初三数学圆的专项培优练习题含答案
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案解析
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案解析
一、圆的综合
1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）24
【解析】
试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．
试题解析：（1）证明：连接OD ，
∵OD=OA ，
∴∠ODA=∠A ，
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴OC ∥AB ，
∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，
∴∠EOC=∠DOC ，
在△EOC 和△DOC 中，
OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EOC ≌△DOC （SAS ），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD ⊥DC ，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，
∴△CDO 为直角三角形，
∵S △CDO =
12
CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1
2
×6×4=12，
∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．
2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）．
中考数学圆的综合(大题培优)及详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .
(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12
，求AB 和FC 的长．
【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403
CF =
【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；
（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.
详解：⑴证明：连结OC
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∵OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∵∠B=∠FCA
∴∠FCA+∠OCA=90°
即∠OCF=90°
∵C 在⊙O 上
∴CF 是⊙O 的切线
⑵∵AE=4，tan ∠ACD
12
AE EC = ∴CE=8
∵直径AB ⊥弦CD 于点E
∴AD AC =
∵∠FCA ＝∠B
∴∠B=∠ACD=∠FCA
∴∠EOC=∠ECA
∴tan ∠B=tan ∠ACD=
1=2
CE BE ∴BE=16
∴AB=20
∴OE=AB÷2-AE=6
∵CE ⊥AB
∴∠CEO=∠FCE=90°
∴△OCE ∽△CFE ∴
OC OE CF CE
= 即106=8CF ∴40CF 3
= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案
初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案
一、圆的综合
1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】
试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数． 试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴AOD BOC ∆≅∆ ∴AO=OB （2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ，
∴PA ⊥AB ， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1
252
B OCB AOP ∠=∠=
∠=︒.
2．如图，AB 为⊙O 的直径，点D 为AB 下方⊙O 上一点，点C 为弧ABD 的中点，连接CD ，CA ．
（1）求证：∠ABD =2∠BDC ；
（2）过点C 作CH ⊥AB 于H ，交AD 于E ，求证：EA =EC ；
中考数学圆的综合(大题培优)及答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）24
【解析】
试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．
试题解析：（1）证明：连接OD ，
∵OD=OA ，
∴∠ODA=∠A ，
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴OC ∥AB ，
∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，
∴∠EOC=∠DOC ，
在△EOC 和△DOC 中，
OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EOC ≌△DOC （SAS ），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD ⊥DC ，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，
∴△CDO 为直角三角形，
∵S △CDO =
12
CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1
2
×6×4=12，
∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．
2．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：BC与⊙O相切；
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及详细答案
中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及详细答案
一、圆的综合
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD
=，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即
∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB
DB DA
=，即DB2=DF•DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题及详细答案
初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题及详细答案
一、圆的综合
1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
【答案】（1）4；（2）3
5
；（3）点E的坐标为（1，2）、（
5
3
，
10
3
）、（4，2）．
【解析】
分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则
MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，
初三数学圆的综合的专项培优练习题附答案
初三数学圆的综合的专项培优练习题附答案
一、圆的综合
1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．
【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．
【解析】
【分析】
（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．
（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．
【详解】
（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△OAC是等边三角形，
故∠AOC=60°．
（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；
∴AC=1
OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
2
而OC是⊙O的半径，
故PC与⊙O的位置关系是相切．
（3）如图；有三种情况：
①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣
初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题含答案解析
初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题含答案解析
一、圆的综合
1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E．
(1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC；
(2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，»»
BF FA
=，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG；
(3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2
3
DG，PO=5，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案；
（3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出
EH∥DG，求出OM=1
2
AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE=
2
3
DG，DG=3a，
求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝
1
2
MO
BM
=，tanP=
1
2
CO
PO
=,设
OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠PAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠PAC；
（2）证明：连接BE交GF于H，连接OH，
∵FG∥AD，
初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题附详细答案
初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附详细答案
一、圆的综合
1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
【答案】（1）4；（2）3
5
；（3）点E的坐标为（1，2）、（
5
3
，
10
3
）、（4，2）．
【解析】
分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则
MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)附答案解析
中考数学圆的综合(大题培优易错难题)附答案解析
一、圆的综合
1．如图，⊙A过OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．
（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；
（2）求证：直线PC是⊙A的切线；
（3）若OD=10，求⊙A的半径．
【答案】（1）（1，﹣3）；（2）详见解析；（3）5 3.
【解析】
【分析】
（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；
（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】
（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴∠B=∠ODC
∵四边形OHCD是圆内接四边形
∴∠OHB=∠ODC
∴∠OHB=∠B
∴OH=OB=2
∴在△Rt OMH中，
∵∠BOH=30°，
∴MH=1
OH=1，OM=3MH=3，2
∴点H的坐标为（1，﹣3），
（2）连接AC．
∵OA=AD，
∴∠DOF=∠ADO
∴∠DAE=2∠DOF
∵∠PCD=2∠DOF，
∴∠PCD=∠DAE
∵OB与⊙O相切于点A
∴OB⊥OF
∵OB∥CD
∴CD⊥AF
∴∠DAE=∠CAE
∴∠PCD=∠CAE
∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线；
九年级数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附答案
九年级数学圆的综合的专项培优易错难题练习题(含答案)附答案
一、圆的综合
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴¶¶
BD CD
=，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即
∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB
DB DA
=，即DB2=DF•DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】
初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及答案
初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题(含答案)及答案
一、圆的综合
1．如图，⊙A过▱OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．
（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；
（2）求证：直线PC是⊙A的切线；
（3）若OD=10，求⊙A的半径．
【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 .
【解析】
【分析】
（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；
（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】
（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴∠B=∠ODC
∵四边形OHCD是圆内接四边形
∴∠OHB=∠ODC
∴∠OHB=∠B
∴OH=OB=2
∴在Rt△OMH中，
∵∠BOH=30°，
∴MH=1
2
OH=1，33
∴点H的坐标为（13
（2）连接AC．
∵OA=AD，
∴∠DOF=∠ADO
∴∠DAE=2∠DOF
∵∠PCD=2∠DOF，
∴∠PCD=∠DAE
∵OB与⊙O相切于点A
∴OB⊥OF
∵OB∥CD
∴CD⊥AF
∴∠DAE=∠CAE
∴∠PCD=∠CAE
∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线；
（3）解：⊙O的半径为r．
初三数学圆的专项培优练习题(含答案)
初三数学圆的专项培优练习题（含答案）
1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是EB的中点，则下列结论不成
立的是（）
A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）
A．4 B．C．6 D．
3．四个命题：
①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1<d<7
其中正确的是（）
A. ①②
B.①③
C.②③
D.③④
4．如图三，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
5．如图四，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC 交⊙O于D，∠C＝38°。点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（）
A．19° B．38° C．52° D．76°
图四图五
6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．
7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．
（1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案解析
初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含答案解析
一、圆的综合
1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）24
【解析】
试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解．
试题解析：（1）证明：连接OD ，
∵OD=OA ，
∴∠ODA=∠A ，
∵四边形OABC 是平行四边形，
∴OC ∥AB ，
∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ，
∴∠EOC=∠DOC ，
在△EOC 和△DOC 中，
OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EOC ≌△DOC （SAS ），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
即OD ⊥DC ，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）由（1）知CD 是圆O 的切线，
∴△CDO 为直角三角形，
∵S △CDO =
12
CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1
2
×6×4=12，
∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24．
2．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
九年级数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)附详细答案
九年级数学圆的综合的专项培优易错难题练习题(含答案)附详细答案
一、圆的综合
1．图 1 和图 2 中，优弧»AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧»AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．
发现：
（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；
（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．
拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．
（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；
（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在»NP上．
（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．
【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．
【解析】
【分析】
发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．
（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．
拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性
九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)附详细答案
九年级数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)附详细答案
一、圆的综合
1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【解析】
（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
试题解析：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）连接AD，BD，
∵CD 是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B 为弧CD 中点，
∴BD=BC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB ，
∵∠DBE=∠DBA ，
∴△DBE ∽△ABD ， ∴，
∴BE•AB=BD•BD=
． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
2．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在BC uuu r 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形．
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初三数学圆的专项培优练习题（含答案）
»EB
1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成
立的是（）
A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
图一图二图三
2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆
的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）
A．4 B．C．6 D．
3．四个命题：
①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；
③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）；
④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1 其中正确的是（） A. ①② B.①③ C.②③ D.③④ 4．如图三，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径 的圆与BC的位置关系是（） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 5．如图四，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC 交⊙O于D，∠C＝38°。点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小 是（） A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=，且AE：BE =1：3，则AB= ． 7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2． 求证：（1）四边形FADC 是菱形；（2）FC 是⊙O 的切线． 1.D 2.B 3.B 4A 5B 6．【解析】 试题分析：如图，连接OD ，设AB=4x ， ∵AE ：BE =1：3，∴AE= x ，BE=3x ，。 ∵AB 为⊙O 的直径，∴OE= x ，OD=2x 。 又∵弦CD ⊥AB 于点E ， CD=，∴DE=3。 6 在Rt△ODE 中，，即，解得。 222OD OE DE =+()2 222x x 3=+ x = ∴ AB=4x =7. 解：（1）如图①，连接OC ， ∵直线l 与⊙O 相切于点C ，∴OC⊥l。 ∵AD⊥l，∴OC∥AD。 ∴∠OCA=∠DAC。 ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。 ∴∠BAC=∠DAC=30°。 （2）如图②，连接BF ， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°。 ∴∠BAF=90°－∠B。 ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°。 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形， ∴∠AEF+∠B=180°。∴∠B=180°－108°=72°。 ∴∠BAF=90°－∠B=180°－72°=18°。 【解析】 试题分析：（1）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°。 （2）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得 ∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案。 8．解：（1）CD是⊙O的切线,。理由如下： 连接OC， ∵OC=OB，∴∠B=∠BCO。 又∵DC=DQ，∴∠Q=∠DCQ。 ∵PQ⊥AB，∴∠QPB=90°。 ∴∠B+∠Q=90°。∴∠BCO+∠DCQ =90°。 ∴∠DCO=∠QCB－(∠BCO+∠DCQ)=180°－90°=90°。 ∴OC⊥DC。 ∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线。 9．证明：（1）连接OC， ∵AF 是⊙O 切线，∴AF⊥AB。 ∵CD⊥AB，∴AF∥CD。 ∵CF∥AD，∴四边形FADC 是平行四边形。 ∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB， ∴ 。11CE DE CD 22 ===⨯=设OC=x ， ∵BE=2，∴OE=x﹣2。 在Rt△OCE 中，OC 2=OE 2+CE 2， ∴，解得：x=4。( )(2 22x x 2=-+∴OA=OC=4，OE=2。∴AE=6。 在Rt△AED 中， ，∴AD=CD。 AD ==∴平行四边形FADC 是菱形。 （2）连接OF ， ∵四边形FADC 是菱形，∴FA=FC。 在△AFO 和△CFO 中，∵，∴△AFO≌△CFO（SSS ）。 FA FC OF OF OA OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴∠FCO=∠FAO=90°，即OC⊥FC。 ∵点C 在⊙O 上，∴FC 是⊙O 的切线。 【解析】 试题分析：（1）连接OC ，由垂径定理，可求得CE 的长，又由勾股定理，可求得半径OC 的长，然后由勾股定理求得AD 的长，即可得AD=CD ，易证得四边形FADC 是平行四边形，继而证得四边形FADC 是菱形； （2）连接OF ，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC 是⊙O 的切线。