二次函数画图2
二次函数及其图像
二次函数及其图像一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。
“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。
在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。
[1]编辑本段几种表达式一般式y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c 的值。
[1]顶点式y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k），对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，当x=h 时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)^2+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，-h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
[1]交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B （x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
二次函数的图象课件
二次函数的标准式和一般式
二次函数可以表示为标准式 y = a(x - h)^2 + k 或一般式 y = ax^2 + bx + c，其中 (h, k) 表示顶点 坐标。
二次函数图像的相关属性
1
开口方向和范围
2
开口向上的二次函数的最小值是负无穷大，
开口向下的二次函数的最大值是正无穷大。
范围是 y 值的取值范围。
3
最值和最值点
4
最值是函数的最高或最低点的 y 值，最值
点是函数的最高或最低点的坐标。
5
对称轴和顶点
二次函数的对称轴是通过顶点并垂直于 x 轴的直线，顶点是抛物线的最高或最低点。
零点和交点
零点是函数与 x 轴相交的点，交点是函数 与其他曲线相交的点。
总结与回顾
本次课程的主要内容 和要点
我们学习了二次函数的概念、 图像的属性、平移和伸缩的影 响，以及绘制和分析二次函数 图像的方法。
二次函数图像的应用 和拓展
二次函数图像的形态和属性在 物理、经济和工程等领域有广 泛的应用，可以用于建模和解 决实际问题。
课后习题和练习建议
通过练习，并结合实际应用进 行深入思考和拓展，加深对二 次函数图像的理解和掌握。
渐近线和渐近值
渐近线是抛物线的非实际部分趋近于的直 线，渐近值是渐近线的 y 值。
二次函数的平移和伸缩
1
伸缩变换对二次函数图像的影响
ห้องสมุดไป่ตู้
2
伸缩改变了抛物线的形状和大小，可以 使抛物线变得更宽或更窄，更高或更低。
平移变换对二次函数图像的影响
平移改变了抛物线的位置，会使得抛物 线在 x、y 轴上的相应坐标发生变化。
二次函数的图象和性质课件
二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4
4a 2b c 7
待定系数法
解得，a 2,b 3, c 5
所求的二次函数是 y 2x2 3x 5
对自己说,你有什么收获? 对老师说,你有什么疑惑? 对同学说,你有什么温馨提示?
x
y 1 x 22
3
y 1 x2
3
5.二次函数y=ax2 的图象和性质
抛物线 y=ax2(a>0)
y=ax2(a<0)
开口方向
对称轴
向上 直线x=0
向下 直线x=0
顶点坐标 （0，0）
（0，0）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大
而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随
问题3：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
由图可以想出,如果多边形有n
条边，那么它有 n 个顶点，从一
个顶点出发，连接与这点不相邻
M
N 的各顶点,可以作(n-3)条对角线.
此式表示了多边形
的对角线数d与边
数n之间的关系,对
于n的每一值,d都
即
有唯一的对应值,
即d是n的函数。
问题4：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年 增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后 这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的 关系怎样表示？
返回
在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
x
-3 -2 -1
0
1
2014最新版2.2二次函数图像2
问题2： 你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2 的图象，并比较它们的联系和区别吗?
你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2 y 的图象，并比较它们的联系和区别吗 ?
5
y=2x2
y=2(x+1)2
4. 3.
y=2(x-1)2
2.
1.
-3.
-2
-1
例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开 口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴 是 ，当x= 时，y有最 值，是 . （3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到 函数 的图像，其对称轴是 ， 顶点是 ，当x 时，y随x的增大而 增大；当x 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位 后得到函数 的图像，其顶点坐标 是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有 最 值，是 .
画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察
问题1： 在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与 y＝2(x－1)2的图象 .观察两个图象的开口方向、 对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图 象之间有什么关系?
x
y＝2x2 y＝2(x－1)2
…
－ 3 －2 －1 18 32 8 18 2 8
＜3 3.函数y= 时,y随x的增大而增大； 当x ＞3 时,y 随x的增大而减小。
4 y=4(x+1)2的图象是由 抛物线__________
2 y=4x
2 –5(x–3) ,当x
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
赵振英2.2.2二次函数的图像与性质(2)
5.已知一个二次函数图像的顶点在y轴上，并 且离原点1个单位，图像经过点(–1,0)，求该 二次函数解析式。
1 2 6.已知抛物线 y 2 x ，把它向下平移，得到 的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，若⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线 应向下平移几个单位？
(1)已知二次函数y=3x2+4,点A(x1,y1), B(x2,y2),
y=-x2 y=-x2-2
-4
-6
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗? 函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+c (a≠0)的图象形 状相同 ，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+c 的图象可由y=ax2的图象向 上 平移 c 个单位得到， 当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象
3、可有函数y=2x² 的性质，得到函数 y=2x² ＋1 的一些性质。
二次函数y=2x2， y=2x2+1， y=2x2-1的图象都是抛物 线，并且形状相同，
y=2x2+1 y=2x2-1
只是位置不同.
?
将二次函数y=2x2 的图象向上平移1 个单位，就得到函 数y=2x2+1的图象.
将二次函数y=2x2的图象向下平移1 个单位，就得到函数y=2x2-1的图 象.
1、抛物线 y=ax2+k 的图象可由 y=ax2 的图象上下
当 k＞0时,向上平移，当 k＜0时,向下平移， 平移得到， 平移︱k︱个单位 2、 抛物线 y=ax2+k 的性质： ① 当a＞0时,开口向上,当a＜0时,开口向下; ② 对称轴:y轴; ③ 顶点坐标 (0,k).
达标检测
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 2 2 1 到抛物线 y 2 x 2，再向上平移5个单位， 1 2 可以得到抛物线 y 2 x 3 ； 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y随
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
二次函数的图像_课件
函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的变换
【问题导思】 1．函数y＝x2的图像与函数y＝(x－1)2的图像有怎样的 关系？如何由y＝x2的图像得到y＝(x－1)2的图像？ 【提示】 它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图 像向右平移1个单位就可得到y＝(x－1)2的图像． 2．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－1的图像？ 【提示】 把y＝x2的图像向下平移1个单位．
(2)把y＝2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平 移4个单位长度，就得到函数y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－ 12x＋22的图像．
(3)y＝4x2＋2x＋1
＝4(x2＋12x)＋1
＝4(x2＋12x＋116－116)＋1
＝4[(x＋14)2－116]＋1
＝4(x＋14)2＋34.
把y＝4x2的图像向左平移
1 4
个单位长度，再向上平移
3 4
个
单位长度，就可得到函数y＝4x2＋2x＋1的图像．
求二次函数的解析式
根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式． (1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)； (2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)； (3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向右平移 |h| 个单位长度(h<0)，再向 下 平移|k| 个单位长度(k<0)得到．
在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图
像的开口大小及方向．
3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x ＋h)2＋k (a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左
二次函数的图像与性质
学情分析：本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的基础，起到承上启下的作用.教学目标：1. 知识与技能目标(1）能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y= ax2的性质．（2）猜想并能作出y=- x2的图象，能比较它与y= x2的图象的异同．2.过程与方法目标（1）经历探索二次函数y= x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．（2）由函数y= x2的图象及性质，对比地学习y=- x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．3.情感、态度与价值观目标（1）经历探索的过程发现抛物线的性质，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心．（2）通过小组交流、讨论、比较，研究二次函数y= x2和y=- x2的图象，培养学生合作意识和交流能力．教学重点：经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性质的过程，理解二次函数y=a x2的性质．教学难点：描点法画y= x2的图象，体会数与形的相互联系。
教学过程：一、创设情境，提出问题学生观察：喷泉的水流、篮球的投掷形成的路径，抛物线型拱桥、抛物线型隧道，都与抛掷一个物体形成的路径的曲线类似，由此导入课题.紧接着提出两个问题：1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的一般步骤是怎样的？2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？（设计意图：让学生回顾已学的函数类型、图象及研究函数问题的一般思路，以便学生运用类比的方法研究二次函数的相关问题．）二、合作交流，探究新知1．认识抛物线问题：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先来研究最简单的二次函数y＝x2的图象．大家还记得画函数图象的一般步骤吗？（设计意图：通过这个问题让学生回忆起用描点法画图的一般步骤，以便于学生下一步的画图．）画一画:你能试着用描点法画二次函数y= x2的图象吗?（两名学生上台板演，其他学生在下面尝试画图．在学生画图时，教师溶入到学生中，了解并搜集学生可能出现的各种问题．比如：学生可能会画成折线、半个抛物线、没画出延伸的趋势等情形，这时正好针对问题鼓励小组间互相讨论、相互比较，交流各自的观点．）问题：通过刚才的分析你认为在画y= x2的图象时：（1）列表取值应注意什么问题？(取对称的7或5个点)（2）点和点之间用什么样的线连接? （用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接）（学生尝试描述y= x2的图象,建立和实际问题的联系.再通过投篮的动态演示,形象的描述并体会y= x2的图象的形状是抛物线，并且与开始的引例相呼应.）（设计意图:长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上，数学学习应该与学生的生活经验融合起来，让他们在生活中去发现数学、发现生活中的数学、探究数学、认识并掌握数学.）2.探究抛物线y= x2的性质议一议:请你观察y=x2的图象,你能得到哪些方面的性质，然后分组讨论．（在学生讨论交流之后,请每组的学生代表一一发表自己的观察结果．在此过程中，教师不能作裁判，而要把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条理化 .待学生发表自己的观点之后系统地总结一下y= x2的图象的性质）抛物线y=x2的性质（1）开口：抛物线的开口向上．（2）对称性:它是轴对称图形，对称轴是y轴（或x=0）．（3）增减性：在对称轴的左侧（x<0时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（x>0），y随着x的增大而增大.（4）顶点：图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）．（5）最值：因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0．1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y= 2x2 y=2（设计意图：在此问题上，不再按课本上的问题一一叠列给学生，而是给学生一个开放的空间，给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间．仁者见仁，智者见智，不同的学生肯定会有不同的认识，通过小组讨论与交流，学生可以相互学习，共同提高．）3.探究抛物线y=-x2的性质想一想:（1）二次函数y=- x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．(2) 类似的你能说出它的性质吗?（让学生先猜想再画图验证，在学生画图时可让每一小组部分同学将y= x2与y=-x2的图象画在一个坐标系内,而后学生通过讨论交流得出结论，教师只给以必要的引导．）1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y=- 2x2 y= -2（设计意图：这一问题设计为学生提供思考的空间，培养学生在观察、分析、对比、交流中发展分析能力和从图象中获取信息的能力．）议一议:函数y＝x2与y＝－x2的图象及其性质有何异同？（学生观察图形，通过小组讨论，归纳y＝x2与y＝－x2的图象及其性质的异同,然后回答，学生想不到的，及时给予引导.）不同点：开口方向不同：函数值随自变量的增大的变化趋势而不同：函数的最值不同：相同点：关系：它们的图像关于x轴对称（设计意图：通过比较y＝x2与y＝－x2的性质的异同，让学生更充分地理解y ＝±x2的性质．）三、变式训练，巩固提高（课堂检测）1．在二次函数y= x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是．顶点为：_____2．点(x1，y1)、 (x2，y2)在抛物线y=-3x2上，且x1＞ x2＞0，则y1_____y2. 3．设边长为x cm的正方形的面积为y cm2，y是x的函数，该函数的图象是下列各图形中（）（设计意图：通过一组简单的练习题，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦．）四、总结反思,纳入系统通过今天的学习，你是否对二次函数y=a x2有了一些新的认识？能谈谈你的想法吗？（由学生总结本节课所学习的主要内容.在学生归纳的基础上总结它们的区别与生的素质，并且逐渐培养学生的良好的个性品质.）五、课后延伸,提升能力你能类比地画出函数：12+y的图象吗？动手画一下吧！=x教学反思：针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.把教学的重心放在如何促进学生的“学”上，引导学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流等多样化的学习方式.教学过程中始终坚持学生为主体,教师为主导的方针，使探究知识和培养能力融为一体,让学生不仅学到科学探究的方法,而且体验到探究的甘苦,领会到成功的喜悦.。
二次函数的图像与性质课件
一阶导数等于零的点是函数的拐点，也是单调性的分界点。通过分析这
些点的左右两侧的导数符号变化，可以判断出函数的单调性。
二次函数的极值问题
极值的概念
01
02
03
极值
函数在某点的值大于或小 于其邻近点的值，称为该 函数在该点有极值。
极大值
函数在某点的左侧递减， 右侧递增，则该点为极大 值点。
极小值
函数在某点的左侧递增， 右侧递减，则该点为极小 值点。
顶点坐标
总结词
顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点坐标可以通过公式计算得出，顶点的x坐标为-b/2a，y坐标为cb^2/4a。这个顶点是抛物线的最低点或最高点，取决于抛物线的开口方向。
对称轴
总结词
二次函数的对称轴为x=-b/2a。
详细描述
二次函数的对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。这是抛物线的对称轴，也是顶点的x 坐标。
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于x轴对称当且仅当$a > 0$，关于y轴对称当且仅当 $a < 0$。
点对称
总结词
二次函数的图像关于某点对称。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，其图像关于点$(h, k)$对称当且仅当 $f(h+x) = f(h-x)$且$f(k+y) = f(k-y)$。
解方程问题
总结词
通过二次函数的图像与x轴的交点，可以求 解一元二次方程的根。
详细描述
一元二次方程的根即为二次函数图像与x轴 的交点横坐标。通过观察二次函数的开口方 向和与x轴的交点数，可以判断一元二次方 程实数根的个数。
《二次函数》ppt课件
判别式意义
当 $Delta > 0$ 时，方程有两个不相等 的实根，抛物线与 $x$ 轴有两个交点。
02
二次函数与一元二次方程 关系
一元二次方程求解方法
01
02
03
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，从 而求解。
因式分解法
首先，通过配方将二次函数转 化为顶点式f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。然后， 根据二次函数的性质，对称轴 为x = h，顶点坐标为(h, k)。最 后，代入具体的a、b、c值求解。
已知二次函数f(x) = x^2 - 2x， 求在区间[-1, 3]上的最值。
首先，将二次函数配方为f(x) = (x - 1)^2 - 1，确定对称轴为x = 1。然后，根据二次函数的单 调性，在区间[-1, 1]上单调递减， 在[1, 3]上单调递增。因此，在x = 1处取得最小值f(1) = -1，在 x = 3处取得最大值f(3) = 3。
04
根的判别式Δ=b²-4ac可 以用于判断二次函数与x 轴交点的个数。
当Δ>0时，二次函数与x 轴有两个不同的交点。
当Δ=0时，二次函数与x 轴有一个重根，即一个 交点。
当Δ<0时，二次函数与x 轴无交点。
03
二次函数图像变换与性质 分析
平移变换对图像影响
平移方向
二次函数图像在平面直角坐标系中可 沿x轴或y轴方向进行平移。
04
二次函数在实际问题中应 用举例
利润最大化问题建模与求解
1 2 3
问题描述
某公司生产一种产品，其成本和销售价格与产量 之间存在一定的关系。公司希望通过调整产量来 实现利润最大化。
九年级下期2.2 二次函数的图像与性质(2)课件
O
x
x
开口方向
对称轴 顶点坐标
向上 y轴(或直线x=0)
向下 y轴(或直线x=0)
原点(0，0)
当x>0时，y随x的增大 而增大；当x<0时，y随 x的增大而减小。
原点(0，0)
当x>0时，y随x的增大 而减小；当x<0时，y随 x的增大而增大。
增减性
最值
当x=0时，y有最小值0
当x=0时，y有最大值0
-5 -4
-3 -2
-1 O -1
1
2
3
4
5
x
1 y x2 2 y=-x2 y=-2x2
新知归纳
二次函数y=ax2的图像及性质：
函数 大致图像
O
y ax2 (a 0)
y
y ax2 (a 0)
y
O
x
x
开口方向
对称轴 顶点坐标
向上 y轴(或直线x=0)
向下 y轴(或直线x=0)
(2)当c<0时，将抛物线y=ax2向下平移|c|个单位，可得到 y=ax2 +c的图像。
范例讲解
例1、二次函数 y 5x2 3 与二次函数 y 5x2的图像有什么 关系？它们是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点 坐标分别是什么？
巩固练习
3、二次函数 y 5x2 2与二次函数 y 5x2 3的图像有 什么关系？它们是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和 顶点坐标分别是什么？
4
3
(-1,2)
2
(1,2)
1 -5 -4 -3 -2 -1 O (0,0) 1 2 -1 3 4 5
x
合作交流
《二次函数的图像》ppt课件
二次函数的顶点及其性质
顶点坐标
指引如何求解二次函数的顶点坐 标。
凹凸性
讨论二次函数图像的凹凸性及其 与二次函数的系数关系。
图像特点
解释顶点与图像特点的关系，如 开口方向、对称轴和伸缩。
二次函数与判别式
判别式的定义
解释二次函数的判别式及其含义，如何通过判别式判断函数图像的性质。
判别式的示例
提供实际的例子，演示如何使用判别式确定二次函数图像的形状。
二次函数的图像
二次函数的概念。了解二次函数的基本定义和特点，包括函数的二次项、一 次项和常数项。
二次函数的标准式和一般式
1 标准式
介绍二次函数的标准形式，形如y=ax^2释二次函数的一般形式，形如y=ax^2+bx+c。
二次函数图像的基本性质
开口方向
讲解二次函数图像的开口方向， 以及如何通过系数判断。
对称轴
解释二次函数图像的对称轴， 如何确定并绘制。
顶点坐标
介绍二次函数图像的顶点坐标 的求法，以及其意义。
二次函数图像的平移、翻转和伸缩
1
平移
说明二次函数图像的平移，如何改变顶
翻转
2
点的横纵坐标。
讨论二次函数图像的翻转，如何改变函
数的开口方向。
3
伸缩
探讨二次函数图像的伸缩，如何调整二 次函数图像的形状和大小。
二次函数与实际问题的应用
介绍二次函数在实际问题中的应用，如抛物线的运动轨迹、物体的抛体运动 等。
1.2二次函数的图象(2)课件
特征：函数y＝a(x＋m)2的图象的顶点坐标是_(－___m_，__0)，对 称轴是直线__x_＝__－_m_____．图象的开口方向与函数y＝ax2的图
象__相__同_____．
解：(1)顶点(－1，－4)，开口向上，对称轴为直 线x＝－1； (2)y＝(x－1)2； (3)y＝(x＋1)2－ 4向右平移1个单位，再向上平移4个单位．
课堂总结
1．二次函数y＝a(x＋m)2(a≠0)型的图象及其特征 平移：(1)一般地，函数y＝a(x＋m)2(a≠0)的图象与函数 y＝ax2的图象只是位置不同，它可由y＝ax2的图象
对称轴是 __直__线__x_=_-_m____，
顶点坐标是 _(_-_m_,__k_)___。
函数y=a(x+m)2+k的图象的性质： 一般地函数y=a(x+m)2+k的图象，函数y=ax2的图象只是位置不同，
(1)可以由y=ax2的图象先向右（当m＜0）或向左（当m＞0）平移 ∣m∣个单位，再向上（当k＞0）或向下（当k＜0）平移∣k∣个单位 得到，
(2)顶点坐标是（-m，k），对称轴是直线x＝-m， (3)图象在x轴的上方还是下方，开口方向向上还是向下等性质由 y=ax2来决定的。
记忆方法:
1. 左加右减 2.根据顶点坐标的变化(0,0)
(-m.0)
课堂练习
1．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位，再向右平移2个单
位，所得到的抛物线为( B )
【点悟】 解此类题可以将不同形式的解析式
统一为y＝a(x＋m)2＋k的形式，便于解答．
21.2 二次函数的图像和性质
新课标沪科版·数学 九年级上
第21章 二次函数与 反比例函数
21.2 二次函数的图像和性质
知识点 二次函数y=ax²的图象和性质
投篮命中率是衡量一名篮球运动员得分能力 的重要标志,要提高投篮命中率,应该将球的运动路 线想象成抛物线,在心中建立如图所示的抛物线模 型,这种类型的抛物线表达式为y=ax²(a≠0),尽量向 高处抛出篮球,落点就是篮筐,这样投篮命中率会高 一些,同学们不妨多尝试几次,效果会不错的呦!
精度最高的望远镜,用来探测来自太空的无线电波.根
据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径
AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米,若按
图(2)中方式建立平面直角坐标系,则抛物线的表达式
就是y=
1 625
x²-100.
知识点 二次函数y=a(x+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)²的图象和性质
太阳镜,也称遮阳镜,作遮阳之用.人在阳光下 通常要靠调节瞳孔大小来调节光通量,当光线强 度超过人眼调节能力时,就会对人眼造成伤害.所 以在户外活动场所,特别是在夏天,需要采用遮阳 镜来遮挡阳光,以减轻眼睛调节造成的疲劳或强 光刺激造成的伤害.如图所示的是一副太阳镜,
知识点 用待定系数法求二次函数表达式
跳台滑雪简称“跳雪”.就是运动员脚着特 制的滑雪板,沿着跳台的倾斜助滑道下滑.跳雪是 冬季奥运会比赛项目之一,运动员起跳后的飞行 路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后 的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似 满足函数关系y=ax²+bx+c(a≠0).下图记录了某 运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数 模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最 高点时的水平距离.
二次函数图像与性质
3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C)
A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状 4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1 ) ,(x2，y2 )且x1＜x2＜0，则y1 y2(填“＜”或“＞”)
5.已知抛物线
，把它向下平移，得到的
抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
9
（1）形状是开口向上的抛物线
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的 形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物 线 y = x2 ，
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
4、二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数 y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐 标是否相同?它们有什么关系？我们应该 采取什么方法来研究这个问题？
画出函数y＝2x2和函数y＝ 2x2+1的图象， 并加以比较
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
向左平移对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 2个单位即直线: x=0 2个单位
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下
特点:
y
(1)对称轴是x=h;
x
(2)顶点是(h,0).
（3）抛物线y=a(x－h)2 可以由抛物线y=ax2向左 或向右平移|h|得到.
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练习1
y
若抛物线如图
y ax
2 1
2
x
-2 -1 -1 -2 -3 0 1 2
那么抛物线的解析式是：
-4
-5
y ax 5
2
y
练习2
4
3
那么抛物线的解析式是：
2
1 -2 -1 -1 -2 0 1 2
y ax 2
2
x
y ax
2
若抛物线如图
抛物线 1、函数 y 3x 2 2 的图象是＿＿＿＿＿，开口方 y （0,2） 下 向 ＿＿＿，对称轴是＿＿＿轴。顶点坐标＿＿＿＿，x＜0 增大 时，函数值y随增大而＿＿ ，x＞0时，函数值随增 大 2 大而＿＿ ，x= 0 时，有最＿＿值是＿＿＿。 ＿＿＿ 减小
y x2 1
… -3 … 10 … -3
-2 -1 5 2
0 1
1
2
2 5
3
10
… … 2 3 3 …
x
-2 -1 -0.5 0 3 0 0.75 1
0.5 1
0.75 0
y x2 1 … 8
8 …
y
y x 1
2
5 4 3 2 1 -2 -1 -1 -2 0 1 2
yx
2
2
y x 1
或向下(k＜0)平行移动IkI个单位得到。 抛物线
2
y ax k 由抛物线 y ax
2
向上（k＞0)
或向下(k＜0)平行移动IkI个单位得到。
抛物线 y x 2 1 的顶点（0，1）对称轴y轴开口向上 x ＜0函数值y随增大x而减小，x ＞0函数值y随x增 大而增大。X=0时函数值y有最小值1 2 抛物线 y x 1 的顶点（0，1）对称轴y轴开口向下 x ＜0函数值y随增大x而增大，x ＞0函数值y随x增 大而减小。X=0时函数值y有最大值-1 抛物线 y ax k 由抛物线 y ax 沿x轴向 上（k ＞0)或向下(k ＜0)平行移动IkI个单位得到。 增减性： a＞0时x ＜0函数值y随增大x而减小，x ＞0函数值y随x增大而增大； a＜0时x ＜0函数值y随增大x而增大，x ＞0函数值y 随x增大而减小。
y ax k
2
复习与回顾
抛物线 1、函数 y ax 的图象是＿＿＿＿＿，对称轴是 上 y （0,0） ＿＿＿轴顶点坐标＿＿＿＿， a ＞0时开口向＿＿＿，。 减小 x＜0时，函数值y随增大而＿＿ ，x＞0时，函数值 小 0 增大 随x增大而＿＿ ，x= ＿＿＿时，有最＿＿值是 0 ＿＿＿。 下 a ＜ 0时开口向 ＿＿＿，。x＜0时，函数值y随x增大 增大 而＿＿ ，x＞0时，函数值随增大而 减小 ， ＿＿ 大 0 0 x= ＿＿＿时，有最＿＿值是＿＿＿。
2
y ax 2、抛物线＿＿＿ ＿＿＿ 对称轴是y轴，顶点在坐标 原点，开口的方向由a的符号确定， a ＞0时开口向 上， a ＜ 0开口向下;开口的大小由IaI确定： IaI 越大 开口越小。
2
在同一直角坐标系中，画出函数 y x 1 和
2
y x 1 的图象
2
解：分别列表，再画它们的图象 x
x
1 2 在同一直角坐标系中，画出函数 y x 和 1 2 2 y x 2 y 1 x2 2 , 的图象 2 2
解：分别列表，再画它们的图象
y
1 2 y x 2 2
y
2
1 2 x 2
y
0 1 2
1 2 x 2 2
x
-2 -1 -2
1 2 1 2 抛物线 y x k 由抛物线 y x 向上（k＞0) 2 2
2
2、把抛物线 抛物线是 3、抛物线
2
向下平移2个单位得到的 y 2x 2 y 2x 2
2
y 3x
2
可以看作 5
向 下 平移 5
结束寄语
•生活是数学的源泉.
•
探索是数学的生命线.
这节课什么收获和体会？
2、抛物线的开口向上对称轴是y轴，和上面1题的形 状大小一样，顶点在坐标原点下一个单位它的解析式 2 是＿＿＿＿ 1 y 3x x＜0时，函数值y随增大而＿＿ ，x＞0时，函数值随 增大 减小 -1 增大而＿＿ ，x= ＿＿＿时，有最＿＿值是＿＿＿ 小 0
练习3
练习
1、把抛物线 y x 向上平移3个单位得到的抛物 线是 y x 2 3 若再向下平移 5个单位 得到的 抛物线是 y x 2 2