第五章-第六章复习概率论与数理统计的练习和课件(历史上最好的,最全面的)学习的最好资料

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25
定理 1
设 n n ( X1 , X 2 ,..., X n ) 为
的一个估计量。 如果
lim E (ˆn ) , lim var( ˆn ) 0 ,
n n
则 n n ( X , X ,..., X ) 为 的相合估计。 1 2 n
§6.2
点估计的评价标准
(1) 相合性
常用 标准
(2) 无偏性 (3) 有效性 (4) 均方误差
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相合性
定义
设ˆ ˆ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体参数 的 估计量。若对于任意的 ，当n 时,
ˆ 依概率收敛于 , 即 0 ,
4
中位数
m 0 .5
x n 1 ( ) 2 1 ( x ( n ) x ( n 1) ) 2 2 2
x ([ np 1 ]) 1 (x x ( np 1 ) ) 2 ( np )
n 为奇数 n 为偶数
p分位数
mp
np 不是整数 np 是整数
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t1 ( n )
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3. F分布
设 U ~ ( n 1 ), V ~ ( n 2 ), 且 U , V 独立 , 则称
2 2
随机变量
F
U / n1 V / n2
服从自由度为
( n1 , n 2 ) 的 F 分
布 , 记为 F ~ F ( n 1 , n 2 ). F分布的概率密度曲线如 图
n
D( X ) 的无偏估计量;
k 1
(1 F ( x ))
nk
p(x)
◆特别，令k=1和k=n即得到最小次序统计量x(1) 和最大次序统计量x (n)的密度函数分别为：
p 1 ( x ) n ( F ( x ))
n 1
p ( x ),
n 1
p n ( x ) n (1 F ( x ))
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p( x)
lim P ( ˆ ) ) 0
n
则称 ˆ 是总体参数 的相合估计量。
相合估计量仅在样本容量n 足够大，才显 示其优越性。
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关于相合性的常用结论
样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的相合估计。 由大数定律证明
矩法得到的估计量一般为相合估计量
在一定条件下, 极大似然估计具有相合性

2
~ ( n ) Ga ( n / 2 ,1 / 2 )
2
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2. t 分布
设 X ~ N ( 0 , 1 ), Y ~ ( n ), 且 X , Y 独立 ,
2
则称随机变量
t
X Y /n
服从自由度为
n的 t
分布 , 记为 t ~ t ( n ).
t 分布又称学生氏(Student)分布.
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15
7-1
第六章
7-7
三种常用的点估计方法
频率替换法
利用事件A 在 n 次试验中发生的频率 nA / n
作为事件A 发生的概率 p 的估计量。
nA n
p
p
矩法
用样本 k 阶矩作为总体 k 阶矩的估计量, 建 方法：
立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数
步骤：设待估计的参数为 1 , 2 ,, k
1 ( n )
2
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7
费舍尔(R.A.Fisher)证明:
当 n 充分大时,
2 1
费舍尔资料
( n)
1 2
(u1
2n 1) .
2
其中 u1 是标准正态分布的1 分位数.
利用上面公式,
可以求得 n 45 时 , 1 分位数的近似值 .
另外：卡方分布其实是伽马分布的特例，即
五数概括与箱线图 x min ，Q1 ，m0.5 ，Q3，x max
(Q1 =m0.25,Q3=m0.75)
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5.3小结
三个来自正态分布的抽样分布:
分布, t 分布, F 分布.
2
1. 分布：n个相互独立的标准正态分布平方和的分布
2
性质1：（可加性）
若 1 ~
2 2 2
( m ), 2 ~
i 1
Y
i 1 2
n2
i
分别是这两个样本 1
的均值 , S 1
2

(X i X ) , S2 , 则有
i 1
n2 1

n2
( Y i Y ) 分别
2
i 1
是这两个样本的方差
2
(1)
S1 / S 2
2
/
2 1 2
2 2
~ F ( n 1 1 , n 2 1 );
未知参数 1, ,k ˆ ( x , x , , x ) 的矩估计值
k k 1 2 n
7-28
极大似然估计方法
1） 写出似然函数 L 2）求出 ˆ1 ,ˆ2 ,,ˆk , 使得
ˆ ˆ ˆ L( x1 , x2 ,, xn ;1 , 2 ,, k )
2 i 2 i 1
k
定理 设总体X具有二阶矩，即
E ( X ) , Var ( X )
2

则
E ( x ) , Var ( x )
2
/n
E (s )
2
2
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2
样本 k 阶(原点)矩
ak 1
n
n
n
x i , k 1, 2 , .
k
2 2
(2) 当 1

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2
时,
14
( X Y ) (1 2 ) Sw
2 w
1 n1

2 1
1 n2
~ t ( n 1 n 2 2 ),
其中
S

( n1 1 ) S ( n 2 1 ) S n1 n 2 2
2 2
,
Sw
Sw .
2
密度函数图形是关于t 0对称的.
且当 n 足够大时
但对于较小的 n,
t 分布近似于
N ( 0 , 1) 分布 ,
.
9
t 分布与 N ( 0 ,1 ) 分布相差很大
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t 分布的分位数
对于给定的
, 0 1, 称满足条件
P {t t1 ( n )}

t1 ( n )
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结论1 设总体X 的 k 阶矩
什么分布,样本k阶矩
Ak 1
k E(X )
k
存在
X 服从
( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体X 的样本,则不论
n
n
Xi
k
是 k 的无偏估计量。
i 1
特别地, 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的无偏估计量 样本二阶原点矩 A 2
根据定义可知,
若 F ~ F ( n 1 , n 2 ), 则 1 F ~ F ( n 2 , n 1 ).
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设 F ( n1 , n 2 ) 分布的 1 - 分位数满足
P { F F1- ( n1 , n 2 )}

F1- ( n1 , n 2 )
-
( y )d y 1 - ,
然后, 再求得极大似然估计量。
若 L不是1 ,, k 的可微函数, 需用其它 方法求极大似然估计值.
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7-35
极大似然估计的不变性
ˆ 设 是 的极大似然估计值, u( )
( )是 的函数, 且有单值反函数
= (u),
u U
ˆ 则u u ( ) 是 u( ) 的极大似然估计值。 ˆ
(X i )
2
/ n ).即
X
/
~ N ( 0 ,1)
n
结 论
1
(2)
~ t ( n 1)
2

(3)
n
i 1

( n 1) S
2 n
~ (n)
2
2


(X i X )
2
(4)
i 1

2 2

2
~ ( n 1)
2
( 5 ) X 与 S 相互独立
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/ n)
2
( x)
则n较大时
x ~ N ( ,
2
/ n)
1
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样本方差
s
2

n 1
1
nLeabharlann ( xi x )2
1 n 1
i 1
( xi
i 1
n
2
nx )
2
分组样本方差
s
2
n 1
1
k
f i ( xi x )
2
1 n 1
i 1
[ fi x nx ]
i 1
样本 k 阶中心矩
bk
n
1
( xi x )
k
, k 2, 3, .
样本偏度
i 1
1 b3 / b
样本峰度
3/2 2
2
b4 b
2 2
3
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3.次序统计量及其分布
第k个次序统计量x (k) 的密度函数为