动力计算习题课11
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
理论力学课后习题答案
理论力学(盛冬发)课后习题答案c h11(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第11章 动量矩定理一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。
(×)2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。
(√)3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。
(√)4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。
(√)5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。
(×)6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。
(×)7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d nOO i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。
(√)18. 如图所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+2213ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。
(×)9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d()d nP P i i t ==∑L M F 的形式，而不需附加任何条件。
(×)10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。
(×)图二、填空题1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。
3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。
24. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。
5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数和等于零。
10结构的动力计算习题解答,重庆大学,文国治版教材课后答案
第10章 结构的动力计算习题解答习题10.1 是非判断题(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越大。
（ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。
（ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。
（ ）(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。
（ ）(5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。
（ ） (6) n 个自由度体系有n 个自振周期，其中第一周期是最长的。
（ ）(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。
（ ）【解】(1) 错误。
体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所决定。
(2) 错误。
由阻尼结构的自振频率2r 1ωωξ=-可知，阻尼增大使自振频率减小，自振周期变长。
(3) 正确。
(4) 错误。
由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。
(5) 正确。
(6) 正确。
(7) 正确。
习题10.2 填空题(1) 单自由度体系运动方程为2P 2()/y y y F t m ξωω++=，其中未考虑重力，这是因为__________。
(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。
(3) 若要改变单自由度体系的自振周期， 应从改变体系的__________或__________着手。
(4) 若由式()211βθω=-求得的动力系数为负值，则表示__________。
(5) 习题10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。
c k WF sin θ tP 12-2(5)习题 图习题10.2(5)图(6) 求习题10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI ＝常数)，其质量矩阵[M ]=__________。
mm2m12-2(6)习题 图mF sin θ tP 12-2(7)习题 图习题10.2(6)图 习题10.2(7)图(7) 习题10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI ＝常数。
力学功率练习题
力学功率练习题力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
在力学中，功率是一个极其重要的概念，它描述了物体做功的速率。
本文将介绍一些力学功率的练习题，帮助读者巩固对功率概念的理解和运用能力。
练习题一：一个质量为2 kg的物体以8 m/s的速度沿着水平方向运动。
假设物体所受到的摩擦力为5 N，求这个物体所做的功率。
解答一：首先，我们需要计算物体所受到的摩擦力所做的功。
根据功的定义，功等于力乘以位移。
由于物体是沿水平方向运动，位移与力的方向垂直，所以物体所受到的摩擦力所做的功为0。
因此，物体所做的功率为0。
练习题二：一个力为20 N的人推一个质量为50 kg的物体，使其以1 m/s的速度沿水平方向移动。
求人所做的功率。
解答二：物体受到的推力和速度的方向相同，所以物体所受到的推力所做的功为：功 = 力 ×位移 = 20 N × 1 m = 20 J根据功率的定义，功率等于功除以时间。
假设推动物体的时间为2 s，则人所做的功率为：功率 = 功 ÷时间 = 20 J ÷ 2 s = 10 W练习题三：一个马力为5 hp的引擎以2000 rpm的转速工作，引擎的效率为80%。
假设1 hp等于746 W，求这个引擎的功率输出。
解答三：首先，我们需要将马力转换为瓦特。
根据1 hp = 746 W，这个马力为5 hp的引擎的功率为：功率 = 5 hp × 746 W/hp = 3730 W然后，我们需要将转速从rpm转换为rad/s。
根据1 rpm = 2π rad/min，这个引擎的转速为：转速 = 2000 rpm × 2π rad/min = 4000π rad/min = 4000π/60 rad/s ≈ 209.44 rad/s最后，根据引擎的效率，我们可以计算其功率输出：功率输出 = 功率 ×效率= 3730 W × 0.8 ≈ 2984 W练习题四：一个质量为10 kg的物体在1 s内从垂直向上的位置下落到地面，求重力所做的功和物体所受的平均功率。
习题课---电化学_动力学部分
《物理化学》习题课 （电化学、动力学部分）（中科院2009硕士入学考试）1. 某药物分解反应为一级反应，298K 时，反应速率常数k 为0.46h -1，若服用该药物0.16g ，则体内停留多长时间分解90%？A) 3h B) 5h C) 4.6h D) 6h2. 升高温度可以增加反应速率，主要原因是A) 增加分子总 B) 增加活化分子总数C) 降低反应的活化能 D) 使反应向吸热方向进行3. 浓度为0.001 mol/L 的硫酸钠溶液的电导率为0.026 S.cm 2，当该溶液饱和了硫酸钙以后，电导率上升为0.070 S.cm 2，求硫酸钙的活度积（已知Na +与1/2Ca 2+的摩尔电导率分别为5.0×10-3和6.0×10-3 S.m 2.mol -1）4. 某气相反应12()()()k k A g B g C g −−→+←−−，在298K 时，K 1=0.2s -1，K 2=5×10-6 pa ∙s -1，当温度升高到310K 时，K 1和K 2均增加1倍，求：（1）298K 的平衡常数； （2）正逆反应的表观活化能； （3）反应的r m H ∆； （4）在298K 时，A 的起始压力为101.325kpa ，总压力到151.99kpa 时，需时间多少？（中科院2007硕士入学考试）5. 某反应的速率常数与各基元反应的速率常数的关系为124()2k k k k =，则该反应的表观活化能E a 与各基元反应活化能的关系为： (A) 21412a E E E E =+- (B) 2141()2a E E E E =+- (C) 1/2214(2)a E E E E =+- (D) 214a E E E E =+-6. 在化学反应动力学中，反应级数是个宏观的概念，其值 。
（A ）只能是正整数； （B ）可正、可负、可为零，可以是整数，也可以是分数；（C ）只能是0，1，2，3，· ； （D ）无法确定。
结构动力计算课后习题答案
结构动力计算课后习题答案结构动力计算课后习题答案在学习结构动力学这门课程时，我们经常会遇到各种各样的习题。
这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践的机会。
在这篇文章中，我将为大家提供一些结构动力计算课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 计算一个简支梁的固有频率。
答案：简支梁的固有频率可以通过以下公式计算：f = (1/2π) * √(k/m)其中，f为固有频率，k为刚度，m为质量。
在简支梁的情况下，刚度k等于弹性模量E乘以截面面积A除以长度L。
质量m等于密度ρ乘以截面面积A除以长度L。
2. 计算一个悬臂梁的固有频率。
答案：悬臂梁的固有频率可以通过以下公式计算：f = (1/2π) * √(3k/m)在悬臂梁的情况下，刚度k等于弹性模量E乘以截面面积A的三次方除以长度L的四次方。
质量m等于密度ρ乘以截面面积A除以长度L。
3. 计算一个简支梁的振动模态。
答案：简支梁的振动模态可以通过以下公式计算：f_n = (n^2 * v) / (2L)其中，f_n为第n个振动模态的频率，v为波速，L为长度。
n为振动模态的序号，从1开始。
4. 计算一个悬臂梁的振动模态。
答案：悬臂梁的振动模态可以通过以下公式计算：f_n = (2n-1) * (v/4L)其中，f_n为第n个振动模态的频率，v为波速，L为长度。
n为振动模态的序号，从1开始。
5. 计算一个简支梁的最大挠度。
答案：简支梁的最大挠度可以通过以下公式计算：δ_max = (5qL^4) / (384EI)其中，δ_max为最大挠度，q为均布载荷，L为长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
6. 计算一个悬臂梁的最大挠度。
答案：悬臂梁的最大挠度可以通过以下公式计算：δ_max = (qL^4) / (8EI)其中，δ_max为最大挠度，q为均布载荷，L为长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
以上是一些常见的结构动力计算课后习题的答案。
通过解答这些习题，我们可以更好地理解结构动力学的概念和原理，提高我们的计算能力和问题解决能力。
结构动力计算课后习题答案
结构动力计算课后习题答案结构动力计算是土木工程和机械工程领域中的一个重要分支，它涉及到结构在动力作用下的响应分析。
这门课程的课后习题通常要求学生运用所学的理论，解决实际工程问题。
以下是一些可能的习题答案示例，请注意，这些答案是基于假设的习题内容，实际的习题答案应根据具体的题目来确定。
习题1：单自由度系统的动力响应假设有一个单自由度系统，其质量为m，阻尼系数为c，刚度系数为k。
系统受到一个简谐激励F(t) = F0 * sin(ωt)，其中F0是激励力的幅值，ω是激励频率。
求系统的稳态响应。
答案：对于单自由度系统，其运动方程可以表示为：\[ m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = F_0 \sin(\omega t) \]稳态响应可以通过求解上述方程的特解来获得。
特解的形式为：\[ x(t) = X \sin(\omega t + \phi) \]其中，振幅X和相位角φ可以通过以下公式计算：\[ X = \frac{F_0}{\sqrt{(\omega^2 m - \omega^2)^2 +(c\omega)^2}} \]\[ \phi = \arctan\left(\frac{c\omega}{\omega^2 m -\omega^2}\right) \]习题2：多自由度系统的模态分析考虑一个两自由度系统，其质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵分别为：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & k_c \\ k_c & k_2\end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} c_1 & 0 \\ 0 & c_2\end{bmatrix} \]求系统的自然频率和模态形状。
结构力学讲义ppt课件
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
《发电厂电气主系统(第3版)》全部计算题解答与课程设计部分解答
发电厂电气主系统习题课源自查矩形铝导体长期允许载流量表，每相选用2条125 mm×10 mm双条矩形铝导体，平放时允许电流Ial=3152A ，集肤系数 Ks=1.45。环境温度为30℃时的允许电流为
KI al I al
70 30 0.943 3152A 2982 .88 A 1804A 70 25
满足长期发热条件要求。 （2）按长期发热选择截面 根据Imax=1804A，选单条平放LMY-125×8 矩形导体，
解: 首先计算运行费
UI A U1 U 2 0.2 5 106 300000 130万 U II A U1 U 2 0.2 7 106 200000 160 万
计算抵偿年限T，标准抵偿年限为5年 OI OII 900 800 T 3.33 5年 U II U I 160 130 应该选投资高的第I方案。
查附录A表A-32，选容量为400kVA的消弧线圈。 10kV系统 I c 0.1U N L 0.110 25 25 A 考虑母线增加16%的电容电流后，总电容电流为
Ic=1.16×25=29<30A 10kV系统不需要安装消弧线圈。
■
9
发电厂电气主系统习题课 习题3-12．某变电所安装两台容量为31.5MVA， 电压等级为110/10kV的双 绕组主变，请选择该变电所10kV母线上应该装设的无功补偿电容器的台数 与接线方式。注：按主变容量的15%左右选择,接线采用单星形, 大小搭配 分两组分别安装在10kV两段母线上。 解：选无功补偿容量为2×3000kvar+2×1800kvar=9600kvar， 9600/63000=15.238%，在主变容量的10%~30%范围内，符合规范要求，大 小搭配分两组分别安装在10kV两段母线上，每段母线安装4800kvar。 并联电容器采用构架式结构屋外放置，接线选单星形接线。 3000kvar组每相1000kvar，选3台334 kvar单相电容器并联。 1800kvar组每相600kvar，选3台200 kvar单相电容器并联。
7章化学动力学习题课
D Ea E2 1 ( E1 ) 2 2E4
选择题
4.任何化学反应的半衰期与初始浓度[M]0,速 率常数k的关系是( )
A 与k,[M]0均有关系 B 与[M]0有关,与k无关 C 与k有关 D 与[M]0无关,与k有关
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计算题
1.在一恒容均相体系中，某化合物分解50%所
所以 kB,(p) (700K) 21.70103 Pa1 h1 3.4103 Pa1 h1
上一页 下一页
计算题
（iii）因为pA,0:pB,0=1:2,所以反应过程中始终保持pA:pB=1:2,
即pB=2pA,于是有：
dpA dt
kA,(p) pA 2 pA
kA,(c) (RT )1n及
ln
kA,2 kA,1
Ea R
1 (
T1
1 )
T2
ln kA,p (800K) 800KR Ea ( 1 1 ) kA,p (700K) 700KR R 700K 800K
于是
Ea
R
ln
kA,p kA,p
(800K) (700K)
800KR 700KR
760
同理，在757℃时
k2
RT
t p 1 0 2
0.0821030 212 360
0.842mol1 dm3 S1
760
上一页 下一页
计算题
ln K2 Ea ( T2 T1) K1 R T1 T2
Ea R ( T2 T1 ) ln k2 T2 T1 k1
kA (473K) 7.40102 dm3 mol min1
结构动力学【习题课】(单自由度体系1)
EI l
m
4.图 所示结构周期为T 则图b 4.图a所示结构周期为Ti,则图b所示体系的周期为
T =
T1 + T + T
2 2 2
2 3
ki m
k1 k2 k3 m
(a) 5.图示体系的自振频率为 5.图示体系的自振频率为 .
(b)
EI = ∞ k
l l
m
6.图示体系的动力自由度为5. 6.图示体系的动力自由度为5. 图示体系的动力自由度为 EI=常数
第1 、2 章
小结 动力特性计算 公式法 能量守恒 幅值方程 动力反应计算 简谐荷载 周期荷载 阶跃荷载 冲击荷载 一般荷载
动荷载及其分类 自由度及其确定 运动方程的建立 惯性力法 虚功法 运动方程的求解方法 经典解法 频域解法 时域解法 数值解法 确定动力特性的试验方法 阻尼力假定及阻尼的影响
1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 若使单自由度体系的阻尼增大 错
EA = ∞
7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 体系的振幅和自振频率与初始条件有关
8.在图示体系中,若要使其自振频率增大,可以 8.在图示体系中,若要使其自振频率增大, 在图示体系中 A.增大 ; A.增大P; 增大 C.增大 ; C.增大m; 增大 B.增大EI; B.增大EI; 增大 D.增大 l . D.增大
ωD = ω 1−ξ 2
&& + 2ξω y + ω 2 y = P ( t ) / m & y
)
2.单自度体系运动方程为 2.单自度体系运动方程为 其中未考虑质体重力,这是因为( 其中未考虑质体重力,这是因为(
习题课
第一章第二章习题课中国石油大学能源与动力工程系China University of Petroleum Dept. of Energy and Power Engineering第一章基本概念及定义重点热力系统的选取，对工质状态的描述，状态与状态参数的关系，状态参数(p,T,V/v,U,H,S)，平衡状态，状态方程，可逆过程。
注意1.孤立系统：系统与外界既无能量传递也无物质交换2.状态参数：描述工质状态特性的各种状态的宏观物理量。
状态参数的数学特性:1212d x x x -=⎰表明：状态的路径积分仅与初、终状态有关，而与状态变化的途径无关。
0d =⎰x 表明：状态参数的循环积分为零3. 正向循环热效率：12101q q q w t -==η4. 制冷循环：制冷系数：21202q q q w q -==ε5. 热泵循环：热泵系数（供热系数）：21101q q q w q -=='ε注意：(1) 以上三式，适用于可逆循环和不可逆循环；(2) 式中q 1、q 2、w 0取绝对值。
第一章基本概念及定义第二章热力学第一定律重点热力学能U、焓H(U+pV)、热力学第一定律的实质、熟练应用热力学第一定律解决具体问题闭口系统能量方程W U Q +∆=适用于mkg 质量工质w u q +∆=适用于单位质量工质注意:该方程适用于闭口系统、任何工质、任何过程。
W U Q δd δ+=w u q δd δ+=微元过程可逆过程有δd δd w p v q T s==vp u s T v p u q d d d d d δ+=+=第二章热力学第一定律循环过程第一定律表达式⎰⎰=w q δδ结论:第一类永动机不可能制造出来对于理想气体：Tc u vd d =理想气体可逆过程：vp T c s T v p T c q v v d d d d d δ+=+=第二章热力学第一定律开口系统能量方程质量守恒原理：进入控制体的质量一离开控制体的质量=控制体中质量的增量能量守恒原理：进入控制体的能量一控制体输出的能量=控制体中储存能的增量icv W m gz c h m gz c h E Q δδ)21(δ)21(d δ1121122222+++-+++=注意:本方程适用于任何工质，稳态稳流、不稳定流动的一切过程第二章热力学第一定律稳定流动能量方程i w z g c h q δd d 21d δ2+++=适用于任何工质，稳定流动热力过程引入技术功：it w z g c w δd d 21δ2++=t t w h q w h q δd δ+=+∆=上式变为：可逆过程：p v w t d δ-=p v h s T p v h q d d d d d δ-=-=理想气体可逆过程pv T c s T p v T c q p p d d d d d δ-=-=第二章热力学第一定律功和技术功在p-V图上的表示思考题1、当真空表指示数值愈大时，表明被测对象的实际压力愈大还是愈小？答：真空表指示数值愈大时，表明被测对象的实际压力愈小。
化学动力学基础(习题课)20121212
k
298K
ln 2
H t1/
2
ln 2 0.01moldm3 1.0h
69.3
mol dm 3
h1
k
308K
ln 2
H t1/
2
ln 2 0.01moldm3
0.5h
138.6
mol dm 3
(3)
ln
k (308K) k (298K)
解：
k1
1 t
ln
1
1
y
1 1h
ln
1
1 0.75
ln
4h1
当 t＝2h 时
ln4=
1 2
ln
1
1
y
1－y = 6.25%
（2）运用 a=b 的二级反应公式
k2
1 ta
1
y
y
1 1h
a
0.75 1 0.75
3 h1 a
当 t＝2h 时
3 a
1 2a
1
y
k2[H2
](
k1 k5
)
1 2
[Br2
1
]2
k3[Br2 ] k4[HBr]
（6）代入（4），得：
d[HBr] dt
2k2k3
(
k1 k5
)
1 2
[Br2
3
]2
k3[Br2 ] k4[HBr]
（7）式分子、分母消去 k3[Br2 ] ；
北大电动力学课的作业～
电动力学习题（2008年9月）第一章 电磁现象普遍规律1.1. 设 u 是空间坐标 x , y , z 的函数，证明：∇f (u ) = ,df u du ∇ (),d u u du ∇=∇A A ()d u u du∇⨯=∇⨯A A 1.2. 根据算符 ∇ 的微分性和矢量性，推导下列公式∇(A ∙B ) = B ⨯(∇⨯ A ) + (B ∙∇) A + A ⨯(∇⨯ B ) + ( A ∙∇)B ,A ⨯(∇⨯ A ) =12∇ A 2-( A ∙∇) A .1.3. 设 R =x ' 到场点 x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
(1) 证明下列结果，并体会对源变数求微商()x y z x y z∂∂∂'∇=++'''∂∂∂e e e 与对场变量求微商()x y z x y z∂∂∂∇=++∂∂∂e e e 的关系： ,R R R '∇=-∇=R 311,R R R'∇=-∇=-R 30,R ∇⨯=R 330.(0)R R R '∇=-∇=≠R R (2) 求∇∙R, ∇⨯R , (a ∙∇)R , ∇(a ∙ R ), ∇∙ [E 0sin(k ∙r )] 以及 ∇⨯[E 0sin(k ∙r )]， 其中 a , k 及E 0 均为常矢量。
1.4. 若m 是常矢量，证明除 R=0 点外，矢量 3R ⨯=m R A 的旋度等于标量 3R ϕ=m R 的梯度的负值，即 ϕ∇⨯=-∇A 。
其中 R 为原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
1.5. 应用高斯定理证明,V S dv d ∇⨯=⨯⎰⎰⎰⎰⎰f s f 利用斯托克斯定理(用曲面积分来表示曲线积分) ,L S d d =∇⨯⎰⎰⎰f l f s 证明 S Ld d ϕϕ⨯∇=⎰⎰⎰s l 1.6. 球心为O 半径为 R 的均匀带电球，电荷密度为ρ，在O' 处挖去一个半 径为R/2的空洞，OO'=R/2，试算出空洞内的电场强度。
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。
空气动力学1-11
第一章 流体介质习题：1-1.气瓶容积为315.0m ，在K 303时，瓶中氧气的压强是26/105m N ⨯，求气瓶中氧气的重量。
解：由完全气体状态方程RT p ρ=……………………①和质量体积关系Vm=ρ……………………………② 得：N KK s m s m m m N RT pVg mg G 50.84303)/(053.287/8.915.0/105222326≈⨯⋅⨯⨯⨯=== 所以气瓶中氧气的重量为N 50.84。
1-2.两平行圆盘，直径都为D ，两者相距h ，下盘固定，上盘以匀角速度ω旋转。
盘间有一种粘性系数为μ的液体。
假设与直径D 相比两盘的距离h 为小量，两盘之间液体的速度分布呈线性关系。
试推导粘性系数μ与转矩T 及角速度ω之间的关系式。
解：如右图建立平面直角坐标系xy o -，上盘的轴向速度设为：()r n r ωυ=,，因为两盘之间液体速度呈线性分布，所以两盘之间液体的周向速度为：()r h yn r ωυ=,……………………………①摩擦应力为：dyd υμτ=………………………② 取上盘dr 微段圆环为研究对象，其转矩为：r ds dT ⋅⋅=τ ……………………………③ ∵θrdrd ds =……………………………④ ∴①、②、④代入③得：θμωτdrd hr dr ds dT 3=⋅⋅=两边积分得：hD drd hr T D 3242023πμωθμωπ==⎰⎰，即为粘性系数μ与转矩T 及角速度ω之间的关系。
1-3.用容积为31000m 的金属罐作水压试验。
先在容器内注满一个大气压的水，然后加压注水，使容积内压强增加到25/107m N ⨯，问需再注入多少水？解：有水的体积弹性模数公式可知水压试验后容器内的液体密度增量为：ρρE =∆，则多注入水的体积为：3293225285.0/101.21000)/101325/107(m mN m m N m N E V p V E p VmV ≈⨯⨯-⨯=⋅∆=⋅⋅∆=⋅∆=∆=∆ρρρρρ。
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质点上的情况。
yst
=
Rl 3 3EI
=
Ml 2 2EI
A=
yst
=
Ml 2 2EI
(b)
内力及其它处位移为(b) (c)之和
=+
M sint
m
Rsint
M AD
=
M 2
- Rl
=
M 2
-
3M 2
(c)
=
-M
3 2
-
1
2
=
-M 1+
2 2w 2
2、单自由度体系简谐荷载下的动力反应计算
运动方程：
.y. +w 2 y =
F m
sin
t
yst
=
F
=
F
mw 2
荷载幅值引起 的静位移
稳态反应：y = yst sin t = Asin t 振幅A： A = yst
=
1
-
1
2
w2
β动力系数
位移稳态反应为与动荷载同频率的简谐振动。两者同时达到幅值。
3、求有阻尼时的跨中动位移幅值.
==11--w1232840.212+64222
+
2
-
1 2
40.052
w2
802 134.162
-12
=1.546
yP
=
Ff11
=
F 5l3 192 EI
=
20 103 5 43 192 90 105
C
例：建立图示梁运动微分方程 ，求
B点的最大动位移和最大动弯矩。
解：3、求动弯矩幅值:
M b max
=
0.25M
+
5l 32
(my p
2)
3l
1
16
C
5l 32
0.5
1
C
0.25
1
Msinθt
A EI B m
C
l/2
l/2
A
A
I
A
×M
IM
B
C
yp
1
B
C
11
1
B
C
1P
M
bmax
=
0.25M
+
一、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为
体系的振动自由度。
几点注意： 1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集
中质量数，可能比它多，也可能比它少。 2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，
动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。也 可以运用附加支杆法确定。
1
m =1
+
2 m1 1
l1 p 11
=
-M 1 -
2 w2
+
3 2 2w 2
=
-M 1 +
2l 2w 2
11 =
l3 3EI
,1P
=
l2 2EI
1
⑶直接建立运动方程求解。
EI
宜列柔度方程：y = -my11 + M sint1P
2p
2
k
g
=
0.0496
20 2
981 =
486.6kN
k 2
W=mg
k 2
(2)求ω
w
=
2p
T
=
4.48
1 s
(3)求ξ
= 1 ln 2 = 0.0355, 2p 1.6
wr = w
1-2
1
= w(0.999) 2
w
(4)6周后的振幅
y0 y1
=
e -w t0 e-w (t0 +T )
1.546
=
5.73 10 -3 m
=
0.573 cm
4、求有阻尼时的跨中动弯矩幅值
a
=
tg
-1
2w w2 -
2
= 5.3o
一般方法：当位移y=ypsin(θt－α)达幅值时
θt－α=90 o
t=1.19 s
此时惯性力幅值: I = m 2 yp = 300802 0.00573=11002N
例1：建立图示体系的运动 微分方程，并求自振 频率和周期。
解：用刚度法： 作受力图
m EI＝∞
l/2
l/2
m
l
..
2
k
m
l/2
m
3l
..
2
M
A
=
ml 2
..
l 2
+
3ml 2
..
3l
2
+
kl
l
=
0
10m
..
+
k
=0
..
+ w 2
=0
w =2
k,
4
10m
kl
T = 2p =p 10m
或：
y+ w 2 y = P* sint
m
其中：w 2 = 1 ，P* = M 1P
m11
11
11
=
l3 3EI
,1P
=
l2 2EI
,
P*
=
3M 2l
, yst
=
P*l 3 3EI
=
Ml 2 2EI
A
=
yst
=
Ml 2 2EI
l
EI
1
= 1- 2
w2
1
l
动内力计算
M sint
k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动 方向施加的力。
自振周期（频率）与 且只与结构的质量和结构的刚度有关， 与荷载和初始干扰因素无关。是结构的固有特性。
要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度。 增大质量或降低刚度可降低频率或提高周期，反之亦然。
三、 单自由度体系的强迫振动 结构在荷载作用下的振动。
== 1
11--820
1
2w1234.16
2
=1.552
yP
=
Ff11
=
F 5l3 192 EI
=
20 103 5 43 192 90 105
1.552
=
5.75 10 -3 m
=
0.575 cm
M d max
=
Fl 4
=
F 4 4
=
201.552
=
31.04kN.m
y.1.1(t )
+w2
l/2
y(t)
==5l23142PM 71l1mm1
sintt
w = 1 = 768EI
1ABC NhomakorabeaI (t)
11
1P
m
0.5
11
7ml3
1
1
A
B
2y、yp 求p=11=B=1点PE11M位I1(l6移m21(-2幅y1pw2l值221032=y.6l2)P1-5y：P+s2l=tE35112lPI )Ml6=2 7(26171PC8l2l3E=0IE.15I-l62l2(02=×.22l15M-)0=1s.5wi3n-222θl2l2Et=I01.2-15P)77=1m6382lE22ElI3I
此时荷载值: F(t) = F sint = 20000sin(801.19) =19918N
产生动位移和动内力幅值的外力:
P = I + F(t) = 11002+19918 = 30920N
Pl 30.92 4
Mcmax = 4 =
4
= 30.92kN m
30.92kN EI
k
比例算法: 本例动荷载与惯性力共线,
时，梁中点的动位移幅值和最大动力弯矩。
Fsinθt
解 ：1、求自振频率
EI m
f11
=
1 2
1 2k
+
l3 48EI
= 5l 3 192EI
l/2
l/2 k
w = 1 = 192EI
1 EI
mf11 5ml3 = 19290105 =134.16s-1
f11
k
1/2
530043
2、求无阻尼时的跨中动位移幅值
无阻尼
有阻尼
运动微分方程
y..
+w2y
=
P m
s in t
稳态解
y = yP sint
动位移幅值 yP = yst
y..
+
+2w y.
+w2y
=
P m
s in t
y = yP sin(t -a)
yP = yst
动力系数 共振时
= 1 1- 2 w 2
=
=
1-
5l 32
m
21P
M
=
M 4
(1+
5l 8
m
21P
)=M
st
M
M
=1+
5l 3m 2
256EI
⑴将荷载化成作用在质点且与质点运动方向一致的荷载
(b)中质点无位移，无
惯性力，按静力法 R = 3M