2020年山东省高考数学模拟试卷(6)

2020年山东省高考数学模拟试卷（6）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）集合{（1，2），（3，4）}的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．15D ．162．（5分）已知复数z 满足1z=i z+1，则复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知（1+x ）5＝a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 5（1﹣x ）5，则a 3＝（ ） A ．﹣40B ．40C ．10D ．﹣104．（5分）1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种病毒细胞的总数y 和天数t 的函数关系为：y ＝2t ﹣1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（lg 2≈0.3010） A ．25B ．26C ．27D ．285．（5分）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f （x ）=x(e x −e −x )x 2−1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）当a ＜0时，关于x 的不等式x 2﹣4ax +3a 2＜0的解集是（x 1，x 2），则b =x 1+x 2+ax 1x2取得最值的充分条件是（ ）A ．有最大值，b ≤﹣1B ．有最小值，b ≥−4√3C ．有最大值，b ≤﹣5D ．有最小值，b ≤−4√337．（5分）函数y ＝2﹣2sin x 的最大值和最小值分别是（ ） A ．2，﹣2B ．4，0C ．2，0D ．4，﹣48．（5分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f （x ）＝x 3+a n +1﹣a n ﹣cos nπ3为奇函数，记S n为数列{a n }的前n 项之和，则S 2020的值是（ ） A ．20232B ．1011C ．1008D ．336二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）将曲线y =sin 2x −√3sin(π−x)sin(x +3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到g （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．g （x ）的图象关于直线x =2π3对称 B ．g （x ）在[0，π]上的值域为[0，32] C ．g （x ）的图象关于点(π6，0)对称D ．g （x ）的图象可由y =cosx +12的图象向右平移2π3个单位长度得到10．（5分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到（2，t ）时，|PF |＝4，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，点M （4，1），下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝4x B ．|PM |+|PF |的最小值为6C ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切11．（5分）如图，在棱长均相等的四棱锥P ﹣ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，有下列结论正确的有（ ）A ．PD ∥平面OMNB ．平面PCD ∥平面OMNC ．直线PD 与直线MN 所成角的大小为90° D ．ON ⊥PB12．（5分）给出下列4个命题：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题． ②命题p ：∀x ＞2，x 2﹣1＞0，则￢p 是∀x ＞2，x 2﹣1≤0． ③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件． ④若2x +5y ≤2﹣y +5﹣x ，则x +y ≤0．其中所有正确命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为 ． 14．（5分）已知O 是△ABC 的外心，且A =π3，AB ＝5，AC ＝3，若AO →=m AB →+n AC →，则m +n ＝ ．15．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为2√3，SA ⊥平面ABC ．SA ＝4，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为 ． 16．（5分）设双曲线x 216−y 2b =1的左右两个焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上任意一点，过F 1的直线与∠F 1PF 2的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程 ；M 在曲线E 上，点A （8，0），B （5，6），则12|AM |+|BM |的最小值 ．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosB =−12． （Ⅰ）若b sin B ﹣a sin A ＝2c sin C ，求ac 的值；（Ⅱ）若∠ABC 的平分线交AC 于D ，且BD ＝1，求4a +c 的最小值．18．（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n +a n =n−1n(n+1)+1，n =1，2，3⋯ （1）设b n =a n +1n(n+1)，求证：数列{b n }是等比数列； （2）设c n =1−2n−1a n ，求c n 的最小值．19．（12分）在三棱锥，S ﹣ABC 中，AB ⊥平面SAC ，AS ⊥SC ，AB ＝1，AC =√2，E 为AB的中点，M为CE的中点．（1）证明：平面SCE⊥平面SAB；（2）在线段SB上是否存在一点N，使MN∥平面SAC？若存在，指出点N的位置并给出证明，若不存在，说明理由；（3）若∠SCA＝30°，求二面角S﹣CE﹣B的大小．20．（12分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）．分数[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）[140，150）甲班频数1144532乙班频数0112664传统教学（甲班）创新课堂（乙班）总计成绩优秀成绩不优秀总计（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ）临界值表： P （K 2≥k ） 0.1000.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.82821．（12分）已知动圆与y 轴相切于点M （0，2），过点E （0，﹣1），F （0，1）分别作动圆异于y 轴的两切线，设两切线相交于Q ，点Q 的轨迹为曲线Ω． （1）求曲线Ω的轨迹方程；（2）过（2，0）的直线l 与曲线Ω相交于不同两点A ，B ，若曲线Ω上存在点P ，使得λOP →=OA →+OB →成立，求实数λ的范围． 22．（12分）函数f(x)=e x −1e x ，ℎ(x)=xx+1（1）判断x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）的零点个数，并加以说明； （2）正项数列{a n }满足a 1=1，a n e −a n+1=f(a n ) ①判断数列{a n }的单调性并加以证明．②证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n ．2020年山东省高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）集合{（1，2），（3，4）}的子集个数为（ ） A ．3B ．4C ．15D ．16【解答】解：{（1，2），（3，4）}的元素有2个， 所以子集个数有4个， 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足1z =i z+1，则复数z 的共轭复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵1z =i z+1，∴z =1i−1=−12i −12， z =12i −12则z 的共轭复数对应的点的坐标为(−12，12)，位于第二象限． 故选：B ．3．（5分）已知（1+x ）5＝a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 5（1﹣x ）5，则a 3＝（ ） A ．﹣40B ．40C ．10D ．﹣10【解答】解：已知(1+x)5=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 5(1−x)5=[2﹣（1﹣x ）]5，则a 3=C 53•（﹣1）3•22＝﹣40， 故选：A ．4．（5分）1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法．若试管内某种病毒细胞的总数y 和天数t 的函数关系为：y ＝2t ﹣1，且该种病毒细胞的个数超过108时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（lg 2≈0.3010） A ．25B ．26C ．27D ．28【解答】解：∵y ＝2t ﹣1， ∴2t ﹣1＞108，两边同时取常用对数得：lg2t﹣1＞lg108，∴（t﹣1）lg2＞8，∴t﹣1＞8lg2，∴t＞8lg2+1≈27.6，∴该种病毒细胞实验最多进行的天数为27天，故选：C．5．（5分）著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）=x(e x−e−x)x2−1的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，f（﹣x）=−x(e−x−e x)x2−1=x(ex−e−x)x2−1=f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当x＞1时，f（x）＞0恒成立，排除B，D，故选：C．6．（5分）当a＜0时，关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0的解集是（x1，x2），则b=x1+x2+a x1x2取得最值的充分条件是（）A．有最大值，b≤﹣1B．有最小值，b≥−4√3C．有最大值，b≤﹣5D．有最小值，b≤−4√3 3【解答】解：依题意，x 1+x 2=4a ，x 1x 2=3a 2， ∴b =x 1+x 2+a x 1x 2=4a +13a =−[(−4a)+1−3a ]≤−2√(−4a)⋅1−3a =−4√33，当且仅当a =−√36时取等号，由于需要选择充分条件，故选项C 符合题意． 故选：C ．7．（5分）函数y ＝2﹣2sin x 的最大值和最小值分别是（ ） A ．2，﹣2B ．4，0C ．2，0D ．4，﹣4【解答】解：函数y ＝2﹣2sin x 中，当sin x ＝1时，y ＝2﹣2＝0，是最小值； 当sin x ＝﹣1时，y ＝2+2＝4，是最大值；所以y ＝2﹣2sin x 的最大值和最小值分别是4和0． 故选：B ．8．（5分）已知数列{a n }的首项a 1＝1，函数f （x ）＝x 3+a n +1﹣a n ﹣cos nπ3为奇函数，记S n为数列{a n }的前n 项之和，则S 2020的值是（ ） A ．20232B ．1011C ．1008D ．336【解答】解：由题意，函数f （x ）＝x 3+a n +1﹣a n ﹣cos nπ3为奇函数，故f （0）＝a n +1﹣a n ﹣cos nπ3=0，即a n +1﹣a n ＝cos nπ3，n ∈N *．∵数列{cos nπ3}即为：12，−12，﹣1，−12，12，1，12，… ∴数列{cos nπ3}是一个以6为最小正周期的周期数列．∵a 1＝1，∴a 2＝a 1+cos π3=1+12=32，a 3＝a 2+cos 2π3=32−12=1，a 4＝a 3+cos 3π3=1﹣1＝0， a 5＝a 4+cos 4π3=0−12=−12， a 6＝a 5+cos5π3=−12+12=0，a 7＝a 6+cos 6π3=0+1＝1，• • •∴数列{a n }即为：1，32，1，0，−12，0，1，…很明显数列{a n }是一个以6为最小正周期的周期数列． ∵2020÷6＝336…4， ∴S 2020＝336×3+1+32+1+0=20232． 故选：A ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）将曲线y =sin 2x −√3sin(π−x)sin(x +3π2)上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到g （x ）的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．g （x ）的图象关于直线x =2π3对称 B ．g （x ）在[0，π]上的值域为[0，32] C ．g （x ）的图象关于点(π6，0)对称D ．g （x ）的图象可由y =cosx +12的图象向右平移2π3个单位长度得到【解答】解：∵y =sin 2x −√3sin(π−x)sin(x +3π2)=1−cos2x 2+√3sinxcosx =1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12． ∴g （x ）＝sin （x −π6）+12． 则g （2π3）＝sin （2π3−π6）+12=32，g （x ）的图象关于直线x =2π3对称，故A 正确； 由x ∈[0，π]，得x −π6∈[−π6，5π6]，可得sin （x −π6）+12∈[0，32]，故B 正确；由g （π6）=12，可得g （x ）的图象关于点（π6，12）对称，故C 错误； 对于D ，由y =cosx +12=sin （x +π2）+12的图象向右平移2π3个单位长度，得到y ＝sin （x +π2−2π3）+12=sin(x −π6)+12的图象，故D 正确．故选：ABD ．10．（5分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到（2，t ）时，|PF |＝4，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，点M （4，1），下列结论正确的是（ ） A ．抛物线的方程为y 2＝4x B ．|PM |+|PF |的最小值为6C ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切【解答】解：对于A ，当P 运动到（2，t ）时，|PF |＝4，由抛物线的定义可知，p2=4−x p =4−2=2，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x ，即A 错误；对于B ，过点P 作PP '垂直抛物线的准线，则|PM |+|PF |≥|PM |+|PP '|≥|MP '|=x M +p2=4+2=6，当且仅当P '、P 和M 三点共线时，等号成立，即B 正确； 对于C ，因为A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称，所以直线l 的斜率为1， 设直线l 的方程为y ＝x +m ，A ，B 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），联立{y =x +m y 2=8x，得x 2+（2m ﹣8）x +m 2＝0，所以{x 1+x 2=8−2mx 1x 2=m 2△=(2m −8)2−4m 2＞0，所以m ＜2，且y 1+y 2＝x 1+x 2+2m ＝8，即AB 的中点坐标为（4﹣m ，4），因为A 、B 两点关于x +y ﹣6＝0对称，所以点（4﹣m ，4）一定在直线x +y ﹣6＝0上， 于是4﹣m +4﹣6＝0，解得m ＝2，与m ＜2相矛盾， 故不存在直线l 满足题意，即C 错误；对于D ，设A 的坐标为（x 1，y 1），因为F （2，0），所以AF 的中点坐标为(x 1+22，y 12)， 而以AF 为直径的圆的半径为r =12|AF|=12(x 1+p 2)=x 1+22，与AF 的中点的横坐标相同，所以D 正确． 故选：BD ．11．（5分）如图，在棱长均相等的四棱锥P ﹣ABCD 中，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为侧棱P A ，PB 的中点，有下列结论正确的有（ ）A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90°D．ON⊥PB【解答】解：在棱长均相等的四棱锥P﹣ABCD中，设棱长为2a，如图所示：①O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱P A，PB的中点，所以：ON∥PD，由于ON⊂平面ONM，PD⊄平面MON，所以：PD∥平面MON．故A正确．②由于NM∥AB∥CD，ON∥PD，所以平面PCD∥平面OMN．故B正确．③由于NM∥CD，所以直线PD与直线MN所成角的大小为60°，故C错误．④设锥体的棱长为2a，所以OB=√2a，所以OP=√(√3a)2−a2=√2a，所以△OBP为等腰直角三角形，由于点N为PB的中点，所以ON⊥PB，故D正确．故选：ABD．12．（5分）给出下列4个命题：①命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”为假命题．②命题p：∀x＞2，x2﹣1＞0，则￢p是∀x＞2，x2﹣1≤0．③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件． ④若2x +5y ≤2﹣y +5﹣x ，则x +y ≤0．其中所有正确命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④【解答】解：对于①，根据不等式的基本性质，命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”显然为真命题；故①错误；对于②，命题的否定，命题p ：∀x ＞2，x 2﹣1＞0，则￢p 是∃x ＞2，x 2﹣1≤0；故②错误； 对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；故“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件．③正确；对于④，设f （x ）＝2x ﹣5﹣x ，则f （x ）在R 上为增函数，且f （﹣y ）＝2﹣y ﹣5y ；由条件得，f （x ）≤f （﹣y ）；∴x ≤﹣y ，∴x +y ≤0；故④正确； 故答案为③④． 故选：CD ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13．（5分）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为√105． 【解答】解：设|BF 1|＝k ，则|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝4k ，由|BF 1|+|BF 2|＝|AF 1|+|AF 2|＝2a ， 得2a ＝5k ，|AF 2|＝2k ，如图：在△ABF 2中，cos ∠BAF 2=14，又在△AF 1F 2中，cos ∠F 1AF 2=(3k)2+(2k)2−(2c)22×3k×2k =14，得2c =√10k ，故离心率e =c a =√105， 故答案为：√105．14．（5分）已知O 是△ABC 的外心，且A =π3，AB ＝5，AC ＝3，若AO →=m AB →+n AC →，则m +n ＝2645．【解答】解：∵A =π3，AB =5，AC =3， ∴AB →⋅AC →=5×3×cos π3=152， ∵AO →=mAB →+nAC →，∴{AO →⋅AB →=mAB →2+nAB →⋅AC →=25m +152n =252AO →⋅AC →=mAB →⋅AC →+nAC →2=152m +9n =92， ∴{m =715n =19， ∴m +n =715+19=2645． 故答案为：2645．15．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，且该三棱锥的体积为2√3，SA ⊥平面ABC ．SA ＝4，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为40√10π3．【解答】解：∵V S ﹣ABC =13S △ABC •SA =13×12×AB ×BC ×sin120°×4=2√3， ∴AB •BC ＝6，∵SA ⊥平面ABC ，SA ＝4，∴O 到平面ABC 的距离为d =12SA ＝2，设△ABC 的外接圆半径为r ，球O 的半径为R ，R =√r 2+d 2=√r 2+4．由余弦定理可知AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos120°＝AB 2+BC 2+6≥2AB •BC +6＝18， 当且仅当AB ＝BC =√6时取等号． ∴AC ≥3√2．由正弦定理可得2r =ACsin∠ABC ≥3√2√32=2√6，∴r ≥√6，则R ≥√10．∴当R =√10时，球O 的体积取得最小值V =43πR 3=40√10π3． 故答案为：40√10π3．16．（5分）设双曲线x 216−y 2b =1的左右两个焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上任意一点，过F 1的直线与∠F 1PF 2的平分线垂直，垂足为Q ，则点Q 的轨迹曲线E 的方程 x 2+y 2＝16 ；M 在曲线E 上，点A （8，0），B （5，6），则12|AM |+|BM |的最小值 3√5 ．【解答】解：双曲线x 216−y 2b =1的a ＝4，延长F 1Q 与PF 2的延长线交于H ，连接OQ ，由PQ 为∠F 1PF 2的平分线，且为F 1H 边上的高，可得△PF 1H 为等腰三角形， 则|PF 1|＝|PH |，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， 即有|F 2H |＝|PH |﹣|PF 2|＝|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，由OQ 为△F 1F 2H 的中位线，可得|OQ |=12|HF 2|＝a ＝4， 可得Q 的轨迹方程为圆x 2+y 2＝16；设M （x ，y ），设T （a ，b ），且12|AM |＝|TM |，可得√(x −8)2+y 2=2√(x −a)2+(y −b)2，平方可得x 2+y 2﹣16x +64＝4（x 2+y 2﹣2ax ﹣2by +a 2+b 2），化为x 2+y 2=8a−163x +8b 3y +64−4a 2−4b 23， 由于M 在圆x 2+y 2＝16上，可得8a−163=0，8b 3=0，64−4a 2−4b 23=16，解得a ＝2，b ＝0，则T （2，0），连接TB ，可得T ，M ，B 三点共线， 即有12|AM |+|BM |＝|TM |+|BM |取得最小值|TB |=√(2−5)2+62=3√5，故答案为：x 2+y 2＝16，3√5．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosB =−12． （Ⅰ）若b sin B ﹣a sin A ＝2c sin C ，求ac 的值；（Ⅱ）若∠ABC 的平分线交AC 于D ，且BD ＝1，求4a +c 的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得b 2﹣a 2＝2c 2，即b 2＝a 2+2c 2； 由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 又cosB =−12，所以c 2＝ac ； 所以ac =1．（Ⅱ）由题意得S △ABC ＝S △ABD +S △DBC ， 即12acsin120°=12asin60°+12csin60°，所以ac ＝a +c ，即1a+1c=1；则4a +c =(4a +c)(1a +1c )=5+ca +4ac ≥5+2√c a ⋅4ac =9， 当且仅当c ＝2a ，即c ＝3，a =32时取等号； 所以4a +c 的最小值为9．18．（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n +a n =n−1n(n+1)+1，n =1，2，3⋯ （1）设b n =a n +1n(n+1)，求证：数列{b n }是等比数列；（2）设c n =1−2n−1a n ，求c n 的最小值．【解答】（1）证明：依题意，由S n +a n =n−1n(n+1)+1，n =1，2，3⋯，可得 S n ＝1﹣a n +n−1n(n+1)，n ∈N *．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1﹣a 1，解得a 1=12．则a n +1＝S n +1﹣S n ＝1﹣a n +1+n(n+1)(n+2)−1+a n −n−1n(n+1)， ∴2a n +1＝a n +n (n+1)(n+2)−n−1n(n+1)=a n +1n(n+1)−2(n+1)(n+2)，整理，得2a n +1+2(n+1)(n+2)=a n +1n(n+1)，即2b n +1＝b n ． ∵b 1＝a 1=11×2=12+12=1， ∴数列{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列． （2）解：由（1）知b n ＝（12）n ﹣1，n ∈N *．则a n ＝b n −1n(n+1)=（12）n ﹣1−1n(n+1)，故c n =2n−1n(n+1)．依题意，有{c n ≤c n+1c n ≤c n−1，即{ 2n−1n(n+1)≤2n(n+1)(n+2)2n−1n(n+1)≤2n−2n(n−1)，整理，得{1n ≤2n+22n+1≤1n−1．解得2≤n ≤3．∴当n ＝2，或n ＝3时，最小值c n ＝c 2＝c 3=13．19．（12分）在三棱锥，S ﹣ABC 中，AB ⊥平面SAC ，AS ⊥SC ，AB ＝1，AC =√2，E 为AB 的中点，M 为CE 的中点． （1）证明：平面SCE ⊥平面SAB ；（2）在线段SB 上是否存在一点N ，使MN ∥平面SAC ？若存在，指出点N 的位置并给出证明，若不存在，说明理由；（3）若∠SCA＝30°，求二面角S﹣CE﹣B的大小．【解答】解：（1）由AB⊥平面SAC，SC⊂平面SAC，故AB⊥SC，由AS⊥AC，AB∩AS＝A，AB，AS⊂平面SAB，所以SC⊥平面SAB，SC⊂平面SCE，故平面SCE⊥SAB；（2）存在点N为SB上的靠近S的四等分点即SN=14SB，MN∥平面SAC，证明如下：取AE的中点F，连接FN，FM，则MF∥AC，因为AC⊂平面SAC，MF⊄平面SAC，所以MF∥平面SAC，又MF∩MN＝N，MF，MN⊂平面MNF，所以平面MNF∥平面SAC，又MN⊂平面MNF，所以MN∥平面SAC；（3）作SO ⊥AC 于O ，过O 作AB 的平行线为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，由∠SCA ＝30°，AS ⊥SC ，得AS =√22，AO =√24，SC =√2cos30°=√2⋅√32=√62，，OS =√64，OC =3√24，AE =12， 故B （√24，1，0），E （√24，12，0），C(−3√24，0，0)，S （0，0，√64）， CE →=(√2，12，0)，SC →=(−3√24，0，−√64)， 设平面SEC 的法向量为m →=(x ，y ，z)，由{m →⋅CE →=√2x +12y =0m →⋅SC →=−3√24x −√64z =0，得m →=(1，−2√2，−√3)， 平面BEC 的法向量为n →=(0，0，1)， 由cos ＜m →，n →＞=√312=−12，因为二面角S ﹣CE ﹣B 为钝角， 故所求二面角为120°．20．（12分）为了适应高考改革，某中学推行“创新课堂”教学．高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于120分者为“成绩优秀”）． 分数 [80，90） [90，100） [100，110） [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）甲班频数 1 1 4 4 5 3 2 乙班频数112664传统教学（甲班）创新课堂（乙班）总计成绩优秀成绩不优秀总计（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”？（Ⅱ）现从上述样本“成绩不优秀”的学生中，抽取3人进行考核，记“成绩不优秀”的乙班人数为X，求X的分布列和期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d）临界值表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）根据题意填写列联表如下，传统教学（甲班）创新课堂（乙班）总计成绩优秀101626成绩不优秀10414总计202040根据2×2列联表中的数据，计算K2=40×(10×4−16×10)226×14×20×20≈3.956＞3.841，所以有95%以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”；（Ⅱ）根据题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C103C143=3091，P（X＝1）=C102⋅C41C143=4591，P（X＝2）=C101⋅C42C143=1591，P（X＝3）=C43C143=191；所以X的分布列为：X0123P309145911591191数学期望为E （X ）＝0×3091+1×4591+2×1591+3×191=67． 21．（12分）已知动圆与y 轴相切于点M （0，2），过点E （0，﹣1），F （0，1）分别作动圆异于y 轴的两切线，设两切线相交于Q ，点Q 的轨迹为曲线Ω． （1）求曲线Ω的轨迹方程；（2）过（2，0）的直线l 与曲线Ω相交于不同两点A ，B ，若曲线Ω上存在点P ，使得λOP →=OA →+OB →成立，求实数λ的范围．【解答】解：（1）设动圆的圆心为（m ，n ），半径为r ，由动圆与y 轴相切于点M （0，2），可得|m |＝r ，n ＝2，设E （0，﹣1）的切线方程为y ＝k 1x ﹣1，过F （0，1）的切线方程为y ＝k 2x +1， 可得1√1+k 12=2√1+k 22=|m |，解得k 1=9−m 26m ，k 2=1−m 22m ，联立过E ，F 的切线方程可得x =2k 1−k 2=6m3+m 2，y =k 1+k 2k 1−k 2=6−2m 23+m 2， 则y 24+x 23=9−6m 2+m 49+6m 2+m 4+12m 29+6m 2+m 4=1，故曲线Ω的轨迹方程为y 24+x 23=1；（2）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2）． 由{y =k(x −2)4x 2+3y 2=12消去y ，得（4+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣12＝0，（*） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0），则x 1，x 2是方程（*）的两根， 所以△＝（12k 2）2﹣4（4+3k 2）（12k 2﹣12）＞0，即k 2＜4，①， 且x 1+x 2=12k24+3k2，由λOP →=OA →+OB →，得{x 1+x 2=λx 0y 1+y 2=λy 0，所以 { x 0=x 1+x 2λ=12k2λ(4+3k 2)y 0=y 1+y 2λ=k(x 1+x 2)−4k λ=−16k λ(4+3k 2)，因为点P （x 0，y 0）在椭圆上， 所以12＝4x 02+3y 02=576k4λ2(4+3k 2)2+768k2λ2(4+3k 2)2，即116λ2=3k 4+4k 2(4+3k 2)2=k 24+3k 2=13−43(4+3k 2)，再由①，得0≤116λ2＜14， 所以λ∈（﹣2，2）．22．（12分）函数f(x)=e x −1e x ，ℎ(x)=x x+1（1）判断x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）的零点个数，并加以说明；（2）正项数列{a n }满足a 1=1，a n e −a n+1=f(a n )①判断数列{a n }的单调性并加以证明．②证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n ． 【解答】解：（1）当x ＞0时，f （x ）﹣h （x ）=e x −x−1e x (x+1)，令t （x ）＝e x ﹣x ﹣1，x ＞0，则t ′（x ）＝e x ﹣1＞0，故t （x ）在（0，+∞）上单调递增， 所以t （x ）＞t （0）＝0，所以f （x ）﹣h （x ）＞0即零点个数为0，（2）①数列{a n }为递减数列，证明如下：因为a 1=1，a n e −a n+1=f(a n )，所以a n+1=−ln 1−e −a n a n， 要证明数列{a n }为递减数列，只要证明a n +1＜a n ，即a n+1=−ln1−e −a n a n ＜a n ， 只要证﹣ln 1−e −x x ＜x ，x ＞0，即1﹣e ﹣x ＞xe ﹣x ， 由f （x ）=e x −1e x =1−e −x ，所以1﹣e ﹣x ＞xe ﹣x ＝x [1﹣（1﹣e ﹣x）]即f （x ）=e x −1e x =1−e −x ＞h （x ）， 由（1）可知结论成立，②要证明：∑ n+1i=1a i ＜2−(12)n ，由a 1＝1，只要证明a n+1＜1n ，只要证a n+1＜12a n ， 由于a 1＝1，此时a n+1＜12a n ＜a n−122＜⋯＜a 12n =12n c 成立， 所以即证﹣ln1−e −a n a n ＜12a n ，即﹣ln 1−e −x x ＜12x ， 即1−e −x x ＞e −x 2，即ex 2−e −x 2＞x ，（x ＞0）， 令m （x ）=e x 2−e −x 2−x ，（x ＞0），则m′(x)=12(e x 2+e −x 2)−1＞0，因此m （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以m（x）＞m（0）＝0，于是e x2−e−x2＞x成立，原不等式成立．。