自主招生数学专题讲义 第7讲：函数(3)
高中学数学竞赛(自主招生)必备的高等数学知识
高中学数学竞赛决赛（自主招生）必备的高等数学知识集合集合的概念：我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B、C……表示，元素一般用小写字母a、b、c……表示。
如果元素是集合A中的元素，记，否则记有限集：只有有限个元素的集合。
无限集：有无穷多个元素的集合。
空集：不含有任何元素的集合叫空集，记集合的表示方法列举法：如，描述法：如，子集：如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B），记如：,,则。
并集：集合A与集合B的元素放在一起构成的集合，称为A与B的并集。
记，即如：则:交集：记集合A与集合B的公共元素构成的集合，称为A与B的交集，记。
如：，则:绝对值与绝对值不等式几何意义：点到原点的距离。
几何意义：点到点的距离。
性质：1）， 2）， 3）；4）设，；5）；6）7）例1：解下列不等式1）， 2）， 3）4）， 5）解：1） 2）3）或或4）5）或区间与邻域设为实数，，称为以、为端点的开区间，称为以、为端点的闭区间，，以上为有限区间，以上为无穷区间称为点的邻域，为对称中心，为半径。
称为点的去心邻域。
函数的定义设有两个变量与，当变量在实数某范围任取一值时，变量按确定的规则有确定的值与之对应，那么称是的函数，记。
叫自变量，叫因变量，的取值范围称为函数的定义域，记。
对称为函数在点的函数值，所有函数值的集合称为值域。
记。
说明：（1）定义中的记号表示自变量与因变量的对应法则。
（2）函数的两要素：定义域与对应法则。
与表示同一函数；与表示同一函数；与表示不同的函数；与表示不同函数。
（3）单值函数与多值函数对于函数，如果对自变量的一个取值，函数只有一个数值与之对应，则称函数是单值函数；如果对自变量的一个取值，函数有两个或更多个数值与之对应，则称函数是多值函数；如：是单值函数，是多值函数。
（4）定义域实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由函数表达式来确定。
自主招生材料学生版 - 函数
1第二讲 函数高斯函数的性质对任意实数x,我们记不超过x 的最大整数为[x], 通常称函数y=[x]为取整函数, 又称高斯函数.进一步, 记{x}=x －[x], 则函数y={x}称为小数部分函数, 它表示的是x 的小数部分.根据高斯函数的定义, 可得到其如下性质.性质1 对任意x ∈R, 均有x －1<[x]≤x<[x]+1.性质2 对任意x ∈R, 函数y={x}的值域为.性质3 高斯函数是一个不减函数, 即对任意x1, x2∈R, 若x1≤x2, 则[x1] ≤[x2].性质3 若n ∈Z , x ∈R ,则有 [x+n]=n+[x], {n+x}={x}后一个式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.性质4 若x , y ∈R, 则 [x]+ [y]≤[x+y] ≤[x]+ [y]+1.性质5 若n ∈N*, x ∈R , 则[nx]≥n[x]性质6 若n ∈N*, x ∈R , 则]][[][n x n x =.性质7 若n ∈N*, x ∈R+, 则在区间[1,x]内, 恰有个整数是n 的倍数.性质8 设p 为质数, n ∈N*,在p 在n!的质因数分解式中的幂次为++=][][)!(2p np n n p1.方程解（函数零点）的问题例1.方程1220112011x ---= 一共有 个解.练习：1.所有的满足条件的正整数对的个数为 .2、设为方程的根（）, 则 __.例2.解方程: (3x-1)(/)+(2x-3)(/+1)=0.【评述】通过观察方程的特点, 将方程适当化简。
练习：1.（2012年北约）/2.若, 且为正整数, 则3.已知是实数, 二次函数满足, 求证: －1与1中至少有一个是的根.4.已知m, n 为正整数.(1) 用数学归纳法证明: 当x ＞－1时, (1＋x)m ≥1＋mx ；(2) 对于n ≥6, 已知, 求证：(m=1, 2, 3, …, n)；(3) 求出满足等式3n ＋4n ＋…＋(n ＋2)n ＝(n ＋3)n 的所有正整数n .25.关于的方程至少有一个解,则实数的范围是_____________6、求方程x2＋x ＝y4＋y3＋y2＋y 的整数解.2.函数值域（最值）问题例3 设A={a|a=7p,p ∈N*},在A 上定义函数f 如下：若a ∈A, 则f(a)表示a 的数字之和, 例如f(7)=7, f(42)=6, 设函数f 的值域是集合M.求证：M={n|n ∈N*, n ≥2}.例4 设正实数x, y 满足xy=1, 求函数f(x, y) =的值域.（其中（[x]表示不超过x 的最大整数）例5 求函数y =(++2)(+1),x ∈[0,1]的值域。
2024函数的概念优秀完整版课件
函数的概念优秀完整版课件•函数的定义与基本性质•基本初等函数及其性质•函数的极限与连续•导数与微分目录•积分学基础•函数在实际问题中的应用函数的定义与基本性质01函数的定义及表示方法函数的定义函数是一种特殊的对应关系，它使得每一个输入的数（自变量）都对应一个唯一输出的数（因变量）。
函数的表示方法函数可以通过解析式、表格、图像等多种方式来表示。
其中，解析式是最常用的一种方式，它用数学符号和公式来表示函数关系。
函数的值域与定义域函数的值域函数的值域是指函数所有可能取到的值的集合。
对于不同的函数，其值域可能会有所不同。
函数的定义域函数的定义域是指函数输入的自变量所有可能取到的值的集合。
在定义函数时，需要明确给出其定义域。
函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间内，自变量增加时函数值也增加（或减少）的性质。
单调性可以通过求导来判断。
函数的周期性函数的周期性是指函数在某个周期内重复出现的性质。
周期性函数在自然界和工程领域中都有广泛的应用。
函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内，对于原点对称的自变量，其函数值也具有对称性。
奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型。
函数的对称性除了奇偶性之外，有些函数还具有其他的对称性，如关于某条直线对称等。
这些对称性可以通过函数的图像来观察和分析。
基本初等函数及其性质02形如$y = c$（$c$为常数）的函数，其图像是一条平行于$x$轴的直线。
常数函数形如$y = x^{a}$（$a$为实数）的函数，其图像根据$a$的取值不同而具有不同的形态。
幂函数形如$y = a^{x}$（$a > 0$，$a neq 1$）的函数，其图像是一条过点$(0,1)$的曲线，且随着$x$的增加或减少而快速增加或减少。
指数函数形如$y = log_{a}x$（$a > 0$，$a neq 1$）的函数，其图像是一条过点$(1,0)$的曲线，且随着$x$的增加而缓慢增加。
对数函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数三角函数与反三角函数三角函数包括正弦函数$y = sin x$、余弦函数$y = cos x$、正切函数$y = tan x$等，它们的图像是周期性的波形图。
自主招生数学讲义(上)
自主招生讲义（上）第一讲函数的性质 (3)一、知识要点 (3)二、热身练习 (6)三、真题讲解 (7)四、强化训练 (9)第二讲导数 (14)一、知识方法拓展 (14)二、热身练习 (16)三、真题精讲 (17)四、重点总结 (19)五、强化训练 (19)第三讲微积分初步 (30)一、知识方法拓展 (30)二、热身练习 (32)三、真题讲解 (33)四、重点总结 (36)五、强化训练 (36)六、参考答案 (41)第四讲方程与根 (44)一、知识方法拓展 (44)二、热身训练 (46)三、真题精讲 (48)四、重点总结 (50)五、强化训练 (50)第五讲基本不等式及其应用 (56)一、知识方法拓展 (56)二、热身练习： (57)三、精讲名题： (58)四、强化训练 (60)第六讲不等式的证明与应用 (63)一、知识方法拓展 (63)二、热身练习： (64)三、精解名题： (65)四、强化训练 (68)第七讲递推数列 (70)一、知识方法拓展 (70)二、热身练习 (73)三、真题精讲 (74)四、重点总结 (77)五、强化训练 (77)第八讲数列求和，极限和数学归纳法 (81)一、知识方法拓展 (81)二、热身练习 (82)三、真题精讲 (83)四、重点总结 (88)五、强化训练 (88)第一讲 函数的性质一、知识要点1、映射对于任意两个集合,A B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素,x 在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称:f A B →为一个映射，记作:,f A B →其中b 称为像，a 称为原像。
如果:f A B →是一个映射且对任意,,,x y A x y ∈≠都有()(),f x f y ≠则:f A B →是A 到B 上称之为单射.如果:f A B →是映射且对任意,y B ∈都有一个x A ∈使得(),f x y =则称:f A B →是A 到B 上的满射.如果既是单射又是满射，则:f A B →是A 到B 上叫做一一映射.如果是从集合A 到集合B 上的一一映射，并且对于B 中每一个元素b ，使b 在A 中的原像a 和它对应，这样所得的映射叫做:f A B →的逆映射，记作1:.f B A -→2、函数方程问题（1）代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数例.设220,,ab a b ≠≠求()1af x bf cx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解. （【解析】分别用1,x x t t ==带入）（2）待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.例.已知()()1f x f x =是一次函数，()()()1n n f x f f x -=且()1010241023f x x =+，求()f x . （【解析】设()()0f x ax b a =+≠求解）3、函数对称性以及周期性1）已知函数()y f x =，若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于：直线x a =对称，则()g x =()2f a x -；:f A B →:f A B →直线y b =对称，则()()2g x b f x =-；点(),a b 对称，则()()22g x b f a x =--。
函数的概念ppt课件
→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③
初中数学函数家教讲义
初中数学函数家教讲义一、函数的基本概念及性质1.1 函数的定义我们先来了解函数的定义。
在数学中，函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
简而言之，函数是一种规则，它将自变量的取值映射到因变量的取值上。
1.2 函数的符号表示函数通常用字母表示，常见的表示方法有f(x)、g(x)等。
其中，f代表函数的名称，x代表自变量，而f(x)则表示函数f对自变量x的取值。
1.3 定义域和值域接下来我们来介绍函数的定义域和值域。
定义域是指函数所有自变量的取值范围，它决定了函数的有效输入。
值域是指函数所有因变量的取值范围，它是函数的有效输出。
1.4 三种基本函数初中数学中常见的函数有三种：线性函数、二次函数和反比例函数。
二、线性函数2.1 线性函数的定义线性函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条直线。
线性函数的一般形式可以表示为：y = kx + b，其中k和b为常数，k表示直线的斜率，b表示直线的截距。
2.2 线性函数的图像特点线性函数的图像具有以下特点：- 斜率k决定了直线的倾斜程度，k越大直线越陡峭，k越小直线越平缓。
- 截距b决定了直线与y轴的交点位置，当b为正数时，直线在y 轴上方交点；当b为负数时，直线在y轴下方交点。
三、二次函数3.1 二次函数的定义二次函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条抛物线。
二次函数的一般形式可以表示为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
3.2 二次函数的图像特点二次函数的图像具有以下特点：- 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
- 抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)表示函数在顶点的取值。
四、反比例函数4.1 反比例函数的定义反比例函数是一种特殊的函数，它的函数图像是一条曲线。
反比例函数的一般形式可以表示为：y = k/x，其中k为常数。
4.2 反比例函数的图像特点反比例函数的图像具有以下特点：- 曲线与坐标轴不相交，称为渐近线。
初升高自主招生——函数(含答案)
初升高自主招生研讨——函数（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】1、函数初步（正比例、反比例、一次、概念等）（1）函数概念、应用题等（2）正比例函数、一次函数、反比例函数等（3）一次函数、直线（高中解析几何）2、二次函数（1）思想：数形结合、分类讨论（2）基础问题（求方程、增减性、定点、图像平移、判别式、韦达定理等）（3）三个“二次”（函数、方程与不等式的关系）（4）二次函数的值域问题（定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间等）（5）一元二次方程根的分布定理（8常3特）3、函数综合题（二次函数背景下的几何问题，例面积问题、将军饮马等）4、绝对值问题与高斯函数（1）绝对值函数（分类讨论、数轴分析、中位数定理等）（2）图像翻折（内翻、外翻）（3）高斯函数（不等式、分类讨论结合）5、解析几何问题（坐标系定义、对称问题等）【题型一】函数初步（正比例、反比例、一次、概念等）1、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示， 那么水瓶的形状是（ ）【参考答案】B2、已知函数()223143m m y m m x-+=-+是反比例函数，则实数m =（ ）1A m =、 =2B m 、 12C m =、或 =2D m 、 【参考答案】D3、如果()3,4是反比例函数y =221m m x+-图像上的一点，那么此函数必定经过点( )A 、()2,6B 、 ()2,6-C 、 ()4,3-D 、()3,4-【参考答案】A4、直线1=-y x 与反比例函数xky =的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第 象限。
【参考答案】四5、如图,A B 是双曲线(0)ky k x=>上的点，,A B 两点横坐标分别是,2a a ，线段,A B 的延长线 交x 轴于点C ，若6AOC S =V ，则K= 。
【参考答案】46、已知函数()c f x b x a =+-（c ≠0）的对称中心为(),a b ，试回答：42()3x f x x +=-的对称中心 为___________。
高三数学寒假自招讲义
一、 函数、方程与不等式一、函数与方程例1. 已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，那么()()f f x x =是否有实数根？并证明你的结论？练习：已知函数2()0f x x px q =++=且(())0f f x =仅有一实根.求证：0,0p q ≥≥.例2. 设()()()4321324f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ,（1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，恒有()00f x ≠.练习：432()(58)69f x axx a x x a =++-+-.证明：对任意实数a ,存在0x ，（1）总有()00f x =；（2）总有()00f x ≠.例3. 若方程320xax bx c +++=的三个根恰为,,a b c ，且,,a b c 为不全为零的有理数，求实数,,a b c 的值.练习：设,(,),0a b b ∈-∞+∞≠，,,αβγ是三次方程30xax b ++=的三个根，则总以111111,,αββγγα+++为根的三次方程是（ ） A ．232220a x abx b x a ++-= B. 232220b x abx a x b ++-=C.232220a x ab x bx a ++-= D. 232220b x a bx ax b ++-=例4. 设θ是三次多项式()3310f x x x =-+的一个根，且222θθα+-=.若()h x 是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=，则()0h = .例5. 设9k≥，解方程32229270x kx k x k ++++=.例6. 求方程2x x =+++（n 重根）的解.27101x +-=的实根的个数.约)例7. 记函数2()1,1,22!!nn x x f x x n n =+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅证明：当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根nθ，且2n n θθ+＞.例8. 已知12,,,a a a∈R ，满足120a a a +++=，且122334201312222a a a a a a a a-=-=-==- .求证：1220130a a a ====.例9. 1为两根的有理系数多项式的次数最小为 . 练习：试求出一个整数系数多项式()110n n n n f x a x a x a--=+++，使得()0f x =二、不等式例10. 实数()()1,2,3,1,2,3i i a i b i ==满足123123a a a b b b ++=++，122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++，()()123123min ,,min ,,a a a b b b ≤，求证：{}{}123123max,,max ,,a a a b b b ≤.例11.下列不等式中正确的是（ ）A ．1201617k =<< B ．12011819k =<< C ．1202021k =<< D. 12012223k =<< 练习：求证：313n+++<. 例12. 已知：0,0ab >>，求证：1112a b a ba nb +++<+++.练习：有小于1的正数12,,,n x x x ，且121n x x x +++=.求证：33311221114n nx x x x x x +++>---. 例13. 若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：111100027a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.练习：已知0,0a b >>，且1a b+=，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.例14. （1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥.(2),,a b c 为正实数，求证：3a b cx y z++≥，其中,,x y z 为 ,,a b c 的一种排列. 例15. 设0,0,0a b c ≥≥≥，且3a b c ++≤.证明：22231111112111a b c a b c a b c++≤≤++++++++. 例16. 设12,,,n x x x 都是正数，求证：222211212231n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++.例17.求()12120111f x x x x =-+-++-的最小值.例18.设函数()1x m f x x +=+，且存在函数1()(,0)2s φt at b t a ==+>≠， 满足2121()t s f t s-+=. （1） 证明：存在函数(s)(0)t φcs d s ==+>，满足2121().s t f s t+-= （2） 设13x =，()1,1,2,n n x f x n +==，证明：1123n n x --≤. 例19. 111()ln ,1,()x n n e f x a a f a x+-===.（1） 求证：10xx e x e -+≥恒成立；（2）试求()f x 的单调区间；（3） 求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立.例20. 已知()(1)1xf x x e =--； （1）求证：当0x >时()0f x <；（2）数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=，求证：数列{}n x 递减且12n nx >二、简单数论与组合杂题一、 整除与同余 例1. 证明：1109|n n a a a a -的充分必要条件是 09|ni i a =∑（其中011,,,,n n a a a a -是十进制数码，110n n a a a a -表示1n +位数码组成8例2. 设m 为非负整数，证明()22157|78m m +++.例3. 是否存在10个正奇数的倒数之和等于1？例4. 证明：任意100个整数中，必有两个整数之差能被99整除. 例5. 求正整数区间[,]()m n m n <中，不能被3整除的数之和. 例6. 求公差是8，由三个质数组成的数列. 例7. 10003在十进制中最后4位是多少？例8.2004818(736)+的个位数是多少？例9. 2005！末尾有连续多少个零？ 例10. 证明：当x 为任何整数时，9753694x x x x -+-可被8640整除.二、不定方程例11. 3个自然数倒数和为1，求所有解. 例12. （1）求三直线160,,02x y y x y +===所围成三角形上的整点个数； （2）求方程组2,1,260y x y x x y <⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩ 的整数解的个数.例13. 证明：方程22317xy -=没有整数解.练习： 证明：当a 为任意整数时，方程223x y a -=有整数解.例14．设,,a b c 为除1以外没有公因数的三个整数，并且111a b c+=. 求证：(),(),()a b a c b c +--都是完全平方数.例15. 在正整数范围内求方程组的解：33323,2().a b c abc a b c ⎧--=⎨=+⎩ 例16． 求出方程!(1)!!n n m +=的全部整数解. 例17. 证明：1的任何正整数次幂均可写成的形式，其中s 为正整数. 例如))2311==三、组合数学例18．用有限多条抛物线以及它们的内部能否覆盖整个平面?（一条抛物线将平面分成两部分区域，其中包含焦点的区域乘坐抛物线的内部.例19. 100个集装箱内有200件货物（每箱两件），运抵某一货场堆放. 但在堆放过程中货物的顺序被完全打乱了，现在希望将货物重新装入集装箱运走，由于货物只有一条传送带，而且作业空间有限，因此采取如下方案：（200件货物已经被排列成某种顺序）每次从传送带上取下一件货物，如果能装进当前的集装箱则装箱；否则将当前的集装箱密封，并使用一个新的集装箱. 已经放过的货物不能再从集装箱取出，密封的集装箱不能再被打开. 在最坏的情况下，一共需要多少个集装箱？证明你的结论.例20．有333人考试，一共做对了1000道题，做对不多于3道为不及格，做对不少于6道为优秀，不是所有人答对的题的数量奇偶性都相同，问不及格的多还是优秀的多？例21．一场跑马比赛最多只能有8匹马参加，假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。
函数的概念课件
函数的概念课件在数学中，函数是一个核心的概念。
它描述了变量之间的依赖关系，用函数的观点去看待问题，是数学学习中一个极为重要的思想方法。
因此，大家要认真理解函数的概念，掌握函数的基本性质，为后续学习做好准备。
函数是数学中的一种关系，它把一个数集中的元素与另一个数集中的元素对应起来，其中对应的规则称为对应关系。
我们可以用解析式、图象、表格等多种形式来表示函数。
例如，如果y是x的函数，那么可以用y=x^2表示一个二次函数。
（1）函数的单调性：在区间(a,b)上，如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递减。
（2）函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
（3）函数的值域：函数值的取值范围称为函数的值域。
（2）定义域为[0,∞)，值域为[1,∞)解：（1）在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,∞)上单调递增。
本节课我们学习了函数的概念和基本性质，掌握了函数的表示方法，了解了函数的单调性、奇偶性和值域等概念。
希望大家能够认真领会函数的思想方法，为后续学习做好准备。
函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
通过本课件的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，能够判断一个映射是否为函数，并能够根据函数的定义和性质解决一些基本问题。
函数的定义：我们将介绍函数的定义，包括自变量、因变量和对应关系。
通过举例和反例，帮助学生理解函数的定义。
2024年函数的概念课件(公开课)
函数的概念课件(公开课)一、引言在数学领域中，函数是一个基本且重要的概念，它描述了两个量之间的依赖关系。
函数的概念起源于17世纪，经过几百年的发展，已经成为数学、自然科学和工程技术等领域不可或缺的工具。
本课件旨在阐述函数的基本概念、性质和应用，帮助大家深入理解函数的本质，为后续学习打下坚实基础。
二、函数的定义与表示1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中唯一的元素。
用数学符号表示为：f:X→Y，其中X表示定义域，Y表示值域。
函数通常用f(x)表示，x为自变量，f(x)为因变量。
2.函数的表示方法（1）解析法：直接给出函数的解析式，如f(x)=x²。
（2）表格法：列出定义域中部分元素的值和对应的函数值，如：x-f(x)-1-12-43-9（3）图象法：绘制函数的图象，展示函数的变化趋势。
三、函数的性质1.基本性质（1）单调性：函数在定义域内的某个区间上，随着自变量的增加（或减少），函数值单调增加（或减少）。
（2）奇偶性：若对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；若对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。
（3）周期性：若存在非零常数T，使得对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T为函数的周期。
2.极值与最值（1）极值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得在x₀的某邻域内，f(x₀)为最大值或最小值，则称f(x₀)为函数的极大值或极小值。
（2）最值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得对于任意的x，都有f(x₀)≥f(x)（或f(x₀)≤f(x)），则称f(x₀)为函数的最大值（或最小值）。
四、函数的应用1.数学分析函数是数学分析的基础，微积分中的导数、积分等概念都是建立在函数的基础上。
通过对函数的求导、积分等运算，可以研究函数的性质、解决实际问题。
2.应用数学函数在物理学、生物学、经济学等领域的模型建立中具有重要意义。
大学自主招生数学冲刺专题辅导资料2
大学自主招生数学冲刺专题辅导资料2目录第一讲集合概念及集合上的运算2第二讲映射及映射法7第三讲函数的概念和性质13第四讲常见的初等函数、二次函数18 第五讲不等式的证明24第六讲不等式的应用、参数取值范围问题31第七讲三角恒等式和三角不等式39第八讲复数45第九讲数列与递进52第十讲二项式定理与多项式59第一讲 集合概念及集合上的运算知识、方法、技能高中一年级数学（上）（试验本）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.赛题精讲Ⅰ．集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例1：求点集}lg lg )9131lg(|),{(33y x y x y x +=++中元素的个数. 【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之. 【略解】由所设知,9131,0,033xy y x y x =++>>及 由平均值不等式，有,)91()31()(3913133333xy y x y x =⋅⋅≥++ 当且仅当333331,91,9131====y x y x 即（虚根舍去）时，等号成立. 故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之.例2：已知.}.,22|{},,34|{22B A x x x y y B x x x y y A ⋂∈+--==∈+-==求R R【思路分析】先进一步确定集合A 、B.【略解】,11)2(2≥--=x y 又.33)1(2≤++-=x y∴A=}.31|{},3|{},1|{≤≤-=⋂≤=-≥y y B A y y B y y 故【评述】此题应避免如下错误解法：联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=.22,3422x x y x x y 消去.0122,2=+-x x y 因方程无实根，故φ=⋂B A . 这里的错因是将A 、B 的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.例3：已知集合|}.|||1|||),{(},0,|||||),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+= 若B A ⋂是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为 . 【思路分析】可作图，以数形结合法来解之.【略解】点集A 是顶点为（a ，0），（0，a ），（－a ，0），（0，－a ）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）.将||||1||y x xy +=+，变形为,0)1|)(|1|(|=--y x所以，集合B 是由四条直线1,1±=±=y x 构成.欲使B A ⋂为正八边形的顶点所构成，只有212<<>a a 或这两种情况.（1）当2>a 时，由于正八形的边长只能为2，显然有,2222=-a故 22+=a .（2）当21<<a 时，设正八形边长为l ，则,222,2245cos -=-=︒l l l 这时，.221=+=l a 综上所述，a 的值为,222或+如图Ⅰ－1－1－1中).0,22(),0,2(+B A 【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.Ⅱ．集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例4：设集合},|613{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A 则在下列关系中，成立的是（ ）图Ⅰ－1－1－1A ．D CB A ≠≠≠⊂⊂⊂ B ．φφ=⋂=⋂DC B A , C ．D C C B A ≠⊂⋃=, D ．φ=⋂=⋃D C B B A , 【思路分析】应注意数的特征，即.,612613,21221Z ∈+=++=+n n n n n 【解法1】∵},|613{},|21{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+=∈=∈=n n D n n C n n B n n A ∴D C C B A ≠⊂⋃=,.故应选C. 【解法2】如果把A 、B 、C 、D 与角的集合相对应，令}.|63{},|2{},|{},|2{Z Z Z Z ∈+=∈+='∈='∈='n n D n n C n n B n n A ππππππ 结论仍然不变，显然A ′为终边在坐标轴上的角的集合，B ′为终边在x 轴上的角的集 合，C ′为终边在y 轴上的角的集合，D ′为终边在y 轴上及在直线x y 33±=上的角的集合，故应选（C ）.【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.例5：设有集合B A B A x x B x x x A ⋃⋂<==-=和求和},2|||{}2][|{2（其中[x ]表示不超过实数x 之值的最大整数）.【思路分析】应首先确定集合A 与B.从而 .2,.21A x ∈≤≤-显然 ∴}.22|{≤<-=⋃x x B A若 },2,1,0,1{][,2][,2--∈+=⋂∈x x x B A x 则从而得出 ).1]([1)1]([3-=-===x x x x 或 于是 }3,1{-=⋂B A【评述】此题中集合B 中元素x 满足“|x |<3”时，会出现什么样的结果，读者试解之.例6：设})],([|{},),(|{),,()(2R R R ∈==∈==∈++=x x f f x x B x x f x x A c b c bx x x f 且， 如果A 为只含一个元素的集合，则A=B.【思路分析】应从A 为只含一个元素的集合入手，即从方程0)(=-x x f 有重根来解之.【略解】设0)(},|{=-∈=x x f A 则方程R αα有重根α，于是,)()(2α-=-x x x f )],([..)()(2x f f x x x x f =+-=从而α即 ,)()]()[(222x x x x x +-+-+-=ααα整理得,0]1)1[()(22=++--ααx x 因α,x 均为实数.,01)1(2αα=≠++-x x 故 即.}{A B ==α【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之.例7：已知N N M a y x y x N x y y x M =⋂≤-+=≥=求}.1)(|),{(},|),{(222成立时，a 需满足的充要条件.【思路分析】由.,M N N N M ⊆=⋂可知【略解】.M N N N M ⊆⇔=⋂由).1()12(1)(22222a y a y y x a y x -+-+-≤≤-+得于是，若0)1()12(22≤-+-+-a y a y ①必有.,2M N x y ⊆≥即而①成立的条件是 ,04)12()1(422max≤-----=a a y 即 ,0)12()1(422≤-+-a a 解得 .411≥a 【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系，将问题转化为不等式问题来求解. 例8：设A 、B 是坐标平面上的两个点集，}.|),{(222r y x y x C r ≤+=若对任何0≥r 都有B C A C r r ⋃⊆⋃，则必有B A ⊆.此命题是否正确？【思路分析】要想说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可.【略解】不正确.反例：取},1|),{(22≤+=y x y x A B 为A 去掉（0，0）后的集合.容易看出,B C A C r r ⋃⊆⋃但A 不包含在B 中.【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之.Ⅲ．有限集合中元素的个数有限集合元素的个数在课本P 23介绍了如下性质：一般地，对任意两个有限集合A 、B ，有 ).()()()(B A card B card A card B A card ⋂-+=⋃我们还可将之推广为：一般地，对任意n 个有限集合,,,,21n A A A 有)(1321n n A A A A A card ⋃⋃⋃⋃⋃-)]()([)]()()()([3121321A A card A A card A card A card A card A card n ⋂+⋂-++++= )]()]([)]()(1232111n n n n n n A A A card A A A card A A card A A card ⋂⋂++⋂⋂+⋂++⋂++--- ).()1(311n n A A A card ⋂⋂⋂⋅-+--应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题.【例9】某班期末对数学、物理、化学三科总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围（该班有5名学生没有任一科是优秀）.【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.【详解】设A={数学总评优秀的学生}，B={物理总评优秀的学生}，C={化学总评优秀的学生}. 则.8)(,7)(,9)(,20)(,19)(,21)(=⋂=⋂=⋂===A C card C B card B A card C card B card A card ∵)()()()()()()(A C card C B card B A card C card B card A card C B A card ⋂-⋂-⋂-++=⋃⋃ ),(C B A card ⋂⋂+ ∴.3689201921)()(=--++=⋂⋂-⋃⋃C B A card C B A card 这里，)(C B A card ⋃⋃是数、理、化中至少一门是优秀的人数，)(C B A card ⋂⋂是这三科全优的人数.可见，估计)(C B A card ⋃⋃的范围的问题与估计)(C B A card ⋂⋂的范围有关.注意到7)}(),(),(min{)(=⋂⋂⋂≤⋂⋂A C card C B card B A card C B A card ，可知 7)(0≤⋂⋂≤C B A card . 因而可得.43)(36≤⋃⋃≤C B A card 又∵.5)(),()()(=⋃⋃=⋃⋃+⋃⋃C B A card U card C B A card C B A card 其中 ∴.48)(41≤≤U card 这表明全班人数在41~48人之间. 仅数学优秀的人数是).(C B A card ⋃⋂ ∴)()()()()(B card C B A card C B card C B A card C B A card -⋃⋃=⋃-⋃⋃=⋃⋂ .32)()()(-⋃⋃=⋂+-C B A card C B card C card 可见,11)(4≤⋃⋂≤C B A card 同理可知 ,10)(3≤⋃⋂≤C A B card.12)(5≤⋃⋂≤A B C card 故仅数学单科优秀的学生在4~11之间，仅物理单科优秀的学生数在3~10之间，仅化学单科优秀的学生在5~12人之间.第二讲 映射及映射法知识、方法、技能1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f →（1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的.（2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.（3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可.（4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个.2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射.3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1.显然有（f —1）—1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f —1的逆映射是f .事实上，f —1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f —1是1－1的.任给b a f A a =∈)(,设，则a b f=-)(1.这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此，f —1是映射上的.这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f —1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f —1下的原象，即f —1(b)=a ，所以，f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1的逆映射是f .赛题精讲Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题.例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a ff f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值.【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之.【略解】由f 的定义和已知数据，得 ⎩⎨⎧∈=-=-).,,,(66,39M y x v u xv uy xy uv 将两式相加，相减并分别分解因式，得.27))((,105))((=+-=-+x u v y x u v y显然，},110|{,,,,0,0Z ∈≤≤∈≥-≥-x x x v u y x v y x u 在的条件下，,110≤-≤v u ,21)(,15)(,105|)(,2210,221]11105[21=+=++≤+≤≤+≤+v y v y v y v y v y 可见但即 对应可知.5)(,7)(21=-=-x u x u同理，由.9)(,3)(223,221]1127[,11021=+=+≤+≤≤+≤+≤-≤x u x u x u x u v y 又有知 对应地，.3)(,9)(21=-=-v y v y 于是有以下两种可能：（Ⅰ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+;3,9,7,15v y x u x u x y （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-=+.3,9,5,21v y x u x u v y 由（Ⅰ）解出x =1，y=9，u =8，v =6；由（Ⅱ）解出y=12，它已超出集合M 中元素的范围.因此，（Ⅱ）无解.【评述】在解此类问题时，估计x u v y x u v y +--+,,,的可能值是关键，其中，对它们的取值范围的讨论十分重要.例2：已知集合}.0|),{(}333|),{(><<=x y y x x y y x A 和集合求一个A 与B 的一一对应f ，并写出其逆映射.图Ⅰ－1－2－1【略解】从已知集合A ，B 看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合（如图Ⅰ－1－2－1）.集合A 为直线x y x y 333==和所夹角内点的集合，集合B 则是第一、三象限内点的集合.所要求的对应实际上可使A 区域拓展成B 区域，并要没有“折叠”与“漏洞”.先用极坐标表示集合A 和B ：},36,,0|)sin ,cos {(πθπρρθρθρ<<∈≠=R A }.20,,0|)sin ,cos {(πϕρρϕρϕρ<<∈≠=R B令).6(3),sin ,cos ()sin ,cos (πθϕϕρϕρθρθρ-=→f 在这个映射下，极径ρ没有改变，辐角之间是一次函数23πθϕ-=，因而ϕθ和之间是一一对应，其中),3,6(ππθ∈ ).2,0(πϕ∈所以，映射f 是A 与B 的一一对应. 逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色.应注意理解掌握.Ⅱ映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题.例3：设X={1，2，…，100}，对X 的任一非空子集M ，M 中的最大数与最小数的和称为M 的特征，记为).(M m 求X 的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设.}|101{,:,X A a a A A A f X A ≠≠⊂∈-=''→⊂令 于是A A f '→:是X 的非空子集的全体（子集组成的集），Y 到X 自身的满射，记X 的非空子集为A 1，A 2，…，A n （其中n=2100－1），则特征的平均数为.))()((21)(111∑∑=='+=ni i i n i i A m A m n A m n 由于A 中的最大数与A ′中的最小数的和为101，A 中最小数与A ′中的最大数的和也为101，故,202)()(='i i A m A m 从而特征平均数为 .10120221=⋅⋅n n如果A ，B 都是有限集合，它们的元素个数分别记为).(),(B card A card 对于映射B A f →:来说，如果f 是单射，则有)()(B card A card ≤；如果f 是满射，则有)()(B card A card ≥；如果f 是双射，则有)()(B card A card =.这在计算集合A 的元素的个数时，有着重要的应用.即当)(A card 比较难求时，我们就找另一个集合B ，建立一一对应B A f →:，把B 的个数数清，就有)()(B card A card =.这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.例4：把△ABC 的各边n 等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边形的个数.【略解】如图Ⅰ－1－2－2所示，我们由对称性，先考虑边不行于BC 的小平行四边形.把AB 边和AC 边各延长一等分，分别到B ′，C ′，连接 B ′C ′.将A ′B ′的n 条平行线分别延长，与B ′C ′相交，连同B ′，C ′共有n+2个分点，从B ′至C ′依次记为1，2，…，n+2.图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B ′C ′于i ，j ，k ，l .记A={边不平行于BC 的小平行四边形}，}.21|),,,{(+≤<<<≤=n l k j i l k j i B把小平行四边形的四条边延长且交C B ''边于四点的过程定义为一个映射：B A f →:. 下面我们证明f 是A 与B 的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不相同，那么交于C B ''的四点亦不全同.所以，四点组),,,(l k j i 亦不相同，从而f 是A 到B 的1－1的映射.任给一个四点组21),,,,(+≤<<<≤n l k j i l k j i ，过i ，j 点作AB 的平行线，过k ，l 作AC 的平行线，必交出一个边不平行于BC 的小平行四边形，所以，映射f 是A 到B 的满射. 总之f 是A 与B 的一一对应，于是有.)()(42+==n C B card A card加上边不平行于AB 和AC 的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是.342+n C例5：在一个6×6的棋盘上，已经摆好了一些1×2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图Ⅰ－1－2－3所示的摆法就说明不能再放入骨牌.所以，有14个空格这一条件是完全必要的.我们要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌，只要能证明必有两个相邻的空格就够了.如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5×6个方格中的空.如果棋盘第一行（即最上方的一行）中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3个，则有11314)(=-≥X card ，另一方面全部的骨牌数为11，即.11)(=Y card 所以必有),()(Y card X card =事实上这是一个一一映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌.【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见.当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1，2，3，…}，论证是否存一个函数N N f →:使得2)1(=f ，n n f n f f +=)())((对一切N ∈n 成立，)1()(+<n f n f 格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.（1）如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决. （2）如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.（i ）骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；（ii ）骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖； （iii ）骨牌是竖放的.现在假设仅发生（2）中的（ii ）和（iii ）时，我们记X 为下面5×6个方格中的空格集合，Y 为上面5×6个方格中的骨牌集合，作映射Y X →:ϕ，由于每个空格（X 中的）上方都有骨牌（Y 中的），且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有)()(Y card X card ≤，对一切N ∈n 成立.【解法1】存在，首先有一条链. 1→2→3→5→8→13→21→… ① 链上每一个数n 的后继是)(n f ，f 满足n n f n f f +=)())(( ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f 链. 对于①中的数m>n ，由①递增易知有n m n f m f -≥-)()( ③我们证明自然数集N 可以分析为若干条f 链，并且对任意自然数m>n ，③成立（从而)()1(n f n f >+），并且每两条链无公共元素）.方法是用归纳法构造链（参见单壿著《数学竞赛研究教程》江苏教育出版社）设已有若干条f 链，满足③，而k+1是第一个不在已有链中出现的数，定义1)()1(+=+k f k f ④这链中其余的数由②逐一确定.对于m>n ，如果m 、n 同属于新链，③显然成立，设m 、n 中恰有一个属于新链.若m 属于新链，在m=k+1时，,1)(1)()()(n m n k n f k f n f m f -=+-≥-+=-设对于m ，③成立，则n m f m n m n f m m f n f m f f -≥+-≥-+=-)()()()())(( [由②易知)(2m f m ≥]. 即对新链上一切m ，③成立.若n 属于新链，在n=k+1时，.11)()()()(n m k m k f m f n f m f -=--≥--=-设对于n ，③成立，在m>n 时，m 不为原有链的链首。
函数知识点单招和高考
函数知识点单招和高考函数是数学中非常重要的一个概念，无论是在数学课堂上学习还是在高考中考查，函数都扮演着重要的角色。
在单招和高考中，对函数相关知识的掌握是非常关键的，下面我们来讨论一下函数知识点的单招和高考技巧。
首先，我们来回顾一下函数的定义。
函数是一个将一个集合中的每个元素都唯一对应到另一个集合中的元素的规则。
在数学中，我们通常用 f(x) 表示函数，并用一个算式或者一个图形来表示这个规则。
函数的定义域是指所有可能作为自变量的取值，值域是指函数所能取得的所有函数值。
在单招和高考中，函数的定义及其性质是必考的内容。
特别是要注意定义域和值域的求解，既要注意计算定义域的范围，又要注意计算值域的范围。
通常，要求解一个函数的定义域，需要考虑函数的分式、根式、对数、指数等。
而对于值域的求解，需要利用函数的性质、变化趋势以及图像来判断。
其次，我们要关注函数的图像及其性质。
函数的图像是将函数的自变量和因变量的对应关系用图像表示出来。
通过图像，我们可以看到函数的增减性、极值、最大最小值、奇偶性等特征。
在单招和高考中，理解和熟练运用这些性质非常重要。
在理解函数的图像时，我们首先要熟练掌握一些基本函数的图像特征。
比如，对于线性函数，其图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜方向和斜率的大小；对于二次函数，其图像是一个平滑的弧线，开口方向由二次项的系数决定；对于指数函数，其图像是一个递增或递减的曲线，底数决定了曲线的开口方向和变化趋势等。
理解这些基本函数的图像特征，可以帮助我们更好地理解其他函数的图像及其性质。
此外，我们还需要熟练掌握一些函数图像的变换规律。
函数图像的变换包括平移、伸缩、倒置等。
这些变换对函数的图像的形状和位置有着明显的影响。
熟练掌握这些变换规律，可以帮助我们快速地理解和分析函数图像，从而在单招和高考中更好地解题。
最后，我们要注意函数与其他数学概念的联系及其在单招和高考中的应用。
函数与方程、不等式、导数等概念有着密切的联系。
自主招生专题讲座三角函数(学生版)
2016年自主招生专题讲座三角函数第一部分：考点清单一、高考部分1.三角函数概念、同角公式、诱导公式、图象和性质2.三角公式：和、差、倍、半、万能公式、3.正弦定理、余弦定理 、 二、自招部分1.★射影定理B c C b a cos cos +=2.★积化和差、★和差化积公式（你知道吗？）3.★反三角函数4. ★补充结论：（1）三倍角公式：=α3sin _____________ . =α3cos _____________ . （2）若20πα<<，则αααtan sin <<(你能证吗). （3）函数x x y sin =在),0(π上为减函数；函数x x y tan =在)2,0(π上为增函数.（4）面积公式：记ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆、内切圆半径分别为R,r ，半周长为2cb a p ++=. 21112sin sin sin (sin sin sin )2224ABC a b c abcS ah bh ch rp R A B C rR A B C R ∆=======++=))()((c p b p a p p --- (海伦公式)第二部分：高考题真题对接1．三角函数图象变换例1.【2015湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D.2．三角变换公式（注意升降次公式）例2.【2015湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22xf x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 3．三角恒等变换例3.（1）【2015重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C（2）【2015江苏，8】已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3（3）.【2015四川，理12】=+ 75sin 15sin . 【答案】62. 4.解三角形 例4.（1）【2015新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】（62-，6+2）（2）.【2015湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.【答案】6100（3）.【2015重庆，理13】在△ABC 中，B =120o ，AB =2，A 的角平分线AD =3,则AC =_______. 【答案】6例5.【2015新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． 例6.【2015安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π=== ,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.5、三角等式证明例7.【2015四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan;2sin A A A-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +===== 求tantan tan tan 2222A B C D+++的值. 【答案】（1）切化弦；（2.第三部分：自招真题讲解一、三角函数的求值与化简例1.（04同济）设θ是第二象限角，3sin 5θ=，则57sin(2)8πθ-=例2.（01复旦）1sec50cot10+=例3．（10清华）求444sin 10sin 50sin 70++的值. 答案：98变式：22sin 10cos 40sin10cos 40++ 答案：34例4.（11卓约2）2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则tan()tan()αβγαβγ++=-+( )A.11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.11n n +- 答案：DA例5.（13华约）已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51cos cos 31sin sin y x y x ，求)sin(),cos(y x y x -+ 。
函数的概念 课件
不是都能用具体的式子表示出来．
解析 ①③正确，②是错误的，对于不同的 x，y 的值可以相同，
这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而函数并
不是都能用具体的式子表示出来．
些要素？
答 定义域 A、对应关系 f 和值域{f(x)|x∈A}，共三个要素． 问题 2 在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？
问题 4 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的定义域及 值域是指什么？ 答 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
函数的概念
1．函数 (1)设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f ， 使对于集合 A 中的 任意一个数x ，在集合 B 中都有
唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f：A→B
为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y＝f(x)，x∈A .其中 x 叫做自变量 ，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 ，与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值 ，函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的 值域 ． (2)值域是集合 B 的 子集 ．
∴这个函数的定义域是{x|x≥－1 且 x≠2}．
小结 求函数定义域的原理：使函数表达式有意义的自变量的取 值范围．已知函数 y＝f(x)： (1)若 f(x)为整式，则定义域为 R； (2)若 f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合； (3)若 f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是根号内的式子不小于 零的实数的集合； (4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实 数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合实际意义的实数的集合．
2022年全国各地自招数学好题汇编之专题07 正比例函数(word版含答案)
专题07 正比例函数一．选择题（共12小题）1．（2021•巴南区自主招生）“二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、春分、立夏等，同时，它与白昼时长密切相关．如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长不足10小时的节气是（）A．惊蛰B．立夏C．大雪D．寒露2．（2021•黄州区校级自主招生）若函数，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（）A．374B．390C．765D．578 3．（2020•武昌区校级自主招生）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C 方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．24B．20C．12D．10 4．（2020•东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）A．12B．8C．10D．13 5．（2020•郎溪县校级自主招生）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为（4，3），则正方形ABCD的边（）A．6B．3C．4D．4 6．（2020•汉阳区校级自主招生）小雨利用几何画板探究函数y＝图象，在他输入一组a，b，c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（）A．a＞0，b＞0，c＝0B．a＜0，b＞0，c＝0C．a＞0，b＝0，c＝0D．a＜0，b＝0，c＞07．（2020•武昌区校级自主招生）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C 方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）A．20B．18C．10D．9 8．（2020•汉阳区校级自主招生）如图，在直角坐标系xoy中，已知A（0，1），B（，0），以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上．若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）A．B．C．D．9．（2020•江汉区校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设y＝PC2，运动时间为t秒，则能反映y与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．10．（2019•和平区校级自主招生）已知点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（2，﹣4）在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（）A．B．C．D．11．（2019•达州自主招生）函数y＝++（x+1）0中自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠﹣1C．x≥2且x≠3D．x≥2且x≠3，﹣112．（2019•金昌）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共6小题）13．（2021•宝山区校级自主招生）f（x）＝ax2+bx+c，f（21）＝2021，a，b，c∈Z，且|c|＜100，则c的值为．14．（2020•黑龙江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是．15．（2020•谷城县校级自主招生）函数y＝中，自变量x的取值范围为．16．（2019•达州自主招生）函数y＝+（2x﹣4030）0中x的取值范围是．17．（2019•顺庆区校级自主招生）a是一个正实数，记f（x）＝，其中[x]是不超过实数x的最大整数，如[2.1]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，若f（5）＝5，则a的取值范围是．18．（2018•涪城区校级自主招生）函数中，自变量x的取值范围是．三．解答题（共2小题）19．（2019•渝北区自主招生）如图1，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）x/cm00.51 1.52 2.53 3.5…y/cm2 4.0 3.8 4.0 3.8 2.0…（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，BE的长度为cm．20．（2015•鹿城区校级自主招生）在函数y＝中，求自变量x的取值范围．专题07 正比例函数参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【解答】解：由图可得，白昼时长不足10小时的节气是大雪、小寒、小雪、冬至，故选：C．2．【解答】解：令x2﹣100x+271＝0，解得：x1＝50﹣＜3，x2＝50+＞97，∴当x从3到97时，|x2﹣100x+271|＝﹣（x2﹣100x+271），则y＝0；当x＝1时，＝172；当x＝2时，＝75；当x＝98时，＝75；当x＝99时，＝172；当x＝100时，＝271；故所求和为172+75+75+172+271＝765．故选：C．3．【解答】解：由图2知：AB+BC＝10，设AB＝m，则BC＝10﹣m，如图所示，当点M在BC上时，则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝10﹣x，NC＝y，∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，tan∠MAB＝tan∠NMC，即，即，化简得：y＝﹣x2+x﹣10，当x＝﹣＝（10+m）时，y＝﹣10+＝，解得：m＝6，则AM＝6，BC＝4，故ABCD的面积＝24，故选：A．4．【解答】解：根据图2中的曲线可知：当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC＝BC＝13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，得CP＝12，所以根据勾股定理，得此时AP＝＝5．所以AB＝2AP＝10．故选：C．5．【解答】解：如图，点D是点B关于直线AC的对称点，连接DE交AC于点P，则此时y取得最小值，根据点的对称性，PB＝PD，则y＝PE+PB＝PD+PE＝DE为最小，故ED＝3，设正方形的边长为x，则AE＝x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE2＝AD2+AE2，即x2+（x）2＝（3）2，解得：x＝6（负值已舍去），故选：A．6．【解答】设虚线为x＝m（显然，m＞0），易知两条由图中可知，当x＜m时，y＞0，|x﹣c|＞0，所以＞0，当x＞m时，y＜0，|x﹣c|＞0，所以＜0，可得（x﹣b）在m的左右两侧时，符号是不同的，即b＝m＞0；当x＜b时，x﹣b＜0，而y＞0，所以a＜0显然另外一条分割线为x＝0＝c，故选：B．7．【解答】解：由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，如图所示，当点M在BC上时，则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝9﹣x，NC＝y，∵MN⊥AM，∴∠MAB+∠BMA＝90°，∠BMA+∠NMC＝90°，∴∠MAB＝∠NMC，∴tan∠MAB＝tan∠NMC，即，即，化简得：y＝﹣x2+x﹣9，当x＝﹣＝时，则y＝﹣9+＝，解得：m＝（舍去）或5，则AM＝5，BC＝4，故ABCD的面积＝20，故选：A．8．【解答】解：∵A（0，1），B（，0），∴OA＝1，OB＝，∴AB＝＝＝2，∵tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∴菱形ABCD的高为2×＝，∵菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，∴菱形沿y轴方向滑落的速度为1，沿x轴方向滑落的速度，①点A在x轴上方时，落在x轴下方部分是三角形，面积S＝•t•t＝t2，②点A在x轴下方，点C在x轴上方时，落在x轴下方部分是梯形，面积S＝[t+（t﹣1）•1]×＝t﹣，③点C在x轴下方时，x轴下方部分为菱形的面积减去x轴上方部分的三角形的面积，S＝2×﹣（3﹣t）•（6﹣2t）＝2﹣（3﹣t）2，纵观各选项，只有A选项图形符合．故选：A．9．【解答】解：①连接PC，作PD⊥BC于D，∵∠ACB＝90°，∴△BPD∽△BAC，∴，∵AP＝t，AB＝5cm，BC＝3cm，∴BP＝5﹣t，AC＝4cm，∴，解得：PD＝4﹣，BD＝3﹣，∴DC＝，∵y＝PC2＝PD2+DC2＝（4﹣）2+（）2＝t2﹣+16（t＜5），②当5≤t≤8时，PC2＝（8﹣t）2＝t2﹣16t+64．故选：A．10．【解答】解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），∴A与B关于y轴对称，故A，C错误；∵B（1，﹣1），C（2，﹣4），当x＞0时，y随x的增大而减小，而A（﹣1，﹣1）在直线y＝x上，C（2，﹣4）不在直线y＝x上，所以图象不会是直线，故B错误；故D正确．故选：D．11．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0且x﹣3≠0，x+1≠0，解得x≥2且x≠3，x≠﹣1，所以x≥2且x≠3．故选：C．12．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB＝3，BC＝4．故选：B．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：∵f（x）＝ax2+6x+c，f（21）＝2021，∴212a+21b+c＝2021，∴212a+21b+c﹣5＝2016，∵21|2016，∴21|（c﹣5），∵|c|＜100，∴﹣100＜c＜100，∴﹣105＜c﹣5＜95，∴c﹣5＝0，c﹣5＝21，c﹣5＝42，c﹣5＝63，c﹣5＝84，c﹣5＝﹣21，c﹣5＝﹣42，c﹣5＝﹣63，c﹣5＝﹣84，得：c＝5，26，47，68，89，﹣16，﹣37，﹣58，﹣79，故答案为：5，26，47，68，89，﹣16，﹣37，﹣58，﹣79．14．【解答】解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．15．【解答】解：根据题意得到：|x|﹣1＞0，解得|x|＞1，即x＞1或x＜﹣1，故答案为x＞1或x＜﹣1．16．【解答】解：根据题意得：x2﹣3x﹣4≥0，x﹣5＞0且2x﹣4030≠0，解得：x≥4或x≤﹣1，x＞5且x≠2015，∴x＞5且x≠2015．故答案为：x＞5且x≠2015．17．【解答】解：∵f（5）＝5，∴5≤＜6，∴5≤[]＜7，∴5≤＜7，∴25≤a＜35；故答案为25≤a＜35．18．【解答】解：由题意得，2﹣x≥0，x﹣2≥0，x+1≠0，2﹣≠0，解得，x＝2，故答案为：x＝2．三．解答题（共2小题）19．【解答】解：（1）∵点E在AB上，∴0≤x＜4，故答案为：0≤x＜4；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE∽△BEF，∴，∵AE＝x，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x，∴，∴BF＝，当x＝0.5时，1.5时，3时，y＝3.7，3.9，3.3．故答案为：3.7，3.9，3.3；（3）描点，连线，画出如图所示的图象，（4）由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，BE＝4或2故答案为：4或2．20．【解答】解：根据题意得：，解得：﹣2≤x≤0或6≤x≤8．故自变量x的取值范围是﹣2≤x≤0或6≤x≤8．。
新高一数学暑假衔接课：第七讲 函数的概念与定义域
第七讲 函数的概念与定义域（一）知识整合：1.函数的定义设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2.函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．3.函数的三要素：定义域、对应关系和值域．4.函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．5.检验图形是否为函数图像的方法要判断一个图形是否是函数图象，首先要看图形对应的x轴部分上的任意一个x 是否都有唯一的y 与之对应.若是，则该图形是函数的图象；若至少有一个x 值，存在两个或两个以上的y 与之对应，则此图形一定不是函数的图象.或者过图形上任一点，作x 轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象.除上述之外，还要关注函数的定义域、值域与图象中所示的定义域（图形正对着x 轴上的所有实数）、值域（图形正对y 轴上的所有实数）是否一致.6. 函数的定义域函数的定义域是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围.求函数定义域的一般法则：（1）若)(x f 为整式，则其定义域为实数集R ；（2）若)(x f 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数的集合；（3）若)(x f 为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；（4）若)(x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集；（5）0)(x x f =的定义域是}0|{≠x x ；（6）由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束.7.抽象函数的定义域【拓展】（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围；（2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围；（3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.8.判断两个函数是否为相同函数：函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．（二）典型例题例1.下列式子能否确定y 是x 的函数？（1）422=+y x ； （2）111=-+-y x ； （3）x x y -+-=12解：（1）不是。
初中数学函数家教讲义
初中数学函数家教讲义第一章：引言函数是数学中的重要概念，它在数学和其他学科中都有广泛的应用。
本讲义将介绍初中数学中与函数相关的基本概念、性质和解题方法，旨在帮助学生理解、掌握函数的基本知识，提高数学学习的效果。
第二章：函数与映射1. 函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它将一个元素从一个集合映射到另一个集合，且每个元素在映射中都有唯一的对应元素。
函数用符号表示为：y = f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
2. 定义域和值域函数的定义域是自变量所有可能取值的集合，值域是因变量所有可能取值的集合。
我们用集合表示函数的定义域和值域，例如：定义域D = {x ∈ R}，值域R。
3. 映射图与函数图像映射图是表示函数的一种方法，它将自变量和因变量通过箭头连接起来，可以清晰地展示函数的映射关系。
函数图像是函数在坐标系中的几何表达，常用于描述函数的性质和变化趋势。
第三章：常见函数及其性质1. 线性函数线性函数是最简单的函数形式，表示为y = kx + b，其中k和b分别是常数。
线性函数的特点是函数图像为一条直线，斜率k决定了直线的倾斜程度，截距b决定了直线与纵坐标轴的交点。
2. 幂函数幂函数是形如y = x^a的函数，其中a是常数。
幂函数的特点是当a>0时，函数图像逐渐增长；当a<0时，函数图像逐渐减小；当a=0时，函数图像为常数。
3. 开平方函数开平方函数是形如y = √x的函数，表示x的平方根。
开平方函数的定义域为非负实数集合[0, +∞)，值域为非负实数集合[0, +∞)。
4. 绝对值函数绝对值函数是形如y = |x|的函数，表示x的绝对值。
绝对值函数的定义域为全体实数集合R，值域为非负实数集合[0, +∞)。
第四章：函数的解题方法1. 函数的图像与实际问题函数的图像能够反映函数的性质和变化趋势，我们可以利用函数的图像解决实际问题，如求最大值、最小值、零点等。
2. 函数的运算法则函数的运算法则包括函数的加减、乘除、复合等运算，它们可以帮助我们对复杂函数进行简化和分析。
第七讲 函数的性质自主招生
第七讲 函数的性质【说明】函数是自主招生的一个非常重要内容！1.就近几年考试情况来看，复旦和交大（“华约”）自主招生中有关函数的内容大约占20%—30%。
2.其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。
而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
【知识引入】 设函数)(x f y =的定义域为D1.单调性：（1）传统定义：在区间[]a b ，上，若12a x x b ≤≤＜，如果12()()f x f x ＜，则()f x 在区间[]a b ，递增；如果12()()f x f x ＞，则()f x 在区间[]a b ，递减；（2）导数定义：在区间[]a b ，上，如果'()0f x ＞，则()f x 在区间[]a b ，递增；如果 '()0f x ＜，则()f x 在区间[]a b ，递减；注意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔--⇔--上为减函数在＜②、上为增函数在＞①、D x f x x x f x f D x f x x x f x f )(0)()()(0)()(212121213.复合函数的单调性：（1）增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 （2）对于取值恒为非负数的函数增函数×增函数=增函数 减函数×减函数=减函数 增函数÷减函数=增函数 减函数÷增函数=减函数 （3）若()f x 、()g x 都是增（减）函数，则(())f g x 为增函数；若()f x 、()g x 一个增函数，一个减函数，则(())f g x 为减函数。
简称“同增异减” 3.奇偶性：（1）若函数)(x f y =满足()()f x f x -=-（x D ∈），则()f x 叫做奇函数，其图象关于原点对称；（2）若函数)(x f y =满足()()f x f x -=（x D ∈），则()f x 叫做偶函数，其图象关于y 轴对称； 4.周期性：在函数()f x 的定义域上恒有()()f x T f x +=（0T ≠的常数），则()f x 叫做周期函数，T 为周期；T 的最小正值叫做()f x 的最小正周期，简称周期 【知识拓展】函数的性质在自主招生考试中占有相当的比例，函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。