广石化大学电路之12一阶电路2
一阶电路分析
第八章 一阶电路分析由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。
本章主要讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。
含一个电感或一个电容加上一些电阻元件和独立电源组成的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单口网络用戴维宁－诺顿等效电路来代替（如图8－1和8－2所示）。
图8-1 图8-2我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。
与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同，动态电路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生。
仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。
仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。
动态电路分析的基本方法是建立微分方程，然后用数学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式。
§8－1 零输入响应一、RC 电路的零输入响应图8-3(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U 0通过电阻R o 对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U 0。
在t =0时开关迅速由1端转换到2端。
已经充电的电容脱离电压源而与电阻R 并联，如图(b)所示。
图8-3我们先定性分析t >0后电容电压的变化过程。
当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即电阻的电流为C C )0()0(U u u ==-+0C R )0()0(U u u ==++该电流在电阻中引起的功率和能量为 电容中的能量为随着时间的增长，电阻消耗的能量需要电容来提供，这造成电容电压的下降。
一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。
也就是电容电压从初始值u C (0+)=U 0逐渐减小到零的变化过程。
这一过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率。
为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL 得到由KCL 和电阻、电容的VCR 方程得到代入上式得到以下方程这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。
其通解为代入式(8－1)中，得到特征方程其解为称为电路的固有频率。
电路原理-一阶电路和二阶电路.共52页
谢谢！
45、法律是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
电路原理-一阶电路和二阶电 路.
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
一阶、二阶电路的动态响应
一阶电路和二阶电路的动态响应学号：1028401083 姓名：赵静怡一、实验目的1、掌握用Multisim研究一阶电路的动态响应特性测试方法2、掌握用Multisim软件绘制电路原理图3、掌握用Multisim软件进行瞬态分析4、深刻理解和掌握零输入响应、零状态响应和完全响应5、深刻理解欠阻尼、临界、过阻尼的意义6、研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响二、实验原理⑴一阶电路含有一个独立储能元件，可以用一阶微分方程来描述的电路，称为一阶电路。
一阶RC电路零输入响应：当U s=0时，电容的初始电压U c(0+)=U0时，电路的响应称为零输入响应。
RCt c U t u -=0)(（t>=0）零状态响应：当电容电压的初始值U c (0+)=0时，而输入为阶跃电压u s =U S u(t)时，电路的响应称为零状态响应。
)()1()(t u eU t u RCts c --=⑵二阶电路用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。
RLC 串联二阶电路如上图就是一个典型的二阶电路，可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：s c cc U u dt du RC dtu d LC =++22 衰减系数（阻尼系数）LR2=α 自由振荡角频率（固有频率）LCw o 1=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=<=>，称为无阻尼情况，响应是等幅振荡性的0伟欠阻尼情况，响应是振荡性的，陈2临界阻尼情况，响应临界振荡，称为2为过阻尼情况响应是非振荡性的，称,2RCLR CLR CLR三、实验内容：1．用Multisim研究一阶电路的动态响应（1）实验电路（a） (b) (c)（2）初始条件如图所示，t=0电路闭合，分别仿真出电容上电压（从零时刻开始）的波形，说明各属于什么响应？三种情况下分别测量电容电压达到3v所用的时间。
①图（a）为零状态相应，电容上电压的波形如下图：由上图可知，电容电压达到3v所用的时间约为91.6146μm②图（b）为零输入相应，电容上电压的波形如下图：由上图可知，电容电压达到3v所用的时间为51.1196μm ③图（c）为全响应，电容上电压的波形如下图：由上图可知，电容电压达到3v 所用的时间为40.6082μm（3）写出三种情况下电容电压随时间的函数表达式，并分别计算出电容电压为3V 时的时间。
电路(第五版)第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析12PPT课件
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
§ 7-2 一阶电路的零输入响应 § 7-3 一阶电路的零状态响应 § 7-4 一阶电路的全响应 § 7-5 二阶电路的零输入响应 § 7-6 二阶电路的零状态响应和全响应 § 7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应 § 7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应
换路瞬间，若电容电流保持为有 限值，则电容电压（电荷）换路 前后保持不变。
L (0+)= L (0-)
iL(0+)= iL(0-)
换路瞬间，若电感电压保持为有 限值，则电感电流（磁链）换路 前后保持不变。
或：
在换路前后电容电流和电感电压为有限值 的条件 下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变—— 换路定律（换路定则）（P138-139）
电容电路换路定律应用思路： （ 画0+等效电路时对C的处理）
若一电容的uC (0-)=UO，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=UO，则可认为此电容在 换路的瞬间，相当于一个电压值为UO 的电压 源；——替代定理的应用
同理，对uC (0-)=0的电容，根据换路定律， 则有uC (0+) = uC (0-)=0，则可认为此电容在换 路的瞬间，相当于短路。
Us
R+
uC C
RCduC dt
uC
US
–
（2）求出微分方程的解，从而得到所求变量。
五、动态电路方程的初始条件
1、 t = 0+与t = 0- 的概念
f(t)
换路在 t=0时刻进行
0- 换路前一瞬间（最终时刻） 0+ 换路后一瞬间（最初时刻）
t 0- 0 0+
一阶电路和二阶电路
【二】 RC电路零状态响应：充电
1、列方程：Ri uC U S
RC
duC dt
uC
US
非齐次线性常微分方程
2、解方程：
uc
=
uc ( 特解
)+
uc( 通解
)
uC ：通解（自由分量，暂态分量）
齐次方程的通解
t
RC
duC dt
uC
0
uC Ae RC 变化规律由电路参数和结构决定
§7-2 一阶电路的零输入响应
【三】 RL电路零输入响应
R1
Ri
i (0+) =
i (0-) =
US R1
R
I0
+
di
US
K(t=0) L uL
L Ri 0 t 0 dt
–
i(t ) Ae pt
特征方程 Lp+R=0
特征根 p = R L
由初始值 i(0+)= I0 定积分常数A
Rc
duc dt
uc
0
uc (0 ) U 0
2.解方程：通解
uc = Ae pt
P的求解：由特征方程： RCP 1 0
P 1 RC
A的求解：由初值： uc (0 ) A e p0 U 0 A = U0
uc
=
U0e-
t RC
(t
0)
i
=
-c
du0 dt
=
U0 R
Li
若t 0时iL (0 ) 0则iL (0 ) 0
iL (0 ) iL (0 )成立条件时 u为有限值
一阶电路和二阶电路的时域分析
一阶电路和二阶电路的时域分析一、一阶电路的时域分析：一阶电路指的是由一个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的一阶电路，其特征方程为：L di(t)/dt + Ri(t) = V(t) ---------- (1)其中，L是电感的感值，R是电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
通过对上述方程进行求解可以得到电路中电流与时间的关系。
对于并联的一阶电路，其特征方程为：1/R C dq(t)/dt + q(t) = V(t) ---------- (2)其中，C是电容的电容值，q(t)是电路中电荷的变化，V(t)是电路中的输入电压。
同样，通过对上述方程进行求解可以得到电路中电荷与时间的关系。
一阶电路的响应可以分为自由响应和强迫响应两部分。
自由响应指的是由于电路中初始条件的存在，电流或电荷在没有外部输入电压的情况下的变化。
强迫响应指的是由于外部输入电压作用而产生的电流或电荷的变化。
对于一个初始处于稳定状态的电路，在有外部输入电压作用时，电路中电流或电荷会从初始值开始发生变化，最终趋于一个新的稳定状态。
这一过程可以由电流或电荷的指数递减或递增的形式表示。
在分析一阶电路的时域特性时，可以利用巴塞尔函数法或拉普拉斯变换法。
巴塞尔函数法主要是通过巴塞尔函数的表达式计算电压或电流的变化情况；拉普拉斯变换法则通过将时域的微分方程转化为复频域的代数方程，然后求解代数方程，最后再对求得的结果进行逆变换获得电流或电压的表达式。
二、二阶电路的时域分析：二阶电路是指由两个电感或电容与线性电阻串联或并联而成的电路。
对于串联的二阶电路，其特征方程为：L₁L₂ d²i(t)/dt² + (L₁R₁+L₂R₂+L₁R₂+L₂R₁) di(t)/dt + R₁R₂i(t) = V(t) ---------- (3)其中，L₁和L₂分别是两个电感的感值，R₁和R₂分别是两个电阻的电阻值，i(t)是电路中的电流，V(t)是电路中的输入电压。
一阶电路和二阶电路
iL Is
t
iL Ae L R
iL
=
I (1 S
e-
R L
t
)
A由初值： A Is
uL
=
L diL dt
=
IS Re- RLt
佛山科§学7技-术3学院 一阶电路的零状态响应
现代制造装备工程技术开发中心
佛山科§学技7术-学2院 一阶电路的零输入响应
现代制造装备工程技术开发中心
t=0时 , 打开开关K，求uv。
电压表量程：50V 现象 ：电压表坏了
分析
iL (0+) = iL(0-) 1 A
iL e t /
L 4 4104 s
R RV 10000
uV RV i L 10000e 2500t t 0
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
佛山科§学7技-术2学院 一阶电路的零输入响应
现代制造装备工程技术开发中心
四、小结 <一阶电路零输入响应的求解>
+
P
C Uc
P
iL
-
u(0 ) uc (0 ) U0
iL (0 ) iL (0 ) I0
分析：戴维南定理化简
佛山科§学技7术-学2院 一阶电路的零输入响应
3)作 0 等效电路
L 用一电流为 iL (0 )的电流源代替 C 用一电压为 uc (0 )的电压源代替
4) 求解0电路。求出其它 f (0 )
佛山科§学技7术-学1院动态电路的方程及其初始条件
现代制造装备工程技术开发中心
(1) 由0-电路求 uC(0-) 或 iL(0-) uC(0-)=8V
一阶电路与二阶电路PPT教学课件
分析
u (t) 3 (t 1) 3 (t 3.5) s
i (t) 2 (t 2.5) 2 (t 3.5) s
1
2
1
N
2
对应于us(t)的响应分量：
us (t)
uc1(t) 15(1 e10(t1) )(t 1) 15(1 e10(t3.5) )(t 3.5) 3V
对应于is(t) 的响应分量：
L R
RC电路： RC RL电路： L
R
R多数情况下是等效电阻。
例1：求换路后的零输入响应i(t)和u0(t)：
分析： 换路前为直流电路，电容开路 S1(t=0) +uC(t) -
uc
(0
)
uc
(0
)
200 60 40
60
120V +
200V
-
换路后电容两端看进去的等效电阻
Req 60 80 2 100
例如：电路的激励源是一个矩形
脉冲，求：零状态响应。 分析： 矩形脉冲可以表示为：
ic(t)
20
＋
iR(t) +
(t) R －
C _uc(t)
i(t) 5 (t) 5 (t 2)
5
此电路的单位阶跃响应为：
1t
02
t
uc (t) R(1 e RC ) (t)
由齐次性：
1t
5(t) uc1(t) 5R(1 e RC )(t)
三要素分析法。 ➢ 了解二阶电路的冲击响应。
3
4.1 一阶电路的零输入响应 一阶电路就是只含
有一个等效动态元件
一、RC电路的零输入响应
S1(t=0)
S2(t=0)
右图，t=0时换路，求uc(t) t≥0
一阶电路和二阶电路的动态响应.
R
2=
α自由振荡角频率(固有频率LC
10=ω (1零输入响应
动态电路在没有外施激励时,由动态元件的初始储能引起的响应,称为零输入响应。
属于零状态响应到3V所用时间为91.8071u
属于零输入响应到3V所用时间为51.3782u
属于全响应到3V所用时间为40.8529u
(3写出三种情况下电容电压随时间的函数表达式,并分别计算出电容电压为3V时的时间。
Uc=5*(1-e^(-t*10^8电压为3V所用时间为:91.6291us
Uc=5*e^(-t*10^8电压为3V所用时间为:51.0862us
1、一阶电路的动态响应
电路的全响应:u c (t=U 0e -t/RC +U s (1-e -t/RC (t>=0 (1零输入响应u c (t=U 0e -t/RC (t>=0
输出波形单调下降。当t=τ=RC时, u c (τ=U 0/e=0.368U 0,τ成为该电路的时间常数。(2零状态响应u c (t=U s (1-e -t/RC u(t
由仿真可知，在同样误差允许范围内R越大信号传输速率越低R越小信号传输速率越高四、实验总结通过此次实验对以下几个方面有了深刻体会：1、对Multisim软件中函数发生器、示波器和波特图仪的使用方法及Transient Analysis等仿真分析方法有了更深了解；2、深刻理解和掌握了零输入响应、零状态响应及全响应3、深刻理解欠阻尼、临界、过阻尼的意义4、初步对实验内容与实际问题结合有了认识。应用实验内容解释定时功能等；5、对二阶电路的一些特性有了了解，例如：随着输入信号的频率升高，输出信号稳定所需时间越来越短，一阶RC电路的时间常数越大传输速率越小，在同样误差允许范围内R越大信号传输速率越低R越小信号传输速率越高。
一二阶电路阶跃、冲激响应
时间常数概念及计算方法
时间常数是一阶电路的重 要参数，它表示了电路过 渡过程的快慢程度。
时间常数越大，电路过渡过 程越缓慢；时间常数越小， 电路过渡过程越迅速。
ABCD
时间常数τ的计算方法根据电路 类型不同而有所不同。对于RC 电路，τ=RC；对于RL电路， τ=L/R。
阶跃信号与冲激信号介绍
阶跃信号
阶跃信号是一种特殊的信号，其值在某一时刻突然发生变化 ，并保持不变。在电路中，阶跃信号常用于测试系统的瞬态 响应。
冲激信号
冲激信号是一种具有突变性质的信号，其值在极短时间内发 生巨大变化。在电路中，冲激信号常用于模拟雷电、开关操 作等瞬间过程。
响应类型及分析方法
响应类型
一二阶电路阶跃、冲激响应
目录
• 电路基本概念与分类 • 一阶电路阶跃响应分析 • 二阶电路阶跃响应分析 • 冲激响应概念及分析方法 • 实际应用场景举例与仿真实验 • 总结与展望
01 电路基本概念与分类
电路定义及组成要素
电路定义
电路是由电气元件（如电阻、电容、 电感等）按照一定方式连接而成，用 于传输和转换电能的系统。
同，但同样受到阻尼比和自然频率等参数的影响。
阻尼比、自然频率等参数影响
阻尼比
阻尼比决定了电路的振荡性质，不同阻尼比下电路的响应形态不 同。
自然频率
自然频率决定了电路振荡的频率，与电路元件的参数有关。
参数变化对响应的影响
当电路元件的参数发生变化时，阻尼比和自然频率等参数也会随之 变化，从而影响电路的响应。
二阶电路冲激响应求解方法
1 2
经典法
通过求解二阶微分方程得到冲激响应表达式。
一二阶电路的时域分析解读
§7.1 动态电路的方程及其初始条件一、动态电路的方程1.动态电路：含有动态元件（电容或电感）的电路。
2.动态电路的方程：电路中有储能元件（电容或电感）时，因这些元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的。
根据KCL、KVL和支路方程式（VAR）所建立的电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微分-积分方程。
一阶动态电路：仅含一个动态元件的电路（RC电路、RL电路）。
3.动态电路的特征：当电路的结构或元件的参数发生改变时（如电源或无源元件的断开或接入，信号的突然注入等），可能使电路改变原来的工作状态，而转变到另一个工作状态。
换路：电路或参数的改变引起的电路变化。
=t：换路时刻，换路经历的时间为 0_ 到+0；-=0t：换路前的最终时刻；+=0t：换路后的最初时刻；4.经典法（时域分析法）：根据KCL，KVL和VAR建立描述电路的以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到所求变量（电流或电压）的方法。
用经典法求解常微分方程时，必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。
电路独立初始条件：)0(+Cu和Li)0(+。
二、电路的初始条件1.电容的电荷和电压⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⎰⎰ξξξξdttiCtutudttitqtqCCCCCC)(1)()()()()(取+-==0,tt, 则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰⎰+-+--+-+ξξξξd i c u u d i q q C C C C C C 0000)(1)0()0()()0()0(若 有限）( M i C ≤， 则 0)(00=⎰+-ξξd i C ，且⎩⎨⎧==-+-+)0()0()0()0(C C C C u u q q 电容上电荷和电压不发生跃变！ ① 若 -=0t 时，0)0(q q C =-, 0)0(U u C =-, 则有 0)0(q q C =+, 0)0(U u C =+, 故换路瞬间，电容相当于电压值为 0U 的电压源；② 若 -=0t 时，0)0( ,0)0(==--C C u q , 则应有 0)0( ,0)0(==++C C u q , 则换路瞬间，电容相当于短路。
第17讲 一阶电路与二阶电路-一阶冲激响应、二阶电路
1 式中 2 RC
0
1 LC
§5-6 二阶电路的冲激响应
将电路中发生的过程分为两个阶段 (1)t=0- ～ t=0+期间,由于电流源的作用,使储能元件获得能 量.由于零状态电容元件相当于短路元件，电流is全部流 过电容，使电容电压发生跳变。 1 当t＝0+时，有： uc(0 ) icdt c 1 0 1 0 1 于是：uC (0 ) uC (0 ) iC dt 0 (t )dt C 0 C 0 C
Rt L
Rt L
Rt L
R
iL uL
iL的变化曲线 i L
uL的变化曲线
uL
1 L iL 0 t
0 R L
(t)
t uL
§5-5 一阶电路的冲激响应
4.为什么研究冲激响应？
由于实际中的电信号十分复杂，我们需要知道电路对任意 输入信号的反映。而电路的冲激响应不仅能反映出电路的 特性，而且在知道任何线性非时变电路的冲激响应后，可 以通过一个积分运算求出电路在任意输入波形时的零状态 响应，从而求出电路的全响应。 对任一线性时不变电路，若已知其(t)的响应为h(t)，
t
0
h( )d
§5-5 一阶电路的冲激响应
5.冲激响应和阶跃响应间的关系（续）
证明如下: 前面已经指出: 单位冲激函数δ(t)是单位脉冲的合成
(t )
1
(t )
(t )
=
t
1
+
t
0
t
0
0
1
1 d (t ) lim [ (t ) (t )] (t ) 0 dt 1 d h(t ) lim [ g (t ) g (t )] g (t ) 0 dt 由此证明了: 冲激响应等于阶跃响应的导数.
一阶电路和二阶电路的阶跃响应、冲击响应ppt课件
解 1）0–≤t ≤0+：uC(0-)=0
Ri
电容充电，零状态响应
+
RC
duC dt
uC
(t)
(t) C uC
–
0
0RC duC dt
0
dt
0 0
uCdt
0 (t)dt
0
注意：uC不是冲激函数，否则KVL不成立。
RCuC (0 ) uC (0 ) 1
uC (0 )
1 RC
发生突变
§7-7 一阶和二阶电路的阶跃响应
1.单位阶跃函数
1）单位阶跃函数的定义
(t)
( t ) =
0，t < 0 1，t > 0
2）单位阶跃函数的延迟
( t-t0 ) =
0，t < t0 1，t > t0
整理版课件
1
0
(t – t0)
1
0 t0
t
t
1
3）单位阶跃函数的作用
① 表示开关动作
（t = 0）
+ 10k iC
uS(V) 10
uS -
10k 100F
应用叠加定理
0
0.5 t(s)
uS 10 (t) 10 (t 0.5)V
求单位阶跃响应s(t)
uC (0 ) uC (0 ) 0
iC (0 ) 0.1mA iC () 0 ReqC 0.5s
整理版课件
5
t
s(t) iC () [iC (0 ) iC ()]e
iR
uC 0.2
5uC
iC
2
duC dt
uC
uL
0.25
diL dt
电路原理-一阶电路和二阶电路
1、全响应分解为暂态响应和稳态响应之和。如2式
中第一项为齐次微分方程的通解，是按指数规律衰
减的，称暂态响应或称自由分量（固有分量）。2
式中第二项US = uC(∞)受输入的制约，它是非齐次方 程的特解，其解的形式一般与输入信号形式相同，
称稳态响应或强制分量。这样有
全响应=暂态响应+稳态响应
2、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。 将2式改写后可得：
特解 全解
rf （取决于激励函数的形式）
1t
r rf rt rf Ae
由初始条件 r 0 解得 A r(0 ) rf (0 )
故方程的解为
t
r rf [r(0 ) rf (0 )]e
rf——强迫响应； r(0+)——响应初值；
rf(0+)——强迫响应的初值； τ——电路的时间常数。
例 9-3-2 在图（a）所示电路中，已知 uC 0 0，
is 的波形如图（b）所示，求 uC 、iC 。
i C
i /A S
+
i S
R
C
u
-C
5
O
2
t/s
(a)
(b)
t
r rf [r(0 ) rf (0 )]e
9-4 一阶电路的全响应
由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的 响应，叫全响应。
对于线性动态电路而言，全响应等于零输入 响应与零状态响应的叠加。
9-2 一阶电路的零输入响应
只含有一个电容元件或一个电感元件，其余元件均为 电阻元件、受控源的电路是零输入的一阶电路。
一、RC电路的零输入响应（ZIR）
图示电路，S闭合前一瞬间的电容电压uC(0－)＝U0，S
第五章 一阶电路和二阶电路
第五章 一阶电路和二阶电路§5-1 动态电路的方程及其初始条件一阶电路：用一阶微分方程描述的电路。
一．换路：指电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。
换路时刻0t （通常取0t ＝0），换路前一瞬间：0_t ，换路后一瞬间：0t +。
二．换路定则 c 0c 0()()u t u t +-= L 0L 0()()i t i t +-= C 0C 0()()i t i t +-≠， L 0L 0()()u t u t +-≠， R 0R 0()()i t i t +-≠， R 0R 0()()u t u t +-≠三．初始值的计算： 1. 求C 0L 0(),()u t i t --： ①给定C 0L 0(),()u t i t --；②0t t <时，原电路为直流稳态 ： C —断路 L —短路③0t t -=时，电路未进入稳态 ： 0C 0C ()()|t t u t u t --==， 0L 0L ()()|t t i t i t --==2. 画0t +时的等效电路：C 00()()u t u t +-=，L 0L 0()()i t i t +-= 换路前后电压（流）不变的为电压（流）源C —电压源 L —电流源C 0()0u t -=， L 0()0i t -=C —短路 L —断路3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值。
例1已知：0t <时，原电路已稳定,0t =时，打开开关S 。
求：0t +=时，各物理量的初始值。
解： 1. 求C L (0),(0)u i --：0t -=时，C L (0)7.5V ,(0)0.25A u i --==2. 画0t +=时的等效电路：3. 0t +=时：R1(0)0.2510u +=⨯= R 27.5(0)0.5A 15i +==L R 1C (0)(0)10(0)0u u u +++=-+-= 2C L R (0)(0)(0)0.25i i i A +-+=-=-例2：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时，打开开关S 。
第06章 一阶电路和二阶电路
电路
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6.2 电感元件
电感元件的伏安关系
第二种形式：iL f (uL )
1
iL (t) L
t
uL ( )d
iL (t0 )
1 L
t
t0 uL ( )d
电路
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6.2 电感元件
对偶关系
L
C
uL
iC
iL
uC
电路
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电路
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6.1 电容元件
电容元件的伏安关系
第一种形式：iC f (uC )
. . iC(t) + _ q(t)
+
uC(t) _
iC
(t)
dq(t) dt
d[C
uC dt
(t)]
C
duC (t) dt
可见：
iC与uC是一种微分关系，C是动态元件
iC为有限值时， uC不可以发生跃变
第6章 一阶电路和二阶电路
目录
6.1 电容元件 6.2 电感元件 6.3 一阶电路 6.4 电路的初始条件 6.5 一阶电路的零输入响应 6.6 一阶电路的零状态响应 6.7 一阶电路的全响应 6.8 一阶电路的三要素法 6.9 一阶电路的阶跃响应 6.10 一阶电路的冲激响应 6.11 卷积积分 6.12 二阶电路的零输入响应 6.13 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
电路
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6.4 电路的初始条件
换路定则
uC (t0 ) uC (t0 ), iL (t0 ) iL (t0 ) iC (t0 ) iC (t0 ), uL (t0 ) uL (t0 ) iR (t0 ) iR (t0 ), uR (t0 ) uR (t0 )
一阶电路和二阶电路
6.2 电感元件
电感元件的伏安关系
第二种形式： iL f (uL )
1 t 1 t iL (t ) uL ( )d iL (t0 ) uL ( )d L L t0
电路基础
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6.2 电感元件
对偶关系
L
uL C
iC uC
t t
昆明学院信息技术学院
电路基础
6.1 电容元件
电容元件的储能
从 t0 t 的储能增量
C 2 2 W / WC (t ) WC (t0 ) [uC (t ) uC (t0 )] 2
t t0
电路基础
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6.2 电感元件
电感元件
若一个二端元件的电流与磁链之间的关系可以
电路基础
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6.4 电路的初始条件
初始值的计算
1. 求uC(t0－) ,iL(t0－) 给定uC(t0－) ,iL(t0－) t = t0时: 原电路为直流稳态 C — 断路， L — 短路 t = t0 －时: 原电路未进入稳态：
uC (t0 ) uC (t ) |t t0 , iL (t0 ) iL (t ) |t t0
10Ω
0.25A
.
10V
_ u (0 ) + R1 ＋ + uL (0＋) _
10Ω
. .
. .
+ iC (0＋) 7.5V _
iR2(0＋)
15Ω
7.5 0.5A 3. t=0＋时: uR1 (0 ) 0.25 10 2.5V, iR 2 (0 ) 15 uL (0 ) uR1 (0 ) 10 uC (0 ) 0V
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7-1 7-2 7-3 7-4 7-7 7-8 动态电路的方程及其初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 一阶电路的阶跃响应 一阶电路的冲激响应
基本要求：
① 熟练掌握换路定则。 ② 掌握一阶电路的零输入响应、零状 态响应、全响应。 ③ 熟练掌握三要素法。 ④ 了解阶跃响应和冲激响应的概念。
t
0
t0
④表示复杂信号 例：
例：
3 1
o o
-1
t t
o o
-4
1
t t
f (t ) (t ) (t 2)
o f (t ) 3 (t ) 4 (t 1) (t 3)
t
例：
1 0
f( t)
t (t )
1
t (t 1) (t 1)
f (t ) t (t ) (t 1) (t 1)
i
uL –
+
L
RL电路 Us>U0 L储能（充电） U0=0 零状态 U0>Us L释能（放电） U0=0 零状态
0
uL 0
?
t
t
四、时间常数τ RC电路：τ=RC
RL电路：τ=L/R
注：同一电路中所有响应的时间常数都一样。 时间常数 的大小反映了电路 uc 过渡过程时间的长短
大→过渡过程时间长 小→过渡过程时间短
u (t ) 11 1 iC uC 12 5e 0.5t V
例3 已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。 解： 三要素为： 1H 5 + i uC (0 ) uC (0 ) 10V 2 10V uC ( ) 0 S – 1 ReqC 2 0.25 0.5s 0.25F
(t t 0)
假设：u (t ) 3 (t ) 5 (t 2) t
uc(t ) 3(1 e
RC
) (t ) 5(1 e
t 2
RC的冲激响应
1.单位冲激函数
定义
(t ) 0 (t 0)
1 0
(t) t
iL (0 ) iL (0 ) 0 iL () 10 / 5 2A 2 L / Req 1/ 5 0.2s
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e
Us>U0
Us U 0 R
t
k
+ U0
－
uC –
+
ic C
U 0 Us ic e R
t
RC电路 U0>Us
U 0 Us R
i
i
ic
U 0 Us R
0 ic
t
US U 0 R
0
t
RL电路
iL Is ( I 0 Is)e
t
t
R i
+ Us k
+ U0
－
uL (Us U 0)e
(t )dt 1
(t-t0)
单位冲激函数的延迟 ( t-t0)
单位脉冲函 数的极限
(t t0 ) 0 (t t0 ) (t t 0 )dt 1
（1） 0
t0 t
单位冲激函数的性质 ①冲激函数对时间的积分等于阶跃函数
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
2. 冲激响应分析 分二个时间段考虑冲激响应 (1) t 在 0－ → 0+间 电容充电，方程为
+ (t ) 1
+ R uC – (t)
ic C
uC ( 0 ) 0 duc uc C (t ) 0 dt R 0 0 0 0 duC 1 0_ C dt dt 0_ RuC dt 0_ (t )dt
L=4H
uV RV iL 10000e 2500t
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
t0
例2 下图已知 u (0 ) 1V, C 1F 。t=0时，开关K C 闭合，求t >0后的iC、uC及电流源两端的电压。 解： 这是RC电路全响
应问题，有：
稳态分量：
( t )
t
+ Us u(t) -
0 (t 0) (t ) 1 (t 0)
源或单位电压源
开关的数学模型： 相当于0时刻接入电路的单位电流
单位阶跃函数的延迟
u ( t)
1
0 (t t0 ) (t t0 ) 1 (t t0 )
单位阶跃函数的作用
t
t
10e 2 t V
2(1 e 5t )A
uC (t ) i (t ) iL (t ) (2(1 e5t ) 5e2t )A 2
例4 如图电路，u (0 )=2V，t=0时K闭合，试用三要素法求t ≥ 0时 c uc(t)及i1(t)。 解： （1）求初始值uc(0+)及i1(0+) 画0+图(a)，则： 6i1(0+)-2i1(0+)=12 → i1 (0+)=3A （2） 求终值uc()及i1() 6i1()-2i1()=12 → i1 ()=3A uc ()= -2 i1 ()= -6V Us + Us K 6 i1(t) 2 1F 2i1 + 2 2i1 + + uc(t) -
① 在电路中模拟开关的动作
( t-t0)
t
0
t0
U S (t )
u ( t)
I S (t )
u ( t)
Us、Is是常数，表示阶跃信号强度。
②起始一个函数 f( t)
sin( t )t )(t t0 ) sin(
t0
0
③延迟一个函数 f ( t)
t
sin( t t0 ) (t t0 )
(b) 求 时等效图
（4）uc (t)= -6+[2-(-6)]e-t/2= -6+8e-t/2 (V) i1 (t)= 3+(3-3)e-t/2= 3 (A)
t≥0 t≥0
§ 4 一阶电路的信号源激励响应 二种奇异函数信号 阶跃信号 冲激信号
一、一阶电路的阶跃响应 1.单位阶跃函数 1 0
R
C u(t)
t
uc U 0 e
t
U0
大
t 5
0
2 3
小
0
U0 U0 e -1
U0 0.368U0
U0 e -2 U0 e -3
U0 e -5
0.135U0 0.05U0 0.007U0
τ物理含义: τ大
充放电时间长
C 大（R一定） R 大（ C一定）
W=Cuc2/2 i=uR/R
uc
储能大 充放电电流小
1 uC e C
t RC
1 uC ( 0 ) iC C
t
(t )
t RC
1 iC (t ) e RC
(t )
1 RC
0
t
R i + Us k
+ U0
－
Us U 0 i e R
Us>U0
US
t
uC –
+
C
零状 态
零输 入
RC电路
U0>Us uC 放电
US
uC 充电
U0
U0
0
如果U0=0
t
0
如果Us=0
t
RC电路： uc Us (U 0 Us )e
t
R i
+ Us -
Us U 0 i e R
+
12V K i1(0+)
uc(0+)= uc(0-)=2V
-
6
12V
+
2V -
(a) 0+图
（3）求时间常数 =R0C 设用外加电源法（图b） U0=2I0-2i1 U0=2I0 6
i1
2 2i1 +
6i1=2i1 →i1 =0
I0 + U0 -
故： 等效内阻R0=U0/I0=2 时间常数 =R0C=2×1=2(s)
重点： 换路定理、三要素法。 难点： 阶跃响应、冲激响应的概念。
复习： 一阶电路方程 方程的解
三要素法表示
y m Ae
dy ym dt
t
t
y y() [ y(0) y()]e
三、响应曲线 t RC电路： uc Us (U 0 Us )e
2. 阶跃响应分析
——实际是零状态响应
R
t RC
i C
uc(t ) (1 e
) (t )
+ (t ) ( t )
1 0
+ uC –
t 1 RC i (t ) e (t ) R
uC 1
t
t RC
1
t
i
uc Us(1 e
)
0
0
t
注意： + (t ) -
τ几何含义:
US
uc
US u1
63.2%Us
τ t 0
t1 t2
63.2%(Us-u1)
0
τ
t