重庆大学高数(工学下)期末试题五(含答案)
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
重庆大学高等数学习题1-5
习题1-5 A 组1.求参数a 的值，使得函数24,2()2,2x x f x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩在点2x =处连续解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为00lim ()()x x f x f x →=解：本题中22224lim ()limlim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a =2.若函数(sin cos ),0()2,0x e x x x f x x a x ⎧+>=⎨+≤⎩是(,)-∞+∞上的连续函数，求a解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 解：已知(0)f a =lim ()lim(2)x x f x x a a --→→=+=，00lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a =3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =点处连续，求a 与b 的关系解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→== 解：已知(0)f a =20lim ()lim()x x f x a bx a --→→=+=，00sin sin lim ()lim lim x x x bx bxf x b b x bx+++→→→===则a b =4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2sin ()1x f x x =-（2）1()1x f x x -=-（3）2tan ()1x f x x =+ （4）20,0,01()42,134,3x x x f x x x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪≥⎩ 解析：考查间断点的类型，首先要找出间断点，一般为无定义点、无极限点和函数值不等于该点的极限值的点。
重庆大学高等数学(工学类)中期试卷及参考答案
由于抛物线关于x轴对称，只讨论 的情形。在 上任取一点 ，由光的反射原理及几何知识知，设T为过P的切线与x轴的交点，只需证
过P的切线方程斜率为
切线方程为
令 得T的横坐标为
，
，
，即证。
（C）不可能取极值（D）不能确定是否取极值
二．填空题（每小题3分，共15分）
1.已知 且 ，则 的定义域为
2.若 ，则
。
3.已知当 时， 与 是等价无穷小，则常数
4.若 在 上连续，则
5.设 在点 处可导，且 ，则函数在 处的切线斜率为
三．判断并说明理由（每小题4分，共12分）。
1.设 在 的某个邻域内有定义，若 存在，则 在 处可导。
由题设 ，知 ，从而
6．应用题（7分）
汽车的前灯、探照灯、反射式的天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都是采用旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面。这种反光镜有一个很好的光学特性，把光源放在抛物线的焦点处，经镜面反射后的光线变成了与对称轴平行的光束，请用导数的几何意义来证明这个性质。
重庆大学高等数学（工学）课程中期试卷n
20—20 学年 第 学期
开课学院：数学与统计课程号：
！
考试日期：
考试时间：120分钟
题 号
[
一
二
三
四
五
、
六
七
八
九
十
~
总 分
得 分
,
@
>
一．单项选择题（每小题3分，共15分）
1.设 ，则 【D】
（A） （B）
~
（C） （D）
2.若函数 有 ，则当 时，该函数在 处的微分 是【D】
重庆大学高数(工学下)期末试题五(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ⋅=(A) 1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b 知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D分析:||||a b a b ⋅=cos(,)a b =cos(,).a b 2. 微分方程21x y '=的通解是().(A) 1y C x =+ (B) 1y C x=+ (C)1Cy x =-+ (D) 1y xC =-+ 知识点:微分方程,难度等级:1.答案: D分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1,y C x=-+故应选(D).3. 设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则().Ω=(A) 4R π (B) 443R π; (C) 4 32 R π (D) 42 R π知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案: A4．若L 是上半椭圆cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩取顺时针方向,则L ydx xdy -⎰的值为().(A) 0 (B)2ab π(C) ab π (D)ab π- 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1.答案: C分析: 题中半椭圆面积为,2ab π要用格林公式,添有向线段1:0(:).L y x a a =-→ 112,0.DL L L dxdy ab π-+===⎰⎰⎰⎰故选C.5. 设函数(),0f x x >连续,并对0x >的任意闭曲线,L 有命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密34()0,Lx ydx xf x dy +=⎰且(1)2,f =则()f x =().(A)242412423-+-x x x (B)324122424x x x -+- (C)31x + (D)xx 13+知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有3(4)(()).x y xf x y x ∂∂=∂∂即34()().x f x xf x '=+A,B 选项显然不满足方程,而C 含常数,也不能满足方程,故选D.验证D 满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6. 曲面z =包含在柱面222x y x +=内部那部分面积().=(A) π(B)(C)(D) 知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B分析: 在xOy 投影区域22:2,D x y x +≤化为二重积分为D=,选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 级数12(2)!nn n n ∞=∑的和为__________.知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e分析: 11121.(2)!!(1)!n n n n n n e n n n ∞∞∞======-∑∑∑8. 222()__________,c x y z ds ++=⎰其中c 为螺线cos ,sin ,(02).x a t y a t t a bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案：2222(343a b ππ+ 解:弧长的微分为,ds =于是222222222202()()(343cx y z ds a b t dt a b πππ++=+=+⎰9. 过已知点A )1,2,1(-和B )7,2,5(-作一平面,使该平面与x 轴平行,则该平面方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:2. 答案:20.y -=分析:平面的法向量n AB ⊥,且n i ⊥,取606(0,6,0),100i j kn AB i =⨯=-=过点A (1,2,1),-平面方程为0(1)6(2)0(0)0,x y z ⋅-+⋅-+⋅-=即20.y -= 10. 函数zy u x =在点(1,2,1)-处沿(1,2,2)a =-方向的方向导数为______.知识点:函数的方向导数.难度等级:1答案：1.6解 : (1,2,2)a =-⇒122cos ,cos ,cos .333αβγ-===1(1,2,1)(1,2,1)1(1,2,1)(1,2,1)1;2ln 0;z zzy y z u y xx u x x zy y------∂=⋅=∂∂=⋅=∂(1,2,1)(1,2,1)ln ln 0.z y z ux x y y z --∂=⋅=∂111.236u a ∂⇒=⨯=∂ 11.设∑为平面326x y z ++=在第一卦限的部分的上侧,将⎰⎰∑++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为__________.知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:32().555P Q R dS ∑++⎰⎰ 分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为{3,2,,长度为5故得结果.12. 设∑是圆锥面z =被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分,则()xy yz zx dS ∑++⎰⎰__________.=知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3.答案4. 分析: 曲面关于x 轴对称,xy yz +为关于y 的奇函数,故只需算zx 的积分值,2cos 3422cos .xya D zxdS d dr θππθθ-∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算积分(2),c a y dx xdy -+⎰其中c 为摆线(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解: 由题设(1cos ),sin .dx a t dt dy a tdt =-=于是{}20(2)[(2(1cos )](1cos )(sin )sin ca y dx xdy a a t a t a t t a t dt π-+=---+-⎰⎰[]222202sin cos sin 2.at tdta t t t a πππ==--=-⎰14. 求32sin (2cos cos )0x d x x dx θθθθ+-+=的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2 分析:sin cos d d θθθ=,若令cos z θ=,原方程可化为一阶线性方程.解: 将原方程改写为2sin cos 2cos .x d dx dx xdx xθθθθ+-+= 令cos ,y xθ=则2sin cos .x d dxdy xθθθ+=-于是方程化为 2.dyxy x dx+= 这是一阶线性非齐次方程.由通解公式2221().2x x x y e xe dx C Ce --=+=+⎰ 故21cos .2x x Cxe θ-=+15. 计算,2222⎰⎰∑+++z y x dxdy z xdydz 其中∑是由曲面222R y x =+及平面,(0)z R z R R ==->所围成立体表面外侧. 知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3 分析:利用高斯公式并注意对称性. 解:利用高斯公式,并注意对称性,知22222222222()0.()z dxdy z x y dV x y z x y z ∑Ω+==++++⎰⎰⎰⎰⎰ 又dydz z R y R dydz z R y R z y x xdydz⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+--++-=++212222222222222212yzD RR RdzR z --==+⎰⎰⎰⎰2212[arctan ]2.2R R z R R R R ππ-=⋅=22222.2xdydz z dxdy R x y z π∑+⇒=++⎰⎰ 16. 计算第二类曲线积分222,Ly dx z dy x dz ++⎰其中L 为球面2222R z y x =++与柱面对)0,0(22>≥=+R z Rx y x 的交线,其方向是面对着正x 轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3分析: 利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:222222Ldydz dzdx dxdyy dx z dy x dz x y z y z x ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰dxdyy yx R xy x ydxdyxdzdx zdydz xyD ⎰⎰⎰⎰+--+-=++-=∑)(222222xyD xdxdy =-⎰⎰(∵xy D 关于x 轴对称,(,)f x y y 是关于y 的奇函数)⎰⎰--=22cos 02cos 2ππθθθR dr r d342034cos 3.4R d R πθθπ=-=-⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．判断级数111(1)nn e n∞=--∑的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 分析:取211n n ∞=∑用比较判别法的极限形式. 解: 1200211111limlim lim .122nx xn x x e e x e n x x n →∞→→-----===由于211n n ∞=∑收敛,故级数111(1)n n e n ∞=--∑收敛.18．求函数2232z x y x =+-在闭域22(,)|194x y D x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由22060x yz x z y =-=⎧⎨==⎩得D 内驻点(1,0),且(1,0) 1.z =-在边界22194x y +=上()21121233.3z x x x =--+-≤≤1220.3z x '=--<11(3)15(3) 3.z z -==比较后可知函数z 在点(1,0)取最小值(1,0)1z =-在点(3,0)-取最大值(3,0)15.z -=五、 证明题(每小题6分,共12分)19．设函数(,,)F x y z 具有一阶连续偏导数,且对任意实数t 有(,,)(,,)(k F tx ty tz t F x y z k =是自然数),试证曲面(,,)0F x y z =上任一点的切平面都通过一定点(设在任一点处,有2220.x y z F F F ++≠).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2 分析:曲面(,,)0F x y z =在一点000(,,)x y z 的切平面方程为000()()()0,x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0)满足方程.证明: 由已知条件可得.x y z xF yF zF kF ++=曲面上点000(,,)x y z 处的切平面方程为 000()()()0.x y z F x x F y yF z z ⋅-+⋅-+⋅-= 即000000(,,)0.x y z x y z xF yF zF x F y F z F kF x y z ++=++==易知0,0,0x y z ===满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点.20. 设0,n P >n P 单调增,且11n nP ∞=∑收敛.证明:(1)12n nn u P P P =+++单调减.(2)21n n u ∞=∑收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 证:(1)1121121n n n nn nu u P P P P P P +++-=-++++++1212112121(1)()()()()n n n n n P P P n P P P P P P P P P ++++++-+++=++++++121121210()()n n n n P P P nP P P P P P P +++++-=<++++++ 12n nnu P P P ∴=+++单调减.(2)2122222,n n n n n n u P P P nP P =≤=+++而11n nP ∞=∑收敛,由比较判别法,21n n u ∞=∑收敛.六、 应用题 (每小题8分,共16分)21. 设在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片, 占有平面闭域222,,0{()|},D x y x y R y =+≤≥过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点,P .OP a =求半圆形薄片对质点P 的引力.知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3分析: 由引力公式,建立二重积分计算解: 设P 点的坐标为(0,0,.)a 薄片的面密度为222.12M MRR μππ== ()000,,设所求引力为,,().x y z F F F F =由于薄片关于y 轴对称, 所以引力在x 轴上的分量0,x F = 而2223/2()y Dm yF G d x y a μσ=++⎰⎰2223/2sin ()Rm G d d a πρθμθρρ=+⎰⎰2223/22223/2sin ()2()RRm G d d a m G d a πρμθθρρρμρρ=+=+⎰⎰⎰24GmM R π= 2223/2()z Dm aF G d x y a μσ=-++⎰⎰2223/2()Rm Ga d d a πρμθρρ=-+⎰⎰2223/22()2(1Rm Ga d a GmM R ρπμρρ=-+=-⎰22．一质量为m 的船以速度0v 沿直线航行,在0t =时,推进器停止工作(动力关闭). 假设水的阻力正比于,n v 其中n 为一常数,v 为瞬时速度,求速度与滑行距离的函数关系.知识点:微分方程模型.难度等级:2 分析:据牛顿第二定律建立微分方程.解: 船所受的力=向前推力-水的阻力=0,n kv -加速度为.dvdtα=于是,由题设有 00,|.n t dvmkv v v dt==-= 设距离为()x x t =,则上述方程化为.n dv dv dx dvmm mv kv dt dx dt dx=⋅=⋅=- 故有1.n mv dv kdx -=-当2n ≠时,两边积分得,22.2nmv kx c n-=-+- 代入000|,|0,t t v v x ====得20.2n mv c n-=-故 220.(2)n n k n v x v m---=-+ 当2n =时,同理可解得 0.k x mv v e-=。
重庆大学高数工学下期末试题五含答案
-- -XX 大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年第学期开课学院:数统学院课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分钟一、选择题(每小题3分,共18分)1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ⋅=(A)1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D分析:||||a b a b ⋅=cos(,)a b =cos(,).a b 2.微分方程21x y '=的通解是().(A) 1y C x =+(B) 1y C x=+ (C)1C y x =-+ (D) 1y xC =-+知识点:微分方程,难度等级:1. 答案:D分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1,y C x=-+故应选(D).3.设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则().Ω=(A) 4R π(B)443R π;(C)4 32 R π(D)42 R π 知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案:A4．若L 是上半椭圆cos sin x a ty b t=⎧⎨=⎩取顺时针方向,则L ydx xdy -⎰的值为().(A)0 (B)2ab π(C)ab π (D)ab π-知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案: C分析:题中半椭圆面积为,2ab π要用格林公式,添有向线段1:0(:).L y x a a =-→112,0.DL L L dxdy ab π-+===⎰⎰⎰⎰故选C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 X X 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密5.设函数(),0f x x >连续,并对0x >的任意闭曲线,L 有34()0,Lx ydx xf x dy +=⎰且(1)2,f =则()f x =().(A)242412423-+-x x x (B)324122424x x x -+- (C)31x +(D)xx 13+知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有3(4)(()).x y xf x y x ∂∂=∂∂即34()().x f x xf x '=+A,B 选项显然不满足方程,而C 含常数,也不能满足方程,故选D.验证D 满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6.曲面z =包含在柱面222x y x +=内部那部分面积().=(A) π(C)知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B分析:在xOy 投影区域22:2,D x y x +≤化为二重积分为D,选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7.级数12(2)!nn n n ∞=∑的和为__________.知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e分析:11121.(2)!!(1)!n n n n n n e n n n ∞∞∞======-∑∑∑8. 222()__________,c x y z ds ++=⎰其中c 为螺线cos ,sin ,(02).x a t y a t t a bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案：2222(343a b ππ+ 解:弧长的微分为,ds =于是222222222202()()(343cx y z ds a b t dt a b πππ++=+=+⎰9. 过已知点A )1,2,1(-和B )7,2,5(-作一平面,使该平面与x 轴平行,则该平面方程为__________.知识点:平面方程,难度等级:2.答案:20.y -=分析:平面的法向量n AB ⊥,且n i ⊥,取606(0,6,0),100i j kn AB i =⨯=-=过点A (1,2,1),-平面方程为0(1)6(2)0(0)0,x y z ⋅-+⋅-+⋅-=即20.y -= 10. 函数zy u x =在点(1,2,1)-处沿(1,2,2)a =-方向的方向导数为______.知识点:函数的方向导数.难度等级:1 答案：1.6解:(1,2,2)a =-⇒122cos ,cos ,cos .333αβγ-===1(1,2,1)(1,2,1)1(1,2,1)(1,2,1)1;2ln 0;z z z y y z uy x x ux x zy y ------∂=⋅=∂∂=⋅=∂(1,2,1)(1,2,1)ln ln 0.zy z u x x y y z --∂=⋅=∂111.236u a ∂⇒=⨯=∂ 11.设∑为平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧,将⎰⎰∑++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为__________.知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:32().555P Q R dS ∑++⎰⎰ 分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为{,长度为5故得结果.12.设∑是圆锥面z =被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分,则()xy yz zx dS ∑++⎰⎰__________.=知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3. 答案4. 分析:曲面关于x 轴对称,xy yz +为关于y 的奇函数,故只需算zx的积分值,2cos 3422cos .xya D zxdS d dr θππθθ-∑===⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算积分(2),c a y dx xdy -+⎰其中c 为摆线(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解:由题设(1cos ),sin .dx a t dt dy a tdt =-=于是{}20(2)[(2(1cos )](1cos )(sin )sin ca y dx xdy a a t a t a t t a t dt π-+=---+-⎰⎰[]2202202sin cos sin 2.a t tdt a t t t a πππ==--=-⎰14. 求32sin (2cos cos )0x d x x dx θθθθ+-+=的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2 分析:sin cos d d θθθ=,若令cos z θ=,原方程可化为一阶线性方程.解:将原方程改写为2sin cos 2cos .x d dx dx xdx x θθθθ+-+= 令cos ,y xθ=则2sin cos .x d dxdy xθθθ+=-于是方程化为 2.dyxy x dx+= 这是一阶线性非齐次方程.由通解公式2221().2x x x y e xe dx C Ce --=+=+⎰ 故21cos .2x x Cxe θ-=+15. 计算,2222⎰⎰∑+++z y x dxdy z xdydz 其中∑是由曲面222R y x =+及平面,(0)z R z R R ==->所围成立体表面外侧.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3 分析:利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式,并注意对称性,知22222222222()0.()z dxdy z x y dV x y z x y z ∑Ω+==++++⎰⎰⎰⎰⎰ 又dydz z R y R dydz z R y R z y x xdydz⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+--++-=++212222222222222212yzD RR RdzR z --==+⎰⎰⎰⎰2212[arctan ]2.2R R z R R R R ππ-=⋅=22222.2xdydz z dxdy R x y z π∑+⇒=++⎰⎰ 16. 计算第二类曲线积分222,Ly dx z dy x dz ++⎰其中L 为球面2222R z y x =++与柱面对)0,0(22>≥=+R z Rx y x 的交线,其方向是面对着正x 轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3 分析:利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:222222L dydz dzdx dxdy y dx z dy x dz x y z y z x ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰dxdyy yx R xy x ydxdyxdzdx zdydz xyD ⎰⎰⎰⎰+--+-=++-=∑)(222222xyD xdxdy =-⎰⎰(∵xy D 关于x 轴对称,(,)f x y y 是关于y 的奇函数)⎰⎰--=22cos 02cos 2ππθθθR dr r d342034cos 3.4R d R πθθπ=-=-⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．判断级数111(1)nn e n∞=--∑的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 分析:取211n n ∞=∑用比较判别法的极限形式. 解: 1200211111limlim lim .122nx xn x x e e x e n x x n →∞→→-----===由于211n n∞=∑收敛,故级数111(1)n n e n ∞=--∑收敛.18．求函数2232z x y x =+-在闭域22(,)|194x y D x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由22060x yz x z y =-=⎧⎨==⎩得D 内驻点(1,0),且(1,0) 1.z =-在边界22194x y +=上()21121233.3z x x x =--+-≤≤1220.3z x '=--< 11(3)15(3) 3.z z -==比较后可知函数z 在点(1,0)取最小值(1,0)1z =-在点(3,0)-取最大值(3,0)15.z -=五、 证明题(每小题6分,共12分)19．设函数(,,)F x y z 具有一阶连续偏导数,且对任意实数t 有(,,)(,,)(k F tx ty tz t F x y z k=是自然数),试证曲面(,,)0F x y z =上任一点的切平面都通过一定点(设在任一点处,有2220.x y z F F F ++≠).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2 分析:曲面(,,)0F x y z =在一点000(,,)x y z 的切平面方程为000()()()0,x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0)满足方程.证明:由已知条件可得.x y z xF yF zF kF ++=曲面上点000(,,)x y z 处的切平面方程为000()()()0.x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=即000000(,,)0.x y z x y z xF yF zF x F y F z F kF x y z ++=++==易知0,0,0x y z ===满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点()000,,.20. 设0,n P >n P 单调增,且11n nP ∞=∑收敛.证明:(1)12n nn u P P P =+++单调减.(2)21n n u ∞=∑收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2证:(1)1121121n n n nn nu u P P P P P P +++-=-++++++1212112121(1)()()()()n n n n n P P P n P P P P P P P P P ++++++-+++=++++++121121210()()n n n n P P P nP P P P P P P +++++-=<++++++12n nnu P P P ∴=+++单调减.(2)2122222,n n n n n n u P P P nP P =≤=+++而11n nP ∞=∑收敛,由比较判别法,21n n u ∞=∑收敛.六、 应用题(每小题8分,共16分)21. 设在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片,占有平面闭域222,,0{()|},D x y x y R y =+≤≥过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点,P .OP a =求半圆形薄片对质点P 的引力.知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3 分析:由引力公式,建立二重积分计算 解:设P 点的坐标为(0,0,.)a 薄片的面密度为222.12M MRR μππ== 设所求引力为,,().x y z F F F F =由于薄片关于y 轴对称,所以引力在x 轴上的分量0,x F =而2223/2()y Dm yF G d x y a μσ=++⎰⎰2223/2sin ()Rm G d d a πρθμθρρ=+⎰⎰2223/22223/2sin ()2()RRm G d d a m G d a πρμθθρρρμρρ=+=+⎰⎰⎰24(ln GmM R R a π= 2223/2()z Dm aF G d x y a μσ=-++⎰⎰2223/2()Rm Ga d d a πρμθρρ=-+⎰⎰2223/22()2(1Rm Ga d a GmM R ρπμρρ=-+=-⎰22．一质量为m 的船以速度0v 沿直线航行,在0t =时,推进器停止工作(动力关闭). 假设水的阻力正比于,n v 其中n 为一常数,v 为瞬时速度,求速度与滑行距离的函数关系.知识点:微分方程模型.难度等级:2分析:据牛顿第二定律建立微分方程.解:船所受的力=向前推力-水的阻力=0,n kv -加速度为.dvdtα=于是,由题设有 00,|.n t dvmkv v v dt==-= 设距离为()x x t =,则上述方程化为.n dv dv dx dvmm mv kv dt dx dt dx=⋅=⋅=- 故有1.n mv dv kdx -=-当2n ≠时,两边积分得,22.2nmv kx c n-=-+- 代入000|,|0,t t v v x ====得20.2n mv c n-=-故220.(2)n n k n v x v m---=-+ 当2n =时,同理可解得0.k x mv v e-=。
【经典期末卷】大学高数(下)期末测试题及答案
第 1 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）LQdx Pdy +⎰=( )dxdy )P dxdy x 二重积分的积分区域D 是221≤+x y π C ．2π+⎰L Pdx Qdy在A．∂∂-=∂∂P Qy x第 2 页（共10 页）第 3 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）()Lx y ds +⎰＝ ()Lx y ds +⎰= Lydx xdy +⎰= 2sin y t =上对应22xy De dxdy --⎰⎰= 2.第 4 页 （共 10 页）三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）1.计算：22xy De d σ+⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域。
2.计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域。
3.计算xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥所围成.第 5 页 （共 10 页）班级（学生填写）： 姓名： 学号： ----------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 ------------------------------------------------------- （答题不能超出密封线）4.求2d d Dxx y y⎰⎰，其中D 为1xy =，y x =及2x =所围成的区域。
2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ACE
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．设f 具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,(2)22121222,zf y f xy y f xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂ ()()22222211122122432221112222222244,z y yf xy f y f xy f y f xy x yf y f xy f x y f ∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'''''''=+++()()()()222212111221223322121122122212122222121112212212222222225,22,22222zyf y xf xy f xy f x f xy f x x yyf xf xy f x yf x y f zf xy f x xyf x f yz xf xy x f xy f x f xy f x yxf ∂''''''''''=+++⋅+⋅⋅+⋅∂∂''''''''=++++∂''''=⋅+⋅=+∂∂'''''''''=++⋅+⋅⋅+⋅∂'=223411122244.x y f x yf x f ''''''+++(3)1313cos e cos e ,x y x y zf x f xf f x++∂''''=⋅+⋅=+∂()()1321113313322()311113332312133233sin cos e e cos e cos e e sin cos 2e cos e ,cos e e (sin )e (sin )x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y zxf x f f x f f x f xf xf xf xf f z x f f y f f y f x y++++++++++∂''''''''''=-+++⋅+⋅+⋅∂''''''''=-+++∂'⎡⎤''''''=++⋅⋅-+⋅⋅-+⎣⎦∂∂2()3121332332323223222233233e e cos sin e cos e sin e ,(sin )e sin e ,cos sin e e (sin )e (sin )e x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x yf xf yf f zf y f yf f yz yf y f f y f f y f y +++++++++++⎡⎤''⋅⎣⎦'''''''''=-+-+∂''''=-+=-+∂∂''⎡⎤⎡''''''''=--++-+⋅-+⋅⎣⎦∂22()32222333e cos sin 2e sin e .x y x y x y f yf yf yf f +++⎤⎣⎦''''''''=-+-+28. 试证：利用变量替换1,3x y x y ξη=-=-,可将方程22222430u u ux x y y∂∂∂++=∂∂∂∂ 化简为20uξη∂=∂∂. 证明：设1(,),3u f f x y x y ξη⎛⎫==-- ⎪⎝⎭2222222222222222222222221411(1)(1)3333u u u u ux x x u u u u u u u ux x x x x u u u u u u u x y ξηξηξηξηξηξξηηξηξξηηξξηηξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=+⋅-+⋅+⋅-=----- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭22uη∂∂222222222222222222222222211(1)33111211(1)(1)33933343142433u u u u u y u u u uuu u u y u u u x x y yu u u u ξηξηξξηηξηξξηηξξηηξ∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅-=--- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅--⋅-⋅-=++-- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂∂++∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++--∂∂∂∂∂2222222221239340.3u u u u u u ξηηξξηηξη⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+-++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭∂=-=∂∂故20.uξη∂=∂∂2．计算下列对坐标的曲线积分：(1)()22d -⎰Lx y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；(2)d Lxy x ⎰其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；(3)d d L y x x y +⎰，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π2的一段弧；(4)()()22d d Lx y x x y y x y +--+⎰，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；(5)2d d d x x z y y z Γ+-⎰，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-⎰，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；(7)d d d Lx y y z -+⎰，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0），(0,1,0)，(0,0,1)；(8)()()222d 2d Lx xy x y xy y -+-⎰，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，()()22222435001156d d 3515L x y x x x x x x ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1cos 0πsin x a a tt y a t =+⎧≤≤⎨=⎩L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()()12π20π320ππ32203d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2LL L axy x xy x xy xa a t a a t t x a t t ta t t t ta =+'=⋅++=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)()π20π220π220d d sin sin cos cos d cos 2d 1sin 220Ly x x y R t R t R tR t t Rt tR t +=-+⎡⎤⎣⎦=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故 ()()()()()()222π202π220d d 1cos sin sin cos sin cos d 1d 2πLx y x x y yx y a t a t a t a t a t a t t aa t a +--+=+---⎡⎤⎣⎦=-=-⎰⎰⎰(5)()()()2π22π3220π3320332d d d sin sin cos cos d d 131ππ3x x z y y zk k a a a a k a k a k a Γθθθθθθθθθθ+-=⋅+⋅--=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰ (6)直线Γ的参数方程是32=⎧⎪=⎨⎪=⎩x t y t z t t 从1→0．故()()322322103141d 3d d 27334292d 87d 1874874x x zy y x y z t t t t t tt tt Γ++-⎡⎤=⋅+⋅⋅+-⋅⎣⎦==⋅=-⎰⎰⎰(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示)图11-21:0y x AB z =-⎧⎨=⎩，x 从0→1()01d d d 112AB x y y z dx -+=--=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰． 0:1x BC y z =⎧⎨=-⎩，z 从0→1()()()1010120d d d 112d 12232BC x y y z z dz z zz z -+=--+-⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰0:1y CA z x=⎧⎨=-⎩，x 从0→1[]1d d d 1001CAx y y z dx -+=-+=⎰⎰．故()()d d d d d d 312122LABBCCAx y y zx y y z-+=++-+=-++=⎰⎰⎰⎰(8)()()()()()221224211235412d 2d 222d 224d 1415Lx xy x y xy yx x x x x x x xx x x x x---+-⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦=-+-=-⎰⎰⎰3．证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。
高等数学(工本)历年试题及参考答案
2010-2014年高等数学(工本)00023历年试题及参考答案 全国2010年10月自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面D ．球面2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y xf )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f dr d θD ．⎰⎰⎰π102)(Rdz r f rdrd θ4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y5．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n nuB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n nuD ．∑∞=+1)1(n nu二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．向量a ={1,1,2}与x 轴的夹角=α__________. 7．设函数22),(y x xy y x f -=，则=)1,(x yf __________.8．设∑是上半球面z =221y x --的上侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy y 3__________.9．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.10．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=.π,0,23sin .0,π,0)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0） =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．设平面π过点P 1（1，2，－1）和点P 2（－5，2，7），且平行于y 轴，求平面π的方程. 12．设函数22ln y x z +=，求yx z∂∂∂2.13．设函数232y x e z -=，求全微分dz .14．设函数)2,(22xy y x f z -=，其中f (u , v )具有一阶连续偏导数，求xz ∂∂和y z ∂∂. 15．求曲面x 2+y 2+2z 2=23在点（1，2，3）处的切平面方程. 16．计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x )sin(22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤a 2.17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面z =x 2+y 2，z =0及x 2+y 2=1所围区域.18．计算对弧长的曲线积分⎰Cds x 2，其中C 是圆周x 2+y 2=4的上半圆. 19．计算对坐标的曲线积分⎰+-+-C dy y x dx y )21()31(，其中C 为区域D ：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.20．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解. 21．判断无穷级数∑∞=--+1212)1(1n n n 的敛散性. 22．将函数51)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数)(x yz ϕ=，其中)(u ϕ为可微函数.证明：0=∂∂+∂∂y zy x z x24．设曲线y =y (x )在其上点（x , y ）处的切线斜率为xyx -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程. 25．证明：无穷级数∑∞=-=++-+121)122(n n n n .全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题一、单项选择题(本大题共5小题。
高数下册期末考试题及答案
高数下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) 的导数是：A. \( 2x/(x^2 + 1) \)B. \( 2x/x^2 + 1 \)C. \( 2x/(x^2 - 1) \)D. \( 2x/(x^2 + 1)^2 \)答案：A2. 已知 \( e^x \) 的泰勒展开式为 \( 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + \cdots \)，那么 \( e^{-x} \) 的泰勒展开式是：A. \( 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)B. \( 1 + x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)C. \( 1 - x - x^2/2! + x^3/3! - \cdots \)D. \( 1 + x + x^2/2! - x^3/3! + \cdots \)答案：A3. 若 \( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则 \( \int_0^1 x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{5} \)C. \( \frac{1}{6} \)D. \( \frac{1}{7} \)答案：A4. 曲线 \( y = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 等于：A. 1B. 2C. 4D. 8答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 若 \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x \)，则 \( f'(x) = \) ________。
重庆大学高数(下)期末试题11(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分一、 选择题(每小题3分,共18分)1. 设,yu xy x =+则22u x ∂=∂__________.答案:32.y x难度等级：1；知识点：偏导数.2. 已知级数1nn n a x ∞=∑满足11lim ,3n n na a +→∞=且lim 2,n n n ab →∞=则级数1n n n b x ∞=∑的收敛半径为__________.答案:3.难度等级：2；知识点：幂级数分析:1111111limlim 2, 3.233n n n n n n n n n n b b a a R b a a b +++→∞→∞+==⨯⨯== 3. 若曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1),yx-+且过点(2,1),则该曲线方程是__________.答案:14.2y x x =-+难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程4. 设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)__________.Lxy y dx x x dy -+-=⎰答案:18.π-难度等级：2；知识点：格林公式分析:利用格林公式可化为被积函数为2-的二重积分,而积分区域面积为9,π故得.5. 设()f t 具有连续导数, (0)0,(0)1,f f '=={}2222(,,)|,x y z x y z t Ω=++≤则1lim40I f d t t V π==⎰⎰⎰+Ω→__________. 答案:1.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院专业、班年级学号姓名考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密难度等级：2；知识点：三重积分6. 求以向量23a m n =+和4b m n =-为边的平行四边形的面积为 ，其中,m n 是互相垂直的单位向量. 答案：11.难度等级：2；知识点：向量代数.分析：为了便于计算,令,m i n j ==,则23a i j =+,4b i j =-,230(0,0,11),140i j ka b ⨯==--平行四边形的面积为20011a b ⨯=+=二、填空题(每小题3分,共18分)7. 设非零向量,,a b c 满足条件0a b c ++=,则a b ⨯().=(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯ 答案:(B).难度等级：1；知识点：向量代数分析:在0a b c ++=的两边左乘以b得到()0,b a b c b ⨯++=⨯0,b a b b b c ⨯+⨯+⨯=即0.a b b c -⨯+⨯=于是.a b b c ⨯=⨯8. 设函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处沿任何方向有方向导数,则z f x y =(,)在点(,)x y 00处().(A)偏导数存在(B)可微 (C)偏导数不一定存在 (D)偏导数连续 答案:(C).难度等级：2；知识点：偏导数与方向导数分析:函数z =(0,0)处沿任何方向的方向导数均为1,但偏导数不存在,所以应选(C).9. 微分方程22x y y '''=的通解是().(A)1221ln(1)C x y x C C -=--+ (B) 1211ln(1)C x x y C C C -=--+ (C)12211ln(1)C x x y C C C -=-+ (D) 12211ln(1)C x x y C C C -=--+ 答案: (D).难度等级：2；知识点：可降阶微分方程分析:方程为二阶非线性方程.令,u y '=则方程降为一阶方程22,x u u '=这是变量可分离方程.分离变量得22,du dxu x=积分得111.C u x =+将u y '=代入并积分可得12211,ln(1)C x x y C C C -=--+故应选(D).10.曲线2,x t y z t ===在点(4,8,16)处的法平面方程为().(A) 8132x y z --=- (B) 8140x y z ++= (C)x-y+8z=124 (D) 8116x y z +-=答案:(B).难度等级：1；知识点：多元微分学在几何上的应用 分析:法平面的法向量就是曲线的切向量,为(1,1,8),n =所以法平面方程为:(4)(8)8(16)0.x y z -+-+-=即 8140.x y z ++= 与(A)、(B)、(C)、(D)比较后知,应选B).11. 设有一分布非均匀的曲面,∑其面密度为(,,),x y z ρ则曲面∑对x 轴的转动惯量为().(A)xdS ∑⎰⎰ (B)(,,)x x y z dS ρ∑⎰⎰(C)2x dS ∑⎰⎰ (D)22()(,,)y z x y z dS ρ∑+⎰⎰答案:(D).难度等级：1；知识点：曲面积分的应用分析:A,C 明显不对,B 被积函数不对,D 是转动惯量. 12. 设流速场{0,0,1},v =则流过球面2222x y z R ++=的流量值为().(A)0 (B)24R π (C)334R π (D)1 答案:(A).难度等级：2；知识点：第二型曲面积分的应用.分析:通量00.dxdy dV ∑ΩΦ===⎰⎰⎰⎰⎰三、 计算题(每小题6分,共24分)13. 求微分方程3dy y dx x y =+的通解. 难度等级：2；知识点：一阶线性微分方程.分析 方程为一阶非线性方程，需变形为一阶线性方程求解.解 方程改写为21dx x y dy y-=, 这是关于()x x y =的一阶线性非齐次方程，故通解为2()dydyyyx ey edy C -⎰⎰=+⎰ 21()2y y C =+即32y x Cy =+.14. 设(,)z z x y =由方程(,)0f y x yz -=所确定，其中f 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂.难度等级：2；知识点：隐函数的高阶偏导数. 分析 由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数的偏导数xzFz x F ∂=-∂，求出zx∂∂后再对x 求偏导数即可得22z x ∂∂.解11221f f z x yf y f -∂=-=∂ 21112221221222()()1z zf yf f f yf f z x x x y f ∂∂-+--+∂∂∂=⋅∂ 211121221232222f f f f fyf yf yf=-+-15.将函数()ln(f x x =+展成关于x 的幂级数. 难度等级：2；知识点：函数展开成幂级数分析:有对数,反三角函数需要求导后展开,然后逐项积分解:()f x '====0(21)!!(1).(2)!!n nn n x n ∞=-=-∑20(21)!!(),.(2)!!n n n f x x x R n ∞=-'⇒==∈∑ 21(21)!!()(1),.(2)!!21n knn n x f x dx x R n n +∞=-'⇒=-∈+∑⎰21(21)!!()(1),.(21)(2)!!nn n n f x x x R n n ∞+=-⇒=-∈+∑16. 计算2232(()(2),xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰其中∑为上半球体0z ≤≤表面的外侧.难度等级：2；知识点：高斯公式分析:题设曲面为封闭曲面,利用高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.解: 2232(()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰222205sin 2.5ad d r r dra ππθϕϕπ=⋅=⎰⎰⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设),(y x z z =是由0182106222=+--+-z yz y xy x 确定的函数,求函数),(y x z z =的极值点和极值.难度等级：3；知识点：多元函数极值解:方程0182106222=+--+-z yz y xy x 两边分别对,x y 求偏导数得到26220,(1)6202220.(2)x x y y x y yz zz x y z yz zz ---=⎧⎪⎨-+---=⎪⎩令00x yz z =⎧⎪⎨=⎪⎩得260,62020x y x y z -=⎧⎨-+-=⎩即3.x yz y =⎧⎨=⎩ 代入方程0182106222=+--+-z yz y xy x 得 3.y =±因此有两个驻点(9,3),(9,3).--相应的函数值为3, 3.-方程(1),(2)两边再次分别对,x y 求偏导数得到22222()20(3)622220(4)20422()20.(5)xx x xxx xy y x xy y yy y yy yz z zz z yz z z zz z yz z zz ⎧---=⎪⎪-----=⎨⎪----=⎪⎩将9,3,3,0,0x y x y z z z =====代入(3),(4),(5)得到21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==>==-==->故点(9,3)是(,)z z x y =的极小值点,极小值(9,3) 3.z = 同样将9,3,3,0,0x y x y z z z =-=-=-==代入(3),(4),(5)得到 21150,,,0.623xx xy yy A z B z C z AC B ==-<====--> 故点(9,3)--是(,)z z x y =的极大值点,极大值(9,3) 3.z --=-18. 计算23,ydx xzdy yz dz Γ-+⎰其中Γ为圆周222, 2.x y z z +==若从z 轴的正向看去,这圆周是取逆时针方向.难度等级:2,知识点:斯托克斯公式,曲面积分的概念,二重积分的性质分析:曲线的参数方程不易写出,积分路径为闭,用斯托克斯公式化为对面积的曲面积分.解:取∑为平面2z =被Γ所围成的部分的上侧,∑的法线向量为(0,0,1),n =其方向余弦为(cos ,cos ,cos )(0,0,1).αβγ=于是23ydx xzdy yz dz Γ-+⎰2cos cos cos 3(3)dS x y z yxzyzz dSαβγ∑∑∂∂∂=∂∂∂-=--⎰⎰⎰⎰ 2245520.x y dSdxdy π∑+≤=-=-=-⎰⎰⎰⎰五、证明题(每小题6分,共12分)19. 证明下列第二类曲线积分的估计式: .L xdx ydy LM +≤⎰其中L 为积分路径L 的弧长,M 为函数22y x +在L 上最大值.难度等级：3；知识点：第二类曲线积分分析:将题设积分转化为对弧长的积分,再进行估值,并注意将被积函数表成向量的点积.证明:设路径L 上的单位切向量为(cos ,sin ).αα利用两类曲线积分的联系可得(cos sin )LL xdx ydyx y dsαα+=+⎰⎰cos sin {,}{cos ,sin }LLx y ds x y dsαααα≤+=⋅⎰⎰.LMdsML =≤=⎰⎰20. 设函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,10()(),1,2,.xn n f x f t dt n -==⎰证明:(1)1001()()(),1,2,;(1)!xn n f x f t x t dt n n -=-=-⎰ (2)对于区间),(+∞-∞内的任意固定的,x 级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.难度等级：3；知识点：无穷级数 证明:(1)由函数)(0x f 在),(+∞-∞内连续,1011000()(),1,2,()();(0)lim ()0,,(0)0(2).xn n nn xk x f x f t dt n f x f x f f t dt f k --→=='=⎧⎪⇒⎨===≥⎪⎩⎰⎰11()()(1)!xn f t x t dt n -⇒--⎰ 1101()()(1)!xn x t df t n -=--⎰ 1110102101(()()()())(1)!1()()(2)!xn x n xn x t f t f t d x t n f t x t dt n ---=----=--⎰⎰().n f x ==(2) 函数0()f t 在t x ≤上连续,⇒存在0()0,,()().M x t x f t M x >∀≤≤由(1),1001001()()()(1)!1()()()(1)!xn n xn n f x f t x t dt n f x f t x t dt n --=--⇒=--⎰⎰10()()()().(1)!!n xn n M x x M x f x x t dt n n -⇒≤-=-⎰ 由于0()!nn M x x n ∞=∑收敛,故级数()∑∞=1n n x f 绝对收敛.六、应用题 (每小题8分,共16分)21. 设均匀柱体密度为,ρ占有闭区域222,,{()|,0,}x y z x y R z h Ω=+≤≤≤ 求它对于位于点00,0(),)(M a a h >处单位质量的质点的引力. 分析:由空间物体引力公式和对称性,利用直角坐标计算即可 解:由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故0,x y F F ==而 2223/2[()]z z aF G dv x y z a ρΩ-=++-⎰⎰⎰2222223/20()[()]hx y R dxdyG z a dzx y z a ρ+≤=-++-⎰⎰⎰ 2223/2000()[()]hRrdrG z a dz d r z a πρθ=-+-⎰⎰⎰012()[hG z a dz a z πρ=--⎰2[G h πρ=-22. 按P.F.Verhulst 人口增长规律:当人口数充分大时,大致按有机增长规律随时间成正比例增长(设比例系数为a ).如考虑到疾病和其它原因,有一个与人口数的平方成反比的的负增长率(设比例系数为b ).已知0t =时,人口数为0,x 求在时刻t 时的人口数(),x t 并问当t →∞时人口数如何？难度等级:3;知识点:常微分方程模型,可分离变量的微分方程的初值问题.分析:只需将二阶导数表示出来就可证之. 解:据题意可得如下初始值问题200.t dx ax bxdtx x =⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 将方程分离变量,积分得020,xt x dxdt ax bx =-⎰⎰ 即有 00()1ln.()x a bx t ax a bx -=-解出x 得000.atatax e x a bx bx e=-+ 而且,当t →∞时,.a x b→。
重庆大学高等数学(工学类)课程试卷
2.若2lim ()x x a x x a xe dx x a
+∞-→+∞-=+⎰，求a 的值。
3、设函数()y y x =由方程322
2221y y xy x -+-=所确定，试求()y y x =的驻点，并判断它是否是极值点。
4. 计算
22(tan 1)x e x dx +⎰。
5. 设12
01()()1x f x xe f x dx x =-+⎰，求(),()f x f x '。
6. 已知1(2),(2)02
f f '==及20()1f x dx =⎰，求120(2)x f x dx ''⎰。
四、证明题（每小题9分，本题共18分）
1、证明方程0ln x x e π=
-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同的实根。
2、设()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可微，且0()sin 0f x xdx π
=⎰，0()cos 0f x xdx π
=⎰。
证明：在(0,)π内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=。
五、应用题（本题共10分）用自重200N 的抓斗将井深30米内开始时重2000N 的污泥提升到井口，已知铁链每米重50N ，提升速度为每秒3米，提升过程中污泥以每秒20N 的速度从抓斗的漏孔中漏掉，问克服重力作功多少焦耳？。
重庆大学高数(工学下)期末试题七(含答案)
答案:
分析:设动点的坐标为 根据题意得到 两边平方化简得到
9．设 交换积分次序后,
知识点:交换积分顺序；难度等级:2。.
答案:
10.设 则
知识点:一阶偏微分计算；难度等级:1。答案:
11.设 为取正向的圆周 则曲线积分
知识点:曲线对坐标的积分计算，格林公式；难度等级:1.答案:
分析:先求出对应的齐次线性方程的通解,再定出相应的特解形式.
解:对应的齐次方程的特征方程为: 故可得特征根为
原方程右端的函数 其中
方程 的一个特解为
方程 的一个特解为
利用叠加原理,得原方程的特解
故方程的通解为
15.计算曲面积分 其中 为曲面 的上侧.
知识点:对坐标曲面积分计算，高斯公式；难度等级:2.
(A)
(B)
(C)
(D)
知识点:对坐标曲面积分计算,高斯公式；难度等级:1。答案:B
分析:A中右边被积函数错误,B正确,C符号错误,D被积函数错误.
二、填空题(每小题3分,共18分)
7.微分方程 的通解为
知识点:齐次微分方程；难度等级:1。答案:
8.平面 与一动点的距离等于动点与原点间的距离,动点的轨迹表达式为
证明:令
显然 在正方形域 上连续,且
由连续函数的介值定理知 在 上至少有一个零点,即方程 在 上至少有一组解.
20.设曲面 证明:
知识点:对面积的曲面积分,对称性,轮换性；难度等级:3。
分析:据题目的特点,注意对称性的使用
证明: 关于 面对称, 为连续的奇函数,故
由轮换性对称性知 于是
在八个卦限中都是以边长为 的等边三角形,其面积为 故
重大高数期末试题及答案
重大高数期末试题及答案第一章：微分学1. 求函数$f(x)=3x^2-2x+5$的导数。
解答：对于函数$f(x)=3x^2-2x+5$，利用导数的定义可以求得其导数为$f'(x)=6x-2$。
2. 计算曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。
解答：首先求得曲线$y=e^x$的导数为$y'=e^x$。
然后通过点斜式切线方程的公式$y-y_1=y'(x-x_1)$，代入点$(0,1)$和导数$y'=e^x$，可得切线方程为$y-1=e^x(x-0)$。
第二章：积分学1. 计算定积分$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx$。
解答：对于多项式函数$2x^3-3x^2+4x-1$，我们可以按照幂次递减的顺序进行积分。
首先对$x^3$进行积分可得$\frac{1}{4}x^4$，对$x^2$进行积分可得$\frac{1}{3}x^3$，对$x$进行积分可得$2x$，对常数$-1$进行积分可得$-x$。
将这些结果依次代入积分的上下限进行计算，最终得到定积分的结果为$\int_0^1 (2x^3-3x^2+4x-1)dx=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+2-1=\frac{5}{12}$。
2. 求解微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，其中$y(0)=3$。
解答：对于微分方程$\frac{dy}{dx}=2x$，我们可以通过直接积分的方法求解。
对方程两边同时进行积分可得$y=x^2+C$，其中$C$为常数。
由于已知$y(0)=3$，代入初始条件可得$3=0^2+C$，解得$C=3$。
于是原微分方程的解为$y=x^2+3$。
第三章：级数1. 判断级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$的收敛性。
解答：对于级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$，我们可以利用比较判别法来判断其收敛性。
重庆大学出版社高等数学题库参考答案(供参考)
第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)一、单选题1.设)(x f 是可导函数,则⎰'))((dx x f 为（ A ）.A.)(x fB.C x f +)(C.)(x f 'D.C x f +')(2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.A.任意一个B.所有C.唯一D.某一个 3.⎰=+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x则（ A ）.A.)2sin 22(cos x x e x -B.C x x e x +-)2sin 22(cosC.x e x 2cosD. x e x2sin4.函数x e x f =)(的不定积分是（ B ）.A.x eB.c e x +C.x lnD.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）.A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 6.函数211)(xx f -=的原函数是（ A ）.A.c x x ++1 B.x x 1- C.32xD.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]='⎰dx x f )(（ B ）A. x 2B.2C.2x D.-2 8.若c e dx e x x +=⎰, 则⎰xd e x22=（ A ）A.c ex+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-29.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ）A.c x +sinB.x cosC.x sin -D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ）A.)(x fB.0C.)(x FD.)(x f ' 11.函数211)(xx f +=的原函数是（ A ） A.c xx +-1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1212. 函数211)(xx f -=的原函数是（ A ） A.c xx ++1B.x x 1-C.32xD.c x x ++1213.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（ B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(C.)()(x g x f ≠D. 不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（ B ）. A.C x f dx x F +='⎰)()( B.⎰+=C x F dx x f )()( C.⎰+=C x f dx x F )()( D.C x F dx x f +='⎰)()( 15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（ D ）.A.2x y =B. 2x y -=C. 12+=x yD. 12-=x y 二.填空题1.)25ln(2125x d x dx --=-.2.)1(212x d xdx --=.3.C aa dx a xx+=⎰ln .4.设)(x f 是连续函数，则dx x f dx x f d )()(=⎰.5.xx cos 2+的原函数是x x sin 2+.6.]4)3[(21)3(2---=-x d dx x .7.C x xdx +=⎰7sin 717cos .8.)1(ln 3133-=x x a d adx a .9.)3(cos 313sin x d xdx -=.10.C x dx x x +=⎰2ln 21ln .11.C x dx x +=⎰4341.12.)C 41(2222+-=--x x e ddx xe .13.C x xdx x +=⋅⎰2sin 21sin cos . 14.C x dx x +=+⎰3arctan 319112.15.C x x dx x +-=⎰)sin (212sin 2. 16.⎰+='C x f dx x f )2(21)2(.17.设⎰+=.)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)0(F C -=.18.)3(arctan 31912x d x dx=+. 19.)(2122x x e d dx xe =.20.已知xx f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=+=⎰则.21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C .22.C x x dx x x +-=+-⎰222111 23.Ce dx e xxx +-=⎰1121.24.)1ln(21122-=-x d dx x x .25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为Cx +-sin .26.设)(3x f x 为的一个原函数，则dxx x df 23)(=.27.)2cos 41(812sin x d xdx -=28.x x sin 2+的一个原函数是x x cos 313-.29.)3(cos 33sin x d dx x -=.30.Cx xdx +-=⎰cos ln tan .31.()C x dx x +--=-⎰)21sin(2121cos .32.Cx xdx +=⎰tan sec 2. 33.C x x dx +-=⎰3cot 313sin 2.34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则⎰='])([dx x f 2 . 三.判断题 1.⎰+=cx xdx cos sin ( × ) 2.xx edx e =⎰（ × ）3.⎰-=.cos sin x xdx ( × ) 4.⎰+-=cx xdx cos sin ( √ ) 5.)21sin()]21[sin(x dx x -=-⎰( × ) 6.⎰+-=cx xdx sin cos （ × ）四.计算题1.求不定积分dx x x ⎰+21. 解：原式=C x x d x ++=++⎰23222)1(31)1(1212.求不定积分dx x ⎰-31. 解: 原式=C x +--3ln3.求不定积分⎰+dx e e x x 1. 解：原式=C e e d exx x++=++⎰)1ln()1(11 4.求不定积分⎰+-dx xx x)3sin 21(. 解: 原式=C x x x +++ln 3cos 22 5.求不定积分⎰-dx xe x 2. 解: 原式=C e x +--2216.求不定积分dx x x⎰+12. 解: 原式=C x ++)1ln(2127.求不定积分dx x x ⎰+2)72(. 解: 原式=C x x x ++⋅+7ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分⎰+dx x 10)12(. 解: 原式=C x ++11)12(2219.求不定积分⎰+-dx xx x )1)(1(. 解: 原式=C x x x x x +-+-221522210.求不定积分⎰xdx 2sin . 解: 原式=C x x +-2sin 4121 11.求不定积分⎰dx xx 22cos sin1. 解: 原式=C x x +-cot tan 12.求不定积分dx x ⎰+321. 解: 原式=C x ++32ln2113.求不定积分xdx xarctan 112⎰+. 解: 原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分⎰-dx x x 4313. 解: 原式=C x +--41ln 43 15.求不定积分⎰+dx x 2411. 解: 原式=C x +2arctan 21 16.求不定积分⎰+dx x x)5(3. 解: 原式=C x x++5ln 5414 17.求不定积分⎰-dx e x 5. 解: 原式=C e x+--551五.应用题1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系； （2）t s 与的函数关系. 解：32sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2cos 34)(cos 34)sin 312()(43,04335,032-++=−−−→−+++=++=++=−−→−++=-=-====⎰⎰t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程.解：20,022x y C x xdx y y x =−−−→−+====⎰3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是23t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？解：设运动方程为：30,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =−−→−+=====⎰（1）当3=t 时，27)3(=S （米）（2）当.360360)(33秒=⇒==t t t S4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3x ,求这曲线的方程. 解：40,0434141x y C x dx x y y x =−−−→−+====⎰ 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离开出发点的距离.解： t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20,02-=−−→−+-====⎰.当3=t 时，1080)3(=S （米）.6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1的曲线方程.解：x y C x dx xy y e x ln ln 11,=−−→−+====⎰. 7.求经过点（0,0）,且切线斜率为211x+的曲线方程.解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110,02=−−−→−+=+===⎰. 第五章 不定积分2一.单选题1.下列分部积分法中, dv u ,选择正确的是（ A ）. A.⎰==xdxdv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdxdv u xdx ln ,1,ln ==⎰C.dxx dv e u dx e x x x22,,==--⎰D.xdxdv e u dx xe xx==⎰,,2.⎰⎰-=)(2arctan d 2arctan Axd x x x x .A.x arctan2B.x arctan4C.x arctan2-D.x arctan4- 3.=⎰2-4d xx ( A ).A.C x +2arcsinB.C x +arcsinC.Cx +2arccos D.C x +arccos二.判断题1.分部积分法u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ⎰应比v u d ⎰容易积分.（ √ ）2.若被积函数中含有22a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.（ √ ） 三.填空题1.Cx dx x ++=+⎰1211.2.设)(x f 有一原函数⎰+-='Cx dx x f x xx cos )(,sin 则.3.C x x x xdx x +-=⎰2241ln 21ln .4.)3(arcsin 31912x d xdx =-.5.Cx x e dx e x x x ++-=⎰)22(22.6.⎰++-=C x x x xdx x 3sin 913cos 313sin .四.计算题1.求不定积分⎰-dx x x232. 解：原式=Cx x d x +--=---⎰2223231)32(321612.求不定积分⎰dxx e x 22. 解：原式=C x x e x ++-)21(2122 3.求不定积分⎰++dxx x 11. 解：C x x C t t dtt t t x +--+=+-=-=+⎰1)1(3232)22(132232原式4.求不定积分⎰+)1(x x dx. 解：cx C t dt t t x +=+=+=⎰arctan 2arctan 21222原式5.求不定积分⎰xdxx 2sin . 解：原式=C x x x ++-2sin 412cos 21 6.求不定积分⎰+dx e x x 5)2(. 解：原式=C x e x ++)59(515 7.求不定积分dxxex⎰-4. 解：原式C x ex++-=-)16141(4 8. 求不定积分⎰++dxx 111. 解：原式[]C x x +++-+=)11ln(129.求不定积分⎰+-dxx 1211. 解：原式[]C x x +-+++=112ln12- 10.求不定积分dxex⎰+11. 解：原式=C e e xx +++-+1111ln11.求不定积分⎰xdxxln 2. 解：原式C x x +-=)31(ln 313 12.求不定积分dx x x ⎰-1. 解：原式C x x +---=)1arctan 1(213.求不定积分⎰---dxx x 22112. 解：原式C x x +-=)(arcsin 214.求不定积分⎰dx a x x 2 )1,0(≠>a a . 解：原式C aa x a x a x++-=)ln 2ln 2ln (32215.求不定积分dxx⎰-2941. 解：原式C x +=23arcsin 31 16.求不定积分dxx ⎰sin . 解：原式C x x x ++=sin 2cos -217.求不定积分⎰xdx x 3cos . 解：原式C x x x ++=3cos 913sin 31 18.求不定积分dxx x ⎰+2. 解：原式C x x ++-+=2123)2(4)2(32五.应用题 （增加题）第六章 定积分一.单选题 1.)(240Ddx x =-⎰A.⎰⎰-+-4220)2()2(dxx dx x B.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x C.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x D.⎰⎰-+-422)2()2(dxx dx x2.=⎰a adx x f )(( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.⎰⎰--=+1111)()(dx x f dx x f ( C )A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定 4.定积分⎰badxx f )(是（ D ）A.一个原函数B.()x f 的一个原函数C.一个函数族D.一个常数 5.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a ,D.都不正确 6.定积分⎰badxx f )(的值的大小取决于( C )A.)(x fB.区间 []b a ,C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.⎰⎰=-3234)()(dx x f dx x f ( A )A.⎰42)(dxx f B.⎰24)(dxx f C.⎰43)(dxx f D.⎰32)(dxx f8.下列命题中正确的是（ C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dxx g dx x f ba ba⎰⎰≠)()( B.⎰⎰≠babadtt f dx x f )()( C.若)()(x g x f ≠,则⎰⎰≠dxx g dx x f )()( D.⎰=badxx f dx x f d )()(9.=⎰dx x f dx d ba)(( B ) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10. 若1)(=x f ,则⎰=ba dx x f )(( C )A.1B.b a -C. a b -D.0 11.定积分⎰badxx f )(是（ B ）A.任意的常数B.确定的常数C.)(x f 的一个原函数D.)(x f 的全体原函数 12.若⎰=+12)2(dx k x ,则=k ( B )A.-1B.1C.1/2D.0 13.=-⎰dx x 5042( C )A.11B.12C.13D.14 二．判断题1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × )2.a b dx ba -=⎰0 . ( × )3.⎰='badx x f 0))(( . ( × ）4.x xdx dx d ba sin sin ⎰=. ( × )三.填空题1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)()()(a f b f dx x f b a-='⎰.2.C dx xxx +=⋅⎰6ln 6321. 3.4111022π-=+⎰dx x x .4.ee dx x e x-=⎰2121.5.设⎰⎰==52515)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(21-=⎰dx x f .6..0113=⎰-dx x .7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且⎰=ba dx x f 0)(,则[]ab dx x f ba-=+⎰1)(.8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积352)2(312=+=⎰-dx x A .9..0sin 12=⎰dx xdx d .10.11ln4141=+-⎰-dx xx.11.1)1sin(212=⎰dx xx ππ. 12.32112=⎰-dx x .13.0cos 11⎰-=xdx x .14.利用定积分的几何意义填写定积分的值π41112=-⎰dx x .15.22sin sin x dt t dx d x⎰=.16..0sin 222=⎰-xdx x .17..0113=⎰-dx x .18. 的值为积分.21ln 1⎰edx x x 19.2)253(22224⎰⎰=++-dx dx x x .20.11-=⎰e dx e x . 21.431=⎰-dx .22.⎰1212ln xdxx 的值的符号为 负 .四．计算题 1.求定积分．⎰+411xdx 解：原式)32ln 1(2+=2.求定积分⎰-124x dx. 解：原式6arcsin 10π==x3.求定积分⎰-+-01)32)(1(dxx x . 解：原式21-= 4.求定积分dxx⎰--2121211 解：原式3arcsin 2121π==-x5.求定积分⎰-+12511x dx 解：原式=2ln 54)511ln(5112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-x6.求定积分dx x ⎰+9411解：原式[])2ln 1(2)1ln(232+-=-+-=t t7.求定积分dxe x⎰-1. 解：原式eex1101-=-=- 8.求定积分dxx ⎰212 解：原式3712313==x9.求定积分θθπd ⎰402tan 解：原式[]4104tan ππθθ-=-=10.求定积分．dx xx ⎰+402sin 12sin π解：原式232ln 04)sin 1ln(=+=πx 11.求定积分dxx x ⎰-ππ23sin . 解：原式=012.求定积分()dxxx ⎰--2121221arcsin . 解：原式=324)(arcsin 31321213π=-x 13.求定积分dxx x ⎰+911. 解：原式2ln 213)1ln(2=+=x14.求定积分dxex x⎰12. 解：原式201)22(2-=+-=e x x e x15.求定积分⎰+104)1(x dx 解：原式24701)1(31-3=+=-x 16.求定积分dxxe x ⎰2. 解：原式102)1(2+=-=e x e x 17.求定积分⎰-1dxxe x . 解：原式ex e x2101)1(--=+=- 18.求定积分dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ33sin . 解：原式0)3cos(3=+-=πππx19.已知⎩⎨⎧≤<-≤≤=31,210,)(2x x x x x f ，计算⎰20)(dx x f . 解：原式⎰⎰-=-+=2110261)2(dx x dx x 20.求定积分()d x x x +⎰194. 解：原式627149)2132(223=+=x x21.求定积分⎰1arctan xdxx . 解：原式=214)arctan arctan (21102-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-πx x x x22.求定积分⎰10arcsin xdx . 解：原式1201)1arcsin (2-=-+=πx x x23.求定积分⎰262cos ππudu . 解: 原式836)2sin 21(2162-=+=πππu u24.求定积分()dx x x x ⎰+2sin π. 解: 原式18sin cos 21202+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππxx x x 25.求定积分dx x x ⎰-121221. 解: 原式[]41cot sin 24πππ-=--=t t t x26.求定积分dx x x1sin 1212⎰ππ. 解: 原式11cos12==ππx27.求定积分dxx ⎰+101210. 解: 原式10ln 4950110ln 21012==+x 28.求定积分xdxx ⎰23cos sin π解: 原式410cos 41-24==πx29.求定积分⎰1024dx xx . 解: 原式10ln 710ln 81=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 30.求定积分dx x x e⎰-1ln 1. 解: 原式21ln 21ln 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ex x31.求定积分dxx x ⎰+31)1(1. 解: 原式[]6arctan 2312π==t t x32.求定积分xdxx cos sin 23⎰π. 解: 原式410sin 4124==πx33.求定积分⎰--1321dx x . 解: 原式[]5ln 2ln -13=-=-x34.求定积分dx x x x ⎰++21222)1(12 解: 原式4212arctan 1arctan 21π-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x x 35.求定积分⎰+21ln 1e x x dx. 解: 原式[])13(2ln 1221-=+=e x36.求定积分dxe x x ⎰22. 解: 原式)1(21214202-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=e e x37.求定积分dxx ⎰20sin π. 解: 原式10cos 2=-=πx38.求定积分⎰++10)32)(1(dx x x . 解: 原式211252132=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x x x39.求定积分dttet ⎰-1022. 解: 原式212112---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=e e t 40.求定积分dx x x ⎰+102212. 解: 原式[]22)arctan (210π-=-=x x41.求定积分⎰πsin xdxx . 解: 原式[]ππ=+-=0sin cos x x x42.求定积分dx x xe⎰12ln . 解: 原式311ln 313==e x43.求定积分⎰2cos sin 3πxdxx . 解: 原式230sin 2322==πx44.求定积分()⎰ωπωω20sin 为常数tdt t 解: 原式2022sin 1cos 12ωπωωωωωω-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t45.求定积分dxx ⎰230cos π. 解: 原式[][]3sin sin 2322=-=πππx x 46.求定积分dxx ⎰--2221. 解：原式43131231213113123=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---x x x x x x47.求定积分⎰+331211dx x. 解：原式[]6arctan 331π==x48.求定积分⎰+161 4x x dx . 解：原式23ln 2)1ln(2142124+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=t t t t x 五.应用题1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8 (万元/百台)，求产量从从1(百台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R 3131312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='=⎰⎰x x dx x dx R2.试描画出定积分⎰ππ2cos xdx所表示的图形面积,并计算其面积.解：[]1sin cos 22=-=-=⎰ππππx xdx S . (图形略)3.试描画出定积分⎰ππ2sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.解：[]1cos sin 22=-==⎰ππππx xdx S . (图形略)4.计算曲线3x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.解:49741413402433023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=--⎰⎰x x dx x dx x S .(图形略) 5.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解: 24x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百台)增加到3(百台)时总成本的增加量.解:.8212)2(31312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰x x dx x C7.计算函数x y sin 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4cos 222sin 22020=-==⎰x xdxy8.计算函数x y cos 2=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的平均值.解:[]πππππ4sin 222cos 2202===⎰x xdxy第七章 定积分的应用一.单选题1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为( C ).A.)(x df -B.)(dx fC.dx x f )(D.dx x f )(-2.一物体受连续的变力)(x F 作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =, 变力所做的功为( A ). A.⎰b a x x F d )( B.⎰a b x x F d )( C.⎰-ab x x F d )( D.⎰-ba x x F d )(3.将曲线2x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表示为=y V （ C ）.A.dx x ⎰204π B.⎰4ydyπ C.()dyy ⎰-44π D.()dyy ⎰+44π二.判断题 1.定积分⎰b adxx f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ） 三.填空题1.计算曲线x y sin =与曲线2π=x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为⎰=20sin πdxA .2.抛物线3x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为⎰23dxx .3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定积分表示为⎰=14dxx V x π.四.计算题1.求抛物线3x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.2.把抛物线ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积. 3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所受的水的压力（水的密度为33kg/m 10, g 取2m/s 10）.4.计算抛物线2x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.5.由22x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.6.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.7.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.8.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.10.计算曲线3x y =和x y =所围成的图形面积.11.计算抛物线24x y -=与x 轴所围成的图形面积.12.求曲线2x y =与x y =所围成的图形的面积。
高等数学(工科类)期末试卷含答案
学年第 学期《高等数学（工科类）》课程期末考试试题（A 卷） 适用班级：专科 考试类别：闭卷笔试 命题教师： 审题教师：_ _ ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬（答题时间100分钟，满分100分）一、 判断题（对的打“∨”，错的打“×”，每小题2分，共30分）。
1．x y 3sin =不是基本初等函数。
（ ）2．若)(x f 在o x 无定义，则)(x f y =在o x 处不连续。
（ ）3．无穷大的倒数为无穷小。
（ ）4．只有基本初等函数在定义区间内连续。
（ ）5．若)0()0(+=-o o x f x f ，则)(x f 在o x 处连续。
（ ）6．无穷小的和必为无穷小 。
（ ）7．连续函数的导数存在。
（ ）8．x y sin =的二阶导数x y sin -=''。
（ ）9．函数的微分是可导函数在一点处改变量的线性主部。
（ ）10．函数)(x f y =在点o x 处连续，则)(x f 在点o x 处可导。
（ ）11．若)(x f 在][b a ,上可导，且)()(a f b f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf 。
（ ）12．若)(o x f '=0，则o x x =为函数)(x f 的极值点。
（ ）13．函数xy 1=在定义域内既无最大值又无最小值。
（ ）14．极值点必为拐点。
（ ）15．函数)(x f 的不定积分是其全体原函数。
（ ）二、 选择题(每小题3分，共15分)。
1．下列说法中不正确的是 。
A ． )(lim x f x +∞→及)(lim x f x -∞→均存在但不相等，则)(lim x f x ∞→不存在；B ．若)(x f 在点o x 有定义，则)(lim x f o x x →存在； C ．若)(lim x f x ∞→不存在； ，则)0()0(+=-o o x f xf ； D ．当0>x 时，2ln )(x x f =与x xg ln 2)(=是相同函数。
重庆高数期末真题答案解析
重庆高数期末真题答案解析1. 引言高等数学是大多数理工科专业学生的必修课，对于学生来说，期末考试是一个重要的评判学习成绩的机会。
而本文将为您解析重庆地区某高校的高等数学期末试卷答案，希望能够帮助广大学生更好地理解和掌握相关知识。
2. 解析第一题第一题是一道极限题，考察学生对极限概念的理解和运用能力。
题目要求求极限lim（n->∞）(sqrt(n^2+3n)-n)。
解答过程中，可以先对根式内进行化简，得到sqrt(n^2(1+3/n)-n)。
然后利用极限的性质进行进一步的运算，即sqrt(n^2(1+3/n)-n)=sqrt(n^2(1+3/n))-sqrt(n)=n(sqrt(1+3/n))-sqrt(n)。
由于n趋向于无穷大，所以sqrt(1+3/n)趋向于1，故极限值为lim（n->∞）(n-sqrt(n))=0。
3. 解析第二题第二题是一道求解方程的题目，考察学生对方程的处理和解法的掌握。
题目要求解方程sec^2x+2tanx=0。
解答过程中，可以首先化简方程，得到1+tan^2x+2tanx=0。
然后利用tanx=t/sqrt(1-t^2)的关系进行替换，得到1+(t/sqrt(1-t^2))^2+2(t/sqrt(1-t^2))=0。
接着整理方程并化简，得到1+t^2+2t=0。
求解该二次方程，可得t=-1或t=-2。
再利用tanx=t/sqrt(1-t^2)的关系，求出对应的角度值。
最终，得到方程的解为x=arctan(-1)和x=arctan(-2)。
4. 解析第三题第三题是一道求曲线长度的题目，考察学生对曲线长度的计算方法的理解和运用能力。
题目给出曲线y=e^(-x)在x=0到x=1之间的一段弧，要求求出该曲线段的长度。
解答过程中，可以利用曲线长度公式进行计算，即L=∫(0->1)sqrt(1+(dy/dx)^2)dx。
首先求出dy/dx，即dy/dx=-e^(-x)。
重庆高等数学试题及答案
重庆高等数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 3D. 42. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值为（）。
A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数\( y = e^x \)的导数是（）。
A. \( e^x \)B. \( -e^x \)C. \( \ln e^x \)D. \( \frac{1}{e^x} \)4. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)的拐点坐标是（）。
A. (0,2)B. (1,0)C. (2,-2)D. (3,6)5. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值为（）。
A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{5} \)6. 微分方程\( y'' + 4y' + 4y = 0 \)的特征方程是（）。
A. \( r^2 + 4r + 4 = 0 \)B. \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)C. \( r^2 + 4r - 4 = 0 \)D. \( r^2 - 4r - 4 = 0 \)7. 函数\( f(x) = \ln(x+1) \)的不定积分是（）。
A. \( x\ln(x+1) - x + C \)B. \( x\ln(x+1) + x + C \)C. \( x\ln(x+1) + \ln(x+1) + C \)D. \( x\ln(x+1) - \ln(x+1) + C \)8. 级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)的和是（）。
A. \( \frac{\pi^2}{6} \)B. \( \frac{\pi^2}{4} \)C. \( \frac{\pi^2}{3} \)D. \( \frac{\pi^2}{2} \)9. 矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)的行列式是（）。
重庆大学高数(下)期末试题十五(含答案)
重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号:考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 向量3124a i j k=-+r r r r在向量(2)(34)b i k i j k =-⨯+-r r r r r r上的投影为().(A) -67 (B) 76 (C) 67 (D) -67难度等级:2;知识点:向量代数 答案:(C).分析:102(6,2,3),134i j k b =-=-rr r r 6Prj .7||b a b a b ⋅==r r rr 2. 设()f u 具有连续导数,若L 为221,x y +=则必有().(A)22()()0L f x y xdx ydy ++=⎰Ñ (B)22()()0L f x y xdy ydx ++=⎰Ñ (C)22()()0L f x y dx ydy ++=⎰Ñ ()D 22()()0L f x y xdx dy ++=⎰Ñ难度等级:2;知识点:格林公式 答案: (B).分析:22221,()(1),x y f x y f +=+=积分值为0.积分与路径无关,只有B 满足.3. 若1(),y x ϕ=2()y x ϕ=是一阶非齐次线性微分方程的两个不同特解,则该方程的通解为().(A)12()()x x ϕϕ- (B)12()()x x ϕϕ+ (C)121(()())()C x x x ϕϕϕ-+ (D)12()()C x x ϕϕ+ 难度等级:1;知识点:微分方程答案: C.分析:由一阶非齐次线性微分方程通解的结构知,其通解应是对应的齐次方程的通解与原各的一个特解之和.而12ϕϕ-是齐次方程的解,因此齐次方程的通解应为12().y C ϕϕ=-因此非命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密齐次方程的通解应是121()y C ϕϕϕ=-+或122().y C ϕϕϕ=-+故应选(C).4. 设222: (1)1,x y z Ω++-≤则2(3)().x xyz dV Ω+-=⎰⎰⎰(A)0 (B)3π (C)3π- (D)4π- 难度等级:2;知识点:三重积分 答案:(D).分析:积分区域关于yoz 面对称,2x xyz +为关于x 的奇函数,积分值为0,余下为3-倍体积,球体体积为4/3,π故选D.5. 曲线x t y t z t ===,,42在点(,,)4816处的法平面方程为（ ）.(A) x y z --=-8132 (B) x y z ++=8140 (C)x -y +8z =124 (D) x y z +-=8116答：（B ）难度等级：1；知识点：曲线的法平面.分析 法平面的法向量就是曲线的切向量，为(1,1,8)n =r，所以法平面方程为：(4)(8)8(16)0x y z -+-+-= 即 x y z ++=8140 与(A)、(B)、（C)、（D)比较后知，应选（B).6. 设22()x f x x e =，则(16)(0)f =______(A)17!(B) 16! (C) 16!7! (D) 7!16!答案：(C)难度等级2; 知识点：幂级数分析：因为22220()!n x n x f x x e x n ∞===∑的16x 的系数为17!，即(16)(0)116!7!f =，故 (16)16!(0)7!f =二、填空题(每小题3分,共18分)7. 已知sin(21),xy u e x y =++则__________.du = 难度等级1; 知识点：全微分答案: ([sin(21)][2cos(21)].xy xy ye y dx xe x y dy +++++8. 已知幂级数1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,则213nn n n a x ∞=∑的收敛半径为__________.难度等级2; 知识点：幂级数 答案:R =分析:由1nn n a x ∞=∑的收敛半径为2,故 2.x <即223x x <⇒<9.设向量场()()(23)32,A z y i x z j y x k =-+-+-v v v v则旋度_______.v rotA =难度等级1; 知识点：旋度答案:234.vv v i j k ++10. 若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为12,y C C x =+其中12,C C 为独立的任意常数,则该方程为__________.答案:0.y ''=分析:由通解可得特征方程为20,λ=其对应的二阶线性常系数齐次微分方程0.y ''=11.设:0,D y x a ≤≤≤≤则__________.D=难度等级2; 知识点：二重积分答案:316a π分析:由几何意义知,该积分为顶为z =底为坐标面的四分之一园面曲顶柱体体积,即为一半径为a 的球体的八分之一,得结果. 12. 函数0()0x x f x x πππ-<≤⎧=⎨<≤⎩在[],ππ-上的傅立叶级数的系数__________.n b =答案:21(1).n n n-- 分析:1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰ 00000021(sin sin )11(cos cos )111((1)1)cos cos 1(1)1((1)1)sin 21(1).n n nn nxdx x nxdx nx xd nx n n x nx nxdx n n n nx n n n n nππππππππππππππ-----=+=--=---+-=--++=--⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛？难度等级2; 知识点：级数的敛散性解:由11lim lim ln(1)lim ln(1)10,nn n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>知级数1n n u ∞=∑发散.--------3分又111||ln(1)ln(1)||,1n n u u n n +=+>+=+1lim ||lim ln(1)0.n n n u n→∞→∞=+=故所给级数收敛且条件收敛．---3分14. 方程组01xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩确定隐函数(,),(,),u u x y v v x y ==求2,u x y ∂∂∂2.v x y ∂∂∂ 难度等级2; 知识点：隐函数的偏导数 分析:用,x y 解出,,u v 再求偏导数.解: 2222,;y xu v x y x y==++222222222,;()()u xy v y xx x y x x y ∂∂-=-=∂+∂+ 22222222232232(3)2(),.()()u x y x v y x y x x y x y x y ∂-∂-==∂+∂∂+ 15. 计算二重积分cos(),Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为0,0,()(),0π和(),ππ的三角形闭区域难度等级2; 知识点：二重积分解 :积分区域可表示为:0,0.D x y x π≤≤≤≤ 于是cos()Dx x y d σ+⎰⎰00cos()xxdx x y dy π=+⎰⎰ []00sin()xx x y dx π=+⎰(sin 2sin )x x x dx π=-⎰01(cos 2cos )2xd x x π=--⎰1(cos 2cos )|2x x x π=--+01(cos 2cos )2x x dx π-⎰3.2π=- 16.计算222222()()(),y z dx z x dy x y dz Γ+++++⎰其中Γ是球面x z y x 4222=++与柱面x y x 422=+的交线,从Oz 轴正方向看进去为逆时针(0).z ≥难度等级2; 知识点：第二类曲线积分分析:用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,并计算此曲面积分.解: 222222()()()L y z dx z x dy x y dz +++++⎰ 2()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰2()2xyxyD D x y dxdy xdxdy =-=⎰⎰⎰⎰4cos 22022cos d r dr πθπθθ-=⎰⎰342224cos 16.3d ππθθπ-⨯==⎰或解:22cos 2sin 020x ty tt z π=+⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩222222()()()y z dx z x dy x y dzΓ+++++⎰23208[sin (1cos )cos ]16t t t dt ππ=-++=⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17. 设函数()x ϕ为已知的一阶导数连续的函数，求微分方程()()()dy d x d x y x dx dx dxϕϕϕ+=的通解. 难度等级2; 知识点：一阶非齐次线性微分方程分析: 因为()x ϕ是已知函数,故方程为一阶非齐次线性微分方程. 解: 由通解公式可得()()(()())x x y e x x e dx C ϕϕϕϕ-'=+⎰()()(()())x x e x e d x C ϕϕϕϕ-=+⎰()()()(())x x x e x e e C ϕϕϕϕ-=-+即()()1.x y x Ce ϕϕ-=-+18. 函数z z x y =(,)由方程F x z yy z x(,)++=0所确定，其中F 有连续的一阶偏导数，计算: z z x yx y∂∂+∂∂难度等级：2，知识点：多元隐函数的偏导数、复合函数的偏导数.分析 由方程(,)zz F x y y x++=(,,)0G x y z =确定的隐函数z z x y =(,)的偏导数x zG zx G ∂=-∂，y zG zy G ∂=-∂，求出,,x y z G G G 后可得,z z x y ∂∂∂∂，代入z zx y x y∂∂+∂∂即可得到结论.解12212221()1yF zF yF zF zx xxF F x-++∂=-=∂112211F F zx y F F x -∂=-=-∂1212yF zF yF z z xy z x y F +-∂∂+==∂∂五、 证明题 (每小题6分,共12分)19. 设向量(1,1,1)a =-r,(3,4,5)b =-r ,x a b λ=+r r r ,λ为实数，试证：其模最小的向量x r垂直于向量b r .难度等级：2；知识点：向量代数.分析 先计算出x a b λ=+r r r ，再求出它的模x r ，何时x r达到最小值？证 设x a b λ=+r r r ，于是22222()x a b a b λλ=++⋅r r r r r ，将a b r r 、的坐标代入得，222633245050().2525x λλλ=++=++r当256-=λ时，模x r 最小，这时6715(1,1,1)()(3,4,5)(,,).25252525x ---=-+-=r且有0x b ⋅=rr .故结论正确.20. 验证曲线积分(2,3)(0,1)()()x y dx x y dy ++-⎰的被积表达式为某二元函数的全微分,并计算该曲线积分. 难度等级：2；知识点：第二类曲线积分.2分析:可利用曲线积分与路径无关找被积函数的原函数. 证:显然,()()x y dx x y dy ++- ()()xdx ydy ydx xdy =-++2222()2().2x y d d xy x y d xy -=+-=+是全微分.于是(2,3)22(2,3)(0,1)(0,1)()() 4.2x y x y dx x y dy xy ⎡⎤-++-=+=⎢⎥⎣⎦⎰六、应用题 (每小题8分,共16分)21.求抛物面224y x z ++=的切平面,π使得π与该抛物面间并介于柱面1)1(22=+-y x 内部的部分的体积为最小.难度等级3; 知识点：综合题，多元函数的几何应用、二重积分和多元函数的极值。
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. .. . .重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷A卷B卷20 — 20 学年 第 学期开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间: 120 分一、选择题(每小题3分,共18分)1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ⋅=(A) 1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D分析:||||a b a b ⋅=cos(,)a b =cos(,).a b 2. 微分方程21x y '=的通解是().(A) 1y C x =+ (B) 1y C x=+ (C)1C y x =-+ (D) 1y xC =-+知识点:微分方程,难度等级:1. 答案: D分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1,y C x=-+故应选(D).3. 设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则().Ω=(A) 4R π (B) 443R π; (C) 4 32 R π (D) 42 R π 知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案: A4．若L 是上半椭圆cos sin x a ty b t =⎧⎨=⎩取顺时针方向,则L ydx xdy -⎰的值为().(A) 0 (B)2ab π(C) ab π (D)ab π- 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案: C分析: 题中半椭圆面积为,2ab π要用格林公式,添有向线段1:0(:).L y x a a =-→112,0.DL L L dxdy ab π-+===⎰⎰⎰⎰故选C.命题人:组题人:审题人:命题时间:教务处制学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密5. 设函数(),0f x x >连续,并对0x >的任意闭曲线,L 有34()0,Lx ydx xf x dy +=⎰且(1)2,f =则()f x =().(A)242412423-+-x x x (B)324122424x x x -+- (C)31x + (D)xx 13+知识点:对坐标的曲线积分,积分与路径无关,微分方程.难度等级:3.答案:D分析:由条件知,积分与路径无关,有3(4)(()).x y xf x y x ∂∂=∂∂即34()().x f x xf x '=+A,B 选项显然不满足方程,而C 含常数,也不能满足方程,故选D.验证D 满足,或用一阶线性微分方程求出为D. 6. 曲面z =包含在柱面222x y x +=内部那部分面积().=(A) π(B)(C)(D) 知识点:曲面面积,难度等级:2. 答案:B分析: 在xOy 投影区域22:2,D x y x +≤化为二重积分为D,选B.二、填空题(每小题3分,共18分)7. 级数12(2)!nn n n ∞=∑的和为__________.知识点:级数的和.难度等级:2. 答案:e分析: 11121.(2)!!(1)!n n n n n n e n n n ∞∞∞======-∑∑∑ 8. 222()__________,c x y z ds ++=⎰其中c 为螺线cos ,sin ,(02).x a t y a t t a bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩的一段.知识点:对弧长的曲线积分,难度等级:1. 答案：2222(343a b ππ+ 解:弧长的微分为,ds 于是222222222202()()(343cx y z ds a b t dt a b πππ++=+=+⎰9. 过已知点A )1,2,1(-和B )7,2,5(-作一平面,使该平面与x 轴平行,则该平面方程为__________. 知识点:平面方程,难度等级:2.答案:20.y -=分析:平面的法向量n AB ⊥,且n i ⊥,取606(0,6,0),100i j kn AB i =⨯=-=过点A (1,2,1),-平面方程为0(1)6(2)0(0)0,x y z ⋅-+⋅-+⋅-=即20.y -= 10. 函数zy u x =在点(1,2,1)-处沿(1,2,2)a =-方向的方向导数为______.知识点:函数的方向导数.难度等级:1 答案：1.6解 : (1,2,2)a =-⇒122cos ,cos ,cos .333αβγ-===1(1,2,1)(1,2,1)1(1,2,1)(1,2,1)1;2ln 0;z z z y y z u y x x ux x zy y ------∂=⋅=∂∂=⋅=∂(1,2,1)(1,2,1)ln ln 0.z y z ux x y y z --∂=⋅=∂111.236u a ∂⇒=⨯=∂ 11.设∑为平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧,将⎰⎰∑++Qdzdx Pdydz Rdxdy 化为对面积的曲面积分的结果为__________.知识点:两种曲面积分之间的转换.难度等级:2. 答案:32().55P Q R dS ∑+⎰⎰ 分析:第二型曲面化为第一型曲面积分,只需求出有向曲面侧的单位法向量,与被积向量函数作内积即可,平面法向量为{,长度为5故得结果.12. 设∑是圆锥面z =被圆柱面ax y x 222=+所截的下部分,则()xy yz zx dS ∑++⎰⎰__________.=知识:对面积的曲面积分,对称性.难度等级:3. 答案4. 分析: 曲面关于x轴对称,xy yz +为关于y 的奇函数,故只需算zx 的积分值,2cos 3422cos .xya D zxdS d dr θππθθ-∑===⎰⎰⎰⎰三、计算题(每小题6分,共24分)13. 计算积分(2),c a y dx xdy -+⎰其中c 为摆线(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤的一拱.知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:2分析:已知了积分路径的参数方程,直接代入计算积分. 解: 由题设(1cos ),sin .dx a t dt dy a tdt =-=于是{}20(2)[(2(1cos )](1cos )(sin )sin ca y dx xdy a a t a t a t t a t dt π-+=---+-⎰⎰[]2202202sin cos sin 2.a t tdt a t t t a πππ==--=-⎰ 14. 求32sin (2cos cos )0x d x x dx θθθθ+-+=的通解.知识点:微分方程,变量代换,一阶线性微分方程.难度等级:2 分析:sin cos d d θθθ=,若令cos z θ=,原方程可化为一阶线性方程.解: 将原方程改写为2sin cos 2cos .x d dx dx xdx xθθθθ+-+= 令cos ,y xθ=则2sin cos .x d dxdy xθθθ+=-于是方程化为 2.dyxy x dx+= 这是一阶线性非齐次方程.由通解公式2221().2x x x y e xe dx C Ce --=+=+⎰ 故21cos .2x x Cxe θ-=+15. 计算,2222⎰⎰∑+++z y x dxdy z xdydz 其中∑是由曲面222R y x =+及平面,(0)z R z R R ==->所围成立体表面外侧.知识点:对坐标的曲面积分,高斯公式.难度等级:3 分析:利用高斯公式并注意对称性.解:利用高斯公式,并注意对称性,知22222222222()0.()z dxdy z x y dV x y z x y z ∑Ω+==++++⎰⎰⎰⎰⎰ 又dydz z R y R dydz z R y R z y x xdydz⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+--++-=++212222222222222212yzD RR Rdz R z--==+⎰⎰2212[arctan ]2.2R R z R R R R ππ-=⋅=22222.2xdydz z dxdy R x y z π∑+⇒=++⎰⎰ 16. 计算第二类曲线积分222,Ly dx z dy x dz ++⎰其中L 为球面2222R z y x =++与柱面对)0,0(22>≥=+R z Rx y x 的交线,其方向是面对着正x 轴看去是反时针的.知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,对称性.难度等级:3分析: 利用斯托克斯公式,合一投影,并注意对称性的使用.解:222222Ldydz dzdx dxdyy dx z dy x dz x y z y z x ∑∂∂∂++=∂∂∂⎰⎰⎰dxdyy yx R xy x ydxdyxdzdx zdydz xyD ⎰⎰⎰⎰+--+-=++-=∑)(222222xyD xdxdy =-⎰⎰(∵xy D 关于x 轴对称,(,)f x y y 是关于y 的奇函数)⎰⎰--=22cos 02cos 2ππθθθR dr r d342034cos 3.4R d R πθθπ=-=-⎰四、解答题(每小题6分,共12分)17．判断级数111(1)nn e n∞=--∑的敛散性.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 分析:取211n n∞=∑用比较判别法的极限形式. 解: 1200211111limlim lim .122nx x n x x e e x e n x x n →∞→→-----=== 由于211n n∞=∑收敛,故级数111(1)nn e n ∞=--∑收敛.18．求函数2232z x y x =+-在闭域22(,)|194x y D x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭上的最大值和最小值.知识点:二元函数在闭区域上的最值.难度等级:2分析:先求函数的驻点,得到在区域内部可能的最值点,然后求边界上可能的最值点.解:由22060x yz x z y =-=⎧⎨==⎩得D 内驻点(1,0),且(1,0) 1.z =-在边界22194x y +=上()21121233.3z x x x =--+-≤≤1220.3z x '=--<11(3)15(3) 3.z z -==比较后可知函数z 在点(1,0)取最小值(1,0)1z =-在点(3,0)-取最大值(3,0)15.z -=五、 证明题(每小题6分,共12分)19．设函数(,,)F x y z 具有一阶连续偏导数,且对任意实数t 有(,,)(,,)(kF tx ty tz t F x y z k=是自然数),试证曲面(,,)0F x y z =上任一点的切平面都通过一定点(设在任一点处,有2220.x y z F F F ++≠).知识点:齐次函数,切平面.难度等级:2 分析:曲面(,,)0F x y z =在一点000(,,)x y z 的切平面方程为000()()()0,x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=求出此方程,可以发现坐标原点(0,0,0)满足方程.证明: 由已知条件可得.x y z xF yF zF kF ++=曲面上点000(,,)x y z 处的切平面方程为 000()()()0.x y z F x x F y y F z z ⋅-+⋅-+⋅-=即000000(,,)0.x y z x y z xF yF zF x F y F z F kF x y z ++=++==易知0,0,0x y z ===满足上述平面方程,所以曲面的任意切平面都通过定点()000,,.20. 设0,n P >n P 单调增,且11n nP ∞=∑收敛.证明:(1)12n nn u P P P =+++单调减.(2)21n n u ∞=∑收敛.知识点:级数敛散性的判断.难度等级:2 证:(1)1121121n n n nn nu u P P P P P P +++-=-++++++1212112121(1)()()()()n n n n n P P P n P P P P P P P P P ++++++-+++=++++++ 121121210()()n n n n P P P nP P P P P P P +++++-=<++++++ 12n nnu P P P ∴=+++单调减.(2)2122222,n n n n n n u P P P nP P =≤=+++而11n nP ∞=∑收敛,由比较判别法,21n n u ∞=∑收敛.六、 应用题 (每小题8分,共16分)21. 设在xoy 面上有一质量为M 的匀质半圆形薄片, 占有平面闭域222,,0{()|},D x y x y R y =+≤≥过圆心O 垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点,P .OP a =求半圆形薄片对质点P 的引力.知识点:平面薄片对质点的引力,难度等级:3分析: 由引力公式,建立二重积分计算解: 设P 点的坐标为(0,0,.)a 薄片的面密度为222.12M MRR μππ==设所求引力为,,().x y z F F F F =由于薄片关于y 轴对称, 所以引力在x 轴上的分量0,x F = 而 2223/2()y Dm yF G d x y a μσ=++⎰⎰2223/2sin ()Rm G d d a πρθμθρρ=+⎰⎰2223/22223/2sin ()2()RRm G d d a m G d a πρμθθρρρμρρ=+=+⎰⎰⎰24(ln GmM R R a π+= 2223/2()z Dm aF G d x y a μσ=-++⎰⎰2223/2()Rm Ga d d a πρμθρρ=-+⎰⎰2223/22()2(1Rm Ga d a GmM R ρπμρρ=-+=--⎰22．一质量为m 的船以速度0v 沿直线航行,在0t =时,推进器停止工作(动力关闭). 假设水的阻力正比于,n v 其中n 为一常数,v 为瞬时速度,求速度与滑行距离的函数关系. 知识点:微分方程模型.难度等级:2 分析:据牛顿第二定律建立微分方程.解: 船所受的力=向前推力-水的阻力=0,n kv -加速度为.dvdtα=于是,由题设有 00,|.n t dvmkv v v dt==-= 设距离为()x x t =,则上述方程化为.n dv dv dx dvmm mv kv dt dx dt dx=⋅=⋅=- 故有1.n mv dv kdx -=-当2n ≠时,两边积分得,22.2nmv kx c n-=-+- 代入000|,|0,t t v v x ====得20.2n mv c n-=-故 220.(2)n n k n v x v m---=-+ 当2n =时,同理可解得 0.k x mv v e-=。