浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)

浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.若集合{}|0A x x =≥，且，则集合B 可能是（ ）A. {}1,2B. {}|1x x ≤C. {}1,0,1-D. R【答案】A 【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆，故选A 考点：集合的交集．2.函数()ln 2f x x x +-=的零点所在的一个区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4【答案】B 【解析】 【分析】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可. 【详解】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,且()1ln11210f +-=-<=,()2ln 222ln 20f +-=>=根据零点存在性定理知()ln 2f x x x +-=的零点在区间()1,2内. 故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.3.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、、2019x ，且1232019x x x x m ++++=，则不等式()2321x m x m -+-≤的解集为（ ）A. 1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. []0,3C. (),0-∞D. ∅【答案】A 【解析】【分析】 设1232019x x x x <<<<，利用奇函数关于原点对称，得出函数()y f x =与x 轴的交点也关于原点对称，得出0m =，再将0m =代入不等式解出即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设1232019x x x x <<<<，则函数()y f x =与x 轴的交点关于原点对称，则()202001,2,3,,2019i i x x i -+==，所以12320190m x x x x =++++=，不等式()2321x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤， 因此，不等式()2321x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是利用奇偶性求出零点之和，考查计算能力，属于中等题. 4.函数2()log (1)f x x =-的图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．【详解】观察四个图的不同发现，A 、C 、D 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B ；又由定义域可知x<1,排除D ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A ． 故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.5.已知幂函数()()()25mf x m m xm Z =--∈在()0,∞+上单调递减，若62ma -⎛=⎝⎭，1mb -=⎝⎭，12mc -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ） A. b a c << B. c b a << C. c a b << D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()y f x =为幂函数，并结合已知条件求出实数m 的值，再利用指数函数2xy =的单调性得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由于函数()()()25mf x m m xm Z =--∈幂函数，且在()0,∞+上单调递减，则2510m m m m Z ⎧--=⎪<⎨⎪∈⎩，解得2m =-， 11163622222ma---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111224222mb ---⎛⎫== ⎪⎛⎫= ⎪ ⎝⎪⎝⎭⎭，()2121222mc ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由于指数函数2xy =在R 上为增函数，因此，c b a <<，故选：B.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，同时也考查了利用指数函数的单调性比较同底数指数幂的大小关系，在比较指数幂的大小关系时，常用以下几种方法： （1）底数相同时，利用同底数的指数函数单调性比较； （2）指数相同时，利用同指数的幂函数的单调性比较； （3）底数不同，指数也不同时，可利用中间值法来比较.6.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ||y x x =B. y =C. ||e x y =D.1ln||y x = 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质判断偶函数与单调性即可.【详解】对A,因为||||x x x x --=-,故||y x x =为奇函数,不满足对B, y =[)0,+∞,不满足偶函数对C, ||e x y =为偶函数,且在区间()0,∞+上单调递增,满足题意 对D, 1ln ln ||||y x x ==-为偶函数,但在区间()0,∞+上单调递减,不满足题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断等,属于基础题型.7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.8.已知()|ln |f x x =，设0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是（ ） A. [)3,+∞B. ()3,+∞C. )22,⎡+∞⎣D.()22,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()|ln |f x x =的图像分析可得,a b 的关系,再代入关系求解2+a b 的取值范围即可. 【详解】由题意得()()f a f b =,根据图像可知01a b <<<.故ln ln a b -=,即11lnln ,,(0,1)b b a a a ==∈. 故22a b a a +=+,又2a a +在(0,1)a ∈内单调递减,故22131a a +>+=故2+a b 的取值范围是()3,+∞故选：B【点睛】本题主要考查对数函数的图像与零点问题.同时也考查了利用单调性求解函数取值范围的问题,属于基础题型.9.已知函数()x x f x e e -=-，()x xg x e e -=+，则以下结论正确的是（ ）A. 任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B. 任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C. ()f x 有最小值，无最大值D. ()g x 有最小值，无最大值 【答案】D 【解析】 【分析】A ：根据函数解析式直接判断()f x 的单调性，可判断对错；B ：利用奇偶性判断()g x 的单调性，即可判断对错；C ：利用奇偶性和单调性判断最值情况；D ：利用奇偶性和单调性判断最值情况. 【详解】A ：()()21,xxf f x ex e -==-在R 上均是增函数，所以()f x 是R 上增函数，故错误；B ：因为()()()xx g x ee g x x R --=+=∈，所以()g x 是偶函数，所以()g x 在R 上不可能是减函数，故错误； C ：因为()()()()xxf x e ef x x R --=--=-∈，所以()f x 是奇函数，又()f x 在R 上是增函数，所以()f x 无最值，故错误； D ：任意的1x ，[)20,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()12121122121212121x x x x x x x x x x x x x x e e e e g x g x e e e e e e e e e e-------=+-+=-+-=，因为1210x x e e ->，120x x e e -<，所以()()120g x g x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，因为()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0f x f =，无最大值，故正确. 故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等. 10.已知()f x ，()g x 都是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设函数()()(1)()(1)F x f x g x f x g x =+----，若0a >，则（ ）A. ()()F a F a -≥且()()11F a F a +≥-B. ()()F a F a -≥且()()11F a F a +≤-C. ()()F a F a -≤且()()11F a F a +≥-D. ()()F a F a -≤且()()11F a F a +≤- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，2(1),()(1)(){2(),? ()(1)g x f x g x F x f x f x g x -≥-=<-，∴2(1),()()(1)(){2(),? ()?()(1)g a f a f a g a F a f a f a f a g a +=-≥+-=-=-<+，2(1),()(1)(){2(),? ()(1)g a f a g a F a f a f a g a -≥-=<-，∵0a >，∴22(1)(1)40a a a +--=>，∴11(1)(1)a a g a g a +>-⇒+>-，∴若()(1)f a g a >+：()2(1)F a g a -=+，()2(1)F a g a =-，∴()()F a F a ->， 若(1)()(1)g a f a g a -≤≤+：()2()2()F a f a f a -=-=，()2(1)F a g a =-，∴()()F a F a -≥，若()(1)f a g a <-：()2()2()F a f a f a -=-=，()2()F a f a =，∴()()F a F a -=， 综上可知()()F a F a -≥，同理可知(1)(1)F a F a +≥-，故选A. 考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致1a -与1a +大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上. 二、填空题11.计算：1038π+=________；392log 6log 16-=________．【答案】 (2). 2 【解析】 【分析】根据指数对数与根式的运算化简即可.【详解】1103338(2)11211π+=+-=-=2223933333322log 6log 162log 6log 4log 6log 4lo 36924g log 2-=-=-===故答案为： , (2) 2【点睛】本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型. 12.函数()122x f x -=的定义域为________，值域为________． 【答案】 (1). ()(),22,-∞+∞ (2). ()()0,11,+∞【解析】 【分析】(1)利用分母不为0进行计算. (2)先求出指数12x -的范围,再根据指数函数的反正求解值域即可. 【详解】(1)由分母不为0有20x -≠,即()(),22,x ∈-∞+∞(2)因为12x -为1x往右平移2个单位所得,故1(,0)(0,)2x ∈-∞⋃+∞- 故()()()120,,211x f x -∈∞=+【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的定义域与值域问题等,属于基础题型.13.若0a >，1a ≠，则函数()()23log 1a f x x =++的图象恒过定点________；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间是________． 【答案】 (1). ()0,3 (2). (),0-∞ 【解析】 【分析】(1)令()()23log 1a f x x =++中真数211x +=求解即可.(2)利用同增异减的关系, ()f x 的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同即可. 【详解】(1)令211x +=又0x =,又()()203log 013a f =++=,故图象恒过定点()0,3(2) 当1a >时log a x 为增函数,故()()23log 1a f x x =++的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同,为(),0-∞故答案为：(1) ()0,3 (2). (),0-∞【点睛】本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型. 14.已知函数()|1|f x x x a =--，x ∈R 有三个零点1x 、2x 、3x ，则实数a 的取值范围是________；123x x x ++的取值范围是________． 【答案】 (1). 104a << (2). 322,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数()|1|g x x x =-画出图像再分析与y a = 的交点个数即可.(2)根据图像分析得121x x =+,再分析3x 的范围即可. 【详解】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数(1),1()1(1),1x x x g x x x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩,画出函数()g x 的图像.易得当12x =为抛物线上顶点为11(,)24又()f x 有三个零点1x 、2x 、3x ,即()g x 与y a =有三个交点,故104a <<(2)有图像得12122x x +=,即121x x =+,当14a =时, 2111(1),442x x x x -=-+=即211()22x -=,此时312x =,故31(1,)2x ∈故123x x x ++∈故答案为：(1). 104a <<(2). 32,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈-+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．【答案】3- 【解析】 【分析】写出函数()y f x =的解析式，判断出函数()y f x =在R 上单调递减，由)()3f f x =，结合())2f x a f+≥，可得出2x a +≤在区间[]1,1a a -+上恒成立，于是得出))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，从而解出实数a 的取值范围，得出a 的最大值.【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()()22f x f x x x =--=--=-，()22,0,0x x f x x x ⎧≤∴=⎨->⎩，易知函数()y f x =在R 上单调递减，又)()3ff x =，由()())23f x a f x f +≥=，得2x a +≤，即)21a x ≤在[]1,1x a a ∈-+上恒成立，则))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，化简得()31a ≤-，解得3a ≤-，因此，实数a 的最大值为3-故答案为：【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为()()12f x f x ≤，利用函数()y f x =的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.16.对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x ∈R 恒成立，则称()f x 为关于a 的“τ函数”．已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“τ函数”，且当[]0,1x ∈时，()f x 的取值范围为[]1,2，则当[]2,2x ∈-时，()f x 的取值范围为________． 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据题意列出()()1f x f x ⋅-=和()()111f x f x +⋅-=再代换求出函数的周期,再将自变量转换到[]0,1x ∈内分析即可.【详解】当1a =时, ()()111f x f x +⋅-=,所以()()21f x f x +⋅-=.当0a =时, ()()1f x f x ⋅-=,故()()2f x f x +=,故函数()f x 是以2为周期的周期函数. 又当[]1,2x ∈时, []20,1x -∈,所以()[]221,f x -∈. 又()()21f x f x +⋅-=,所以()[]1,11(,(21,2)2)f x f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦=∈-.所以当[]0,2x ∈时, 1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,结合周期性知, 当[]2,2x ∈-时1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查抽象函数的周期性运用,需要代换自变量到合适的区间进行周期性的判定以及函数范围的判定.属于中等题型.17.已知,x y R ∈满足()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若对任意的0t >，k t x y t +≥+恒成立，则实数k 的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】观察()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-,分析其性质得出,x y 的关系再进行不等式恒成立的运用即可.【详解】设3()(2)2019(2)f x x x =-+-,则()f x 为3()2019g x x x =+往右平移两个单位得来.又3()2019g x x x =+为单调递增的奇函数,且关于(0,0)对称. 故3()(2)2019(2)f x x x =-+-为单调递增的函数且关于(2,0)对称.又()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可知(,1),(,1)x y -关于(2,0)对称.故22x y += , 即4x y +=.又对任意的0t >,4kt x y t+≥+=恒成立.即240t t k -+≥恒成立.故判别式2440k ∆=-≤,得4k ≥.故k 的最小值为4. 故答案：4【点睛】本题主要考查函数的对称性与恒成立问题.其中构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-进行分析是关键,属于难题.三、解答题18.设全集U =R ,集合{}|14A x x =<≤，{}22|560B x x ax a =++≤,（1）若1a =-，求B A ⋂，U B C A ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,3B A ⋂=,U B C A ⋂=∅，(2）4132a -<≤- 【解析】试题分析：（1）代入1a =-，得到集合B ，即可求解集合B A ⋂和U B C A ⋂；（2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，分类0a =，0a >和0a <讨论，即可求解实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当1a =-时，此时{}2|560{|23}B x x x x x =-+≤=≤≤， 所以{|23}B A x x ⋂=≤≤，又{|1U C A x x =<或4}x ≥，所以U B C A φ⋂=. （2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，当0a =时，{}{}2|00B x x =≤=，此时不满足题意，舍去；当0a >时，{|32}B x a x a =-≤≤-，此时不满足题意，舍去；当0a <时，{|23}B x a x a =-≤≤-，则满足2134a a -≥⎧⎨-<⎩，解得1243a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，即1423a -≤<-，综上所述，实数a 的取值范围是1423a -≤<-. 19.某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位为万元).()1分别将A ，B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；()2该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？【答案】（1）()()1,04f x x x =≥，()()0g x x =≥， （2）当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为6516万元。