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湖南省衡阳县第四中学2015届高三数学上学期周考(四)试题 理

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湖南省衡阳市衡阳县四中高三数学上学期11月月考试卷 理(含解析)

湖南省衡阳市衡阳县四中高三数学上学期11月月考试卷 理(含解析)

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知命题：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．上述命题中真命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 42．已知函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣3．已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A． B． C．D．4．已知向量（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．x B． 2x C．（2+1）x D．（2+2）x6．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．把函数y=cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．8．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A． B．（2﹣，2+） C． [1，3] D．（1，3）9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A． 4 B． C． 1 D． 210．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A． 1 B． C． D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= ．12．函数y=的最大值是．13．曲线y=sinx与直线x=0、x=、x轴所围成的图形的面积为．14．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A，的取值范围是．15．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1（w＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递减区间．17．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．18．已知函数为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0．19．如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2．（1）求证：OF⊥平面ABCD；（2）求二面角F﹣BC﹣D的正切值．20．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y 最少．21．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时， f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知命题：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．上述命题中真命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接写出全称命题的否定判断①；举例说明②错误；由原命题成立，说明其逆否命题成立说明③正确；举例说明④错误．解答：解：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在能被2整除的整数不都是偶数”①错误；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”错误，可能是梯形；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”成立，则其逆否命题成立，③正确；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题为“若a+b=3，则a=1且b=2”，错误，如．故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生对基础知识的掌握，是中档题．2．已知函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣考点：对数函数的单调性与特殊点；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：根据对数函数的单调性和特殊点求得 P（2，3），再由任意角的三角函数的定义求出sinα和cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求出sin2α﹣sin2α的值．解答：解：∵函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，∴P（2，3）．若角α的终边经过点P，则x=2，y=3，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，∴sin2α﹣sin2α=﹣2 •=﹣，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．3．已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A． B． C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：先对x分段讨论，求出f[f（x）]的表达式，然后代入不等式f[f（x）]≥1求出x 的范围，写出集合形式即为解集．解答：解：当x≥0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得x≥4当x＜0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得∴不等式的解集为故选D点评：解决分段函数的有关问题，应该分段来解决，然后将各段的结果并起来即为函数的对应结果．4．已知向量（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：先设与的夹角为θ，根据题意，易得=﹣2，将其代入（+）=中易得•=﹣，进而由数量积的运算，可得cosθ的值，有θ的范围，可得答案．解答：解：设与的夹角为θ，∵，则=﹣2，（+）•=﹣•=，即•=﹣，cosθ==﹣，0°≤θ≤180°，则θ=120°，故选C．点评：本题考查向量的数量积的运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角或证明垂直．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．x B． 2x C．（2+1）x D．（2+2）x考点：由三视图求面积、体积．专题：探究型．分析：由三视图可知，该几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，所以根据圆锥表面积公式求表面积即可．解答：解：由图知，原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，圆锥底面半径是1，圆锥的高是1，圆锥的母线，则表面积为，选B．故选B．点评：本题主要考查三视图的识别和判断，以及空间几何体的表面积公式，利用三视图还原为空间几何体是解决三视图题目中常用的方法．6．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：过O1作O1P∥CD，交棱B1C1于点P，连结BP，则∠BO1P就是O1B与CD所成角．由此能求出结果．解答：解：如图，过O1作O1P∥CD，交棱B1C1于点P，连结BP，则∠BO1P就是O1B与CD所成角，∵正方体的棱长为2，O1是上底面A1B1C1D1的中心，∴P是B1C1中点，O1P=1，BP==，O1P⊥BP1，∴BO1==，∴cos∠BO1P===．故选：D．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．把函数y=cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简函数y=cosx﹣sinx，为一个角的一个三角函数的形式，通过图象的平移，得到函数的表达式，由函数图象关于y轴对称，函数在y轴处取得函数的最值，求解即可解答：解：∵函数y=cosx﹣sinx=2cos（x+），图象向左平移m个单位可得y=2cos（x+m+），根据偶函数的性质：图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即2cos（m+）=±2，解得，m+=kπ，∴m=kπ﹣，k∈Z，∵m＞0．k=1时，m的最小值．故选：C．点评：本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，三角函数的性质．8．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A． B．（2﹣，2+） C． [1，3] D．（1，3）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题．分析：利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．解答：解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A． 4 B． C． 1 D． 2考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出+的最小值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．因此，+=（+）×（4a+6b）=2+（），∵a＞0，b＞0，可得≥=12，∴当且仅当即2a=3b=3时，的最小值为12，相应地，+=2+（）有最小值为4．故选：A点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求+的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A． 1 B． C． D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x 的值．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D点评：可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= 1 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．解答：解：∵∴∵垂直∴即∴k=1故答案为：1点评：本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．12．函数y=的最大值是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由5x﹣2≥0求出函数的定义域，求出的范围，利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质求出此函数的最大值．解答：解：由5x﹣2≥0得，x≥，则函数的定义域是[，+∞），所以0＜≤，则函数y====≤，所以函数y=的最大值是，故答案为：．点评：本题考查函数的最值的求法，利用配方法将解析式转化关于的二次函数是解题的关键，注意应先求出函数的定义域，属于中档题．13．曲线y=sinx与直线x=0、x=、x轴所围成的图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：先做出函数y=sinx的图象，然后确定出交点，积分区间，则问题可解．解答：解：由题意，所求的面积为图中阴影部分：故S===．故答案为．点评：本题考查了定积分的几何意义及其求法，属于基础题．14．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A，的取值范围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由三角形ABC为锐角三角形，以及C=2A，利用内角和定理及不等式的性质求出A的范围，确定出cosA的范围，原式利用正弦定理化简，把C=2A代入利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果，根据cosA的范围确定出范围即可．解答：解：∵△ABC为锐角三角形，C=2A，B=180°﹣3A，∴0＜C=2A＜90°，0＜180°﹣3A＜90°，即30°＜A＜45°，∴＜cosA＜，即＜2cosA＜，由正弦定理=得：====2cosA，则的取值范围为（，），故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx ﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1（w＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）化简f（x）的函数解析式，根据已知和周期公式可求ω的值，由x的取值范围，根据正弦函数的图象和性质即可求f（x）的取值范围；（2）由f（x）的解析式，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递减区间．解答：解：（1）f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1=+sin2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣∵w＞0，周期为π，即T==π∴可解得：ω=1，∴f（x）=sin（2x）﹣∵x∈[0，]∴2x∈[，]∴sin（2x）∈[﹣，1]，从而可求得f（x）的取值范围为[﹣1，]．（2）∵令2k≤2x≤2k，k∈Z，可解得：k≤x≤k，k ∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为[k，k]，k∈Z．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．17．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．考点：向量的共线定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．解答：解：（1）因为∥，所以；所以，即，即．因为A∈（0，π），所以．故，；（2）由余弦定理，得4=b2+c2﹣bc．又，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）所以；当△ABC的面积取最大值时，b=c．又；故此时△ABC为等边三角形．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题18．已知函数为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：（I）根据函数为R上的奇函数，得到f（0）=0，即b=0，所以函数解析式为：．然后用求导数的方法研究其单调性，根据它的导数f'（x）在区间（1，+∞）上为负数，得到函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）首先移项，得到不等式f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x﹣4）．根据函数为奇函数，将原不等式化为：f（1+2x2）＞f（x2﹣2x+4）．注意到括号里的两个自变量都是不小于1的实数，从而结合函数在区间（1，+∞）上为减函数，得到1+2x2＜x2﹣2x+4，解之得﹣3＜x＜1．从而得到原不等式的解集．解答：解：（I）∵函数为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即b=0，∴函数解析式为：．∴对f（x）求导数，得．∵当x＞1时，＜0成立，∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．（II）由f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0，得f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x﹣4）．∵f（x）是奇函数，∴﹣f（﹣x2+2x﹣4）=f（x2﹣2x+4）．原不等式化为：f（1+2x2）＞f（x2﹣2x+4）．又∵1+2x2≥1，x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，∴1+2x2＜x2﹣2x+4，即x2+2x﹣3＜0，解之得﹣3＜x＜1．∴不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}点评：本题以一个分式函数为例，着重研究其单调性和奇偶性，考查了函数奇偶性与单调性的综合、一元二次不等式的解法等知识点，属于中档题．19．如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2．（1）求证：OF⊥平面ABCD；（2）求二面角F﹣BC﹣D的正切值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知条件推导出AC⊥BD，OF⊥BD，由此能够证明OF⊥平面ABCD．（2）过O作OH⊥BC于H，连结HF，由三垂线定理知∠FHO为二面角F﹣BC﹣D的平面角，由此能求出二面角F﹣BC﹣D的正切值．解答：（1）证明：∵面ABCD⊥面BDEF且交于BD，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵∠DAB=60°，AC=2，∴OB=1，BD=2=BF，又∵∠DBF=60°，∴OF=，∠FOB=90°，∴OF⊥BD，∴OF⊥平面ABCD．（2）解：∵OF⊥平面ABCD，过O作OH⊥BC于H，连结HF，∴由三垂线定理知∠FHO为二面角F﹣BC﹣D的平面角，又∵OF=，OH=，∴tan∠OHF=2，∴二面角F﹣BC﹣D的正切值为2．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题．20．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y 最少．考点：函数模型的选择与应用．分析：（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．解答：解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，故（1）当0＜c＜时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，在（c，10]上，y是关于v的增函数，故当v=c时，答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；（2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．点评：本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．21．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．解答：解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）＞0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴解得．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．。

湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期第四次模拟考试试题 文(含解析)湘教版

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2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学四模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2015•衡阳县校级四模）设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A【考点】：全称命题；命题的否定．【专题】：规律型．【分析】：根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解析】：解：全称命题的否定是特称命题，∴￢p：∃x∈Z，2x∉A．故选：D．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）（2015•衡阳县校级四模）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（）A． 3 B．4 C． 5 D．6【考点】：集合中元素个数的最值．【专题】：规律型．【分析】：根据集合C的元素关系确定集合C即可．【解析】：解：A={1，2，3}，B={4，5}，∵a∈A，b∈B，∴a=1，或a=2或a=3，b=4或b=5，则x=b﹣a=3，2，1，4，即B={3，2，1，4}．故选：B．【点评】：本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．3．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），且：x2﹣x1=15，则a=（）A．B．C．D．【考点】：一元二次不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：利用不等式的解集以及韦达定理得到两根关系式，然后与已知条件化简求解a的值即可．【解析】：解：因为关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），所以x1+x2=2a…①，x1•x2=﹣8a2…②，又x2﹣x1=15…③，①2﹣4×②可得（x2﹣x1）2=36a2，代入③可得，152=36a2，解得a==，因为a＞0，所以a=．故选：A．【点评】：本题考查二次不等式的解法，韦达定理的应用，考查计算能力．4．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】：等比数列的前n项和．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解析】：解：∴3an+1+an=0∴∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．（5分）（2015•衡阳县校级四模）已知a＞0且a≠1，函数y=logax，y=ax，y=x+a在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据指数函数和对数的函数的单调性，和一次函数的纵截距所得的a的范围是否一致．故可判断．【解析】：解：当0＜a＜1，y=logax，y=ax均为减函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标小于1，当a＞1，y=logax，y=ax均为增函数，且y=x+a与y轴的交点纵坐标大于于1，观察图象知，A，B，D均错，只有C正确．故选：C【点评】：本小题主要考查，一次函数，对数函数、指数函数的图象等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．6．（5分）（2015•衡阳县校级四模）定义运算=ad﹣bc，若函数f（x）=在（﹣∞，m）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣2]【考点】：二次函数的性质．【专题】：新定义．【分析】：先根据新定义化简函数解析式，然后求出该函数的单调减区间，然后使得（﹣∞，m）是减区间的子集，从而可求出m的取值范围．【解析】：解：∵，∴=（x﹣1）（x+3）﹣2×（﹣x）=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），∵函数在（﹣∞，m）上单调递减，∴（﹣∞，m）⊆（﹣∞，﹣2），即m≤﹣2，∴实数m的取值范围是m≤﹣2．故选D．【点评】：本题主要考查求二次函数的性质的应用，以及新定义，同时考查了运算求解的能力和分析问题的能力，属于基础题．7．（5分）（2015•衡阳县校级四模）已知f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】：导数的运算．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据导数的运算法则，求导，然后导入值计算即可【解析】：解：f（x）=cosx，则f′（x）=﹣，∴f（π）+f′（）=cosπ﹣﹣=﹣﹣=﹣，故选：D【点评】：本题考查了导数的运算法则，属于基础题8．（5分）（2015•衡阳县校级四模）已知，b=logπ3，，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c=a＞b【考点】：对数值大小的比较．【专题】：计算题．【分析】：利用指数与对数的运算性质，确定a，b，c 的值的范围，然后推出结果．【解析】：解：由指数与对数的运算性质可知＞1，b=logπ3∈（0，1）；=＜0，所以a＞b＞c；故选A．【点评】：本题考查指数与对数的运算性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2015•衡阳县校级四模）如图是二次函数f（x）=x2﹣bx+a的部分图象，则函数g （x）=ex+f′（x）的零点所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】：导数的运算；二次函数的性质；函数零点的判定定理．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：由图象可知，0＜f（0）=a＜1，f（1）=0，从而可得b的范围，然后根据零点判定定理可得结论．【解析】：解：由图象可知，0＜f（0）=a＜1①，f（1）=0，即1﹣b+a=0②，由①②可得1＜b＜2，g（x）=ex+2x﹣b，且g（0）=1﹣b＜0，g（1）=e+2﹣b＞0，又g（x）的图象连续不断，所以g（x）在（0，1）上必存在零点，故选B．【点评】：本题考查导数的运算、函数零点的判定定理，考查数形结合思想，属中档题．10．（5分）（2015•衡阳县校级四模）已知函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f（2014）=（）A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣16【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：由f（x+6）+f（x）=0，得到f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，再由y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，得到f（﹣x）=﹣f（x），运用周期，化简f（2014）=f（﹣2）=﹣f（2），即可得到答案．【解析】：解：f（x+6）+f（x）=0，即f（x+6）=﹣f（x），则f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，由于y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即有f（﹣x）=﹣f（x），则f（2014）=f（12×167+10）=f（10）=f（﹣2），由于f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．故选B．【点评】：本题考查抽象函数及应用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）=．【考点】：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】：计算题．【分析】：可设幂函数y=f（x）=xα，由题意可求得α的值，从而可得f（2），可得答案．【解析】：解：设幂函数y=f（x）=xα，∵其图象过点，∴f（）==，∴α=．∴f（2）==，∴log2f（2）=log2=，故答案为：．【点评】：本题考查幂函数的概念与解析式，求得α的值是关键，考查待定系数法与计算能力，属于基础题．12．（5分）（2015•衡阳县校级四模）已知函数f（x）=（a∈R）．若f[f（﹣1）]=1，则a=．【考点】：函数的值．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用分段函数的性质求解．【解析】：解：∵函数f（x）=（a∈R）．f[f（﹣1）]=1，∴f（﹣1）=2+1=3，f[f（﹣1）]=f（3）=a•2•3=1，解得a=．故答案为：．【点评】：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．13．（5分）（2015•衡阳县校级四模）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是24．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出可行域，变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x易得最大值和最小值，作差可得答案．【解析】：解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知当直线经过点A（8，0）时，目标函数取最小值b=﹣8，当直线经过点B（4，4）时，目标函数取最大值a=16，∴a﹣b=16﹣（﹣8）=24故答案为：24【点评】：本题考查简单选项规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣4（a∈R）若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a=4．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；导数的概念及应用．【分析】：先求出函数f（x）的导函数，然后根据函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率等于1，建立关于a的方程，解之即可．【解析】：解：∵f（x）=﹣x3+ax﹣4，∴f'（x）=﹣3x2+a，∵函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为45°，∴﹣3+a=1，∴a=4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率与倾斜角的关系，考查运算能力．15．（5分）（2015•衡阳县校级四模）已知定义域是（0，+∞）的函数f（x）满足；（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．给出下列结论：①对任意m∈Z，有f（3m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（3n+1）=0；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“∃k∈Z，使得（a，b）⊆（3k，3k+1）．”其中正确结论的序号是①②④．【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；连续利用题中第①②个条件得到②正确，③错误；对于④，令3k≤a＜b≤3k+1，利用函数单调性的定义判断即可．【解析】：解：①∵对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，当x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x．∴f（3m）=f（3•3m﹣1）=3f（3m﹣1）=…=3m﹣1f（3）=0，故①正确；②取x∈（3m，3m+1]，则∈（1，3]，f（）=3﹣，f（）=…=3mf（）=3m+1﹣x，从而函数f（x）的值域为[0，+∞）；即②正确；=3m+1﹣x，从而f（x）∈[0，+∞），故②正确；③∵x∈（1，3]时，f（x）=3﹣x，对任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，∴f（3n+1）=3nf（1+）=3n[3﹣（1+）]=3n（2﹣）≠0，故③错误；④令3k≤a＜b≤3k+1，则1≤＜≤3，∴f（a）﹣f（b）=f（3k•）﹣f（3k•）=3k[f（）﹣f（）]=3k[（3﹣）﹣（3﹣）]=3k（﹣）=b﹣a＞0，∴函数f（x）在区间（a，b））⊆（3k，3k+1）上单调递减，故④正确；综上所述，正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．【点评】：本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度大，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（2015•衡阳县校级四模）命题p：“∀x∈（0，+∞），有9x+≥7a+1，其中常数a＜0”，若命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．【考点】：复合命题的真假．【专题】：函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】：首先，分别判断两个命题为真命题时，a的取值范围，然后，结合“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和命题q一真一假，分情况进行讨论完成结果．【解析】：解：∵a＜0，若p为真命题，则（9x+）min≥7a+1，又∵9x+≥2=|6a|=﹣6a，∴﹣6a≥7a+1，∴a≤﹣，若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即a≥1或a≤﹣2，若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和命题q一真一假∴当p真q假时，则，∴﹣2＜a≤﹣，当p假q真时，则，∴a≥1，综上，符合条件的a的取值范围为（﹣2，﹣]∪[1，+∞）．【点评】：本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的真假判断等知识，属于中档题，解题关键是准确判断符合命题的真假情形．17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．【考点】：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．【解析】：解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．【点评】：本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．18．（14分）（2015•衡阳县校级四模）已知等差数列{an}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【考点】：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式an；（II）由（I）可得a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+…+a3n﹣2．【解析】：解：（I）设等差数列{an}的公差为d≠0，由题意a1，a11，a13成等比数列，∴，∴，化为d（2a1+25d）=0，∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2．∴an=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27．（II）由（I）可得a3n﹣2=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列．∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n﹣2===﹣3n2+28n．【点评】：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关键．19．（12分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【考点】：分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】：分类讨论．【分析】：（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．【解析】：解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．【点评】：本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．20．（13分）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；综合题；转化思想．【分析】：（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解析】：解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e ﹣3【点评】：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=xlnx．（l）求f（x）的单调区间和极值；（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．【考点】：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．【解析】：解（1）∵f（x）=xlnx，∴f'（x）=lnx+1，∴f'（x）＞0有，∴函数f（x）在上递增，f'（x）＜0有，∴函数f（x）在上递减，∴f（x）在处取得极小值，极小值为．（2）∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3即mx≤2x•lnx+x2+3，又x＞0，∴，令，令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，∴h（x）max=h（1）=4．即m的最大值为4．【点评】：本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．。

湖南省衡阳市衡阳县四中高三数学上学期9月月考试卷 文

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2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）9月月考数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设M={2}，N={2，3}，则下列表示不正确的是（）A．M⊊N B．M⊆N C．2∈N D．2⊊N2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}3．设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞05．若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．6．函数的定义域是（）A．{x|x＜﹣4或x＞3} B．{x|﹣4＜x＜3} C．{x|x≤﹣4或x≥3}D．{x|﹣4≤x≤3}7．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=ln（x+1）C．y=（）x D．y=x+8．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）10．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）11．已知函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）12．周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）13．若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．14．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是．15．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．计算：（1）（0.027）﹣（）﹣2+（2）﹣（1+）0；（2）lg25+2lg﹣lg+log432．17．在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．20．已知函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．（1）求实数k，a的值；（2）若函数，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．21．已知二次函数y=f（x）的对称轴为x=1，且f（0）=6，f（﹣1）=12．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为[m，m+1]，f（x）的值域为[12，22]，求m的值．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设M={2}，N={2，3}，则下列表示不正确的是（）A．M⊊N B．M⊆N C．2∈N D．2⊊N【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】可判断2∈{2，3}=N，3∉{2}，从而解得．【解答】解：∵2∈{2，3}=N，3∉{2}，∴M⊊N，M⊆N；故选：D．【点评】本题考查了元素与集合，集合与集合的关系应用．2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选D．【点评】本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键．3．设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由题意N⊆M，由子集的定义可选．【解答】解：设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，M⊇N，所以若“a∈M”推不出“a∈N”；若“a∈N”，则“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，故B．【点评】本题考查充要条件的判断和集合包含关系之间的联系，属基本题．4．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】推理和证明．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题．5．若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【考点】不等关系与不等式．【专题】探究型．【分析】由题意a、b是任意实数，且a＞b，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A，B，C可通过特例排除，D可参考函数y=是一个减函数，利用单调性证明出结论．【解答】解：由题意a、b是任意实数，且a＞b，由于0＞a＞b时，有a2＜b2成立，故A不对；由于当a=0时，无意义，故B不对；由于0＜a﹣b＜1是存在的，故lg（a﹣b）＞0不一定成立，所以C不对；由于函数y=是一个减函数，当a＞b时一定有成立，故D正确．综上，D选项是正确选项故选D【点评】本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法﹣﹣特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法6．函数的定义域是（）A．{x|x＜﹣4或x＞3} B．{x|﹣4＜x＜3} C．{x|x≤﹣4或x≥3}D．{x|﹣4≤x≤3}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据根式函数的性质解不等式即可．【解答】解：要使函数有意义，则x2+x﹣12≥0，即（x﹣3）（x+4）≥0，解得x≥3或x≤﹣4．故函数的定义域为{x|x≤﹣4或x≥3}．故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及一元二次不等式的解法，比较基础．7．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=ln（x+1）C．y=（）x D．y=x+【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】求出每个函数的导函数，然后判断它们的导数在区间（0，+∞）上的符号，从确定单调性．【解答】解：对于A，因为恒成立，所以y=x﹣1在（0，+∞）上递减，故A错；对于B，，当x＞0时，显然y′＞0，所以该函数在（0，+∞）上递增，故B 正确；对于C，恒成立，所以该函数在区间（0，+∞）上递减，故C错误；对于D，，当0＜x＜1时，y′＜0；x＞1时，y′＞0，所以原函数在（0，1）上递减，在[1，+∞）递增，故D错误．故选B．【点评】本题也可以借助幂函数、指数函数、对数函数的图象判断求解，属于基础题．8．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．9．函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题可求出相应区间端点的值，由连续函数根的存在性定理，端点值异号时，该区间内有根，得本题的解．【解答】解：∵函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1，∴f（0）=﹣|0﹣5|+2﹣1=﹣＜0，f（1）=﹣|1﹣5|+20=﹣3＜0，f（2）=﹣|2﹣5|+21=﹣1＜0，f（3）=﹣|3﹣5|+22=2＞0，f（4）=﹣|4﹣5|+23=7＞0．∵f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（2，3）．故选C．【点评】本题考查了方程根的存在性定理，本题难度不大，属于基础题．10．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．已知函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】函数的图象与图象变化．【分析】已知函数f（x在（0，+∞）上单调递增，有f（1）＜f（2）＜f（3），分析可得f（x）=f（﹣x），则有f（﹣2）=f（2），两者结合可得答案．【解答】解：根据题意，易得f（x）=f（﹣x），即f（x）是偶函数，则有f（﹣2）=f（2），已知函数f（x在（0，+∞）上单调递增，有f（1）＜f（2）＜f（3），又有f（﹣2）=f（2），故有f（1）＜f（﹣2）＜f（3），故选B．【点评】本题考查函数图象的变化，注意y=|f（x）|、y=f（|x|）的图象与y=f（x）的关系，即对称变化，尤其注意单调性的变化．12．周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．【解答】解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）13．若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数14．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|﹣3＜x＜1或x ＞3} ．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】先求出f（1）的值，再利用分段函数解不等式即可．【解答】解：∵f（1）=3当x＜0时，令x+6＞3有x＞﹣3，又∵x＜0，∴﹣3＜x＜0，当x≥0时，令x2﹣4x+6＞3，∴x＞3或x＜1，∵x≥0，∴x＞3或0≤x＜1，综上不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜1或x＞3}；故答案为：{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．【点评】本题主要考查分段函数的应用和不等式的求法．属中档题．注意：函数的定义域．15．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为f（x）=x ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造方程组，然后求出函数的解析式即可．【解答】解：根据题意2f（x）﹣f（﹣x）=3x，①用﹣x代替x可得2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x，②①②消去f（﹣x）可得：3f（x）=3x，∴f（x）=x，故答案为：f（x）=x．【点评】本题考查函数解析式的应用问题，解题时应值域x的任意性，方程组的思想的应用．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．计算：（1）（0.027）﹣（）﹣2+（2）﹣（1+）0；（2）lg25+2lg﹣lg+log432．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）（0.027）﹣（）﹣2+（2）﹣（1+）0=﹣8﹣1×（﹣2）+（）﹣1，=﹣64+﹣1=﹣60；（2）lg25+2lg﹣lg+log432=lg5+lg2++=lg10+3=1+3=4．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．17．在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n代入b n=log3a n，得到数列{b n}的通项公式，由此得到数列{b n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n=log3a n，∴．则数列{b n}的首项为b1=0，由b n﹣b n﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．19．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数最值的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当 m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．20．已知函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．（1）求实数k，a的值；（2）若函数，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8），分别代入函数解析式，构造关于k，a的方程组，解方程组可得实数k，a的值；（2）由（1）求出函数的解析式，并根据指数的运算性质进行化简，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B （3，8）．∴k=1，且k•a﹣3=8解得k=1，a=（2）函数g（x）为奇函数，理由如下：由（1）得f（x）=﹣x=2x，∴函数=则g（﹣x）===﹣=﹣g（x）∴函数g（x）为奇函数【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，函数奇偶性的判断，是函数图象和性质的简单综合应用，难度不大．21．已知二次函数y=f（x）的对称轴为x=1，且f（0）=6，f（﹣1）=12．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为[m，m+1]，f（x）的值域为[12，22]，求m的值．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）设出二次函数，利用已知条件列出方程求解即可．（2）求出对称轴的函数值，判断对称轴是否在区间[m，m+1]，然后分类讨论求解即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）为二次函数，所以设 f（x）=ax2+bx+c（a≠0）由已知有解得所以 f（x）=2x2﹣4x+6（2）因为f（x）在[m，m+1]的值域为[12，22]，且f（1）=4 所以1∉[m，m+1]，所以m＞1 或 m＜0当m＞1 时，f（x）在[m，m+1]单调递增，所以由，解得m=3；当m＜0 时，f（x）在[m，m+1]单调递减，所以由，解得 m=﹣2综上知，m=3 或 m=﹣2【点评】本题考查二次函数的性质，解析式的求法以及函数的值域求法，考查分析问题解决问题的能力．。

湖南省衡阳市衡阳县四中高三数学上学期9月月考试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

湖南省衡阳市衡阳县四中高三数学上学期9月月考试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市某某县四中高三（上）9月月考数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设M={2}，N={2，3}，则下列表示不正确的是（）A．M⊊N B．M⊆N C．2∈N D．2⊊N2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}3．设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞05．若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．6．函数的定义域是（）A．{x|x＜﹣4或x＞3} B．{x|﹣4＜x＜3} C．{x|x≤﹣4或x≥3}D．{x|﹣4≤x≤3} 7．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=ln（x+1）C．y=（）x D．y=x+8．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）10．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）11．已知函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）12．周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）13．若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．14．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是．15．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．计算：（1）（0.027）﹣（）﹣2+（2）﹣（1+）0；（2）lg25+2lg﹣lg+log432．17．在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值X围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值X围．20．已知函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．（1）某某数k，a的值；（2）若函数，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．21．已知二次函数y=f（x）的对称轴为x=1，且f（0）=6，f（﹣1）=12．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为[m，m+1]，f（x）的值域为[12，22]，求m的值．2015-2016学年某某省某某市某某县四中高三（上）9月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设M={2}，N={2，3}，则下列表示不正确的是（）A．M⊊N B．M⊆N C．2∈N D．2⊊N【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】可判断2∈{2，3}=N，3∉{2}，从而解得．【解答】解：∵2∈{2，3}=N，3∉{2}，∴M⊊N，M⊆N；故选：D．【点评】本题考查了元素与集合，集合与集合的关系应用．2．已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由题意，可先化简集合A，再求两集合的交集．【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选D．【点评】本题考查求交，掌握理解交的运算的意义是解答的关键．3．设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】由题意N⊆M，由子集的定义可选．【解答】解：设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，M⊇N，所以若“a∈M”推不出“a∈N”；若“a∈N”，则“a∈M”，所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，故B．【点评】本题考查充要条件的判断和集合包含关系之间的联系，属基本题．4．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】推理和证明．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题．5．若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．lg（a﹣b）＞0 D．【考点】不等关系与不等式．【专题】探究型．【分析】由题意a、b是任意实数，且a＞b，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A，B，C可通过特例排除，D可参考函数y=是一个减函数，利用单调性证明出结论．【解答】解：由题意a、b是任意实数，且a＞b，由于0＞a＞b时，有a2＜b2成立，故A不对；由于当a=0时，无意义，故B不对；由于0＜a﹣b＜1是存在的，故lg（a﹣b）＞0不一定成立，所以C不对；由于函数y=是一个减函数，当a＞b时一定有成立，故D正确．综上，D选项是正确选项故选D【点评】本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法﹣﹣特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法6．函数的定义域是（）A．{x|x＜﹣4或x＞3} B．{x|﹣4＜x＜3} C．{x|x≤﹣4或x≥3}D．{x|﹣4≤x≤3}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据根式函数的性质解不等式即可．【解答】解：要使函数有意义，则x2+x﹣12≥0，即（x﹣3）（x+4）≥0，解得x≥3或x≤﹣4．故函数的定义域为{x|x≤﹣4或x≥3}．故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，以及一元二次不等式的解法，比较基础．7．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=ln（x+1）C．y=（）x D．y=x+【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】求出每个函数的导函数，然后判断它们的导数在区间（0，+∞）上的符号，从确定单调性．【解答】解：对于A，因为恒成立，所以y=x﹣1在（0，+∞）上递减，故A错；对于B，，当x＞0时，显然y′＞0，所以该函数在（0，+∞）上递增，故B 正确；对于C，恒成立，所以该函数在区间（0，+∞）上递减，故C错误；对于D，，当0＜x＜1时，y′＜0；x＞1时，y′＞0，所以原函数在（0，1）上递减，在[1，+∞）递增，故D错误．故选B．【点评】本题也可以借助幂函数、指数函数、对数函数的图象判断求解，属于基础题．8．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．9．函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题可求出相应区间端点的值，由连续函数根的存在性定理，端点值异号时，该区间内有根，得本题的解．【解答】解：∵函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1，∴f（0）=﹣|0﹣5|+2﹣1=﹣＜0，f（1）=﹣|1﹣5|+20=﹣3＜0，f（2）=﹣|2﹣5|+21=﹣1＜0，f（3）=﹣|3﹣5|+22=2＞0，f（4）=﹣|4﹣5|+23=7＞0．∵f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=﹣|x﹣5|+2x﹣1的零点所在的区间是（2，3）．故选C．【点评】本题考查了方程根的存在性定理，本题难度不大，属于基础题．10．函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】复合函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=log t．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=log t随t的减小而增大，所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．11．已知函数f（x）=log a|x|在（0，+∞）上单调递增，则（）A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1） B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3） C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】函数的图象与图象变化．【分析】已知函数f（x在（0，+∞）上单调递增，有f（1）＜f（2）＜f（3），分析可得f（x）=f（﹣x），则有f（﹣2）=f（2），两者结合可得答案．【解答】解：根据题意，易得f（x）=f（﹣x），即f（x）是偶函数，则有f（﹣2）=f（2），已知函数f（x在（0，+∞）上单调递增，有f（1）＜f（2）＜f（3），又有f（﹣2）=f（2），故有f（1）＜f（﹣2）＜f（3），故选B．【点评】本题考查函数图象的变化，注意y=|f（x）|、y=f（|x|）的图象与y=f（x）的关系，即对称变化，尤其注意单调性的变化．12．周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．【解答】解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1．故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．二、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）13．若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有m2﹣m﹣1=1函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m才是幂函数，又函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在x∈（0，+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．故答案为：2．【点评】本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数14．设函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|﹣3＜x＜1或x ＞3} ．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】先求出f（1）的值，再利用分段函数解不等式即可．【解答】解：∵f（1）=3当x＜0时，令x+6＞3有x＞﹣3，又∵x＜0，∴﹣3＜x＜0，当x≥0时，令x2﹣4x+6＞3，∴x＞3或x＜1，∵x≥0，∴x＞3或0≤x＜1，综上不等式的解集为：{x|﹣3＜x＜1或x＞3}；故答案为：{x|﹣3＜x＜1或x＞3}．【点评】本题主要考查分段函数的应用和不等式的求法．属中档题．注意：函数的定义域．15．已知函数满足2f（x）﹣f（﹣x）=3x，则f（x）的解析式为f（x）=x ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】构造方程组，然后求出函数的解析式即可．【解答】解：根据题意2f（x）﹣f（﹣x）=3x，①用﹣x代替x可得2f（﹣x）﹣f（x）=﹣3x，②①②消去f（﹣x）可得：3f（x）=3x，∴f（x）=x，故答案为：f（x）=x．【点评】本题考查函数解析式的应用问题，解题时应值域x的任意性，方程组的思想的应用．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）16．计算：（1）（0.027）﹣（）﹣2+（2）﹣（1+）0；（2）lg25+2lg﹣lg+log432．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数幂和对数的运算性质计算即可．【解答】解：（1）（0.027）﹣（）﹣2+（2）﹣（1+）0=﹣8﹣1×（﹣2）+（）﹣1，=﹣64+﹣1=﹣60；（2）lg25+2lg﹣lg+log432=lg5+lg2++=lg10+3=1+3=4．【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质，属于基础题．17．在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n代入b n=log3a n，得到数列{b n}的通项公式，由此得到数列{b n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n=log3a n，∴．则数列{b n}的首项为b1=0，由b n﹣b n﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．18．20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．19．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值X围；（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值X围．【考点】函数恒成立问题；函数最值的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或，分别求出m的X围后，综合讨论结果，可得答案．（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，则解得﹣4＜m＜0综上所述m的取值X围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，即恒成立．令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当 m＞0时，g（x）是增函数，所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，解得．所以当m=0时，﹣6＜0恒成立．当m＜0时，g（x）是减函数．所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，解得m＜6．所以m＜0．综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．20．已知函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．（1）某某数k，a的值；（2）若函数，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8），分别代入函数解析式，构造关于k，a的方程组，解方程组可得实数k，a的值；（2）由（1）求出函数的解析式，并根据指数的运算性质进行化简，进而根据函数奇偶性的定义，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=k•a﹣x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B （3，8）．∴k=1，且k•a﹣3=8解得k=1，a=（2）函数g（x）为奇函数，理由如下：由（1）得f（x）=﹣x=2x，∴函数=则g（﹣x）===﹣=﹣g（x）∴函数g（x）为奇函数【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，函数奇偶性的判断，是函数图象和性质的简单综合应用，难度不大．21．已知二次函数y=f（x）的对称轴为x=1，且f（0）=6，f（﹣1）=12．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为[m，m+1]，f（x）的值域为[12，22]，求m的值．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）设出二次函数，利用已知条件列出方程求解即可．（2）求出对称轴的函数值，判断对称轴是否在区间[m，m+1]，然后分类讨论求解即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）为二次函数，所以设 f（x）=ax2+bx+c（a≠0）由已知有解得所以 f（x）=2x2﹣4x+6（2）因为f（x）在[m，m+1]的值域为[12，22]，且f（1）=4 所以1∉[m，m+1]，所以m＞1 或 m＜0当m＞1 时，f（x）在[m，m+1]单调递增，所以由，解得m=3；当m＜0 时，f（x）在[m，m+1]单调递减，所以由，解得 m=﹣2综上知，m=3 或 m=﹣2【点评】本题考查二次函数的性质，解析式的求法以及函数的值域求法，考查分析问题解决问题的能力．。

湖南省衡阳县四中2014-2015届高三上学期第一次月考数学试题(301班) word版

湖南省衡阳县四中2014-2015届高三上学期第一次月考数学试题(301班) word版

湖南省衡阳县四中2014-2015届高三上学期第一次月考数学试题（301班）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题：0R,21x x ∃∈≥的否定是（ ） A ．00R,21x x ∃∈< B ．0R,21x x ∃∉≥ C ．R,21x x ∀∈≥ D ．R,21x x ∀∈< 2、下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是（ ）A ．y ＝－x ＋1B ．12y x = C ．y ＝2x －4x ＋5 D ．1y x =3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x | x(x ＋3)＜0}，B ＝{x | x ＜－1}，则右图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{x |－3＜x ＜－1}B ．{x |－1≤x ＜0}C ．{x |－3＜x ＜0}D ．{x |－1＜x ＜0} 4．方程03log 3=-+x x 的实数解所在的区间是（ ）A ．(0，1)B ．A ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5．设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1且23(2)1a f a -=+，则（ ）A ．23a <B ．213a a <≠-且C ．213a a ><-或D ．213a -<<6．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：则y 关于x 的函数关系与下列最接近的函数(其中a 、b 、c 为待定系数)是（ ）A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋bxC ．b ax y +=2D ．xb a y +=7．已知函数13()ln 144f x x x x =-+-，g(x)＝2x －2bx ＋4，若对任意1x ∈(0，2)，存在2x ∈[1，2]，使)()(21x g x f ≥，则实数b 的取值范围是（ ）A ．17(2,]8 B ．[1，＋∞] C ．17[,)8+∞ D ．[2，＋∞]8．已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)(其中a ＞b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝ax ＋b 的图象大致为（ ）A B C D二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分．9．幂函数f(x)＝x α(α为常数)的图象经过，则f(x)的解析式是 10．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是 增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x 的取值范围是11.已知总体的各个个体的值由小到大依次为3 7 12 20a b ，，，，，，且总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则a =12.运行如图所示的程序框图，若输入4n =，则输出S 的值为13．已知复数)(,)2()232(22R m i m m m m z ∈-++-+=为纯虚数，则=m 14．已知函数)(log 221a ax x y +-=在区间]2,(-∞上是增函数，则实数的取值范围是15．已知)(x f 是定义在R 上的函数，给出下列两个命题：.4),(),()(:212121=+≠=x x x x x f x f p 则若.0)()(),(],2,(,:21212121>--≠-∞∈x x x f x f x x x x q 则若则使命题“q p 且”为真命题的函数)(x f 可以是三、解答题：本大题共6个小题，满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝ax ＋1在R 上单调递减，命题q ：曲线y ＝x2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求a 的取值范围．17．(本小题满分12分)设函数21()x x f x x --=的值域是集合A ，函数g(x)＝lg[x2－(a ＋1)2x ＋a(a2＋a ＋1)]的定义域是集合B ，其中a 是实数．（1）分别求出集合A 、B ；（2）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．18.(本题满分12分) 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，3cos 4A =.（1）求cos ,cos B C 的值； （2）若272BA BC ⋅=，求边AC 的长.19．(本小题满分13分) 已知函数2()(0,)af x x x a x =+≠∈R ．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分13分)市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%(x ＞0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正数)，预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为1000件．（1）写出该商品销售总金额y 与x 的函数关系，并求出当12k =时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？（2）如果在涨价过程中只要x 不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k 的取值范围．21.（本题满分13分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2n n n nn a a a n N a ++==∈+.（1）证明数列2n n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .参考答案一 选择题1答案：D 2答案：B 3答案： B 4答案：C 5答案：D 6答案：B 7答案：C 8答案：A7、解析：2(1)(3)()4x x f x x ---'=，令f ′(x)＝0得x1＝1，x2＝3∉(0，2)．当x ∈(0，1)时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x ∈(1，2)时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为1(1)2f =-．由于“对任意x1∈(0， 2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值12-”． （*）又g(x)＝(x －b)2＋4－b2，x ∈[1，2]，所以①当b ＜1时，因为[g(x)]min ＝g(1)＝5－2b ＞0，此时与（*）矛盾； ②当b ∈[1，2]时，因为[g(x)]min ＝4－b2≥0，此时与（*）矛盾； ③当b ∈(2，＋∞)时，因为[g(x)]min ＝g(2)＝8－4b ．解不等式1842b -≤-，可得178b ≥． 综上，b 的取值范围是17[,)8+∞．二 填空题9.答案：12()f x x = 10.答案：1(,10)10 11.答案：1212.答案：11 13.答案：2114.答案：[]222,22+15.答案：mx x f m x x f +--=+--=2)()2()(2或三 解答题16．(本小题满分12分)已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝ax ＋1在R 上单调递减，命题q ：曲线y ＝x2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求a 的取值范围．解析：若命题p 为真，则0＜a ＜1． …………2分若命题q 为真，则(2a －3)2－4＞0，即1522a a <>或． …………5分∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 有且只有一个为真． …………7分（1）若p 真q 假，则01151122a a a <<⎧⎪⎨≤<<≤⎪⎩或，∴112a ≤<．…………9分（2）若p 假q 真，则11522a a a ≥⎧⎪⎨<>⎪⎩或，∴52a >．…………11分 综上所述，a 的取值范围是15[,1)(,)22+∞．…………12分17．(本小题满分12分)设函数21()x x f x x --=的值域是集合A ，函数g(x)＝lg[x2－(a ＋1)2x ＋a(a2＋a ＋1)]的定义域是集合B ，其中a 是实数．（1）分别求出集合A 、B ；（2）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解析：（1）由1()1f x x x =+-知，A ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)．…………4分由x2－(a ＋1)2x ＋a(a2＋a ＋1)＝(x －a)[x －(a2＋a ＋1)]＞0得x ＜a 或x ＞a2＋a ＋1，即B ＝(－∞，a)∪(a2＋a ＋1，＋∞)．…………8分（2）∵A ∪B ＝B ，∴23,11a A B a a >-⎧⊆⎨++<⎩有， 记得a 的取值范围是(－1，0)．…………12分（18）(本题满分12分) 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，3cos 4A =.（Ⅰ）求cos ,cos B C 的值；（Ⅱ）若272BA BC ⋅=，求边AC 的长.解析：【命题意图】本题考查两角和与差的三角函数、平面向量的数量积定义、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查逻辑推理和运算求解能力，简单题．解：（Ⅰ）∵2C A =，3cos 4A =，∴2231cos cos22cos 12()148C A A ==-=⨯-=. ∴sin C =，sin A =，∴cos cos()sin sin cos cos B A C A C A C =-+=-=3194816-⨯=.….……….….………6分（Ⅱ）∵927cos 162BA BC ca B ac ⋅===，∴24ac =；又由正弦定理sin sin a c A C =，得32c a =，解得4a =，6c =，∴2222cos 25b a c ac B =+-=，5b =，即边AC 的长为5.…………………………………12分19．(本小题满分13分)已知函数2()(0,)af x x x a x =+≠∈R ．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解析：（1）当a ＝0时，f(x)＝x2为偶函数；…………2分 当a ≠0时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．…………5分 （2）设x2＞x1≥2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-．…………8分由x2＞x1≥2得x1x2(x1＋x2)＞16，x1－x2＜0，x1x2＞0， 要使f(x)在 [2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)＜0， 即x1x2(x1＋x2)－a ＞0恒成立，则a ≤16．…………12分另解：2()2af x x x '=-，要使f(x)在 [2，＋∞)上是增函数，只需当x ≥2时，f ′(x)≥0恒成立， ………8分即220a x x -≥恒成立．…………10分∴a ≤2x2．又x ≥2，∴a ≤16，故当a ≤16时，f(x)在 [2，＋∞)上是增函数． …………12分 20．(本小题满分13分)市场营销人员对过去几年某商品的销售价格与销售量的关系作数据分析发现如下规律：该商品的价格上涨x%(x ＞0)，销售数量就减少kx%(其中k 为正数)，预测规律将持续下去．目前该商品定价为每件10元，统计其销售数量为1000件．（1）写出该商品销售总金额y 与x 的函数关系，并求出当12k =时，该商品的价格上涨多少，就能使销售总额达到最大？（2）如果在涨价过程中只要x 不超过100，其销售总金额就不断增加，求此时k 的取值范围． 解析：（1）y ＝10(1＋x%)×1000(1－kx%)＝－kx2＋100(1－k)x ＋10000(k ＞0)．……4分取12k =，22115010000(50)1125022y x x x =-++=--+，当x ＝50时，即商品价格上涨50%时，ymax ＝11250．…………7分（2）y ＝－kx2＋100(1－k)x ＋10000(k ＞0)为二次函数，其图象开口向下，对称轴为50(1)k x k -=，在适当的涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x ∈(0，100]时是增函数．…………9分∴50(1)100k k -≥．又k ＞0，∴50(1－k)≥100k ，∴103k <≤，即符合题意的k 的范围是1(0,]3． (13)（21）（本题满分13分）已知数列{}n a 满足11121,(*)2n n n nn a a a n N a ++==∈+.（Ⅰ）证明数列2n n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设(1)n n b n n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .解析：【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的概念与通项公式、数列求和等基础知识知识，考查运算求解能力、推理论证能力，中等题.解：（Ⅰ）由已知可得1122n nn nn a a a ++=+，所以11221n nn na a ++=+，即11221n nn na a ++-=，∴数列2n n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列. ……………………………….……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得122(1)11n n n n a a =+-⨯=+，∴21nn a n =+.….…………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，2nn b n =⋅，所以231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅，相减得23122222n n n S n +-=++++-⋅ 11222n n n ++=--⋅，∴1(1)22n n S n +=-⋅+.….……….………….…………….…………………………12分。

湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期第二次模拟考试试

湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期第二次模拟考试试

湖南省衡阳县四中2014-2015届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试题1．本试卷满分为150分；2．考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器； 3．所有题目均做在答题卷上．一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）。

1．若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A I ”的 （ ） A ．充分不必要条件． B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件．2．函数()2()3log 6f x x x =++-的定义域是 （ ）A ．{}|6x x >B ．{}|36x x -<<C ．{}|3x x >-D ．{}|36x x -<≤3．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 2log )(2)0()0(≤>x x若21)(=a f ，则a = （ ）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或2-4．函数)23(log )(221+-=x x x f 的值域是（ ）A ．),2()1,(+∞-∞YB ．（1，2）C ．RD ．[2，)+∞5．函数)10(||<<=a x xa y x的图象的大致形状是 （ ）6．已知函数)3(log )(22a ax x x f +-=在[2，+∞）上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（]4,∞- B ．（]2,∞- C ．（]4,4- D ．（]2,4-7．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)4()(x f x f --=，且当)4,2[∈x 时，)1(log )(2-=x x f ，F E CB DA则)2015()2014(f f +的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28．设函数()()21xf x x x =∈+R ，区间[](),M a b a b =<其中，集合(){},N y y f x x M ==∈,则使M N =成立的实数对(),a b 有（ ）A ．1个B ．3个C ．2个D ．0个9.在三角形ABC 中，AB=3， BC= 2，2π=∠A ，如果不等式||||AC BC t BA ≥-恒成立，则实数t 取值范围是A.),1[+∞B.]1,21[C.),1[]21,(+∞⋃-∞ D.),1[]0,(+∞⋃-∞10.已知函数|sin |)(x x f =的图象与直线)0(>=k kx y 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，则αtan 与α的关系为：A. αtan >αB. αtan <αC. αtan =αD.αtan 与α的关系不确定二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一)选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11.(不等式选讲) 已知a ＋b ＋c ＝1，m ＝a 2＋b 2＋c 2，则m 的最小值是______．12. （坐标系与参数方程选做题）若(2,1)P -为曲线15cos 5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02πθ≤<）的弦的中点，则该弦所在直线的普通方程为_____________． 13. （几何证明选讲选做题） 如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ︰AC ＝3︰5，6DE =，则BF ＝第13题图14．定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -,已知函数|log |)(21x x f =的定义域为],[b a ,值域为]2,0[,则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为15．已知a a xx e e e e x f ----=)(，若函数)(x f 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是16．设R b a ∈,,且2≠a ，若定义在区间),(b b -内的函数xaxx f 211lg )(++=是奇函数，则b a +的 取值范围是三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：17．（本题满分12分）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，22)(x x f =． (Ⅰ) 求0<x 时，()f x 的表达式；(Ⅱ) 令x x g ln )(=，问是否存在0x ，使得)(),(x g x f 在x = x 0处的切线互相平行？若存在，请求出0x 值；若不存在，请说明理由．18.（本题满分12分）已知函数xxx x f +-+-=11ln)( （1） 求函数的定义域，并求)20101()20101(-+f f 的值 （2） 若11<<-a ，当],[a a x -∈时, )(x f 是否存在最小值, 若存在, 求出最小值; 若不存在, 请说明理由．19．（本题满分12分）已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=． （Ⅰ）当a =3时，求f （x ）的零点；（Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间 [ 1,2 ] 上的最小值．20．（本题满分13分）已知函数)2lg()(-+=xax x f ，其中a 是大于0的常数 （1） 求函数)(x f 的定义域；（2） 当)4,1(∈a 时，求函数)(x f 在[2，)+∞上的最小值； （3） 若对任意),2[+∞∈x 恒有0)(>x f ，试确定a 的取值范围21．（本题满分13分）已知函数kx x f x ++=)14(log )(4)(R k ∈是偶函数． （1） 求k 的值； （2） 设)342(log )(4a a x g x -⋅=，若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．22．（本题满分13分）已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =． （1）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值范围； （2）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5 分，共40分）：11.3112. 30x y --=． 13. 4； 14．3； 15．0<a 16．]23,2(--三、解答题（本大题共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 17．(Ⅰ) 当0<x 时，0>-x ，222)(2)()(x x x f x f -=--=--=; --- 6分 (Ⅱ)若)(),(x g x f 在0x 处的切线互相平行，则)(')('00x g x f =, --- 8分x x g x x f 1)('4)('000===，解得, 210±=x --- 10分 ∵x > 0 , 得．210=x --- 12分 18．（本题满分12分） 解：（1） 由011>+-xx得11<<-x ，∴函数)(x f 的定义域是)1,1(-…………（3分） ∵)(11ln 11ln )(x f xxx x x x x f -=+--=-++=-，∴)(x f 是奇函数 ∴)20101()20101(-+f f ＝0………………………………………（6分） （若直接代入计算也给分）（2） ∵013121)(222<--=---='xx x x f 对11<<-x 恒成立 ∴)(x f 在)1,1(-上是减函数………………………………（9分）∴aaa a f x f +-+-==11ln)()(min …………………………（12分） 19、解：(Ⅰ) 由题意)3()(2-=x x x f ,由0)(=x f ，解得0=x 或3=x ; --- 2分 (Ⅱ) 设此最小值为m ，而),2,1(),32(323)(2/∈-=-=x a x x ax x x f （1）当0≤a 时，),2,1(,0)(/∈>x x f则)(x f 是区间[1,2]上的增函数, 所以a f m -==1)1(; --- 4分 （2）当0>a 时，在320a x x ><或时，；a x f x f 上是增函数在区间从而),32[)(,0)(/+∞> 在320a x <<时，；a x f x f 上是单减函数在区间从而]32,0[)(,0)(/< ---6分① 当232≥a ，即3≥a 时，a f m 48)2(-==;② 当2321<≤a ，即323<≤a 时，.274)32(3a a f m -== ③ 当230<<a 时，a f m -==1)1(. 综上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤-=)3(),2(4)323(,274)23(,13a a a a a a m . --- 12分 20．（本题满分13分） 解：（1） 由02>-+xax 得，022>+-x a x x解得：1>a 时，定义域为),0(+∞………………………………2分 1=a 时，定义域为0|{>x x 且}1≠x …………………1分10<<a 时，定义域为a x x --<<110|{或a x -+>11}……4分（2） 设2)(-+=xax x g ，当)4,1(∈a ，),2[+∞∈x 时 则01)(222>-=-='x a x x a x g 恒成立，∴2)(-+=x ax x g 在),2[+∞上是增函数∴)2lg()(-+=xax x f 在),2[+∞上是增函数…………………………7分∴)2lg()(-+=x a x x f 在),2[+∞上的最小值为2lg )2(af =……………9分 （3） 对任意),2[+∞∈x 恒有0)(>x f ， 即：12>-+xax 对),2[+∞∈x 恒成立 ∴ 23x x a ->，而49)23(3)(22+--=-=x x x x h 在),2[+∞∈x 上是减函数∴2)2()(max ==h x h ，∴2>a ……………………………………13分21．（本题满分13分）解：（1） ∵ 函数kx x f x ++=)14(log )(4)(R k ∈是偶函数∴ kx kx x f x xx-+=-+=--)441(log )14(log )(44kx x k x x ++=+-+=)14(log )1()14(log 44恒成立∴ k k =+-)1(，则21-=k ………………………………………5分（2） )342(log )(4a a x g x -⋅=，函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，即 方程)()(x g x f =只有一个解 由已知得：)342(log 21)14(log 44a a x x x -⋅=-+∴ )342(log 214log 44a a xx x -⋅=+方程等价于：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅=+>-⋅a a a a x xx x3422140342 设t x =2)0(>t ，则0134)1(2=---at t a 有一解若01>-a ，设134)1()(2---=at t a x h ，∵01)0(<-=h ，∴恰好有一正解∴ 1>a 满足题意若01=-a ，即1=a 时，不满足题意若01<-a ，即1<a 时，由0)1(4)34(2=-+-=∆a a ，得3-=a 或43=a当3-=a 时，21=t 满足题意 当43=a 时，2-=t （舍去）综上所述：实数a 的取值范围是}31|{-=>a a a 或……………………13分22．（本题满分13分） 解：（1） 当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意． 当0a >时，()y f x =的对称轴方程为2x a=-， 由于()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，所以21a-≤，解得2a ≤-或0a >，所以0a >． 当0a <时，不符合题意．综上，a 的取值范围是0a ≥．……5分（2）把方程()()(21)g x f x a x '=-+整理为2(21)lnxax a x=+-+，即为方程2(12)0ax a x lnx +--=． 设2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，原方程在区间（1,e e ）内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数()H x 在区间（1,e e）内有且只有两个零点． 1()2(12)H x ax a x'=+--22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x+--+-==令()0H x '=，因为0a >，解得1x =或12x a=-（舍） 当(0,1)x ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数； 当(1,)x ∈+∞时, ()0H x '>，()H x 是增函数．()H x 在（1,e e）内有且只有两个不相等的零点, 只需min 1()0,()0,()0,H e H x H e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩⇒ 1212-+<<e e e a …。

湖南省衡阳县第四中学2015届高三12月月考数学(理)试题

湖南省衡阳县第四中学2015届高三12月月考数学(理)试题

湖南省衡阳县第四中学2015届高三12月月考数学（理）试题)时量：120分钟 满分：150分一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合},]2,0[,2{},11{∈==<-=x y y B x x A x 则=⋂B A （ ） A ． [0,1] B ．(1,2) C ． [1,2) D ． (1,3) 2. “x <-1”是“x 2-1>0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要3. 已知i 为虚数单位,则复数z=21i i-+的共轭复数在复平面上所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 执行程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A ．120B ．720C ．1440D ．5040 5. 函数32()ln 2x f x x=-的零点一定位于区间（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．()3,4D ．()4,5 6. 由曲线y =x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.310 B ．4 C. 316D ．6 7．若二项式的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ）.A 2 .B 21 .C 2 .D 228. 函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A ＞0，2||πϕ<）的图象如图所示，为了得到g (x )=sin2x 的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移3π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位 9．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个 几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A ．314B ．4C ．310D ． 3 10. 设实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00820104y x y x y x ,若目标12，则2a函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为＋3b的最小值为( )A ．4B ．83C ．113D ．256二、填空题:本大题共5小题， 每小题5分，共25分 11 . 函数2ln y x x =-的极值点为______12. 向量1(,tan )3a α=，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos 2α=______13、某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, ,840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 14、从n 个正整数1,2,n …中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15. 设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x∈[0,1]时f (x )＝x -1)21(，则①：2是函数f (x )的周期； ②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝3)21(-x其中所有正确命题的序号是________三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16、（本小题满分12分） 已知函数b a bax x x f 、()(2+=为常数），且方程012)(=+-x x f 有两实根3和4（1） 求函数)(x f 的解析式（2） 设1>k ，解关于x 的不等式：xkx k x f --+<2)1()(17.（本小题满分12分）设函数)0(12cos 2)6sin()(2>+--=ωωπωx x x f 直线3=y 与函数)(x f 图像相邻两交点的距离为π.（Ⅰ）求ω的值（II ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点)0,2(B是函数)(x f y =图像的一个对称中心，且3b =,求ABC ∆面积的最大值. 18、（本小题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中将可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中将可以得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为,X Y ,求3X≤的概率;(2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学期望较大?19．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， PD DC =，E 是PC 的中点． （I ）证明：PA //平面BDE ；（II ）求二面角B DE C --的平面角的余弦值；20．（本小题满分13分）如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C .(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?21. （本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x x a x =+。

湖南省衡阳市衡阳县四中高三数学上学期11月月考试卷理(含解析)

湖南省衡阳市衡阳县四中高三数学上学期11月月考试卷理(含解析)

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）11月月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知命题：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．上述命题中真命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 42．已知函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣3．已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A． B． C．D．4．已知向量（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．x B． 2x C．（2+1）x D．（2+2）x6．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．把函数y=cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．8．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A． B．（2﹣，2+） C． [1，3] D．（1，3）9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A． 4 B． C． 1 D． 210．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A． 1 B． C． D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= ．12．函数y=的最大值是．13．曲线y=sinx与直线x=0、x=、x轴所围成的图形的面积为．14．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A，的取值范围是．15．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1（w＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递减区间．17．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．18．已知函数为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0．19．如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2．（1）求证：OF⊥平面ABCD；（2）求二面角F﹣BC﹣D的正切值．20．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y 最少．21．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）11月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知命题：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被2整除的整数不都是偶数”；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”的逆否命题；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题．上述命题中真命题的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接写出全称命题的否定判断①；举例说明②错误；由原命题成立，说明其逆否命题成立说明③正确；举例说明④错误．解答：解：①“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在能被2整除的整数不都是偶数”①错误；②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”错误，可能是梯形；③“a，b，c∈R，若a＞b，则a+c＞b+c”成立，则其逆否命题成立，③正确；④“若a+b≠3，则a≠1或b≠2”的否命题为“若a+b=3，则a=1且b=2”，错误，如．故选：A．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了学生对基础知识的掌握，是中档题．2．已知函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的终边经过点P，则sin2α﹣sin2α的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣考点：对数函数的单调性与特殊点；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：根据对数函数的单调性和特殊点求得 P（2，3），再由任意角的三角函数的定义求出sinα和cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求出sin2α﹣sin2α的值．解答：解：∵函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，∴P（2，3）．若角α的终边经过点P，则x=2，y=3，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，∴sin2α﹣sin2α=﹣2 •=﹣，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．3．已知，则f[f（x）]≥1的解集是（）A． B． C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：先对x分段讨论，求出f[f（x）]的表达式，然后代入不等式f[f（x）]≥1求出x 的范围，写出集合形式即为解集．解答：解：当x≥0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得x≥4当x＜0时，有f[f（x）]=∴f[f（x）]≥1即解得∴不等式的解集为故选D点评：解决分段函数的有关问题，应该分段来解决，然后将各段的结果并起来即为函数的对应结果．4．已知向量（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：先设与的夹角为θ，根据题意，易得=﹣2，将其代入（+）=中易得•=﹣，进而由数量积的运算，可得cosθ的值，有θ的范围，可得答案．解答：解：设与的夹角为θ，∵，则=﹣2，（+）•=﹣•=，即•=﹣，cosθ==﹣，0°≤θ≤180°，则θ=120°，故选C．点评：本题考查向量的数量积的运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角或证明垂直．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．x B． 2x C．（2+1）x D．（2+2）x考点：由三视图求面积、体积．专题：探究型．分析：由三视图可知，该几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，所以根据圆锥表面积公式求表面积即可．解答：解：由图知，原几何体是两个相同圆锥底面重合的一个组合体，圆锥底面半径是1，圆锥的高是1，圆锥的母线，则表面积为，选B．故选B．点评：本题主要考查三视图的识别和判断，以及空间几何体的表面积公式，利用三视图还原为空间几何体是解决三视图题目中常用的方法．6．如图，正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中心，若正方体的棱长为2，则O1B与CD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：过O1作O1P∥CD，交棱B1C1于点P，连结BP，则∠BO1P就是O1B与CD所成角．由此能求出结果．解答：解：如图，过O1作O1P∥CD，交棱B1C1于点P，连结BP，则∠BO1P就是O1B与C D所成角，∵正方体的棱长为2，O1是上底面A1B1C1D1的中心，∴P是B1C1中点，O1P=1，BP==，O1P⊥BP1，∴BO1==，∴cos∠BO1P===．故选：D．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．把函数y=cosx﹣sinx的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是（）A． B． C． D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用两角和与差的三角函数化简函数y=cosx﹣sinx，为一个角的一个三角函数的形式，通过图象的平移，得到函数的表达式，由函数图象关于y轴对称，函数在y轴处取得函数的最值，求解即可解答：解：∵函数y=cosx﹣sinx=2cos（x+），图象向左平移m个单位可得y=2cos（x+m+），根据偶函数的性质：图象关于y轴对称，故可得此函数在y轴处取得函数的最值即2cos（m+）=±2，解得，m+=kπ，∴m=kπ﹣，k∈Z，∵m＞0．k=1时，m的最小值．故选：C．点评：本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，函数的图象平移，三角函数的性质．8．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A． B．（2﹣，2+） C． [1，3] D．（1，3）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题．分析：利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．解答：解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．9．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（）A． 4 B． C． 1 D． 2考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出+的最小值．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．因此，+=（+）×（4a+6b）=2+（），∵a＞0，b＞0，可得≥=12，∴当且仅当即2a=3b=3时，的最小值为12，相应地，+=2+（）有最小值为4．故选：A点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求+的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．10．设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）A． 1 B． C． D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x 的值．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx，求导数得=当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，当时，y′＞0，函数在上为单调增函数所以当时，所设函数的最小值为所求t的值为故选D点评：可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k= 1 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．解答：解：∵∴∵垂直∴即∴k=1故答案为：1点评：本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．12．函数y=的最大值是．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：由5x﹣2≥0求出函数的定义域，求出的范围，利用配方法化简函数解析式，根据二次函数的性质求出此函数的最大值．解答：解：由5x﹣2≥0得，x≥，则函数的定义域是[，+∞），所以0＜≤，则函数y====≤，所以函数y=的最大值是，故答案为：．点评：本题考查函数的最值的求法，利用配方法将解析式转化关于的二次函数是解题的关键，注意应先求出函数的定义域，属于中档题．13．曲线y=sinx与直线x=0、x=、x轴所围成的图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的概念及应用．分析：先做出函数y=sinx的图象，然后确定出交点，积分区间，则问题可解．解答：解：由题意，所求的面积为图中阴影部分：故S===．故答案为．点评：本题考查了定积分的几何意义及其求法，属于基础题．14．锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，C=2A，的取值范围是（，）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由三角形ABC为锐角三角形，以及C=2A，利用内角和定理及不等式的性质求出A的范围，确定出cosA的范围，原式利用正弦定理化简，把C=2A代入利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果，根据cosA的范围确定出范围即可．解答：解：∵△ABC为锐角三角形，C=2A，B=180°﹣3A，∴0＜C=2A＜90°，0＜180°﹣3A＜90°，即30°＜A＜45°，∴＜cosA＜，即＜2cosA＜，由正弦定理=得：====2cosA，则的取值范围为（，），故答案为：（，）点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．15．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx ﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．解答：解：y===函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）故答案为：（0，1）∪（1，4）点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1（w＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递减区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）化简f（x）的函数解析式，根据已知和周期公式可求ω的值，由x的取值范围，根据正弦函数的图象和性质即可求f（x）的取值范围；（2）由f（x）的解析式，根据正弦函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递减区间．解答：解：（1）f（x）=sin2wx+sinwx•coswx﹣1=+sin2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣∵w＞0，周期为π，即T==π∴可解得：ω=1，∴f（x）=sin（2x）﹣∵x∈[0，]∴2x∈[，]∴sin（2x）∈[﹣，1]，从而可求得f（x）的取值范围为[﹣1，]．（2）∵令2k≤2x≤2k，k∈Z，可解得：k≤x≤k，k ∈Z，∴函数f（x）的单调递减区间为[k，k]，k∈Z．点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．17．已知向量=（sinA，）与=（3，sinA+）共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．考点：向量的共线定理；基本不等式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）根据向量平行得出角2A的等式，然后根据两角和差的正弦公式和A为三角形内角这个条件得到A．（2）根据余弦定理代入三角形的面积公式，判断等号成立的条件．解答：解：（1）因为∥，所以；所以，即，即．因为A∈（0，π），所以．故，；（2）由余弦定理，得4=b2+c2﹣bc．又，而b2+c2≥2bc⇒bc+4≥2bc⇒bc≤4，（当且仅当b=c时等号成立）所以；当△ABC的面积取最大值时，b=c．又；故此时△ABC为等边三角形．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题18．已知函数为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：（I）根据函数为R上的奇函数，得到f（0）=0，即b=0，所以函数解析式为：．然后用求导数的方法研究其单调性，根据它的导数f'（x）在区间（1，+∞）上为负数，得到函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）首先移项，得到不等式f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x﹣4）．根据函数为奇函数，将原不等式化为：f（1+2x2）＞f（x2﹣2x+4）．注意到括号里的两个自变量都是不小于1的实数，从而结合函数在区间（1，+∞）上为减函数，得到1+2x2＜x2﹣2x+4，解之得﹣3＜x＜1．从而得到原不等式的解集．解答：解：（I）∵函数为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即b=0，∴函数解析式为：．∴对f（x）求导数，得．∵当x＞1时，＜0成立，∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．（II）由f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0，得f（1+2x2）＞﹣f（﹣x2+2x﹣4）．∵f（x）是奇函数，∴﹣f（﹣x2+2x﹣4）=f（x2﹣2x+4）．原不等式化为：f（1+2x2）＞f（x2﹣2x+4）．又∵1+2x2≥1，x2﹣2x+4=（x﹣1）2+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，∴1+2x2＜x2﹣2x+4，即x2+2x﹣3＜0，解之得﹣3＜x＜1．∴不等式f（1+2x2）+f（﹣x2+2x﹣4）＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}点评：本题以一个分式函数为例，着重研究其单调性和奇偶性，考查了函数奇偶性与单调性的综合、一元二次不等式的解法等知识点，属于中档题．19．如图，四边形ABCD与BDEf均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且面ABCD⊥面BDEF，AC=2．（1）求证：OF⊥平面ABCD；（2）求二面角F﹣BC﹣D的正切值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知条件推导出AC⊥BD，OF⊥BD，由此能够证明OF⊥平面ABCD．（2）过O作OH⊥BC于H，连结HF，由三垂线定理知∠FHO为二面角F﹣BC﹣D的平面角，由此能求出二面角F﹣BC﹣D的正切值．解答：（1）证明：∵面ABCD⊥面BDEF且交于BD，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵∠DAB=60°，AC=2，∴OB=1，BD=2=BF，又∵∠DBF=60°，∴OF=，∠FOB=90°，∴OF⊥BD，∴OF⊥平面ABCD．（2）解：∵OF⊥平面ABCD，过O作OH⊥BC于H，连结HF，∴由三垂线定理知∠FHO为二面角F﹣BC﹣D的平面角，又∵OF=，OH=，∴tan∠OHF=2，∴二面角F﹣BC﹣D的正切值为2．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要合理地化空间问题为平面问题．20．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣c|×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．（Ⅰ）写出y的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y 最少．考点：函数模型的选择与应用．分析：（Ⅰ）E移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质，将（Ⅰ）中的函数分解为分段函数的形式，再由c的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v值也不同．解答：解：（Ⅰ）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0＜v≤c时，当c≤v≤10时，故（1）当0＜c＜时，y是关于v的减函数，故当v=10时，；（2）当时，在（0，c]上y是关于v的减函数，在（c，10]上，y是关于v的增函数，故当v=c时，答：（Ⅰ）函数y的表达式为（Ⅱ）（1）在0＜c的情况下，当v=10时，总淋雨量y最少；（2）在的情况下，当v=c时，总淋雨量y最少．点评：本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情形下的最小值点．21．设f（x）=﹣x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（1）利用函数递增，导函数大于0恒成立，求出导函数的最大值，使最大值大于0．（2）求出导函数的根，判断出根左右两边的导函数的符号，求出端点值的大小，求出最小值，列出方程求出a，求出最大值．解答：解：（1）f′（x）=﹣x2+x+2af（x）在存在单调递增区间∴f′（x）＞0在有解∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为∴递减∴解得．（2）当0＜a＜2时，△＞0；f′（x）=0得到两个根为；（舍）∵∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）当x=4时最小∴=解得a=1所以当x=时最大为点评：本题考查利用导函数求参数的范围、利用导函数求函数的单调性、求函数的最值．。

湖南省衡阳县四中高三数学下学期第一次模拟考试试卷理

湖南省衡阳县四中高三数学下学期第一次模拟考试试卷理

2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1．集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．42．设函数f（x）=则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）3．函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数4．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞05．下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y=log2|x| B．y=cosx C．D．6．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个7．已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．8．对于正实数a，记M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a1＞a2，则f（x）﹣g（x）∈M9．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）=f（1﹣x）成立，且（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a10．对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）=x2，g（x）=2x﹣3②f（x）=，g（x）=x+2③f（x）=e﹣x，g（x）=﹣④f（x）=lnx，g（x）=x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11．函数y=的最大值等于．（选修4-4：极坐标与参数方程）12．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|= ．（几何证明选讲选做题）13．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD= ．二.填空题（必做题）14．设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是非q的条件．15．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）= ．16．已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}；②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0；③“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），则4是y=f（x）的一个周期．其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．17．设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B=B，求实数a的取值范围．18．已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx （x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）﹣m=0有解，求m的取值范围．20．已知函数f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．（1）求a的取值范围；（2）设g（x）=e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．21．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．22．已知函数f（x）=ax2+ax和g（x）=x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB 的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）=0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1．集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．【解答】解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}∴∴a=4，故选D．【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．2．设函数f（x）=则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数值，利用分段函数求解不等式的解集即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（1）=3，不等式f（x）＞f（1）等价于：或，解得：x∈（﹣3，1）∪（3，+∞）．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，不等式组的解法，考查计算能力．3．函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题．【分析】先根据函数的定义域化简原函数，再考查函数的奇偶性，可对选项的对错进行判断．【解答】解：∵1﹣x2≥0，∴﹣1≤x≤1∴=，故f（x）是偶函数，因此B对．故选B【点评】本题主要考查了利用定义进行函数奇偶性的判断，解答关键是将原函数式化简，属于基础题．4．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0 D．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选C．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．5．下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y=log2|x| B．y=cosx C．D．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】综合题．【分析】由对数函数，指数函数，幂函数以及三角函数的单调性很容易得到答案．【解答】解：A、∵y=log2x在（0，+∞）上是增函数，∴y=log2（﹣x）在（﹣1，0）上是减函数，故对；B、y=cosx在（﹣，0）上是增函数，∴y=cosx在在（﹣1，0）上是增函数，故错；C、在R上是增函数，∴在（﹣1，0）上是增函数，故错；D、在R上是增函数，∴在（﹣1，0）上是增函数，故错；故选A．【点评】本题考查了常见函数单调性，以及函数单调性的判断与证明，是个基础题．6．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．【解答】解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．7．已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则的值是（）A．0 B．C．1 D．【考点】函数的值；偶函数．【专题】计算题；压轴题．【分析】从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，再由依此求解．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选A．【点评】本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．8．对于正实数a，记M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a1＞a2，则f（x）﹣g（x）∈M【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．即满足﹣a＜＜a．因此函数f （x）上的任意一点的斜率k f∈（﹣a，a）．据此即可判断出正确答案为A．举反例即可否定B，C，D．【解答】解：M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．即满足﹣a＜＜a．因此函数f（x）上的任意一点的斜率k f∈（﹣a，a）．对于A．f（x）∈M，g（x）∈M，则﹣a1a2＜k f•k g＜a1a2，f（x）•g（x）∈M，因此正确；对于B．取f（x）∈M，a1=2，g（x）∈M，a2=2，则∈，因此B不正确；对于C．f（x）∈M，a1=2，g（x）∈M，a2=2，则f（x）+g（x）∈，因此C不正确．对于D．取f（x）∈M，a1=2，g（x）∈M，a2=2，则f（x）﹣g（x）∈，因此D 不正确．故选：A．【点评】本题考查了斜率计算公式、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）=f（1﹣x）成立，且（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意得对任意x∈R，都有f（x+1）=f（1﹣x），得到函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（﹣1）．由当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，得f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．比较自变量的大小即可得到函数值的大小．【解答】解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x+1）=f（1﹣x）成立，所以函数的对称轴为x=1，所以f（3）=f（﹣1）．因为当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．因为﹣1＜0＜，所以f（﹣1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，函数的性质一直是各种考试考查的重点内容，属于中档题10．对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）=x2，g（x）=2x﹣3②f（x）=，g（x）=x+2③f（x）=e﹣x，g（x）=﹣④f（x）=lnx，g（x）=x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据“友好点”的定义，分别进行判断即可．【解答】解：①f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2≥2，∴要使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，不可能，不满足条件，∴在区间（0，+∞）上的不存在唯一“友好点”，∴①不正确．②g（x）﹣f（x）=x﹣+2=（﹣）2+≥＞1，∴不存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，∴函数不存在“友好点”，∴②错误．③设h（x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x+，则函数h（x）在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0不唯一，∴③满足条件，∴③正确．④h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣lnx，（x＞0），h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x=1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）=1﹣0=1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴当x0=1时，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查对新定义的理解与运用，考查函数最值的判断，综合性较强，难度较大，考查学生分析问题的能力．二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11．函数y=的最大值等于2．【考点】基本不等式．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由于y≥0，考虑平方法，化简整理，再由二次函数的值域，即可得到最大值．【解答】解：由于y≥0，则y2=x﹣1+5﹣x+2=4+2=4+2当x=3时，y2取最大值4+2×2=8，即有y的最大值为2．故答案为：【点评】本题考查函数的最值，考查可化为二次函数的最值的方法，注意运用平方法，属于中档题．（选修4-4：极坐标与参数方程）12．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|= ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】先将直线l的极坐标方程化为普通方程，再将曲线C的参数方程化为普通方程，再利用两曲线的方程【解答】解：∵直线l的极坐标方程为θ=（ρ∈R），∴直线l的普通方程为：y=x．∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2=4．∵直线l与曲线C交于A，B两点，∴圆心（1，0）到直线l：x﹣y=0的距离为：，∴|AB|=2=2=．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标方程、参数方程转化为普通方程，还考查了求圆中的弦长，本题难度不大，属于基础题．（几何证明选讲选做题）13．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；压轴题．【分析】欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．【解答】解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．【点评】此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．二.填空题（必做题）14．设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是非q的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据不等式的性质求出对应的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由x2﹣x﹣20＞0得x＞5或x＜﹣4，即p：x＞5或x＜﹣4，由＜0得|x|﹣2＜0，解得﹣2＜x＜2，即q：﹣2＜x＜2，非q：x≥2或x≤﹣2，即p是非q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．15．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）= 8 ．【考点】函数的周期性；函数的值．【专题】计算题；整体思想．【分析】由题意令x=x+2代入关系式在进行化简，求出函数的周期为4，再利用周期得f（2011）=f（3），再代入给出的解析式求解．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．【点评】本题考查了函数周期性的运用，关键是利用已知的式子整体代换后进行变形，求出函数的周期后在利用周期将所求的函数值转化到已知的范围内求解．16．已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}；②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0；③“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），则4是y=f（x）的一个周期．其中为真命题的是③④（填上你认为正确的序号）．【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；函数的周期性；一元二次不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据二次不等式的解法，可以判断①的真假；由分式不等式的解法，可以判断②的对错；根据四种命题真假性的关系，可以判断③的正误；根据函数周期的计算方法，可以判断④的真假，进而得到答案．【解答】解：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1＜x2，那么当a＞0时，不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，故①错误；若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，故②错误；∵若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R为真命题，∴“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题也为真命题；∵定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），则f（2+x）=f[（1+x）+1]=f[1﹣（1+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=﹣f（2+x）=f（x），即4是y=f（x）的一个周期．故④也为真命题故答案为③④【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，命题的否定，函数的周期性及一元二次不等式的解法，直接考查了这些知识的基本应用，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．17．设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】（1）A={x|≤x≤3}，当a=﹣4时，B={x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B和A∪B．（2）∁R A={x|x＜或x＞3}，当（∁R A）∩B=B时，B⊆∁R A，由此进行分类讨论能够求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|≤x≤3}，当a=﹣4时，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|≤x＜2}，A∪B={x|﹣2＜x≤3}．…（2）∁R A={x|x＜或x＞3}，当（∁R A）∩B=B时，B⊆∁R A，①当B=∅，即a≥0时，满足B⊆∁R A；②当B≠∅，即a＜0时，B={x|﹣＜x＜}，要使B⊆∁R A，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，实数a的取值范围是a≥﹣．…【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．18．已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】若命题p：“函数y=a x在R上单调递减”为真命题，根据指数函数的单调性与底数的关系，易确定满足条件的a的取值范围，若命题q：“设函数对任意的x，恒有y＞1”，易求了满足条件的a的取值范围，又由p∧q为假，p∨q为真，可以判断出命题p与命题q中一个为真一个为假，分类讨论求出对应的a的取值范围，综合讨论结果，即可得到a的取值范围．【解答】解：若p是真命题，则0＜a＜1…若q是真命题，则函数y＞1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值为2a，只需2a＞1∴∴q为真命题时，…又∵p∧q为假，p∨q为真∴p与q一真一假…若p真q假，则；若p假q真，则a≥1…故a的取值范围为或a≥1…【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中求出命题p与命题q为真或假时，a的取值范围是解答本题的关键．19．已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx （x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）﹣m=0有解，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】（1）根据函数f（x）是偶函数建立等式关系，化简可得，从而x=﹣2kx对x∈R恒成立，即可求出k的值；（2）要使方程f（x）﹣m=0有解，转化成求函数的值域，将m分离出来得．，然后利用基本不等式求出m的范围即可．【解答】解：（1）由函数f（x）=log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．可知f（x）=f（﹣x）∴log4（4x+1）+kx=log4（4﹣x+1）﹣kx（即∴log44x=﹣2kx∴x=﹣2kx对x∈R恒成立．∴k=．（2）由，∴．∵∴故要使方程f（x）﹣m=0有解，m的取值范围：．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及根的个数的判定和基本不等式等有关基础知识，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．（1）求a的取值范围；（2）设g（x）=e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题．【分析】（1）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围．（2）通过函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值．【解答】解：（1），∵f（x）在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上恒成立，即恒成立，∴只需即可．∴（当且仅当时取等号），∴（2）设e x=t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．设，其对称轴为，由（1）得，∴则当，即时，h（t）的最小值为当，即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=﹣a所以，当时，g（x）的最小值为，当a＜2时，g（x）的最小值为﹣a【点评】解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围．21．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．【专题】综合题；转化思想．【分析】（1）根据题意和式子的特点，先令x1=x2=﹣1求出f（﹣1）=0，再令x1=﹣1，x2=x 求出f（﹣x）=f（x），则证出此函数为偶函数；（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x2=和且＞0，判断符号并得出结论；（3）根据题意和（1）的结论，把不等式转化为f（|2x2﹣1|）＜f（4），再由（2）的结论知|2x2﹣1|＜4，故解此不等式即可．【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），令x1=x2=﹣1，代入上式解得f（﹣1）=0，令x1=﹣1，x2=x代入上式，∴f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数．（2）设x2＞x1＞0，则=∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2﹣1）＜2可化为f（|2x2﹣1|）＜f（4），又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2﹣1|＜4，且2x2﹣1≠0，即﹣4＜2x2﹣1＜4，且2x2≠1解得：，且x≠，即不等式的解集为{x|，且x≠}．【点评】本题的考点是抽象函数的性质及其应用，根据证明函数奇偶性和单调性的方法，反复给x1和x2值利用给出恒等式，注意条件的利用；求解不等式时利用函数的奇偶性及条件转化为两个函数值的关系，进而由函数的单调性转化为自变量的大小，易错点忽略定义域．22．已知函数f（x）=ax2+ax和g（x）=x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB 的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）=0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．【考点】函数的图象；点到直线的距离公式；不等式的证明．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，说明函数f（x）与g（x）有共同的零点，即g（x）的零点也在函数f（x）的图象上，代入易求出a值．（2）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，则将直线方程代入抛物线方程后，对应的二次方程有两不等的实数根，再将△OAB的面积函数表示出来，根据函数的性质，易得最值及对应的a值．（3）综合零点的性质和不等式的性质，不难证明当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a【解答】解：（Ⅰ）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a3+a2=0．而a≠0，∴a=﹣1（Ⅱ）依题意，f（x）=g（x），即ax2+ax=x﹣a，整理，得ax2+（a﹣1）x+a=0，①∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，∴△＞0，即△=（a﹣1）2﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1=（3a﹣1）（﹣a﹣1）＞0．∴﹣1＜a＜且a≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，x1•x2=1＞0，．设点o到直线g（x）=x﹣a的距离为d，则，．∴S△OAB==．∵﹣1＜a＜且a≠0，∴当时，S△OAB有最大值，S△OAB无最小值．（Ⅲ）由题意可知（x）﹣g（x）=a（x﹣p）（x﹣q）．∵，∴a（x﹣p）（x﹣q）＞0，∴当x∈（0，p）时，f（x）﹣g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．又f（x）﹣（p﹣a）=a（x﹣p）（x﹣q）+x﹣a﹣（p﹣a）=（x﹣p）（ax﹣aq+1），x﹣p＜0，且ax﹣aq+1＞1﹣aq＞0，∴f（x）﹣（p﹣a）＜0，∴f（x）＜p﹣a，综上可知，g（x）＜f（x）＜p﹣a．【点评】本题考查的主要知识点是函数零点的性质，即两个函数的图象的交点在x轴上，则说明两个函数有共同的零点，即一个函数的零点也在另一个函数的图象上，应该满足另一个函数的方程；若函数在（a，b）上有零点，则f（a）•f（b）＜0．。

湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015年度高三上学期段考数学试卷(理科)(Word版含解析)

湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015年度高三上学期段考数学试卷(理科)(Word版含解析)

2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上C．实轴上 D．虚轴上2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=3．已知sinθ=，sinθ﹣cosθ＞1，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A． a1+a101＞0 B． a2+a100=0 C． a3+a99＜0 D． a1=515．下列函数中在区间（1，+∞）上为增函数，且其图象为轴对称图形的是（）A． y=﹣x2+2x﹣1 B． y=cosx C． y=lg|x﹣1| D． y=x3﹣3x2+3x6．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）A． B．C． D．7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A． 18 B． 24 C． 36 D． 489．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A． B． C． D．10．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A． B． C． D．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）11．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为．【不等式】（共1小题，每小题5分，满分5分）12．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是．【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）13．（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF 经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD= ，线段FD的长为．六、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为．15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是．16．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，x n+1=[]（n∈N*），现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，x n＞﹣1；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]．其中的真命题有．（写出所有真命题的编号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sin cos+cosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，并求出关于x的方程g（x）=1∈，当x[0，π]时的根．18．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．20．已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列；（II）求和T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2．21．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．22．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高三（上）段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内复数（1﹣i）2对应的点位于（）A．一、三象限的角平分线上 B．二、四象限的角平分线上C．实轴上 D．虚轴上考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据复数的代数表示法的乘除运算化简（1﹣i）2=﹣2i，则该复数对应的点为（0，﹣2），此点在虚轴上．解答：解：由题意知，（1﹣i）2=1﹣2i+i2=﹣2i，所以该复数对应的点为（0，﹣2）．选D．点评：本题考查了复数的代数表示法的乘除运算和复数的几何意义，是考查概念的题．2．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．解答：解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．3．已知sinθ=，sinθ﹣cosθ＞1，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．考点：二倍角的正弦．分析：由角的正弦值为正，判断角在第一和第二象限，又有sinθ﹣cosθ＞1知，余弦值一定小于零，从而得到角在迪尔象限，求出余弦值，用二倍角公式得到2θ的正弦值．解答：解：∵sinθ=，∴θ是第一或第二象限角，∵sinθ﹣cosθ＞1，∴cosθ＜0，∴θ是第二象限角，∴cosθ=﹣，∴sin2θ=2sinθcosθ=﹣故选A点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解，熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式是解题的关键．4．已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有（）A． a1+a101＞0 B． a2+a100=0 C． a3+a99＜0 D． a1=51考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由求和公式可得a1+a101=0，进而由性质可得可得a2+a100=a3+a99=0，可得答案．解答：解：由等差数列的求和公式和性质可得：a1+a2+a3+…+a101===0，故可得a2+a100=0故选B点评：本题看等差数列的求和公式和性质，属中档题．5．下列函数中在区间（1，+∞）上为增函数，且其图象为轴对称图形的是（）A． y=﹣x2+2x﹣1 B． y=cosx C． y=lg|x﹣1| D． y=x3﹣3x2+3x考点：函数单调性的判断与证明；函数的图象与图象变化；奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：根据题干，选定的函数必须同时满足两个条件：其一，在区间（1，+∞）上为增函数；其二，图象为轴对称图形，对选项进行逐个判断即可．解答：解：选项A中，函数y=﹣x2+2x﹣1，它在区间（1，+∞）上为减函数，∴选项A不符合题意；选项B中，函数y=cosx是周期函数，∴在区间（1，+∞）上不具备单调性，∴不符合题意；选项C则符合题意，选项D中，函数y=x3﹣3x2+3x图象不是轴对称图形，∴只有选项C符合题意，故选C．点评：本题考查函数的单调性的判断，函数图象变换等知识．掌握常见函数的单调性是解题关键．6．曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积为（）A． B．C． D．考点：定积分．专题：计算题；数形结合．分析：本题利用直接法求解，画出图形，根据三角函数的对称性知，曲线y=sinx，y=cosx 与直线x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积的两倍．最后结合定积分计算面积即可．解答：解：如图，根据对称性，得：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积S为：曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，所围成的平面区域的面积的两倍．∴S=．故选D．点评：本小题主要考查定积分、定积分的应用、三角函数的图象等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．7．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图判断几何体的形状与特征，利用三视图的数据求出几何体的表面积．解答：解：由三视图可知，该几何体为两个半圆锥的对接图形．显然圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，但是这个对接圆面不是底面，底面正好是轴截面．所以该几何体的表面积为：=2（）．故选A．点评：本题考查几何体的表面积的求法，几何体的特征是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．8．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A． 18 B． 24 C． 36 D． 48考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：数形结合法．分析：首先设抛物线的解析式y2=2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|=2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．解答：解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12∴p=6又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6∴S△ABP=（DP•AB）=×6×12=36故选C．点评：本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．9．如图在矩形ABCD中，AB=，BC=4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（）A． B． C． D．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．专题：平面向量及应用．分析：由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值．解答：解：选基向量和，由题意得，=，=4，∴，∴==+=，即cos0=，解得=1，∵点E为BC的中点，=1，∴，，∴=（）•（）==5+，故选B．点评：本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用，以及向量加法的三角形法则，关键是根据题意选基向量，其他向量都用基向量来表示．10．已知函数g（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x1，x2是方程f（x）=0的两个根，则|x1﹣x2|的取值范围为（）A． B． C． D．考点：根与系数的关系；导数的加法与减法法则．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，x1，x2是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x1+x2=，x1x2=，于是求=，又a+b+c=0，从而有=•+（）+①，又f（0）•f（1）＞0，可求得﹣2＜＜﹣1，代入①即可求得的范围，从而得到选项．解答：解：由题意得：f（x）=3ax2+2bx+c，∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，故x1+x2=，x1x2=，∴=﹣4x1•x2=，又a+b+c=0，∴c=﹣a﹣b代入上式，∴===•+（）+①，又∵f（0）•f（1）＞0，∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a2+3ab+b2＜0，∵a≠0，两边同除以a2得：+3+2＜0；∴﹣2＜＜﹣1，代入①得∈[，）∴|x1﹣x2|∈[，）．故选A．点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f （1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．【坐标系与参数方程选做题】（共1小题，每小题5分，满分5分）11．已知圆C的圆心是直线（t为参数）与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为（x+1）2+y2=2 ．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解，欲求圆的方程则先求出圆心和半径，根据圆与直线相切建立等量关系，解之即可．解答：解：直线（t为参数）化成普通方程是x﹣y+1=0，令y=0得x=﹣1，所以直线x﹣y+1=0，与x轴的交点为（﹣1.0）因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为（x+1）2+y2=2；故答案为（x+1）2+y2=2点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程等基础知识，属于容易题．【不等式】（共1小题，每小题5分，满分5分）12．若不等式＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（1，3）．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意求出的最小值，只要|a﹣2|+1小于最小值，即可满足题意，求出a的范围即可．解答：解：∵x与同号，∴．（当且仅当x=±1时取“=”）∴2＞|a﹣2|+1．∴|a﹣2|＜1，解得1＜a＜3．故答案为：（1，3）点评：本题考查绝对值不等式的解法，恒成立问题一般通过函数的最值解决，注意端点问题的处理．是高考常考题．【几何证明选讲选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）13．（几何证明选讲选做题）如图，P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF=12，PD=，则∠EFD= 30°，线段FD的长为．考点：与圆有关的比例线段；余弦定理；弦切角．专题：计算题；压轴题．分析：连接OD，首先根据切割线定理计算出PE的长，再进一步计算出OP的长和圆的半径的长；从而在直角三角形OPD中，根据边之间的关系求得角的度数，再根据圆周角定理进行计算要求的角．解答：解：连接DO，∵PD为切线，PEF为割线，∴由切割线定理得到PD2=PE•PF；∵PD=4 ，PF=12，∴PE==4，∴EF=PF﹣PE=8，EO=4；∵PD为切线，D为切点，∴OD⊥PD；∵在Rt△PDO中，OD=4，PO=PE+EO=8，∴∠DPO=30°，∠DOP=60°，∵OD=OF，∠DOP为∠DOF的外角，∴∠EFD=∠DOP=30°．在三角形DOF中FD=2=故答案为：30°；4点评：本题主要考查圆的切线的性质定理，考查与圆有关的比例线段，考查直角三角形中有关的三角函数的知识，本题解题的关键是熟练应用平面几何中有关的定理定义和性质，本题属于基础题．六、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为8 ．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：首先根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．解答：解：∵高一年级有30名学生，在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名学生，∴要抽取40×=8名学生，故答案为：8点评：本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数，本题是一个基础题．15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是﹣2 ．考点：程序框图．专题：操作型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出y值，模拟程序的运行过程，可得答案．解答：解：当x=1时，满足循环条件，此时x=2，y=0当x=2时，满足循环条件，此时x=4，y=﹣1当x=4时，满足循环条件，此时x=8，y=﹣2当x=8时，不满足循环条件，退出循环故输出结果为﹣2故答案为：﹣2点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．16．记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，[1.5]=1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，x n+1=[]（n∈N*），现有下列命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n=x k；③当n≥1时，x n＞﹣1；④对某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]．其中的真命题有①，③，④．（写出所有真命题的编号）．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假．对于①：列举即可；对于②：需举反例；对于③，可用数学归纳法加以证明；对于④：可由归纳推理判断其正误．解答：解：对于①：当a=5时，x1=5，x2==3，x3==2，故①正确；对于②：当a=1时，=1，x3=1，x k恒等于[]=1；当a=2时，x1=2，=1，x3==1，∴当k≥2时，恒有；当a=3时，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，x6=2，x7=1，…，此时数列{x n}除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此不存在正整数k，使得n≥k时，总有x n=x k，故②不正确；对于③：在中，当为正整数时，=，∴x n+1=≥=[]；当不是正整数时，令=，t为[]的小数部分，0＜t＜1，x n+1==＞[]=[]=[]，∴，∴，∴，故③正确；由以上论证知，存在某个正整数k，若x k+1≥x k，则当n≥k时，总有x n=[]，故④正确．故答案为：①，③，④．点评：本题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=2sin cos+cosx．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，并求出关于x的方程g（x）=1∈，当x[0，π]时的根．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由倍角公式化简可得解析式f（x）=2sin（x+），从而可求f（x）的最小正周期．（2）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的解析式为g（x）=2sin（x+），由x∈[0，π]时，可得x+∈[，]，从而可求方程的根．解答：解：（1）f（x）=2（sinx+cosx）=2sin（x+）…4分所以f（x）的最小正周期为2π．…6分（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴g（x）=f（x﹣）=2sin[（x﹣）+]=2sin（x+）…9分∵x∈[0，π]时，x+∈[，]，由g（x）=1得x=0或…12分．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．18．如图，已知E，F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，EF与AC交于点O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是线段PA上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）连结BD，通过证明EF⊥平面PAC，然后证明平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）法一：利用直线与平面平行，通过相似比直接推出PM：MA的值．法二：建立如图所示的直角坐标系，推出点M为线段PA上靠近P的四等分点，得到结果．解答：解：（Ⅰ）连结BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，又∵E，F分别是BC、CD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥平面PAC，又EF⊂平面NEF，∴平面PAC⊥平面NEF；（Ⅱ）法1：连结OM，∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，∴PC∥OM，∴，故PM：MA=1：3法2：建立如图所示的直角坐标系，则P（0，0，4），C（4，4，0），E（4，2，0），F（2，4，0），∴，，设点M的坐标为（0，0，m），平面MEF的法向量为，则，所以，即，令x=1，则y=1，，故，∵PC∥平面MEF，∴，即，解得m=3，故AM=3，即点M为线段PA上靠近P的四等分点；故PM：MA=1：3点评：本题考查平面与平面的垂直，直线与平面平行的性质定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（1）每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到（2）由题意得到两个变量的取值，做出对应事件的概率，写出分布列，求出期望．解答：解：（1）∵每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，∴应用相互独立事件同时发生的概率公式可以得到P甲=0.8×0.85=0.68，P乙=0.75×0.8=0.6．（2）由题意知ξ的取值是2.5，5η的取值是1.5，，2.5，∴随机变量ξ、η的分布列如下：P（ξ=2.5）=0.32P（ξ=5）=0.68P（η=2.5）=0.6P（η=1.5）=0.4∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．20．已知数列{a n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S n是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12﹣S6成等比数列；（II）求和T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2．考点：等比关系的确定；数列的求和．专题：证明题．分析：（1）由a1，2a7，3a4成等差数列，我们得到一个关于数列基本量（首项和公比）的方程，由于首项为a，则易求出公式，然后根据等比数列的定义判断即可．（2）由于T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2中累加的每一项都是由两部分的积组成，这两部分一部分是等差数列，一部分是等比数列，故可用错位相消法解答．解答：（Ⅰ）证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7=a1+3a4，即4aq6=a+3aq3．变形得（4q3+1）（q3﹣1）=0，又∵公比q不等于1，所以4q3+1=0由．．得．所以12S3，S6，S12﹣S6成等比数列．（Ⅱ）解：T n=a1+2a4+3a7+…+na3n﹣2=a+2aq3+3aq6+…+naq3（n﹣1）．即．①①×得：…②．①﹣②得=．所以．点评：要判断一个数列是否为等差（比）数列，我们常用如下几种办法：①定义法，判断数列连续两项之间的差（比）是否为定值；②等差（比）中项法，判断是否每一项都是其前一项与后一项的等差（比）中项；③通项公式法，判断其通项公式是否为一次（指数）型函数；④前n项和公式法．21．已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ||•||cos2θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．（1）求||+||的值，并写出曲线C的方程；（2）求△APQ面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．专题：综合题．分析：（1）设出M的坐标，利用余弦定理及||•||cos2θ=3，可求得||+||为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b 可求，从而求得椭圆的方程．（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y1﹣y2）2的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）由题意，设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ∴|AM|2+|BM2|﹣2|AM|•|BM|cos2θ=4∴（|AM|+|BM|）2﹣2|AM|•|BM|（1+cos2θ）=4∴（|AM|+|BM|）2﹣4|AM|•|BM|cos2θ=4∵||•||cos2θ=3∴|AM|+|BM|=4∴||+||=4因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1∴曲线C的方程为（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与，消元可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0显然，方程①的△＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有S=×2×|y1﹣y2|=|y1﹣y2|y1+y2=，y1y2=∴（y1﹣y2）2=（y1+y2）2﹣4y1y2=令t=3m2+3，则t≥3，（y1﹣y2）2=由于函数y=t+在[3，+∞）上是增函数，∴t+≥故（y1﹣y2）2≤9，即S≤3∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理计算三角形的面积，利用函数的单调性确定最值，综合性强．22．已知函数f（x）=lnx+x2．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，且a＞1，h（x）=e3x﹣3ae x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣k（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出g（x）的导数，函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数即为g′（x）≥0，x＞0恒成立，运用分离参数，运用基本不等式求得函数的最小值即可；（2）令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at，求出H′（t），由H′（t）=0，得t=，讨论①若1＜t，②若＜t≤2，函数的单调性，即可得到极小值；（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．求F（x）的导数，求得单调区间，构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，求出导数，求得单调性，运用单调性即可得证．解答：解：（1）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）=+2x﹣a由题意，知g′（x）≥0，x＞0恒成立，即a≤（2x+）min．又x＞0，2x+，当且仅当x=时等号成立．故（2x+）min=2，所以a．（2）由（Ⅰ）知，1＜a，令e x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t3﹣3at H′（t）=3t2﹣3a=3（t﹣）（t），由H′（t）=0，得t=，由于1＜a，则∈[1，]，①若1＜t，则H′（t）＜0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln]也单调递减；②若＜t≤2，则H′（t）＞0，H（t）单调递增．h（x）在[ln，ln2]也单调递增；故h（x）的极小值为h（ln）=﹣2a．（3）即证是否存在，使F'（x0）=0，因为x＞0时y=F'（x）单调递减，且F'（1）=0，所以即证是否存在使x0=1．即证是否存在m，n使m=2﹣n．证明：F（x）=2lnx﹣x2﹣k.x、F'（x）、F（x）的变化如下：x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x） + 0 ﹣F（x）↗↘即y=F（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．又F（m）=F（n）=0且0＜m＜n所以0＜m＜1＜n．构造函数G（x）=F（x）﹣F（2﹣x），其中0＜x＜1，即G（x）=（2lnx﹣x2）﹣[2ln（2﹣x）﹣（2﹣x）2]=2lnx﹣2ln（2﹣x）﹣4x+4，=，当且仅当x=1时G'（x）=0，故y=G（x）在（0，1）单调增，所以G（x）＜G（1）=0．所以0＜x＜1时，F（x）＜F（2﹣x）．又0＜m＜1＜n，所以F（m）＜F（2﹣m），所以F（n）=F（m）＜F（2﹣m）．因为n、2﹣m∈（1，+∞），所以根据y=F（x）的单调性知n＞2﹣m，即．又在（0，+∞）单调递减，所以．即函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和极值、最值，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数求导数，运用单调性解题，考查运算能力，属于中档题．。

2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1．（5分）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．42．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）3．（5分）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数4．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞05．（5分）下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y＝log2|x|B．y＝cos x C．D．6．（5分）若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y＝2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个7．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）＝（1+x）f（x），则的值是（）A．0B．C．1D．8．（5分）对于正实数a，记M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈M＞a2，则f（x）﹣g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f （1﹣x）成立，且（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a 10．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）＝x2，g（x）＝2x﹣3②f（x）＝，g（x）＝x+2③f（x）＝e﹣x，g（x）＝﹣④f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11．（5分）函数y＝的最大值等于．（选修4-4：极坐标与参数方程）12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝．（几何证明选讲选做题）13．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若P A＝4，PC＝5，则∠CBD＝．二.填空题（必做题）14．（5分）设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是非q的条件．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2011）＝．16．（5分）已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}；②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0；③“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则4是y＝f（x）的一个周期．其中为真命题的是（填上你认为正确的序号）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．17．（12分）设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）﹣m＝0有解，求m的取值范围．20．（13分）已知函数f（x）＝x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．（1）求a的取值范围；（2）设g（x）＝e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．21．（13分）已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）＝1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．22．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax和g（x）＝x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）＝0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．2015年湖南省衡阳市衡阳县四中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1．（5分）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0B．1C．2D．4【解答】解：∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0，1，2，4，16}∴∴a＝4，故选：D．2．（5分）设函数f（x）＝，则不等式f（x）＞f（1）的解集是（）A．（﹣3，1）∪（3，+∞）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【解答】解：函数f（x）＝，则f（1）＝3，不等式f（x）＞f（1）等价于：或，解得：x∈（﹣3，1）∪（3，+∞）．故选：A．3．（5分）函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【解答】解：∵1﹣x2≥0，∴﹣1≤x≤1∴＝，故f（x）是偶函数，因此B对．故选：B．4．（5分）命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．存在x∈R，x3﹣x2+1≤0C．对任意的x∈R，x3﹣x2+1＞0D．存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：∵命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”是全称命题∴否定命题为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0故选：D．5．（5分）下列四个函数中，在区间（﹣1，0）上为减函数的是（）A．y＝log2|x|B．y＝cos x C．D．【解答】解：A、∵y＝log2x在（0，+∞）上是增函数，∴y＝log2（﹣x）在（﹣1，0）上是减函数，故对；B、y＝cos x在（﹣，0）上是增函数，∴y＝cos x在在（﹣1，0）上是增函数，故错；C、在R上是增函数，∴在（﹣1，0）上是增函数，故错；D、在R上是增函数，∴在（﹣1，0）上是增函数，故错；故选：A．6．（5分）若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y＝2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个【解答】解：由y＝2x2+1＝3，得x2＝1，即x＝1或x＝﹣1，由y＝2x2+1＝19，得x2＝9，即x＝3或x＝﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3＝9种，故选：C．7．（5分）已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）＝（1+x）f（x），则的值是（）A．0B．C．1D．【解答】解：若x≠0，则有，取，则有：∵f（x）是偶函数，则由此得于是，故选：A．8．（5分）对于正实数a，记M a为满足下述条件的函数f（x）构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1）．下列结论中正确的是（）A．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）•g（x）∈MB．若f（x）∈M，g（x）∈M，且g（x）≠0，则∈MC．若f（x）∈M，g（x）∈M，则f（x）+g（x）∈MD．若f（x）∈M，g（x）∈M，且a＞a2，则f（x）﹣g（x）∈M【解答】解：对于﹣a（x2﹣x1）＜f（x2）﹣f（x1）＜a（x2﹣x1），即有﹣a＜＜a，令k＝，有﹣a＜k＜a，不妨设f（x）∈M a1，g（x））∈M a2，即有﹣a1＜k f＜a1，﹣a2＜k g＜a2，因此有﹣a1﹣a2＜k f+k g＜a1+a2，因此有f（x）+g（x）∈M a1+a2．故选：C．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f （1﹣x）成立，且（x﹣1）f′（x）＜0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则a，b，c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：由题意得：对任意x∈R，都有f（x+1）＝f（1﹣x）成立，所以函数的对称轴为x＝1，所以f（3）＝f（﹣1）．因为当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，所以f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递增．因为﹣1＜0＜，所以f（﹣1）＜f（0）＜f（），即f（3）＜f（0）＜f（），所以c＜a＜b．故选：C．10．（5分）对于函数f（x）与g（x）和区间D，如果存在x0∈D，使|f（x0）﹣g （x0）|≤1，则称x0是函数f（x）与g（x）在区间D上的“友好点”．现给出两个函数：①f（x）＝x2，g（x）＝2x﹣3②f（x）＝，g（x）＝x+2③f（x）＝e﹣x，g（x）＝﹣④f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣其中在区间（0，+∞）上存在“友好点”的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①f（x）﹣g（x）＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，∴要使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，不可能，不满足条件，∴在区间（0，+∞）上的不存在唯一“友好点”，∴①不正确．②g（x）﹣f（x）＝x﹣+2＝（﹣）2+≥＞1，∴不存在x0∈D，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1，∴函数不存在“友好点”，∴②错误．③设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝e﹣x+，则函数h（x）在（0，+∞）上单调减，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0不唯一，∴③满足条件，∴③正确．④h（x）＝g（x）﹣f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），h′（x）＝1﹣，令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，∴x＝1时，函数取得极小值，且为最小值，最小值为h（1）＝1﹣0＝1，∴g（x）﹣f（x）≥1，∴当x0＝1时，使|f（x0）﹣g（x0）|≤1的x0唯一，∴④满足条件．故选：C．二.填空题：本大题共1小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）（选修4-5：不等式选讲）11．（5分）函数y＝的最大值等于2．【解答】解：由于y≥0，则y2＝x﹣1+5﹣x+2＝4+2＝4+2当x＝3时，y2取最大值4+2×2＝8，即有y的最大值为2．故答案为：（选修4-4：极坐标与参数方程）12．（5分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），曲线C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝．【解答】解：∵直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），∴直线l的普通方程为：y＝x．∵曲线C的参数方程为（θ为参数），∴曲线C的普通方程为：（x﹣1）2+y2＝4．∵直线l与曲线C交于A，B两点，∴圆心（1，0）到直线l：x﹣y＝0的距离为：，∴|AB|＝2＝2＝．故答案为：．（几何证明选讲选做题）13．如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若P A＝4，PC＝5，则∠CBD＝30°．【解答】解：由割线定理得，P A×PB＝PC×PD，∵P A＝4，PC＝5，∴4×10＝5×PD，∴PD＝8，∴CD＝8﹣5＝3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD＝60°，从而∠CBD＝30°．故填：30°或．二.填空题（必做题）14．（5分）设p：x2﹣x﹣20＞0，q：＜0，则p是非q的充分不必要条件．【解答】解：由x2﹣x﹣20＞0得x＞5或x＜﹣4，即p：x＞5或x＜﹣4，由＜0得|x|﹣2＜0，解得﹣2＜x＜2，即q：﹣2＜x＜2，非q：x≥2或x ≤﹣2，即p是非q的充分不必要条件，故答案为：充分不必要15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，则f（2011）＝8．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x＝x+2代入得，∴f（x+4）＝＝＝f（x），∴函数f（x）是周期函数且T＝4，∴f（2011）＝f（4×502+3）＝f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）＝x2﹣1，∴f（3）＝8．即f（2011）＝8．故答案为：8．16．（5分）已知以下四个命题：①如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}；②若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0；③“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题；④定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则4是y＝f（x）的一个周期．其中为真命题的是③④（填上你认为正确的序号）．【解答】解：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实根，且x1＜x2，那么当a＞0时，不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，故①错误；若，则（x﹣1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，故②错误；∵若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R为真命题，∴“若m＞2，则x2﹣2x+m＞0的解集是实数集R”的逆否命题也为真命题；∵定义在R的函数f（x），且对任意的x∈R都有：f（﹣x）＝﹣f（x），f（1+x）＝f（1﹣x），则f（2+x）＝f[（1+x）+1]＝f[1﹣（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），即4是y＝f（x）的一个周期．故④也为真命题故答案为③④三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6个大题，共75分）．17．（12分）设全集是实数集R，A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}，B＝{x|x2+a＜0}．（1）当a＝﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若（∁R A）∩B＝B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵A＝{x|≤x≤3}，当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．…（6分）（2）∁R A＝{x|x＜或x＞3}，当（∁R A）∩B＝B时，B⊆∁R A，①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁R A；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|﹣＜x＜}，要使B⊆∁R A，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，实数a的取值范围是a≥﹣．…（12分）18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数y＝a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：若p是真命题，则0＜a＜1…（2分）若q是真命题，则函数y＞1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值为2a，只需2a＞1∴∴q为真命题时，…（6分）又∵p∧q为假，p∨q为真∴p与q一真一假…（8分）若p真q假，则；若p假q真，则a≥1…（10分）故a的取值范围为或a≥1…（12分）19．（12分）已知函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）若方程f（x）﹣m＝0有解，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（x∈R）是偶函数．可知f（x）＝f（﹣x）∴log4（4x+1）+kx＝log4（4﹣x+1）﹣kx（（2分）即∴log44x＝﹣2kx（4分）∴x＝﹣2kx对x∈R恒成立．（6分）∴k＝．（7分）（2）由，∴．（9分）∵（11分）∴（13分）故要使方程f（x）﹣m＝0有解，m的取值范围：．（14分）20．（13分）已知函数f（x）＝x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．（1）求a的取值范围；（2）设g（x）＝e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．【解答】解：（1），∵f（x）在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上恒成立，即恒成立，∴只需即可．∴（当且仅当时取等号），∴（2）设e x＝t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．设，其对称轴为，由（1）得，∴则当，即时，h（t）的最小值为当，即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）＝﹣a所以，当时，g（x）的最小值为，当a＜2时，g（x）的最小值为﹣a21．（13分）已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）＝1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2﹣1）＜2．【解答】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），令x1＝x2＝1，代入上式解得f（1）＝0，令x1＝x2＝﹣1，代入上式解得f（﹣1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）设x2＞x1＞0，则＝∵x2＞x1＞0，∴，∴＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（3）∵f（2）＝1，∴f（4）＝f（2）+f（2）＝2，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x2﹣1）＜2可化为f（|2x2﹣1|）＜f（4），又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x2﹣1|＜4，且2x2﹣1≠0，即﹣4＜2x2﹣1＜4，且2x2≠1解得：，且x≠，即不等式的解集为{x|，且x≠}．22．（13分）已知函数f（x）＝ax2+ax和g（x）＝x﹣a．其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）若函数f（x）与g（x）的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的a的值；如果没有，请说明理由．（Ⅲ）若p和q是方程f（x）﹣g（x）＝0的两根，且满足，证明：当x∈（0，p）时，g（x）＜f（x）＜p﹣a．【解答】解：（Ⅰ）设函数g（x）图象与x轴的交点坐标为（a，0），又∵点（a，0）也在函数f（x）的图象上，∴a3+a2＝0．而a≠0，∴a＝﹣1（Ⅱ）依题意，f（x）＝g（x），即ax2+ax＝x﹣a，整理，得ax2+（a﹣1）x+a＝0，①∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，∴△＞0，即△＝（a﹣1）2﹣4a2＝﹣3a2﹣2a+1＝（3a﹣1）（﹣a﹣1）＞0．∴﹣1＜a＜且a≠0．设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，x1•x2＝1＞0，．设点o到直线g（x）＝x﹣a的距离为d，则，．∴S△OAB＝＝．∵﹣1＜a＜且a≠0，∴当时，S△OAB 有最大值，S△OAB无最小值．f（x）﹣g（x）＝a（x﹣p）（x﹣q）．∵，∴a（x﹣p）（x﹣q）＞0，∴当x∈（0，p）时，f（x）﹣g（x）＞0，即f（x）＞g（x）．又f（x）﹣（p﹣a）＝a（x﹣p）（x﹣q）+x﹣a﹣（p﹣a）＝（x﹣p）（ax﹣aq+1），x﹣p＜0ax﹣aq+1＞1﹣aq＞0，∴f（x）﹣（p﹣a）＜0，∴f（x）＜p﹣a，综上可知，g（x）＜f（x）＜p﹣a．。

湖南省衡阳县第四中学2015届高三数学(理)专题复习 高考中图表信息题]

湖南省衡阳县第四中学2015届高三数学(理)专题复习 高考中图表信息题]

数学高考中图表信息题图表信息题是通过图像、图形及表格等形式给出信息的一种新题型.由于这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活，能突出对考生的阅读理解能力、获取信息与处理信息能力的考查，因而备受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试卷中.下面从有关省市高考题及高考模拟题中精选出部分典型试题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.一、函数图像信息题函数图像能反映函数定义域、值域、单调性、奇偶性（对称性）、特殊点（交点、边界点、最值点）等性态，在解答时应从这些方面入手加以分析，充分挖掘图像信息，并注意与方程、不等式联合起来正确求解.例1设f＇(x)是函数f(x)的导函数，y= f＇(x)的图像如图1所示，则y= f(x)的图像最有可能的是解析观察所给导函数f＇(x)的图像，可知x<0时，f＇(x)>0，则f(x)为增函数；当0<x<2时，f＇(x)<0，则f(x)为减函数；当x>2时，f＇(x)>0，则f(x)为增函数.选项中只有C选项符合上述f(x)的单调性，故应选C.点评解决图像类型的题目关键是抓住图像中所提供的信息，抓住主要数学特征和图形特征，然后再定量分析.本题主要涉及导函数、函数图像、函数的单调性等基本知识，解题过程中运用了数形结合的思想方法.例2一水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水速度如图2甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图2丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定不确定的论断是.解析由图甲知，一个进水口在1小时内可进1单位水，所以由0点到3点两个进水口只进水，出水口不出水；由图乙知，出水口在1小时内可出2单位水，在3点到4点只出水1单位，所以从3点到4点开一个进水口，一个出水口；由图丙知，从4点到6点可同时开两个进水口，一个出水口，此时进水与出水也可保持平衡.综上所述，一定不确定的论断是②③.点评 读图、识图、用图是解题的开窍点.通过观察（观者看也，观察者思也），寻找图像中的关键点、一些能够引起质的飞跃的地方，方能快速实现图像语言向文字语言的转化.图像试题是近年高考数学命题的一道亮丽的风景，这正迎合了我们现在所处的读图时代.二、几何图形信息题几何图形具有多样化、直观化的特征，图形信息题是一类极富思考性、挑战性和趣味性的问题.充分挖掘图形内涵，全方位地审视图形，全面掌握图形所提供的信息，以形助数是解决图形信息题的关键.例3 如图3，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则sin6cos6θθ+= .分析 本题要仔细阅读题意，分析图形，把握图形与题意的联系，可从简单情形，特殊位置入手，找到变化规律来解决问题.解析 从第一图的开始位置变化到第二图时，向量绕点O 旋转了-3π（注意绕点O 是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量绕点O 旋转了-32π，则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量OA 绕点O 旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，向量绕点O 共旋转了-6π，即θ= -6π，因而sin6cos6θθ+=cos(-π)+sin(-π)= -1.点评 本题主要考查读图能力，向量的概念，及其有关向量、三角的基本运算能力.例4 如图4，甲、乙两人分别位于方格中A 、B 两处，从某一时刻开始，两人同时以每分钟一格的速度向东或西或南或北方向行走，已知甲向东、西行走的概率均为41，向南、北行走的概率分别为31和p ；乙向东、西、南、北行走的概率均为q .（1）求p 和q 的值；（2）试判断最少几分钟，甲、乙两人可以相遇，并求出最短时间内可以相遇的概率. 解析 （1）甲向四个方向行走是一个必然事件， ∴41+41+31+p =1，∴p =61. 同理4q =1，∴q =41. （2）甲、乙两人最少需要2分钟可以相遇.如图5，设甲、乙两人在C 、D 、E 处相遇的概率分别为p C 、p D 、p E .则p C =（61×61）×（41×41）=5761，p D =2（61×41）×2（41×41）=961，p E =（41×41）×（41×41）=2561.∴p C +p D +p E =5761+961+2561=230437.即所求的概率为230437.点评 本题主要考查相互独立事件同时发生和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力.三、统计图信息题条形统计图能直观反映各种数据，具有可比较性、规律性.理解图形内容，找出变化趋势和规律，是解答条形图信息题的关键.例5 甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数稳定在7，8，9，10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图6所示.（1）根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图，推断乙击中8环的概率P（ξ乙=8），并求甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率；（2）根据这次训练比赛的成绩估计甲，乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）.解析（1）由图乙可知P（ξ乙=7）=0.2，P（ξ乙=9）=0.2，P（ξ乙=10）=0.35，∴P（ξ乙=8）=1-0.2-0.2-0.5=0.25.由图甲可知P（ξ甲=7）=0.2，P（ξ甲=8）=0.15，P（ξ甲=9）=0.3，∴P（ξ甲=10）=1-0.2-0.15-0.3=0.35.∵P（ξ甲≥9）=0.3+0.35=0.65，P（ξ乙≥9）=0.2+0.35=0.55，∴甲，乙同时击中9环以上（包括9环）的概率为：P=P（ξ甲≥9）×P（ξ乙≥9）=0.65×0.35=0.3575.（2）∵Eξ甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8，Eξ乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7，∴Eξ甲>Eξ乙，所以估计甲的水平更高.点评本题以频率分布直方图为载体，考查概率的计算和期望的意义及计算，富有时代气息和生活气息，具有较高的实用价值.四、表格信息题表格能集中给出解题信息，简洁明了.理解表中内容，根据数据特征找出数量关系进行计算或推理，是求解表格信息题的关键.例6函数f(x)=ax32则函数y=lg f(x)的定义域为.分析观察表中有三个x值使y=0，联想二次函数的零点解析式y=a(x-x1)(x-x2)，因而不难设出f(x)的解析式，进而求之，再解高次不等式即可求出函数y=lg f(x)的定义域.解析设f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2)，而f(0)=4，∴a=2，∴f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2).要使y=lg f(x)有意义，则有f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0，由数轴标根法解得-1<x<1或x>2.∴函数y=lg f(x)的定义域为（-1，1）∪（2，+∞）.点评本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起，而且给出了多余的条件信息，属开放问题，这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时，要注意从众多的信息中，观察、分析、筛选，放弃无用的信息，挑选出与解题有关的信息，找到解题的突破口，这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.解答这类背景新颖的创新试题，要善于观察分析，挖掘问题的本质特征，联想类似的熟悉问题（如本例中联想二次函数的零点解析式），通过类比迁移使问题得到解决，这种联想、类比、迁移的能力是继续学习和发明创造的需要，因而也是现在的高考考查的热点.针对练习1 某人定制了一批地板砖，每块地板砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，CE=CF ，△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE ，△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3﹕2﹕1。

湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期阶段性测试七 理(无答案)

湖南省衡阳县第四中学高三数学上学期阶段性测试七 理(无答案)

湖南省衡阳县四中2014-2015年高三上学期高三数学（理）阶段性测试七一．选择题1.已知全集R U =，集合},12|{},0|{2Z n n x x N x x x M ∈+===-=，则N M （ ）。

A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．φ 2.已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则“0x >”是“a 与b 夹角为锐角”的（ ）。

A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3.1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为（ ）A4. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 55. 设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x++的取值范围是（ ）6. 函数x x ycos +=的大致图象是( )7. 已知△ABC 中，三内角A ，B ，C 依次成等差数列，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形8. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033m y x y x y x ，且y x +的最大值等于9，则实数m 等于A ．2-B ．1-C ．1D ．29. 在ABC ∆中，设AD 为BC 边上的高，且BC AD =，c b ,分别表示角C B ,所对的边长，则bcc b +的取值范围是（ ） A ]5,2[ B ]6,2[ C ]5,3[ D ]6,3[10. 已知()g x 是R 上的奇函数，当0x <时，ln (()1)x g x =--，函数3(0)()()(0)x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩ ,若2(2)()f x f x -> ，则实数x 的取值范围是（ ）A.（-∞，1）∪(2，+∞)B. （-∞，-2）∪(1，+∞)C.（1,2）D.（-2,1）二．填空题11. 不等式521≥++-x x 的解集为 .12. 设001cos 662a =-，0202tan131tan 13b =+,则,a b 的大小关系为 。

湖南省衡阳四中高三数学上学期期中试卷文(含解析)

湖南省衡阳四中高三数学上学期期中试卷文(含解析)

2015-2016学年湖南省衡阳四中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．设i为虚数单位，复数 z1=3﹣ai，z2=1+2i，若是纯虚数，则实数a的值为( ) A．﹣B．C．﹣6 D．62．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( ) A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件3．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于( )A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）4．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=( )A．B．C．D．5．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣16．等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于( )A．99 B．66 C．144 D．2977．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=( )A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣68．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）9．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的一条对称轴是( )A．x=﹣B．x=C．x=﹣D．x=10．已知实数a，b，c，d成等差数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点坐标为（b，c），则a+d 等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．311．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为( )A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）二.填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分13．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为__________．14．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是__________．15．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=__________．16．在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是__________．三．解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18，19，20，21，22题12分17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，面积S=abcosC（1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值，及取得最大值时角B的值．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．19．已知数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，S n是数列{b n}的前n项和，求证：S n＜．20．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？21．已知函数．（I）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）与的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值．22．已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．2015-2016学年湖南省衡阳四中高三（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1．设i为虚数单位，复数 z1=3﹣ai，z2=1+2i，若是纯虚数，则实数a的值为( )A．﹣B．C．﹣6 D．6【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．【解答】解：∵z1=3﹣ai，z2=1+2i，由=是纯虚数，得，解得：a=．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( ) A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题；规律型．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．3．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于( )A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题4．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=( )A．B．C．D．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．6．等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于( ) A．99 B．66 C．144 D．297【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得a4=13，a6=9，可得a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得S9=，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，∴数列{a n}前9项的和S9====99故选：A【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．7．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=( )A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．8．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞） B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）【考点】其他不等式的解法；函数单调性的性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．【解答】解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．9．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的一条对称轴是( )A．x=﹣B．x=C．x=﹣D．x=【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】化简函数f（x）=sinωx+cosωx为f（x）=2sin（ωx+），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，求出函数的周期，推出ω，得到函数解析式，从而可求f（x）的一条对称轴．【解答】解：函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），因为y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期T=π，所以ω=2，所以f（x）=2sin（2x+），因为2x+=+kπ k∈Z，解得x=，k∈Z，当k=0时，有x=．故选：D．【点评】本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．10．已知实数a，b，c，d成等差数列，且曲线y=3x﹣x3的极大值点坐标为（b，c），则a+d 等于( )A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【考点】利用导数研究函数的极值；数列与函数的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】先求导数，得到极大值点，从而求得b，c，再利用等差数列的性质求解．【解答】解：∵曲线y=3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，令3﹣3x2=0，则x=±1，经检验，x=1是极大值点．极大值为2．∴b=1，c=2，b+c=3．又∵实数a，b，c，d成等差数列，由等比数列的性质可得：a+d=b+c=3．故选：D．【点评】本题主要考查求函数极值点及数列的性质的应用，考查计算能力．11．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为( ) A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题；新定义．【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故选：D．【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞）【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】先求导函数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．二.填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分13．若向量，满足||=||=|+|=1，则•的值为﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alna ﹣a，再求导，求最值即可．【解答】解：设出曲线上的一个切点为（x，y），由y=alnx，得y′=，∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，∴y′==1，∴x=a，∴切点为（a，alna），代入y=x+b，可得b=alna﹣a，∴b′=lna+1﹣1=0，可得a=1，∴函数b=alna﹣a在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴a=1时，b取得最小值﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．15．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．【考点】等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】可先由等比数列的性质求出a3=2，再根据性质化简log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5log2a3，代入即可求出答案．【解答】解：log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1a2a3a4a5=log2a35=5log2a3．又等比数列{a n}中，a1a5=4，即a3=2．故5log2a3=5log22=5．故选为：5．【点评】本题考查等比数列的性质，灵活运用性质变形求值是关键，本题是数列的基本题，较易．16．在R上定义运算△：x△y=x（1﹣y）若不等式（x﹣a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；新定义．【分析】利用新定义的运算△：x△y=x（1﹣y），将不等式转化为二次不等式，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方，从而有△＜0，解△＜0即可．【解答】解：根据运算法则得（x﹣a）△（x+a）=（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1化简得x2﹣x﹣a2+a+1＞0在R上恒成立，即△＜0，解得a∈故答案为【点评】本题的考点是函数恒成立问题，主要考查了函数恒成立问题，题目比较新颖，关键是理解定义了新的运算，掌握恒成立问题的处理策略，属于中档题．三．解答题（本题共6道小题，第17题10分，第18，19，20，21，22题12分17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，面积S=abcosC（1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值，及取得最大值时角B的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）利用三角形面积公式和已知等式，整理可求得tanC的值，进而求得C．（2）利用两角和公示和二倍角公式化简整理函数解析式，利用B的范围和三角函数性质求得函数最大值．【解答】解：（1）由S=absinC及题设条件得absinC=abcosC，即sinC=cosC，∴tanC=，0＜C＜π，∴C=，（2）f（x）=sin cos+cos2=sinx+cosx+=sin（x+）+，∵C=，∴B∈（0，），∴＜B+＜当B+=，即B=时，f（B）有最大值是．【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，三角函数恒等变换的应用．解题的过程中注意利用C的值确定B的范围这一隐形条件．18．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，=（cosA，cosC），=（c﹣2b，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为，求边a的值．【考点】余弦定理的应用；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形．【分析】（1）通过向量的数量积以及正弦定理两角和与差的三角函数，求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；（2）通过a=b，利用余弦定理，结合BC边上的中线AM的长为，即可求出边a的值【解答】（本题12分）解：（1）由⊥，∴•=0（2b﹣）cosA=…所以（2sinB﹣）cosA=…∴2sinBcosA=，则2sinBcosA=sinB …所以cosA=，于是A=…（2）由（1）知A=，又a=b，所以C=设AC=x，则MC=，AM=，在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2AC•MCcosC=AM2…即x2+（）2﹣2x•，解得x=2，即a=2…【点评】本题考查余弦定理的应用，向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．19．已知数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，S n是数列{b n}的前n项和，求证：S n＜．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用裂项求和即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}公差为d，且d≠0，∵a1，a2，a5成等比数列，a1=1∴（1+d）2=1×（1+4d）解得d=2，∴a n=2n﹣1．（2）b n===（﹣）∴S n=b1+b2+…+b n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）＜【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和是解题的关键．20．某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求θ关于x的函数关系式；（2）分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值．【解答】解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10﹣x），∴θ=（0＜x＜10）；（2）花坛的面积为﹣==（10﹣x）（5+x）；装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10﹣x）•4=9xθ+90θ+8（10﹣x）=170+10x，∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，∴当x=1时，y取得最大值．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的弧长公式，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键．21．已知函数．（I）判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若y=xf（x）+的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）与的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）先对函数进行求导运算，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减，可求得单调区间．（2）将将函数f（x）的解析式代入，可将问题转化为不等式对于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+后进行求导，根据导函数的正负情况判断函数的单调性进而可得到函数g （x）的最小值，从而得到答案．（3）将函数f（x）与的图象有公共点转化为有解，再由y=lnx与在公共点（x0，y0）处的切线相同可得到同时成立，进而可求出x0的值，从而得到m的值．【解答】解：（Ⅰ）可得．当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当e＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．（Ⅱ）依题意，转化为不等式对于x＞0恒成立令g（x）=lnx+，则g'（x）=当x＞1时，因为g'（x）=＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函数，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的减函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1）．（Ⅲ）转化为，y=lnx与在公共点（x0，y0）处的切线相同由题意知∴解得：x0=1，或x0=﹣3（舍去），代入第一式，即有．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．22．已知函数f（x）=x2+x+alnx（a∈R）．（1）对a讨论f（x）的单调性；（2）若x=x0是f（x）的极值点，求证：f（x0）≤．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）对函数求导，利用导函数与函数单调性的关系即可求解．（2）利用条件x0是函数f（x）的极值点，确定a的数值，然后证明f（x0）≤．【解答】解：（1）∵f（x）=x2+x+alnx，∴x＞0，f′（x）=x+1+=．∴当a≥时，f'（x）≥0在定义域恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜时，f'（x）=0时，x=，≤0⇔a≥0，∴0≤a＜时，f（x）在（0，+∞）单调递增；＞0⇔a＜0，∴a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（2）由（1）可知当a＜0时，f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．∴当x=时，函数f（x）有极小值，∴x0=＞0，∴⇒a=﹣﹣x0，∴f（x0）=+x0+alnx0=+x0﹣（+x0）lnx0，记g（x）=x2+x﹣（x2+x）lnx，则g′（x）=﹣（2x+1）lnx，∴g（x）max=g（x）极大值=g（1）=，∴f（x0）≤．【点评】本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及函数的极值问题．对于参数问题要注意进行分类讨论．。

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数学（理）试题（四）本试卷共22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ( )A．B．C．D．2. 设，，，记，，则＝( )A. ;B.;C. ;D.3. 与向量a=的夹解相等，且模为1的向量是(A) (B) 或（C）（D）或4. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随即调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示。

根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）。

A. 0.6 小时B. 0.9 小时C. 1.0 小时D. 1.5 小时5. 数列中，,且，则( )6. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则(A) (B)(C)(D)7. 如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是 A ．B ．C ．D ．8. 一台机床有的时间加工零件A, 其余时间加工零件B, 加工A 时,停机的概率是,加工B 时,停机的概率是, 则这台机床停机的概率为( )A. 3011B. 307C. 107D. 1019．若多项式，则（ ）A ．9B ．10C ． -9D ． -1010. 若点在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界),则的取值范围（ ）。

A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（11～13题）11. 设 则=____________12. 已知为m 实数，直线：（2m+1）x+（1-m ）y-（4m+5）=0， P （7，0），求点P 到直线的距离d 的取值范围是____________13. 已知，右边程序框图表示的是给定的值，求其函数值的算法.请将该程序框图补充完整.其中①处应填，②处应填 .（二）选做题（14 ~ 16题，考生只能从中选做两题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为．15. （不等式选讲选做题）已知则的最小值是．16. (几何证明选讲选做题）已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点， DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点.则的度数为三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，17．(本小题满分12分）已知函数的周期为.（1）当时，求的取值范围；（2）求函数的单调递减区间.18. (本小题满分12分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.19. (本小题满分12分）如图，三棱锥P—ABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D 是PB上一点，且CD平面PAB．(I) 求证：AB平面PCB；(II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（III）求二面角C-PA-B的大小的余弦值．20. (本小题满分13分）已知定义在R上的函数是实数.（Ⅰ）若函数在区间上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且求函数的表达式；（Ⅱ）若，求证：函数是单调函数．21. (本小题满分13分）已知在数列中，，其中，是函数的一个极值点.(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：.22. (本小题满分13分）已知圆C:.(1)直线过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若，求直线的方程；(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点的轨迹方程.(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求的最小值.模拟题（四）参考答案及详细解析1-10 CABBB AAADD 11. 12. 13.14. 15. 16. 45°一、选择题1.答案：C【解析】，故选C2.答案：A【解析】依题意得，，所以，，故应选A3.答案：B【解析】与向量的夹角相等，且模为1的向量为(x ，y)，则，解得或，选B.4.答案：B【解析】50名学生阅读总时间为45，平均阅读时间0.9小时 5.答案：B 【解析】由，得，，6.答案：A【解析】由等价，于则在上单调递增, 又是偶函数,故在单调递减.且满足时,,,得,故选A.7.答案：A利用对称知识，将折线的长度转化为折线的长度 设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，则光线所经过的路程的长8.答案：A【解析】机床停机的概率就是A ，B 两种零件都不能加工的概率，即31×103＋32×52=3011. 9. 答案：D 【解析】所以10.D【解析】可看成过点与三角形内点的斜率的范围，又斜率最大为，最小为，因不含边界，所以选D。

二、填空题11.答案：【解析】12．答案：【解析】直线过定点，d的最大值为点P、Q的距离，因点P、Q的距离为，故d的取值范围是13. 答案：14. 答案：【解析】联立解方程组解得,即两曲线的交点为。

15.答案：【解析】记，则，，（当且仅当，即，时取等号）．16.答案：45°【解析】∵AC为圆O的切线,∴.又知,DC是的平分线, ∴.∴,即又因为BE为圆O的直径, ∴∴.三、解答题17.∴函数（1）若∴y的取值范围为.(2)令，求得函数的单调递减区间为.18. （Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为.（Ⅱ）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）.事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”（0，1，2，3，4），∴，∴即的分布列是0 2 4 6 8∴的期望是.19．解法一：(I) ∵PC平面ABC，平面ABC，∴PC AB．…………………………1分∵CD平面PAB，平面PAB，∴CD AB．…………………………2分又，∴AB平面PCB．…………………………4分(II) 过点A作AF//BC，且AF=BC，连结PF，CF．则为异面直线PA与BC所成的角．………5分由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF AF．由三垂线定理，得PF AF．则AF=CF=，PF=，在中， tan∠PAF==，………7分∴异面直线PA与BC所成的角为．…………………………………8分（III）取AP的中点E，连结CE、DE．∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．∵CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得 DE PA．∴为二面角C-PA-B的平面角．…………………………………10分由(I) AB平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．在中，PB=，．在中， cos=．∴二面角C-PA-B大小的余弦值为……12分解法二：（I）同解法一．………4分(II) 由(I) AB平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=．以B为原点，如图建立坐标系．………5分则Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），C（，０，0），P（，０，2）．，．………………7分则+0+0=2．== ．……7分∴异面直线AP与BC所成的角为．…………………8分（III）设平面PAB的法向量为= (x，y，z)．，，则即解得令= -1, 得 = (，0，-1)．………11分设平面PAC的法向量为=()．，，则即解得令=1, 得= (1，1，0)．=．∴二面角C-PA-B大小的余弦值为．……………………12分20. 解：（1）由又由于在区间上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以－1和3必是的两个根.从而又根据（2）因为为二次三项式，并且，所以，当恒成立，此时函数是单调递增函数；当恒成立，此时函数是单调递减函数.因此，对任意给定的实数a，函数总是单调函数.21. (1) 由题意得：，即故，则当时，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以由此式对也成立，所以（2），因为，所以，则，有故22. （1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意………1分②若直线不垂直于轴，设其方程为，即………2分设圆心到此直线的距离为，则，得∴，，………4分故所求直线方程为3x-4y+5=0综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1 ……………5分(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0)∵，∴即，………7分又∵，∴…………9分由已知，直线m //oy轴，所以，,∴点的轨迹方程是 () ………………10分（3）设Q坐标为(x,y)，，， (11)分又 ()可得：.…………13分。

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