概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题

一．事件及其概率

1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：

(1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =⋃⋃ (2) ABC A B C =⋃⋃ (3) A B C ⋃⋃ (4) BC AC AB ⋃⋃

2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。

解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ⋃=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。

解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =⋃-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ⋃。

解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==⋃=+-= ()()()()0.2P AB P A B P A P AB =-=-=。

5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。

解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ⋃⋃=-⋃⋃=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率；

(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。

解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462

108

15

C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。

解：12153

101

12

C C P C ==。

8. 从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。

解：1

0.80.8

20.321

P ⨯⨯==。 9. 甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，

再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？

解：设A =“从甲袋中取出的是红球”，B = “从乙袋中取出的是红球”，则： 1312(),(),(|),(|),4425

P A P A P B A P B A =

=== 由全概率公式得：

17

()()(|)()(|)40

P B P A P B A P A P B A =+=

。 10. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、

85%、80%，求

(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；

(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？

解：(1) 设321,,A A A 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B 表示买到合格品，则

123123()0.5,()0.4,()0.1,(|)0.95,(|)0.85,(|)0.8,P A P A P A P B A P B A P B A ====== 由全概率公式得3

1

()()(|)0.895i

i

i P B P A P B A ==

=∑；

(2) 1111()()(|)0.47595

(|)()()0.895179

P A B P A P B A P A B P B P B =

===。

二．一维随机变量及其数字特征

1. 已知X 的概率密度函数1,

02()0,

kx x f x else

+<<⎧=⎨⎩，求1,,2k P X EX ⎧⎫

>

⎨⎬⎩⎭

。 解：

201

()(1)221,2

f x dx kx dx k k +∞-∞

=+=+=⇒=-⎰

⎰

21211912216P X x dx ⎧⎫⎛⎫>=-+=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝

⎭⎰，2012123EX x x dx ⎛⎫

=-+= ⎪⎝⎭⎰。

2. 设)1.0,3(~B X ，求{}2,{1}P X P X =≥。

解：223

3{2}(0.1)(0.9)0.027,{1}1{0}10.90.271P X C P X P X ===≥=-==-=。

3. 设三次独立随机试验中事件A 出现的概率相同，已知事件A 至少出现一次的概率为

64

37

，求A 在一次试验中出现的概率p 。

解：三次试验中A 出现的次数),3(~p B X ，由题意：

{}4

1

6437)1(1)1(101}1{330

03=⇒=

--=--==-=≥p p p p C X P X P 。 4. 某种灯管的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为21000

,1000()0,

x f x x else ⎧>⎪

=⎨⎪⎩，

(1) 求{1500}P X >；

(2) 任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。 解：(1) 2

150010002

{1500}3

P X dx x +∞

>=

=⎰； (2) 设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y ，则2~5,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，故

54

121232{2}1{0}{1}15333243P Y P Y P Y ⎛⎫

⎛⎫≥=-=-==--⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭。

5. 设~(,), 1.6, 1.28,X B n p EX DX ==求,n p 。

解： 1.6,(1) 1.288,0.2EX np DX np p n p ===-=⇒==。 6. 设~(2)X π，求2

{2},(23)P X E X X ≥+-。

解：2

{2}13P X e -≥=-，

()2

22(23)()232342437E X X E X EX EX DX EX +-=+-=++-=++-=。 7. 设]6,1[~-U X ，求{}24≤<-X P 。

解：1

,

16()7

0,

x f x else

⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩，{}7

3

710)(242

11

4

24

=+==

≤<-⎰

⎰⎰

----dx dx dx x f X P 。 8. 设X 服从)5,1(-上的均匀分布，求方程2

10t Xt ++=有实根的概率。

解：1

,

15()6

0,

x f x else

⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩，5

2211

{0}{40}62P P X dx ∆≥=-≥=

=⎰。

9. 设~[1,3]X U ，求1,,EX DX E X ⎛⎫

⎪⎝⎭

。 解：231

1

,

13(31)11

1112,,(),ln 32

123220,

x EX DX f x E dx X x else

⎧≤≤-⎪⎛⎫======⎨ ⎪⎝⎭

⎪⎩⎰。