武汉市2016学年八下)中数学试卷(解析版)
【精编】2016-2017学年武汉市硚口区八年级下期中数学试卷(有答案)
2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷一、选择題（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤32．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4B．b＜4C．b≥4D．b≤43．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．1，1，C．D．5，12，134．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3B．C．D．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分別交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是．12．计算：÷＝．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．三、解答题（共8小題，共72分）17．（8分）计算：①；②．18．（8分）计算：①②19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP ＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择題（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a≥3C．a＜3D．a≤3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，解得a≥3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4B．b＜4C．b≥4D．b≤4【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可．【解答】解：∵＝4﹣b，∴4﹣b≥0，解得，b≤4，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．1，1，C．D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；B、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵（）2+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得．【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、4﹣3＝3，此选项错误；C、×＝，此选项正确；D、（3）2＝18，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，頂端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为＝5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），∴AB＝3，∴点D的坐标为（5，5）．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对边平行且相等．8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3B．C．D．【分析】作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据勾股定理求出BA′即可；【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．PA+PB的最小值＝BA′＝＝3，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标用图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个，据此可得．【解答】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个，在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个，在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个，……∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个，故选：B．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个．10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分別交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【分析】根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题，如图所示；【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是±4．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．计算：÷＝3．【分析】根据二次根式是除法法则进行计算．【解答】解：原式＝＝＝＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法．二次根式的除法法则：÷＝（a≥0，b＞0）．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为9．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD 中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【解答】解：等边三角形高线即中线，故D为BC中点，∵AB＝6，∴BD＝3，∴AD＝＝3，∴等边△ABC的面积＝BC•AD＝×6×3＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为2．【分析】设菱形的对角线相交于O，根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，求出OB，根据勾股定理求出OA，即可求出AC．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，∵菱形的周长是8，∴DC＝×8＝2，∵BD＝2，∴OD＝1，在Rt△DOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标（0，）．【分析】先证明EA＝EC（设为x）；根据勾股定理列出x2＝12+（3﹣x）2，求得x＝，即可解决问题．【解答】解：由题意知：∠BAC＝∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA＝∠BAC，∴∠ECA＝∠DAC，∴EA＝EC（设为x）；由题意得：OA＝1，OC＝AB＝3；由勾股定理得：x2＝12+（3﹣x）2，解得：x＝，∴OE＝3﹣＝，∴E点的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM ＝7，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（共8小題，共72分）17．（8分）计算：①；②．【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；②根据二次根式的乘法运算法则计算可得．【解答】解：①原式＝3﹣4+2＝；②原式＝＝＝3．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．18．（8分）计算：①②【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可得；②先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得．【解答】解：①原式＝2+6+4+3﹣6＝5+4；②原式＝6×﹣×6＝3﹣15＝﹣12．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混合运算顺序和运算法则．19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？【分析】先设水深为x，则AB＝x，求出x的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵先设水深为x，则AB＝x，BC＝（x+2），∵AC＝6米，在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，即62+x2＝（x+2）2，解得x＝8（米）．答：水深AB为8米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC ＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为2．【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，解答即可．【解答】解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2，故答案为：2【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，则DG＝BC，DE ∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形；（2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，根据勾股定理的逆定理得：∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM＝FM，由等边对等角可得结论．【解答】证明：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，DG＝BC，同理得：EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，∴OE＝2x，OF＝3x，∵四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝x，∴OE2+OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°，∵点M为EF的中点，∴OM＝MF，∴∠MOF＝∠EFO．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，根据勾股定理求出AA′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）仿照（2）的计算方法解答．【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，a﹣3≥0，3﹣a≥0，∴a＝3，b＝5；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，则AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B，∴∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′＝＝3，∴∠AA′B＝90°，∴A′B＝＝，∴AD＝A′B＝；（3）由（2）得，AA′＝＝n，∴m2﹣2n2＝h2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP ＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．【分析】（1）欲证明BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题；（2）四边形EGFH是矩形．首先证明四边形ECMH是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，推出四边形EGFH是矩形；（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∴由PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD＝45°，可证PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，由∠PBE＝30°，推出PB＝2PE，BE＝a，由BC＝+1，可得a+a＝+1，推出a＝1，再求出FQ、FP即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝FG．（2）结论：四边形EGFH是矩形．理由：如图2中，设FH交CD于M．∵△ABE≌△EGF，∴AB＝EG＝BC，∴BE＝CG＝FG，∵FM∥CG，FG∥CM，∴四边形CMFG是平行四边形，∵GC＝FG，∠MCG＝90°，∴四边形CMFG是正方形，∴CM＝CG＝BE，∵BC＝CD，∴CE＝DM，∵FH∥BC，∴∠DMH＝∠DCB＝90°，∵∠MDH＝45°，∴∠MDH＝∠MHD＝45°，∴DM＝HM＝EC，∵HM∥EC，∴四边形CEHM是平行四边形，∵∠ECM＝90°，∴四边形ECMH是矩形，∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，∴四边形EGFH是矩形．（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD，∴△PCB≌△PCD，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵PE⊥EC，∴∠PCE＝∠EPC＝45°，∴PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，∵∠PBE＝30°，∴PB＝2PE，BE＝a，∵BC＝+1，∴a+a＝+1，∴a＝1，∴PB＝2在Rt△PFB中，∵∠PBF＝30°，∴PF＝1，BF＝，∵BQ＝BQ＝BC＝+1，∴FQ＝1，∴PQ＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2016-2017学年湖北省武汉市八年级(下)期中数学试卷含答案
2016-2017学年湖北省武汉市八年级（下）期中数学试卷含答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．使二次根式有意义的a的取值范围是（）A．a≥0B．a≠5C．a≥5D．a≤52．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．3﹣＝3B．2+＝2C．＝﹣2D．＝24．直角三角形两边长分别为为3和5，则另一边长为（）A．4B．C．或4D．不确定5．下列四组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15.176．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC7．下列命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的面积相等B．相等的两个实数的平方也相等C．等腰三角形的两个底角相等D．直角都相等8．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）10．已知菱形ABCD中，∠ADC＝120°，N为DB延长线上一点，E为DA延长线上一点，且BN＝DE，连CN、EN，点O为BD的中点，过O作OM⊥AB交EN于M，若OM＝，AE＝1，则AB的长度为（）A．B．2C．D．+3二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：＝．12．如图，一根16厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ＝8厘米，且RP⊥PQ，则RQ＝厘米．13．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形为矩形，则四边形ABCD的对角线AC、BD之间的关系为．14．对于两个实数a、b，定义运算@如下：a@b＝，例如3@4＝．那么15@x2＝4，则x 等于．15．平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，若平行四边形ABCD的面积为48，则对角线BD的长为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R＝90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）（4﹣3）（2）+618．（8分）已知a＝+2，b＝2﹣，求下列各式的值：（1）a2+2ab+b2；（2）a2﹣b2．19．（8分）已知：如图，A、C是平行四边形DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD 的面积．21．（8分）在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，过点O的直线MN分别交AB、CD于M，N．（1）求证：AM+DN＝AD；（2）∠AOM＝∠OBC，AC＝2，BD＝2，求MN的长度．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形？说明理由；（2）当PQ＝17时，求t的值．23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE ＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当点E落在AC上时，求∠ADE的度数（用α表示）；（2）如图2，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，若点F恰好落在ED的延长线上，EF交AC于点H，求的值；（3）若∠ADE＝45°，BC＝14，BD＝6，连接CE，则CE＝．24．（12分）已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为直线BC上一点．（1）如图1，当E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长；（2）如图2，点E为BC边延长线上一点，若BD＝BE，连接DE，M为DE的中点，连接AM、CM，求证：AM⊥CM；（3）如图3，在（2）的条件下，P、Q为AD边上两个动点，且PQ＝，连接P、B、M、Q，则四边形PBMQ周长的最小值为．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．使二次根式有意义的a的取值范围是（）A．a≥0B．a≠5C．a≥5D．a≤5【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列不等式求解即可．【解答】解：由题意得，5﹣a≥0，解得a≤5．故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A、＝2，故不是最简二次根式，故此选项错误；B、，是最简二次根式，符合题意；C、＝|a|，故不是最简二次根式，故此选项错误；D、＝，故不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键．3．下列计算正确的是（）A．3﹣＝3B．2+＝2C．＝﹣2D．＝2【分析】直接利用二次根式的性质分别化简计算即可．【解答】解：A、3﹣＝2，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、＝2，故此选项错误；D、＝2，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的hi额性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．4．直角三角形两边长分别为为3和5，则另一边长为（）A．4B．C．或4D．不确定【分析】由于此题没有明确斜边，应考虑两种情况：5是直角边或5是斜边，根据勾股定理进行计算．【解答】解：5是直角边时，则第三边＝＝，5是斜边时，则第三边＝＝4，故有两种情况或4．故选：C．【点评】此题关键是要考虑两种情况，熟练运用勾股定理．5．下列四组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15.17【分析】求是否为勾股数，这里给出三个数，利用勾股定理，只要验证两小数的平方和等于最大数的平方即可．【解答】解：A、32+42＝52，是勾股数的一组；B、22+32≠42，不是勾股数的一组；C、52+122＝132，是勾股数的一组；D、82+152＝172，是勾股数的一组．故选：B．【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义，并能够熟练运用．6．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠A＝∠B，∠C＝∠D B．AB＝AD，CB＝CDC．AB＝CD，AD＝BC D．AB∥CD，AD＝BC【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．【解答】解：A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A++∠B+∠C+∠D＝360°，∴2∠B+2∠C＝360°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；故选：C．【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理和等腰梯形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，等腰梯形的定义是两腰相等的梯形．7．下列命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的面积相等B．相等的两个实数的平方也相等C．等腰三角形的两个底角相等D．直角都相等【分析】先写出各命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定定理和直角的定义分别对各逆命题进行判断．【解答】解：A、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形为全等三角形，所以A选项错误；B、相等的两个实数的平方也相等的逆命题为平方相等的两个实数相等或相反，所以B选项错误；C、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形为等腰三角形，所以C选项正确；D、直角都相等的逆命题为相等的角为直角，所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．8．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．40cm【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，根据三角形的中位线求出BC，即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，∵AM＝BM，∴BC＝2MO＝2×5cm＝10cm，即AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，即菱形ABCD的周长为40cm，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，能根据菱形的性质得出AO＝OC是解此题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A →B→C→D→A的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）【分析】根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、BC的长度以及四边形ABCD为矩形，进而可求出矩形ABCD的周长，根据细线的缠绕方向以及细线的长度即可得出细线的另一端所在位置，此题得解．【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，且四边形ABCD为矩形，＝2（AB+BC）＝10．∴矩形ABCD的周长C矩形ABCD∵2017＝201×10+7，AB+BC+CD＝7，∴细线的另一端落在点D上，即（1，﹣2）．故选：D．【点评】本题考查了规律型中点的坐标、矩形的判定以及矩形的周长，根据矩形的周长结合细线的长度找出细线终点所在的位置是解题的关键．10．已知菱形ABCD中，∠ADC＝120°，N为DB延长线上一点，E为DA延长线上一点，且BN＝DE，连CN、EN，点O为BD的中点，过O作OM⊥AB交EN于M，若OM＝，AE＝1，则AB的长度为（）A．B．2C．D．+3【分析】解法1：连接CM，CO，CE，判定△EDC≌△NBC，即可得到∠DCE＝∠BCN，EC＝NC，进而得出△ECN为等边三角形，依据∠CMO＝∠CED，∠CDE＝∠COM＝120°，可得△CDE∽△COM，再根据相似三角形的性质，即可得到AD，AB的长．解法2：延长BD至F，使得DF＝BN＝DE，连接EF，延长CD交EF于G，利用三角形中位线定理可得EF的长，依据等腰三角形的性质，即可得到EG的长，再根据∠DEG＝30°，即可得到DE 的长，进而得出AD的长．【解答】解：如图，连接CM，CO，CE，∵菱形ABCD中，∠ADC＝120°，N为DB延长线上一点，∴∠ADC＝∠NBC＝120°，CD＝CB，而DE＝BN，∴△EDC≌△NBC（SAS），∴∠DCE＝∠BCN，EC＝NC，又∵∠DCE+∠ECB＝60°，∴∠BCN+∠ECB＝60°，∴∠ECN＝60°，∴△ECN为等边三角形，∴∠CNM＝60°，∴∠CNM+∠COM＝180°，∴M，N，O，C四点共圆，∴∠CNB＝∠CMO，又∵∠CNB＝∠CED，∴∠CMO＝∠CED，又∵∠CDE＝∠COM＝120°，∴△CDE∽△COM，∴，即，解得DE＝1+，又∵AE＝1，∴AD＝＝AB，解法2：如图，延长BD至F，使得DF＝BN＝DE，连接EF，延长CD交EF于G，则∠EDG＝180°﹣120°＝60°，∠FDG＝∠CDB＝60°，∴DG平分∠EDF，∴DG⊥EF，∵OM⊥AB，EF⊥CD，AB∥CD，∴OM∥EF，又∵O是BD的中点，DF＝BN，∴O是FN的中点，∴M是EN的中点，∴FE＝2OM＝3+，∴GE＝，又∵∠DEG＝30°，∴Rt△DEG中，DE＝＝+1，∴AD＝DE﹣AE＝，∴AB＝，故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理以及菱形的性质的综合运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：＝．【分析】根据二次根式的除法法则计算可得．【解答】解：原式＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．12．如图，一根16厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ＝8厘米，且RP⊥PQ，则RQ＝10厘米．【分析】根据题意可知△PRQ为直角三角形，利用勾股定理即可解答．【解答】解：设RQ＝x，则RP＝16﹣x，∵RP⊥PQ∴△PRQ为直角三角形因为PQ＝8厘米，RQ＝x，RP＝16﹣x，由勾股定理得PQ2+RP2＝RQ2即82+（16﹣x）2＝x2解得x＝10，即RQ＝10厘米．故答案为：10．【点评】本题考查的是勾股定理在实际中的应用，需要同学们结合实际掌握勾股定理．13．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形为矩形，则四边形ABCD的对角线AC、BD之间的关系为AC⊥BD．【分析】这个四边形ABCD的对角线AC和BD的关系是互相垂直．理由为：根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF 为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【解答】证明：∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故答案为：AC⊥BD．【点评】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．14．对于两个实数a、b，定义运算@如下：a@b＝，例如3@4＝．那么15@x2＝4，则x 等于±4．【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵15@x2＝4，∴＝4，则＝4，解得：x＝±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．15．平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，若平行四边形ABCD的面积为48，则对角线BD的长为2．【分析】连接AC、BD交于点O，作AH⊥BC与H．首先证明点H与点C重合，再利用勾股定理求出OB即可．【解答】解：连接AC、BD交于点O，作AH⊥BC与H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8OA＝OC，OB＝OD，∵S＝48，平行四边形ABCD∴BC•AH＝48，∴AH＝6，∴BH＝＝8∴BC＝BH，∴点H与点C重合，∴OC＝OA＝3，OB＝＝，∴BD＝2OB＝2．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R＝90°，点H在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为2+7．【分析】首先证明△ABC≌△GFC（SAS），利用全等三角形的性质可得：∠CGF＝∠BAC＝30°，在直角△ABC中，根据三角函数即可求得AC，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR的长，在直角△QRP中运用三角函数即可得到RP、进而可求出PQ的长．【解答】解：延长BA交QR于点M，连接AR，AP．在△ABC和△GFC中，∴△ABC≌△GFC（SAS），∴∠CGF＝∠BAC＝30°，∴∠HGQ＝60°，∵∠HAC＝∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAH＝180°，又∵AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH＝180°，∴∠RHA＝∠BAC＝30°，∴∠QHG＝60°，∴∠Q＝∠QHG＝∠QGH＝60°，∴△QHG是等边三角形．AC＝BC•tan60°＝，则QH＝HA＝HG＝AC＝，在直角△HMA中，HM＝AH•sin60°＝×＝，AM＝HA•cos60°＝，在直角△AMR中，MR＝AD＝AB＝2．∴QR＝++2＝+，∴QP＝2QR＝2+7．故答案为：2+7．【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：（1）（4﹣3）（2）+6【分析】（1）利用二次根式的除法法则运算；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣；（2）原式＝2+3＝5．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（8分）已知a＝+2，b＝2﹣，求下列各式的值：（1）a2+2ab+b2；（2）a2﹣b2．【分析】根据a，b的值求出a+b和a﹣b的值，（1）根据完全平方公式和（2）根据平方差公式对要求的式子进行变形，然后代值计算即可得出答案．【解答】解：∵a＝+2，b＝2﹣，∴a+b＝4，a﹣b＝2，（1）a2+2ab+b2＝（a+b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝4×2＝8．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，根据a，b 的值求出a+b和a﹣b的值是解题的关键．19．（8分）已知：如图，A、C是平行四边形DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】连接BD，交AC于点O，欲证明证明四边形ABCD是平行四边形，只需证得AO＝CO，DO＝BO ．【解答】证明：如图，连接BD ，交AC 于点O ．∵四边形DEBF 是平行四边形，∴OD ＝OB ，OE ＝OF ．又∵AE ＝CF ，∴AE +OE ＝CF +OF ，即OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形【点评】本题考查了平行四边的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练掌握平行四边形的判定方法，属于中考常考题型．20．（8分）如图，四边形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝13，CD ＝12，AD ＝5，AD ⊥CD ，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △ACD 中根据勾股定理求出AC 的长，由等腰三角形的性质得出AE ＝BE ＝AB ，在Rt △CAE 中根据勾股定理求出CE 的长，再由S 四边形ABCD ＝S △DAC +S △ABC 即可得出结论．【解答】解：连接AC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ．∵AD ⊥CD ，∴∠D ＝90°．在Rt △ACD 中，AD ＝5，CD ＝12，AC ＝＝＝13．∵BC ＝13，∴AC ＝BC ．∵CE ⊥AB ，AB ＝10，∴AE ＝BE ＝AB ＝×10＝5．在Rt △CAE 中，CE ＝＝＝12．∴S 四边形ABCD ＝S △DAC +S △ABC ＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．【点评】本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21．（8分）在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线MN 分别交AB 、CD 于M ，N ． （1）求证：AM +DN ＝AD ；（2）∠AOM ＝∠OBC ，AC ＝2，BD ＝2，求MN 的长度．【分析】（1）证明△AOM ≌△CON ，可得结论；（2）证明△AOM ∽△ABO ，列比例式：，可得OM 的长，由（1）中的全等可得：MN ＝2OM ，代入可得MN 的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝OC ，AB ∥CD ，AD ＝CD ，∴∠MAC ＝∠NCA ，∵∠AOM ＝∠CON ，∴△AOM ≌△CON ，∴AM＝CN，∴DC＝DN+CN＝DN+AM，∴AD＝AM+DN；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABO＝∠OBC，AC⊥BD∵AC＝2，BD＝2，∴AO＝，OB＝，由勾股定理得：AB＝＝3，∵∠AOM＝∠OBC，∴∠ABO＝∠AOM，∵∠BAO＝∠MAO，∴△AOM∽△ABO，∴，∴，∴OM＝，∴MN＝2OM＝2．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用相似三角形的对应边成比例得到线段的长．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝4.8秒时，四边形PQCD是怎样的四边形？说明理由；（2）当PQ＝17时，求t的值．【分析】（1）分别根据时间和速度得PD和CQ的长，根据平行四边形的判定可得结论；（2）先计算t的时间：0≤t≤，分两种情况：图1和图2，根据勾股定理可计算t的值．【解答】解：（1）四边形PQCD为平行四边形，理由是：根据题意得：PA＝2t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝24﹣2t．当t＝4.8时，PD＝24﹣2×4.8＝14.4，CQ＝3t＝3×4.8＝14.4，∴PD＝CQ，∵AD∥BC，即PQ∥CD，∴四边形PQCD为平行四边形；（2）有两种情况：①如图1，过A作AE∥PQ，交BC于E，∵AP∥EQ，∴四边形AEQP是平行四边形，∴AP＝EQ＝2t，∴BE＝26﹣5t，Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，82+BE2＝172，∴BE＝15，即26﹣5t＝15，解得：t＝②如图2，过B作BE∥PQ，交AD于E，同理得AE＝15，即2t﹣（26﹣3t）＝15，t＝，∵P运动的总时间为24÷2＝12，Q运动的总时间为：26÷3＝＞，∴0≤t≤，综上，当PQ＝17时，t的值为秒或秒．【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、勾股定理及动点运动问题，本题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE ＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当点E落在AC上时，求∠ADE的度数（用α表示）；（2）如图2，以AB，AE为边作平行四边形ABFE，若点F恰好落在ED的延长线上，EF交AC于点H，求的值；（3）若∠ADE＝45°，BC＝14，BD＝6，连接CE，则CE＝6．【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，可求得∠BAC＝180°﹣2α，又由AE＝AD，∠DAE+∠BAC＝180°，可求得∠DAE＝2α，继而求得∠ADE的度数；（2）由四边形ABFE是平行四边形，易得∠EDC＝∠ABC＝α，则可得∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，证得AD⊥BC，又由AB＝AC，根据三线合一的性质知BD＝CD，从而知DH是三角形的中位线，即DH＝HC＝AB，结合HE+DF＝EF﹣DH＝AB﹣AB＝AB可得答案；（3）由∠ADE＝45°知∠B＝∠C＝∠ADE＝∠AED＝45°、∠BAC＝∠DAE＝90°，从而得∠BAD ＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE即可得．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝α，∴∠B＝∠C＝α，则∠BAC＝180°﹣2α，∵∠DAE+∠BAC＝180°，∴∠DAE＝180°﹣∠BAC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2a，∵AD＝AE，∴∠ADE＝＝90°﹣α；（2）∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF∥AB、EF＝AB，∴∠HDC＝∠B＝∠C＝α，∴HC＝HD，∵∠ADE＝90°﹣α，∴∠ADC＝∠ADE+∠HDC＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，由DH∥AB知DH是△CAB的中位线，∴DH＝AB，∴HC＝AB，则HE+DF＝EF﹣DH＝AB﹣AB＝AB，∴HC＝HE+DF，∴＝1；（3）当∠ADE＝45°，即90°﹣α＝45°时，α＝45°，∴∠B＝∠C＝∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，即∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∵，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．24．（12分）已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为直线BC上一点．（1）如图1，当E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长；（2）如图2，点E为BC边延长线上一点，若BD＝BE，连接DE，M为DE的中点，连接AM、CM，求证：AM⊥CM；（3）如图3，在（2）的条件下，P、Q为AD边上两个动点，且PQ＝，连接P、B、M、Q，则四边形PBMQ周长的最小值为＝．【分析】（1）先求出DE＝AD＝4，最后用勾股定理即可得出结论；（2）先判断出∠BMD＝90°，再判断出△ADM≌△BCM得出∠AMD＝∠BMC，即可得出结论；（3）由于BM和PQ是定值，只要BP+QM最小，利用对称确定出MG'就是BP+QM的最小值，最后利用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∴DE＝AD＝4，在Rt△CDE中，CE＝＝，∴BE＝BC﹣CE＝4﹣；（2）如图2，连接BM，∵点M是DE的中点，∴DM＝EM，∵BD＝BE，∴BM⊥DE，∴∠BMD ＝90°，∵点M 是Rt △CDE 的斜边的中点，∴DM ＝CM ，∴∠CDM ＝∠DCM ，∴∠ADM ＝∠BCM在△ADM 和△BCM 中，，∴△ADM ≌△BCM ．∴∠AMD ＝∠BMC ，∴∠AMC ＝∠AMB +∠BMC ＝∠AMB +∠AMD ＝∠BMD ＝90°，∴AM ⊥CM ；（3）如图，过点Q 作QG ∥BP 交BC 于G ，作点G 关于AD 的对称点G '，连接QG '，当点G '，Q ，M 在同一条线上时，QM +BP 最小，而PQ 和BM 是定值，∴此时，四边形PBMQ 周长最小，∵QG ∥PB ，PQ ∥BG ，∴四边形BPQG 是平行四边形，∴QG ＝BP ，BG ＝PQ ＝，∴CG ＝如图2，在Rt △BCD 中，CD ＝3，BC ＝4，∴BD ＝5，∴BE ＝5，∴BG ＝BE ﹣BG ＝，CE ＝BE ﹣BC ＝1，∴HM ＝+＝2，HG ＝CD ＝，在Rt △MHG '中，HG '＝3+＝，HM ＝4，∴MG'＝＝，在Rt△CDE中，DE＝＝，∴ME＝，在Rt△BME中，BM＝＝，∴四边形PBMQ周长最小值为BP+PQ+MQ+BM＝QG+PQ+QM+BM＝MG'+PQ+PM＝++＝，故答案为：．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，对称性，确定出BP+QM的最小值是解本题的关键．。
2016年湖北省八年级(下)期中数学试卷解析
2016-2017学年湖北省八年级（下）期中数学试卷一、精心选择，一锤定音！（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）1．计算的结果是（）A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．92．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＞13．下列各组数能成为直角三角形三边的是（）A．32、42、52 B．、、C．、2、D．、、14．下列各式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．5．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B． 6 C． 5 D． 46．已知△ABC的各边长度分别为3cm、4cm、5cm，则连接各边中点的三角形周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°8．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（）A．12 B．9 C． 6 D． 39．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤1310．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．n二、耐心填空，准确无误（每题3分，共计18分）11．计算﹣=．12．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）13．如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是．14．已知y=+﹣3，则2xy的值为．15．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为．16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．三、用心做一做，显显你的能力（本大题共8小题，共72分）17．（+）﹣2﹣．18．先化简，再求值：．19．如图，直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8．（1）作图：用尺规作AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于H．（保留作图痕迹）（2）在满足（1）的情况下，求BD的长．20．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．（1）图甲中的格点正方形ABCD；（2）图乙中的格点平行四边形ABCD．注：分割线画成实线．21．阅读下列材料，并解决相应问题：阅读：分母有理化就是把分母中的根号化去．例如：===+应用：用上述类似的方法化简下列各式：（1）（2）++…+．22．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图四边形ABCD）来求岛屿的面积，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=3千米，请求出四边形ABCD的面积．（结果保留根号）23．已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌DCM；（2）判断四边形MENF是（只写结论，不需证明）；（3）在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．24．已知：如图（1）四边形ABCD和四边形GCEF为正方形，B、C、E在同一直线．（1）试判断BG、DE的位置关系，请直接写出结论：；（2）若正方形GCEF绕C点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，若不成立？请说明理由．（3）在图（2）中，若正方形ABCD的边长为6，正方形CEFG边长为3，连结BE，DG求BE2+DG2的值．2016-2017学年湖北省八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选择，一锤定音！（本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）1．计算的结果是（）A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：原式利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．解答：解：原式=|﹣3|=3．故选：B．点评：此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x≥1 C．x≤﹣1 D．x＞1考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可．解答：解：根据题意得：x﹣1≥0，即x≥1时，二次根式有意义．故选：B．点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．3．下列各组数能成为直角三角形三边的是（）A．32、42、52 B．、、C．、2、D．、、1考点：勾股定理的逆定理．分析：分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．解答：解：A、因为（32）2+（42）2≠（52）2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；B、因为（）2+（）2≠（）2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；C、因为（）2+22≠（）2，所以不能构成直角三角形，此选项错误；D、因为（）2+（）2=12，能构成直角三角形，此选项正确．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．4．下列各式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答：解：A、被开方数含开的尽的因数，故A错误；B、被开方数含分母，故B错误；C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确；D、被开方数含开的尽的因数，故D错误；故选：C．点评：本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B． 6 C． 5 D． 4考点：勾股定理；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据等腰三角形的性质可知BC上的中线AD同时是BC上的高线，根据勾股定理求出AB的长即可．解答：解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，∴BD=CD=BC=3，AD同时是BC上的高线，∴AB==5，故选C．点评：本题考查勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD是BC上的高线，难度适中．6．已知△ABC的各边长度分别为3cm、4cm、5cm，则连接各边中点的三角形周长为（）A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm考点：三角形中位线定理．分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半求解即可．解答：解：∵△ABC的周长=3+4+5=12cm，∴连接各边中点的三角形周长=×12=6cm．故选D．点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并判断出中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（）A．30° B．60° C．90° D．120°考点：矩形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB=OC，再根据等边对等角可得∠OBC=∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．解答：解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OB=OC，∴∠OBC=∠ACB=30°，∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．故选：B．点评：本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．8．如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线AC=（）A．12 B．9 C． 6 D． 3考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=3．故选D．点评：本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质．9．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13考点：勾股定理的应用．专题：压轴题．分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答．解答：解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．点评：主要是运用勾股定理求得a的最大值，此题比较常见，难度不大．10．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．n考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：规律型．分析：根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．解答：解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选：B．点评：此题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．二、耐心填空，准确无误（每题3分，共计18分）11．计算﹣=．考点：二次根式的加减法．分析：先进行二次根式的化简，然后合并．解答：解：原式=3﹣=．故答案为：．点评：本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并．12．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件OA=OC，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）考点：菱形的判定．专题：开放型．分析：可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．解答：解：OA=OC，∵OB=OD，OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：OA=OC．点评：此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．13．如图，已知OA=OB，那么数轴上点A所表示的数是﹣．考点：勾股定理；实数与数轴．分析：首先根据勾股定理得：OB=．即OA=．又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是﹣．解答：解：由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，故OB=OA===，∵A在x的负半轴上，∴数轴上点A所表示的数是﹣．故答案为：﹣．点评：熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号．14．已知y=+﹣3，则2xy的值为﹣15．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据非负数的性质列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，2x﹣5≥0且5﹣2x≥0，解得x≥且x≤，所以，x=，y=﹣3，所以，2xy=2××（﹣3）=﹣15．故答案为：﹣15．点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．15．直角三角形的两边长为5和7，则第三边长为2或．考点：勾股定理．专题：分类讨论．分析：分7为斜边与7为直角边两种情况考虑，分别利用勾股定理即可求出第三边．解答：解：若7为斜边，根据勾股定理得：第三边为=2；若7为直角边，根据勾股定理得：第三边为=，故答案为：2或点评：此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为6．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．专题：计算题．分析：连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．解答：解：连接BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ+QE的最小值，∵DE=BQ+QE===5，∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．故答案为：6．点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．三、用心做一做，显显你的能力（本大题共8小题，共72分）17．（+）﹣2﹣．考点：二次根式的加减法．分析：先把二次根式为最简二次根式，再计算即可．解答：解：原式=2+﹣﹣=．点评：本题考查了二次根式的加减运算，把二次根式化为最简二次根式是解题的关键．18．先化简，再求值：．考点：二次根式的化简求值；分式的化简求值．分析：此题要对代数式先通分，最简公分母是xy（x+y），再相减，能够熟练运用因式分解的方法进行约分．代值的时候，熟练合并同类二次根式．解答：解：原式=﹣===．当时，=．点评：此题综合考查了二次根式的混合运算和二次根式的加减运算．19．如图，直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8．（1）作图：用尺规作AB的垂直平分线，交BC于D，交AB于H．（保留作图痕迹）（2）在满足（1）的情况下，求BD的长．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．分析：（1）垂直平分线的作法为：将圆规的圆心分别处于线段的两端，各做一个圆弧（半径大于线段长的一半），并让其相交，将其交点相连即为该线段垂直平分线；（2）首先利用勾股定理求得斜边的长，从而求得BH的长，然后利用△BHD∽△BCA求得BD的长即可．解答：解：（1）如图：（2）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵HD垂直平分AB，∴AH=BH=5，∵△BHD∽△BCA，∴，即：，解得：BD=．点评：本题考查了尺规作图的知识，要牢记：将圆规的圆心分别处于线段的两端，各做一个圆弧（半径大于线段长的一半），并让其相交，将其交点相连即为该线段垂直平分线；20．如图，在所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①，②，③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①，②，③的三个三角形分别对应全等．（1）图甲中的格点正方形ABCD；（2）图乙中的格点平行四边形ABCD．注：分割线画成实线．考点：作图—应用与设计作图．专题：作图题．分析：（1）利用三角形的形状以及各边长进而拼出正方形即可；（2）利用三角形的形状以及各边长进而拼出平行四边形即可．解答：解：（1）如图甲所示：（2）如图乙所示：点评：此题主要考查了应用设计与作图，利用网格结合三角形各边长得出符合题意的图形是解题关键．21．阅读下列材料，并解决相应问题：阅读：分母有理化就是把分母中的根号化去．例如：===+应用：用上述类似的方法化简下列各式：（1）（2）++…+．考点：分母有理化．专题：阅读型．分析：（1）根据分式的性质，分子分母都乘以分母两个数的和，可得答案；（2）根据分式的性质，分子分母都乘以分母两个数的和，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．解答：解：（1）原式===+；（2）原式=++…+=﹣1+﹣+…+﹣=﹣1．点评：本题考查了分母有理化，利用分式的性质：分子分母都乘以分母分母两个数的和或差得出平方差是解题关键．22．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图四边形ABCD）来求岛屿的面积，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=3千米，请求出四边形ABCD的面积．（结果保留根号）考点：勾股定理的应用．分析：连接AC，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求面积；解答：解：连接AC∵AB=BC=15千米，∠B=90°∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15千米，又∵∠D=90°，∴AD==12（千米）∴面积=S△ABC+S△ADC=112.5+18（平方千米）．点评：本题考查了解直角三角形的应用，与实际问题相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．23．已知矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌DCM；（2）判断四边形MENF是菱形（只写结论，不需证明）；（3）在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形MENF是正方形，并给予证明．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质．分析：（1）由矩形的性质得出AB=DC，∠A=∠D，再由M是AD的中点，根据SAS即可证明△ABM≌△DCM；（2）先由（1）得出BM=CM，再由已知条件证出ME=MF，EN、FN是△BCM的中位线，即可证出EN=FN=ME=MF，得出四边形MENF是菱形；（3）先证出∠AMB=45°，同理得出∠DMC=45°，证出∠BMC=90°，即可得出结论．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，∵M是AD的中点，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中，，∴△ABM≌△DCM（SAS）；（2）解：四边形MEBF是菱形；理由如下：由（1）得：△ABM≌△DCM，∴BM=CM，∵E、F分别是线段BM、CM的中点，∴ME=BE=BM，MF=CF=CM，∴ME=MF，又∵N是BC的中点，∴EN、FN是△BCM的中位线，∴EN=CM，FN=BM，∴EN=FN=ME=MF，∴四边形MENF是菱形；（3）解：当=2时，四边形MENF是正方形；证明如下：当=2时，AB=AM，∴△ABM是等腰直角三角形，∴∠AMB=45°，同理：∠DMC=45°，∴∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形．点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形、正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．24．已知：如图（1）四边形ABCD和四边形GCEF为正方形，B、C、E在同一直线．（1）试判断BG、DE的位置关系，请直接写出结论：BG⊥DE；（2）若正方形GCEF绕C点顺时针旋转到图（2）的位置，（1）的结论是否仍成立？若成立，给予证明，若不成立？请说明理由．（3）在图（2）中，若正方形ABCD的边长为6，正方形CEFG边长为3，连结BE，DG 求BE2+DG2的值．考点：四边形综合题．分析：（1）根据已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的对应角相等，所以∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，因为∠CBG+∠BGC=90°，所以∠BHE=90°，得出结论；（2）四边形ABCD是正方形推出△BCG≌△DCE．全等三角形的对应角相等，所以∠CBG=∠CDE，等量代换得出∠DOH=90°，推出BG⊥DE；（3）利用勾股定理得出BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2，进而得出答案即可．解答：（1）解：延长BG与DE交于点H，∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∵在△BCG与△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG=∠CDE，∠BGC=∠DEC，∵∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CBG+∠DEC=90°，∴∠BHE=90°，∴BG⊥DE，故答案为：BG⊥DE．（2）仍成立．证明：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∵在△BCG与△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠CBG=∠CDE，又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHO=90°，∴∠DOH=90°，∴BG⊥DE．（3）∵BG⊥DE，∴BE2+DG2=OB2+OE2+OG2+OD2=BD2+GE2，又∵AB=6，CE=3，∴BD=6，GE=3，∴BD2+GE=+=90，∴BE2+DG2=90．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，熟练利用全等三角形的性质是解此题关键．。
2016-2017学年武汉市硚口区八年级下期中数学试卷(有答案)(强烈推荐)
2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤32．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤43．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．D．5，12，134．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B．C．D．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE ＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分别交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是．12．计算：÷＝．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：①；②．18．（8分）计算：①②19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG ⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，解得a≥3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤4【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可．【解答】解：∵＝4﹣b，∴4﹣b≥0，解得，b≤4，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；B、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵（）2+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得．【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、4﹣3＝3，此选项错误；C、×＝，此选项正确；D、（3）2＝18，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为＝5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），∴AB＝3，∴点D的坐标为（5，5）．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对边平行且相等．8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B．C．D．【分析】作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据勾股定理求出BA′即可；【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．PA+PB的最小值＝BA′＝＝3，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标用图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个，据此可得．【解答】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个，在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个，在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个，……∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个，故选：B．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个．10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE ＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分别交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【分析】根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题，如图所示；【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是±4 ．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．计算：÷＝3．【分析】根据二次根式是除法法则进行计算．【解答】解：原式＝＝＝＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法．二次根式的除法法则：÷＝（a≥0，b＞0）．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为9．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【解答】解：等边三角形高线即中线，故D为BC中点，∵AB＝6，∴BD＝3，∴AD＝＝3，∴等边△ABC的面积＝BC•AD＝×6×3＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为2．【分析】设菱形的对角线相交于O，根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，求出OB，根据勾股定理求出OA，即可求出AC．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，∵菱形的周长是8，∴DC＝×8＝2，∵BD＝2，∴OD＝1，在Rt△DOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标（0，）．【分析】先证明EA＝EC（设为x）；根据勾股定理列出x2＝12+（3﹣x）2，求得x＝，即可解决问题．【解答】解：由题意知：∠BAC＝∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA＝∠BAC，∴∠ECA＝∠DAC，∴EA＝EC（设为x）；由题意得：OA＝1，OC＝AB＝3；由勾股定理得：x2＝12+（3﹣x）2，解得：x＝，∴OE＝3﹣＝，∴E点的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：①；②．【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；②根据二次根式的乘法运算法则计算可得．【解答】解：①原式＝3﹣4+2＝；②原式＝＝＝3．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．18．（8分）计算：①②【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可得；②先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得．【解答】解：①原式＝2+6+4+3﹣6＝5+4；②原式＝6×﹣×6＝3﹣15＝﹣12．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混合运算顺序和运算法则．19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？【分析】先设水深为x，则AB＝x，求出x的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵先设水深为x，则AB＝x，BC＝（x+2），∵AC＝6米，在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，即62+x2＝（x+2）2，解得x＝8（米）．答：水深AB为8米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC ＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 2 ．【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，解答即可．【解答】解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2，故答案为：2【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，则DG＝BC，DE∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形；（2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，根据勾股定理的逆定理得：∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM＝FM，由等边对等角可得结论．【解答】证明：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，DG＝BC，同理得：EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，∴OE＝2x，OF＝3x，∵四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝x，∴OE2+OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°，∵点M为EF的中点，∴OM＝MF，∴∠MOF＝∠EFO．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，根据勾股定理求出AA′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）仿照（2）的计算方法解答．【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，a﹣3≥0，3﹣a≥0，∴a＝3，b＝5；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，则AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B，∴∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′＝＝3，∴∠AA′B＝90°，∴A′B＝＝，∴AD＝A′B＝；（3）由（2）得，AA′＝＝n，∴m2﹣2n2＝h2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG ⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．【分析】（1）欲证明BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题；（2）四边形EGFH是矩形．首先证明四边形ECMH是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，推出四边形EGFH是矩形；（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∴由PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD＝45°，可证PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，由∠PBE＝30°，推出PB＝2PE，BE＝a，由BC＝+1，可得a+a＝+1，推出a＝1，再求出FQ、FP即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝FG．（2）结论：四边形EGFH是矩形．理由：如图2中，设FH交CD于M．∵△ABE≌△EGF，∴AB＝EG＝BC，∴BE＝CG＝FG，∵FM∥CG，FG∥CM，∴四边形CMFG是平行四边形，∵GC＝FG，∠MCG＝90°，∴四边形CMFG是正方形，∴CM＝CG＝BE，∵BC＝CD，∴CE＝DM，∵FH∥BC，∴∠DMH＝∠DCB＝90°，∵∠MDH＝45°，∴∠MDH＝∠MHD＝45°，∴DM＝HM＝EC，∵HM∥EC，∴四边形CEHM是平行四边形，∵∠ECM＝90°，∴四边形ECMH是矩形，∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，∴四边形EGFH是矩形．（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD，∴△PCB≌△PCD，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵PE⊥EC，∴∠PCE＝∠EPC＝45°，∴PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，∵∠PBE＝30°，∴PB＝2PE，BE＝a，∵BC＝+1，∴a+a＝+1，∴a＝1，∴PB＝2在Rt△PFB中，∵∠PBF＝30°，∴PF＝1，BF＝，∵BQ＝BQ＝BC＝+1，∴FQ＝1，∴PQ＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2015-2016学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷
2015-2016学年湖北省武汉市江岸区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.（3分）要使式子耳有意义，则X的取值范围是（）A. xWlB.xNlC.x>0D.x>-12.（3分）以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（）A.2,3, 4B.1,1,V2C.5,8,11D.5,13,233.（3分）在^ABCD中，ZA：ZB：ZC：ND的值可以是（）A.1：2：3：4B.1：2：2：1C.1：1：2：2D.2：1：2：14.（3分）下列等式成立的是（）A.V2+V3=V5B.寸（一2）2=-2C.V s=2a/2D.V3=25.（3分）下列命题中，假命题是（）A.四边形的内角和为360°B.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形C.四边都相等的四边形是菱形D.矩形的四个角都是直角6.（3分）下列条件中，不能判定四边形A3CD是平行四边形的是（）A.AB=CD,AD=BCB.AB//CD,AB=CDC.AB=CD,AD//BCD.AB//CD,AD//BC7.（3分）如图，在口ABCD中，AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE,则△CDE的周长为（）8.（3分）如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形（无重叠、无缝隙）拼成大的正方形图案，已知大正方形面积为36,小正方形面积为4,若用》、y表示直角三角形的两直角边，则x+y的值为（）A.2B.4C.4a/2D.2^179.（3分）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2016个图形中直角三角形的个数有（）图①图⑦A.2016个 C.4032个 D.6040个B.4030个10.（3分）如图，四边形A3CD中，点E、F、G分别为边A3、BC、CD的中点，若的面积为4,则四边形A3CD的面积为（）A.8B.12C.16D.18二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.（3分）请直接写出一个与屈同类二次根式的最简二次根式.12.（3分）已知》、y洒足：y=/x—2+V2—x-3,则xy=•13.（3分）四边形ABCD对角线互相垂直，顺次连接四边形ABCD四边中点得到的四边形是.14.（3分）直角三角形斜边上的中线为5,一条直角边为6,则另一条直角边为.15.（3分）如图，在左ABC中，ZB=2ZC,ADLBC^D,点E为BC的中点,3C=4也+4,DE=2,则ZC=（度）.16.（3分）在口ABCD中，ZABC=30°,AELBC E,AF±CD于F,已知BE=^3,CF=1,则AC=.三、解答题（共8题，共72分）17.（8分）计算：（1）扼X&-^2（2）（2扼-必）（2^2+V3）-18.（8分）如图，口A3CD中，E、F为AC上的两点，AE=CF,求证：DE=BF.19.（8分）先化简，再求值：§岳-6食+2》卢，其中》=4.20.（8分）如图，将矩形A3CD纸片对折，设折痕为初V,再通过折叠使3点落在折痕上的设两条折痕的交点为F,连接BF、EB\BB\AB'.（1）求ZABB'的度数；（2）请判断四边形的形状，并说明理由.E_______________CBA D21.（8分）已知，如图，AABC。
武汉市汉阳区2016-2017学年八年级下期中数学试卷(有答案)
2016-2017学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是2．（3分）若=3﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤33．（3分）下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：56．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米7．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°8．（3分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否为直角9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．C．2 D． +1二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3=．12．（3分）平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．14．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于．15．（3分）已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，则a2015﹣b2016的值为．16．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12．则△ABC的面积为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算（1）4+﹣（2）÷×．18．（8分）先化简，再求值÷（﹣），其中x=+，y=﹣．19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证△ADE≌△CBF；（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）．20．（8分）如图在10×10的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．（1）计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；（2）若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．21．（8分）（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2+b2=c2；（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a2+b2=c2．22．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=B C，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME ⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．（1）求证：BC=2CE；（2）求证：AM=DF+ME．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F 在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．（1）如图1，当∠DAG=30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是【解答】解：∵代数式有意义，∴2﹣3x≥0，解得x≤．故选：A．2．（3分）若=3﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3【解答】解：∵=3﹣b，∴3﹣b≥0，解得：b≤3．故选：D．3．（3分）下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．∵，∴可以与合并；B．∵=，∴可以与合并；C．∵=，∴不可以与合并；D．∵=2，∴可以与合并；故选：C．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，则AC2+BC2=225cm2．故选：C．5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选：D．6．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米【解答】解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90°，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，AC==24分米．∴OC=AC﹣AC=24﹣4=2分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，故选：D．7．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°【解答】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．故选：D．8．（3分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否为直角【解答】解：A、对角线是否相互平分，只能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，只能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选：D．9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选：C．10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．C．2 D． +1【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，在R t△BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴P′Q=CP′=BC•si nB=2×=．故选：B．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3=（x+）（x﹣）．【解答】解：x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）．12．（3分）平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是5．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长是18∴AB+BC=18÷2=9∵三角形ABC的周长是14∴AC=14﹣（AB+AC）=5故答案为5．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，=S△COF，∴S△AOE∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．14．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于 3.5．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴O E是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故答案为：3.5．15．（3分）已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，则a2015﹣b2016的值为﹣2．【解答】解：∵﹣（b﹣1）=0，∴+（1﹣b）=0，∵1﹣b≥0，∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2015﹣b2016=（﹣1）2015﹣12016=﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．16．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12．则△ABC的面积为24或84．【解答】解：分两种情况考虑：①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根据勾股定理得：DC==5，∴BC=BD+DC=9+5=14，=BC•AD=84；则S△ABC②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根据勾股定理得：DC==5，∴BC=BD﹣DC=9﹣5=4，=BC•AD=24．则S△ABC综上，△ABC的面积为24或84．故答案为：24或84．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算（1）4+﹣（2）÷×．【解答】解：（1）原式=4+2﹣3=3；（2）原式==．18．（8分）先化简，再求值÷（﹣），其中x=+，y=﹣．【解答】解：原式=×=﹣×=﹣当x=+，y=﹣xy=1，x+y=2∴原式=﹣19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证△ADE≌△CBF；（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）添加∠DEB=90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形．20．（8分）如图在10×10的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．（1）计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；（2）若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．【解答】解：（1）∵小正方形的边长为1，∴AC==，BC==3，AB==2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1），∴点C为坐标原点，如图，分别过A作BC的平行线，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，∴满足条件的点D的坐标为（3，3）或（1，5）或（﹣3，﹣3）．21．（8分）（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2+b2=c2；（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a2+b2=c2．【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示：则四边形ABCD是直角梯形，∴四边形ABCD的面积=（a+b）（a+b）=（a+b）2，∵四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，即（a+b）2=ab×2+c2，化简得：（a+b）2=2ab+c2，∴a2+b2=c2；（2）证明：连接AD、DE，如图2所示：则四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，即（a+b）×a=c2+b（a﹣b），化简得：ab+a2=c2+ab﹣b2，∴a2+b2=c2．22．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点．【解答】（1）解：当MN最长时，BN=4；当BN最长时，BN==；（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，∴△ADC≌△BNC，∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°∴∠MCD=∠BCM，∴△MDC≌△MNC，∴MD=MN在Rt△MDA中，A D2+AM2=DM2，∴BN2+AM2=MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME ⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．（1）求证：BC=2CE；（2）求证：AM=DF+ME．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，且BC=CD，∴∠BAC=∠ACD，且∠BAC=∠CDF，∴∠ACD=∠CDF，∴CM=DM，∵ME⊥CD，∴CE=DE，∴BC=CD=2CE；（2）如图，分别延长AB，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠CDF=∠BAC，∴MG=MA，在△CDF和△BGF中∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，在△CEM和△CFM中∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，∴AM=GM=GF+MF=DF+ME．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F 在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．（1）如图1，当∠DAG=30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠DAG=30°，∴∠BAG=60°由折叠知，∠BAE=∠BAG=30°，在Rt△BAE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=（2）如图，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=．（3）如图1，由折叠知，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，∴当CF最小时，△CEF的周长最小，∵∠AFE=90°，∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF=AB=3，在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，∴AC=5，∴CF=AC﹣AF=2，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，∴BE2+CF2=（4﹣BE）2，∴BE2+22=（4﹣BE）2，∴BE=．。
湖北省武汉市汉阳区2016-2017学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)
2016-2017学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是2．（3分）若=3﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3D．b≤33．（3分）下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：56．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米7．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．88°，92°，88°8．（3分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否为直角9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P 在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．C．2 D．+1二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3=．12．（3分）平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．14．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于．15．（3分）已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，则a2015﹣b2016的值为．16．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12．则△ABC的面积为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算（1）4+﹣（2）÷×．18．（8分）先化简，再求值÷（﹣），其中x=+，y=﹣．19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证△ADE≌△CBF；（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）．20．（8分）如图在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．（1）计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；（2）若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．21．（8分）（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2+b2=c2；（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a2+b2=c2．22．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．（1）求证：BC=2CE；（2）求证：AM=DF+ME．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD 内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．（1）如图1，当∠DAG=30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是【解答】解：∵代数式有意义，∴2﹣3x≥0，解得x≤．故选：A．2．（3分）若=3﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3D．b≤3【解答】解：∵=3﹣b，∴3﹣b≥0，解得：b≤3．故选：D．3．（3分）下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．∵，∴可以与合并；B．∵=，∴可以与合并；C．∵=，∴不可以与合并；D．∵=2，∴可以与合并；故选：C．4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．150cm2B．200cm2C．225cm2D．无法计算【解答】解：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，则AC2+BC2=225cm2．故选：C．5．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5【解答】解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；故选：D．6．（3分）一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动（）A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米【解答】解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90°，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，AC==24分米．∴OC=AC﹣AC=24﹣4=2分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD﹣OB=15﹣7=8分米，故选：D．7．（3分）一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（）A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°【解答】解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．故选：D．8．（3分）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角【解答】解：A、对角线是否相互平分，只能判定平行四边形；B、两组对边是否分别相等，只能判定平行四边形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．故选：D．9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P 在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减少C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关【解答】解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．故选：C．10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1 B．C．2 D．+1【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，在Rt△BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×=．故选：B．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）在实数范围内分解因式：x2﹣3=（x+）（x﹣）．【解答】解：x2﹣3=x2﹣（）2=（x+）（x﹣）．12．（3分）平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是5．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长是18∴AB+BC=18÷2=9∵三角形ABC的周长是14∴AC=14﹣（AB+AC）=5故答案为5．13．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．14．（3分）如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于 3.5．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=AB=×7=3.5．故答案为：3.5．15．（3分）已知a，b为实数，且﹣（b﹣1）=0，则a2015﹣b2016的值为﹣2．【解答】解：∵﹣（b﹣1）=0，∴+（1﹣b）=0，∵1﹣b≥0，∴1+a=0，1﹣b=0，解得a=﹣1，b=1，∴a2015﹣b2016=（﹣1）2015﹣12016=﹣1﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．16．（3分）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12．则△ABC的面积为24或84．【解答】解：分两种情况考虑：①当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根据勾股定理得：DC==5，∴BC=BD+DC=9+5=14，则S△ABC=BC•AD=84；②当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，根据勾股定理得：BD==9，在Rt△ADC中，AC=13，AD=12，根据勾股定理得：DC==5，∴BC=BD﹣DC=9﹣5=4，则S△ABC=BC•AD=24．综上，△ABC的面积为24或84．故答案为：24或84．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）计算（1）4+﹣（2）÷×．【解答】解：（1）原式=4+2﹣3=3；（2）原式==．18．（8分）先化简，再求值÷（﹣），其中x=+，y=﹣．【解答】解：原式=×=﹣×=﹣当x=+，y=﹣xy=1，x+y=2∴原式=﹣19．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，（1）求证△ADE≌△CBF；（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）．（2）添加∠DEB=90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠DEB=90°，∴四边形DEBF是矩形．20．（8分）如图在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点在边长为1的小正方形的顶点上．（1）计算AC，AB，BC的长度，并判定△ABC的形状；（2）若在网格所在的坐标平面内的点A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1）．请你在图中找出点D，使以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D点的坐标．【解答】解：（1）∵小正方形的边长为1，∴AC==，BC==3，AB==2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）∵A，C的坐标分别为（0，0），（﹣1，1），∴点C为坐标原点，如图，分别过A作BC的平行线，过B作AC的平行线，过C作AB的平行线，∴满足条件的点D的坐标为（3，3）或（1，5）或（﹣3，﹣3）．21．（8分）（1）以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B，E，F，C四点在一条直线上（此时E，F重合），可知△ABE≌△FCD，AE⊥DF，请你证明：a2+b2=c2；（2）在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置（此时B，F重合），请你重新证明：a2+b2=c2．【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示：则四边形ABCD是直角梯形，∴四边形ABCD的面积=（a+b）（a+b）=（a+b）2，∵四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，即（a+b）2=ab×2+c2，化简得：（a+b）2=2ab+c2，∴a2+b2=c2；（2）证明：连接AD、DE，如图2所示：则四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，即（a+b）×a=c2+b（a﹣b），化简得：ab+a2=c2+ab﹣b2，∴a2+b2=c2．22．（10分）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5，求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN=45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点．【解答】（1）解：当MN最长时，BN=4；当BN最长时，BN==；（2）证明：如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，∴△ADC≌△BNC，∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°∴∠MCD=∠BCM，∴△MDC≌△MNC，∴MD=MN在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，∴BN2+AM2=MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠BAC=∠CDF．（1）求证：BC=2CE；（2）求证：AM=DF+ME．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，且BC=CD，∴∠BAC=∠ACD，且∠BAC=∠CDF，∴∠ACD=∠CDF，∴CM=DM，∵ME⊥CD，∴CE=DE，∴BC=CD=2CE；（2）如图，分别延长AB，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠CDF=∠BAC，∴MG=MA，在△CDF和△BGF中∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，在△CEM和△CFM中∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，∴AM=GM=GF+MF=DF+ME．24．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD 内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．（1）如图1，当∠DAG=30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠DAG=30°，∴∠BAG=60°由折叠知，∠BAE=∠BAG=30°，在Rt△BAE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=（2）如图，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=．（3）如图1，由折叠知，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，∴当CF最小时，△CEF的周长最小，∵∠AFE=90°，∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF=AB=3，在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，∴AC=5，∴CF=AC﹣AF=2，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，∴BE2+CF2=（4﹣BE）2，∴BE2+22=（4﹣BE）2，∴BE=．。
2016-2017年湖北省武汉市江汉区八年级(下)期中数学试卷(解析版)
（3）直接写出四边形 ECHF 的面积．
四、填空题 （共 4 小题， 每小题 4 分，共 16 分）下列各题不需要写出解答过程， 请将结果直接填写在答卷指定的位置 22． （4 分）若 y＜0，则 化简为 ．
23． （4 分）如图，点 E 是平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 CE，若 点 E 在线段 AD 的垂直平分线上， 点 D 在线段 EC 的垂直平分线上， 且∠DCE ＝66°，则∠BCE＝ ．
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（2） 18． （10 分） 操场上 A、 B、 C 三人的两两距离如图所示，若 B 在 A 的北偏东 50° 方向，则 C 在 A 的什么方向？请说明理由．
19． （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、CD 的中点，AC、 EF 交于点 O．求证：OE＝OF．
28． （12 分）在平面直角坐标系中，边长为 4 的正方形 OABC 的边 OA 落在 x 轴 的正半轴上，边 OC 落在 y 轴的正半轴上，点 C 关于 x 轴的对称点为点 D， 点 P 从点 D 出发，以每秒 1 各单位的速度，沿着射线 DC 的方向运动，运动 时间为 （ t t＞0， 且 t≠4） 连接 PA， PA 绕着点 P 逆时针方向旋转 90°得到 PE， 连接 CE． （1）如图 1，当 0＜t＜4 时，求∠DCE 的度数； （2）如图 2，连接 AE，交 OB 于 Q，若 4＜t＜8，求证： OA＝CE+2BQ； ．
14． （3 分）已知矩形 ABCD 的对角线交于点 O，若 AB：AC＝ 的度数为 ．
15． （3 分）若菱形两条对角线长分别为 10 和 24，那么此菱形的高为 16． （3 分）观察下列等式： ＝ ； ． ＝ ； ＝
【精品】2015-2016学年湖北省武汉市江汉区八年级(下)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置。
1．（3分）估算的值是（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．（3分）下列计算正确的是（）A．×= B．+=C．=4 D．﹣=3．（3分）已知矩形一边的长为5，另一边的长为4，则它的对角线的长为（）A．3 B． C．4 D．24．（3分）下列式子中，是最简二次根式的是（）A．B． C． D．5．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，增加下列条件后，▱ABCD 不一定是菱形的是（）A．DC=BC B．AC⊥BD C．AB=BD D．∠ADB=∠CDB6．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD 至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B．C．D．7．（3分）下列说法中，不正确的是（）A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为9：40：41的三角形是直角三角形8．（3分）如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）化简：=．10．（3分）二次根式在实数范围内有意义的条件是．11．（3分）若实数x、y满足+=0，则x﹣y的值为．12．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B=3：2，则∠D=度．13．（3分）若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，则BC=．14．（3分）矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为cm．15．（3分）菱形ABCD的对角线AC、BD之比为3：4，其周长为40cm，则菱形ABCD的面积为cm2．16．（3分）下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是（填正确的序号）三、解答题（共5题，共52分）17．（10分）计算：（1）×2（2）2b+﹣．18．（10分）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？19．（10分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？20．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求证：DE∥FC．21．（12分）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，P是CD上一点，BH⊥AP于H，BH=BC=CD（1）求证：∠ABP=45°；（2）若BC=20，PC=12，求AP的长．四、选择题（共2小题，每小题4分，共8分）22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC沿DE 折叠，使点C与点A重合，则AE的长等于（）A．4cm B．cm C．cm D．cm23．（4分）如图所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P 是BC上任一点，PE⊥BD于点E，PE⊥AC于点F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2．其中结论正确的序号是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②④D．①②③④五、填空题（共2小题，每小题4分，共8分）24．（4分）如图，正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1．点P在BD上，则PE与PC的和的最小值为．25．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE ⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为．六、解答题（共3题，共34分）26．（10分）已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°（1）如图1，若E、F分别在AC、BC边上，猜想AE2、BF2和EF2之间有何等量关系，并证明你的猜想；（2）若E、F分别在CA、BC的延长线上，请在图2中画出相应的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立（不作证明）27．（12分）（1）如图1，点P是▱ABCD内的一点，分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，猜想BE、CF、DH三者之间的关系，并证明；（2）如图2，若点P在▱ABCD的外部，△APB的面积为18，△APD的面积为3，求△APC的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，增加条件：AB=BC，∠APC=ABC=90°，设AP、BP分别于CD相交于点M、N，当DM=CN时，=（请直接写出结论）．28．（12分）在平面直角坐标系中，正方形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，等腰Rt△ADE的两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上．（1）如图1，连接OD，求证：△OAD≌△BAE；（2）如图2，连接CD，求证：BE﹣DE=CD；（3）如图3，当图1中的Rt△ADE的顶点D与点B重合时，点E正好落在x轴上，F为线段OC上一动点（不与O、C重合），G为线段AF的中点，若CG⊥GK 交BE于点K时，请问∠KCG的大小是否变化？若不变，请求其值；若改变，求出变化的范围．2015-2016学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置。
湖北省武汉市汉阳区2015-2016学年八年级下学期期中考试数学试题(解析版)
2015-2016学年度第二学期期中考试八年级数学试卷一、选择题（每题3分，共30分） 1. 要使代数式23x -有意义，则x 的 A. 最大值是 B. 最小值是C. 最大值是D. 最小值是【答案】A 【解析】23x -有意义， ∴2−3x ⩾0，解得x ⩽23. 故选A.2. 2(3)3b b -=-，则（ ） A. 3b > B. 3b <C. 3b ≥D. 3b ≤【答案】D 【解析】 【分析】等式左边为非负数，说明右边3b 0-≥，由此可得b 的取值范围． 【详解】解：2(3b)3b -=-，3b 0∴-≥，解得b 3.≤故选D ．()a 0a 0≥()2a a a 0≥． 3. 下列根式中，不能与3合并的是13122723【答案】D 【解析】A.13=3，能与3合并，故A不符合题意；B. 12=23，能与3合并，故B不符合题意；C. 27=33，能与3合并，故C不符合题意；D. 23=63，不能与3合并，故D不符合题意；故选D4. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（）A. 150cm2B. 200cm2C. 225cm2D. 无法计算【答案】C【解析】【分析】小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2＋BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2．AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．【详解】解：正方形ADEC的面积为AC2，正方形BCFG的面积为BC2；在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝15，则AC2＋BC2＝225cm2．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．5. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是有（）A. 三内角之比为3：4：5B. 三边长的平方之比为1：2：3C. 三边长之比为3：4：5D. 三内角比为1：2：3【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【详解】A 、设三个内角的度数为345n n n ，，，根据三角形内角和公式345180n n n ++=︒，求得15n =︒，所以各角分别为45°，60°，75°，故此三角形不是直角三角形； B 、三边符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；C 、设三条边为345n n n ，，，则有()()()222345n n n +=，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形； D 、设三个内角的度数为23n n n ，，，根据三角形内角和公式23180n n n ++=︒，求得30n =︒，所以各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形； 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6. 一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9分米B. 15分米C. 5分米D. 8分米【答案】D 【解析】 如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90°，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，22=24分米，AB BC∴OC=AC−AC=24−4=2分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD−OB=15−7=8分米，故选：D.7. 一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A. 88°，108°，88°B. 88°，104°，108°C. 88°，92°，92°D. 88°，92°，88°【答案】D【解析】【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．【详解】解：当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是平行四边形；当三个内角度数依次是88°，104°，108°时，第四个角是60°，故B不是平行四边形；当三个内角度数依次是88°，92°，92°时，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角，故C不是平行四边形；，当三个内角度数依次是88°，92°，88°时，第四个角是92°，D中满足两组对角分别相等，故D是平行四边形．故选D．【点睛】此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形．8. 数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A. 测量对角线是否互相平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量三个角是否为直角【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理即可选出答案．【详解】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，而不能判定矩形；B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，而不能判定矩形；C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；D、四边形其中的三个角是否都为直角，能判定矩形，故选D．【点睛】本题考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解答本题的关键．9. 如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A. 线段EF的长逐渐增长B. 线段EF的长逐渐减小C. 线段EF的长始终不变D. 线段EF的长与点P的位置有关【答案】C【解析】试题分析：连接AR，根据勾股定理得出AR=22AD DR的长不变，根据三角形的中位线定理得出EF=12AR，即可得出线段EF的长始终不变，故选C．考点：1、矩形性质，2、勾股定理，3、三角形的中位线10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】A. 1B. 3C. 2D. 3 1【答案】B【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK 的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，作点P 关于直线BD 的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′C ，则P ′Q 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点C 重合，CP ′⊥AB 时PK+QK 的值最小， 在Rt △BCP ′中， ∵BC=AB=2，∠B=60°， ∴3sin 232P Q CP BC B ''==⋅=⨯=故选B ． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二、填空题(每题3分，共18分)11. 在实数范围内分解因式23x - = _________【答案】(3)(3)x x +- 【解析】【详解】解:x 2−3=x 2−(3)2=(x+3)(x−3). 故答案为(x+3)(x−3).12. 已知□ABCD 的周长是18，若△ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是______． 【答案】5． 【解析】∵□ABCD 的周长是18， ∴AB+BC=18÷2=9， ∵△ABC 的周长是14， ∴AC=14-（AB+AC ）=5， 故答案为5．13. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为______．【答案】3;【解析】【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△OBF≌△ODE，图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．【详解】根据矩形的性质得△OBF≌△ODE，属于图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．S△ADC=12CD×AD=12×2×3=3.故图中阴影部分的面积是3.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质.14. 如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于_________．【答案】3.5【解析】分析】先求出菱形的边长，继而利用三角形中位线定理进行求解即可．【详解】∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=12AB=12×7=35．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题故答案为3.5．15.已知()1110a b b +---=，且ａ，ｂ为实数 ， 则的值为__________【答案】-2 【解析】由题意得，1−b ⩾0，∴b ⩽1，∴原式可化为()1a 1b 1b 0++--=， 由非负数的性质得，1+a=0，1−b=0， 解得a=−1，b=1，所以a 2015−b 2016=(−1)2015−12016=−1−1=−2. 故答案为-2.16. △ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的面积为______________． 【答案】84或24 【解析】分两种情况考虑：①当△ABC 为锐角三角形时，如图1所示，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°， 在Rt △ABD 中，AB=15，AD=12， 根据勾股定理得：22-AB AD ， 在Rt △ADC 中，AC=13，AD=12， 根据勾股定理得：22AC AD -， ∴BC=BD+DC=9+5=14， 则S △ABC=12BC ⋅AD=84； ②当△ABC 为钝角三角形时，如图2所示，新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB=90°， 在Rt △ABD 中，AB=15，AD=12， 根据勾股定理得：BD=22-AB AD =9， 在Rt △ADC 中，AC=13，AD=12， 根据勾股定理得：DC=22AC AD -=5， ∴BC=BD−DC=9−5=4， 则S △ABC=12BC ⋅AD=24. 综上，△ABC 的面积为24或84. 故答案为24或84.点睛：此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的数学思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键. 三、解答题(共8题，共72分) 17. 计算（1）42818+- （2）112121335÷⨯【答案】(1)原式（2)原式【解析】试题分析：（2）先把各项化为最简二次根式，再合并即可； （2）根据乘除法法则计算即可.试题解析：（1）原式=422232+-=（4+2-3）2=32； （2）原式=112121335÷⨯=437375⨯⨯=45=255. 18. 先化简，再求值其中32,3 2.x y =+=-【答案】原式=2())()x y y xx y x y xy --÷+-（=2())()x y xyx y x y y x-⋅+--（=-xyx y+ 当32,3 2.x y =+=- xy=1,x+y=23 于是原式=3-【解析】试题分析：根据分式的运算性质即可求出答案.试题解析：原式=()()2x y y x x y)x y xy --÷+-（=()()2x y xy x y)x y y x -⋅+--（=xy -x y+，当x 32y 32==，时， xy=1，x+y=23原式=-23=-3. 19. 如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，且AE =CF ， （1）求证 △ADE ≌△CBF ；（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF 是矩形（不用证明）.【答案】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=CB,∠A=∠C又∵AE=CF∴ △ADE ≌△CBF (2)DE ⊥AB(答案不唯一） 【解析】试题分析：（1）由▱ABCD 中，AE=CF ，可利用SAS 判定△ADE ≌△CBF ．（2）由在▱ABCD 中，且AE=CF ，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DEBF 是平行四边形，又由∠DEB=90°，可证得四边形DEBF 是矩形． 试题解析：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=CB ，∠A=∠C ， 在△ADE 和△CBF 中，AD CB A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CBF(SAS).(2)添加∠DEB=90°，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ， ∵AE=CF ， ∴BE=DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵∠DEB=90°， ∴四边形DEBF 是矩形．20. (本题满分8分)如图在10×10的正方形网格中，△ABC 的顶点在边长为1的小正方形的顶点上. （1)计算AC,AB,BC 的长度，并判定△ABC 的形状；(2)若在网格所在的坐标平面内的点A,C 的坐标分别为（0，0），(-1,1).请你在图中找出点D ，使以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的D 点的坐标.【答案】23225△ABC 为直角三角形； (2)（1,5）或（3,3）或（-3，-3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可分别求得AC 、BC 、AB 的长，再利用勾股定理的逆定理可判定△ABC 为直角三角形； （2）分别过A 作BC 的平行线，过B 作AC 的平行线，过C 作AB 的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D ，则可求得答案．【详解】解析：（1）∵小正方形的边长为1，∴221+12223+332222+425 ∴AC 2+BC 2=AB 2， ∴△ABC 为直角三角形；(2)∵A 、C 的坐标分别为(0，0)，(−1，1)， ∴点C 为坐标原点，如图，分别过A 作BC 的平行线，过B 作AC 的平行线，过C 作AB 的平行线，∴满足条件的点D的坐标为(3，3)或(1，5)或(−3，−3).21. （1）以a,b为直角边，c为斜边作两个全等的Rt△ABE与Rt△FCD拼成如图1所示的图形，使B,E,F,C 四点在一条直线上（此时E,F重合），可知△ABE ≌△FCD，AE⊥DF,请你证明：222+=a b c;（2)在（1）中，固定△FCD，再将△ABE沿着BC平移到如图2的位置(此时B,F重合），请你重新证明：222+=a b c.【答案】见详解【解析】试题分析：（1）连接AD，由四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，得出1 2（a+b）2=12ab×2+12c2，即可得出结论；（2）连接AD、DE，四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，得出1 2（a+b）×a=12c2+12b（a-b），即可得出结论．试题解析：（1）连接AD，如图1所示：则四边形ABCD是直角梯形，∴四边形ABCD的面积=12(a+b)(a+b)=12(a+b)2，∵四边形ABCD的面积=△ABE的面积+△FCD的面积+△ADE的面积，即12(a+b)2=12ab×2+12c2，化简得：(a+b)2=2ab+c2，∴a2+b2=c2；（2）连接AD、DE，如图2所示：则四边形ABCD的面积=四边形ABED的面积+△DCE的面积，即12(a+b)×a=12c2+12b(a−b)，化简得：ab+a2=c2+ab−b2，∴a2+b2=c2. 22.(本题满分10分)定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点. （1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=3，MN=5,求BN的长；（2）如图2，在Rt△ABC中，AC=BC，点M，N在斜边AB上， MCN=45º，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点. 【答案】(1)当MN最长时，BN=4; 当BN最长时，34…………4分如图,过点A作AD⊥AB,且AD=BN证△ADC≌△BNC,∴CD=CN,∠ACD=∠BCN,再证：∠MCD=∠BCM,证△M DC≌△MNC,∴MD=MN在Rt△M DA中，∴222+=BN AM MN∴点M，N是线段AB的勾股分割点.…………10分【解析】试题分析：（1）分两种切线利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN．只要证明△ADC≌△BNC，推出CD=CN，∠ACD=∠BCN，再证明△MDC≌△MNC，可得MD=MN，由此即可解决问题.试题解析：（1）当MN最长时，BN=22-=4；MN AM当BN最长时，BN=22+=34；AM AM（2）如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN，∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，∴△ADC≌△BNC，∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，∴∠MCD=∠BCM，∴△MDC≌△MNC，∴MD=MN，在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，∴BN2+AM2=MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.23. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E, ∠BAC=∠CDF.(1）求证BC=2CE；(2）求证AM=DF+ME.【答案】(1)BC= 2CE(2)AM=DF+ME【解析】试题分析：（1）由条件可证得CE=DE，结合菱形的性质可证得BC=2CE；（2）分别延长AB、DF交于点G，可证△CDF≌△BGF，则可证得GF=DF，结合条件可证得AM=GM，MF=ME，则可证得结论．试题解析：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，且BC=CD，∴∠BAC=∠ACD，且∠BAC=∠CDF，∴∠ACD=∠CDF，∴CM=DM，∵ME⊥CD，∴CE=DE，∴BC=CD=2CE；（2）如图，分别延长AB，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠CDF=∠BAC，∴MG=MA，在△CDF和△BGF中，CDF GCFD BFG CF BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF(AAS)，∴GF=DF，在△CEM和△CFM中，CF CEFCM ECM CM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM(SAS)，∴ME=MF，∴AM=GM=GF+MF=DF+ME.点睛：此题考查菱形的性质，掌握菱形的对边平行、四条边都相等以及对角线平分每一组对角是解题的关键.24. 如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=3，AD=4．（1）如图，当∠DAG=30°时，求BE的长；（2）如图，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．【答案】(1)∵四边形ABCD是矩形，新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴∠BAD=90∘，∵∠DAG=30∘，∴∠BAG=60∘由折叠知,∠BAE=12∠BAG=30∘，在Rt△BAE中,∠BAE=30∘，AB=3，∴BE=3(2)如图,连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90∘，∴∠EFG=90∘，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中,EG=EG，EF=EC，∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，∴GF=GC；设GC=x，则AG=3+x，DG=3−x，在Rt△ADG中,42+(3−x)2=(3+x)2，解得x=43 .新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题(3)如图1,由折叠知,∠AFE=∠B=90∘，EF=BE，∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，∴当CF最小时，△CEF的周长最小，∵∠AFE=90∘，∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF=AB=3，在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，∴AC=5，∴CF=AC−AF=2，在Rt△CEF中,.EF2+CF2=CE2，∴BE2+CF2=(4−BE)2，∴BE2+22=(4−BE)2，∴BE=32 .【解析】试题分析：（1）先确定出∠BAE=30°，再利用含30°的直角三角形的性质即可得出结论（2）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证FG=CG，设GC=x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解；（3）先判断出EF⊥AC时，△CEF的周长最小，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠DAG=30°，∴∠BAG=60°由折叠知，∠BAE=12∠BAG=30°，新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题在Rt△BAE中，∠BAE=30°，AB=3，∴BE=3；(2)如图，连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，EG EG EF EC=⎧⎨=⎩，∴Rt△GFE≌Rt△GCE(HL)，∴GF=GC；设GC=x，则AG=3+x，DG=3−x，在Rt△ADG中，42+(3−x)2=(3+x)2，解得x=4 3 .（3）如图1，由折叠知，∠AFE=∠B=90°，EF=BE，∴EF+CE=BE+CE=BC=AD=4，新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题∴当CF最小时，△CEF的周长最小，∵∠AFE=90°，∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，由折叠知，AF=AB=3，在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4，∴AC=5，∴CF=AC−AF=2，在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，∴BE2+CF2=(4−BE)2，∴BE2+22=(4−BE)2，∴BE=3 2 .点睛：此题是四边形综合题，主要考查矩形是性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解决问题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题.新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。
2016-2017年湖北省武汉市汉阳区八年级(下)期中数学试卷(解析版)
24． （12 分）在菱形 ABCD 和等边△BGF 中，∠ABC＝60°，P 是 DF 的中点． （1）如图 1，点 G 在 BC 边上时， ①判断△BDF 的形状，并证明； ②请连接 PB，若 AB＝10，BG＝4，求 PB 的长； （2）如图 2，当点 F 在 AB 的延长线上时，连结 PG、PC．试判断 PC、PG 有怎 样的关系，并给予证明．
A．88°，108°，88° C．88°，92°，92°
6． （3 分）关于平行四边形 ABCD 的叙述，正确的是（ A．若 AB⊥BC，则平行四边形 ABCD 是菱形 B．若 AC⊥BD，则平行四边形 ABCD 是正方形 C．若 AC＝BD，则平行四边形 ABCD 是矩形 D．若 AB＝AD，则平行四边形 ABCD 是正方形
22． （10 分）对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究， 我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形． 定义：在四边形 ABCD 中，若 AB＝AD，BC＝CD，我们把这样四边形 ABCD 称 为筝形 性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质： 从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是 从边看：筝形有两组邻边分别相等； 从角看： 从对角线看： ； ． ；
A．
cm
B．4cm
C． ；
cm ；
D．3cm ； …
9． （3 分） 观察下列式子：
根据此规律，若 A．110 B．164
，则 a2+b2 的值为（ C．179
） D．181
10． （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，点 E 为 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在矩形内点 F 处， 连接 CF， 则 CF 的长为 （ ）
2016-2017学年武汉市硚口区八年级下期中数学试卷(有答案)-精
2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷一、选择題（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤32．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤43．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．D．5，12，134．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B．C．D．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE ＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分別交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是．12．计算：÷＝．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．三、解答题（共8小題，共72分）17．（8分）计算：①；②．18．（8分）计算：①②19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG ⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择題（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，解得a≥3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤4【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可．【解答】解：∵＝4﹣b，∴4﹣b≥0，解得，b≤4，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；B、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵（）2+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝60°，则∠D 的度数是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．30°【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解．【解答】解：∵在平行四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∴∠D ＝180°﹣60°＝120°．故选：C ．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点．5．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得．【解答】解：A 、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B 、4﹣3＝3，此选项错误；C 、×＝，此选项正确；D 、（3）2＝18，此选项错误；故选：C ．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（ ）A ．7米B ．8米C ．9米D ．12米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，頂端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为＝5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故选：C ．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．7．如图，▱ABCD 的顶点坐标分别为A （1，4）、B （1，1）、C （5，2），则点D 的坐标为（ ）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），∴AB＝3，∴点D的坐标为（5，5）．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对边平行且相等．8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B．C．D．【分析】作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据勾股定理求出BA′即可；【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．PA+PB的最小值＝BA′＝＝3，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标用图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个，据此可得．【解答】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个，在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个，在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个，……∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个，故选：B．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个．10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE ＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分別交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【分析】根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题，如图所示；【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是 ±4 ．【分析】根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得x 2＝a ，则x 就是a 的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．计算：÷＝ 3 ．【分析】根据二次根式是除法法则进行计算．【解答】解：原式＝＝＝＝3． 故答案是：3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法．二次根式的除法法则：÷＝（a ≥0，b ＞0）．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为 9 ．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D 为BC 的中点，即BD ＝CD ，在直角三角形ABD 中，已知AB 、BD ，根据勾股定理即可求得AD 的长，即可求三角形ABC 的面积，即可解题．【解答】解：等边三角形高线即中线，故D 为BC 中点，∵AB ＝6，∴BD ＝3，∴AD ＝＝3，∴等边△ABC 的面积＝BC •AD ＝×6×3＝9． 故答案为：9．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD 的值是解题的关键．14．如图，菱形ABCD 的周长为8，对角线BD ＝2，则对角线AC 为 2 ．【分析】设菱形的对角线相交于O，根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，求出OB，根据勾股定理求出OA，即可求出AC．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，∵菱形的周长是8，∴DC＝×8＝2，∵BD＝2，∴OD＝1，在Rt△DOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标（0，）．【分析】先证明EA＝EC（设为x）；根据勾股定理列出x2＝12+（3﹣x）2，求得x＝，即可解决问题．【解答】解：由题意知：∠BAC＝∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA＝∠BAC，∴∠ECA＝∠DAC，∴EA＝EC（设为x）；由题意得：OA＝1，OC＝AB＝3；由勾股定理得：x2＝12+（3﹣x）2，解得：x＝，∴OE＝3﹣＝，∴E点的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（共8小題，共72分）17．（8分）计算：①；②．【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；②根据二次根式的乘法运算法则计算可得．【解答】解：①原式＝3﹣4+2＝；②原式＝＝＝3．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．18．（8分）计算：①②【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可得；②先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得．【解答】解：①原式＝2+6+4+3﹣6＝5+4；②原式＝6×﹣×6＝3﹣15＝﹣12．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混合运算顺序和运算法则．19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？【分析】先设水深为x，则AB＝x，求出x的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵先设水深为x，则AB＝x，BC＝（x+2），∵AC＝6米，在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，即62+x2＝（x+2）2，解得x＝8（米）．答：水深AB为8米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC ＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 2 ．【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，解答即可．【解答】解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2，故答案为：2【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，则DG＝BC，DE∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形；（2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，根据勾股定理的逆定理得：∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM＝FM，由等边对等角可得结论．【解答】证明：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，DG＝BC，同理得：EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，∴OE＝2x，OF＝3x，∵四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝x，∴OE2+OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°，∵点M为EF的中点，∴OM＝MF，∴∠MOF＝∠EFO．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，根据勾股定理求出AA′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）仿照（2）的计算方法解答．【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，a﹣3≥0，3﹣a≥0，∴a＝3，b＝5；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，则AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B，∴∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′＝＝3，∴∠AA′B＝90°，∴A′B＝＝，∴AD＝A′B＝；（3）由（2）得，AA′＝＝n，∴m2﹣2n2＝h2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG ⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．【分析】（1）欲证明BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题；（2）四边形EGFH是矩形．首先证明四边形ECMH是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，推出四边形EGFH是矩形；（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∴由PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD＝45°，可证PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，由∠PBE＝30°，推出PB＝2PE，BE＝a，由BC＝+1，可得a+a＝+1，推出a＝1，再求出FQ、FP即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝FG．（2）结论：四边形EGFH是矩形．理由：如图2中，设FH交CD于M．∵△ABE≌△EGF，∴AB＝EG＝BC，∴BE＝CG＝FG，∵FM∥CG，FG∥CM，∴四边形CMFG是平行四边形，∵GC＝FG，∠MCG＝90°，∴四边形CMFG是正方形，∴CM＝CG＝BE，∵BC＝CD，∴CE＝DM，∵FH∥BC，∴∠DMH＝∠DCB＝90°，∵∠MDH＝45°，∴∠MDH＝∠MHD＝45°，∴DM＝HM＝EC，∵HM∥EC，∴四边形CEHM是平行四边形，∵∠ECM＝90°，∴四边形ECMH是矩形，∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，∴四边形EGFH是矩形．（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD，∴△PCB≌△PCD，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵PE⊥EC，∴∠PCE＝∠EPC＝45°，∴PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，∵∠PBE＝30°，∴PB＝2PE，BE＝a，∵BC＝+1，∴a+a＝+1，∴a＝1，∴PB＝2在Rt△PFB中，∵∠PBF＝30°，∴PF＝1，BF＝，∵BQ＝BQ＝BC＝+1，∴FQ＝1，∴PQ＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2016-2017学年武汉市硚口区八年级下期中数学试卷(有答案)(必备优质)
2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤32．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤43．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．D．5，12，134．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B．C．D．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE ＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分别交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是．12．计算：÷＝．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：①；②．18．（8分）计算：①②19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG ⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，解得a≥3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤4【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可．【解答】解：∵＝4﹣b，∴4﹣b≥0，解得，b≤4，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；B、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵（）2+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得．【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、4﹣3＝3，此选项错误；C、×＝，此选项正确；D、（3）2＝18，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为＝5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），∴AB＝3，∴点D的坐标为（5，5）．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对边平行且相等．8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B．C．D．【分析】作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据勾股定理求出BA′即可；【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．PA+PB的最小值＝BA′＝＝3，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标用图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个，据此可得．【解答】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个，在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个，在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个，……∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个，故选：B．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个．10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE ＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分别交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【分析】根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题，如图所示；【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是±4 ．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．计算：÷＝3．【分析】根据二次根式是除法法则进行计算．【解答】解：原式＝＝＝＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法．二次根式的除法法则：÷＝（a≥0，b＞0）．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为9．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【解答】解：等边三角形高线即中线，故D为BC中点，∵AB＝6，∴BD＝3，∴AD＝＝3，∴等边△ABC的面积＝BC•AD＝×6×3＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为2．【分析】设菱形的对角线相交于O，根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，求出OB，根据勾股定理求出OA，即可求出AC．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，∵菱形的周长是8，∴DC＝×8＝2，∵BD＝2，∴OD＝1，在Rt△DOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标（0，）．【分析】先证明EA＝EC（设为x）；根据勾股定理列出x2＝12+（3﹣x）2，求得x＝，即可解决问题．【解答】解：由题意知：∠BAC＝∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA＝∠BAC，∴∠ECA＝∠DAC，∴EA＝EC（设为x）；由题意得：OA＝1，OC＝AB＝3；由勾股定理得：x2＝12+（3﹣x）2，解得：x＝，∴OE＝3﹣＝，∴E点的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：①；②．【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；②根据二次根式的乘法运算法则计算可得．【解答】解：①原式＝3﹣4+2＝；②原式＝＝＝3．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．18．（8分）计算：①②【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可得；②先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得．【解答】解：①原式＝2+6+4+3﹣6＝5+4；②原式＝6×﹣×6＝3﹣15＝﹣12．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混合运算顺序和运算法则．19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？【分析】先设水深为x，则AB＝x，求出x的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵先设水深为x，则AB＝x，BC＝（x+2），∵AC＝6米，在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，即62+x2＝（x+2）2，解得x＝8（米）．答：水深AB为8米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC ＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 2 ．【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，解答即可．【解答】解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2，故答案为：2【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，则DG＝BC，DE∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形；（2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，根据勾股定理的逆定理得：∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM＝FM，由等边对等角可得结论．【解答】证明：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，DG＝BC，同理得：EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，∴OE＝2x，OF＝3x，∵四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝x，∴OE2+OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°，∵点M为EF的中点，∴OM＝MF，∴∠MOF＝∠EFO．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，根据勾股定理求出AA′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）仿照（2）的计算方法解答．【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，a﹣3≥0，3﹣a≥0，∴a＝3，b＝5；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，则AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B，∴∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′＝＝3，∴∠AA′B＝90°，∴A′B＝＝，∴AD＝A′B＝；（3）由（2）得，AA′＝＝n，∴m2﹣2n2＝h2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG ⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．【分析】（1）欲证明BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题；（2）四边形EGFH是矩形．首先证明四边形ECMH是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，推出四边形EGFH是矩形；（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∴由PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD＝45°，可证PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，由∠PBE＝30°，推出PB＝2PE，BE＝a，由BC＝+1，可得a+a＝+1，推出a＝1，再求出FQ、FP即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝FG．（2）结论：四边形EGFH是矩形．理由：如图2中，设FH交CD于M．∵△ABE≌△EGF，∴AB＝EG＝BC，∴BE＝CG＝FG，∵FM∥CG，FG∥CM，∴四边形CMFG是平行四边形，∵GC＝FG，∠MCG＝90°，∴四边形CMFG是正方形，∴CM＝CG＝BE，∵BC＝CD，∴CE＝DM，∵FH∥BC，∴∠DMH＝∠DCB＝90°，∵∠MDH＝45°，∴∠MDH＝∠MHD＝45°，∴DM＝HM＝EC，∵HM∥EC，∴四边形CEHM是平行四边形，∵∠ECM＝90°，∴四边形ECMH是矩形，∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，∴四边形EGFH是矩形．（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD，∴△PCB≌△PCD，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵PE⊥EC，∴∠PCE＝∠EPC＝45°，∴PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，∵∠PBE＝30°，∴PB＝2PE，BE＝a，∵BC＝+1，∴a+a＝+1，∴a＝1，∴PB＝2在Rt△PFB中，∵∠PBF＝30°，∴PF＝1，BF＝，∵BQ＝BQ＝BC＝+1，∴FQ＝1，∴PQ＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
【精品】2015-2016学年湖北省武汉市黄陂区部分学校八年级(下)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年湖北省武汉市黄陂区部分学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）估计二次根式在整数（）A．0与1之间B．1与2之间C．2与3之间D．3与4之间2．（3分）要使二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥3 B．a≠3 C．a＞3 D．a≤33．（3分）下列计算正确的是（）A．+2=2B．=+C．=2D．×=4．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（3分）如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△BOC的周长是（）A．21 B．22 C．25 D．326．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B． C．D．7．（3分）一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折射处离地面的高度为（）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）A．3尺 B．4尺 C．4.55尺D．5尺8．（3分）下列命题：①两直线平行，内错角相等；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③全等三角形对应角相等；④平行四边形的两组对边分别相等．其逆命题成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（3分）如图，数轴上A表示数﹣2，过数轴上表示1的点B作BC⊥x轴，若BC=2，以A为圆心，AC为半径作圆弧交数轴于点P，那么数轴上点P所表示的数是（）A． B．﹣2 C．﹣3 D．4﹣10．（3分）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）A．5≤a≤12 B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）化简：=．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A（0，0），B（3，0），C（2，2），则顶点D的坐标是．13．（3分）已知等边三角形的边长为2，则该三角形的一边上的高为．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D，E分别为AC，BC 的中点，则DE长．15．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为．16．（3分）如图，将一矩形OBAC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B，C 分别在x轴、y轴上，点A（4，3），点D为线段OC上一动点，将△BOD沿BD 翻折，点O落在点E处，连CE，则CE的最小值为，此时点D的坐标为．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算（1）×÷；（2）10﹣+．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE．求证四边形AECF是平行四边形．19．（8分）已知x=2+，求（7﹣4）x2+（2﹣）x+的值．20．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，AB=6．（1）求∠ABC的度数；（2）求AC的长．21．（8分）如图，正方形网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，图中四条线段的端点均在格点上．（1）平移图中的线段，你能使哪三条线段首尾连接构成一个格点三角形，请画出平移后的图形；（2）判断并说明三角形的形状．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连AF，CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若AB=3，AD=4，求EF的长．23．（10分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接CE，F为CE的中点，DF=EF．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，若AE=AB，过点B作BG⊥CE，垂足为G，连AG．①求∠AGB的度数；②若CD=3DE，则=（直接写出结果）．24．（12分）如图，点A（a，0），B（0，6）分别在x轴、y轴上，且=．（1）求线段AB的长；（2）若点C在线段AB上，D，E分别在线段OA，OB上，且AD=AC，BE=BC．①如图1，若C为AB的中点，连接CD，CE，试判断△CDE的形状并说明理由；②如图2，过点D作DF⊥CD交CE的延长线于点F，若点F（m，﹣m），请求出此时点C的坐标．2015-2016学年湖北省武汉市黄陂区部分学校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）估计二次根式在整数（）A．0与1之间B．1与2之间C．2与3之间D．3与4之间【解答】解：∵12=1，22=4，∴在1与2之间．故选：B．2．（3分）要使二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥3 B．a≠3 C．a＞3 D．a≤3【解答】解：依题意，得a﹣3≥0，解得，a≥3．故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．+2=2B．=+C．=2D．×=【解答】解：A、2与不能合并，所以A选项错误；B、原式=，所以B选项错误；C、原式==，所以C选项错误；D、原式==．故选：D．4．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B：∠C=1：2，∴∠C=×180°=120°，故选：D．5．（3分）如图，在▱ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14，则△BOC的周长是（）A．21 B．22 C．25 D．32【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=8，BD=14，∴AO=OC=4，OD=OB=7，∵BC=10，∴△BOC的周长为BC+OB+OC=10+7+4=21．故选：A．6．（3分）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、=2，故此选项错误；B、无法化简，故此选项正确；C、=，故此选项错误；D、==，故此选项错误；故选：B．7．（3分）一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折射处离地面的高度为（）（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）A．3尺 B．4尺 C．4.55尺D．5尺【解答】解：1丈=10尺，设折射处高地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10﹣x）2解得：x=4.55．答：折射处高地面的高度为4.55尺．故选：C．8．（3分）下列命题：①两直线平行，内错角相等；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③全等三角形对应角相等；④平行四边形的两组对边分别相等．其逆命题成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题；②“对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题为“平行四边形的对角线互相平分”，此逆命题为真命题；③“全等三角形对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，此逆命题为假命题；④“平行四边形的两组对边分别相等”的逆命题为“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”，此逆命题为真命题．故选：C．9．（3分）如图，数轴上A表示数﹣2，过数轴上表示1的点B作BC⊥x轴，若BC=2，以A为圆心，AC为半径作圆弧交数轴于点P，那么数轴上点P所表示的数是（）A． B．﹣2 C．﹣3 D．4﹣【解答】解：∵CA==，∴AC=AP=，∴P到原点的距离是﹣2，且P在原点右侧．∴点P所表示的数是﹣2．故选：B．10．（3分）如图是一个长为4，宽为3，高为12矩形牛奶盒，从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管，吸管在盒内部分a的长度范围是（牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及吸管的粗细均忽略不计）（）A．5≤a≤12 B．12≤a≤3C．12≤a≤4D．12≤a≤13【解答】解：最短距离就是牛奶盒的高度，即最短为12，由题意知：牛奶盒底面对角长为=5，当吸管、牛奶盒的高及底面对角线的长正好构成直角三角形时，插入盒子内的吸管长度最长，则吸管长度为=13，即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）化简：=．【解答】解：原式=3﹣2=．故答案为：．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A（0，0），B（3，0），C（2，2），则顶点D的坐标是（﹣1，2）．【解答】解：过点D作DE⊥OB，交BO的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∵点C（2，2），∴点D的纵坐标为2，∵点A（0，0），点B（3，0），∴AB=3，∴OE=3﹣2=1，∵点D在第二象限，∴点D的横坐标为﹣1，∴点D（﹣1，2），故答案为：（1﹣2）．13．（3分）已知等边三角形的边长为2，则该三角形的一边上的高为．【解答】解：根据等边三角形：三线合一，所以它的高为：=，故答案为．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D，E分别为AC，BC 的中点，则DE长5．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=5，故答案为：5．15．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为15cm2和24cm2的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为12cm2．【解答】解：如图所示：由题意可得：AB==2（cm），BC=BE=（cm），故两个阴影部分面积和为：2（2×）=12（cm2），故答案为：12（cm2）．分别在x轴、y轴上，点A（4，3），点D为线段OC上一动点，将△BOD沿BD 翻折，点O落在点E处，连CE，则CE的最小值为1，此时点D的坐标为（0，）．【解答】解：如图，当C、E、B共线时，EC最小，此时EC=BC﹣BE=BC﹣BO，在RT△OBC中，∵∠BOC=90°，BO=4，OC=3，∴BC===5，∵EC最小值=BC﹣BO=5﹣4=1，设OD=DE=x，在RT△CDE中，∵∠CED=90°，CD=3﹣x，DE=x，CE=1，∴（3﹣x）2=x2+12，∴x=，∴点D坐标为（0，）．故答案分别为1，（0，）．三、解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）计算（1）×÷；（2）10﹣+．=6；（2）原式=2﹣+3=4．18．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE．求证四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴AF∥CE．又∵AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形．19．（8分）已知x=2+，求（7﹣4）x2+（2﹣）x+的值．【解答】解：当x=2+时，原式=（7﹣4）（2+）2+（2﹣）（2+）+=（7﹣4）（7+4）+（2﹣）（2+）+=49﹣48+4﹣3+=2+．20．（8分）如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，AB=6．（1）求∠ABC的度数；（2）求AC的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，∴∠BCD=2∠ACD=60°，∴∠ABC=180°﹣60°=120°；（2）连接BD交AC于点O，则∠AOB=90°，AO=CO，又∵∠ACD=∠BAC=30°，∴在Rt△AOB中，OB=AB=3，∴OA===3，∴AC=6．21．（8分）如图，正方形网格的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，图中四条线段的端点均在格点上．（1）平移图中的线段，你能使哪三条线段首尾连接构成一个格点三角形，请画出平移后的图形；（2）判断并说明三角形的形状．【解答】解：（1）如图，线段②③④首尾连接构成一个三角形，△ABC为所作；（2）△ABC为直角三角形．理由如下：∵AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AC2=32+42=25，而5+20=25，∴AC2+BC2=AC2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连AF，CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）若AB=3，AD=4，求EF的长．【解答】证明：（1）∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠CDB，又AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°，∴AE∥FC，易证△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF，∴四边形AECF为平行四边形；（2）∵AB=3，AD=4，在RT△ABD中，BD==5，由面积法可求得AE=，在RT△ABE中，BE=DF==，∴EF=BD﹣2BE=5﹣=．23．（10分）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接CE，F为CE的中点，DF=EF．（1）求证：四边形ABCD为矩形；①求∠AGB的度数；②若CD=3DE，则=（直接写出结果）．【解答】解：（1）∵F为CE的中点，DF=EF，∴∠ECD=∠FDC，∠CED=∠EDF，∵∠ECD+∠FDC+∠CED+∠EDF=180°，∴∠ADC=∠CDF+∠EDF=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD为矩形；（2）①如图2，过点A作HA⊥AG，交GB的延长线于点H，∴∠BAH+∠BAG=90°，∵∠EAG+∠BAG=90°，∴∠BAH=∠EAG，∵BG⊥CE，∴∠CBG+∠ABG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，∴∠ABG=∠BCG，∵∠BCG+∠DCE=∠DEC+∠DCE=90°，∴∠ABG=∠CED，∴∠ABH=∠AEG，∵AB=AE，∠BAH=∠EAG∴△ABH≌△AEG（ASA），∴AH=AG，∵∠HAG=90°，∴∠AGB=45°；②设DE=x，∵CD=3DE∴CD=3DE=3x，∵∠CDE=90°，∴CE==x，∴sin∠DCE===，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3x，∴AE=AB=3x，∴BC=AD=AE+DE=3x+x=4x，∵BG⊥CE，∴∠CBG+∠BCE=90°，∵∠DCE+∠BCE=90°，∴∠CBG=∠DCE，∴sin∠CBG=sin∠DCE===，∴CG=x，∵CE=x，∴EG=CE﹣CG=x﹣x=x，∴==故答案为．24．（12分）如图，点A（a，0），B（0，6）分别在x轴、y轴上，且=．（1）求线段AB的长；（2）若点C在线段AB上，D，E分别在线段OA，OB上，且AD=AC，BE=BC．②如图2，过点D作DF⊥CD交CE的延长线于点F，若点F（m，﹣m），请求出此时点C的坐标．【解答】解：（1）由=．∴a=8，∴点A（8，0），B（0，6）由勾股可求得AB=；（2）①如图1，过点C作CG⊥OA于G，∵C为AB的中点，AD=AC，BE=BC．∴AD=AC=BE=BC=5，∴OE=1，CG=3，DG=1，OD=3，即OE=DG，OD=CG，又∠CGD=∠EOD=90°，∴△EOD≌△DGC（SAS），∴ED=DC，∠EDO=∠DCG，又∠DCG+∠CDG=90°，∴∠EDO+∠CDG=90°，∴△CDE为等腰直角三角形；②∵AD=AC，BE=BC，∴∠BCE=∠BEC，∠ACD=∠ADC，又∠ABO+∠BAO=90°，∴∠FCD=45°，又∵DF⊥CD，∴△CDF为等腰直角三角形，如图②过点F作FM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，连接OF，OC，易证△FMD≌△DNC（AAS）∴FM=DN，DM=CN，∵F（m，﹣m），∴FM=OM，易证ON=CN，S△AOB=OA×OB=OA×CN+OB×ON=24，即（OA+OB）×ON=24，解得ON=，∴C（，）．。
2016-2017学年武汉市硚口区八年级下期中数学试卷(有答案)-最佳版
2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤32．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤43．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．D．5，12，134．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B．C．D．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE ＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分别交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是．12．计算：÷＝．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：①；②．18．（8分）计算：①②19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG ⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．2016-2017学年湖北省武汉市硚口区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母涂黑．1．若式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a≥3 C．a＜3 D．a≤3【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，解得a≥3．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤4【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可．【解答】解：∵＝4﹣b，∴4﹣b≥0，解得，b≤4，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．3．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．1，1，C．D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求；B、∵12+12＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；C、∵（）2+（）2＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求；D、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求．故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝60°，则∠D的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．30°【分析】根据平行四边形邻角互补的性质即可求解．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，∴∠D＝180°﹣60°＝120°．故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟练掌握平行四边形邻角互补的知识点．5．下列计算正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质与同类二次根式的定义逐一计算可得．【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B、4﹣3＝3，此选项错误；C、×＝，此选项正确；D、（3）2＝18，此选项错误；故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．6．如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木顶端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（）A．7米B．8米C．9米D．12米【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，顶端落在地面离木杆底端3米处，∴折断的部分长为＝5（米），∴折断前高度为5+4＝9（米）．故选：C．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．7．如图，▱ABCD的顶点坐标分别为A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），则点D的坐标为（）A．（5，5）B．（5，6）C．（6，6）D．（5，4）【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵A（1，4）、B（1，1）、C（5，2），∴AB＝3，∴点D的坐标为（5，5）．故选：A．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对边平行且相等．8．如图，A（0，1），B（3，2），点P为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为（）A．3 B．C．D．【分析】作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．根据勾股定理求出BA′即可；【解答】解：作点A关于x轴的对称点A′．连接BA′交x轴于点P，此时PA+PB的值最小．PA+PB的最小值＝BA′＝＝3，故选：B．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标用图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．如图，在正方形网格中用没有刻度的直尺作一组对边长度为的平行四边形．在1×3的正方形网格中最多作2个，在1×4的正方形网格中最多作6个，在1×5的正方形网格中最多作12个，则在1×8的正方形网格中最多可以作（）A．28个B．42个C．21个D．56个【分析】根据已知图形的出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个，据此可得．【解答】解：∵在1×3的正方形网格中最多作2＝2×1个，在1×4的正方形网格中最多作6＝2×（1+2）个，在1×5的正方形网格中最多作12＝2×（1+2+3）个，……∴在1×8的正方形网格中最多作2×（1+2+3+4+5+6）＝42个，故选：B．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出在1×n的正方形网格中最多作2×（1+2+3+…+n﹣2）个．10．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE ＞EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分别交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条【分析】根据对称性以及旋转变换的性质，画出图形即可解决问题，如图所示；【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题3分，共18分11．16的平方根是±4 ．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．12．计算：÷＝3．【分析】根据二次根式是除法法则进行计算．【解答】解：原式＝＝＝＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法．二次根式的除法法则：÷＝（a≥0，b＞0）．13．已知等边三角形的边长为6，则面积为9．【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．【解答】解：等边三角形高线即中线，故D为BC中点，∵AB＝6，∴BD＝3，∴AD＝＝3，∴等边△ABC的面积＝BC•AD＝×6×3＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD的值是解题的关键．14．如图，菱形ABCD的周长为8，对角线BD＝2，则对角线AC为2．【分析】设菱形的对角线相交于O，根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，求出OB，根据勾股定理求出OA，即可求出AC．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OD，AO＝OC，∵菱形的周长是8，∴DC＝×8＝2，∵BD＝2，∴OD＝1，在Rt△DOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等．15．如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标（0，）．【分析】先证明EA＝EC（设为x）；根据勾股定理列出x2＝12+（3﹣x）2，求得x＝，即可解决问题．【解答】解：由题意知：∠BAC＝∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA＝∠BAC，∴∠ECA＝∠DAC，∴EA＝EC（设为x）；由题意得：OA＝1，OC＝AB＝3；由勾股定理得：x2＝12+（3﹣x）2，解得：x＝，∴OE＝3﹣＝，∴E点的坐标为（0，）．故答案为：（0，）．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝5，则BD的长为．【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，由勾股定理得出AC2＝AB2+BC2＝25，求出AC2+CD2＝AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，证出∠ACB＝∠CDM，得出△ABC≌△CMD，由全等三角形的性质求出CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，得出BM＝BC+CM＝7，再由勾股定理求出BD即可．【解答】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝25，∴AC＝5，∵AD＝5，CD＝5，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠CDM，∵∠ABC＝∠M＝90°，在△ABC和△CMD中∴△ABC≌△CMD，∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，∴BM＝BC+CM＝7，∴BD＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握全等三角形的判定与性质，由勾股定理的逆定理证出△ACD是直角三角形是解决问题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）计算：①；②．【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；②根据二次根式的乘法运算法则计算可得．【解答】解：①原式＝3﹣4+2＝；②原式＝＝＝3．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．18．（8分）计算：①②【分析】①先利用完全平方公式和平方差公式计算乘法和乘方，再合并同类二次根式即可得；②先化简各二次根式，再计算乘法，继而合并同类二次根式即可得．【解答】解：①原式＝2+6+4+3﹣6＝5+4；②原式＝6×﹣×6＝3﹣15＝﹣12．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及二次根式混合运算顺序和运算法则．19．（8分）一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，求水的深度（AB）为多少米？【分析】先设水深为x，则AB＝x，求出x的长，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵先设水深为x，则AB＝x，BC＝（x+2），∵AC＝6米，在△ABC中，AB2+AC2＝BC2，即62+x2＝（x+2）2，解得x＝8（米）．答：水深AB为8米．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．（8分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．【分析】根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC ＝AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 2 ．【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，解答即可．【解答】解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2，故答案为：2【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理是解题的关键．22．（10分）如图1，点D、E、F、G分别为线段AB、OB、OC、AC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）如图2，若点M为EF的中点，BE：CF：DG＝2：3：，求证：∠MOF＝∠EFO．【分析】（1）根据中位线定理得：DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，则DG＝BC，DE∥BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形DEFG是平行四边形；（2）先根据已知的比的关系设未知数：设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，根据勾股定理的逆定理得：∠EOF＝90°，最后利用直角三角形斜边中线的性质可得OM＝FM，由等边对等角可得结论．【解答】证明：（1）∵D是AB的中点，G是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG∥BC，DG＝BC，同理得：EF是△OBC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵BE：CF：DG＝2：3：，∴设BE＝2x，CF＝3x，DG＝x，∴OE＝2x，OF＝3x，∵四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝x，∴OE2+OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°，∵点M为EF的中点，∴OM＝MF，∴∠MOF＝∠EFO．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．23．（10分）已知点A为正方形BCDE内一动点，满足∠DAC＝135°，且b＝+5．（1）求a、b的值；（2）如图1，若线段AB＝b，AC＝a，求线段AD的长；（3）如图2，设线段AB＝m，AC＝n，AD＝h，请探究并直接写出三个量m2、n2、h2之间满足的数量关系．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，根据勾股定理求出AA′，求出∠AA′B＝90°，根据勾股定理计算即可；（3）仿照（2）的计算方法解答．【解答】解：（1）由二次根式有意义的条件可知，a﹣3≥0，3﹣a≥0，∴a＝3，b＝5；（2）把△CAD旋转90°得到△CA′B，则AC＝A′C，∠A′CB＝∠ACD，AD＝A′B，∴∠ACA′＝90°，∴∠AA′C＝45°，AA′＝＝3，∴∠AA′B＝90°，∴A′B＝＝，∴AD＝A′B＝；（3）由（2）得，AA′＝＝n，∴m2﹣2n2＝h2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握二次根式的被开方数是非负数、旋转变换的性质是解题的关键．24．（12分）在正方形ABCD中，点E为边BC（不含B点）上的一动点，AE⊥EF，且AE＝EF，FG ⊥BC的延长线于点G．（1）如图1，求证：BE＝FG；（2）如图2，连接BD，过点F作FH∥BC交BD于点H，连接HE，判断四边形EGFH的形状，并给出证明；（3）如图3，点P、Q为正方形ABCD内两点，AB＝BQ，且∠ABQ＝30°，BP平分∠QBC，BP＝DP，若BC＝+1，求线段PQ的长．【分析】（1）欲证明BE＝FG，只要证明△ABE≌△EGF，即可解决问题；（2）四边形EGFH是矩形．首先证明四边形ECMH是矩形，可得∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，推出四边形EGFH是矩形；（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∴由PCB≌△PCD，推出∠PCB＝∠PCD＝45°，可证PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，由∠PBE＝30°，推出PB＝2PE，BE＝a，由BC＝+1，可得a+a＝+1，推出a＝1，再求出FQ、FP即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵FG⊥EG，AE⊥EF，四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠AEF＝∠G＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝FG．（2）结论：四边形EGFH是矩形．理由：如图2中，设FH交CD于M．∵△ABE≌△EGF，∴AB＝EG＝BC，∴BE＝CG＝FG，∵FM∥CG，FG∥CM，∴四边形CMFG是平行四边形，∵GC＝FG，∠MCG＝90°，∴四边形CMFG是正方形，∴CM＝CG＝BE，∵BC＝CD，∴CE＝DM，∵FH∥BC，∴∠DMH＝∠DCB＝90°，∵∠MDH＝45°，∴∠MDH＝∠MHD＝45°，∴DM＝HM＝EC，∵HM∥EC，∴四边形CEHM是平行四边形，∵∠ECM＝90°，∴四边形ECMH是矩形，∴∠FHE＝∠HEG＝∠EGF＝90°，∴四边形EGFH是矩形．（3）如图3中，连接PC，作PE⊥BC于E，PF⊥BQ于F．∵PB＝PD，PC＝PC，BC＝CD，∴△PCB≌△PCD，∴∠PCB＝∠PCD＝45°，∵PE⊥EC，∴∠PCE＝∠EPC＝45°，∴PE＝EC，设PE＝EC＝a，在Rt△PEB中，∵∠PBE＝30°，∴PB＝2PE，BE＝a，∵BC＝+1，∴a+a＝+1，∴a＝1，∴PB＝2在Rt△PFB中，∵∠PBF＝30°，∴PF＝1，BF＝，∵BQ＝BQ＝BC＝+1，∴FQ＝1，∴PQ＝＝．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
武汉市中考数学试卷解析版精编版
2016年武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．实数2的值在（ ） A ．0和1之间 B ．1和2之间 C ．2和3之间 D ．3和4之间【考点】有理数的估计【答案】B【解析】∵1＜2＜4，∴124＜＜，∴122＜＜.2．若代数式在31-x 实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＜3 B ．x ＞3 C ．x ≠3 D ．x ＝3【考点】分式有意义的条件【答案】C 【解析】要使31-x 有意义，则x －3≠0，∴x ≠3 故选C.3．下列计算中正确的是（ ）A ．a ·a 2＝a 2B ．2a ·a ＝2a 2C ．(2a 2)2＝2a 4D ．6a 8÷3a 2＝2a 4 【考点】幂的运算 【答案】B【解析】A ． a ·a 2＝a 3，此选项错误；B ．2a ·a ＝2a 2，此选项正确；C ．(2a 2)2＝4a 4，此选项错误；D ．6a 8÷3a 2＝2a 6，此选项错误。
4．不透明的袋子中装有性状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A ．摸出的是3个白球B ．摸出的是3个黑球C ．摸出的是2个白球、1个黑球D ．摸出的是2个黑球、1个白球【考点】不可能事件的概率 【答案】A【解析】∵袋子中有4个黑球，2个白球，∴摸出的黑球个数不能大于4个，摸出白球的个数不能大于2个。
A 选项摸出的白球的个数是3个，超过2个，是不可能事件。
故答案为：A5．运用乘法公式计算(x ＋3)2的结果是（ ）A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9【考点】完全平方公式【答案】C【解析】运用完全平方公式，(x＋3)2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9．故答案为：C6．已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（）A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1【考点】关于原点对称的点的坐标．【答案】D【解析】关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数．∵点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，∴a＝－5，b＝－1，故选D．7．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）【考点】简单几何体的三视图．【答案】A【解析】从左面看，上面看到的是长方形，下面看到的也是长方形，且两个长方形一样大．故选A8．某车间20名工人日加工零件数如下表所示：日加工零件数 4 5 6 7 8人数 2 6 5 4 3这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（）A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6【考点】众数；加权平均数；中位数．根据众数、平均数、中位数的定义分别进行解答．【答案】D【解析】5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；把这些数从小到大排列，中位数是第10，11个数的平均数，则中位数是（6＋6）÷2＝6；平均数是：（4×2＋5×6＋6×5＋7×4＋8×3）÷20＝6；故选D．9．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝22，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）A．π2B．πC．22D．2【考点】轨迹，等腰直角三角形【答案】B【解析】取AB的中点E，取CE的中点F，连接PE，CE，MF，则FM＝12PE＝1，故M的轨迹为以F为圆心，1为半径的半圆弧，轨迹长为1212ππ⋅⋅=.10．平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。
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2015-2016学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置。
1．估算的值是（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．下列计算正确的是（）A．×= B． += C．=4D．﹣=3．已知矩形一边的长为5，另一边的长为4，则它的对角线的长为（）A．3 B． C．4 D．24．下列式子中，是最简二次根式的是（）A．B． C． D．5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，增加下列条件后，▱ABCD不一定是菱形的是（）A．DC=BC B．AC⊥BD C．AB=BD D．∠ADB=∠CDB6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B．C．D．7．下列说法中，不正确的是（）A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为9：40：41的三角形是直角三角形8．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．化简：=．10．二次根式在实数范围内有意义的条件是．11．若实数x、y满足+=0，则x﹣y的值为．12．在▱ABCD中，∠A：∠B=3：2，则∠D=度．13．若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，则BC=．14．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为cm．15．菱形ABCD的对角线AC、BD之比为3：4，其周长为40cm，则菱形ABCD 的面积为cm2．16．下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是（填正确的序号）三、解答题（共5题，共52分）17．（10分）计算：（1）×2（2）2b+﹣．18．（10分）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？19．（10分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？20．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求证：DE∥FC．21．（12分）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，P是CD上一点，BH⊥AP于H，BH=BC=CD（1）求证：∠ABP=45°；（2）若BC=20，PC=12，求AP的长．四、选择题（共2小题，每小题4分，共8分）22．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，则AE的长等于（）A．4cm B．cm C．cm D．cm23．（4分）如图所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一点，PE⊥BD于点E，PE⊥AC于点F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2．其中结论正确的序号是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②④D．①②③④五、填空题（共2小题，每小题4分，共8分）24．（4分）如图，正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1．点P在BD上，则PE与PC的和的最小值为．25．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为．六、解答题（共3题，共34分）26．（10分）已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°（1）如图1，若E、F分别在AC、BC边上，猜想AE2、BF2和EF2之间有何等量关系，并证明你的猜想；（2）若E、F分别在CA、BC的延长线上，请在图2中画出相应的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立（不作证明）27．（12分）（1）如图1，点P是▱ABCD内的一点，分别过点B、C、D作AP 的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，猜想BE、CF、DH三者之间的关系，并证明；（2）如图2，若点P在▱ABCD的外部，△APB的面积为18，△APD的面积为3，求△APC的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，增加条件：AB=BC，∠APC=ABC=90°，设AP、BP分别于CD相交于点M、N，当DM=CN时，=（请直接写出结论）．28．（12分）在平面直角坐标系中，正方形OABC的两边OA、OC分别落在x 轴、y轴的正半轴上，等腰Rt△ADE的两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上．（1）如图1，连接OD，求证：△OAD≌△BAE；（2）如图2，连接CD，求证：BE﹣DE=CD；（3）如图3，当图1中的Rt△ADE的顶点D与点B重合时，点E正好落在x轴上，F为线段OC上一动点（不与O、C重合），G为线段AF的中点，若CG⊥GK 交BE于点K时，请问∠KCG的大小是否变化？若不变，请求其值；若改变，求出变化的范围．2015-2016学年湖北省武汉市江汉区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）下面每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请把正确选项前的代号填在答卷指定位置。
1．估算的值是（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【分析】根据，可以估算出所在的范围．【解答】解：∵，∴，故选B．【点评】本题考查估计无理数的大小，解题的关键是会估算无理数的大小．2．下列计算正确的是（）A．×= B． += C．=4D．﹣=【考点】二次根式的混合运算．【分析】分别利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则化简分析得出即可．【解答】解：A、×=，正确；B、+无法计算，故此选项错误；C、=2，故此选项错误；D、﹣=2﹣，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的运算法则是解题关键．3．已知矩形一边的长为5，另一边的长为4，则它的对角线的长为（）A．3 B． C．4 D．2【考点】矩形的性质．【分析】由矩形的性质得出AC=BD，∠ABC=90°，由勾股定理求出AC即可．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ABC=90°，∵AB=4，BC=5，∴BD=AC===；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AC是解决问题的关键．4．下列式子中，是最简二次根式的是（）A．B． C． D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；B、=x，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；D、=3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故选C．【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．5．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，增加下列条件后，▱ABCD不一定是菱形的是（）A．DC=BC B．AC⊥BD C．AB=BD D．∠ADB=∠CDB【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据菱形的判定，在平行四边形的基础上，一组邻边相等，对角线互相垂直均可得到其为菱形．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，要是其成为一菱形，C中对角线和邻边相等不能满足条件，C错误，而A、B、D均可使在四边形是平行四边形的基础上满足其为菱形．故选C．【点评】考查了菱形的判定，熟练掌握菱形平分垂直相等的性质及判定是解答本题的关键，难度中等．6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．B．C．D．【考点】正方形的性质；勾股定理．【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE=DG，可以求出DE，进而得到DG的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，∴DM=AD=DC=1，∴CM==，∴ME=MC=，∵ED=EM﹣DM=﹣1，∵四边形EDGF是正方形，∴DG=DE=﹣1．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目．7．下列说法中，不正确的是（）A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形D．三边长度之比为9：40：41的三角形是直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】对所给的每个选项逐一判断、解析，可以发现选项B符合题意．【解答】解：若该三角形的三个角度数之比为3：4：5，则三个角的度数分别为：=45°，=60°，180°﹣45°﹣60°=75°，故该三角形不是直角三角形．故选B．【点评】该题主要考查了三角形的内角和定理及其应用问题；牢固掌握三角形的内角和定理是解题的关键．8．如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【考点】菱形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出∠ADC=∠B=70°，从而得出∠AED=∠ADE．又因为AD∥BC，故∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠AED，易得解．【解答】解：根据菱形的对角相等得∠ADC=∠B=70°．∵AD=AB=AE，∴∠AED=∠ADE．根据折叠得∠AEB=∠B=70°．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAE）÷2=55°．∴∠EDC=70°﹣55°=15°．故选B．【点评】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．化简：=．【考点】二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=3﹣2=．故答案为：．【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．10．二次根式在实数范围内有意义的条件是x≥3．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案是：x≥3．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．11．若实数x、y满足+=0，则x﹣y的值为3．【考点】非负数的性质：算术平方根．【分析】根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后将代数式化简再代值计算．【解答】解：∵ +=0，∴x﹣1=0，y+2=0，∴x=1，y=﹣2，∴x﹣y=3，故答案为：3．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．12．在▱ABCD中，∠A：∠B=3：2，则∠D=72度．【考点】平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD∥BC，∠C=∠A，又由平行线的性质与∠A：∠B=3：2，即可求得∠A的度数，继而可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠C=∠A，∴∠A+∠B=180°，∵∠A：∠B=3：2，∴∠A=108°，∴∠D=180°﹣108°=72°．故答案为：72．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，注意数形结合思想的应用．13．若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，则BC=．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即BC2+AC2=AB2，结合AC=3，AB=4，可求出另一条直角边BC的长度．【解答】解：在直角△ABC中，∵∠C=90°，∴AB为斜边，则BC2+AC2=AB2，又∵AB=4，AC=3，则BC==．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理的知识，属于基础题目，像这类直接考查定义的题目，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．14．矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为12cm，则对角线长为24 cm．【考点】矩形的性质．【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可．【解答】解：如图：AB=12cm，∠AOB=60°．∵四边形是矩形，AC，BD是对角线．∴OA=OB=OD=OC=BD=AC．在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°．∴OA=OB=AB=12cm，BD=2OB=2×12=24cm．故答案为：24．【点评】矩形的两对角线所夹的角为60°，那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形．本题比较简单，根据矩形的性质解答即可．15．菱形ABCD的对角线AC、BD之比为3：4，其周长为40cm，则菱形ABCD 的面积为96cm2．【考点】菱形的性质．【分析】根据题意画出图形，由菱形ABCD的周长为40cm求出其边长，再由角线AC、BD之比为3：4可设OA=3x，则OB=4x，根据勾股定理求出x的值，进而可得出AC及BD的长，根据菱形的面积公式即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵菱形ABCD的周长为40cm，∴AB=10cm．∵角线AC、BD之比为3：4，∴设OA=3x，则OB=4x．∵OA2+OB2=AB2，即（3x）2+（4x）2=102，解得x=2，∴OA=6，OB=8，∴AC=2OA=12，BD=2OB=16，=×12×16=96cm2．∴S菱形ABCD故答案为：96．【点评】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直平分是解答此题的关键．16．下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是①③（填正确的序号）【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别相等且平行，故①说法正确；根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得②说法错误；根据菱形的性质：菱形对角线互相垂直可得③正确；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得④错误．【解答】解：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等，说法正确；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误；③菱形的对角线互相垂直，说法正确；④对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；正确的说法是①③，故答案为：①③．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及菱形的性质和判定，关键是掌握平行四边形的性质和判定定理，菱形的性质和判定定理．三、解答题（共5题，共52分）17．（10分）（2016春•江汉区期中）计算：（1）×2（2）2b+﹣．【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）根据二次根式的乘法进行计算并化简即可解答本题；（2）根据式子可知a、b同号，故分两种情况进行计算即可解答本题．【解答】解：（1）×2==；（2）2b+﹣∵由式子可知，a、b同号，∴当a＞0，b＞0时，原式==2；当a＜0，b＜0时，原式==．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法，注意第（2）小题应分两种情况计算．18．（10分）（2013春•东丰县期末）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？【考点】勾股定理的应用；方向角．【分析】根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．【解答】解：根据题意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，∴∠QPR=90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，即“海天”号沿西北方向航行．【点评】此题主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形．19．（10分）（2016春•江汉区期中）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD 的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．那么OE与OF是否相等？为什么？【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】根据平行四边形的性质得OB=OD，根据BE⊥AC，DF⊥AC得∠OFD=∠OEB，结合对顶角相等得△OFD≌△OEB，从而证明OE=OF．【解答】证明：OE=OF．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD．又∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠OFD=∠OEB．又∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF．∴OE=OF．【点评】此题综合运用了平行四边形的性质和全等三角形的判定，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键．20．（10分）（2016春•江汉区期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求证：DE∥FC．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．【分析】首先由四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可证得△BCF≌△DCE，再延长BF交DE 于H，由△BCF≌△DCE，根据全等三角形的对应边相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的对应角相等，易求得∠CDE+∠2=90°，则可得BF⊥DE，再根据由BC=5，CF=3，∠BFC=90°，利用勾股定理即可求得BF的长，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的长，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，进而证明DE∥FC．【解答】证明：延长BF交DE于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD，∴∠BCF+∠FCD=90°，∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，∴∠ECD+∠FCD=90°，∴∠BCF=∠ECD．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），延长BF交DE于H，∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2，∴∠2+∠CDE=90°，∴∠DHF=90°，∴BF⊥DE，在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，∴BF==4．∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．∴DE∥FC．【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21．（12分）（2016春•江汉区期中）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，P是CD上一点，BH⊥AP于H，BH=BC=CD（1）求证：∠ABP=45°；（2）若BC=20，PC=12，求AP的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）如图，作BE⊥DA于E，只要证明△ABE≌△ABH，△PBH≌△PBC，推出∠ABE=∠ABH，∠PBH=∠PBC，由∠EBC=90°，推出2∠ABH+2∠PBH=90°，由此即可证明．（2）首先证明AP=AE+PC，设PA=x，在Rt△ADP中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．【解答】（1）证明：如图，作BE⊥DA于E，∵AD∥BC，∠C=90°，∴∠C+∠D=180°，∴∠D=∠C=∠E=90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BE=CD=BC=BH，∵BH⊥AP，∴∠AHB=∠BHP=90°，在Rt△ABE和Rt△ABH中，，∴△ABE≌△ABH，∴∠ABE=∠ABH，同理可证△PBH≌△PBC，∴∠PBH=∠PBC，∵∠EBC=90°，∴2∠ABH+2∠PBH=90°，∴∠ABH+∠PBH=45°，∴∠ABP=45°．（2）由（1）可知，四边形BCDE是矩形，∵BC=CD，∴四边形BCDE是正方形，∴BC=CD=DE=BE=20，∵△ABE≌△ABH，△PBH≌△PBC，∴AE=AH，PC=PH，∴AP=AE+PC，设AP=x，则AE=x﹣12，AD=20﹣（x﹣12）=32﹣x，PD=8，在Rt△ADP中，∵AD2+DP2=AP2，∴（32﹣x）2+82=x2，∴x=17，∴AP=17．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．四、选择题（共2小题，每小题4分，共8分）22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，则AE的长等于（）A．4cm B．cm C．cm D．cm【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】设AE=xcm，根据勾股定理求出BC，用x表示出BE，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设AE=xcm，由翻折变换的性质可知，EC=xcm，∵∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，∴BC==4cm，∴BE=BC﹣CE=（4﹣x）cm，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，即x2=32+（4﹣x）2，解得，x=，故选：C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．23．如图所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P是BC 上任一点，PE⊥BD于点E，PE⊥AC于点F，下列结论：①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2．其中结论正确的序号是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②④D．①②③④【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADB=∠C+∠DBC，然后求出∠C=∠DBC，再根据等角对等边可得DC=DB，从而判断①正确；没有条件说明∠C的度数，判断出②错误；连接PD，利用△BCD的面积列式求解即可得到PE+PF=AB，判断出③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，然后求出四边形ABGF是矩形，根据矩形的对边相等可得AF=BG，根据然后利用“角角边”证明△BPE和△BPG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=BE，再利用勾股定理列式求解即可判断④正确．【解答】解：在△BCD中，∠ADB=∠C+∠DBC，∵∠ADB=2∠C，∴∠C=∠DBC，∴DC=DB，∴△DBC是等腰三角形，故①正确；无法说明∠C=30°，故②错误；=BD•PE+DC•PF=DC•AB，连接PD，则S△BCD∴PE+PF=AB，故③正确；过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，则∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，∴∠PBG=∠DBC，四边形ABGF是矩形，∴AF=BG，在△BPE和△BPG中，，∴△BPE≌△BPG（AAS），∴BG=BE，∴AF=BE，在Rt△PBE中，PE2+BE2=BP2，即PE2+AF2=BP2，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出矩形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．五、填空题（共2小题，每小题4分，共8分）24．如图，正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1．点P在BD上，则PE与PC的和的最小值为．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，故AE的长即为PE+PC的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．【解答】解：连接AC、AE，∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于直线BD对称，∴AE的长即为PE+PC的最小值，∵BE=2，CE=1，∴BC=AB=2+1=3，在Rt△ABE中，∵AE===，∴PE与PC的和的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．25．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD 于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，BG=5，则CF的长为5．【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，即GF=5．故答案是：5．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．六、解答题（共3题，共34分）26．（10分）（2016春•江汉区期中）已知△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∠EDF=90°（1）如图1，若E、F分别在AC、BC边上，猜想AE2、BF2和EF2之间有何等量关系，并证明你的猜想；（2）若E、F分别在CA、BC的延长线上，请在图2中画出相应的图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立（不作证明）【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）结论：AE2+BF2=EF2．如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．首先证明△ADM≌△BDF，得到AM=FB，再证明△AEM是直角三角形，理由勾股定理即可解决问题．（2）结论不变，证明方法类似．【解答】（1）结论：AE2+BF2=EF2．理由：如图1中，延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．在△ADM和△BDF中，，∴△ADM≌△BDF，∴AM=BF，∠B=∠MAD，∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=90°，∵∠EDF=90°，∴ED⊥FM，∵DM=DF，∴EM=EF，在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2，∴AE2+BF2=EF2．（2）如图2中，结论不变．AE2+BF2=EF2理由：延长FD到M，使得DM=DF，连接AM，EM．在△ADM和△BDF中，，∴△ADM≌△BDF，∴AM=BF，∠B=∠MAD，∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∴∠CAB+∠MAD=90°，即∠EAM=∠CAM=90°，∵∠EDF=90°，∴ED⊥FM，∵DM=DF，∴EM=EF，在Rt△AEM中，∵AE2+AM2=EM2，∴AE2+BF2=EF2．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．27．（12分）（2016春•江汉区期中）（1）如图1，点P是▱ABCD内的一点，分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，猜想BE、CF、DH三者之间的关系，并证明；（2）如图2，若点P在▱ABCD的外部，△APB的面积为18，△APD的面积为3，求△APC的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，增加条件：AB=BC，∠APC=ABC=90°，设AP、BP分别于CD相交于点M、N，当DM=CN时，=（请直接写出结论）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）过C作CG⊥BE于G，延长BC交AF于Q，得到四边形CGEF是矩形，由矩形的性质得到EG=CF，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，推出△ADH≌△BCG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）分别过点B、C、D作AP的垂线BE、CF、DH，垂足分别为E、F、H，由（1）知BE=DH+CF，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（3）过B作BE⊥AP于E，连接AC，推出四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质得到∠DCA=∠CAB=45°，通过全等三角形得到AM=BN，∠AMD=∠BNC，推出A，C，P，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠DPA=∠ACD=45°，根据全等三角形的性质得到∠CPN=∠DPM=45°，证得△BPE是等腰直角三角形，得到PB=PA=BE，根据三角形的面积列方程得到BE=3，根据三角函数的定义得到==，即可得到结论．【解答】解：（1）过C 作CG ⊥BE 于G ，延长BC 交AF 于Q ，∵CF ⊥AC ，BE ⊥AC ，∴四边形CGEF 是矩形，∴EG=CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠DAH=∠Q ，∵CG ∥AF ，∴∠G=∠BCG ，∴∠DAH=∠BCG ，在△ADH 与△BCG 中，，∴△ADH ≌△BCG ，∴DH=BG ，∴BE=BG +EG=DH +CF ；（2）分别过点B 、C 、D 作AP 的垂线BE 、CF 、DH ，垂足分别为E 、F 、H ， 由（1）知BE=DH +CF ，∵S △ADP =AP•DH ，S △ABP =AP•BE ，S △ACP =AP•CF ，∴S △ADP +S △ACP =AP （DH +CF ）=AP•BE=S △ABP ，∵△APB 的面积为18，△APD 的面积为3，∴S △APC =15；（3）过B 作BE ⊥AP 于E ，连接AC ，∵AB=BC ，∠ABC=90°，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DCA=∠CAB=45°，在△ADM与△BCN中，，∴△ADM≌△BCN，∴AM=BN，∠AMD=∠BNC，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN，∴AP=BP，∵∠ADC=∠APC=90°，∴A，C，P，D四点共圆，∴∠DPA=∠ACD=45°，在△PDM与△PCN中，，∴△PDM≌△PCN，∴∠CPN=∠DPM=45°，∴∠APB=45°，∴△BPE是等腰直角三角形，∴PB=PA=BE，=AP•BE=×BE•BE=18，∵S△ABP∴BE=3，∴AP=6，∵AP•PC=30，∴PC=，∵∠PDC=∠PCD=∠PAC，∴tan∠PCM=tan∠PAC===，∴=．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．（12分）（2016春•江汉区期中）在平面直角坐标系中，正方形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，等腰Rt△ADE的两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上．（1）如图1，连接OD，求证：△OAD≌△BAE；（2）如图2，连接CD，求证：BE﹣DE=CD；（3）如图3，当图1中的Rt△ADE的顶点D与点B重合时，点E正好落在x轴上，F为线段OC上一动点（不与O、C重合），G为线段AF的中点，若CG⊥GK 交BE于点K时，请问∠KCG的大小是否变化？若不变，请求其值；若改变，求出变化的范围．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用同角的余角相等可得∠BAD=∠EAF，由此得∠OAD=∠BAE，根据SAS证明△OAD≌△BAE；（2）作辅助线构建正方形ANDM和等腰直角三角形CFD，把所求CD转化为CF，证CF=OM，由（1）中的全等可知∠ODA=∠BEA=45°，证明∠ODC=45°，推出CF与CD的关系，利用直角三角形斜边中线和正方形的性质求出BE﹣DE的值为OM，得出结论；（3）作辅助线构建正方形BMKN和全等三角形，首先利用全等证明CG=QG，由线段垂直平分线性质得KC=KQ，证明Rt△CNK≌Rt△QMK，得∠CKN=∠QKM，可知∠CKQ=90°，得△KCQ是等腰直角三角形，因此得出结论：∠KCG的大小不变，等于45°．【解答】证明：（1）如图1，在正方形ABCO中，∵∠BAF=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠EAF，∴∠BAD+∠OAB=∠EAF+∠BAF，即∠OAD=∠BAE，∵AB=AO，AD=AE，∴△OAD≌△BAE；（2）如图2，设CD与AB的交点为P，过C作CF⊥OD于F，过A作AN⊥DE于N，AM⊥OD于M，∵等腰Rt△ADE，AD=AE，∴AN=DN=DE，∴四边形ANDM是正方形，。