第二章 定量资料的统计描述02

百分位数（percentile, Px）: 对总体来说，它表示总体中数值小于的Px 个体恰有x%。 对样本来说，它表示在按照升序排列的数 列里，小于Px的个体数在整个样本中所占 百分比为x%。 显然，中位数就是P50。
样本百分位的计算公式为：
i n x% f L Px L fx
5 0 7.0 11.0 15.0 19.0 23.0 27.0
ª å ú Ñ Ç Ì (umol/L)
0.08
0.04
图2-3 120名健康成年男子血清铁含量频率密度直方图
问题： 频数直方图与频率密度直方图的意义是否 一样？
表2-3 187例某种沙门氏菌食物中毒潜伏期分布
潜伏期（小时） 0--12--24--频数 35 70 40 累计频数 35 105 145
1）算术平均数：描述对称分布资料的平均水平
总体的算术均数常用表示， 样本的算术均数则在变量上加一横，如X, Y
f x X f
i i i i
i
x1 x2 ... xn X n
x
i 1
n
i
n
某公司员工工资情况(单位:元)
月工资x 800 1000 1200 1500 2000 员工数f 5 10 20 7 5 员工比重 f/Σf 0.10 0.20 0.40 0.14 0.10 f· x 4000 10000 24000 10500 10000 x· f/Σf 80 200 480 210 200
1）极差： R= 最大值 – 最小值
A： 26 28 30 32 34 B： 24 27 30 33 36 C： 26 29 30 31 34
极差： 计算方便； 只考虑两个极值； 与n有关，用于比较是需注意。
2）四分位数间距：
QR = P75 – P25
四分位数间距：
包抱总体中数值居中的50%的个体；与 全距的区别仅仅在于计算范围较窄。 计算时没用到每个个体的数值； 其值越大，说明变量变异越大。
2、连续型定量变量的频数分布 问题： 1）何为连续型定量变量？ 2）其与离散型定量变量有何区别？ 3）连续型定量变量的频数分布表该如何绘 制？
例2-2 抽样调查某地120名18岁到38岁健康男性居民 血清铁含量（umol/L），数据如下。试编制血清铁资 料的频数分布表。 7.42 8.65 23.02 21.61 9.97 22.73 14.94 20.18 21.62 23.07 20.38 8.40 17.32 29.64 19.69 21.69 23.90 17.45 19.08 20.52 24.14 ……. 14.18 16.52
变量频数分布的类型： 1）对称分布 2）偏态分布： 正偏峰（positive skew ）分布（向左偏） 负偏峰 (negative skew) 分布（向右偏）
变量频数分布的两个特征 1）集中趋势（central tendency） 2）离散趋势 (tendency of dispersion)
3）中位数：可用于各种分布的定量资料。指总体中有一半个体 的数值低于这个数，一半个体的数值高于这个数。 对于样本资料，有如下计算公式：
n为奇数时：
M X n 1
2
n为偶数时：
1 M Xn Xn 1 2 2 2
对于频数表资料，可用百分位数的方法计 算中位数。
3、与中位数相比，算术平均数对数据变化的 “灵敏度”很高。但算术平均数极容易受到 个别极端值的影响，即对极端值的“耐抗性” 较低。“灵敏度”与“耐抗性”是一对矛盾， 实际应用中，可根据这些特点和分析的要求， 审慎的选择有关指标。（分布类型） 4、适用资料的类型：算术平均数和中位数均 适用于定量资料，但中位数还适用于有序分 类资料。
甲市 乙市 人均年收入 6000 12000 标准差 150 180 四分位数 3200 3500 变异系数% 2.5 1.5
乙市年收入与标准差均高于甲市，是否可认为乙市收入差距高于 甲市呢？ 变异系数显示：乙市居民的收入差距相对于他们的平均收入来说， 比甲市要低的多。 故以居民对收入差距所承受的压力而言，甲市比乙市要高。
描述统计量的一般应用总结表 对称分布 平均 水平 变异 程度 算术均数 偏态分布 中位数 开口数据 中位数 等比级数资料 几何均数 中位数
标准差 方差 变异系数 全距
四分位数间距 四分位间距 对数标准差 全距 全距
问题： 均数、方差（标准差）常用来描述对称分布 资料，为什么？
3）方差，又称均方差（mean square deviation）

2

X
i
i

2
N
x 26 28 29
X-u -4 -2
(x-u)2 16 4
30
32 34 合计
0
2 4 0
i
0
4 16 40
2

2

X
i

N
40 8 5
S
2
X
i
i
X
2
n 1
Xi i n n 1
频率（%）
4.2 7.3 11.5 13.5 27.1 24.0 12.5 100.0
累计人数
4 11 22 35 61 84 96 ——
累计频率（%）
4.2 11.5 22.9 36.5 63.5 87.5 100.0 ——
¼ Í 2-1 Ä µ 96Ã ¸ Å ² Ç ¼ ² ´ Ê ²² Í ³ Ø û ¾ ® ú °ì é Î ý Ö ¼ ¼ µ ý Æ Ê 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 ú °ì é Î ý ² Ç ¼ ² ´ Ê 5 >5
表2-2 120名正常成年男子血清铁含量（ umol/L）频数表
组段
6--8--10--12--14--16--18--20--22--24---
频数
1 3 6 8 12 20 27 18 12 8
频率（%）
0.83 2.50 5.00 6.67 10.00 16.67 22.50 15.00 10.00 6.67
1、离散型定量变量的频数分布 例2-1 1998年某山区96名孕妇产前检查次 数资料如下： 0,3,2,0,1,5,6,3,2,4,1,0,6,5,……,4,7。
表2-1 1998年某地96名妇女产前检查次数频数分布
检查次数
0 1 2 3 4 5 >5 合计
频数
4 7 11 13 26 23 12 96
2500
合计
3
50
0.06
1.00
7500
66000
150
1320
四个同学成绩： 20， ， ， ，则平均成绩 60 70 75 20 60 70 75 225 X＝ ＝ ＝56.25 4 4
2）几何平均数：个体变化范围越过多个数量级的资料
G
n
x1 x2 ...xn
log X 1 i G log n
变异系数无量纲，可用于量纲相同、或不同的变量变 异程度大小的比较。
变异程度指标总结：
全距、四分位数间距：具有绝对数的形式 方差：离均差平方的算术平均数 标准差：离均差平均数的形式。
共同点：都有具体计量单位，都受计量单位 的影响（英尺、米；美元、英镑）
变异系数：是一类相对数形式的变异指标。排除计 量单位对计算结果的影响。
二、
定量变量的特征数
（描述定量变量的统计指标、 或定量变量的数值特征）
1、描述集中趋势的统计指标（平均数 average) 1）算术均数(arithmetic mean)，简称均数 2）几何均数(geometric mean, G) 3）中位数（median, M） 4）众数（mode） 5）调和均数(harmonic mean, H)
第二章 定量资料的统计描述
问题1： 何为定量资料？ 问题2： 何为统计描述（statistical description）？
统计描述：用统计表、或统计图、或 统计指标（描述统计量）概括和揭示 资料（data）的数量信息和特征。 目的使资料简洁、明了，便于人们了 解资料的规律性。
一、变量的频数分布
频数（frequency）：重复某随机试验，某 随机事件出现的次数，称为频数。 频数分布表（frequency distribution table） 简称频数表（frequency table）：含有组 段与频数的统计表，称频数表。 直方图（histogram）：为直观反映频数表， 利用直角坐标系绘制频数图，横轴表示变 量的“各种情形”，纵轴表示频数、或频 率、或频率密度。
2
S
2

X
i
2 i
4）标准差：方差的算术平方根，即为标准差。
S
X
i
i
X
2
n 1
标准差与方差的含义类似， 值越大，说明变量的变异越大， 都适合用来表达对称分布的离散趋势。 两者不同的是量纲不一样。
5）变异系数：标准差与均数之比，即为变异系数。 用于描述对称分布资料的变异程度。
S CV 100% X
5）调和均数：先求原始数据的倒数的算术均数， 该算术均数的倒数便称为原始数据的调和均数。
H
1 1 n

i
1 xi
问题:算术平均数与中位数的区别与联系 1、都是用来表示总体的一般水平或分布的集 中趋势，都属于抽象化的代表值。 2、代表的意义不同： 算术平均数是对所有变量值来计算的平均 数,它能概括反映整个数列中每个变量值的 平均水平; 中位数则是根据总体中处于中间位置上的 少数变量值来确定的代表值。 从这一点来说，算术平均数对数据的概括 能力比中位数显然来的更强一些。
式中：L为所求百分位数所在组段的下限； i为该组段的组距； f x为该组段的频数； n为总频数； f L为该组段之前的累计频数。