弹塑性力学_第9章 弹性与塑性应力应变关系N
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工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性力学第09章
m m 3K m 3K m
m
公式中eij和 sij为按塑性理论所得数值， 而 eij 和 sij 为按弹性理论所得数值，当 所加载荷全部卸除后，由于两组应力应变 数值计算方法不同，其数值一般也不相等， 将使构件内存在残余应力和残余应变。
讨论
尽管全量理论有其局限性，但应用比较 方便，许多人在非简单加载时也用了全量 理论。由于缺乏理论根据，在应用时还必 须用实验加以验证，而大部分的实验验证 尚能符合，值得令人深思。看来在实际应 用中，全量理论的适用范围不限于简单加 载。这个范围的确定，以及在这个范围内 应用全量理论所引起的误差，都尚需作进 一步的研究。
9-2 弹性本构关系
弹性状态下的应力应变关系就是广义Hook定律， 其直角坐标形式表示如下：
1 x x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
xy yz zx
3.全量理论的适用范围与简单加载定理
如果物体内一点的各个应力分量保持不变的比例 而单调增长，这样的加载过程就称为简单加载，简 单加载的特点是应力主向不变，而且不发生卸载和 中性变载。在简单加载条件下，应力与应变之间的 对应关系符合弹塑性小变形理论的关系式，这已经 为实验所验证，还可以用增量应力-应变关系积分得 到证明。这就是说，简单加载情况下，应用全量理 论是正确的。
（9-5a）
S x S y Sz ex ey ez 0
（9-5a）式中只有五个方程是独立的，需要补充 （9-4），才能和（9-1）等价。
利用
1 1 1 e xy xy , e yz yz , e zx zx 2 2 2
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。
但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。
变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。
此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。
而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。
相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。
本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。
即，),,(T t f εσ=。
另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。
我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。
在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。
而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。
在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。
初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。
最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。
弹塑性力学9厚壁圆筒
—— 平面轴对称问题 在这类问题中，应力、应变和位移量均与环向坐标θ 无关，而仅是径向坐标 r 的函数。
采用极坐标( r ,θ)表示各应力分量。
轴对称性（应力轴对称）
r 0
径向应力与环向应力仅是r的函数，与θ无关，
r (r), (r) r (r), (r)
由于轴对称性，筒体只产生沿半径方向的均匀膨胀 和收缩，即只产生径向位移 u(r)
第9章 厚壁圆筒的分析
厚壁圆筒的弹性分析 厚壁圆筒的弹塑性分析 组合厚壁圆筒的分析 厚壁圆筒的残余应力 强化材料的厚壁圆筒 厚壁圆球的分析
9-1 厚壁圆筒的弹性分析
厚壁圆筒：外半径b与内半径a之比 b/a>1.2 它的几何形状对称于中心轴，且沿筒体轴向无变化， 圆筒的载荷分布亦对称于中心轴，并沿轴向均相同。
( z
r )2
2
2 s
平面应变
z
1 2
(
r
)
r
2 3
s
1.155 s
在轴对称平面应变条件下，并设μ=0.5，按两种 屈服条件进入塑性状态时，其应力组合相同，所 满足的条件仅相差一个系数。
Tresca屈服条件的系数为1；Mises屈服条件的系 数为1.155。
❖ 弹塑性分析
当内压 p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，
u
E
a2 (b2
p1 a
2
)
[
(1
r
)b2
(1
)r]
②厚壁圆筒仅受外压p2，即p1=0
r
b2 p2 b2 a2
(1
a2 r2
),
b2 p2 b2 a2
(1
a2 r2 )
u
b2 E(b2
p2 a
采用极坐标( r ,θ)表示各应力分量。
轴对称性（应力轴对称）
r 0
径向应力与环向应力仅是r的函数，与θ无关，
r (r), (r) r (r), (r)
由于轴对称性，筒体只产生沿半径方向的均匀膨胀 和收缩，即只产生径向位移 u(r)
第9章 厚壁圆筒的分析
厚壁圆筒的弹性分析 厚壁圆筒的弹塑性分析 组合厚壁圆筒的分析 厚壁圆筒的残余应力 强化材料的厚壁圆筒 厚壁圆球的分析
9-1 厚壁圆筒的弹性分析
厚壁圆筒：外半径b与内半径a之比 b/a>1.2 它的几何形状对称于中心轴，且沿筒体轴向无变化， 圆筒的载荷分布亦对称于中心轴，并沿轴向均相同。
( z
r )2
2
2 s
平面应变
z
1 2
(
r
)
r
2 3
s
1.155 s
在轴对称平面应变条件下，并设μ=0.5，按两种 屈服条件进入塑性状态时，其应力组合相同，所 满足的条件仅相差一个系数。
Tresca屈服条件的系数为1；Mises屈服条件的系 数为1.155。
❖ 弹塑性分析
当内压 p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，
u
E
a2 (b2
p1 a
2
)
[
(1
r
)b2
(1
)r]
②厚壁圆筒仅受外压p2，即p1=0
r
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(1
a2 r2
),
b2 p2 b2 a2
(1
a2 r2 )
u
b2 E(b2
p2 a
《弹塑性力学》第九章空间轴对称问题
80%
物理方程
描述了材料在不同应力状态下表 现出的物理性质。
塑性力学的基本方程
流动法则
描述了塑性应变与应力之间的 关系。
屈服准则
描述了材料屈服的条件，即应 力达到屈服点时的状态。
强化准则
描述了材料在塑性变形过程中 的应力增强机制。
空间轴对称问题的边界条件和初始条件
边界条件
描述了物体在边界上的受力状态和位 移约束。
如旋转机械、航空航天器等的 设计和分析。
土木工程
如桥梁、高层建筑等大型结构 的分析。
石油工程
如油藏模拟、油气管道设计等 。
核工程
如核反应堆、核废料处理设施 等安全评估。
02
空间轴对称问题的数学模型
弹性力学的基本方程
80%
平衡方程
描述了物体内部各点的受力平衡 状态。
100%
几何方程
描述了物体在受力后产生的形变 和位移。
近原问题的解。
在处理空间轴对称问题时，有限元法能 够将复杂的空间几何形状和边界条件简 化为易于处理和计算的离散模型，从而
提高求解效率。
有限元法在空间轴对称问题中广泛应用 于弹性力学、塑性力学等领域，能够得
到高精度的数值解。
有限差分法在空间轴对称问题中的应用
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法，通过求解差分方程来逼近原问题
目
CONTENCT
录
• 空间轴对称问题的基本概念 • 空间轴对称问题的数学模型 • 空间轴对称问题的解析解法 • 空间轴对称问题的数值解法 • 空间轴对称问题的实验研究
01
空间轴对称问题的基本概念
定义与特性
定义
空间轴对称问题是指物体在空间中关于某一直线或平面对称分布 的问题。
应力应变关系
我所认识的应力应变关系一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即εσX XE =在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：111213x x y zC C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++313233z x y zC C C σεεε=++ （2-3）x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：112233==C C C a =122113312332=====C C C C C C b = （2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩v 泊松比 2(1)EG ν=+剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律E G σετγ==对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
弹塑性力学9厚壁圆筒教学教材
应力分量：
r
a2bb22(p2a2 p1)
1 r2
a2bp21
b2p2 a2
a2bb22(p2a2 p1)
1 r2
a2bp21
b2p2 a2
Lamé公式
它和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题
位移分量：
u 1 [ ( 1 )a 2 b 2 (p 2 p 1 )1 ( 1 )a 2 p 1 b 2 p 2 r ]
)
q
pp
s
lnrp a
rp b 时，整个截面 进入塑性状态
ppslnrap 2s (1brp2 2)
r
s
ln
r b
塑性极限压力
pl
s
ln
b a
s(1lnbr)
应力分布情况
pe
+
- r
pp
+
- r
弹性极限状态 弹塑性状态
pl
+
-
r
塑性极限状态
σr 绝对值的最大值发生在筒体的内壁处； σθ的 最大值随着内压的增加而由内壁移到外壁， 随着塑性区的扩大，应力分布也变得“缓和”些。
弹塑性力学9厚壁圆筒
理学院力学与工程科学系
采用极坐标( r ,θ)表示各应力分量。
轴对称性（应力轴对称）
r 0
径向应力与环向应力仅是r的函数，与θ无关，
r(r),(r) r(r),(r)
由于轴对称性，筒体只产生沿半径方向的均匀膨胀 和收缩，即只产生径向位移 u (r )
轴向位移仅与z有关，即 w(z)
r
s
ln
r a
pp
s (1 ln
r) a
pp
q
弹性与塑性应力应变关系
02
弹性应力应变关系
弹性应力应变定义
弹性应力
物体受到外力作用时，在内部产生的抵抗 力量。
弹性应变
物体在弹性应力作用下发生的形状变化。
弹性阶段
在弹性应力范围内，物体的应力和应变呈 线性关系，即应力与应变成正比。
胡克定律
胡克定律表述：在弹性范围内，物体的应力和应变满足线性关系，即应 力=弹性模量×应变。
多尺度与跨学科 研究
未来研究可以进一步探索不 同尺度下材料的应力应变行 为，从微观到宏观，深入了 解材料的内在机制。此外， 跨学科的研究方法将有助于 更全面地理解材料的力学性 能，推动相关领域的发展。
实验与数值模拟 的结合
结合实验与数值模拟的方法 ，可以更准确地预测材料的 应力应变行为。通过建立更 精确的数学模型和实验装置 ，可以进一步揭示材料的力 学特性，为工程应用提供更 有力的支持。
应变软化
在某些情况下，随着应变的增加，材 料的屈服强度和极限强度会降低，表 现出应变软化的现象。这种现象通常 出现在高温或长时间变形条件下。
05
实际应用
工程材料选择
弹性材料
在工程中，选择具有高弹性模量和良好稳定性的材料，以确保结构在承受载荷 时具有足够的刚度和稳定性。
塑性材料
对于需要承受较大塑性变形的结构，应选择具有良好塑性和韧性的材料，以避 免脆性断裂和灾难性失效。
应用领域
弹性与塑性应力应变关系在工程 领域中具有广泛的应用价值，如 结构分析、材料设计、机械零件 的强度校核等。了解材料的应力 应变关系有助于合理设计构件， 提高结构的稳定性和安全性。
对未来的展望
新材料与新技术 的应用
随着科技的发展，新型材料 和先进技术的应用将进一步 拓展弹性与塑性应力应变关 系的研究领域。例如，智能 材料、纳米材料等新型材料 的出现，将为该领域的研究 提供更多可能性。
工程塑性理论应力应变关系
2
E
m
y
m
1 E
y
z
x
1 2
E
m
z
m
1 E
z
x y ｛｝
1
2
E
m
x m , y m ,
x y
x m , y m ,
xy y z
xyzymmmm
,
z z m
z
z
m
Gz 2z1Em
x
1 2G
x
,
y
1 2G
y
,
z
1 2G
z
,
xy
yx
1 2G
xy
即应变增量张量就是应变增量偏张量。
在上述假设基础上，可假设应变增量与 应力偏张量成正比，即
d ij ij d
d x d y d z d xy d yz d zx d x m y m z m xy yz zx
式中：dλ—正的瞬时常数，在加载的不同 瞬时是变化的，在卸载时，dλ=0。
d ij ij d
d x x m d
x
x
y
3
z
d
2 3
d
x
1 2
y
z
d x
2 3
d
x
1 2
y
z
,
d y
2 3
d
y
1 2
z
x ,
d z
2 3
d
z
1 2
x
y
,
d xy
xy
d
d yz yzd
d zx zx d
将上式正应变两两相减，并写出切应变公式：
yz
2G
zx
塑性力学和弹性力学的区别和联系
塑性力学和弹性力学的区别和联系固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰（荷载、温度变化等）下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的科学分支。
塑性力学、弹性力学正是固体力学中的两个重要分支。
弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。
大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。
所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。
因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。
塑性材料或塑性物体的含义与此相类。
如上所述。
大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。
本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。
以及相应的“破坏”准则或失效难则。
塑性力学和的区别在于，塑性力学考虑物体内产生的永久变形，而弹性力学不考虑；和的区别在于，塑性力学考虑的永久变形只与应力和应变的历史有关，而不随时间变化，而流变学考虑的永久变形则与时间有关。
一、基本假定1、弹性力学：（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
弹性与塑性应力应变关系
弹性与塑性应力应变关系
一维：胡克定律 弹性状态
三维：广义胡克定律
屈服条件
塑性状态
应力与应变增量的关系－增量理论 比例变形时：全量理论
应变与应力及变形历史有关
弹性与塑性应力应变关系
❖ 拉伸与压缩时的应力应变曲线 ❖ 弹塑性力学中常用的简化模型 ❖ 弹性应力应变关系－广义胡克定律 ❖ 两个常用的屈服条件 ❖ 塑性应力与应变增量的关系--增量理论 ❖ 塑性应力与应变增量的关系--全量理论
➢ 应力偏量与应 变偏量成正比
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
3K
3(1
2
E
)
0
体积应变与平均应力成正比。
0
E 3(1 2 )
K
k E
3(1 2 )
体积弹性模量
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
x
x
y
z
1 2
E
x
y
z
z
1 E
z
x
y
体积应变： x y z 3 0
1 2
E
体积应力： x y z 3 0
0
1 2
E
0
体积应变与三个主应力的和成正比。
一维：胡克定律 弹性状态
三维：广义胡克定律
屈服条件
塑性状态
应力与应变增量的关系－增量理论 比例变形时：全量理论
应变与应力及变形历史有关
弹性与塑性应力应变关系
❖ 拉伸与压缩时的应力应变曲线 ❖ 弹塑性力学中常用的简化模型 ❖ 弹性应力应变关系－广义胡克定律 ❖ 两个常用的屈服条件 ❖ 塑性应力与应变增量的关系--增量理论 ❖ 塑性应力与应变增量的关系--全量理论
➢ 应力偏量与应 变偏量成正比
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
3K
3(1
2
E
)
0
体积应变与平均应力成正比。
0
E 3(1 2 )
K
k E
3(1 2 )
体积弹性模量
x
1 E
x
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z
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1 E
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x
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x
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y
z
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E
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z
1 E
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y
体积应变： x y z 3 0
1 2
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体积应力： x y z 3 0
0
1 2
E
0
体积应变与三个主应力的和成正比。
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
有限差分法
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是一种基于差分原 理的数值模拟方法。
它通过将连续的时间和空间离散化为有限个差分节点，并利用差分近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限差分法适用于求解偏微分方程，尤其在求解波动问题和热传导问题方 面具有优势。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
弹塑性力学弹性与塑性应 力应变关系详解课件
目录
• 弹性应力应变关系 • 塑性应力应变关系 • 弹塑性本构模型 • 弹塑性力学的数值模拟方法
01
弹塑性力学基 础
弹塑性力学定义
01
02
03
弹塑性力学
是一门研究材料在弹性与 塑性范围内应力应变关系 的学科。
弹性
材料在受到外力作用后能 够恢复到原始状态的性质。
弹塑性力学_第9章 弹性与塑性应力应变关系N
岩石与混凝土应力应变关系
σ
土层应力应变关系
ε
１、理想弹塑性模型
※分段分析
σ=Eε
ε ≤εS
σ=EεS=σS ε ＞εS
※应用于强化不明显的材料
2、线性强化弹塑性模型
※分段分析
σ=Eε
ε≤εS
σ=σS+ E1(ε-εS) ε＞εS
※应用于具有线性强化特征的材料
§9-2 简化的力学模型
σ
tg-1E
ε
σ
• 加载与卸载应力应变关系的差异
加载：塑性应力应变关系
卸载：弹性力学广义虎克定律
• 关于屈服
单轴问题：σ～ε曲线
双轴： 三轴：
σ1～σ2曲线 应力空间曲面
比较材料力 学强度理论
屈服曲面的概念----屈服函数----屈服条件
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
1、拉伸问题 延性材料拉伸时的应力应变关系（低碳钢为例）
z
y
1[
E
y - (
z
)]
x
z
1
E
[
1
xy G
z - (
xy
x
)]
y
1
yz G
yz
1
zx G
zx
2、平均应变与平均应力的关系
§3-３ 广义虎克定律
体应变：
x y z
1 E
[(
x
y
z)
2 ( x
y
z )]
令
1 2 E
( x
y
z)
x y z 30
• 塑性状态下体积为常数
A0 H0 AH
A
A0
H0 H
A0
弹塑性力学9厚壁圆筒课件
。
加载方式选择
根据实验需求，选择静态或动 态加载方式，如拉伸、压缩、 弯曲等。
测试仪器准备
选用合适的测试仪器，如万能 试验机、引伸计、动态数据采 集系统等，确保测试精度和可 靠性。
实验过程记录
详细记录实验过程，包括加载 速度、试样变形、破坏形态等
，为后续分析提供依据。
数值模拟方法选择和建模过程
有限元软件选择
结果对比分析和讨论
实验与数值模拟结果对比
将实验测得的力与位移曲线、应力应变曲线等与数值模拟结果进 行对比分析，评估数值模拟的准确性。
误差来源分析
分析实验与数值模拟结果之间存在的误差来源，如材料性能差异、 几何尺寸偏差、边界条件设置等。
参数敏感性分析
针对不同参数进行敏感性分析，探讨各参数对厚壁圆筒弹塑性性能 的影响规律。
判断依据
可通过解析法、数值法或实验法求得圆筒的塑性失稳压力，若实际工作压力大于塑性失稳压力，则圆 筒将发生塑性变形并可能导致破裂。
防止失稳措施和建议
01
02
03
04
选择合适的材料
根据圆筒的实际工作条件和要 求，选择具有足够强度和稳定
性的材料。
优化圆筒结构设计
通过优化圆筒的几何尺寸、壁 厚等参数，提高其承载能力和
材料密度
选择低密度材料可减轻圆筒重量，降低应力集中现象。
结构参数对优化设计影响
圆筒厚度
01
增加圆筒厚度可提高承载能力和刚度，但也会增加重量和成本
。
圆筒长度
02
合适的圆筒长度可确保传力均匀，减小应力集中现象。
圆筒内外径比
03
合适的内外径比可确保圆筒在承受内压和外载时具有足够的稳
定性。
优化算法在厚壁圆筒中应用
加载方式选择
根据实验需求，选择静态或动 态加载方式，如拉伸、压缩、 弯曲等。
测试仪器准备
选用合适的测试仪器，如万能 试验机、引伸计、动态数据采 集系统等，确保测试精度和可 靠性。
实验过程记录
详细记录实验过程，包括加载 速度、试样变形、破坏形态等
，为后续分析提供依据。
数值模拟方法选择和建模过程
有限元软件选择
结果对比分析和讨论
实验与数值模拟结果对比
将实验测得的力与位移曲线、应力应变曲线等与数值模拟结果进 行对比分析，评估数值模拟的准确性。
误差来源分析
分析实验与数值模拟结果之间存在的误差来源，如材料性能差异、 几何尺寸偏差、边界条件设置等。
参数敏感性分析
针对不同参数进行敏感性分析，探讨各参数对厚壁圆筒弹塑性性能 的影响规律。
判断依据
可通过解析法、数值法或实验法求得圆筒的塑性失稳压力，若实际工作压力大于塑性失稳压力，则圆 筒将发生塑性变形并可能导致破裂。
防止失稳措施和建议
01
02
03
04
选择合适的材料
根据圆筒的实际工作条件和要 求，选择具有足够强度和稳定
性的材料。
优化圆筒结构设计
通过优化圆筒的几何尺寸、壁 厚等参数，提高其承载能力和
材料密度
选择低密度材料可减轻圆筒重量，降低应力集中现象。
结构参数对优化设计影响
圆筒厚度
01
增加圆筒厚度可提高承载能力和刚度，但也会增加重量和成本
。
圆筒长度
02
合适的圆筒长度可确保传力均匀，减小应力集中现象。
圆筒内外径比
03
合适的内外径比可确保圆筒在承受内压和外载时具有足够的稳
定性。
优化算法在厚壁圆筒中应用
第9章应力应变分析及应力应变关系
(1) 绘制各内力分量的内力图时，取x轴平行于杆件轴线，用x坐标表示横 截面位置； (2) 根据内力方程的分段确定各段内力的区间，求出每段内力图在两端控 制面上的内力值，以确定该段内力图两端的控制点； (3) 再根据每段内力方程的函数形式确定该段内力图的曲线形状，并根据 绘图需要在该段曲线上选取若干代表点（如：最大、最小值点及曲线 的拐点）计算出内力值； (4) 最后将各点用确定形状曲线连接起来，标明内力的“+，-”号及各控 制点、代表点的内力绝对值，并在图内打上垂直于x轴方向的平行线， 即绘制得到所需的内力图。
扭矩 T
沿x轴方向的内力偶矩 M 的分量称为扭矩（其作用面为杆件的横截
面）。
18
弯矩 M y , M z
(M M y M z )
沿y轴和z轴方向上的内力偶矩分量称为弯矩（其作用面分别为xz和xy平 面）。 轴力、剪力、扭矩、弯矩四种内力分别对应于变形体静力学中的所研究 的杆件的四种基本形式，轴向拉压、剪切、扭转、弯曲。 在变形体静力学中，对这些内力分量不需要进行矢量运算，强调的是它 们的变形效应，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。
工程实际中，构件受到载荷作用，要保证构件能正常、安全地工作，必 须解决以下3个问题：
3
变形固体静力学要解决3个方面的问题 1. 强度
指构件承受外力而不发生破坏的能力。 例如：房屋倒塌、飞机坠落、高压容器爆破等都是由于强度不够所导致。
2. 刚度
指构件抵抗变形的能力。 若变形过大，即使构件没有破坏，但也不能正常工作。 例如： 机床主轴变形过大，会影响加工精度。
(4) 外力作用下，一般杆件的内力分析。
2
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
§9.1 变形固体静力学的任务
扭矩 T
沿x轴方向的内力偶矩 M 的分量称为扭矩（其作用面为杆件的横截
面）。
18
弯矩 M y , M z
(M M y M z )
沿y轴和z轴方向上的内力偶矩分量称为弯矩（其作用面分别为xz和xy平 面）。 轴力、剪力、扭矩、弯矩四种内力分别对应于变形体静力学中的所研究 的杆件的四种基本形式，轴向拉压、剪切、扭转、弯曲。 在变形体静力学中，对这些内力分量不需要进行矢量运算，强调的是它 们的变形效应，所以只需用其在自身方向上的投影表示即可。
工程实际中，构件受到载荷作用，要保证构件能正常、安全地工作，必 须解决以下3个问题：
3
变形固体静力学要解决3个方面的问题 1. 强度
指构件承受外力而不发生破坏的能力。 例如：房屋倒塌、飞机坠落、高压容器爆破等都是由于强度不够所导致。
2. 刚度
指构件抵抗变形的能力。 若变形过大，即使构件没有破坏，但也不能正常工作。 例如： 机床主轴变形过大，会影响加工精度。
(4) 外力作用下，一般杆件的内力分析。
2
第9章 变形固体静力学概述及 一般杆件的内力分析
§9.1 变形固体静力学的任务
弹塑性力学第9章—薄板的弯曲
Qx + ∂y =0
9.3 薄板的边界条件 写成挠度形式为
Qx +
O
∂M xy ∂y
=0
x
⎡ ∂3w ∂ 3w ⎤ ⎢ ∂x 3 + (2 − v ) ∂x∂y 2 ⎥ = 0 ⎣ ⎦ x=a
y
z
B
Myx
M xy dy
Mxy
dy
M yx dx
dy
dx
dx
RB = 2 M xy
当相邻两边都是自由边时，角点上的集中力不能被抵消，将 出现集中剪力，如果没有对应的支撑，该剪力也需为零，即
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
9.2 薄板小挠度理论的基本方程
a
a
9.2.3 平衡方程
b
d
从承受表面压强q的薄板中取 出 一 个 微 小 单 元 体 ， 尺 寸 为 h × dx × dy ，研究它的平衡。
b
q ( x, y )
x
c
y
x, u
dy
dx
h
y, v
qdxdy
z, w
qdxdy
Mxy
τ xz
My
Mx Qx
τ yz
h
M yx
Qy
dx
σx σy
dx
τ xy
dy
dy
9.3 薄板的边界条件 写成挠度形式为
Qx +
O
∂M xy ∂y
=0
x
⎡ ∂3w ∂ 3w ⎤ ⎢ ∂x 3 + (2 − v ) ∂x∂y 2 ⎥ = 0 ⎣ ⎦ x=a
y
z
B
Myx
M xy dy
Mxy
dy
M yx dx
dy
dx
dx
RB = 2 M xy
当相邻两边都是自由边时，角点上的集中力不能被抵消，将 出现集中剪力，如果没有对应的支撑，该剪力也需为零，即
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
9.2 薄板小挠度理论的基本方程
a
a
9.2.3 平衡方程
b
d
从承受表面压强q的薄板中取 出 一 个 微 小 单 元 体 ， 尺 寸 为 h × dx × dy ，研究它的平衡。
b
q ( x, y )
x
c
y
x, u
dy
dx
h
y, v
qdxdy
z, w
qdxdy
Mxy
τ xz
My
Mx Qx
τ yz
h
M yx
Qy
dx
σx σy
dx
τ xy
dy
dy
弹性与塑性应力应变关系
1 H / H 0 （3－6）
2013-7-25周书敬
第三章 弹性与塑性应力应变关系
13
第二节 简单应力状态的本构方程
• 对于不同的材料，不同的应用领域，其本构方程是
完全不同的 ，特别是对于塑性力学问题其应力应变关系为
非线性，叠加原理不能应用，而且应力应变关系还和变形 的历史有关。 • 根据不同材料简单拉压试验，提出以下几种不同的 简化力学模型（本构方程），在第0章已给出过，在此给 出具体分析。
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系 1
间的联系，所以，平衡方程和几何方程是两类完全相互独立 的方程，它们之间还缺乏必要的联系。对于所求解的问题来
讲，因为未知量数目多于任何一类方程的个数，所以，无法
利用这两类方程求得全部未知量。 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式， 这些关系式即是所谓的本构关系。本构关系反映可变形固体 材料的固有特性，故也称为物理关系，它实际上是一组联系
1 x (1 ) x E 1 y (1 ) y E 1 z E (1 ) z
间的关系是线性的，即可用胡克 定律(Hooke) 表示。
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系 3
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit） 2、弹性变形阶段 ： AB段
2013-7-25周书敬 第三章 弹性与塑性应力应变关系
随动强化模型
20
ห้องสมุดไป่ตู้
在塑性成形理论中的多数情况下，塑性应变一般都比弹
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σ 1-σ
3
=2k
§3-4 Teresca和Mises屈服条件
当未知三主应力的大小顺序时，
1 - 2 2 - 3
2k 2k
ζ
3
3 - 1 2k
⑶应力空间的图像表示 六棱柱面 其内部为弹性区，外部塑性区 等倾面上投影：正六边形 特殊情形（σ 3=0）： （在σ 1～σ 2坐标上为六边形）
x - 0
1
E
[( 1 ) x - ] 1
1 - 2
E E
0 0
E
[( 1 ) x - 3 0] -
1 - 2
１
E
( x 0)
1+ 1 ex sx sx E 2G
ex ey ez
1 sx 2G 1 sy 2G 1 sz 2G
E E
3 "
2
E
3 "'
3
E
§9-３ 广义虎克定律
◆ 广义虎克定律----用应力表示应变的
1、应力分量与应变分量的关系
x
1
E
1
[
x
- (
y
塑性力学的特点
• • • • 应力应变关系非线性----与具体材料有关 应力应变关系非一一对应性----与加载历史有关 弹性变形与塑性变形的分界线问题 加载与卸载应力应变关系的差异 加载：塑性应力应变关系 卸载：弹性力学广义虎克定律 • 关于屈服 单轴问题：σ ～ε 曲线 比较材料力 双轴： σ 1～σ 2曲线 学强度理论 三轴： 应力空间曲面 屈服曲面的概念----屈服函数----屈服条件
z
)] )]
y
E
1
[ [
y
- ( - (
z
x
z
E
1
z
x
y
)]
xy
G
1
xy
yz
G
1
yz
zx
G
zx
2、平均应变与平均应力的关系 体应变：
x y z
§3-３ 广义虎克定律
令
1 [( x y z ) 2 ( x y z )] E 1 2 ( x y z ) E 1 2 x y z 3 0 E 1 2 x y z 3 0 0 0 E
E
1 2
E
]
E E x x 1 (1 )(1 2 )
引入拉梅常数，以及E、G的关系 E E G ( 1 )( 1 2 ) 2(1+ ) 从而上式变成
x 2G x
§3-３ 广义虎克定律
用应变表示应力形式的广义虎克定律
ζ
T
D3/H3 D2/H2 D1/H1
ζ
ε3＊
T
ε2＊ ε1＊
ε1＊ ε2＊ ε ＊ 3
ε
＊
D1/H1
D2/H2
D3/H3
D/H
§9-2 简化的力学模型
• 关于弹塑性力学常用力学模型的简化 材料力学性态与应力应变关系 • 延性材料应力应变关系 低碳钢应力应变关系 金属材料应力应变关系----相对稳定 • 脆性材料应力应变关系 岩石与混凝土应力应变关系 土层应力应变关系
ε
※应用于具有线性强化特征的材料
§9-2 简化的力学模型
3、幂强化力学模型 ζ =Aε n 两种特殊情况 σ =Aε n=1 σ =A n=0 4、刚塑性模型
ζ﹤ζ ζ =ζ
S S
ζ
ε
ζ
ε =0 ε ↑
ζ ε
应用于弹性变形很小可忽略的情况 5、线性强化刚塑性模型 = S +E1
ε
§3-３ 广义虎克定律
H0 H0 H 1 H0
• 压缩时的对数应变
H0 1 ln ln H 1
• 塑性状态下体积为常数
• 真实应力
A0 H 0 AH A A0 H0 1 A0 H 1
P P T (1 ) A A0
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
• 真实应力与对数应变关系的建立 压缩试验端部摩擦影响问题 试件直径D0越大，端部摩擦影响越大 理想压缩状态：D0/H=0 • 左图，三曲线对应不同径高比 • 右图，三曲线对应不同的对数应变
1 3 x 1 ( 2 3), y ( 3) 2 2 2
x
3
代入圆的方程
1 3 2 [ 1 ( 2 3 )] [ ( 2 3)]2 R 2 2 2
( 1 2)2 (2 3)2 (3 1)2 2R 2
• 由上述结果可知 当材料处于弹性阶段 应力莫尔圆与应变莫尔圆相似 应力Lode参数与应变Lode参数相等 应力形式指数与应变形式指数相等 可以说明两点 应力主轴和应变主轴重合 应力分量与相应的应变分量比值相同
§3-３ 广义虎克定律
◆ 广义虎克定律----用应变表示应力的形式
x
1
E
1
[ x x ( x y z )] [( 1 ) x
2、没有明显屈服点的材料的应力应变关系 • 0.2%塑性应变----ζ0.2 3、Bauschinger（包辛格）效应 关于拉伸与加压应力应变反向关系问题 一个方向屈服极限增加，另一方向屈服极限减小 • 理想Bauschinger效应
ζ
ζ
ε
ε
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
4、真实应力与名义应力 • 名义应力σ =P/A0, • 真实应力σ T=P/A • 材料进入塑性状态，lA=l0A0 • 所以有：A=l0A0/l
ζ ζ A’
T
Pl P l0 l T (1 ) A0l0 A0 l0
真实应力与应变曲线做法
B O‘
A
ε 1
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
5、真实应力与对数应变问题 • 压缩试验----减小压头横向摩擦阻力----润滑 • 工程应变 H 0 H 1 H
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
• 上式表明应力莫尔圆与应变莫尔圆成比例
§3-３ 广义虎克定律
4、应力Lode参数与应变Lode参数之关系 由数学关系知 A C E E E A B , C D B D F F F A C E E A C (B D ) 所以有 B D F F
CHAP 9 屈服条件与应力应变关系
• 材料的本构关系 与材料所处的力学性态有关 • 弹性问题： 材料受力立即变形，力解除则变形立即恢复。各向 同性体，各向异性体，横观各向同性体，正交各向异性 体等----虎克定律 • 流变问题： 受力物体随时间应力和应变都在变化，两个典型， 蠕变和应力松弛----不同模型描述 • 塑性问题： 材料受力立即变形，力解除则变形不恢复。 • 一般情况：材料表现弹性----还有残余变形 材料由弹性屈服进入塑性阶段----并非绝对 流变与时间相关----时间的相对性
ζεຫໍສະໝຸດ ζε§9-2 简化的力学模型
１、理想弹塑性模型
※分段分析
ζ =Eε ζ =Eε S=ζ
S
ζ
ε ≤ε S ε ＞ε S
tg-1E
※应用于强化不明显的材料
2、线性强化弹塑性模型
ζ
ε
※分段分析
ζ =Eε ζ = ζ S+ E 1( ε - ε S) ε ≤ε S ε ＞ε S
tg-1E1 tg-1E
本屈服条 件更接近 实际情况
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
• 此方程在应力空间图像为圆柱面 • 在应力空间， 应力落在圆柱面上，材料屈服 应力落在圆柱面内，弹性状态 5、Hencky（德，1924）弹性形变比能理论 • 弹性比能：
ζ
3
ζ ζ
1
2
1 W ( 1 1+ 2 2 + 2 2 ) 2 1 2 2 2 = [ 1 + 2 + 3 2 ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ] 2E
x y z
1 [(1 ) x - ], 1 [(1 ) y - ], 1 [(1 ) z - ],
xy yz zx
1
G
1
xy yz zx
G
1
G
§3-３ 广义虎克定律
3、应力偏量与应变偏量之间的关系
§3-３ 广义虎克定律
• 由上式可得
ey xy yz ex ez zx 1 sx sy sz 2 xy 2 yz 2 zx 2G
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
x 2G x y 2G y z 2G z xy G xy yz G yz zx G zx
前三式求和得
3 0 =3 2G 3 0 (3 2G ) =
=3K
K
E
1 2k 2 2k 1 2 2k
ζ
ζ
2
2
1
1
3
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
4、Mises屈服条件（1913年）
⑴基本观点：Mises认为：Teresca屈服条件在等倾面上6个点是来 自于实验；而6个点之间6直线连接是假设的。 ⑵Mises假设：圆弧连线--六点外切圆，应力空间为圆柱曲面（当 σ 3=0时，在π 平面上投影为椭圆）。 y ⑶屈服函数：在π 平面上，半径为R的圆的方程 2 x2+y2=R2 若用主应力来表示： 1
3
=2k
§3-4 Teresca和Mises屈服条件
当未知三主应力的大小顺序时，
1 - 2 2 - 3
2k 2k
ζ
3
3 - 1 2k
⑶应力空间的图像表示 六棱柱面 其内部为弹性区，外部塑性区 等倾面上投影：正六边形 特殊情形（σ 3=0）： （在σ 1～σ 2坐标上为六边形）
x - 0
1
E
[( 1 ) x - ] 1
1 - 2
E E
0 0
E
[( 1 ) x - 3 0] -
1 - 2
１
E
( x 0)
1+ 1 ex sx sx E 2G
ex ey ez
1 sx 2G 1 sy 2G 1 sz 2G
E E
3 "
2
E
3 "'
3
E
§9-３ 广义虎克定律
◆ 广义虎克定律----用应力表示应变的
1、应力分量与应变分量的关系
x
1
E
1
[
x
- (
y
塑性力学的特点
• • • • 应力应变关系非线性----与具体材料有关 应力应变关系非一一对应性----与加载历史有关 弹性变形与塑性变形的分界线问题 加载与卸载应力应变关系的差异 加载：塑性应力应变关系 卸载：弹性力学广义虎克定律 • 关于屈服 单轴问题：σ ～ε 曲线 比较材料力 双轴： σ 1～σ 2曲线 学强度理论 三轴： 应力空间曲面 屈服曲面的概念----屈服函数----屈服条件
z
)] )]
y
E
1
[ [
y
- ( - (
z
x
z
E
1
z
x
y
)]
xy
G
1
xy
yz
G
1
yz
zx
G
zx
2、平均应变与平均应力的关系 体应变：
x y z
§3-３ 广义虎克定律
令
1 [( x y z ) 2 ( x y z )] E 1 2 ( x y z ) E 1 2 x y z 3 0 E 1 2 x y z 3 0 0 0 E
E
1 2
E
]
E E x x 1 (1 )(1 2 )
引入拉梅常数，以及E、G的关系 E E G ( 1 )( 1 2 ) 2(1+ ) 从而上式变成
x 2G x
§3-３ 广义虎克定律
用应变表示应力形式的广义虎克定律
ζ
T
D3/H3 D2/H2 D1/H1
ζ
ε3＊
T
ε2＊ ε1＊
ε1＊ ε2＊ ε ＊ 3
ε
＊
D1/H1
D2/H2
D3/H3
D/H
§9-2 简化的力学模型
• 关于弹塑性力学常用力学模型的简化 材料力学性态与应力应变关系 • 延性材料应力应变关系 低碳钢应力应变关系 金属材料应力应变关系----相对稳定 • 脆性材料应力应变关系 岩石与混凝土应力应变关系 土层应力应变关系
ε
※应用于具有线性强化特征的材料
§9-2 简化的力学模型
3、幂强化力学模型 ζ =Aε n 两种特殊情况 σ =Aε n=1 σ =A n=0 4、刚塑性模型
ζ﹤ζ ζ =ζ
S S
ζ
ε
ζ
ε =0 ε ↑
ζ ε
应用于弹性变形很小可忽略的情况 5、线性强化刚塑性模型 = S +E1
ε
§3-３ 广义虎克定律
H0 H0 H 1 H0
• 压缩时的对数应变
H0 1 ln ln H 1
• 塑性状态下体积为常数
• 真实应力
A0 H 0 AH A A0 H0 1 A0 H 1
P P T (1 ) A A0
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
• 真实应力与对数应变关系的建立 压缩试验端部摩擦影响问题 试件直径D0越大，端部摩擦影响越大 理想压缩状态：D0/H=0 • 左图，三曲线对应不同径高比 • 右图，三曲线对应不同的对数应变
1 3 x 1 ( 2 3), y ( 3) 2 2 2
x
3
代入圆的方程
1 3 2 [ 1 ( 2 3 )] [ ( 2 3)]2 R 2 2 2
( 1 2)2 (2 3)2 (3 1)2 2R 2
• 由上述结果可知 当材料处于弹性阶段 应力莫尔圆与应变莫尔圆相似 应力Lode参数与应变Lode参数相等 应力形式指数与应变形式指数相等 可以说明两点 应力主轴和应变主轴重合 应力分量与相应的应变分量比值相同
§3-３ 广义虎克定律
◆ 广义虎克定律----用应变表示应力的形式
x
1
E
1
[ x x ( x y z )] [( 1 ) x
2、没有明显屈服点的材料的应力应变关系 • 0.2%塑性应变----ζ0.2 3、Bauschinger（包辛格）效应 关于拉伸与加压应力应变反向关系问题 一个方向屈服极限增加，另一方向屈服极限减小 • 理想Bauschinger效应
ζ
ζ
ε
ε
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
4、真实应力与名义应力 • 名义应力σ =P/A0, • 真实应力σ T=P/A • 材料进入塑性状态，lA=l0A0 • 所以有：A=l0A0/l
ζ ζ A’
T
Pl P l0 l T (1 ) A0l0 A0 l0
真实应力与应变曲线做法
B O‘
A
ε 1
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
5、真实应力与对数应变问题 • 压缩试验----减小压头横向摩擦阻力----润滑 • 工程应变 H 0 H 1 H
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
• 上式表明应力莫尔圆与应变莫尔圆成比例
§3-３ 广义虎克定律
4、应力Lode参数与应变Lode参数之关系 由数学关系知 A C E E E A B , C D B D F F F A C E E A C (B D ) 所以有 B D F F
CHAP 9 屈服条件与应力应变关系
• 材料的本构关系 与材料所处的力学性态有关 • 弹性问题： 材料受力立即变形，力解除则变形立即恢复。各向 同性体，各向异性体，横观各向同性体，正交各向异性 体等----虎克定律 • 流变问题： 受力物体随时间应力和应变都在变化，两个典型， 蠕变和应力松弛----不同模型描述 • 塑性问题： 材料受力立即变形，力解除则变形不恢复。 • 一般情况：材料表现弹性----还有残余变形 材料由弹性屈服进入塑性阶段----并非绝对 流变与时间相关----时间的相对性
ζεຫໍສະໝຸດ ζε§9-2 简化的力学模型
１、理想弹塑性模型
※分段分析
ζ =Eε ζ =Eε S=ζ
S
ζ
ε ≤ε S ε ＞ε S
tg-1E
※应用于强化不明显的材料
2、线性强化弹塑性模型
ζ
ε
※分段分析
ζ =Eε ζ = ζ S+ E 1( ε - ε S) ε ≤ε S ε ＞ε S
tg-1E1 tg-1E
本屈服条 件更接近 实际情况
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
• 此方程在应力空间图像为圆柱面 • 在应力空间， 应力落在圆柱面上，材料屈服 应力落在圆柱面内，弹性状态 5、Hencky（德，1924）弹性形变比能理论 • 弹性比能：
ζ
3
ζ ζ
1
2
1 W ( 1 1+ 2 2 + 2 2 ) 2 1 2 2 2 = [ 1 + 2 + 3 2 ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ] 2E
x y z
1 [(1 ) x - ], 1 [(1 ) y - ], 1 [(1 ) z - ],
xy yz zx
1
G
1
xy yz zx
G
1
G
§3-３ 广义虎克定律
3、应力偏量与应变偏量之间的关系
§3-３ 广义虎克定律
• 由上式可得
ey xy yz ex ez zx 1 sx sy sz 2 xy 2 yz 2 zx 2G
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
x 2G x y 2G y z 2G z xy G xy yz G yz zx G zx
前三式求和得
3 0 =3 2G 3 0 (3 2G ) =
=3K
K
E
1 2k 2 2k 1 2 2k
ζ
ζ
2
2
1
1
3
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
4、Mises屈服条件（1913年）
⑴基本观点：Mises认为：Teresca屈服条件在等倾面上6个点是来 自于实验；而6个点之间6直线连接是假设的。 ⑵Mises假设：圆弧连线--六点外切圆，应力空间为圆柱曲面（当 σ 3=0时，在π 平面上投影为椭圆）。 y ⑶屈服函数：在π 平面上，半径为R的圆的方程 2 x2+y2=R2 若用主应力来表示： 1