或无最小值；当a≤0时，x2﹣a≥0恒成立，f（x）≥0时只需2x+b≥0恒成立，又x∈（a，b），∴2a+b≥0；综上所述，2a+b的最小值为0．故答案为：0．【知识点】不等式恒成立的问题。
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(十七)(原卷版)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编〔十七〕一．选择题〔共31小题〕1．〔2021•房山区一模〕祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的根底上提出了体积计算的原理：“幂势既同，那么积不容异〞．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，该几何体三视图如下图，用一个与该几何体的下底面平行相距为(02)h h <<的平面截该几何体，那么截面面积为( )A ．4πB ．24h πC ．2(2)h π-D ．2(4)h π-2．〔2021•房山区一模〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，那么下面结论错误的选项是( )A ．90a =B ．1514S S >C ．0d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值3．〔2021•海淀区一模〕我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖〞的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的局部就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h 的平面为a ，记平面a 截牟合方盖所得截面的面积为s ，那么函数()S f h =的图象是( )A ．B ．C ．D ．4．〔2021•西城区一模〕抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线24y x =的焦点F 发出的两条光线a ，b 分别经抛物线上的A ，B 两点反射，两条入射光线与x 轴所成锐角均为60︒，那么两条反射光线a '和b '之间的距离为( )A B ．83 C D 5．〔2021•西城区一模〕假设非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m ，那么记△()X M m =-．以下命题中正确的选项是( )A ．{1X =-，1}，{0Y =，}b ，且△()X =△()Y ，那么2b =B ．[X a =，2]a +，2{|Y y y x ==，}x X ∈，那么存在实数a ，使得△()1Y <C ．{|()()X x f x g x =，[1x ∈-，1]}，假设△()2X =，那么对任意[1x ∈-，1]，都有()()f x g xD ．[X a =，2]a +，[Y b =，3]b +，那么对任意的实数a ，总存在实数b ，使得△()3X Y6．〔2021•怀柔区一模〕形状、节奏、声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如下图，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外做一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形〞；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形〞；依次进行“n 次分形〞，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，那么n 最小值是( )〔取30.4771lg ≈，20.3010)lg ≈A ．15B ．16C ．17D ．187．〔2021•沙坪坝区校级模拟〕正实数a ，b 满足2)42ab b lnb +，那么2a b +的最小值为( )A ．2B ．4C ．2eD ．8．〔2021•香坊区校级二模〕抛物线2116y x =与双曲线2221(0)y x a a-=>有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，那么OP FP ⋅的最小值为( )A ．16B ．16-C ．15-D ．159．〔2021•香坊区校级二模〕设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有意义，对于给定的正数k ，函数(),()(),()k f x f x k f x k f x k⎧=⎨>⎩，取函数()3x f x x e -=--，假设对任意的(,)x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，那么k 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．〔2021•厦门一模〕铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36︒，如图2，那么此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是( )A ．2tan18︒B ．12tan18︒C ．5πD ．5π 11．〔2021•河南模拟〕双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线的渐近线交于点(A A 在第一象限内〕，以OA 为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B ，假设//BF OA ，那么双曲线C 的离心率为( )A B C D ．212．〔2021•香坊区校级二模〕定义域为R 的函数()f x 在[2，)+∞单调递减，且(4)()0f x f x -+=，那么使得不等式2()(2)0f x x f x ++<成立的实数x 的取值范围是( )A ．41x -<<B ．1x <-或3x >C ．3x <-或1x >D ．4x <-或1x >13．〔2021•香坊区校级二模〕函数()f x 定义在R 上的奇函数，当0x >时，(1)()x x f x e -=，给出以下命题： ①当0x <时，(1)()xx f x e +=； ②函数()f x 有2个零点；③()0f x <的解集为(-∞，1)(0-⋃，1)；④1x ∀，2x R ∈，都有12|()()|2f x f x -<．其中正确的命题是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④14．〔2021•香坊区校级二模〕假设B 点的坐标为(3,2)，点P 为抛物线2:6C y x =上的动点，F 是拋物线C 的焦点，当PBF ∆周长取得最小值时PBF ∆的面积为( )A ．32B ．92C ．73D ．315．〔2021•道里区校级二模〕设函数()2(x f x e x a a R =+-∈，e 为自然对数的底数〕，假设曲线sin y x =上存在点0(x ，0)y ，使得00(())f f y y =，那么a 的取值范围是( )A ．1[1e --+，1]e +B ．[1，1]e +C ．[e ，1]e +D ．[1，]e16．〔2021•道里区校级二模〕设O 为坐标原点，直线2x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，假设ODE ∆的面积为8，那么C 的焦距的最小值为( )A ．32B ．16C ．8D ．417．〔2021•大庆一模〕由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x 轴重合，顶点与原点重合，如图，假设抛物线过点1(,1)4A ，平行于对称轴的光线经过点A 反射后，反射光线交抛物线于点B ，那么线段AB 的中点到准线的距离为( )A ．254B ．258C ．174D ．218．〔2021•大庆一模〕0ω>，函数1()cos )2f x x x ωπω=--在(,)32ππ上单调递增，那么ω的取值范围是( )A ．[2，6]B ．(2,6)C ．10[2,]3D ．10(2,)319．〔2021•大庆一模〕函数2()(23)x f x x x e =-，那么函数23[()]2()1y f x f x =+-零点的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．320．〔2021•齐齐哈尔一模〕在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB AD =，AB CD >，假设双曲线E 以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点，那么双曲线E 的离心率的取值范围为( )A． B．)+∞ C． D．)+∞ 21．〔2021•齐齐哈尔一模〕假设直角坐标平面内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数()f x 的图象上；②点A ，B 关于原点对称，那么称点(,)A B 是函数()f x 的一个“姊妹点对〞．点对(,)A B 与(,)B A 可看作是同一个“姊妹点对〞．函数1(0)()(0)ax x f x lnx x -⎧=⎨>⎩．恰有两个“姊妹点对〞，那么实数a 的取值范围是( ) A ．20a e -<< B ．20a e -< C ．10a e -<< D ．10a e -<22．〔2021•临汾模拟〕圆22:(2)(3)2C x y -+-=．假设直线:0l x y m ++=上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，那么m 的取值范围是( )A ．(,9)-∞-B ．(-∞，9][1-，)+∞C ．(1,)-+∞D ．[9-，1]-23．〔2021•临汾模拟〕点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，假设四面体ABCD，那么这个球的外表积为( ) A ．50081π B ．4π C ．259π D ．1009π 24．〔2021•山西一模〕函数()|log |1(0,1)x a f x a x a a =->≠有两个零点，那么a 的取值范围为( )A ．(1,)+∞B ．1(1,)e e -⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}(1,)e e -+∞D ．1(1,)e ⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭25．〔2021•山西一模〕数列{}n a 中，11a =，237a =，对于3n >，且n N ∈，有21212n n n n n a a a a a ----⋅=-，假设2021(p a p q =，*q N ∈，且p ，q 互质〕，那么p q +等于( )A ．8089B ．8088C ．8087D ．808626．〔2021•山西一模〕一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，圆锥的底面面积与球面面积比值为29，那么这个圆锥体积与球体积的比值为() A ．881 B ．827 C ．481或881 D ．427或82727．〔2021•宝鸡二模〕双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点M ，N ，假设12||3||PF PF =，且260MF N ∠=︒，那么双曲线的离心率为( )A B ．3 C ．2 D 28．〔2021•宝鸡二模〕如图是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给容器注水，那么容器中水的体积V 是水面高度x 的函数()V f x =，假设正数a ，b 满足1a b +=，那么f 〔a 〕f +〔b 〕的最小值为( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π29．〔2020•黑龙江二模〕双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数0)y x 的图象交于点P ，假设函数y =的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点(4,0)F -，那么双曲线的离心率是( )A B C D 30．〔2020•定远县模拟〕函数()||f x lnx =，20,01,()|4|2,1x g x x x <⎧=⎨-->⎩假设关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不相等的实数解，那么m 的取值范围是( )A ．[0，2]lnB ．(22,0)ln --C ．(22ln --，0]D ．[0，22)ln +31．〔2021•未央区校级模拟〕如下图，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=︒，A 、D 分别是BF 、CE 上的点，//AD BC ，且22AB DE BC AF ===〔如图1)．将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE 〔如图2)．在折起的过程中，以下说法中错误的个数是( )①//AC 平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点不可能共面；③假设EF CF ⊥，那么平面ADEF ⊥平面ABCD ；④平面BCE 与平面BEF 可能垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3二．多项选择题〔共2小题〕32．〔2021•沙坪坝区校级模拟〕等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数127()()()()f x x x a x a x a =++⋯+，假设(0)1f '=，那么( )A ．{}n lga 为单调递增的等差数列B ．01q <<C ．1{}1n a S q--为单调递增的等比数列 D ．使得1n T >成立的n 的最大值为633．〔2020•聊城一模〕直线:220l kx y kp --=与抛物线2:2(0)C y px p =>相交于A ，B 两点，点(1,1)M --是抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的公共点，那么以下结论正确的选项是( )A ．2p =B ．2k =-C ．||5AB =D ．M AB ∆的面积为三．填空题〔共17小题〕34．〔2021•房山区一模〕设函数()f x 的定义域为D ，假设对任意x D ∈，存在y D ∈，使()()(2f x f y C C -=为常数〕成立，那么称函数()f x 在D 上的“半差值〞为C ．以下四个函数中，满足所在定义域上“半差值〞为2的函数是 〔填上所有满足条作的函数序号〕．①(1)x y e x =+；②31y x =-；③2log y x =；④sin y x =．35．〔2021•海淀区一模〕假设实数α，β满足方程组12cos 2cos2sin 2sin αβαβ+=⎧⎪=，那么β的一个值是 ． 36．〔2021•海淀区一模〕对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线0ax by c ++=使这两组点分别位于该直线的两侧，那么称该直线为“分类直线〞，对于一条分类直线l ，记所有的点到l 的距离的最小值为1d ，约定：1d 越大，分类直线l 的分类效果越好，某学校高三〔2〕出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x 〔单位：百元〕和网购图书的费用y 〔单位：百元〕的情况如下图，现将1P ，2P ，3P 和4P 归为第Ⅰ组点，将1Q ，2Q 和3Q 归为第Ⅱ组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L ．给出以下四个结论：①直线 2.5x =比直线350x y --=的分类效果好；②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，那么小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第Ⅱ组点位于L 的同侧；④如果从第Ⅰ组点中去掉点1P ，第Ⅱ组点保持不变，那么分类效果最好的分类直线不是L ．其中所有正确结论的序号是 ．37．〔2021•西城区一模〕长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的根底上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数〔蓄满指数100)=⨯水库实际蓄水量水库总蓄水量来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：〔ⅰ〕调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；〔ⅱ〕调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；〔ⅲ〕调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①21620y x x =-+；②y =5010xy =；④100sin 200y x π=． 那么满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 ．38．〔2021•西城区一模〕函数()sin f x x =，假设对任意x R ∈都有()()(f x f x m c c ++=为常数〕，那么常数m 的一个取值为 ．39．〔2021•怀柔区一模〕如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，(0)BC a a =>，P 为线段AD 上一个动点，设AP xAD =，PB PC y ⋅=，对于函数()y f x =给出以下四个结论： ①当2a =时，函数()f x 的值域为[1，4]；②(0,)a ∀∈+∞，都有f 〔1〕1=成立；③(0,)a ∀∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4；④(0,)a ∃∈+∞，函数())f x 的最小值为负数．其中所有正确结论的序号是 ．40．〔2021•沙坪坝区校级模拟〕在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱1(4)AA t t =>，点E 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点〔包括四条边上的点〕，且满足tan 4tan APD EPB ∠=∠，那么四棱锥P ABED -的体积的最大值是 ．41．〔2020•绵阳模拟〕2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60︒的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75︒的方向上，仰角为30︒，那么直升机飞行的高度为 〔结果保存根号〕．42．〔2021•香坊区校级二模〕如图，在ABC ∆中，tan 2C =，CD 是AB 边上的高，假设23CD BD AD -⋅=，那么ABC ∆的面积为 ．43．〔2021•香坊区校级二模〕直线20x y +-过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线C 在第一象限的交点为M ，O 为原点，||||OM OF =，那么双曲线C 的左焦点的坐标为 ；离心率为 ．44．〔2021•道里区校级二模〕设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C =那么C = ，222a cb ac+-的取值范围为 ． 45．〔2021•大庆一模〕如图，正方体1111ABCD A B C D -，点E ，F ，G 分别是11C D ，1AA ，BC 的中点，1BD 与平面EFG 〔填“平行〞或“不平行〞 )；在正方体的12条面对角线中，与平面EFG 平行的面对角线有 条．46．〔2021•齐齐哈尔一模〕将正整数排成如下数阵：用ij a 表示第i 行第j 列的数，假设2020ij a =，那么i j +的值为 ．47．〔2021•临汾模拟〕函数12()935x x f x m m +=-⋅+-．假设存在0x R ∈，使得00()()f x f x -=-，那么m 的取值范围是 ．48．〔2021•山西一模〕抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(2p M -，0)，点F 的直线与此抛物线交于A ，B ，两点，假设||24AB =且tan AMB ∠=p = ．49．〔2021•半径为 ；内切球的体积为 ．50．〔2020•东莞市一模〕三棱锥P ABC -中，1PA =，PB =，AB =，CA CB ==，面PBA ⊥面ABC ，那么此三棱锥的外接球的外表积为 ．。
压轴题05 三角函数与解三角形范围与最值问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题05三角函数与解三角形范围与最值问题三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．考向一：ω取值与范围问题考向二：面积与周长的最值与范围问题考向三：长度的范围与最值问题1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．一、单选题1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π()sin cos (0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．131,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．7,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．131,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2023·吉林长春·统考三模）已知函数()π2cos 13f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（0ω>）的图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．25,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知函数())π2sin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．75,93⎛⎤⎥⎝⎦B ．75,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1010,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1010,93⎛⎤⎥⎝⎦4．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180︒的四边形.已知在平面凸四边形ABCD 中，30,105,2A B AB AD ∠=︒==︒∠=，则CD 的取值范围是（）A ．,14⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎣⎭C ．⎣⎭D ．1⎫⎪⎪⎣⎭5．（2023·全国·校联考二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，若2222b a c =+，则△ABC 面积的最大值为（）A ．2B ．34C ．1D ．326．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知60B = ，4b =，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．67．（2023·全国·模拟预测）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线π36x =-对称，且f （x ）的一个零点是7π72x =，则ω的最小值为（）A ．2B ．12C ．4D ．8二、多选题8．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠三、填空题9．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A -=+，则c a的取值范围是______．10．（2023·上海金山·统考二模）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.11．（2023·全国·校联考二模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B a A a C =+，则3b ca-的取值范围是______.12．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP △的面积的最大值为__________．四、解答题13．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sin sin 2B C c a C +=；②sin 1cos a CA=-；③ABC )222b c a +-.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14．（2023·陕西榆林·统考三模）已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，4AB AC ⋅=，且sin 8sin ac B A =．(1)求A ；(2)求sin sin sin A B C 的取值范围．15．（2023·上海浦东新·统考二模）已知,0R ωω∈>，函数cos y x x ωω-在区间[0,2]上有唯一的最小值-2，则ω的取值范围为______________．16．（2023·浙江金华·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．已知ABC 的面积4ac S =，其外接圆半径2R =，且()224cos cos ()sin A B b B -=．(1)求sin A ；(2)若A 为钝角，P 为ABC 外接圆上的一点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围．17．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象是由π2sin 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到的.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的图象与y 轴距离最近的对称轴方程；(2)若()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，求ω的取值范围.18．（2023·山东德州·统考一模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b -=．(1)求证：2A B =；(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且2c =，求ABD △面积的取值范围．19．（2023·江西吉安·统考一模）在直角坐标系xOy 中,M 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求M 的普通方程;(2)若D 为M 上一动点,求D 到l 距离的取值范围.20．（2023·江西九江·统考二模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知()()0a b c a b c ab -+--+=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+．(1)求c ；(2)求a b +的取值范围．21．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin B A Cb c b a-=-+.(1)求角A 的值；(2)若2c =，求a b +的取值范围．22．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7b =，且sin sin sin sin a b A Cc A B+-=-.(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围.23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角ABC 中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，且22a b bc -=．(1)求角B 的取值范围；(2)若4c =，求ABC 中AB 边上的高h 的取值范围．24．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.25．（2023·福建·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=，求四边形ABCD 面积的最大值.26．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC ∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==(1)若BD =AD 的长；(2)求ABD △面积的最大值．27．（2023·湖南·校联考二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足236sin02A Ba b b +-+=．(1)求证：3cos 0a b C +=；(2)求tan A 的最大值．28．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）在ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且sin sin sin sin b a cA CB C-=+-．(1)求角A 的大小；(2)记ABC 的面积为S ，若12BM MC = ，求2AMS的最小值．29．（2023·云南·统考二模）ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，π3A =．(1)若2b =，3c =．求证：tan sin a b A B+=(2)若D 为BC 边的中点，且ABC的面积为AD 长的最小值．30．（2023·广西·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2)cos cos 0b a C c B ++=.(1)求C ；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且2CD =，求2a b +的最小值.31．（2023·安徽宣城·统考二模）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B--=．(1)判断ABC 的形状，并说明理由；(2)求2254cos a a c c B-的最小值．32．（2023·全国·模拟预测）已知ABC 是斜三角形，角A ，B ，C 满足cos(2)cos sin 2A B A B ++=.(1)求证：cos sin 0C B +=；(2)若角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，求22245a b c +的最小值，并求此时ABC 的各个内角的大小.33．（2023·吉林·统考三模）如图，圆O 为ABC 的外接圆，且O 在ABC 内部，1OA =，2π3BOC ∠=．(1)当π2AOB ∠=时，求AC ；(2)求图中阴影部分面积的最小值．。
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编(二)(原卷版)
2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（二）一．选择题（共17小题）1．（2020秋•建瓯市校级月考）已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足12a =，2222114(1)2(1)0n n n n n a n a n a na ++-+-++=，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019(S = )A ．2020201922⨯+B ．2020201922⨯-C ．2020201822⨯+D ．2020201822⨯-2．（2020•西安三模）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=且[1x ∈-，1]时，()||f x x =，则方程3()log ||f x x =的根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．73．（2020秋•香坊区校级期末）已知定义在R 上的函数(1)3y f x =+-是奇函数，当(1,)x ∈+∞时，1()31f x x x '+--，则不等式[()3](1)0f x ln x -+>的解集为( ) A ．(1,)+∞B ．(1-，0)(e ⋃，)+∞C ．(0，1)(e ⋃，)+∞D ．(1-，0)(1⋃，)+∞4．（2020秋•湖北月考）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法” )．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足任意两点间的直线距离为，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为31/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为( )（参考数据：取 3.14π= 1.41= 1.73=，精确到0.1) A ．113.0gB ．267.9gC ．99.2gD ．13.8g5．（2020秋•湖南月考）函数1()2cos()12f x x x π=+-在区间[2-，4]上的所有零点的和为( ) A ．4B ．6C ．4πD ．6π6．（2020秋•内蒙古月考）某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数()H t 与传染源感染后至隔离前时长t （单位：天）的模型：().kt H t e λ+=已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20．打某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为( ) A ．44B ．48C ．80D ．1257．（2020秋•北海月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星．第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道（椭圆）的离心率是( ) A ．25 B ．15C ．23D ．198．（2020秋•沙坪坝区校级月考）实数x ，y 满足424(2)x ye x y e -=+，则22x y x y x++的最小值为( )A ．2B C ．7D ．49．（2020秋•高新区校级月考）已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，令(),0,()|()|,0,f x x h xg x x ⎧=⎨>⎩则方程22()eh x x e =+解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．（2020秋•陕西月考）已知双曲线C 的方程为2214x y m m +=+，给出下列四个结论：①m 的取值范围是(4,0)-； ②C 的焦距与m 的取值无关；③当C 的离心率不小于2时，m 的最小值为3-； ④存在实数m ，使得点2(m ，)m 在C 上． 其中结论正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．（2020秋•南京期中）设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件： ①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[0，)+∞上是增函数； ③()g x 有一个零点为2．则不等式(1)()0x f x +>的解集是( ) A ．(3,)+∞B ．(1,)+∞C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞12．（2020•宜宾模拟）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,2n a a >=，2n S <，则{}n a 的公比的取值范围是( )A ．3(0,]4B ．2(0,]3C ．3(0,)4D ．2(0,)313．（2020秋•山东月考）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为球心，径的球面与平面1111A B C D 的交线长为( )A ．2πB C D ．π14．（2020秋•东安区校级期末）已知圆221:(3)(1C x y -+-=和焦点为F 的抛物线22:8C y x =，N 是1C 上一点，M 在2C 上，当点M 在1M 时，||||MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，||||MF MN -取得最大值，则12||(M M = )A ．B ．C ．D 15．（2020秋•浙江月考）已知函数2221,0,(),0,x ax x x f x e ax e x ⎧-+<=⎨-+-⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,)e +∞B ．2(e ，)+∞C ．2(0,)eD ．(0,)e16．（2020秋•浙江月考）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，P 为线段MB 上的动点（包括端点），记PN 与CD 所成角的最小值为α，PN 与平面BCD 所成角的最大值为β，则( ) A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．2παβ+=17．（2020•吉林模拟）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(19)COVID -疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快，因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0(p = )A ．1BC ．12D ．1 二．多选题（共12小题）18．（2020秋•建瓯市校级月考）下列说法中正确的是( )A ．0AB BA +=B ．若||||a b =且//a b ，则a b =C ．若a 、b 非零向量且||||a b a b +=-，则a b ⊥D ．若//a b ，则有且只有一个实数λ，使得b a λ=19．（2020秋•湖北月考）已知函数2()(x f x e ax a =-为常数），则下列结论正确的有( )A ．若()f x 有3个零点，则a 的范围为2(,)4e +∞B ．2ea = 时，1x =是()f x 的极值点C ．12a =时，()f x 的零点0x ，且0112x -<<- D ．1a =时，()0f x 恒成立20．（2020秋•湖南月考）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，AB ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、11C D 的中点，则下列说法正确的是( )A ．11BCDE ⊥ B ．1//D C 平面GEFC ．若点P 在平面ABCD 内，且1//D P 平面GEF ，则线段1D PD ．若点Q 在平面ABCD 内，且11D Q B C ⊥，则线段1D Q21．（2020秋•重庆月考）经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点0(x ，0())f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若函数32()f x x ax x b=+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式32(1)[()3]x e e e mx lnx f x x x e x -+--+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则( ) A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-22．（2020秋•辽宁月考）若存在m ，使得()f x m 对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M 对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是()A ．1不是函数1()(0)f x x x x =+>的一个下界B ．函数()f x xlnx =有下界，无上界C ．函数2()xe f x x=有上界，无下界D ．函数2sin ()1xf x x =+ 23．（2020秋•湖南月考）设m R ∈，过定点M 的直线1:310l mx y m --+=与过定点N 的直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =( )A ．1l 一定垂直2lB ．||||PM PN +的最大值为C ．点P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=D ．||PA PB +的最小值为24．（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知函数2(1),0()(1),0x xx e x f x x x e ⎧+<⎪=⎨+⎪⎩，下列选项正确的是()A ．函数()f x 在(2,1)-上单调递增B ．函数()f x 的值域为21[,)e -+∞ C ．若关于x 的方程2[()]|()|0f x a f x -=有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是214(,)e eD ．不等式()0f x ax a -->在(1,)-+∞恰有两个整数解，由实数a 的取值范围是232[,)e e25．（2020秋•南京期中）设常数a R ∈，*n N ∈，对于二项式(1n +的展开式，下列结论中，正确的是( ) A ．若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B ．若各项系数随着项数增加而增大，则a n > C ．若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D．若a =7n =，则所有奇数项系数和为239 26．（2020秋•苏州期中）函数()1x lnx kf x e x+=--在(0,)+∞上有唯一零点0x ，则( )A ．001x x e =B ．0112x << C ．1k = D ．1k >27．（2020秋•湖北月考）函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递增，则( )A ．函数()()cos g x f x x =为奇函数B ．函数()[()h x x f x f =-（2）]有且只有3个零点C ．不等式[()x f x f -（2）]0的解集为(-∞，2][0-⋃，2]D ．()f x 的解析式可能为2()x x f x e e x -=+-28．（2020秋•广东月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足(1)(3)f x f x +=-，(1)(3)f x f x +=-，当02x 时，2()f x x x =-，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的周期为4B ．函数()f x 的图象关于直线2x =对称C ．当04x 时，()f x 的最大值为2D ．当68x 时，()f x 的最小值为12-29．（2020秋•城厢区校级期中）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122||b F F a =，点P 为双曲线右支一点，I 为△12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则下列结论正确的有( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒ B．离心率e =C．λ=D ．点I 的横坐标为定值a三．填空题（共20小题）30．（2020秋•建瓯市校级月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且56a =，3914a a +=，数列{}n b 满足1n n b S n=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，n T 的最小值为t ，若(,0)x y t x y +=>，则14x y+最小值为 ． 31．（2020•鄂州期末）对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点(2-，(2))f -处的切线的斜率为22e -；②函数()f x 的最小值为2e -；③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(-∞，1]-上为减函数，在(0，1]上也为减函数． 其中正确命题的序号是 ．32．（2020•厦门模拟）双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与Γ的左、右两支分别交于A ，B 两点，点M 在x 轴上，213F A MB =，2BF 平分1F BM ∠，则Γ的离心率为 ．33．（2020秋•湖北月考）已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点，C 的离心率2e =，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点（其中A 点在第一象限），设点M 、N 分别为△12AF F 、△12BF F 的内心，则||MN 的范围是 .（用只含有a 的式子表示）34．（2020秋•湖南月考）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m 与标准声调00(m m 约为1210-，单位：2/)W m 之比的常用对数称作声强的声强级，记作L （贝尔），即0mL lgm =，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y （分贝）与喷出的泉水高度x （米)满足关系式2y x =，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A 同学大喝一声的声强大约相当于10个B 同学同时大喝一声的声强，则B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 米．35．（2020秋•河南月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，a ，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是 ．36．（2020秋•重庆月考）已知双曲线22:188x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF ∆的周长最小时，MAF ∆的面积为 ．37．（2020秋•辽宁月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且与C的一条渐近线垂直的直线l 与C 的右支交于点P ，若A 为PF 的中点，且3||(2bOA a O =-为坐标原点），则C 的离心率为 ．38．（2020秋•湖南月考）边长为ABCD 的顶点均在表面积为28π的球O 的球面上，1O 为正方形ABCD 的中心，△1O AB 绕AB 旋转，其顶点1O 接触到球面时设为E ，则二面角E AB D --的大小为 ．39．（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知数列{}n a 满足：152a =，2112(*)2n n n a a a n N +=-+∈，若上取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数（例如：[1.2]2=，[3]3)=，则122020111[]a a a ++⋯+= ． 40．（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知平面向量a ，b ，c 满足||1a =，||2a b -=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值为 ．41．（2020秋•12月份月考）函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递增，现有下列四个命题：①函数()()cos g x f x x =为奇函数；②函数()[()h x x f x f =-（2）]有且只有3个零点；③不等式[()x f x f -（2）]0的解集为(-∞，2][0-⋃，2]； ④()f x 的解析式可能为2()x x f x e e x -=+-． 其中所有真命题的序号是 ．42．（2020秋•南京期中）如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB CD =，//HG DE =，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为 ．43．（2020秋•苏州期中）已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x 时，()1()xf x f x '>-．若对任意x R ∈，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为44．（2020秋•湖北月考）已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，PA AD ⊥，PA AB =，PB，且BC =O 的体积为323π，则棱PB的中点到平面PCD 的距离为 ．45．（2020秋•浦东新区校级期中）已知函数3(0)()(0)x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =--∈恰有4个不同的零点，则k 的取值范围是 ．46．（2020秋•山东月考）已知函数2()|1|f x x x =--，若关于x 的方程()|1|f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围是 ．47．（2020秋•浙江月考）已知平面向量a ，b ，c ，d 满足||||1a b ==，||2c =，0a b ⋅=，||1c d -=，则|2|a b d ++的取值范围为 ．48．（2020秋•浙江月考）已知1a >，若对于任意的1[3x ∈，)+∞，不等式4(3)x x ln x ae lna--恒成立，则a 的最小值为 ．49．（2020秋•雨花区校级月考）在三棱锥A SBC -中，AB =，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，，则棱锥S ABC -外接球的表面积为 ．。
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2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（五）一．选择题（共25小题）1．（2021•全国模拟）已知抛物线22y px =上三点(2,2)A ，B ，C ，直线AB ，AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为( ) A ．210x y ++=B ．3640x y ++=C ．2630x y ++=D ．320x y ++=2．（2021•全国模拟）已知5a <且55a ae e =，4b <且44b be e =，3c <且33c ce e =，则( ) A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．a b c <<3．（2020秋•静安区期末）在平面直角坐标系xOy 中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点)O 于A 、B 两点．若A 、B 两点的纵坐标分别为正数a 、b ，且cos()0αβ-，则a b +的最大值为( ) A ．1BC ．2D ．不存在4．（2020秋•杨浦区校级期末）已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆22143x y +=上，设它的三条边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、M ，且三条边所在直线的斜率分别为1、2、3，且1、2、3均不为0．O为坐标原点，若直线OD 、OE 、OM 的斜率之和为1．则123111(++= )A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-5．（2020秋•大兴区期末）已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，若*n N ∀∈，24n n a S λ+恒成立，则实数λ的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．66．（2020秋•大兴区期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为( ) AB C．23D 7．（2020秋•大通县期末）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(3,2)-，M 在抛物线C 上，若点(2,4)N ，则||||MF MN +的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．58．（2020秋•大通县期末）已知点A ，B 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，若12||F F =，P 是双曲线上异于A ，B 的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积为定值4，则||(AB = )A ．2B ．C ．D ．49．（2020秋•海淀区期末）数列{}n a 的通项公式为23n a n n =-，*n N ∈，前n 项和为.n S 给出下列三个结论： ①存在正整数m ，()n m n ≠，使得m n S S =；②存在正整数m ，()n m n ≠，使得m n a a += ③记12(1n n T a a a n =⋯=，2，3，)⋯则数列{}n T 有最小项． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．③C ．①③D ．①②③10．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为1C ，2.C 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林()G Dandelin ⋅利用这个模型证明了平面a 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为30︒，1C ，2C 的半径分别为1，4，点M 为2C 上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达点M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是( )A ．6B ．8C ．D ．11．（2021•福建模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于A ，B 两点，若||||4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．(0B ．(0，3]4C．1) D ．3[4，1)12．（2020秋•西青区期末）2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡举行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入a 元的定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱（元)的总数为( ) A ．6(1)a P + B ．7(1)a P +C ．6[(1)(1)]aP P P +-+ D ．7[(1)(1)]aP P P+-+ 13．（2021•河南模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A ，B 两点，若四边形AOBF 的面积为221()2a b +，则双曲线C 的渐近线方程为()A．2y x =±B．y = C ．y x =± D ．2y x =±14．（2020•辽宁一模）已知函数()2(|cos |cos )sin f x x x x =+给出下列四个命题： ①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线4x π=对称；③()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；④()f x 的值域为[2-，2]． 其中所有正确的编号是( ) A ．②④B ．③④C ．①③④D ．②③15．（2021•天津模拟）已知函数2(43)3,0()(0,1)(1)1,0ax a x a x f x a a log x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++⎪⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A ．(0，2]3B ．2[3，3]4C ．1[3，23]{}34D ．1[3，23){}3416．（2020秋•石景山区期末）如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点，设AP 的长度为x ，若PBD ∆的面积为()f x ，则()f x 的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．17．（2020秋•成都期末）已知椭圆22:143x y M +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作y 轴的平行线交椭圆M 于A 、B 两点，O 为坐标原点，双曲线N 以1F 、2F 为顶点，以直线OA 、OB 为渐近线，则双曲线N 的焦距为( )A B C D18．（2020秋•海原县校级期末）若2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1m >B ．1m <-C ．1311m <-D ．13111m m ><-或 19．（2020秋•济南期末）早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现：光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段．若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子（即便镜面是曲面）反射到另一点，仍然选择最短路径．已知曲线22:1(0)43x y C y +=>，且将C 假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点(1,1)A 射出，经由C 上一点P 反射到点(1,0)F -，则||||(AP PF += )A B ．3C ．D ．720．（2020秋•南平期末）已知点P 为双曲线22221(0)x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I 是△12PF F 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有12122IPF IPF IF F S SS -成立，则双曲线的离心率取值范围是( )A ．B ．(1，C ．(1，D ．(121．（2020秋•江岸区校级期末）甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已打局数为ξ，则(5)(P ξ= ) A ．320729B ．64729C ．2681D ．168122．（2020秋•江岸区校级期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 在棱AB 上，且1AM =，点P 是正方体下底面ABCD 内（含边界）的动点，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为16，则动点P 到B 点的最小值是( )A ．72B ．C D23．（2020秋•江岸区校级期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点1(M x ，1)y ，1(N x -，1)y -在椭圆C 上，若112||3||MF NF =，且1120MF N ∠=︒，则椭圆C 的离心率为( )A B C D24．（2020•湖北二模）设()f n *)n N ∈的整数，如f （1）1=，f （2）1=，f （3）2=，f （4）2=，f （5）2=，⋯，若正整数m 满足11114034(1)(2)(3)()f f f f m +++⋯+=，则(m = ) A ．20162017⨯B ．22017C ．20172018⨯D ．20182019⨯25．（2020秋•东莞市期末）如图，四边形ABCD 中，CE 平分ACD ∠，AE CE ==DE =，若ABC ACD ∠=∠，则四边形ABCD 周长的最大值为( )A ．24B ．12+C ．D ．3(5+二．多选题（共4小题）26．（2021•全国模拟）设函数cos2()2sin cos xf x x x=+，则( )A ．()()f x f x π=+B ．()f x 的最大值为12C ．()f x 在(4π-，0)单调递增D ．()f x 在(0,)4π单调递减27．（2020秋•济南期末）汉代数学名著《九章算术》第九卷《勾股》章中提到了著名的“勾股容方”问题．如图，正方形GBEF 内接于直角三角形ABC ，其中BE d =，BC a =，AB b =，a b ，则下列关系式成立的是( )A ．2a d <B 22a bd +<<C ．111d a b=+ D a b d +-28．（2020秋•济南期末）设抛物线2y ax =的准线与对称轴交于点P ，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A 和B ，则( ) A ．点P 坐标为1(0,)4a- B ．直线AB 的方程为14y a= C ．PA PB ⊥D ．1||2||AB a =29．（2020秋•雁塔区校级期末）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线A ，B 相交于点M ，且它们的斜率分别为1，2，下列命题是真命题的有( )A ．若122+=，则M 的轨迹是椭圆（除去两个点）B ．若122-=，则M 的轨迹是抛物线（除去两个点）C ．若122⋅=，则M 的轨迹是双曲线（除去两个点）D ．若122÷=，则M 的轨迹是一条直线（除去一点）三．填空题（共21小题）30．（2021•全国模拟）对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差2~(0,)n N nε，为使误差n ε在(0.5,0.5)-的概率不小于0.9545，至少要测量 次．（若2~(,)X N μσ，则(||2)0.9545)P X μσ-<=．31．（2020秋•静安区期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 以每秒2π的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒3π的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O ，则上述过程中动点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数表达式为 ．32．（2020•新建区校级模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过右支上一点P 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ．若1||||PH PF +的最小值为4a ，则双曲线C 的离心率为 ．33．（2020秋•杨浦区校级期末）如果M 是椭圆221:1169x y C +=上的动点，N 是椭圆222:16436x y C +=上的动点，那么OMN ∆面积的最大值为 ．34．（2020x a +有两个不等的实根，则实数a 的取值范围为 ．35．（2020秋•杨浦区校级期末）已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 为圆22:4M x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设0(P x ，0)y 为弦AB 上一点，且2AP PB =，则00|3410|x y +-的最小值为 ．36．（2020秋•大兴区期末）如图，在四面体ABCD 中，其棱长均为1，M ，N 分别为BC ，AD 的中点．若MN xAB y AC z AD =++，则x y z ++= ；直线MN 和CD 的夹角为 ．37．（2020秋•大兴区期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n P 表示没有出现连续3次正面的概率．给出下列四个结论： ①378P =； ②41516P =； ③当2n 时，1n n P P +<； ④123111(4)248n n n n P P P P n ---=++． 其中，所有正确结论的序号是 ．38．（2020秋•大通县期末）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M ，E 分别为的PQ ，AB 中点，F 是BC 边靠近C 的三等分点，则直线ME 与平面ABCD 所成角的正切值为 ；异面直线EM 与AF 所成角的余弦值是 ．39．（2020秋•海淀区期末）已知圆22:(5)(2)2P x y -+-=，直线:l y ax =，点(5,2M +，点(,)A s t ．给出下列4个结论：①当0a =，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 圆P 的一条对称轴，则25a =； ③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=︒，则a 的最大值为2021； ④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=︒，则t． 其中所有正确结论的序号是 ．40．（2020秋•丰台区期末）如果数列{}n a 满足211(n n n na a a a +++-=为常数），那么数列{}n a 叫做等比差数列，叫做公比差．给出下列四个结论： ①若数列{}n a 满足12n na n a +=，则该数列是等比差数列；②数列{2}n n ⋅是等比差数列； ③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列． 其中所有正确结论的序号是 ．41．（2020秋•西青区期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则||8PQ =； ③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线//AQ 抛物线的对称轴； ⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条． 以上结论中正确的序号为 ．42．（2020秋•天津期末）已知实数0a >，0b >，121a b +=，则4312a ba b +--的最小值是 ． 43．（2020秋•天津期末）已知扇形AOB 半径为1，60AOB ∠=︒，弧AB 上的点P 满足(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，则λμ+的最大值是 ；PA PB 最小值是 ．44．（2020•石景山区一模）已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN 的中点，则||FN = ．45．（2020秋•成都期末）已知圆22:(2)(5)4C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为 ．46．（2012•上海）在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是 ．47．（2020秋•济南期末）为推动全民健身，宣传天下泉城，首届泉城（济南）马拉松赛于2019年11月2日在大明湖南门开赛．如图①，②，③，④分别包含1个、5个、13个、25个首届泉城马拉松赛的LOGO “泉”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含n a 个“泉”，则当2n 时，1n n a a --= ，10a = ．48．（2020秋•济南期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>具有相同的焦点1F ，2F ，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，若122F PF π∠=，则2212e e +的取值范围为 ．49．（2020秋•凉山州期末）已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，1||OF 为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，则该双曲线离心率为 时，△2F AB 为等边三角形．50．（2020秋•江岸区校级期末）一个口袋中有3个红球4个白球，从中取出2个球．下面几个命题： （1）如果是不放回地抽取，那么取出1个红球，1个白球的概率是27； （2）如果是不放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是35；（3）如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是1249； （4）如果是有放回地抽取，那么第2次取到红球的概率和第1次取到红球的概率相同． 其中正确的命题是 ．。