自主招生数学专题讲义 第3讲：不等式(2)
不等式讲义
.
5. 已知关于 x 的不等式组
5 2 x 1 无解，则 a 的取值范围是 x a 0
.
6. 如 图 ， 一 次 函 数 y1 k1 x b , 不等式 1与 y2 k2 x b2 的 图 像 相 交 于 点 A( 3, 2 )则
(k2 k1 ) x b 的预计二期工程完成后每月将产生不少于 1300 吨污水. ．．．
（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案； （3）若两种设备的使用年限都为 10 年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案 的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）
2.
a 1 时，化简
a 2 2a 1 a 1
.
3. 已知方程组
x 2 y 1 m 的解满足条件 x y 0 ，则 m 的取值范围为 2 x y 2
.
4. 如果关于 x 的不等式 m x 6 0 的正整数解为 1, 2,3, 则 m 的取值范围为
x 1 0 (4) 解不等式组 并写出该不等式组的最大整数解. x2 x 2 3
x 3 3 x 1 (5) 解不等式组 2 并写出该不等式组的整数解. 1 3( x 1) 8 x
1
初中数学讲义 2012-2013 下学期
不等式 B 卷填空题练习 1. 若由 x y 得到 a 2 x a 2 y ，则 a 的取值范围是 .
10 ，那么关于 x 的不等式 7
mx n(m 0) 的解集为
13. 关于 x, y 的方程组 A. m 2
.
x y m 3 的解满足 x y 0 ，则 m 的取值范围是 2 x y 5m
中职数学不等式
注意事项
在解一元二次不等式时，需要注意 判别式的符号，以及不等式的方向 和开口方向。
一元二次不等式的应用
解决实际问题
一元二次不等式可以用来解决一些实际问题，如最大值、最 小值问题，以及一些优化问题。
在其他数学领域中的应用
分式不等式的应用
解决实际问题
分式不等式在解决实际问题中有着广泛的应用，如工程问题、经济问题、物理问题等。通过建立分式不等式模型 ，可以解决各种优化问题。
数学竞赛
在数学竞赛中，分式不等式是常见的题型之一。通过解决分式不等式，可以考察学生的数学思维和解题技巧。
分式不等式的解集表示法
区间表示
分式不等式的解集通常用区间表示，如 (-∞, a) 或 [a, b) 等。这种表示方法可以直观地展示不等式的 解集范围。
数轴表示
通过在数轴上标出分式不等式的解集范围，可以更加直观地理解解集的取值情况。
05
绝对值不等式
Chapter
绝对值不等式的定义与解法
绝对值不等式的定义
绝对值不等式是数学中一种常见的不等式类型，主要研究的是绝对值函数的性质和图像 。
绝对值不等式的解法
解绝对值不等式需要先理解绝对值的定义，然后根据不同情况去掉绝对值符号，转化为 普通的不等式进行求解。
区间表示法
总结词
区间表示法是用圆括号、方括号或花括号将数轴上 的一串数括起来，表示这些数的大小范围。
详细描述
区间表示法是数学中表示数的大小范围的一种方法 。例如，[2, 5]表示2到5之间的所有实数，包括2和 5；(2, 5)表示2到5之间的所有实数，但不包括2和 5；{2, 3, 4}表示只有2、3、4这三个数的集合。
自主招生数学试题中用“函数法”求不等式问题
查 正开 ： 自主 招生数学试题 中用“ 函数 法” 求不等 式问题
・３ ９・
自主 招 生数 学 试 题 中用“ 函数 法 ＂ 不等 式 问题 求
●查正 开 （ 常熟市中学 江苏常熟 ２５０ ） １５０
不等式问题在 自主招生试题 中占有重要 的地位． 随着新课程改革的实施 ， 不等式的证明已成为理科学 生 的选 学 内容 （ 选修 ４５ ， －） 因此 不少 优 秀 学 生 得不 到 系 统 的训 练 ， 以处 理 此类 题 目． 此 本文 给 出解 决 难 为 不等 式 问题 的有效 途径— — “ 函数 法 ” 希 望 能对考 生有 所 帮助． ，
）＝１ ｌ１ ） ＋ ＝｝ ； ＝ｉ
用 均 值 不等 式 给出解 答．
务 争 ： ．
点评 本 涉及 个变 用函 理自 畅， 题 题只 到一 量 ， 数处 然流 问 较易解决 当 也可 分为ｎ ．然 把 个÷， 运
例 知量＝， （ ， ） （ 一） ＋＋＝，求２２２ ２已向口０ ， 一 一 ， 丢， ｙ （ ） ｙＺ最 （）＝ 丢ｃ ， ｘ ｂ ・ ＋．的 ＝ ａ ４ ．
问题 进行 推广
推广 １ 设 １ ２… ， ∈Ｒ， ， ， 且 １ ＋… ＋ ＝１则对 于任 意 正整 数 ｎ有 ＋２ ， ，
２ …
． Biblioteka 证 明 令 Ａ＝ “ ＋… ＋ ２， ＋ 由对称 性 不妨设 １ ≤… ≤ ． ， １ ２ ≤ ２ 设 （ ）＝ ｌ ２ ＋… ＋ ２， ＋ 将 ２ ， ３ … ， 一看 成 常数且 ＝１一 一 ２一… 一 —， ４ ， １ １ ｌ贝
（ 业 ６） ＋
点评
，
ｎ 【， 递 ，口÷ ｎ６ ＝时到 小 ，而（≥ ． ） ÷１ 增当＝即＝ ｃ 取 最 值从 厂） 在 ） 上 ＝ 口
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面我们来对不等式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。
例如：3x ＋ 2 ＞ 5 ，y 1 ≤ 4 等都是不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。
例如：若 5 ＞ 3 ，则 3 ＜ 5 。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b＜ c ，那么 a ＜ c 。
比如：已知 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，则 7 ＞ 3 ；若 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，则 2＜ 6 。
3、加法性质：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。
例如：因为 8 ＞ 5 ，所以 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2 ，即 10 ＞ 7 。
4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么ac ＜ bc 。
如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么ac ＞ bc 。
例如：若 3 ＞ 1 ，且 2 ＞ 0 ，则 3×2 ＞ 1×2 ，即 6 ＞ 2 ；若 3 ＞ 1 ，但－2 ＜ 0 ，则 3×（－2) ＜ 1×（－2) ，即－6 ＜－2 。
三、一元一次不等式1、定义：含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
例如：2x 5 ＞ 0 。
2、解法：去分母（若有分母）。
去括号。
移项：将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
合并同类项。
系数化为 1 ：注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
高中数学专题讲义：不等式
高中数学专题讲义:不等式第1讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a＞b（a∈R，b＞0），ab＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），ab＜1⇔a＜b（a∈R，b＞0）.2.不等式的性质(1)对称性:a＞b⇔b＜a；(2)传递性:a＞b,b＞c⇒a＞c；(3)可加性:a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性:a＞b,c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0,c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方:a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N,n≥1)；(6)可开方:a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N,n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx有两相异实根有两相等实根x1＝没有实数根＋c＝0 (a＞0)的根x1,x2(x1＜x2)x2＝－b 2aax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2a Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1,x2),则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根,则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()解析(1)由不等式的性质,ac2＞bc2⇒a＞b；反之,c＝0时,a＞b ac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.(4)当a＝b＝0,c≤0时,不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.若a＞b＞0,c＜d＜0,则一定有()A.ad＞bc B.ad＜bc C.ac＞bd D.ac＜bd解析因为c＜d＜0,所以0＞1c＞1d,两边同乘－1,得－1d＞－1c＞0,又a＞b＞0,故由不等式的性质可知－ad＞－bc＞0.两边同乘－1,得ad＜bc.故选B.答案 B3.设集合M＝{x|x2－3x－4<0},N＝{x|0≤x≤5},则M∩N等于()A.(0,4]B.[0,4)C.[－1,0)D.(－1,0] 解析∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4},∴M∩N＝[0,4).答案 B4.当x＞0时,若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立,则a的最小值为()A.－2B.－3C.－1D.－3 2解析当Δ＝a2－4≤0,即－2≤a≤2时,不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立,当Δ＝a2－4＞0,则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2,所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 答案 A5.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0, 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞,－3－22)∪(－3＋22,＋∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ,b ,c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2,c －b ＝4－4a ＋a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)若1a ＜1b ＜0,给出下列不等式:①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0,∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2,∴2b ＝2＋2a 2,∴b ＝a 2＋1, ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0,∴b >a ,∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b ＜0,故可取a ＝－1,b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0,所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0,ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.法二 由1a ＜1b ＜0,可知b ＜a ＜0.①中,因为a ＋b ＜0,ab ＞0,所以1a ＋b ＜0,1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ,即①正确；②中,因为b ＜a ＜0,所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |,即|a |＋b ＜0,故②错误； ③中,因为b ＜a ＜0,又1a ＜1b ＜0,则－1a ＞－1b ＞0,所以a －1a ＞b －1b ,故③正确；④中,因为b ＜a ＜0,根据y ＝x 2在(－∞,0)上为减函数,可得b 2＞a 2＞0,而y ＝ln x 在定义域(0,＋∞)上为增函数,所以ln b 2＞ln a 2,故④错误.由以上分析,知①③正确. 答案 (1)A (2)C规律方法 (1)比较大小常用的方法: ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)(2017·松滋市校级期中)已知p ＝a ＋1a －2,q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2,其中a >2,x ∈R ,则p ,q 的大小关系是( ) A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)设a ＞b ＞1,c ＜0,给出下列三个结论:①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①B.①②C.②③D.①②③解析 (1)由a ＞2,故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4,当且仅当a ＝3时取等号.因为x 2－2≥－2,所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4,当且仅当x ＝0时取等号,所以p ≥q .(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ,又c ＜0,所以c a ＞cb ,①正确；构造函数y ＝xc ,∵c ＜0,∴y ＝x c 在(0,＋∞)上是减函数,又a ＞b ＞1,∴a c ＜b c ,知②正确； ∵a ＞b ＞1,c ＜0,∴a －c ＞b －c ＞1,∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c ),知③正确. 答案 (1)A (2)D考点二 一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一 不含参的不等式【例2－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0, 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1,x 2＝32,∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞,即原不等式的解集为(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题角度二 含参不等式【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0. ①当a ＝0时,原不等式化为x ＋1≤0,解得x ≤－1. ②当a ＞0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0,解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1,即a ＜－2时,解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1,即a ＝－2时,解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1,即－2＜a ＜0,解得2a ≤x ≤－1.综上所述,当a ＝0时,不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时,不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时,不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论: (1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论；若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.【训练2】 (1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ,不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ,不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ,则a ＋b 等于( )A.－3B.1C.－1D.3(2)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.解析 (1)由题意得,A ＝{x |－1＜x ＜3},B ＝{x |－3＜x ＜2},所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2},由题意知,－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根,由根与系数的关系可知,a ＝－1,b ＝－2,则a ＋b ＝－3. (2)因为4＝22且y ＝2x 在R 上单调递增,所以2x 2－x ＜4可化为x 2－x ＜2,解得－1＜x ＜2,所以2x 2－x ＜4的解集是{x |－1＜x ＜2}. 答案 (1)A (2){x |－1＜x ＜2}考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度一 在R 上恒成立【例3－1】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ) A.(－3,0]B.[－3,0)C.[－3,0]D.(－3,0)解析 2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立, 则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解之得－3＜k ＜0. 答案 D命题角度二 在给定区间上恒成立【例3－2】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0),若对于x ∈[1,3],f (x )＜－m ＋5恒成立,则m 的取值范围是________.解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立, 则mx 2－mx ＋m －6＜0,即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立.有以下两种方法:法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6,x ∈[1,3].当m ＞0时,g (x )在[1,3]上是增函数, 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67,则0＜m ＜67.当m ＜0时,g (x )在[1,3]上是减函数, 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6,所以m ＜0. 综上所述,m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0,又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0,所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m ＜67即可. 因为m ≠0,所以m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0命题角度三 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立,则x 的取值范围为( ) A.(－∞,2)∪(3,＋∞) B.(－∞,1)∪(2,＋∞) C.(－∞,1)∪(3,＋∞)D.(1,3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数,记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4, 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立, 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0,且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可,解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解. (2)一元二次不等式在x ∈[a ,b ]上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ,b ]恒成立确定x 的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[－1,4]B.(－∞,－2]∪[5,＋∞)C.(－∞,－1]∪[4,＋∞)D.[－2,5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1,若对于任意x ∈[m ,m ＋1],都有f (x )＜0成立,则实数m 的取值范围是______.解析 (1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4,所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2－3a ≤4,解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ,m ＋1], 都有f (x )＜0成立,则⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[思想方法]1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. [易错防范]1.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0,求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形.2.当Δ<0时,ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅,要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1,g (x )＝2x 2＋x －1,则f (x ),g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.已知下列四个条件:①b ＞0＞a ,②0＞a ＞b ,③a ＞0＞b ,④a ＞b ＞0,能推出1a ＜1b 成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质,由a ＞b ,ab ＞0可得1a ＜1b ,②、④正确.又正数大于负数,①正确,③错误,故选C. 答案 C3.(2017·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0},集合B ＝{x |2x <2},则A ∩B 等于( ) A.(1,3) B.(－∞,－1) C.(－1,1)D.(－3,1)解析 依题意,可求得A ＝(－1,3),B ＝(－∞,1),∴A ∩B ＝(－1,1). 答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅,则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时,满足条件.a ≠0时,由⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4,所以0≤a ≤4.答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ,b ∈R ),对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立,若当x ∈[－1,1]时,f (x )＞0恒成立,则b 的取值范围是( ) A.(－1,0)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)∪(2,＋∞)D.不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称,即a2＝1,解得a ＝2.又因为f (x )开口向下,所以当x ∈[－1,1]时,f (x )为增函数,所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2, f (x )＞0恒成立,即b 2－b －2＞0恒成立, 解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________.解析 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}. 答案 {x |x ＞1}7.(2016·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15,则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15,可知a ＜0,且b a ＝15,将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ,得x 2＋b a x －45＜0,即x 2＋15x －45＜0,解得－1＜x ＜45,故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ,b ∈R 恒成立,则实数λ的取值范围为________. 解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ,b ∈R 恒成立,所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ,b ∈R 恒成立,即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立, 由二次不等式的性质可得,Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0, 所以(λ＋8)(λ－4)≤0, 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8,4] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3),求实数a ,b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0,即a 2－6a －3＜0,解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3),∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3, ∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3,b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%),售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ,试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x ),并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x 的取值范围. 解 (1)由题意得,y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价,所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x ), 定义域为x ∈[0,2].(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260, 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.下面四个条件中,使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A.a ＞b ＋1 B.a ＞b －1 C.a 2＞b 2D.a 3＞b 3解析 A 项:若a ＞b ＋1,则必有a ＞b ,反之,当a ＝2,b ＝1时,满足a ＞b ,但不能推出a ＞b ＋1,故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项:当a ＝b ＝1时,满足a ＞b －1,反之,由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项:当a ＝－2,b ＝1时,满足a 2＞b 2,但a ＞b 不成立；D 项:a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件,综上所述答案选A. 答案 A12.(2017·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( ) A.{x |x <－ln 2或x >ln 3} B.{x |ln 2<x <ln 3} C.{x |x <ln 3}D.{x |－ln 2<x <ln 3}解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0),则f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0),由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0,可得12<e x <3,解得－ln 2<x <ln 3,故选D. 法二 由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3,令12<e x <3,得－ln 2<x <ln 3,故选D.答案 D13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2,由题知:Δ＝a 2＋8＞0, 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根,于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0,即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时,原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2,1a ,所以当0＜a ＜12时,2＜1a ,则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时,原不等式的解集是∅；当a ＞12时,1a ＜2,则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时,原不等式为－(x －2)＜0,解得x ＞2, 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时,原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0, 由于1a ＜2,故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述,当a ＜0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时,不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时,不等式的解集为∅；当a ＞12时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ,y ),使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件 由x ,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x ,y 的约束条件 目标函数 关于x ,y 的解析式 线性目标函数 关于x ,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ,y ) 可行域所有可行解组成的集合最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( ) (5)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.下列各点中,不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A.(0,0)B.(－1,1)C.(－1,3)D.(2,－3)解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合,故选C. 答案 C3.(必修5P86T3)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分,x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分,故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －55.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6,则k ＝________.解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z ＝2x ＋y ,则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ,k )时,z ＝2x ＋y 取得最小值,即3k ＝－6,所以k ＝－2.答案 －2考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2017·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ,不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为________.(2)(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ) A.－3B.1C.43D.3解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示,平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12,区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2,故所求概率P＝π212＝π24.(2)如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则－2m＜2,则m＞－1,由⎩⎨⎧x＋y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得⎩⎨⎧x＝1－m，y＝1＋m，即A(1－m,1＋m).由⎩⎨⎧x＋2y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝23－43m，y＝23＋23m，即B⎝⎛⎭⎪⎫23－43m，23＋23m,所围成的区域为△ABC,则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43,解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.答案(1)π24(2)B规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域,注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,则测试点常选取原点.【训练1】若不等式组⎩⎨⎧x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分,则k的值是()A.73 B.37 C.43 D.34解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时,直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1,1),B (0,4),所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时,52＝k 2＋43,所以k ＝73. 答案 A考点二 线性规划相关问题(多维探究) 命题角度一 求目标函数的最值【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________.解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知,当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1,－1)时,z 取得最小值,即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,yx 是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A (1,3)与原点连线的斜率最大,故yx 的最大值为3. 答案 (1)－10 (2)3命题角度二 求参数的值或范围【例2－2】 (2015·福建卷)变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2,则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2解析 如图所示,目标函数z ＝2x －y 取最大值2,即y ＝2x －2时,画出⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0表示的区域,由于mx －y ≤0过定点(0,0),要使z ＝2x －y 取最大值2,则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2,2),因此直线mx －y ＝0过点A (2,2),故有2m －2＝0,解得m ＝1. 答案 C规律方法 线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值:画出可行域后,要根据目标函数的几何意义求解,常见的目标函数有:①截距型:形如z ＝ax ＋by ；②距离型:形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2.③斜率型:形如z ＝y －bx －a. (2)求参数的值或范围:参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中.求解步骤为:①注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里,寻求最优解. 【训练2】 (1)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )A.－5B.3C.－5或3D.5或－3(2)(2017·西安检测)已知变量x ,y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za .由图可知当－1≤－1a≤1时,z可取得最小值,此时a≥1或a≤－1.又直线y＝－1a x＋za过A点时,z取得最小值,因此a－12＋a×a＋12＝7,化简得a2＋2a－15＝0,解得a＝3或a＝－5,当a＝3时,经检验知满足题意；当a＝－5时,目标函数z＝x＋ay过点A时取得最大值,不满足题意,故选B.(2)作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m＝2x＋y,由图象可知当直线y＝－2x＋m经过点A时,直线y＝－2x＋m的纵截距最大,此时m最大,故z最大.由⎩⎨⎧2x－y＝0，x－2y＋3＝0，解得⎩⎨⎧x＝1，y＝2，即A(1,2).代入目标函数z＝(2)2x＋y得,z＝(2)2×1＋2＝4.答案(1)B(2)4考点三实际生活中的线性规划问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.解析设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*，目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【训练3】 (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16解析设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨,每天所获利润为z 万元,则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D[思想方法]1.求最值:求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值,将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式:y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件；写出要研究的函数,转化成线性规划问题.3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时,要注意:当b >0时,截距zb 取最大值时,z 也取最大值；截距z b 取最小值时,z 也取最小值；当b <0时,截距z b 取最大值时,z 取最小值；截距zb 取最小值时,z 取最大值.基础巩固题组 (建议用时:30分钟)一、选择题1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )解析 法一 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域,可知C 正确.法二 结合图形,由于点(0,0)和(0,4)都适合原不等式,所以点(0,0)和(0,4)必在区域内,故选C. 答案 C2.(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A.1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ,由题意知x B ＝1,x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12,所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14. 答案 D3.(2017·广州二测)不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ,若(a ,b )∈D ,则z＝2a －3b 的最小值是( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,当a ＝－2,b ＝0,z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A4.(2017·长春质量监测)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，y ≥0，则3x ＋5y 的取值范围是()A.[－5,3]B.[3,5]C.[－3,3]D.[－3,5]解析 作出如图所示的可行域及l 0:3x ＋5y ＝0,平行移动l 0到l 1过点A (0,1)时,3x ＋5y 有最大值5,平行移动l 0至l 2过点B (－1,0)时,3x ＋5y 有最小值－3,故选D.答案 D5.x,y 满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.12或－1 B.2或12 C.2或1 D.2或－1解析如图,由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a＞0时,要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝2；当a＜0时,要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝－1.答案 D6.若函数y＝2x图象上存在点(x,y)满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为() A.12 B.1 C.32 D.2解析在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及⎩⎨⎧x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域,如图阴影部分所示.由图可知,当m≤1时,函数y＝2x的图象上存在点(x,y)满足约束条件,故m的最大值为1.答案 B7.(2017·石家庄质检)已知x,y满足约束条件⎩⎨⎧x≥1，y≥－1，4x＋y≤9，x＋y≤3，若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1,则m的值是()A.－209 B.1 C.2 D.5解析作出可行域,如图所示的阴影部分.化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z,由图可知,当直线y＝mx＋z过A 点时,直线在y 轴的截距最大,由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2),∴2－m ＝1,解得m ＝1.故选B. 答案 B8.(2016·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322B. 5C.92D.5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方,由图知C 、D 间的距离最小,此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1),此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5,故选D. 答案 D 二、填空题9.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z ＝x ＋2y ,得y ＝－12x ＋12z ,12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距,要使z 最小,需使12z 最小,易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时,z 最小,最小值为3. 答案 310.(2017·滕州模拟)已知O是坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点N(x,y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，x≥12，y≥x上的一个动点,则OM→·ON→的最大值是________.解析依题意,得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,其中A⎝⎛⎭⎪⎫12，12,B⎝⎛⎭⎪⎫12，32,C(1,1).设z＝OM→·ON→＝2x＋y,当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时,z＝2x＋y取得最大值3.答案 311.已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3,则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示).解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y),则由待定系数法可得⎩⎨⎧a＋b＝2，a－b＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－12，b＝52，所以z＝－12(x＋y)＋52(x－y).又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x＋y）＜12，5＜52（x－y）＜152，所以两式相加可得z∈(3,8).法二作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3表示的可行域,如图中阴影部分所示.平移直线2x－3y＝0,当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时,z取得最小值,z min＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1,－2)时,z取得最大值,z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3,8).答案(3,8)12.已知实数x,y满足⎩⎨⎧2x＋y≥0，x－y≥0，0≤x≤a，设b＝x－2y,若b的最小值为－2,则b的最大值为________.解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l 0:x －2y ＝0,∵y ＝x 2－b2,∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值,b min ＝－a , 又b min ＝－2,∴a ＝2,当l 0平移至B (a ,－2a )时, b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 10能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元D.3 100元解析 设每天生产甲种产品x 桶,乙种产品y 桶,则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎨⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元,则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图.画直线l :300x ＋400y ＝0,即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ,从图中可知,当直线过点M 时, 目标函数取得最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4),∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元),故选C. 答案 C14.(2017·许昌监测)设实数x ,y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是()A.－5B.－12C.12 D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示,则w＝y－1x－1的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(1,1)所在直线的斜率,由图象可知当P位于点⎝⎛⎭⎪⎫13，43时,直线AP的斜率最小,此时w＝y－1x－1的最小值为43－113－1＝－12,故选B.答案 B15.已知变量x,y满足约束条件⎩⎨⎧x＋2y－3≤0，x＋3y－3≥0，y－1≤0，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是________.解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示,要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值,则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y －3＝0的斜率,即－a<－12,∴a>12.答案⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞16.(2015·浙江卷)若实数x,y满足x2＋y2≤1,则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.解析∵x2＋y2≤1,∴2x＋y－4＜0,6－x－3y＞0,∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y,如图,设OA与直线－3x－4y＝0垂直,∴直线OA的方程为y＝43x,。
自主招生不等式(附答案)
第一部分奠基篇不等关系一、要点考点1. ⑴平均数不等式（平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数）：（a、b为正数，当a = b时取等号）⑵含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：①②（只需，时取等号）；（时取等号）⑶绝对值不等式：⑷柯西不等式：设则等号成立当且仅当.（约定时，）例如：.⑸常用不等式的放缩法：①②2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：①②类似于③二、技能方法● 配方● 比较● 观察● 等价转化● 函数单调性● 基本不等式● 放缩● 构造● 数学归纳法三、典型例题例1、（复旦2008选拔）已知一个三角形的面积为，且它的外接圆半径为1，设分别是该三角形的三边长，令，，则和的关系是（）A． B.C． D. 无法确定解析：答案：例2、（浙大2008自招）已知，试问是否存在正数，使得对于任意正数可使为三边构成三角形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.解析：例3、（复旦2003保送）,,,…,是各不相同的正自然数，，求证：．证明：例4、（复旦2004保送）求证：．证明：不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：.不等关系——不等关系（1）【课后作业】1. （复旦2009自招）如果一个函数在其定义区间内对任意x，y都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数(1)(2)(3) (4)中是下凸函数的有A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)答案：D提示：不等关系，表示了函数图像的形态——下凸，即在函数图像上任取两个点，它们的连线段在函数图像上方．2.（中科大2009年自招）命题“若，则”的否命题是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则答案：C.说明：证明不等关系问题时，常常使用反证法，而反证法和四种命题是息息相关的，所以要掌握一定的命题知识，只要这样才能灵活解决数学问题．3.（南大2008自招）设是正数，且，求的最小值.提示：再利用基本不等式可得．答案：36.4.（南开大学2008）有3个实根，证明：. 证明：设三根为，则由韦达定理得，即从上式可知，必是三负或两正一负．用不等式的基本性质可排除两正一负的情形．于是，转化为正数后用基本不等式．。
不等式完整PPT课件
学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
返回
• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
返回
返回
• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案] B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案] －2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案] (1) (2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明] (1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案] (－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析] ∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。
高中自主招生数学知识讲解-函数 不等式 数列等 20131201
2）柯西不等式 设 a1 , a2 , a3 , , an , b1 , b2 , b3 , 当且仅当 bi 0(i 1, 2, 证明： 若 ai i 1, 2,
, bn 是实数，则有
2 2 an )(b12 b2 2 bn ) ≥ (a1b1 a2b2
2 2 (a1 a2
anbb )2
, n) 或存在一个数 k ，使得 ai kbi (i 1, 2,
, n) 时，等号成立。
n 全部为零，则不等式显然成立；
2 f ( x) (a12 a2 2 an ) x 2 2(a1b1 a 2 b2 2 anbn ) x (b12 b2 2 bn )
(m 1)m
m 1 m 1
而且
m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 2
所以有
1 m
3
1 m 1
1 m 1
所以
1 1 2
3
1 3
3
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 4 n 1 n 1 n
3
2
1 tan 2 sec2
1 cot 2 csc 2
三倍角公式
sin 3 3sin 4sin 3
cos 3 4 cos3 3cos
万能公式
2sin cos 2 tan 2 2 2 sin 2sin cos 2 2 sin 2 cos 2 1 tan 2 2 2 2
自招的数学学习有很大不同。 首先备考时间较短，只有一到两个月时间； 第二，可供参考的真题非常有限，只有 10 套左右，无法进行大量练习； 第三，每年的自招题目在考察范围和难度上波动性较大。 因此在自招备考时，对真题的利用要更高效，对每道题尽可能多挖掘一些东西； 解答完一道题后，要重新理一下题目的思维过程，找到题目思路的“触发点” ，争取遇到 类似的题目能举一反三。
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
自招竞赛课程数学讲义：自主招生中的函数与函数方程问题【讲师版】
自招竞赛数学“自主招生中的函数与函数方程问”讲义编号：热点问题：方程的根的问题；函数的最值问题；函数性质与应用；函数图象与应用；简单的函数方程。
高观知识的渗透在近几年的自主招生考试中，直接或间接涉及函数方程的问题越来越多，抽象函数与方程交融更是受到命题者的青睐。
此类问题要求对函数的本质有较深的理解，而函数方程变化多，求解技巧强，往往涉及不同领域的数学知识。
特别是附加了条件的函数，更是五花八门，各有巧妙。
本讲义通过例题，粗略归纳为几种题型，希望对大家有所帮助。
知识梳理➢函数零点的定义对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
结论：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
函数y=f(x)零点的判断方法：1、方程法：解方程f(x)=0，得函数y=f(x)的零点。
2、图象法：画出函数y=f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标就是y=f(x)的零点。
3、定理法：函数在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a) ·f(b)<0。
例：若函数f(x)=x2+(k-2)x+2k-1的两个零点中，一个在0和1之间，另一个在1和2之间，求k 的取值范围。
➢函数的对称性✧定理1：如果函数y= f（x）（x∈R）满足f（a+x）= f（b－x），那么y= f（x）的图像关于直线xa b=+2的对称。
✧ 定理2.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线x=2a b -对称。
✧ 定理3.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a －x) = 2b➢ 函数的周期性抽象函数周期————“六部曲” ✧ 探究一. T=a （周一） 定义：设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数a ≠0，使得对一切x ∈D ，且x+a ∈D 时都有f(x+a)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，非零常数a 叫这个函数的周期。
不等式专题标准讲义
不等式专题讲义一、知识清理知识点：一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cbc a >.(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cbc a <2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母; ②去括号; ③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为abx <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式与一次函数 定义与定义式自变量x 和因变量y 有如下关系：y=kx+b ； 则此时称y 是x 的一次函数。
初升高自主招生研讨—方程与不等式(答案)
初升高自主招生研讨——方程与不等式（答案）【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________．【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______.【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根 C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=， 则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p+-=的根12,x x 满足44122x x +≤p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
(完整版)高中数学不等式知识点总结高中数学中，不等式是一个重要的内容，它是解决数学问题的一种有力工具。
不等式是一种用于描述数值的大小关系的数学语句，它包含“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
在数学考试中，不等式问题常常出现在基础知识和综合应用的部分，所以对不等式的学习是非常必要的。
下面我将为大家总结一下高中数学中关于不等式的知识点。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数值之间大小关系的表达式，由关系符号和数值构成。
2. 关系符号的含义：- 大于：表示前面的数比后面的数要大，如a>b。
- 小于：表示前面的数比后面的数要小，如a<b。
- 大于等于：表示前面的数比后面的数大或相等，如a≥b。
- 小于等于：表示前面的数比后面的数小或相等，如a≤b。
二、不等式的性质及常用规则1. 不等式的性质：- 若a>b，则-a<-b。
- 若a>b，则a+c>b+c。
- 若a>b，则ac>bc（当c为正数时）。
- 若a>b，则ac<bc（当c为负数时）。
- 若a>b，且c>0，那么a/c>b/c。
- 若a>b，且c<0，那么a/c<b/c。
2. 不等式的常用规则：- 加法规则：若a>b，则a+c>b+c。
- 减法规则：若a>b，则a-c>b-c。
- 乘法规则：若a>b（c>0），则ac>bc；若a<b（c<0），则ac<bc。
- 除法规则：若a>b（c>0），则a/c>b/c；若a<b（c<0），则a/c<b/c。
- 对称性：若a>b，则-b<-a。
三、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解集表示法：- 解集用区间表示。
- 开区间：解集中的数不包括端点。
- 闭区间：解集中的数包括端点。
2. 不等式的性质应用举例：- 若a>0，则-1/a<0。