《最优化概述》PPT课件
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最优化理论与算法完整版课件 PPT
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量 是b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地
Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调 运这些物品才能使总运费最小？
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
2021/4/9
12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写
成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y
极小化目标函数
s.t. 40
50
2x + 4y 3x + 2y
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作x,者y参与0建.立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
最优化方法及其应用PPT课件
f ( X 0 ) f ( X1) f ( X k ) f ( X k 1)
一 最优化问题总论
如果是求一个约束的极小点，则每一次迭代的新点都应该在约束可 行域内，即 X k D，k 0，1，2，
下图为迭代过程
一 最优化问题总论
（二）收敛速度与计算终止准则
（1）收敛速度
作为一个算法A，能够收敛于问题的最优解当然
线（如图），不等式约束把坐标平面分成两部分当中的一部分 （如图）．
一 最优化问题总论
综上所述，当把约束条件中的每一个 等式所确定的曲线，以及每一个不等式所 确定的部分在坐标平面上画出之后，它 们相交的公共部分即为约束集合D．
一 最优化问题总论
例1.4 在坐标平面上画出约束集合
D {(x1，x2 )T | x12 x22 1，x1 0，x2 0}
，并利用已知条件得到
xyz 2(3a2 yz) 0，
xyz
2 (3a 2
zx)
0，
xyz
2 (3a 2
xy)
0．
一 最优化问题总论
比较以上三式可得
3a 2 yz 3a 2 zx 3a 2 xy 从而x=y=z=a，右侧面积固定的长方体的最大体积客 观存在，因此侧面积固定的长方体中以正方体体积最大．
第二种最优化问题表示形式为
min f ( X )，
X
一 最优化问题总论
如果是求一个约束的极小点，则每一次迭代的新点都应该在约束可 行域内，即 X k D，k 0，1，2，
下图为迭代过程
一 最优化问题总论
（二）收敛速度与计算终止准则
（1）收敛速度
作为一个算法A，能够收敛于问题的最优解当然
线（如图），不等式约束把坐标平面分成两部分当中的一部分 （如图）．
一 最优化问题总论
综上所述，当把约束条件中的每一个 等式所确定的曲线，以及每一个不等式所 确定的部分在坐标平面上画出之后，它 们相交的公共部分即为约束集合D．
一 最优化问题总论
例1.4 在坐标平面上画出约束集合
D {(x1，x2 )T | x12 x22 1，x1 0，x2 0}
，并利用已知条件得到
xyz 2(3a2 yz) 0，
xyz
2 (3a 2
zx)
0，
xyz
2 (3a 2
xy)
0．
一 最优化问题总论
比较以上三式可得
3a 2 yz 3a 2 zx 3a 2 xy 从而x=y=z=a，右侧面积固定的长方体的最大体积客 观存在，因此侧面积固定的长方体中以正方体体积最大．
第二种最优化问题表示形式为
min f ( X )，
X
最优化理论与方法概述
由微分学中值定理，存在1 (0, )使得 f (x* p) f (x*) pT g(x* 1 p)
成立。
由 于 g 在 x* 的 某 邻 域 内 连 续 ， 故 存 在 0 ， 使
0, ，有 pT g(x* p) 0。所以，对 (0, )有
f (x* p) f (x*)。 这与 x*是 f 的局部极小点矛盾。
第七页，编辑于星期五：十点 四分。
在可行集中找一点 x*，使目标函数 f x在 该点取最小值，即
满足：f x* min f x . s.t. g j x* 0. hi x 0的过程即为最
优化的求解过程。
x* 称为问题的最优点或最优解， f x称* 为最优值。
定义1：整体（全局）最优解：若x* D，对于一切 x D ，
（2）f X 1 X T X，则 f X X . 2 f X (I单位阵） 2
（3）f X 1 X TQX，Q对称， 则 f X QX , 2 f X Q. 2
（4）若 t f X 0 tp，其中f： Rn R1. : R1 则R：1.
t f X0 tpT p t pT 2 f X 0 tp p.
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
解：因为
则 又因为：
f X
x1
2
x1
最优化方法全部PPT课件
③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
易知本题的极小值点 x* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质： ①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
②等值面不会在区域的内部中断，除了极值点所在的等 值面以外。这是由于目标函编辑课数件 是连续函数的缘故； 11
上图是该函数的等值线图。
今考虑一点 B ，不妨取坐标为 x0 0,3T。设想有
一动点从 B 出发沿某个方向移动到了点 M ，其坐标
设为 x0 p ，那么目标函数值将产生如下变化量
fx0pfx0
假定 p 1 。试问：动点沿哪个方向移动会使
目标函数值有最多的下降或上升？
从图上看，这相当于问：在以点 B 为圆心、以1为半径
向量的内积 设 a a 1 ,a 2 ,,a n T ,b b 1 ,b 2 ,,b n T ,
则 a1b1a2b2 anbn 称为向量 a 与 b 的内积，
记作 a , b 。
其实，a,b aTb a1,a2,
b1
,
an
b2
。
bn
向量也常用希腊字母 ,,,,,等表示。
26
1.6 凸函数与凸规划 1. 凸集
直观上，凸集就是空间中内部无“洞”，边界又不向 内凹的一些点的集合，其基本特征是该集合中任意两点 间的线段仍然属于这个集合。
易知本题的极小值点 x* 2,1T。
再复杂点的情形见P13上的例1.7。 虽然三维及以上的问题不便于在平面上画图，图解 法失效，但仍有相应的等值面的概念，且等值面具有以 下性质： ①有不同函数值的等值面互不相交（因目标函数是单值 函数的缘故）；
②等值面不会在区域的内部中断，除了极值点所在的等 值面以外。这是由于目标函编辑课数件 是连续函数的缘故； 11
上图是该函数的等值线图。
今考虑一点 B ，不妨取坐标为 x0 0,3T。设想有
一动点从 B 出发沿某个方向移动到了点 M ，其坐标
设为 x0 p ，那么目标函数值将产生如下变化量
fx0pfx0
假定 p 1 。试问：动点沿哪个方向移动会使
目标函数值有最多的下降或上升？
从图上看，这相当于问：在以点 B 为圆心、以1为半径
向量的内积 设 a a 1 ,a 2 ,,a n T ,b b 1 ,b 2 ,,b n T ,
则 a1b1a2b2 anbn 称为向量 a 与 b 的内积，
记作 a , b 。
其实，a,b aTb a1,a2,
b1
,
an
b2
。
bn
向量也常用希腊字母 ,,,,,等表示。
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1.6 凸函数与凸规划 1. 凸集
直观上，凸集就是空间中内部无“洞”，边界又不向 内凹的一些点的集合，其基本特征是该集合中任意两点 间的线段仍然属于这个集合。
最优化理论与方法概述 ppt课件
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6
min f x 目标函数
s.t .
g j x 0 不等式约束
hi x 0 等式约束
称满足所有约束条件的向量 x为可行解，或可行点，全体
可行点的集合称为可行集，记为D 。
D {x | hi x 0, i 1, 2, m, g j x 0,
，xn ) ，xn )
0， 0，
i j
1，2， 1，2，
，l， ，m (m
n)．
向量形式
min f ( X )，
s.
t.
G( X ) H ( X )
0， 0，
其中 X (x1, x2 , xn )
G(X ) [g1(X )， ，gl (X )]T，H (X ) [h1(X )， ，hm (X )]T
一切 x N (x* ) D ，恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题
的局部最优解。其中 N ( x* ) {x | x x* , 0}
严格最优解：当 x x* ，有 f x* f x则称 x*为问题的
严格最优解。
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8
局部最优解 f(X)
0.09x2 0.50x3 0.22100
0.02x2 0.08x3 0.05100
最优化方法复习大纲PPT课件
K T 条件为
6 4
x1 x2
3 x2 3 x1
1
22 4x2
x1 1
1(3 x12 2x1 2
4
1 x2
x22 x2 )
4 0
2
0 1
0
2x2 0
1,2 0
7
例4 试分别写出下述问题的惩罚函数及障碍函数。 min f ( x) ( x1 2x2 )2 2x2 s.t. 3x12 2x2 6
min z 2 x1 x2 3 x3
x1 x2 2 x3 4
s.t .
2 x1 x3 2 2x2 x3 5
x1 , x2 0, x3无约束
解： 令 x3 x4 x5 .
max z 2 x1 x2 3 x4 3 x5
x1 x2 2 x4 2 x5 x6 4
17
1 130
x2
x1
1d 1
[ 48, 3]T 65 65
4
例 2. 试用牛顿法解下述问题 min f ( x) x12 4 x22
已知初始点 x1 (1,1)T ,求迭代点x2。
解： f ( x) [ 2x1 ,8x2 ]T f ( x1) [2,8]T
2
f
(
x
)
2 0
0 8
已知初始点 x1 (1,1)T ,求迭代点x2。
解： f ( x) [ 2x1 ,8x2 ]T d1 f ( x1) [ 2, 8]T
巴班斯基——教学过程最优化ppt
巴班斯基
——教学过程最优化
巴班斯基
苏联教育家。毕业于顿河罗 斯托夫师范学院。1971年当选为苏 联教育科学院通讯院士，1974年被 选为正式院士。1979年起任苏联教 育科学院副院长。把现代控制论、系统论观 点用于教学论研究，提出教学过程最优化的 理论。主要著作有《教学过程最优化（一般 教学论观点）》、《教学教育过程最优化 （方法原理）》等。
另一条标准是时间标准，即学生和教师都遵守 规定的课堂教学和家庭作业的时间定额。 把这两条标准具体化，可以把教学过程最优化 的评价标准规定为： （1）在形成知识、技能和技巧的过程中，在形 成某种个性特征、提高每个学生的教育和发展 水平方面可能取得的最大成果； （2）师生用最少的必要时间取得一定的成果； （3）师生在一定的时间内花费最少的精力取得 一定的成果； （4）为在一定时间内取得一定的成绩而消耗最 少的物资和经费。
（二） 关于教学目的 巴班斯基认为：教学的主要目的有教养、 教育和发展三个方面。 教养性目的是使学生掌握各门学科的专门 技能，并能够熟练的应用这些技能解决实 际问题。教育性目的是使学生掌握基本的 社会公德、政治和伦理道德，以便于使其 形成正确的人生观、世界观。发展性目的 是使学生掌握认知活动的一般技能，使其 能在生活中发展自己的个性品质。 同时，他还指出这三种目的是有机地相互 联系的。
教学过程最优化
巴班斯基将最优化分为‚总体最优化‛ 和‚局部最优化‛。学校实践中，领导和教 师往往注意到的是个别的、局部的问题，更 多地是集中精力解决薄弱环节，而有时甚至 以损害其他方面为代价。 教学过程最优化原理抓住了教学论中的 关键问题，即如何通过合理地组织教学过程， 既得到教学的最大可能效果，又不致造成师 生负担过重。
——教学过程最优化
巴班斯基
苏联教育家。毕业于顿河罗 斯托夫师范学院。1971年当选为苏 联教育科学院通讯院士，1974年被 选为正式院士。1979年起任苏联教 育科学院副院长。把现代控制论、系统论观 点用于教学论研究，提出教学过程最优化的 理论。主要著作有《教学过程最优化（一般 教学论观点）》、《教学教育过程最优化 （方法原理）》等。
另一条标准是时间标准，即学生和教师都遵守 规定的课堂教学和家庭作业的时间定额。 把这两条标准具体化，可以把教学过程最优化 的评价标准规定为： （1）在形成知识、技能和技巧的过程中，在形 成某种个性特征、提高每个学生的教育和发展 水平方面可能取得的最大成果； （2）师生用最少的必要时间取得一定的成果； （3）师生在一定的时间内花费最少的精力取得 一定的成果； （4）为在一定时间内取得一定的成绩而消耗最 少的物资和经费。
（二） 关于教学目的 巴班斯基认为：教学的主要目的有教养、 教育和发展三个方面。 教养性目的是使学生掌握各门学科的专门 技能，并能够熟练的应用这些技能解决实 际问题。教育性目的是使学生掌握基本的 社会公德、政治和伦理道德，以便于使其 形成正确的人生观、世界观。发展性目的 是使学生掌握认知活动的一般技能，使其 能在生活中发展自己的个性品质。 同时，他还指出这三种目的是有机地相互 联系的。
教学过程最优化
巴班斯基将最优化分为‚总体最优化‛ 和‚局部最优化‛。学校实践中，领导和教 师往往注意到的是个别的、局部的问题，更 多地是集中精力解决薄弱环节，而有时甚至 以损害其他方面为代价。 教学过程最优化原理抓住了教学论中的 关键问题，即如何通过合理地组织教学过程， 既得到教学的最大可能效果，又不致造成师 生负担过重。
最优化方法(刘)第一章
i 1
k
i
1, 则 x i xi , 称为 xi , i 1,2,, k ,
i 1
k
的凸组合． 注： 凸集中任意有限个点的凸组合仍然在该 凸集中．
极点
x 定义1 设 D 为凸集， D, 若 D 中不存在
两个相异的点 y , z 及某一实数 0,1
D 例： x R
定义１.3 整体最优解 若：x* F , 对于一切
x F 恒有 f x* f x , 则称 x* 为最优化
问题的整体最优解。 若： F , x x
x
*
恒有 f x* f x , ,
则称 x* 为最优化 问题的严格整体 最优解。
定义１.4 局部最优解 若：x* F , 存在 x * 的某邻域 N x 恒有 f x* f x 则称 x * 为最优化问题的局 部最优解。 其中N x x
该定理的几何意义是：凸函数上任意两点之 间的部分是一段向下凸的弧．
一阶条件
定理2.1: 设在凸集 D R n 上 f x 可微， 则：
f x 在 D 上为凸函数的充要条件是对任意的
x, y D , 都有： y f x f x y x f
定义1 设 D1 , D2 R n 为两非空凸集，若存在 非零向量 a R n 和实数 , 使得：
Mastercam课件教案第5章最优化理论概述
第5章 最优化理论概述
5.1 最优化理论及其应用
• 5.1.1 最优化理论发展概述 • 最优化是一门研究如何科学、合理、迅速
地确定可行方案并找到其中最优方案的学 科。 • 作为20世纪应用数学的重要研究成果，最 优化理论在工业生产与管理、计算机和信 息科学、系统科学、国民经济等许多领域 产生很大效益。
Baidu Nhomakorabea.2.3 MATLAB实现
• 使用优化工具箱时，由于优化函数要求目 标函数和约束条件满足一定的格式，所以 需要用户在进行模型输入时注意以下几个 问题：
• 1.目标函数最小化 • 2.约束非正 • 3.避免使用全局变量
5.2.1 古老实现方法
• 远古以来，人类就显示出认识世界和改造 世界的能力。在自然发展的过程中，人类 又逐渐形成了进行最有效活动的思维方法， 导致了新发现、新发明和新改革。它们给 人类带来的巨大的利益、进步和挑战。
5.2.2 计算机实现
• 电子计算机出现后，最优化问题受到科学 家们的重视，电子计算机的特点是存储量 大，计算速度快，能准确地长期不间断工 作，这些特点为最优化问题的实现提供了 一片崭新的天地。不同的目标函数、不同 的约束条件、计算机算法的发展促使数学 规划的内容日趋庞大，从而逐渐出现许多 分支。
5.1.2 最优化问题基本模型
• 当目标函数和约束函数都是线性函数时， 问题称为线性规划。当目标函数和约束函 数中至少有一个是变量x的非线性函数时， 问题称为非线性规划问题。
5.1 最优化理论及其应用
• 5.1.1 最优化理论发展概述 • 最优化是一门研究如何科学、合理、迅速
地确定可行方案并找到其中最优方案的学 科。 • 作为20世纪应用数学的重要研究成果，最 优化理论在工业生产与管理、计算机和信 息科学、系统科学、国民经济等许多领域 产生很大效益。
Baidu Nhomakorabea.2.3 MATLAB实现
• 使用优化工具箱时，由于优化函数要求目 标函数和约束条件满足一定的格式，所以 需要用户在进行模型输入时注意以下几个 问题：
• 1.目标函数最小化 • 2.约束非正 • 3.避免使用全局变量
5.2.1 古老实现方法
• 远古以来，人类就显示出认识世界和改造 世界的能力。在自然发展的过程中，人类 又逐渐形成了进行最有效活动的思维方法， 导致了新发现、新发明和新改革。它们给 人类带来的巨大的利益、进步和挑战。
5.2.2 计算机实现
• 电子计算机出现后，最优化问题受到科学 家们的重视，电子计算机的特点是存储量 大，计算速度快，能准确地长期不间断工 作，这些特点为最优化问题的实现提供了 一片崭新的天地。不同的目标函数、不同 的约束条件、计算机算法的发展促使数学 规划的内容日趋庞大，从而逐渐出现许多 分支。
5.1.2 最优化问题基本模型
• 当目标函数和约束函数都是线性函数时， 问题称为线性规划。当目标函数和约束函 数中至少有一个是变量x的非线性函数时， 问题称为非线性规划问题。
数学建模～最优化模型(课件ppt)
运行结果： 运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
有边长为3m的正方形铁板 的正方形铁板， 例2 有边长为 的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？ 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
最优化方法主要内容
根据目标函数， 根据目标函数 ， 约束条件的特点将最优 化方法包含的主要内容大致如下划分： 化方法包含的主要内容大致如下划分： 线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划 对策论
两个引例
问题一：某工厂在计划期内要安排生产 、 两种产品 两种产品， 问题一：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、 两种原材料的 已知生产单位产品所需的设备台时及 、B两种原材料的 消耗， 消耗，如下表所示
解：该工厂生产产品I x1件，生产产品 x2件， 该工厂生产产品 件 生产产品II 件 我们可建立如下数学模型： 我们可建立如下数学模型：
m ax z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 ≤ 8 4x ≤16 1 4x2 ≤12 x1, x2 ≥ 0
s.t.
问题二： 某厂每日8小时的产量不低于 小时的产量不低于1800件.为了进行质量 问题二： 某厂每日 小时的产量不低于 件 为了进行质量
最优化理论与算法完整版课件
4 选址问题（1）
实例:一组潜在位置（地址）, 一组顾客集合及相应的 利润和费用数据；
解: 设施开放(使用)的数目，他们的位置，以及顾客 被哪个设施服务的具体安排方案；
目标：总的利润最大化。
数据与约束 J={1,2,…,n}:放置设施的可能的潜在位置集合 I={1,2,…,m}:顾客集合,其要求的服务需要某设施所提 供.
9
电子计算机----------最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
称为可行点,全体可行点组成的集合称为 可行集或可行域.如果一个问题的可行域 是整个空间,则称此问题为无约束问题.
TP SHUAI
28
基本概念
• 最优化问题可写成如下形式:
min f (x)
xRn
---目标函数
s.t. gi (x) 0,i I
hj (x) 0, j E
TP SHUAI
于是杆截面的应力为：
最优化理论与方法概述
最优化理论与方法概述
最优化理论与方法是研究如何在给定约束条件下找到最优解的数学学科。这个最优解是指在一定条件下使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。最优化理论与方法可以应用于不同领域的问题，如工程、经济、管理等，解决各种实际问题。
最优化问题的基本形式可以表示为：
\begin{align*}
&\text{minimize}\quad f(x),\\
&\text{subject to}\quad g_i(x)\leq 0, \quad i =
1,2,\ldots,m\\
&\phantom{\text{subject to}}\quad h_i(x) = 0, \quad i =
1,2,\ldots,p
\end{align*}
\]
其中，$x$是优化变量，$f(x)$是目标函数，$g_i(x)$和$h_i(x)$是约束条件函数，$m$和$p$分别是不等式约束和等式约束的个数。
无约束优化方法是在没有约束条件的情况下寻找目标函数的最优解。其中包括以下几种方法：
1.法：由于目标函数可能是复杂的、非线性的，法通过遍历解空间的不同点来找到取得最优解的点。法的效率通常取决于算法的选择和范围的设定。
2.等式约束的优化方法：当目标函数满足一些特定的条件时，可以使用这种方法来找到最优解。这种方法通过求解目标函数的一阶导数和二阶导数来确定最优解。
3.迭代法：迭代法是最常用的优化方法之一，它通过从初始点开始，不断迭代求解优化问题，直到满足终止条件。常用的迭代法包括梯度下降法和牛顿法等。
约束优化方法主要是在满足一定的约束条件下求解最优解。其中包括以下几种方法：
相关主题
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样叙述的？ • 2、 f(x0)是函数f(x)的一个极小值这一概念是怎
样叙述的？ • 3、求函数的极值的步骤是哪几步？
定 义 ： 设 函 数 f (x) 在 点 X0 的 某 邻 域 U (x0 ) 上 有 定 义 ， 若 对 x U (x0 ) 有 f (x) f (x0 ) ，（ f (x) f (x0 ) ）
定义：设函数 f (x) 在点 X0 处的得极大值（极小值）点 X0 称为极大点（极小点）， 极大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。
17
y f (b)
f (x0)
y=f (x)
0
a
x0
b
x
18
最值问题
函数的最大值与最小值 定义: 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，如果 存 在 点 x0∈[a,b] ， 使 得 对 于 所 有 x∈[a,b] ， 都 有 f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则称 f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）。
• 解：设产品 Q j日产量 x 个j 单位，j 1,2,3,
ms.ta. x232xxx112
5x2 3x2 4x3
4x3 1500, 800,
总利润
原料日消耗量 不超过可用量
3x12x2 5x3 2000,
x j 0, j 1,2,3.
x
6
最优化问题举例(4)
7
最优化问题一般形式
8
怎么定义解？ 一定有解吗？
为什么没有<号，为什么没有>号？
9
优化问题分类
10
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束 条件分类
无约束优化问题
min f (x), x Rn.
约束优化问题 等式约束优化问题
不等式约束优化问题 混合约束问题
min f (x), s.t.ci (x) 0, i 1,, m
x1
有效约束、无效约束与内点、边界点
• 有效(积极\起作用)约束：对于可行点 x，考虑不等式 约束 ci (x) 0，若 ci (x) ，0 就称约束 ci (x) 0在 点 是x有效约束，并称可行点 位x 于约束ci (x) 0的
最优化问题举例(2)
例题2：有一边长为48厘米的正方形铁皮， 从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各 边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正
方形，才能使所做的铁盒容积最大？
48-2x
x
x
48-2x
48
5
最优化问题举例(3)
如图,靠墙建一个矩形的操场,现只有围60米 的建筑材料.
问长和宽怎样选取,可以使操场的面积最大?
的外壳
最优化问题举例(1)-生产计划
• 某工厂用3种原料 P1, P2 , P3
生产3种产品 Q1, Q2 , Q3
已知单位产品所需原料及利润如下，试制定总利润最 大的生产计划.
产品 原料
Q1
每日原料可
Q2
Q3
用量
P1
2
3
0
1500
P2
0
2
4
800
P3
3
2
5
2000
单位产品利
3
5
4
润（千元）
最优化问题举例(1)-生产计划
变量x (x1, , xn )T 的线性函数，则称为线性规划问
题.
•
一般m形in式c1：x1 c2 x2 s.t. a11x1 a12 x2
c n
xn a1n
xn
b1 ,
am1x1 am2 x2 amn xn bm ,
am1,1x1 am1,2 x2 am1,n xn bm1,
x
可以看出,函数在区间[a ,b]上的最大值和最小值要么是区间 端点的函数值，要么是极值。
而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区
间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大
值和最小值来。最大值和最小值统称最值。
21
最优解的性质
22
可行点与可行域
• 满足最优化问题的一般形式（1）中所有约束条件的点
A2 x b(2) .
其中 G为 n n阶对称矩阵.
最优解的定义
1 整体最优
y=6 y=sin(x)
2 局部最优
15
全局最优解与局部最优解
•例
ac
d
eb
• 注1：并非所有连续可微函数都有极小解.
• 注2：即使问题有最优解，最优解也未必唯一，也未
必是全局最优解.
极值问题
• 回顾 极值问题： • 1、 f(x0)是函数f(x)的一个极大值这一概念是怎
称为可行点, 所有可行点的集合称为可行域. 用 F 表示可
行域，即
F x ci (x) 0,i 1, 2,, m, ci (x) 0,i m 1,, p.
•例
c1(x) 2x1 3x2 x3 6 0,
x1 0,
x2 0,
x3
x3 0.
x2
a p1x1 a p2 x2 a pn xn bp .
二次规划问题
• 目标函数是变量 x 的二次函数，约束函数都是变量 x
的线性函数，称为二次规划问题. • 一般形式：
min s.t.
q(x) A1x b
Baidu Nhomakorabea1 2
(1)
xT ,
Gx
c
T
x
d
min f (x), s.t.ci (x) 0, i 1,, m
最优化问题的分类
最优化问题
根据函 数性质、 复杂程 度分类
连续最优化：决策变量取值连续 光滑最优化：函数连续可微 线性规划
非线性最优化
非光滑优化：有一个非光滑
离散最优化：决策变量取值离散
线性规划问题
• 连续光滑的最优化问题，若目标函数和约束函数都是
第1-3节 最优化问题简介
• 什么是最优化 • 最优化问题的分类 • 相关概念
什么是最优化
• 最优化：在众多可行方案或方法中找到最好的方 案或方法，构造寻求最优解的计算方法.
金融
交通运输
工业生产
收益最大或 风险最小
两地之间的输送管 道或运输路线在满 足要求的条件下尽
可能短
汽车生产中希望 用同样面积的钢 板切割尽可能多
最大值和最小值统称最值。
19
求函数最值的一般方法
•
先求出f(x)在[a,b]内的所有驻点（
或不可导但连续的点），
• 将这些点的函数值与区间端点的函 数值f(a),f(b)进行比较，
• 其中最大（小）的就是函数在区间 [a,b]上的最大（小）值
20
y
f (b) y=f (x)
f (x0)
0
a
x0
b
样叙述的？ • 3、求函数的极值的步骤是哪几步？
定 义 ： 设 函 数 f (x) 在 点 X0 的 某 邻 域 U (x0 ) 上 有 定 义 ， 若 对 x U (x0 ) 有 f (x) f (x0 ) ，（ f (x) f (x0 ) ）
定义：设函数 f (x) 在点 X0 处的得极大值（极小值）点 X0 称为极大点（极小点）， 极大值，极小值统称为极值，极大点，极小点统称为极点。
17
y f (b)
f (x0)
y=f (x)
0
a
x0
b
x
18
最值问题
函数的最大值与最小值 定义: 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，如果 存 在 点 x0∈[a,b] ， 使 得 对 于 所 有 x∈[a,b] ， 都 有 f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则称 f(x0)是函数f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）。
• 解：设产品 Q j日产量 x 个j 单位，j 1,2,3,
ms.ta. x232xxx112
5x2 3x2 4x3
4x3 1500, 800,
总利润
原料日消耗量 不超过可用量
3x12x2 5x3 2000,
x j 0, j 1,2,3.
x
6
最优化问题举例(4)
7
最优化问题一般形式
8
怎么定义解？ 一定有解吗？
为什么没有<号，为什么没有>号？
9
优化问题分类
10
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束 条件分类
无约束优化问题
min f (x), x Rn.
约束优化问题 等式约束优化问题
不等式约束优化问题 混合约束问题
min f (x), s.t.ci (x) 0, i 1,, m
x1
有效约束、无效约束与内点、边界点
• 有效(积极\起作用)约束：对于可行点 x，考虑不等式 约束 ci (x) 0，若 ci (x) ，0 就称约束 ci (x) 0在 点 是x有效约束，并称可行点 位x 于约束ci (x) 0的
最优化问题举例(2)
例题2：有一边长为48厘米的正方形铁皮， 从它的四个角截去相等的小正方形，然后折起各 边做一个无盖的铁盒，问在四角截去多大的小正
方形，才能使所做的铁盒容积最大？
48-2x
x
x
48-2x
48
5
最优化问题举例(3)
如图,靠墙建一个矩形的操场,现只有围60米 的建筑材料.
问长和宽怎样选取,可以使操场的面积最大?
的外壳
最优化问题举例(1)-生产计划
• 某工厂用3种原料 P1, P2 , P3
生产3种产品 Q1, Q2 , Q3
已知单位产品所需原料及利润如下，试制定总利润最 大的生产计划.
产品 原料
Q1
每日原料可
Q2
Q3
用量
P1
2
3
0
1500
P2
0
2
4
800
P3
3
2
5
2000
单位产品利
3
5
4
润（千元）
最优化问题举例(1)-生产计划
变量x (x1, , xn )T 的线性函数，则称为线性规划问
题.
•
一般m形in式c1：x1 c2 x2 s.t. a11x1 a12 x2
c n
xn a1n
xn
b1 ,
am1x1 am2 x2 amn xn bm ,
am1,1x1 am1,2 x2 am1,n xn bm1,
x
可以看出,函数在区间[a ,b]上的最大值和最小值要么是区间 端点的函数值，要么是极值。
而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区
间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大
值和最小值来。最大值和最小值统称最值。
21
最优解的性质
22
可行点与可行域
• 满足最优化问题的一般形式（1）中所有约束条件的点
A2 x b(2) .
其中 G为 n n阶对称矩阵.
最优解的定义
1 整体最优
y=6 y=sin(x)
2 局部最优
15
全局最优解与局部最优解
•例
ac
d
eb
• 注1：并非所有连续可微函数都有极小解.
• 注2：即使问题有最优解，最优解也未必唯一，也未
必是全局最优解.
极值问题
• 回顾 极值问题： • 1、 f(x0)是函数f(x)的一个极大值这一概念是怎
称为可行点, 所有可行点的集合称为可行域. 用 F 表示可
行域，即
F x ci (x) 0,i 1, 2,, m, ci (x) 0,i m 1,, p.
•例
c1(x) 2x1 3x2 x3 6 0,
x1 0,
x2 0,
x3
x3 0.
x2
a p1x1 a p2 x2 a pn xn bp .
二次规划问题
• 目标函数是变量 x 的二次函数，约束函数都是变量 x
的线性函数，称为二次规划问题. • 一般形式：
min s.t.
q(x) A1x b
Baidu Nhomakorabea1 2
(1)
xT ,
Gx
c
T
x
d
min f (x), s.t.ci (x) 0, i 1,, m
最优化问题的分类
最优化问题
根据函 数性质、 复杂程 度分类
连续最优化：决策变量取值连续 光滑最优化：函数连续可微 线性规划
非线性最优化
非光滑优化：有一个非光滑
离散最优化：决策变量取值离散
线性规划问题
• 连续光滑的最优化问题，若目标函数和约束函数都是
第1-3节 最优化问题简介
• 什么是最优化 • 最优化问题的分类 • 相关概念
什么是最优化
• 最优化：在众多可行方案或方法中找到最好的方 案或方法，构造寻求最优解的计算方法.
金融
交通运输
工业生产
收益最大或 风险最小
两地之间的输送管 道或运输路线在满 足要求的条件下尽
可能短
汽车生产中希望 用同样面积的钢 板切割尽可能多
最大值和最小值统称最值。
19
求函数最值的一般方法
•
先求出f(x)在[a,b]内的所有驻点（
或不可导但连续的点），
• 将这些点的函数值与区间端点的函 数值f(a),f(b)进行比较，
• 其中最大（小）的就是函数在区间 [a,b]上的最大（小）值
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y
f (b) y=f (x)
f (x0)
0
a
x0
b