人教版八年级数学上难点探究专题：动态变化中的三角形全等
最新人教版初中八年级上册数学《动态变化中的全等三角形》精品教案
求证：△AFC≌△DEB．
E
AB
CD
F
如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，⑴
求证：△AFC≌△DEB．
证明：
在△AFC和△DEB中
∵DE∥AF
AC=BD
AB
E CD
∴∠A＝∠D
∠A=∠D
F
∵AB＝CD
DE＝AF
∴AB＋BC＝CD＋BC ∴△AFC≌△DEB
即AC＝BD
即AC＝BD
二、旋转
已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，
使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
Q
⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；
A Q
⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？
P
B
图⑴
A
P
CB
C
图⑵
已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ， 使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，
＝180°－150°＝30°
∴∠θ＝∠EBC＋∠DCB
＝2(∠ABC＋∠ACB)
＝2×30°＝60°.
平移、翻折、旋转全等三角形中的一个，所得三角形与另一个三角形 仍然全等.
课后反思
1、和同桌说说今天学习的收获好吗？ 2、师引导学生归纳本课知识重点。
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。
E A
B
CD
类型一：动点变化
已知：AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足 BC＝DE，AB＝CD试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.
解：AC＝CE，理由如下：
难点探究专题：全等三角形中的动态问题
难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，若NA＝NB，则∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二 全等三角形中的动图问题3．已知等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，连接AD ，BE.(1)如果点B ，C ，D 在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD ＝BE ；(2)如果△ABC 绕C 点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三 全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE .(2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如图所示．∵将Rt △ABC沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。
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马鸣风萧萧初中数学试卷马鸣风萧萧难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC 和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，马鸣风萧萧马鸣风萧萧AB ＝PQ ，∴有△ABC ≌△QP A 或△ABC ≌△PQA .当△ABC ≌△QP A 时，则有AP ＝BC ＝3；当△ABC ≌△PQA 时，则有AP ＝AC ＝6，∴当AP ＝3或6时，△ABC 和△APQ 全等，故答案为3或6.2．2或3 解析：当BD ＝PC 时，△BPD 与△CQP 全等．∵点D 为AB 的中点，∴BD ＝12AB＝6cm ，∴PC ＝6cm ，∴BP ＝8－6＝2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE (SAS)．(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.。
全等三角形动态问题
全等三角形动态问题在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的知识点，而其中的动态问题更是让许多同学感到头疼。
今天，咱们就来好好探讨一下全等三角形的动态问题，争取把这个难题给攻克了。
首先，咱们得明白啥是全等三角形的动态问题。
简单来说，就是在一个几何图形中，三角形的某些顶点或者边在按照一定的规律运动，然后让我们去研究在这个运动过程中三角形全等的情况。
比如说，有一个三角形 ABC，其中点 A 沿着一条直线匀速移动，然后问在移动过程中，是否存在某个时刻，使得三角形 ABC 和另一个给定的三角形 A'B'C'全等。
解决这类问题，关键在于抓住全等三角形的判定条件。
咱们都知道，全等三角形的判定条件有“SSS”（三边对应相等）、“SAS”（两边及其夹角对应相等）、“ASA”（两角及其夹边对应相等）、“AAS”（两角及其中一角的对边对应相等）和“HL”（直角三角形的斜边和一条直角边对应相等）。
那在动态问题中，怎么运用这些判定条件呢？这就需要我们仔细观察图形的运动过程，找出那些不变的量和变化的量。
举个例子，假设在一个矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，以 BE 为斜边作一个直角三角形 BEF，其中∠F ＝ 90°，BF ＝ EF。
当点 E 从 A 点运动到 D 点时，问三角形 BEF 和哪个三角形全等。
咱们来分析一下，在这个过程中，因为 BF ＝ EF，所以这是一个等腰直角三角形。
而矩形的对边是相等的，所以 AB ＝ DC。
如果我们连接 CE，那么就会发现三角形 BAE 和三角形 DCE 有可能全等。
当点 E 运动到使得 BE ＝ CE 时，因为 AB ＝ DC，AE ＝ DE（矩形对边相等，E 是 AD 中点），根据“SSS”判定条件，就可以得出三角形 BAE ≌三角形 DCE。
再来看一个例子，在三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ BC，D 是AB 边上的一点，E 是 BC 边上的一个动点，连接 DE，将三角形 BDE沿着 DE 翻折，得到三角形 B'DE。
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初中数学试卷
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难点探究专题：动态变化中的三角形全等
——以“静”制“动”，不离其宗
◆类型一动点变化
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC ＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．
2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C 点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．
3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC ＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】
(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为_______；
②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．
(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
◆类型二图形变换
4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.
(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；
(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．
参考答案与解析
1．3或6 解析：∵△ABC 和△APQ 全等，AB ＝PQ ，∴有△ABC ≌△QP A 或△ABC ≌△PQA .当△ABC ≌△QP A 时，则有AP ＝BC ＝3；当△ABC ≌△PQA 时，则有AP ＝AC ＝6，∴当AP ＝3或6时，△ABC 和△APQ 全等，故答案为3或6.
2．2或3 解析：当BD ＝PC 时，△BPD 与△CQP 全等．∵点D 为AB 的中点，∴BD ＝1
2AB ＝6cm ，∴PC ＝6cm ，∴BP ＝8－6＝2(cm)．∵点P 在线段BC 上以2cm/s 的速度由B 点向C 点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP ≌△PCQ ，∴CQ ＝BP ＝2cm ，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD ＝CQ 时，△BDP ≌△QCP .∴PB ＝PQ ，∠B ＝∠CQP .又∵∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CQP ，∴PQ ＝PC ，∴PB ＝PC .∵BD ＝6cm ，BC ＝8cm ，PB ＝PC ，∴QC ＝6cm ，∴BP ＝4cm ，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v ＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.
3．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF (2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下： ∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF . 在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，
AB ＝AC ，
∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝
∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .
4．解：(1)OE ＝OF .理由如下：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEC ＝∠BF A ＝90°.∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE .在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AF ＝CE ，
∴Rt △ABF ≌Rt △CDE (HL)，∴BF ＝DE .在△BFO 和△DEO 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠BFO ＝∠DEO ，∠BOF ＝∠DOE ，BF ＝DE ，
∴△BFO ≌△DEO (AAS)，∴OE ＝OF .
(2)结论依然成立．理由如下：∵AE ＝CF ，∴AE －EF ＝CF －EF ，∴AF ＝CE .同(1)可得△BFO ≌△DEO ，∴FO ＝EO ，即结论依然成立．
5．(1)证明：∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝∠FCE .在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE ，CD ＝CE ，
∴△BCD ≌△FCE (SAS)．
(2)解：由(1)可知∠DCE ＝90°，△BCD ≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E .∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE ＝90°，∴∠BDC ＝90°.。