A5.4 正交变换与二次型的标准形
正交变化法化二次型为标准型
问题3： 二次型能否化为标准形？
能！因为任意实对称阵都与对角阵正交合同。
定理2 对实二次型 f X T AX ,总有正交变换X QY , 使 f X T AX (QY )T A(QY ) Y T (QT AQ)Y Y T Y
1 y12 2 y22 n yn2.
1
,
1
,
n
, n为 f 的矩阵 A的特征值。
f XT AX (QY )T A(QY ) YT (QT AQ)Y YT Y.
例 用正交变换法将二次型 f (x1, x2, x3) 2x12 x22 4x1x 2 4x2 x3 化为标准形，并求出所用的正交变换矩阵.
2 2 0
二次型的矩阵为A
2
1 2,
0 2 0
2 2 0
性
(无vi1)关,将i的2上, 特面,征求iri向(得i量的1,正i21,,交i2,,单m)位，,向i它ri (量i们作仍1, 2为为, 列属,向m于)量先i的，正特排交征成化向一再量单个。位n 阶化方为阵
Q，则Q即为所求的正交方阵。此时Q1 AQ QT AQ 为对角阵。
(vi)作正交变换X QY , 即可将二次型化为标准形
Q，则Q即为所求的正交方阵。此时Q1 AQ QT AQ 为对角阵。
(vi)作正交变换X QY , 即可将二次型化为标准形
f XT AX (QY )T A(QY ) YT (QT AQ)Y YT Y.
(i)写出二次型的矩阵 A；
(ii)求出A的所有相异的特征值1,2, , m;
(iii)对每一个重特征值i，求出对应的ri个线性无关的特征向
量
m
i1,i2 , , iri (i 1, 2, , m),由性质知 ri n.
二次型化为标准型.
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
得
2 2 2 f 2 z1 2z2 6z3 .
Page 15
2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
其中1 , 2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值 .
Page 3
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
2. 求出A的所有特征值 1 , 2 ,, n ; 3. 求出对应于特征值的特 征向量1 , 2 ,, n ;
Page 12
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 1
C
1 0.
Page 13
例3 化二次型
4. 将特征向量 1 , 2 ,, n正交化, 单位化, 得
1 , 2 ,, n , 记C 1 , 2 ,, n ;
2 2 f 1 y1 n yn .
5. 作正交变换x Cy , 则得f的标准形
Page 4
例1 将二次型
2 2 2 f 17 x1 14 x2 14 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
Page 8
二、拉格朗日配方法的具体步骤
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
线性代数 用正交变换法换二次型为标准型.ppt
X1 CY1, X2 CY2时， X1, X2 Y1,Y2
③线性变换X=CY把Rn中的标准正交基变成标准正交基.
证明（循环证明过程）：
(1) (2) : 因为X=CY为正交变换，故矩阵C为正交矩阵
当 1 时， I A X 0 的基础解系 2 0,1,1T
当 1 时， I A X 0 的基础解系 3 0,1,1T
1,2 ,3 两两相互正交，单位化得
1 1,0,0T
2
1 0,1,1T
2
3
1 0,1,1T
2
令正交矩阵C
1
C 0
0 1
0 1
0
则正交变换为X=CY
2 2
1 2
1 2
故结论成立. 定理：对n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵C，使
1
CT
AC
C 1 AC
2
成立.
n
证明：（利用数学归纳法+标准正交向量组的性质）
详见课本179-180证明过程。
注：实对称阵一定有n个标准正交的特征向量。
上述定理的等价描述：
定理（主轴定理）：实二次型 f X T AX 必可由正交
0 2 λ-1 2 0 0 0 λ+1
11
1
1 2 0 1 2
0 2 1
(1 )2 (2 2 3) (1 )2 ( 3)( 1) 0
得A的特征值 1 3,2,3,4 1
3）当 3 时，特征向量为 1 1,1,1,1T
对其单位化
1
1 2
1, 1, 1,1T
用正交变换化二次型为标准型
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二 次 型 ｆ = X Ｔ Ａ Ｘ 能 用 正 交 变 换 X = P Y 化 成 标 准 型
f=1 y 1 2+2 y 2 2+ L +n y n 2= Y T Y
c
关于对称矩阵A,求一个正交矩阵P,使
1
PT AP = P-1AP = =
2
O
n
那么，这个P 存在吗？
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一、正交矩阵与正交变换
正交变换的概念
定义2 设P为n阶正交矩阵，X,Y是都是n维向量，称线性变换
为正交变换.
X＝PY
正交变换的性质 性质1 正交变换是可逆线性变换； 性质2 正交变换不改变向量的内积. 证明：因为 (X,X)=(PY,PY)=(PY)T(PY)=YTPTPY =YT(PTP)Y= Y T Y = (Y ,Y ).
b1=a1=(1, 1, 1, 1)T
b2 =a2 -（ （ab12， ，bb11） ）b1
=(3, 3, -1, -1)T - 4 (1, 1, 1, 1)T =(2, 2, -2, -2)T
4
（ a， b）（ a， b）
b3 =a3-（ b3， b1） b1-（ b3， b2） b2
11
2
2
= ( - 2 , 0 , 6 , 8 ) - T 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 2 ) T - - 3 ( 2 , 2 , - 2 , - 2 2 ) T 4 16
解: 二次型的 f 系数矩阵为
3 -2 -4
A
=
-
2
6
-2
,
-4 -2 3
第五章二节二次型的标准形和规范形
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中的一个重要问题，其结果对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。
在实际应用中，常会遇到需要将二次型化为标准形的情况。
化二次型为标准形的方法有很多种，而每种方法都有其适用的范围和特点。
本文将对几种常见的方法进行比较及技巧的介绍，希望能够为读者加深对化二次型为标准形的理解和掌握提供帮助。
方法一：配方法配方法是化二次型为标准形的经典方法之一。
其基本思想是将二次型中的平方项进行配方，从而将二次型转化为标准形。
下面以一个简单的例子进行介绍。
假设有二次型Q(x1, x2) = 3x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2，我们希望将其化为标准形。
我们可以将二次型写成矩阵的形式：Q(x) = x^TAX，其中A是一个对称矩阵，其元素为二次型的系数。
对于这个例子，A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}。
接下来，我们使用配方法，即将4x1x2进行配方处理。
我们可以观察到4x1x2 = 2(2x1x2) = 2(x1x2 + x1x2)，然后我们引入一个新的变量y = x1 + x2，并进行代换：3x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2 = 3x1^2 + 2(x1x2 + x1x2) + 5x2^2 = 3x1^2 + 2yx + 2xy + 5x2^2进一步，我们可以将式子改写为：此时，我们可以观察到每一项都可以进行配方处理，从而得到标准形。
通过这个例子，我们可以看到，配方法的关键在于巧妙地利用代换和配方来将二次型化为标准形。
在实际应用中，配方法通常适用于对称矩阵，且二次型的系数较为简单的情况下。
读者在应用配方法时，需要灵活运用代换和配方的技巧，确定合适的替换变量，并进行得当的计算，从而将二次型化为标准形。
方法二：特征值分解接下来，我们对对称矩阵A进行特征值分解：A = PDP^-1，其中P是A的特征向量矩阵，D是A的特征值对角矩阵。
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤(精)课件
二次型在物理学中有广泛应用 ，如描述物体运动轨迹、弹性 形变等。
在经济学中，二次型可以用来 描述成本、收益等函数关系， 帮助企业制定最优策略。
在化学和生物学中，二次型也 被用来描述分子结构和生物模 型等。
如何进一步优化正交变换的方法
寻找更高效的算法
01
针对大规模数据集，需要寻找更高效的算法来加速正交变换过
VS
计算出矩阵$A$的特征值 $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_n$和对应的特征向量$q_1, q_2, ldots, q_n$。
构造正交矩阵
根据特征向量构造正交矩阵$Q = [q_1, q_2, ldots, q_n]$，满足$QQ^T = I$。
正交矩阵的列向量是特征向量，且各列向量之间相互 正交。
02
正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵。
03 正交矩阵的各列向量是单位向量，且两两正交。
正交矩阵的判定
01
实对称矩阵是正交矩阵的充分必要条件。
02
若存在一个正交矩阵P，使得$A=P^TAP$，则A是 实对称矩阵。
03
若A是实对称矩阵，则存在一个正交矩阵P，使得 $A=P^TAP$。
用正交变换化二次
03
实例分析
04
实例一：具体的二次型和正交矩阵
具体展示
选取具体的二次型，例如 $f = x_1^2 + 2x_2^2 3x_3^2 + 4x_1x_2 4x_1x_3 + 4x_2x_3$。
构造相应的正交矩阵，例如 $Q = begin{bmatrix} frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} & 0 frac{1}{sqrt{2}} & frac{1}{sqrt{2}} & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}$。
用正交变换化二次型为标准形
3
3
xi2 yi2，知该正交变换将 f 化为标准形
i 1
i 1
f 2 y12 2 y22 7 y32 k( y12 y22 y32 )
(2 k) y12 (2 k) y22 (7 k) y32 为使二次型正定，按定理2，必有
2k 0
2
k
0
7 k 0
6.2 正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理 二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小节、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的， 但标准形中所含有的项数是确定的， 项数等于二次型的秩．
下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例 将二次型
f 17 x12 14 x22 14 x32 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 通过正交变换 x Py,化成标准形，并问 f 2表示 什么曲面？
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
17 2 2 A 2 14 4
二、正(负)定二次型的概念
定义1 设有实二次型 f ( x) xT Ax, 如果对任何 x 0,
(1) f ( x) 0,则称 f 是正定二次型，对应的 实对称矩阵A为 正定矩阵.
(2) f ( x) 0,则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵A为 负定矩阵.
(3) f ( x) 0则称此二次型为半正定二次型，对应的 实对称矩阵为半正定矩阵. (4) f ( x) 0则称此二次型为半负定二次型，对应的 实对称矩阵为半负定矩阵.
用正交变换化二次型为标准型
用正交变换化二次型为标准型正交变换是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们简化二次型的计算。
在本文中，我们将讨论如何利用正交变换将一个二次型化为标准型。
首先，我们需要了解什么是正交变换以及什么是二次型。
正交变换是指在欧几里得空间中，保持向量长度和内积不变的线性变换。
具体来说，如果一个矩阵满足$Q^TQ=I$，其中$Q^T$表示$Q$的转置，$I$表示单位矩阵，那么我们称矩阵$Q$是正交矩阵。
正交矩阵的列向量是两两正交的，并且每个列向量的长度为1。
正交变换可以将一个向量从一个坐标系变换到另一个坐标系，而不改变向量的长度和夹角。
二次型是关于$n$个变量的二次齐次多项式，通常表示为。
$$。
Q(x)=x^TAx。
$$。
其中$A$是一个对称矩阵，$x$是一个$n$维列向量。
二次型在很多领域都有着重要的应用，比如物理学、工程学和经济学等。
现在，我们来讨论如何利用正交变换将二次型化为标准型。
设$Q(x)=x^TAx$是一个二次型，我们希望找到一个正交矩阵$P$，使得变换后的二次型$Q(y)=y^TBy$为标准型。
这里的$B$是一个对角矩阵，对角线上的元素称为二次型的主轴。
首先，我们需要找到$A$的特征值和特征向量。
设$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$是$A$的特征值，$v_1,v_2,...,v_n$是对应的特征向量。
由于$A$是对称矩阵，特征向量是两两正交的，我们可以将它们单位化，得到一个正交矩阵$P$，使得$P=[v_1,v_2,...,v_n]$。
接下来，我们利用正交矩阵$P$进行变换。
设$y=Px$，则有。
$$。
Q(y)=(Px)^TA(Px)=x^T(P^TAP)x。
$$。
由于$P$是正交矩阵，$P^T=P^{-1}$，所以$P^TAP$是对角矩阵，记作$B$。
这样，原来的二次型$Q(x)$就变成了$Q(y)=y^TBy$的形式，其中$B$是对角矩阵，对角线上的元素就是二次型的主轴。
正交变换化二次型为标准型
正交变换化二次型为标准型在矩阵理论中，正交变换是一种非常重要的概念，它可以帮助我们简化矩阵的运算和分析。
在本文中，我们将讨论如何利用正交变换将二次型化为标准型，从而更好地理解和处理二次型的性质和特点。
首先，让我们回顾一下二次型的定义。
对于一个n阶实对称矩阵A和n维实向量x，我们称函数Q(x) = x^TAx为二次型。
其中，x^T表示x的转置，A为矩阵A的转置。
二次型在实际问题中有着广泛的应用，因此研究二次型的性质和化简方法具有重要的意义。
接下来，我们将介绍如何利用正交变换将二次型化为标准型。
设A是n阶实对称矩阵，存在正交矩阵P，使得P^TAP = Λ，其中Λ是对角矩阵。
那么，对于任意非零向量x，我们有x^TΛx = (Px)^TA(Px) = y^TAy，其中y=Px。
因此，通过正交变换，我们可以将二次型化为标准型。
接下来，我们将具体讨论如何进行正交变换。
首先，我们需要找到矩阵A的特征值和对应的特征向量。
设λ1, λ2, ..., λn是A的n个特征值，v1, v2, ..., vn是对应的特征向量。
由于A是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，并且特征向量之间可以正交归一化。
我们可以将特征向量按列排成矩阵P，即P=[v1, v2, ..., vn]。
由于特征向量是线性无关的，因此P是可逆的，且P^T = P^-1。
然后，我们可以利用正交矩阵P将矩阵A对角化。
设Λ = P^TAP，即A = PΛP^T。
由于P是正交矩阵，因此P^T = P^-1，所以P^TAP = Λ。
这样，我们就得到了矩阵A的对角化形式。
最后，我们将二次型化为标准型。
设x为任意非零向量，y=Px，那么x^TΛx = y^TAy。
我们可以将y表示为y = [y1, y2, ..., yn]^T，其中y1, y2, ..., yn是y的分量。
那么，y^TAy = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2。
这就是二次型的标准型，它是特征值的线性组合。
用正交变换化二次型为标准形
且有
2 2 2 f 9 y1 18 y2 18 y3 .
此时，容易看出 f 2 表示椭球面。
五、小结
1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法．
6.2 正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理
二、正（负）定二次型的概念
三、正（负）定二次型 的判别 四、小节、思考题
一、惯性定理
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的， 但标准形中所含有的项数是确定的， 项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．
通过正交变换 x Py , 化成标准形，并问 f 2表示 什么曲面？
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14 17 2 2 2 A I 2 14 4 18 9
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
说明
只有实对称矩阵，才能 考虑其正定性.
例1
2
试问k 取何值时,
2 2 2 2 2
f x1 4 x1 x2 2 x2 4 x1 x3 2 x3 8 x2 x3 k ( x1 x2 x3 )
为正定二次型. 解 二次型 q x1 4 x1 x2 2 x2 4 x1 x3 2 x3 8 x2 x3 1 2 2 A 2 2 4 4 2 2 令 A I 0，可求出三个特征值为 2， 2， 7，
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2 2 即 ai2 a a , 1 i2 in 1 ai1a j1 ai 2 a j 2 ain a jn 0 (i j ),
即
a
k 1
n
ik
a jk
1, i j; (正交条件） 0, i j.
2
n阶方阵A为正交矩阵
它的行（或列）向量组是两两正交的单位向量组.
7
0 1 1 例1 设实对称矩阵A 1 0 1 1 1 0
求一个正交矩阵P, 使P 1 AP为对角阵.
例2 已知3阶实对称矩阵 A的特征值为
1,1,2, 且A的对应于 2的特征向量
为1， 1， 1 , 求A.
T
8
三、施密特正交化方法
定理 设 1 , 2 ,, s 是线性无关向量组，
则 1 , 2 , , s 是与 1 , 2 ,, s 等价的正交向量组，
其中：
2 , 1 2 2 1 1 , 1
1 1
s , 1 s , 2 s , s 1 s s 1 2 s 1 . 1 , 1 2 , 2 s 1 , s 1
则 Ax x .
因此正交矩阵 A作ຫໍສະໝຸດ 于向量x不改变向量长度 .5
二、 实对称阵的对角化
实对称阵的特征值与特征向量有重要性质：
定理 4 实对称阵的特征值都是实数.
定理 5 实对称阵的不同的特征值对应的特征向量是正交的.
定理 6 实对称阵一定可以对角化.
6
将实对称阵A化为对角阵的步骤 ( step)：
1)求出A的n个特征值 1，1， n；
2)对每个i 求出对应的线性无关的 特征向量 ,
并将它们正交化，单位 化，从而求出 A的n个
两两正交的特征向量 p1 , p2 , pn;
3)令P ( p1 , p2 , pn ), 则P 1 AP 为对角阵 .
1 1 2 即 P AP n
且 2 0, 1 1, 2 1, A为正交矩阵.
T 1
B
1 2 0 1 2
0 1 0
1 2 0 1 2
.
2) B不是正交矩阵.
4
例2 若A是正交矩阵，证明 A*也是正交矩阵 .
例3设A是n阶正交矩阵， x是n维列向量，
a11 a12 a1n a11 a21 an1 1 0 0 a a a a a a 0 1 0 T 21 22 2 n 12 22 n 2 AA a a a a a a 0 0 1 nn 1n 2n nn n1 n 2
§ 5.4 正交变换与二次型的标准形
一、 正交矩阵
1. 定义
T
如果实n阶方阵A满足
T
A A AA E 则称A为正交矩阵.
2.性质
(1)若A为正交矩阵，则 A 1;
(2)若A为正交矩阵，则 AT A1也是正交矩阵 ;
(3)若A, B都是n阶正交矩阵，则 AB也是正交矩阵 .
1
( 4)正交矩阵的元素之间的 关系 a11 a12 a1n a a a 22 2n 设 A 21 是正交矩阵，则 a a a n2 nn n1
iT i 1
iT j 0
3
例 1判定下列矩阵是否为正 交矩阵.
cos sin A sin cos
T
cos sin cos sin 1 0 1) AA 0 1 , sin cos sin cos A为正交矩阵. cos sin 或 设 1 , 2 cos sin