弹塑性力学_第9章 弹性与塑性应力应变关系N
弹塑性力学9
热弹性位移势
引进一个函数Φ 引进一个函数Φ (x, y, z),使得 则称Φ 为热弹性位移势. 则称Φ 为热弹性位移势.
2
Φ Φ Φ u′ = , v′ = , w′ = x y z
满足平衡方程的位移势必须满足 相应的应力解为
1 +ν αT Φ= 1 ν
(1)
2Φ 2Φ 2Φ σ ′ = 2G 2 + 2 , τ ′ = 2G x xy y xy z 2Φ 2Φ 2Φ σ ′ = 2G 2 + 2 , τ ′ = 2G y yz z yz x 2Φ 2Φ 2Φ ′ ′ σ z = 2G 2 + 2 , τ zx = 2G x y zx
9-2 热弹性基本方程及解法
热传导基本概念
非定常温度场 θ = θ(x, y, z, t) 热源强度 θ = θ(x, y, z) 定常温度场 T = θ - θ0 变温 θ α2θ = r / c 热传导方程 比热 2 变温分布 T α T = r / c 二维热传导方程 2 2
无源定常 温度场
σ ′′ = x
2c ∫
c
T( y)dy
两端约束弯矩引起的应力
3 yEα c σ ′′′ = T( y) ydy x 3 ∫c 2c
扳中的热应力为
Eα c 3 yEα c σ x = EαT( y) + ∫c T( y)dy + 2c3 ∫c T( y) ydy 2c
弹塑性力学 第9章热应力汇总
u , v , w
x
y
z
则称 为热弹性位移势。
➢ 满足平衡方程的位移势必须满足
2 1 T
(1)
➢ 相应的应力解为
1
x
2G
2 y 2
1 2 x
代替弹性问题中的体力fx
(x,
y,
z)，用
ET 1 2
l
(l, m, n)
代替弹性问题中的面力Fx (x, y, z)，则热弹性问题 可以用线性弹性问题的解法去求解。
热弹性问题的基本解法
➢ 应力解法——以应力为基本未知量，用应力表示 边界条件和协调方程，求得应力分量后，再计算 应变分量和位移分量。
zx
G zx
➢边界条件
【例】周边固支的矩形薄板，材料的热膨胀
系数为，弹性系数为E，泊桑比为，当薄
板温度升高T 时，求板中热应力。
【解】平板的四周被固定，升温时在x和y方向上的 热膨胀均被限制住，因此板中将产生热应力，且 为双向应力状态。由于平板固支，每个微元体在x 和y方向均不会产生变形，即有（不考虑外荷载）
弹性系数为E，杆件的温度由T1增加至T2，求杆中 的热应力。
【解】温度由T1升至T2因膨胀而产生的杆件伸长为
lT = l(T2-T1) = lT
➢ 温度升高，杆件受到压力 PT的作用，由 PT产生的 杆件的缩短为
弹塑性力学第09章
i 2G 1 2 2 3 3 1 3G i
2 2 2
即
式中
i 3G i
i为应变强度， i 应力强度
（9-2）
类似 因有 2 1 2 3 ,2 1 2 3 ; 2 2 3 1 ,2 2 3 1 ; 2 3 1 2 ,2 3 1 2
（9-5a）
S x S y Sz ex ey ez 0
（9-5a）式中只有五个方程是独立的，需要补充 （9-4），才能和（9-1）等价。
利用
1 1 1 e xy xy , e yz yz , e zx zx 2 2 2
1 S ij 2G
2 i 2G 3 i
kk 3 m
1 ij 3 m ij 2G E
（9-1b）
由（9-1b）式可以得出
1 2 2G(1 2 )
2 3 2G( 2 3 )
3 1 2G( 3 1 )
将以上三式代入应力强度表达式，就有
1 xy G 1 yz G 1 zx G
（9-1a）
式中：E为材料弹性模量； v为泊松比；G为材料的 剪切弹性模量，且 E
G 21 v
其张量形式为：
工程塑性理论应力应变关系
de
2 3
d x d y
2
d y d z
2
d z d x
2
6
d
2 xy
d
2 yz
d
2 zx
2 3
d1 d 2 2 d 2 d3 2 d3 d1 2
d 3 de 2 e
d ij
3d e 2 e
ij
弹性变形
ij
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 e 2 e
ij
d x d y d z d xy d yz d zx d d 3 d e
2 3
x y
2
y z
2
z
x
2
6
2 xy
2 yz
2 zx
2 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
e 3Ge
x
1 2G
x
,
y
1 2G
y
,
z
1 2G
z
,
xy
yx
1 2G
xy
yz
zy
1 2G
yz
zx
xz
1 2G
zx
e 3G e
ij
3 e 2 e
ij
弹性应力应变关系
y
z
x
,
z
1 E
z
x
y
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系
在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。即，),,(T t f εσ=。另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：
应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。 而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。在后继弹性阶段，也就是卸
弹塑性力学——精选推荐
弹塑性⼒学
应⼒应变关系
应⼒应变都是物体受到外界载荷产⽣的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产⽣互相之间的⼒的作⽤，由于受到⼒的作⽤就会产⽣相应的变形；或者由于变形引起相应的⼒的作⽤。则⼀定材料的物体其产⽣的应⼒和应变也必然存在⼀定的关系。
在⼒学上由于平衡⽅程仅建⽴了⼒学参数（应⼒分量与外⼒分量）之间的关系，⽽⼏何⽅程也仅建⽴了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。所以平衡⽅程与⼏何⽅程是两类完全相互独⽴的⽅程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应⼒和应变之间的关系。有了可变形材料应⼒和应变之间关系和⼒学参数及运动学参数即可分析具体的⼒学问题。由平衡⽅程和⼏何⽅程加上⼀组反映材料应⼒和应变之间关系的⽅程就可求解具体的⼒学问题。这样的⼀组⽅程即所谓的本构⽅程。讨论应⼒和应变之间的关系即可变为⼀定的材料建⽴合适的本构⽅程。
⼀．典型应⼒-应变关系
图1-1 典型应⼒-应变曲线
1）弹性阶段（OC段）
该弹性阶段为初始弹性阶段OC（严格讲应该为CA’）,包括：线性弹性分阶段OA段，⾮线性弹性阶段AB段和初始屈服阶段BC 段。该阶段应⼒和应变满
⾜线性关系，⽐例常数即弹性模量或杨⽒模量，记作：εσE =，即在应⼒-应变曲线的初始部分（⼩应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。
2）塑性阶段（CDEF 段）
CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所⽰，应⼒超过屈服极限，应变超过⽐例极限后，要使应变再增加，所需的应⼒必须在超出⽐例极限后继续增加，这⼀现象称为应变硬化。CDE 段的强化阶段在E 点达到应⼒的最⾼点，荷载达到最⼤值，相应的应⼒值称为材料的强度极限（ultimate strength ），并⽤σb 表⽰。超过强度极限后应变变⼤应⼒却下降，直到最后试件断裂。这⼀阶段试件截⾯积的减⼩不是在整个试件长度范围发⽣，⽽是试件的⼀个局部区域截⾯积急剧减⼩。这⼀现象称为“颈
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解_2022年学习资料
1+V-1+v-00-E-8:=-物理方程：-2-2G-Yx≥-22G
>用应变表示应力：-E-0+-21+v-0+Ev-21+y-1+v1-2y-+8:-或：-0x=20+2G x,-T =GY =2GE-Oy=10+2GEM,T=Gy=2G6-O:=10+2GE:,T=Gy=2G6 ◇各种弹性常数之间的关系-K≌-1+y1-2y-31-2v
max-=k-当ζ 1>>时可写作-C1-O2=2k->在主应力的次序未知的情况下，Tresca屈服条件应示为：-1-2=2k-ζ 2-o3=2k-o3-o1=2k-上式中至少一个等式成立时，材料就开始进入塑-性变 。
Tresca屈服条件参数-常数k由试验确定。如由单拉试验，一般取-k=o/2有时取k=¤/万如由纯剪切试验 k=s。因此，按照Tresca屈服条件，材料-的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在x。-/2。
Tresca屈服条件的几何表示（屈服面-Mises条件-Tresca条件-03
3一4特雷斯卡和米泽斯屈服条件->塑性变形-当作用在物体上的外力卸去-后，物体中没有完全恢复的那部分永久变 形称为塑性变形-塑性力学-研究塑性变形和作用力之间-的关系以及在塑性变形后物体内部应力分-布规律的学科称为 性力学。
弹塑性力学第九章弹性力学的能量原理
2
2dx
0⎝⎠
V
ε
=
=
z
⎤
2
⎛⎞
2
dw
⎜⎟⎥
2ddd
yzx
⎜⎟
2
dx⎥
⎝⎠
⎦
1
2
Ez
2
⎛
⎜
⎜
⎝
2
d
w
2
dx
2
⎞
⎟
⎟
⎠
这里R为梁横截面组成的区域，Iy为横截面对中性轴y的惯
性矩，即
∫∫
I=2dd
yzyz
R
本问题的面力边界条件为梁的上下表面和两端部，若作
用在其上的荷载方向如图所示，则这些荷载作的功为
对应的应变上所作的功。
下面证明上述虚功原理
1σσσ
11
σ=+=+
sε
kskksksk
iju,u,u,u,
ijijijjiijijjiji
222
=σ=−
skks
ijuuu,
,σskσ
()
ijijiiijj
,j
()∫
∫=∫−
σεσ,σ
ijijiiijj
skskks
ijdVudVu,dV
VV
Vj
=
∫−∫
ss
σ(ελεδεε
弹塑性力学 应力和应变之间的关系
我所认识的应力和应变之间的关系
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。
所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。
各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。
3.应力强度与应变强度成比例。
4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ⎧⎡⎤=-+=⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+=⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=-+=⎪⎣⎦⎩
，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为()
21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1
OA: 比例阶段；线性弹性阶段
AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段
EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段
弹性与塑性应力应变关系
xy
e yz
1
2G
yz
ezx
1 2G
zx
ex
1 2G
sx
e xy
1 2G
xy
➢偏量形式的广义虎克定律
ey
1 2G
sy
1 ez 2G sz
e yz
1 2G
yz
ezx
1 2G
zx
eij
1 2G
sij
ex e y ez xy yz zx 1 sx s y sz 2 xy 2 yz 2 zx 2G
xy
x
三、空间应力状态下的应力 --- 应变关系
y
y
x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
x
E
y
E
z
E
1 E
x
y
z
x
1 E
x
y
z
广
y
1 E
y
z
x
义 虎 克 定 律
弹性与塑性应力应变关系
一维：胡克定律 弹性状态
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解课件
与应变之间不再是线性关系。
重要性
03
了解塑性应力应变关系对于工程设计和结构安全评估具有重要
意义。
屈服准 则
屈服准则定义
描述材料开始进入塑性变形 阶段的条件。
常用屈服准则
例如，Von Mises屈服准则、 Tresca屈服准则等。
屈服准则的意义
为判断材料是否进入塑性变 形阶段提供依据，是弹塑性 力学中的重要概念。
05
弹塑性力学的数值模拟方法
有限元法
有限元法（Finite Element Method，简称 FEM）是一种广泛应用于解决复杂工程问题 的数值模拟方法。
它通过将连续的求解域离散化为有限个小的 单元，并对每个单元进行数学建模，从而将 复杂的连续场问题转化为离散的有限元问题。
有限元法具有灵活性和通用性，可以处理各 种复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于 结构分析、热传导、流体动力学等领域。
弹性应力应变关系公式
01
胡克定律
在弹性范围内，物体的应力与应变之间的关系可以用胡克定律表示，即
σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。
02 03
Βιβλιοθήκη Baidu
应变能
物体在受到外力作用时，会在弹塑性变形过程中吸收能量，这种能量称 为应变能。应变能的大小与物体的形状、尺寸、材料性质和外力大小等 因素有关。
工程弹塑性力学-第九章
P M s / 2l
3P 2l 2P l 5M s , P 5M s / 4l
9.2 梁和刚架的极限分析
3P
2
2P
l
3
l
4
二、刚架的极限分析 静力法
先取2，3及4成铰作为机构，按虚功原理得：
2l
M 2 2M 3 M 4 2Pl
1
5
取M 2 M s , M 3 M s , M 4 M s P 2M s / l
最大弯矩截面A处：
Ms
M
Ms
O
K
3 M (0) Pl 8
M (0) M s
8M s P Pe 3l
图 9.8
理想刚塑性模型
9.2 梁和刚架的极限分析
l
P
l
一、梁的极限分析
P Pe时,A点弯矩不能再增长,形成塑性铰
A
B
MB
C
(a)
Rc
P Ms 2 2l
0 xl l x 2l
M Ms
4、ζ→0，截面全部进入塑性状态:图(d)
(c)
(d)
Ms 1 2 1.5, M s bh s Me 4
常见的截面形状系数:
η:截面形状系数
1.15 ~ 1.17
1.27
弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理
弹塑性力学第09章弹性力学的能量原理弹性力学的能量原理是通过对变形体系的能量进行分析，来描述和研
究材料的力学行为。根据能量守恒定律，能量在各种形式之间的转换是相
互平衡的，因此可以通过能量原理来推导出材料的力学性质。弹性力学的
能量原理主要包括两个方面：弹性能量原理和稳定性能量原理。
弹性能量原理是指在弹性变形的情况下，变形体系的总能量保持不变。变形体系的总能量包括弹性应变能和应力对变形体系所做的功。具体来说，在弹性变形情况下，变形体系的总应变能等于外力所做的功，而不会发生
能量的损失。这一原理反映了材料在弹性变形情况下能量的守恒性质。
稳定性能量原理是指在塑性变形的情况下，材料的变形体系的总能量
沿着最稳定方向变化。塑性变形是指当材料受到较大应力时，会发生永久
性变形的情况。稳定性能量原理通过分析塑性变形对变形体系的总能量的
影响，来得出变形体系的稳定性和塑性变形的机制。
在弹塑性力学中，能量原理被广泛应用于力学问题的求解和工程实践中。通过能量原理，可以解释材料的弹性和塑性特性，研究和设计材料的
力学性能。同时，能量原理也为工程实践中的结构设计和材料选择提供了
理论依据。
总之，弹塑性力学的能量原理是研究材料力学行为的重要原理之一、
弹性能量原理和稳定性能量原理通过分析变形体系的能量转换来描述材料
的弹性和塑性变形特性。能量原理的应用可以解释材料的力学性质，为工
程实践中的结构设计和材料选择提供理论支持。
弹性与塑性力学总结
Θ=σx +σy +σz
θ =εx +εy +εz
Θ=3K θ
3.2弹性常数之间的关系
2Gµ λ= 1−2µ E G= 2(1+ µ) E K= 3(1−2µ)
3.3弹性应变能
4弹性理论的解题方法 4.1弹性力学问题的建立
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用，求解 物体内由此而产生的应力场与位移场。
uu r (σij −λ2I)n2 = 0
ur u (σij −λ3I )n3 = 0
1.5应力张量三个不变量 J1 =σii
1 J2 = (σiiσ jj −σijσ ji ) 2 J3 = σij
1.6 应力偏张量三个不变量
J1' = 0 1 J = [(σ1 −σ2)2 +(σ2 −σ3)2 +(σ3 −σ1)2] 6 J3' = S1S2S3
ui = ui
•混合边界条件 部分应力边界条件 ，部分位移边界条件
2 应变理论 2.1 位移梯度张量可分解为应变张量与转动张量
1 1 ui, j = (ui, j +uj,i ) + (ui, j −uj,i ) = εij +ωij 2 2
2.2正应变与切应变的概念
εx表 原 与 平 的 段 位 度 伸 （ 压 ） 示 来 x轴 行 线 单 长 的 长 或 缩
弹塑性力学第九章
40
第四节
两球体之间的接触压力
4.2 两球体之间的接触压力： 已知两球体变形前在o点接触，两个坐标系 roz1、 roz2 O2 R2 球1：E1 、1、R1 z2 r M2 球2：E2 、2、R2 O r 距接触点z轴为r的两球 z1 O1 R1 M 1 表面上M1和 M2点的z 坐标分别为（M1和M2与点o很近）
2014-12-20 20
第二节 半空间体在边界上受法向集中力 （Boussinesq问题）
由式(a)、(b)解得 A1 = P/(2) 、A2 = -（1-2）P /（2）
代回位移、应力表达式，见徐芝纶（上册） P.297 （ 9 － 17 ） 、 （ 9 － 18 ） 式 ， 称 为 Boussinesq问题解。 由 P.297 （ 9 － 17 ）、（ 9 － 18 ） 式见：位移 和应力随R 的增加而减小。
2014-12-20
1
第一节
空间轴对称问题的基本方程
1.1空间轴对称问题特点：
与平面轴对称问题类似，空间轴对称 问题的求解域、荷载和约束绕某一轴（z轴） 对称，导致如下简化， 1. 域内所有物理量（体力、面力、位移、 应力、应变）均为r、z的函数。 2．荷载：体力f=0，面力 F 0，位移u=0， 应力 r= z=0，应变 r=z=0。
2．M点载荷在圆之内：
m ds s d M
第9章应力应变分析及应力应变关系
控制面
当杆件上的不同位置作用有多个外力或外力偶时，需要根据外力或外力 偶作用的位置将杆件分段，分段点所在的横截面称为控制面。 分段分别写出各内力分量的内力方程。
内力图
各内力方程的函数图形称为内力图。 工程上为了更直接地描述各个内力分量随横截面位置的变化，常需要绘 制杆件的内力图。 20
绘制内力图的方法
(1) 绘制各内力分量的内力图时，取x轴平行于杆件轴线，用x坐标表示横 截面位置； (2) 根据内力方程的分段确定各段内力的区间，求出每段内力图在两端控 制面上的内力值，以确定该段内力图两端的控制点； (3) 再根据每段内力方程的函数形式确定该段内力图的曲线形状，并根据 绘图需要在该段曲线上选取若干代表点（如：最大、最小值点及曲线 的拐点）计算出内力值； (4) 最后将各点用确定形状曲线连接起来，标明内力的“+，-”号及各控 制点、代表点的内力绝对值，并在图内打上垂直于x轴方向的平行线， 即绘制得到所需的内力图。
变形固体静力学的任务
研究构件的破坏准则与变形规律，了解材料的力学性能，从而建立构件 满足强度、刚度和稳定性要求所需要的条件，为既安全有经济地设计构 件（选用材料，确定截面形状、尺寸）提供必要的理论基础和计算方法。
5
§9.2 变形固体的基本假设
变形固体的性质很多，研究的角度不同，侧重面也不同。 变形固体静力学 从宏观角度研究问题 忽略微观上的差异
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ζ ζ A’
T
Pl P l0 l T (1 ) A0l0 A0 l0
真实应力与应变曲线做法
B O‘
A
ε 1
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
5、真实应力与对数应变问题 • 压缩试验----减小压头横向摩擦阻力----润滑 • 工程应变 H 0 H 1 H
• 弹性体积变化比能
1 1 1+ 2 + 3 W 0V ( 1+ 2 + 3 ) V 2 2 3 1-2 = ( 1+ 2 + 3 )2 6E
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
W
1 ( 1 1+ 2 2 + 2 2 ) 2 1 2 2 2 = [ 1 + 2 + 3 2 ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ] 2E
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
• 上式表明应力莫尔圆与应变莫尔圆成比例
§3-３ 广义虎克定律
4、应力Lode参数与应变Lode参数之关系 由数学关系知 A C E E E A B , C D B D F F F A C E E A C (B D ) 所以有 B D F F
1 2k 2 2k 1 2 2k
ζ
ζ
2
2
1
1
3
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
4、Mises屈服条件（1913年）
⑴基本观点：Mises认为：Teresca屈服条件在等倾面上6个点是来 自于实验；而6个点之间6直线连接是假设的。 ⑵Mises假设：圆弧连线--六点外切圆，应力空间为圆柱曲面（当 σ 3=0时，在π 平面上投影为椭圆）。 y ⑶屈服函数：在π 平面上，半径为R的圆的方程 2 x2+y2=R2 若用主应力来表示： 1
3(1-2 )
E
1 2
K:体积弹性模量
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
1、塑性力学的特点 应力应变关系的非线性 应力应变关系非一一对称性 弹性变形与塑性变形的分界线问题 加载与卸载应力应变关系的差异 塑性状态加载：塑性应力应变关系 塑性状态卸载：弹性力学广义虎克定律 屈服条件： 单轴问题，ζ ～ε 曲线 双轴问题，ζ 1～ζ 2曲线 三轴问题，应力空间曲面的概念 屈服曲面，屈服函数～屈服条件
x - 0
1
E
[( 1 ) x - ] 1
1 - 2
E E
0 0
E
[( 1 ) x - 3 0] -
1 - 2
１
E
( x 0)
1+ 1 ex sx sx E 2G
ex ey ez
1 sx 2G 1 sy 2G 1 sz 2G
E E
3 "
2
E
3 "'
3
E
§9-３ 广义虎克定律
◆ 广义虎克定律----用应力表示应变的
1、应力分量与应变分量的关系
x
1
E
1
[
x
- (
y
§3-３ 广义虎克定律
• 由上式可得
ey xy yz ex ez zx 1 sx sy sz 2 xy 2 yz 2 zx 2G
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
2
1 3 11 2 2
1 1
III II
22 3 3
I
1方向上的应变： 2方向上的应变： 3方向上的应变：
1 1 ' 1 E 1 2 ' E 3 ' 1 E
2 1 " 2 2 " 2
E E
3 1 "' 2 "' 3 3
σ 1-σ
3
=2k
§3-4 Teresca和Mises屈服条件
当未知三主应力的大小顺序时，
1 - 2 2 - 3
2k 2k
ζ
3
3 - 1 2k
⑶应力空间的图像表示 六棱柱面 其内部为弹性区，外部塑性区 等倾面上投影：正六边形 特殊情形（σ 3=0）： （在σ 1～σ 2坐标上为六边形）
ζ
T
D3/H3 D2/H2 D1/H1
ζ
ε3＊
T
ε2＊ ε1＊
ε1＊ ε2＊ ε ＊ 3
ε
＊
D1/H1
D2/H2
D3/H3
D/H
§9-2 简化的力学模型
• 关于弹塑性力学常用力学模型的简化 材料力学性态与应力应变关系 • 延性材料应力应变关系 低碳钢应力应变关系 金属材料应力应变关系----相对稳定 • 脆性材料应力应变关系 岩石与混凝土应力应变关系 土层应力应变关系
1 3 x 1 ( 2 3), y ( 3) 2 2 2
x
3
代入圆的方程
1 3 2 [ 1 ( 2 3 )] [ ( 2 3)]2 R 2 2 2
( 1 2)2 (2 3)2 (3 1)2 2R 2
x y z
1 [(1 ) x - ], 1 [(1 ) y - ], 1 [(1 ) z - ],
xy yz zx
1
G
1
xy yz zx
G
1
G
§3-３ 广义虎克定律
3、应力偏量与应变偏量之间的关系
2、没有明显屈服点的材料的应力应变关系 • 0.2%塑性应变----ζ0.2 3、Bauschinger（包辛格）效应 关于拉伸与加压应力应变反向关系问题 一个方向屈服极限增加，另一方向屈服极限减小 • 理想Bauschinger效应
ζ
ζ
ε
ε
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
4、真实应力与名义应力 • 名义应力σ =P/A0, • 真实应力σ T=P/A • 材料进入塑性状态，lA=l0A0 • 所以有：A=l0A0/l
比较： 材料力 学强度 理论
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
2、材料屈服的发展过程 Galilieo观点：最大主应力所致 Saint Venant观点：最大主应变所致 试验否定之 Beltrami：弹性能极限值（形变能与体变能混淆，实 验无法证明之。） 3、Tresca屈服条件（1864) ⑴基本观点：材料屈服系最大剪切力所致（屈服时斜方向 条纹的产生与发展） ⑵数学表达式：屈服时最大剪应力k 当已知：σ 1≥σ 2 ≥ σ 3 时
• 由上述结果可知 当材料处于弹性阶段 应力莫尔圆与应变莫尔圆相似 应力Lode参数与应变Lode参数相等 应力形式指数与应变形式指数相等 可以说明两点 应力主轴和应变主轴重合 应力分量与相应的应变分量比值相同
§3-３ 广义虎克定律
◆ 广义虎克定律----用应变表示应力的形式
x
1
E
1
[ x x ( x y z )] [( 1 ) x
因而可得
1+ 3 -2 2 3 -1 2 2 -1- 3 1- 3 = = 或 1+ 3 -2 2 3 - 1 2 2 - 1- 3 1- 3
=
又因为 所以
= 3tg (
6
),
= 3tg (
6
)
=
§9-３ 广义虎克定律
z
)] )]
y
E
1
[ [
y
- ( - (
z
x
z
E
1
z
x
y
)]
xy
G
1
Байду номын сангаас
xy
yz
G
1
yz
zx
G
zx
2、平均应变与平均应力的关系 体应变：
x y z
§3-３ 广义虎克定律
令
1 [( x y z ) 2 ( x y z )] E 1 2 ( x y z ) E 1 2 x y z 3 0 E 1 2 x y z 3 0 0 0 E
ζ
ε
ζ
ε
§9-2 简化的力学模型
１、理想弹塑性模型
※分段分析
ζ =Eε ζ =Eε S=ζ
S
ζ
ε ≤ε S ε ＞ε S
tg-1E
※应用于强化不明显的材料
2、线性强化弹塑性模型
ζ
ε
※分段分析
ζ =Eε ζ = ζ S+ E 1( ε - ε S) ε ≤ε S ε ＞ε S
tg-1E1 tg-1E
H0 H0 H 1 H0
• 压缩时的对数应变
H0 1 ln ln H 1
• 塑性状态下体积为常数
• 真实应力
A0 H 0 AH A A0 H0 1 A0 H 1
P P T (1 ) A A0
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
• 真实应力与对数应变关系的建立 压缩试验端部摩擦影响问题 试件直径D0越大，端部摩擦影响越大 理想压缩状态：D0/H=0 • 左图，三曲线对应不同径高比 • 右图，三曲线对应不同的对数应变
x 2G x y 2G y z 2G z xy G xy yz G yz zx G zx
前三式求和得
3 0 =3 2G 3 0 (3 2G ) =
=3K
K
E
CHAP 9 屈服条件与应力应变关系
• 材料的本构关系 与材料所处的力学性态有关 • 弹性问题： 材料受力立即变形，力解除则变形立即恢复。各向 同性体，各向异性体，横观各向同性体，正交各向异性 体等----虎克定律 • 流变问题： 受力物体随时间应力和应变都在变化，两个典型， 蠕变和应力松弛----不同模型描述 • 塑性问题： 材料受力立即变形，力解除则变形不恢复。 • 一般情况：材料表现弹性----还有残余变形 材料由弹性屈服进入塑性阶段----并非绝对 流变与时间相关----时间的相对性
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
1、拉伸问题 延性材料拉伸时的应力应变关系（低碳钢为例） 应力与应变定义 ζ 几个概念： 比例极限 ε 弹性极限 屈服极限（上屈服极限、下屈服极限） 塑性流动阶段 强化现象 材料的记忆 颈缩现象（伸长率与截面收缩率） 弹性模量、剪切模量、泊松比等
§9-1 拉压问题的应力应变曲线
ε
※应用于具有线性强化特征的材料
§9-2 简化的力学模型
3、幂强化力学模型 ζ =Aε n 两种特殊情况 σ =Aε n=1 σ =A n=0 4、刚塑性模型
ζ﹤ζ ζ =ζ
S S
ζ
ε
ζ
ε =0 ε ↑
ζ ε
应用于弹性变形很小可忽略的情况 5、线性强化刚塑性模型 = S +E1
ε
§3-３ 广义虎克定律
塑性力学的特点
• • • • 应力应变关系非线性----与具体材料有关 应力应变关系非一一对应性----与加载历史有关 弹性变形与塑性变形的分界线问题 加载与卸载应力应变关系的差异 加载：塑性应力应变关系 卸载：弹性力学广义虎克定律 • 关于屈服 单轴问题：σ ～ε 曲线 比较材料力 双轴： σ 1～σ 2曲线 学强度理论 三轴： 应力空间曲面 屈服曲面的概念----屈服函数----屈服条件
本屈服条 件更接近 实际情况
§9-4 Teresca和Mises屈服条件
• 此方程在应力空间图像为圆柱面 • 在应力空间， 应力落在圆柱面上，材料屈服 应力落在圆柱面内，弹性状态 5、Hencky（德，1924）弹性形变比能理论 • 弹性比能：
ζ
3
ζ ζ
1
2
1 W ( 1 1+ 2 2 + 2 2 ) 2 1 2 2 2 = [ 1 + 2 + 3 2 ( 1 2 + 2 3 + 3 1) ] 2E
E
1 2
E
]
E E x x 1 (1 )(1 2 )
引入拉梅常数，以及E、G的关系 E E G ( 1 )( 1 2 ) 2(1+ ) 从而上式变成
x 2G x
§3-３ 广义虎克定律
用应变表示应力形式的广义虎克定律