2017年中考数学复习指导例说辅助圆的作用

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中考数学复习指导例说辅助圆的作用(2021学年)

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例说辅助圆的作用有些问题乍看与圆没有什么联系,解答时添加辅助圆却能使问题方便获解．一、辅助圆的切线与过切点的半径构成直角例1 (2０14年河南）已知在正方形ABCD中，CD =，若点P 满足1PD =，且90BPD ∠=︒，求点A 到BP 的距离。

解ＰD=１，90BPD ∠=︒,BP ∴是以点D 为圆心以1为半径的⊙D 的切线,点P 为切点， BP PD ∴⊥，2BD =,Rt BPD 中,BP ==作AM BP ⊥于M ,则AM 即为点A 到BP 的距离。

第一种情况:如图1,当BP 与正方形的边AD 的交点为N 时。

设AN x =，BN y =,则DN x =，PN y =.Rt ANBRt PND , AN BN AB PN DN PD∴==。

1==,解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 在Rt ABN 中, 2312AB AN x AM BN y -===，第二种情况：如图2,当BP 与正方形的边CD 的交点为N 时.设BN x =,CN y =,则PN x =,DN y =,Rt BCNRt DPN ， BN CN BC DN PN PD∴==.1==，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 容易得到Rt ABMRt BNC AM AB BC BN ∴=,x =。

AM ∴=二、已知角看作辅助圆直径所对的圆内角例 2 (201４年广州)已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -,(4,0)B ,抛物线 22y ax bx =+-(0)a ≠过点A ，B ,顶点为C ,点(,)P m n (0)n <为抛线上一点，当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围。

辅助圆来帮忙.

辅助圆来帮忙张圣官圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。

对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。

例1. 求直线的方程，使点A（1，1），B（5，3）到的距离都等于1。

解：如图1，分别以A、B为圆心，作半径为1的辅助圆，于是原问题就转化为求两圆的外公切线与内公切线方程。

因为，所以可设外公切线方程为即由A（1，1）到切线的距离为1，得：所以因为AB的中点为（3，2），所以可设内公切线方程为即由A（1，1）到切线的距离为1，得所以或故所求直线的方程为或或例2. 如图2，在平面直角坐标系中，给定y轴正半轴上两点A（0，a），B（0，b）（），试在x轴正半轴上求一点C，使∠ACB取得最大值。

解：设C是x轴正半轴上一点，在△ABC中，由正弦定理，有其中R是△ABC的外接圆的半径。

可见，当R取得最小值时，∠ACB取得最大值。

在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C是圆与x轴的切点时，半径最小。

故切点C即为所求。

由切割线定理，得：所以即点C的坐标为时，∠ACB取得最大值。

例3. 已知，求证：证明：设，则所以，点是直线与圆的公共点。

由直线和圆有公共点的充要条件，得：解得：即例4. 实数x，y满足，设，则的值是____________。

分析：把变形为，利用圆的参数方程求解。

解：设根据题意可得：即因此即例5. 设双曲线的两支分别为（如图3），正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上。

若在上，Q、R在上，求顶点Q、R的坐标。

图3分析：正三角形PQR中，有则以为圆心，为半径的圆与双曲线交于R、Q两点。

根据两曲线方程可求出交点Q、R坐标。

解：设以P为圆心，为半径的圆的方程为由得：（其中，可令进行换元解之）设Q、R两点的坐标分别为则即同理可得：且因为△PQR是正三角形，则即得代入方程即由方程组，得：或所以，所求Q、R的坐标分别为。

初中数学解题中辅助圆的应用探析

初中数学解题中辅助圆的应用探析【摘要】初中数学解题中辅助圆的应用探析是指在初中数学学习中，如何运用辅助圆来更好地解决数学问题。

本文从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形和圆的性质证明中的应用等方面展开探讨。

通过分析辅助圆在简化数学解题中的作用，探讨了辅助圆的重要性和如何提高学生辅助圆运用的能力。

未来, 辅助圆在数学学习中仍有广阔的发展空间，对学生提出更高要求。

深入研究和探索辅助圆的应用，对于提升学生数学解题能力和数学学习的深度和广度都具有积极的意义。

【关键词】初中数学、解题、辅助圆、探析、作用、几何问题、三角形、圆的性质证明、简化、重要性、学生能力、未来发展。

1. 引言1.1 初中数学解题中辅助圆的应用探析在初中数学学习中，辅助圆是一个非常重要的概念。

它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题，特别是在几何学和圆的性质证明中起着至关重要的作用。

本文将从辅助圆在解决初中数学问题中的作用、如何帮助解决几何问题、在三角形中的应用、在圆的性质证明中的应用以及如何简化数学解题等方面进行探讨。

在数学解题中，辅助圆可以起到辅助的作用，通过构造辅助圆来简化问题。

特别是在解决几何问题中，我们经常会使用辅助圆来构造辅助线，辅助角度等，从而推导出问题的解答。

在三角形中，辅助圆可以帮助我们证明三角形的各种性质，如中线、高线等。

在圆的性质证明中，辅助圆也扮演着非常重要的角色，通过构造切线、相交角、相等弧等，来证明圆的各种性质。

通过掌握辅助圆的使用方法，我们可以更快更准确地解决数学问题，提高解题效率。

初中数学解题中辅助圆的应用至关重要，对学生的数学能力以及理解能力都有很大的提升作用。

希望学生们能够认识到辅助圆的重要性，多加练习，提高自己的辅助圆运用能力，为今后的数学学习打下良好的基础。

展望未来，辅助圆在数学学习中的应用必将更加广泛，我们应该不断探索其更多的应用领域，拓展我们的数学思维。

2. 正文2.1 辅助圆在解决初中数学问题中的作用在初中数学解题中，辅助圆是一个非常重要的工具，它可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。

最值系列之辅助圆

最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小．当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【2017四川德阳】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O 的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________．【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________．【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．连接CM，与圆的交点即为所求的A’，此时A’C的值最小．构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A’M即可．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__________．【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．过F点作FH⊥AB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小．由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH．如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’．当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值．【分析】考虑l是经过点P的直线，且△ABC沿直线l折叠，所以B’轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧．考虑△ACB’面积最大，因为AC是定值，只需B’到AC距离最大即可．过P作作PH⊥AC 交AC于H点，与圆的交点即为所求B’点，先求HB’，再求面积．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ 沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________．【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D’，连接PD’，PF+PD化为PF+PD’．连接ED’，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED‘,再减去EF 即可．二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角．构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．图形释义：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆．【例题】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为_________．【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE=CF，易证AE⊥BF，即在运动过程中，∠APB=90°，故P点轨迹是以AB为直径的圆．连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是________．【分析】根据条件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易证AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求．【2016安徽中考】如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值是_________．【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧．当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可．【寻找定边】如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4．D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为．【分析】E是动点，E点由点C向AD作垂线得来，∠AEC=90°，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧．当B、E、M共线时，BE取到最小值．连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可．【寻找定边与直角】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________．【分析】连接CE，由于CD为直径，故∠CED=90°，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角∠CEB．取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧．连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，=-==．AE AM EM22（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为．【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所对的BE边是不确定的．重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点．∠BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆．记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再减去GM即可．【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为________．【分析】∠AFB=90°且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆．考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C’，化PC+PF为PC’+PF，当C’、P、F、O共线时，取到最小值．【辅助圆+相切】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是_________．【分析】∠AEC=90°且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧．考虑EF⊥AB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值．连接OF，易证△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．三、定边对定角在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则A点轨迹是一个圆．当然，∠P度数也是特殊角，比如30°、45°、60°、120°，下分别作对应的轨迹圆．若∠P=30°，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心．若∠P=45°，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心．若∠P=60°，以AB为底，同侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．若∠P=120°，以AB为底，异侧为边构造顶角为120°的等腰三角形AOB，O即为圆心．【例题】如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________．【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所对的边AF是变化的．所以考虑∠APB=120°，其对边AB是定值．所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧．（构造OA=OB且∠AOB=120°）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再减去OP即可．【2017山东威海】如图，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为_________．【分析】由∠PAB=∠ACP，可得∠APC=120°，后同上例题．【2019南京中考】在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，则BC的长的取值范围是________．【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，∠C=60°，即定边对定角．故点C的轨迹是以点O 为圆心的圆弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）题意要求∠A>∠B，即BC>AC，故点C的轨迹如下图．当BC为直径时，BC取到最大值，考虑∠A为△ABC中最大角，故BC为最长边，BC>AB=4．无最小值．【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，∠ACB的角平分线交圆O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C 从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_______．【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为∠MON，半径为OM（或ON）．再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分∠ABC，可得：∠AEB=135°．考虑到∠AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到∠ADB=90°，所以D点即为圆心，DA为半径．E点轨迹所对的圆心角为∠MDN，是∠MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号2．。

辅助圆在证题中的作用

ＺｖＡＤ／／ＢＣ．Ａ
即ＡＤ・１＿ＢＦ＂Ｄ
册．ＡＡＰＤ △脚．＝，
（２）
由（１）＋（２），得
ＡＤ・ＢＥ＋ＡＢ・ＢＧ＝ＢＦ・ＤＰ＋ＢＰ・ＢＦ＝ＢＦ（ＤＰ＋Ｂｐ）＝ＢＦ・ＢＤ，
把四边形问题转化为三角形，是处理四边形问题的一种常用策略，通过转化，集中条件，往往能形成特殊三角形，从而使问题得以解决．本文举例说明几种常见的转化方法，供参考．
一
、
分割转化
例１如图１，在四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝Ｃ＝９０。，
．
证明：连结ＤＩ、砒、ＤＭ、ＤＮ，并设 △ＡＣＤ、 △ＣＢＤ内切圆的半径分别为ｒ１、．
・
．
・
ＡＣＢ＝９０￣。ＣＤ【ＡＢ。Ｒｔ △Ａ一Ｒｔ △Ｃ肋，
。
．
．
ＡＣｒｌ、／２ｒ１
ＢＣｒ２ｒ
—
一
／
又‘ ． ’ ＣＤ与剧黾ｏ的两条相交弦，
‘
图２
．
由相交弦定理，得ＢＤ・Ｂｃ＝Ｅ・ＢＥ
ＡＢ・ＢＣ＝６４Ｅ — Ａ）ｎＡＢ）：Ｃ－ＡＢ）Ｃ＋ＡＢ）；Ａ－ＡＢ‘
・
．．
即ＡＣ＝ＡＢ＋Ａ・ＢＣ．
Ｏ—一
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浅谈辅助圆的作用

作者：黄全福
作者机构：怀宁江镇中学
出版物刊名：中学数学教学
页码： 17-18页
主题词：直线形;相交弦定理;辅助线;统编教材;角平分线;等腰梯形;切割线定理;锐角三角形;
大弦;中第
摘要：<正> 解几何题,最棘手的莫过于添辅助线了。

常用的添辅助线方法,有连结、延长、平移、或旋转,这些都是对直线形而言的。

至于利用辅助圆解几何题,较为少见。

由于圆的许多定理涉及到直线形,所以论证某些直线形习题时,借助辅助圆,往往能化难为易。

本文就几种不同类型的几何题,谈谈辅助圆在解题时的作用。

一、借助辅助圆,利用相交弦定理例1 设AD是△ABC的一条内角平分线。

试证明:AD~2=AB·AC-BD·DC。

这是统编教材几何第二册总复习题中第23题的第(2)小题。

考虑到初中学生的接受能力,教材中的题目有意把△ABC的外接。

中考必会几何模型：辅助圆

第十二章辅助圆模型1 共端点，等线段模型图①O AC B图②BOC A图③OABC如图①，出现“共端点，等线段”时，可利用圆定义构造辅助圆．如图②，若OA ＝OB ＝OC ，则A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．如图③，常见结论有：∠ACB ＝12∠AOB ，∠BAC ＝12∠BOC .模型分析∵OA ＝OB ＝OC .∴A 、B 、C 三点到点O 的距离相等．∴A 、B 、C 三点在以O 为圆心，OA 为半径的圆上．∵∠ACB 是AB 的圆周角，∠AOB 是AB 的圆心角， ∴∠ACB ＝12∠AOB .同理可证∠BAC ＝12∠BOC .（1）若有共端点的三条线段，可考虑构造辅助圆．（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题．模型实例如图，△ABC 和△ACD 都是等腰三角形，AB ＝AC ，AC ＝AD ，连接BD ．求证：∠1＋∠2＝90°.21BCDA证明证法一：如图①，∵AB ＝AC ＝AD ．∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙A 上． ∴∠ABC ＝∠2. 在△BAC 中，∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°. 证法二：如图②，∵AB ＝AC ＝AD ．∴∠BAC ＝2∠1．∵AB ＝AC ， ∴B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的⊙O 上．延长BA 与圆A 相交于E ，连接CE ．∴∠E ＝∠1．（同弧所对的圆周角相等．） ∵AE ＝AC ，∴∠E ＝∠ACE .∵BE 为⊙A 的直径，∴∠BCE ＝90°． ∴∠2＋∠ACE ＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.图①21CDAB小猿热搜1．如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，在△ABC 的外侧作直线AP ，点B 与点 D 关于AP 轴对称，连接BD 、CD ，CD 与AP 交于点E ．求证：∠1＝∠2．12PBACE DA D21PE CB证明∵A 、D 关于AP 轴对称，∴AP 是BD 的垂直平分线． ∴AD ＝AB ，ED ＝EB ．又∵AB ＝AC .∴C 、B 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．∵ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∴∠2＝2∠EDB .又∵∠1＝2∠CDB . ∴∠1＝∠2.2．己知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a ＞b ，求BD 的长．A CBDBCEDA解答以A 为圆心，以a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ． ∵AB ∥CD ，∴∠CAB ＝∠DCA ，∠DAE ＝∠CDA . ∵AC ＝AD ， ∴∠DCA ＝∠CDA . ∴∠DAE ＝∠CAB .在△CAB 和△DAE 中．AD ACDAE CABAE AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAB≌△DAE.∴ED＝BC＝b∵BE是直径，∴∠EDB＝90°.在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，∴BD＝22BE ED-＝()222a b-＝224a b-．模型2 直角三角形共斜边模型模型分析如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC=OD=OA=OB，∴A、B、C、D四点共圆．（１）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；（２）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．模型实例例1 如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂线，问：（１）图中有多少组四点共圆？（２）求证：∠ADF＝∠ADE．解答（１）６组①C、D、H、E四点共圆，圆心在CH的中点处；②D、B、F、H四点共圆，圆心在BH的中点处；③A、E、H、F四点共圆，圆心在AH的中点处；④C、B、F、E四点共圆，圆心在BC的中点处；⑤B、A、E、D四点共圆，圆心在AB的中点处；⑥C、D、F、A四点共圆，圆心在AC的中点处．（２）如图，由B、D、H、F四点共圆，得∠ADF=∠1.同理：由A、B、D、E四点共圆，得∠ADE=∠１.∴∠ADF＝∠ADE．例2 如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE.解答如图，连接DB 、DF .∵四边形ABCD 是正方形，且BF 是∠CBA 的外角平分线， ∴∠CBF =45°，∠DBC =45°， ∴∠DBF =90°．又∵∠DEF =90°，∴D 、E 、B 、F 四点共圆． ∴∠DFE =∠DBE =45°（同弧所对的圆周角相等）． ∴△DEF 是等腰直角三角形． ∴FE =DE ．1.如图，锐角△ABC 中，BC.CE 是高线，DG ⊥CE 于G ，EF ⊥BD 于F ，求证：FG BCFGEDB证明：由于Rt △BCE 与Rt △BCD 共斜边BC ， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆． ∴∠DBC=∠DEG ，同理，Rt ∠EDF 与Rt △DGE 共斜边DE ， ∴D 、E 、F 、G 四点共圆．于是∠DEG=∠DFG ，因此，∠DBC=∠DFG ．于是FG ∥BC2. 如图， BE.CF 为△ABC 的高，且交于点H,连接AH 并延长交于BC 于点D,求证：AD ⊥BC.HEFB3.如图，等边△PQR内接于正方形ABCD,其中点P,Q,R分别在边AD,AB,DC上，M是QR的中点.求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点.B CRQA D4.如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB,TE⊥AC.求证：∠AHD=∠AHE.AEHDBC补充：为大家整理的资料供大家学习参考，希望对大家能有帮助，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。

中考总复习专题六辅助圆

（3）四边形中，对角互补；（4）正多边形；（5）有最大角.
例题解析
300 1.如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=60o,则∠BDC=_______.
思路点拨：
A
600
本题用一般的方法较难解决，注意到已知条件AB=AC=AD ，可以点A为圆心，AB长为半 D 径作圆，则点C、D都在此圆上，从而运用圆周角定理求解 .
练习
B
Q
20 ②当 CQ 12时，圆O与直线AB 3 有两个交点，当点 P运动到这两个交
M(P)
20 3
12
O
点时，CP Q为直角三角形 .
C
5
A
20 ③当0 CQ 时，圆O与直线AB 3 相离，点P在圆O外，CPQ小于90， CPQ不可能为直角三角形 .
20 综上所述，当 CQ 12时, CPQ 可能为直角三角形 . 3
可以点E为圆心，AO长为直径作圆，如果圆E与直线x=b有交
O
C x=b
x
点，则存在四边形DEFB为矩
形.反之，则不存在.
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？若能，求出t的值；若不能，说明理由.
解：能。以点E为圆心，AO长为直
y
径作圆，则半径为EO=4.
F B (b,t) D
(2)S=2b
O
C x=b
x
例题解析
(3)设直线x=b与x轴交于点C，问四边形DEFB能不能是矩形？若能，求出t的值；若不能，说明理由. 思路点拨：
y
因为四边形DEFB是平行四边形，所以四边形DEFB要成为
F B (b,t) D
(0,8) A

例谈中考试题中的辅助圆_孙卫荣

图2
（ 2 ）如图 3 ，在 ABC 中， ∠ ABC = 60 ʎ ， BC = 12 ， AD 是 BC 边上的高， E、 F 分别为边 AB 、 AC 的中点．当 AD = 6 时， BC 边上存在一点 Q，使 ∠EQF = 90 ʎ ，求此时 BQ 的长．
· 32·
1 c = ． 2 1 16 y = － t2 + 5 t + ． 2 25
即抛物线的解析式为
所以当 t =
219 125 y 最大 = ．时， 32 28
（ 2 ）把 x = 28 代入 x = 10 t ，得 t = 2. 8 ．所以当 t = 2. 8 时， y =－ 1 16 = 2 ． 25 ˑ 2． 82 + 5 ˑ 2． 8 + 2 25
第1 期
B 两点，点，直线 OP 与 ⊙ O 相交于 A、则 PA 的 PB 的长为点 P 到圆上所有点中的最短距离，长为点 P 到圆上所有点中的最长距离．
% P B O A
初中数学教与学
顺时针旋转，得正方形 OE'D'F' ，记旋转角为 α．（ 1 ）如图 7 ， BF' 的当 α = 90 ʎ 时，求 AE'题中的辅助圆
孙卫荣
（江苏省江阴初级中学， 214431 ）
从圆中基本的知识点出发，构造辅助圆来解决问题，成为中考数学命题中的一个亮点．它应用的知识点相对比较简单，但将它放置在运动的背景下，就显得对能力的要求比较高，需要我们深层理解基础知识，才能较好地解决问题．现采撷部分中考试题进行分析，以期抛砖引玉．一、借助辅助圆构造特殊角这类试题的主要特点是在平面中构造特殊角．利用在圆中，同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半，先由特殊角得到圆心角的度数，然后依据一些定点构造出辅助圆解决问题．【基本知识点】在圆中，同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半．例1 （ 2014 淄博）如图 1 ，点 A 与点 B 的

“圆”来如此——辅助圆在解题中的作用(二)原创 2017-04-22 陈铁成道听图说玩数学

“圆”来如此——辅助圆在解题中的作用（二）原创 2017-04-22 陈铁成道听图说玩数学上期专题我们主要探究了辅助圆在旋转问题中的应用，本期我们将再次开启辅助圆之旅.看看辅助圆还能在哪些问题中出现二、定弦定张角中的辅助圆1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=4cm，点P是三角形内部一点，且∠PAC=∠PCB.连接PB，则线段PB的最小值为cm.分析：根据题中条件易证∠APC=90°，所以点P在AC为直径的圆上运动.如下图所示（因为点在三角形内部，所以只能在图中的实线圆弧上运动）：根据两点之间线段最短可得，BP+OP≥OB，所以PB≥OB-OP.而OB=5，OP=3，所以PB≥2.即线段PB的最小值是2.三、折叠问题中的辅助圆2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．分析：由轴对称的性质可知，对应线段相等.所以FP=FC.因为点F是定点，点P随着点的运动而运动，所以点P在以点F为圆心，FC的长为半径的圆上运动.如下图：由图可知，在点P运动的过程中，FP+PG≥FG≥FH（当点F、P、H三点共线时，取等号），所以PG≥FH－FP.根据△AFH∽△BAC，可求得FH=8/5，所以PG≥8/5-1=3/5.即点P到AB的最小距离是3/5.3、如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，点E为DC上一个动点，把△ADE 沿AE折叠，当点D的对点F落在矩形的对角线上，DE的长为．分析：本题中确定点F的位置是解决问题的关键.由折叠可知，AD=AF.又因为点A是定点，点F随着点E的运动而运动，所以点F始终在以A为圆心，AD的长为半径的圆上.又因为点F落在矩形的对角线上，所以对角线和圆的交点即为点F.如下图所示：点E的位置在哪里呢？由折叠可知∠DAE=∠EAF，所以∠DAF的角平分线与CD边的交点即为点E的位置.图1中，利用折叠的性质及勾股定理，易求得DE=3/2；下面重点讲解如何求出图2中DE的长.方法一、因为点D和点F关于AE对称，根据轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分可知DF⊥AE，即AE⊥DB.所以∠ADB+∠DAE=∠ADB+∠DBA =90°.所以∠DAE=∠DBA，tan∠DAE=tan∠DBA,即DE：DA=AD：AB，所以DE：3=3：4，得DE=9/4方法二、由轴对称的性质可知，AE⊥BD，可证△DAE∽△ABD.根据相似三角形对应变成比例得AD：AB=DE：AD，可求得DE=9/4.方法三、因为DE包含在Rt△ADE中，AD的长度已知，要求出DE的长度只需知道AE的长度即可.再根据轴对称中对应点连线被对称轴垂直平分可知，BD⊥AE.由此我们联想到正方形中的垂直结构.如下图：点E、F分别是正方形一组对边上两点，而点G、H是该正方形另外一组对边上两点，且EF⊥GH，可以证明EF=GH（请同学们自行证明）.那么在矩形中，具有这样位置关系的两条线段又会有怎样的数量关系呢？如图：通过添加右图中的辅助线（图中虚线，即将EF平移至经过点A，GH平移至经过点B），利用三角形相似，易证EF：GH=AD：AB.再回到题中，易知AE：DB=AD：AB，即AE：5=3：4，所以AE=15/4，根据勾股定理可得，DE=9/4.（本题中的辅助线，也可以分别经过点G、E向对边作垂线.）反思：四、等腰三角形分类讨论问题中的辅助圆4、如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点F处，若△BCF为等腰三角形，则DE的长为 .分析：根据轴对称的性质（折叠的实质就是轴对称）：对应线段相等可知，在点E运动的过程中，始终有AD=AF.又因为点A是定点，所以点F在以点A为圆心，AD长为半径的圆上（确切地说是在矩形ABCD内部的圆弧上），那么如何确定点F的具体位置呢？让我们来看一下题中的另一个条件：△BCF是等腰三角题中只是给出了△BCF是等腰三角形，但是并没有明确哪条边是腰.所以要对其进行分类讨论.（1）BC=BF当BC=BF时，因为点B是定点，点F是动点，可知点F在以点B为圆心，BC 的长为半径的圆上.所以两圆的交点即为点F的位置.如下图.由图可得，交点有两个，但根据题意点F位于矩形内部，所以另一个交点应舍去.解：如图过点F作GH⊥AB分别交AB、CD于点G、H.由折叠可知AD=AF，又因为BC=BF，AD=BC.∴FA=FB，又∵FG⊥AB.∴AG=1/2AB=7/2.在Rt△FAG中，FG=√AF^2-AG^2=√15/2∴FH=GH-FG=4-15/2根据一线三直角，易得△AFG∽△FEH∴AF：FE=AG：FH解得FE=（32-4√15）/7.（2）CB=CF当CB=CF时，因为点C是定点，点F是动点，所以点F在以点C为圆心，CB 的长为半径的圆上.所以两圆的交点即为点F的位置.解：如图：由题可知AF=AD=4，CF=CB=4，AC=√7^2+4^2=√65.所以AC>AF+CF，这与三角形任意两边之和大于第三边相矛盾所以这样的点F不存在.（3）FC=FB当FC=FB时，且点B、C是定点，根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”可知，点F在线段BC的垂直平分线上.所以，线段BC的垂直平分线和圆的交点即为点F的位置.如下图：解：如图，当FC=FB时因为MN垂直平分BC，易知MN同时垂直平分AD.连接FD，由垂直平分线的性质可得FD=FA又因为FD=FA，所以FD=FA=AD所以△ADF是等边三角形.所以∠DAE=1/2∠DAF=30°在Rt△DAE中，DE=√3/3×AD=(4√3)/3.反思：在本题中，已经知道△BCF是等腰三角形，但由于没有明确谁是底边，谁是腰，所以要对其进行分类讨论.解决这种问题的一般步骤是：（1）分类；分类是要注意书写顺序，把等腰三角形中顶角顶点的字母写在前面，例如本题中分类时分别写作CB=CF；BC=BF；FB=FC.（2）确定点的位置.已知等腰三角形的两个顶点，确定第三个顶点时，我们常用的方法是两圆一线（垂直平分线）；（3）求线段长度（或点的坐标）.小结：至此我们用两期专题分别讲解了辅助圆在旋转、折叠、定弦定张角以及等腰三角形分类讨论中的应用.准确画图往往是正确解题的关键，而辅助圆在很多问题中都有所体现，在平时的学习要注意总结.。

辅助圆的妙用

辅助圆的妙用在平面几何中，如果没有圆，就没有几何的丰富多彩。

圆在数学的许多方面都有着广泛的应用，其中一种常见的手段就是利用辅助圆来解题。

辅助圆是一种重要的解题工具，巧妙地使用它，就能让许多看似与圆无关的题目的条件与结论与圆建立起联系从而化繁为简。

之前就听老师说过：辅助圆的用法是很奇妙的，能让你“为之倾心”。

一次，在老师的一道题目的启发下，我们终于是领会到辅助圆的妙用，它让一道原来应该使用代数方法来解决的题目变得十分清晰，做法十分简单，从而引发了我们研究它的兴趣。

下面我们通过一些简单的例子给出辅助圆在代数、几何等方面的应用，看它如何使题目由难变易，从而迎刃而解。

辅助圆在几何方面的应用我们先来看一道实际问题：例1如图，()()0,2,0,8A B 为球门，若球员(),0C x 在直线y =0上运动，求射门的角度ACB ∠何时最大？我们不妨将问题一般化：在直线l 上找一点C ，使得C 与线段AB 的视角ACB ∠最大。

分析：一般同学看到这道题，会利用坐标求出两条直线的方程，最后利用夹角公式求解。

如下面这种解法：设C 的坐标为(),0m ，求得直线AC 的方程为220my x m +−=，2AC k m =−。

同理8BC k m =−。

所以26tan 116AC BC AC BC k k m k k m α−==−+。

进而讨论可求得当m =4时，ACB ∠最大。

这种方法虽然能够求出最后的答案，但是解题过程有些繁琐，尤其是算表达式时，有些麻烦。

下面我们利用辅助圆工具进行求解。

另解：构造一个过线段AB 的圆D ，与x 轴相切于点()4,0C ，下面证明ACB ∠是过AB 的圆中与x 轴相交的交点连线的最大的角。

否则，另取一点D ′，圆D ′与x 轴相交与C 、F ，而存在CF 内的一点M ，使得AMB∠ACB >∠，矛盾。

（实际上，也可由圆的参数方程推出矛盾）下面这道题，同样也可以运用辅助圆解题，使过程更加简便。

辅助圆在初中数学解题中的运用

辅助圆在初中数学解题中的运用摘要】在解答初中数学题目时，有部分与几何相关的题是很难用普通思路解决的，可以针对题目中的实际情况，根据圆的特点，以此来解决难以论证的几何题。

基于圆的特点来构建辅助圆，本文将浅析辅助圆在初中数学解题中的运用，以供相关人士参考与交流。

【关键词】构建辅助圆；初中数学；具体运用中图分类号：G633.67 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）08-184-01圆是初中数学学科中必学的内容，圆有着不同寻常的特点，能够促使学生有效解决几何问题，圆是一种独特的曲线图，它的特点在初中数学学科中是一项重要的知识点，初中生在解答数学题时，经常会碰到一些难以解答的问题，那些问题表面和圆没有多大关联，但只要利用圆的特点构建辅助圆就可以让困难的问题变得简单，让抽象的问题变得具体，也就是说，辅助圆是解决初中数学难题的媒介。

一、借助圆解答初中数学题（一）以圆的释义为基础建立辅助圆解答部分平面几何论证题，如果使用普通的方法解决困难性很大，而且需要很高的技巧、难以正确解出，如果能利用圆的定义结合实际题目，构建辅助圆，就能把问题简单化，在同一个圆及等圆中，如果所含圆周角和弧线相同，就能够使用辅助圆来解答许多难题[1]。

（二）使用圆周角来构建辅助圆在许多学者研究了圆以后，提出圆周角有许多特性，换句话说，这些特性就是课本中的“圆周角定律”：同一条弧或者半径一样弧长相等的弧对着的圆周角角度是其对应圆心角的二分之一；圆的直径对着的圆周角是一个直角，同理直角对应的弦就是圆的直径；假如一个圆中存在一个多边形，且这个多边形的顶点都在圆上，那么这是一个“圆内接多边形”。

以圆周角为基础构建辅助圆，以此来帮助初中生解决几何难题。

当初中生遇到难以解决的几何题时，可以打开思路，利用圆周角的特性结合题目来解答，这样就能减少做题时长。

二、借助圆内角和外角与圆周角的联系构建辅助圆圆上有顶点，该顶点的两侧有与圆交汇的点，这些点构成的角就是圆周角。

初三圆中常见的辅助线的用途是什么？

初三圆中常见的辅助线的用途是什么？
辅助线在初三圆中起到了多种重要的作用。

1. 判断位置：辅助线可以帮助我们准确地确定圆的中心位置。

通过连接圆上不同点与圆心的辅助线，我们可以找到准确的圆心位置，并据此绘制图形或计算圆的相关属性。

2. 测量长度：辅助线可以用来测量圆上的弧长或弧度。

通过将
辅助线沿着圆周延伸，我们可以得到弧长或弧度的值，从而进行进
一步计算和比较。

3. 作为参考线：辅助线可以作为绘制其他几何图形时的参考线。

例如，在初三圆中，我们可以使用辅助线来绘制直径、半径、切线
等其他图形，在绘制过程中能够更加精确地确定位置和尺寸。

4. 视觉辅助：辅助线可以帮助我们获得更直观的视觉效果。

在
初三圆中，我们可以使用辅助线来描绘圆的形状、方向和对称性，
使图形更加清晰易懂。

总的来说，初三圆中常见的辅助线具有判断位置、测量长度、作为参考线和提供视觉辅助等多种用途。

理解和应用这些辅助线将有助于我们更好地理解和利用圆的性质和特点。

例说物理解题中的辅助圆

例说物理解题中的辅助圆
在物理解题中，辅助圆是一个非常有用的工具，它可以帮助我们更好地理解问题，并找到解决方案。

一个辅助圆通常是一个与物理问题相关的圆形图形，它可以用来计算各种物理量。

例如，在动力学问题中，我们可以使用辅助圆来计算速度和加速度。

如果我们将一个圆形分成四个相等的部分，并在圆周上标记四个点，我们可以使用这些点来表示物体在不同时间点的速度和加速度。

在静力学问题中，辅助圆可以帮助我们计算受力分量和受力方向。

我们可以将一个圆形分成两个相等的部分，并在圆周上标记两个点，这些点可以表示力和力的分量。

在光学问题中，辅助圆可以用来计算反射和折射。

我们可以使用一个圆形来表示光线的路径和角度，从而计算出反射和折射的角度和方向。

在电学问题中，辅助圆可以帮助我们计算电场和电势。

我们可以使用一个圆形来表示电场和电势的分布，并根据圆形的形状和大小来计算电场和电势的数值。

总之，辅助圆是一个非常实用的工具，在物理解题中能够帮助我们更好地理解问题，并找到解决方案。

因此，在物理学习中，我们应该学会如何使用辅助圆，以便更加高效地解决物理问题。

- 1 -。

中考数学复习指导：利用辅助圆求解动点最值问题

利用辅助圆求解动点最值问题许多几何问题虽然与圆无关，但是如果能结合条件补作辅助圆，就能利用圆的有关性质、结论，将某些最值问题通过圆中的几何模型求解.笔者经过研究，归纳为以下情况可考虑作辅助圆:一、同一端点出发的等长线段例1 如图1，在直角梯形ABCD 中，90,3,4,6DAB ABC AD AB BC ∠=∠=°===，点E 是线段AB 上一动点，将EBC ?沿CE 翻折到EB C ′?，连结,B D B A ′′.当点E 在AB 上运动时，分别求,,B D B A B D B A ′′′′+的最小值.解析如图1，当点E 在点B 时，B ′与B 重合;当点E 在点A 时，设点B ′在点F 处，由翻折可知BC B C FC ′==.所以，点B ′在以C 为圆心，BC 为半径的圆上，运动轨迹为弧BF . 如图2，点D 在⊙C 内，延长CD 交⊙C 于点1B .当点B ′在点1B 时B D ′最小，最小值为11B C DC -=.点A 在⊙C 外，设AC 交⊙C 于点2B ，当点B ′在点2B 时B A ′最小，最小值为22136AC B C -=-.设AD 与⊙C 交点为3B ，当点B ′在点3B 时B D B A ′′+最小，最小值为3AD =.点评当条件中有同一端点出发的等长线段时，根据圆的定义，以该端点为圆心，等长为半径构造圆，将原问题转化为定点与圆上点的距离问题.模型1 如图3，点A 在⊙O 外，A 到⊙O 上各点连线段中AB 最短；如图4，点A 在⊙O 内，A 到⊙O 上各点连线段中AB 最短.证明在⊙O 上任取一点C ，不与点B 重合，连结,CA CO ，如图 3.,,OC CA OA OC OB CA AB +>=∴>∵,得证.如图4, ,,OC OA CA OC OB AB CA -<=∴<∵，得证.二、动点对定线段所张的角为定值模型2 如图 5 , AB 为定线段，点C 为AB 外一动点，ACB ∠为定值，则点C 形成的轨迹是弧ACB 、弧AmB (不含点,A B ). 证明设⊙O 为ABC ?的外接圆，在AB 上方任取三点，点,,D E F 分别在⊙O 外、⊙O 上、⊙O 内.,,D AGB C E C AFB H C ∠<∠=∠∠=∠∠>∠=∠∵,∴当ACB ∠为定值时，点C 形成的轨迹是弧ACB 、弧ADB (不含点,A B ).1.动点时定线段所张的角为直角例2 如图6，正方形ABCD 边长为2，点E 是正方形ABCD 内一动点，90AEB ∠=°，连结DE ，求DE 的最小值.解析90,AEB AB ∠=°∵为定线段，由模型2可知，点E 在以AB 为直径的圆上.连OD 交⊙O 于点F ，由模型1，当E 在点F 处时DE 最短，最小值是51-.点评当动点对定线段所张的角为直角时，根据直径所对圆周角为直角，以定线段为直径构造圆.2.动点时定线段所张的角为锐角例 3 如图7, 45XOY ∠=°，一把直角三角形尺ABC 的两个顶点,A B 分别在,OX OY 上移动，10AB =，求点O 到AB 距离的最大值.解析如图8,⊙D 为ABO ?的外接圆，由模型2知，点O 的运动轨迹是弧AOB (,A B 两点除外).过点D 作AB 的垂线，垂足为点E ,交弧AOB 于点F ，当点O 在点F 处时，O 到AB 的距离最大，即为FE 长.45,90XOY ADB ∠=°∴∠=°∵.10,52,5AB FD AD DB DE =∴====∵,525FE ∴=+.故O 到AB 距离的最大值为525+. 点评本题AB 是定长，XOY ∠为定值，利用模型2，找到点O 的运动轨迹是一段弧，这段弧所在的圆是一个定圆，于是原问题转化为圆上一点到弦的距离问题. 模型3 如图9,AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点(不与,A B 重合)，过点O 作DE AB ⊥，垂足为D ，交⊙O 于点(,E E D 在O 两侧).当点C 在点E 处时，点C 到AB 的距离最大，即为DE 长. 证明如图9，作CF AB ⊥垂足为点F ,CF CD OC OD ED <<+=，得证.3.动点对定线段所张的角为钝角例4 如图10，正三角形ABC ?边长为2，射线//AD BC ，点E 是射线AD 上一动点(不与点A 重合)，AEC ?外接圆交EB 于点F ，求AF 的最小值.解析如图10 ,60,120EFC EAC BFC ∠=∠=°∴∠=°∵.BC ∵为定长，∴点F 的运动轨迹是弧BC (不与,B C 重合).过点A 作AG BC ⊥垂足为G ，交弧BC 于点H ，当点F 在点H 时AF 最小，最小值为323333AG HG -=-=. 点评本题将动点E 转化到动点F ，且因为120BFC ∠=°,BC 为定长，由模型2可知，点F 的运动轨迹是弧，这段弧所在的圆是一个定圆.于是，AF 的最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最小值问题，由模型1即可求解. 三、动点对定线段所张的角的最值例5 如图11，四边形ABCD 中，均有//,,60,8,AD BC CD BC ABC AD ⊥∠=°=12BC =.在边AD 上，是否存在一点E ，使得cos BEC ∠的值最小?若存在，求出此时cos BEC ∠的值;若不存在，请说明理由.解析当BEC ∠为锐角时，cos BEC ∠随BEC ∠的增大而减小，求cos BEC ∠的值最小值，只要求BEC ∠最大值.于是，作BC 中垂线交,BC AD 于点,F G .设三点,,B C G 确定⊙O ，则⊙O 切AD 于点G .此时AD 上的点(除点G )都在⊙O 外，BEC BGC ∠<∠，所以当点E 在点G 处时BEC ∠最大.由题意，可知43,6GF BF ==.设⊙O 半径为r , 则2226(43)r r +-=，解得733,22r OF ==，1cos cos 7BGC BOF ∠=∠=,所以cos BEC ∠最小值为17. 点评求动点对定线段所张角的最大值时，以定线段为弦所作的圆与动点所在的直线相切，由同弧所对的圆周角大于圆外角知，动点运动至切点处时所张角最大.。

初中辅助圆专题最值问题

在初中数学中，辅助圆是一个常见的工具，用于解决与圆有关的问题。

在辅助圆专题中，最值问题是一个重要的部分，涉及到在特定条件下找到某个量的最大值或最小值。

解决这类问题的一般步骤包括：
理解题意：首先，需要清楚地理解题目的要求和条件，确定需要找到哪个量的最值。

构造辅助圆：根据题目的条件，构造合适的辅助圆。

这个辅助圆可能与题目中给出的圆有关，也可能是一个新的圆。

应用几何性质：利用圆的几何性质，如半径、直径、弧长、弦长等，以及点与圆、直线与圆的位置关系，进行分析和推理。

建立方程或不等式：根据题目条件和几何性质，建立方程或不等式。

这个方程或不等式通常与需要找到的最值有关。

求解方程或不等式：解方程或不等式，找到需要求的最值。

这可能涉及到代数运算、几何图形的分析等。

检验解：最后，需要检验解是否符合题目的条件和要求。

如果符合，那么这个解就是题目的答案。

需要注意的是，每个最值问题都有其独特的特点和解决方法。

因此，在解决这类问题时，需要灵活运用所学的数学知识，结合题目的具体条件进行分析和推理。

同时，也需要多做一些练习，提高自己的解题能力和思维水平。

中考数学复习指导：例谈构造辅助圆解几何题

例谈构造辅助圆解几何题在解几何题时，经常要添加辅助线，其中，有一种不寻常的辅助线——圆，值得我们研究，下面举例说明添加辅助圆在解几何题中的作用．一、通过辅助圆确定等腰三角形个数例1 如图1，在平面直角坐标系中，已知A点坐标是（2，－2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有_______个．解析在平面直角坐标系中，因为O、A两点固定不动，相当于已知等腰三角形一边OA，OA既可作底，又可作腰，因为等腰三角形中有两边相等，所以我们可以利用同圆中半径相等这一性质，通过构造圆来解决．此题应分三种情况考虑：①当OA为腰、∠A为等腰三角形顶角时，可以以点A为圆心、OA为半径的作圆，交y轴于P1点，则点P1就是所求；②当OA为腰、∠O为等腰三角形顶角时，可以以点D为圆心、OA为半径的作圆，交y轴于P2和P4点，则点P2和P4亦是所求；③当OA为底时，作OA的中垂线交y轴于P3点，则点P3亦是所求作的点．综上，符合条件的点P共有4个．二、通过辅助圆确定直角三角形个数例2 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有____个．解析如图2所示，在第一象限内，以AB为直角边时，存在C1、C2两点；以AB为斜边时，作以AB为直径的圆，交直线y＝5于C3、C4两点，由直径所对的圆周角是直角可知，C3、C4两点亦满足条件；由对称性可知，第四象限内存在C5、C6、C7、C8四个点．故满足条件的点C共有8个．说明在平面直角坐标系中确定等腰三角形和直角三角形个数时，均可通过作辅助圆来解决，这样在求满足条件的点时可以做到不重不漏，是一种较好的解题方法．三、通过辅助圆解决两个直角三角形共斜边问题例3 已知：如图3，△ABC中，点E、F分别是AB、AC上的点．DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥EF．求证：AD平分∠BAC．解析设AD 的中点为D ，连结OE ，OF ．∵OE ⊥AB ，DF ⊥AC ．∴OE ，OF 分别是Rt △ADE ，Rt △ADF 斜边上的中线，∴OE ＝12AD ，OF ＝12AD ，即点O 到A 、E 、D 、F 的距离相等，由此知，四点A 、E 、D 、F 在以点O 为圆心，12AD为半径的圆上，AD 是直径．于是EF 是⊙O 的弦，而EF ⊥AD ，∴AD 平分 EDF，即 DE DF ，故∠DAE ＝∠DAF ，即AD 平分∠BAC ．说明当两个直角三角形共斜边时，意味着存在四点共圆．通过构圆，利用垂径定理来解决平分角的问题．四、通过辅助圆解决共端点的等线段问题例4 如图4，已知四边形ABCD ，AB ∥CD ，且AB ＝AC ＝AD ＝a ，BC ＝b ，且2a >b ，求cos ∠DBA 的值．解析既然已知AB ＝AC ＝AD ，自然想到作以点A为圆心、AB 为半径的辅助圆，以点A 为圆心，a 为半径作圆，延长BA 交⊙A 于E 点，连接ED ．∵AB ∥CD ，∴∠CAB=∠DCA ，∠DAE=∠CDA ．∵AC=AD ，∴∠DCA=∠CDA ，∴∠DAE=∠CAB∴△CAB ≌△DAE ，∴ED ＝BC ＝b ．∵BE 是直径，∴∠EDB ＝90°．在Rt △EDB 中，ED ＝b ，BE ＝2a ，由勾股定理得ED 2＋BD 2＝BE 2．说明当题目中有多条线段共端点时，常作以公共端点为圆心，等长线段为半径作圆，则易沟通题设和结论的联系，使问题迅速获解．五、利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系求角的度数例5 已知：如图5，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （－2，0）、B(8，0)，与y 轴交于点C(0，－4)．直线y ＝x ＋m 与抛物线交于点D 、E （D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)当m ＝2时，求∠DCF 的大小；解析(1)y ＝213442x x --；； (2) 由(1)可得抛物线的对称轴为x ＝3．∵m ＝2．∴直线的解析式为y ＝x ＋2．∵直线y ＝x ＋2与抛物线交于点D 、E ，与抛物线的对称轴交于点F ，∴F 、D 两点的坐标分别为F(3，5)，D （－2，0）．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M ．可得CM ＝FM ＝MD ＝5．∴F 、D 、C 三点在以M 为圆心，半径为5的圆上，∴∠DCF ＝12∠DMF ＝45°．六、通过辅助圆求线段的取值范围例6 如图6，梯形ABCD 中，BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝18，BC ＝24，AB ＝m ，在线段BC 上任取一点P ，连结DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线AB 交于点E ．(1)当CP ＝6时，试确定点E 的位置；(2)若设CP ＝x ，PE ＝y ，写出y 关于x 的函数关系式；(3)在线段BC 上能否存在不同的两点P 1、P 2，使得按上述作法得到的点E 都分别与点A 重合，若能，试求出此时m 的取值范围；若不能，请说明理由．解析 (1)，(2)略；(3)能找到这样的P 点，当点E 与点A 重合时，∵∠APD ＝90°．∴点P 在以AD 为直径的圆上，设圆心为点Q ，则点Q 为AD 的中点．要使在线段BC 上能找到两个不同的点P 1与P 2满足条件，只要使线段BC 与OQ 相交，即圆心Q 到BC 的距离d 满足0<d<2AD ． ∵AD ∥BC ．∴d ＝m ．∴0<m<182＝9．。

辅助圆的妙用

在某些数学习题中，借助辅助圆解（证）题是比较生疏的一种解题方法，但同时又是一种行之有效的解题方法。

解（证）平面几何题，最棘手的莫过于添加辅助线。

常用添辅助线的方法，有连结、延长、平移或旋转，这些都是对直线而言的。

至于利用辅助圆解（证）平面几何题，虽远不如直线那么为人所熟知，但如果辅助圆添加合理，同样可以使分散的条件集中，隐蔽的条件明显；同样为沟通条件与结论之间的内在联系而起到事半功倍的作用；同样可以沟通数学知识之间的联系。

因此，在平时的学习中，将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面去认真分析、思考，即可发现，适当添加辅助圆，并利用圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解题问题的途径。

也就是说，辅助圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。

圆就是到定点的距离等于定长的点的集合。

已知条件给出共同端点的几条线段相等，由圆的定义，便可以以共同的端点为圆心，以等线段的长为半径，引出辅助圆，而后利用圆的有关性质解决问题。

例1已知：在⊿ABC 中，AB=AC,且∠A=120°,在BC 另一侧有一点P ，满足 ∠BPC=120°，求PA 的长例2：如图1，AB=AC=AD,如果∠DAC 是∠CAB 的K 倍（K 为实数）。

求：∠DBC 是∠BDC 的多少倍？例3，已知△ABC 中,∠B=2∠C.求证:AC BC AB AB ⋅+=22.例4 如图4，在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，∠C 平分线CE 与斜边的垂直平分线DE 交于E 。

求证：CD=DE 。

例5 如图6，在∆ABC 中，AB AC ==3，D 是BC 上的一点，且AD =1，求BD DC ·的值。

例6 如图7，在∆ABC 中，∠=∠B C 2。

求证：AC<2AB 。

绝杀中考压轴题：“辅助圆模型”

辅助圆模型1 . 共端点，等线段模型分析：（1）若有共端点的三条等线段，可思考构造辅助圆。

一般来说，构造辅助圆是为了利用圆的性质来解决角度问题。

例子：如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。

求证：∠1+∠2=90°。

证明：利用模型构造辅助圆，∵AB=AC，∴∠ABC=∠2，∵∠BAC=2∠1，∴2∠2+2∠1=180°，∴∠1+∠2=90°。

方法二：利用模型构造辅助圆，延长CA交圆于点E，联结BE，∵CA是直径,∴∠EBC=90°。

∴∠E+∠2=90°，∵∠1=∠E，∴∠1+∠2=90°针对训练：如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E。

求证：∠1=∠2。

提示：可知AD=AB=AC,构造辅助圆可知关键的相等关系，∠1=2∠BDC,∠BDC=∠EBD，∠2=2∠BDC，∠1=∠2。

模型2. 直角三角形共斜边模型分析：共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都有四点共圆，再根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的代替，是证明角相等的思路之一。

例子：如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，求证：∠ADF=∠ADE。

证明：利用模型，可知B、C、E、F四点共圆，∴∠FBE=∠FCE,B、D、H、F四点共圆，∴∠ADF=∠FBE,D、C、E、H四点共圆，∴∠ADE=∠FCE,∴∠ADF=∠ADE。

针对训练：如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。

求：∠AHD=∠AHE。

提示：利用模型可知，A、D、T、E四点共圆，且AT为直径，联结OH,∵AH⊥BC，∴△ATH是直角三角形。

∴OH=1/2AT（O是AT中点）,∴点H在圆上，∵AT是角平分线，TD⊥AB，TE⊥AC。

∴△ATD≌△ATE,∴AD=AE,∴∠AHD=∠AHE。

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