【全程复习方略】(广东专用)高考数学第八章第三节圆的方程课时作业理新人教A版

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全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件全国版：第八章平面解析几何 8.3 精品

22 半径r=__1__D__2 __E_2__4_F__
2
2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系: (1)点M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)点M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)点M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.
第三节圆的方程
【知识梳理】 1.圆的定义、方程
定义平面内到_定__点__的距离等于_定__长__的点的轨迹叫做圆
标准 (x-a)2+(y-b)2 方程 =r2(r>0)
圆心______ (a,b)
半径为__ r
一般方程
x2+y2+Dx+ Ey+F=0
条件:_D_2_+_E_2-_4_F_>_0_ 圆心:__( __D_，__E__)_
当x≠3时可得 y y 1， x3 x
整理得 (x 3 )2 y2 9 , 又当直线l与2x轴重合4时,M点坐标为(3,0),代入上式成
立.
设直线l的方程为y=kx,与x2+y2-6x+5=0联立,
消去y得:(1+k2)x2-6x+5=0.
令其判别式Δ=(-6)2-4(1+k2)×5=0,
所以圆的方程为(x-a)2+y2=r2.
又因为A(5,2),B(-1,4)在圆上.
所以
解得a=1,r2=20.
5 a2 4 r2,
所以圆的1方 a程2 为16(x-r12,)2+y2=20.
答案:(x-1)2+y2=20

【全程复习方略】高中数学 8.3圆的方程配套课件苏教版

2.利用待定系数法求圆的方程的常见类型
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关,则设圆的标准方程,依据
已知条件列出关于a、b、r的方程组,从而求出a、b、r的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径,则选择圆的一般
方程,依据已知条件列出关于D、E、F 的方程组,从而求出D、E、 F 的值.
【例1】(1)(2012·常州模拟)当a为任意实数时，直线(a-1)x-
4
2 3
(2)1
2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0)
2+(y -b)2=r2 (x -a) 0 0 (1)___________________ ⇔点在圆上； 2+(y -b)2＞r2 (x -a) 0 0 (2)___________________ ⇔点在圆外； 2+(y -b)2＜r2 (x -a) 0 0 (3)___________________ ⇔点在圆内.
12 22 a 4 b 0 a 2 所以解得 , . 2 2 b 1 2 1 2a 2 b 0
答案：-2
1
求圆的方程
【方法点睛】
1.常用的圆的几个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-2＞0，
解得：a＜-2或a＞1,综上可得1＜a＜2或a＜-2. 答案：1＜a＜2或a＜-2
(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线 x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_______,b=_______. 【解析】点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)，又因为 A、B两点都在圆上，

【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习第8章第3节圆的方程课时作业理

课时作业(五十) 圆的方程一、选择题1．(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )A ．(x －2)2＋(x ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 答案：D解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有－2＋b －2＝22，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4，故应选D.2．(2015·珠海模拟)已知方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，－1)D ．(0，－1)答案：D解析：r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大．故应选D.3．(2015·昆明一模)方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆答案：D解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋y －2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．4．(2015·杭州一模)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 答案：A解析：将圆的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理，得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，故应选A.5．(2015·北京东城区一模)若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案：D解析：由圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可得圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，又圆关于直线l 1，l 2都对称，所以直线l 1，l 2都经过圆的圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＋E2＋4＝0，－D 2－3×E2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，所以D ＋E ＝4.故应选D.6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1,1＋22] D ．[1－22，3]答案：D解析：曲线是以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，b ＝3；当直线y ＝x ＋b 与半圆 y ＝3－4x －x 2相切时，由点到直线的距离公式，得2＝|2－3＋b |2，∴|b －1|＝2 2.结合图形知b ＝1－22，∴1－22≤b ≤3.故应选D.7．(2015·沈阳四校联考)已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6答案：C解析：依题意，圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1. 由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1， △PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋2，故应选C.8．(2015·天津十二区县联考一)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A.19 B ．49 C ．1 D ．3答案：C解析：将圆的方程化为标准方程，得(x ＋a )2＋y 2＝4和x 2＋(y －2b )2＝1，两圆有三条公切线，即两圆相外切，所以圆心距等于半径之和，即a 2＋4b 2＝9，即19(a 2＋4b 2)＝1，所以1a 2＋1b 2＝19(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b 2a 2＋a 2b 2≥1，当且仅当a 2＝2b 2时等号成立，即1a 2＋1b 2的最小值为1.故应选C.9．(2015·石家庄质检)已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1，则实数a 的取值范围为( )A ．(5,7)B ．(－15,1)C ．(5,10)D ．(－∞，1)答案：B解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝10－a ，故10－a >0，即a <10.圆心(1,2)到直线3x －4y －15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1时，圆的半径r 满足3<r <5，即3<10－a <5，即－15<a <1.10．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－3＋2 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－4＋ 2答案：A解析：如图所示，设PA ＝PB ＝x (x >0)，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，PO ＝1＋x 2，所以cos α＝x1＋x2，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos 2α＝x 2(2cos 2α－1)＝x 4－x 2x 2＋1＝x 2＋2－x 2＋＋2x 2＋1＝(x 2＋1)＋2x ＋－3≥22－3.故(PA →·PB →)min ＝－3＋2 2.此时x ＝2－1.故应选A. 二、填空题11．(2015·淄博模拟)已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．答案：3－ 2解析：直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝32，则圆上的动点C 到直线AB 的距离最小值为d －r ＝32－1，因为|AB |＝22，所以△ABC 的面积的最小值为S min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.12．(2015·北京东城区模拟)已知圆x 2＋y 2＝9与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________．答案：x －y －2＝0解析：由题易知，直线l 是两圆圆心连线构成线段的垂直平分线，两圆的圆心坐标分别是(0,0)，(2，－2)，其中点坐标是(1，－1)，又知过两圆圆心的直线的斜率是－1，所以直线l 的斜率是1，于是可得直线l 的方程为y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.13．(2015·河南三市一模)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．答案：x 2＋(y －1)2＝10解析：设所求圆的半径是r ，依题意，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 14．过点O (0,0)作直线与圆C ：(x －45)2＋(y －8)2＝169相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为________．答案：932解析：已知圆C 的半径为13，圆心C (45，8)， ∵|CO |＝52＋82＝12<13，∴点O 在圆C 的内部，且圆心到直线的距离d ∈[0,12]，∴直线截圆所得的弦长|AB |＝2r 2－d 2∈[10,26]，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有1＋8＝9(条)．∴所求概率P ＝932.15．已知集合A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}．若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________．答案：(－∞，－2)解析：由题意作出A ，B 所表示的平面区域，如图．B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}表示圆x 2＋y 2＝1及其内部，要使A ∩B ＝∅，则直线x －y ＋m ＝0在圆x 2＋y 2＝1的下方，即|0－0＋m |2>1，故m <－ 2.。

2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业理(含解析)新人教A版

2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝ [1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案：A2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.答案：D4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 答案：C5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝3－32＋4－52＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6. 答案：B 二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝28．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π9．(xx·杭州模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1) 三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．解：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －12＋b －12＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3r 2＝25∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．(xx·重庆九校联考)已知⊙C 与两平行直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心C 在直线x ＋y ＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)斜率为2的直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点且满足OA →⊥OB →，求直线l 的方程．解：(1)由题意知⊙C 的直径为两平行线x －y ＝0及x －y －4＝0之间的距离 ∴d ＝2R ＝|0－－4|2＝22，解得R ＝2，设圆心C (a ，－a )，由圆心C 到x －y ＝0的距离|2a |2＝R ＝2得a ＝±1，检验得a ＝1.∴⊙C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C 过原点，若OA →⊥OB →，则l 经过圆心，易得l 的方程：2x －y －3＝0.12．如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |，得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. [热点预测]13．(1)(xx·安徽亳州摸底联考)已知圆C 的圆心是抛物线y ＝116x 2的焦点．直线4x －3y －3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的方程为________．(2)(xx·吉林长春三校调研)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：(1)y ＝116x 2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0) 所以弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝ 2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|4×0－3×4－3|32＋422＝2 r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|15|52＝8.所以r 2＝25，所以圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.(2)如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A、B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝09 34222 85AE 薮4q39496 9A48 驈25292 62CC 拌28418 6F02 漂35646 8B3E 謾@|26101 65F5 旵39942 9C06 鰆29311 727F 牿X。

【全程复习方略】(广东专用)高考数学 8.3圆的方程课时提升作业文新人教A版

【全程复习方略】（广东专用）2014高考数学 8.3圆的方程课时提升作业文新人教A 版一、选择题1.（2013·珠海模拟）已知方程x 2+y 2+kx+2y+k 2=0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为( )（A ）（-1，1）（B ）（-1，0）（C ）（1，-1）（D ）（0，-1）2.（2013·北京模拟）直线l 将圆x 2+y 2-2x+4y-4=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是( )（A ）x-y+1=0,2x-y=0（B ）x-y-1=0,x-2y=0（C ）x+y+1=0,2x+y=0（D ）x-y+1=0,x+2y=03.若曲线C:x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )(A)(-∞,-2) (B)(-∞,-1)(C)(1，+∞) (D)(2,+∞)4.若原点在圆（x-m ）2+（y+m ）2=8的内部，则实数m 的取值范围是( )（A ）m -＜（B ）0m ＜＜（C ）-2＜m ＜2 （D ）0＜m ＜25.（2013·惠州模拟）已知两点A （-2，0），B （0，2），点C 是圆x 2+y 2-4x+4y+6=0上任意一点，则点C 到直线AB 距离的最小值是( )(A)(C)2 (D) 6.已知圆C 1:(x+1)2+(y-1)2=1，圆C 2与圆C 1关于直线x-y-1=0对称，则圆C 2的方程为( )（A ）(x+2)2+(y-2)2=1（B ）(x-2)2+(y+2)2=1（C ）(x+2)2+(y+2)2=1（D ）(x-2)2+(y-2)2=17.（2013·深圳模拟）在平面直角坐标系中，落在一个圆内的曲线可以是( )(A)xy=1 (B)1,x y 0,x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数(C)|3x-2y|=1 (D)2y =8.（能力挑战题）已知两点A （0，-3），B （4，0），若点P 是圆x 2+y 2-2y=0上的动点,则△ABP 面积的最小值为( )（A ）6 （B ）112 （C ）8 （D ）212 二、填空题9.圆C ：x 2+y 2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是________________.10.若圆x 2+y 2+（a 2-1）x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a 的值为______.11.（2013·汕头模拟）设二次函数214y x x 133=-+与x 轴正半轴的交点分别为A ，B ，与y 轴正半轴的交点是C ，则过A ，B ，C 三点的圆的标准方程是_____________.12.若圆心在x轴上，半径为C 位于y 轴左侧且与直线x+y=0相切，则圆C 的方程是_____________________.三、解答题13.圆C 通过不同的三点P （k,0），Q （2，0），R （0，1），已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程.14.（2013·广州模拟）如图，已知圆C ：（x-1）2+y 2=r 2(r ＞1)，设M 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过M 作圆C 的弦MN ，并使它的中点P 恰好落在y轴上.（1）当r=2时，求满足条件的点P 的坐标.（2）当r ∈(1,+∞)时，求点N 的轨迹G 的方程.15.（能力挑战题）如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成,两相接点M,N 均在直线x=5上.圆弧C 1的圆心是坐标原点O,半径为13；圆弧C 2过点A(29,0).(1)求圆弧C 2的方程.(2)曲线C 上是否存在点P,满足PA =？若存在,指出有几个这样的点；若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选D.由x 2+y 2+kx+2y+k 2=0知所表示圆的半径r ==当k=0时，max r 1==，此时圆的方程为x 2+y 2+2y=0，即x 2+(y+1)2=1,∴圆心为（0，-1）.2.【解析】选C.由已知直线l 过圆x 2+y 2-2x+4y-4=0的圆心（1，-2），当直线在两坐标轴上的截距均为0时，设方程为y=kx ，又过（1，-2）点，所以-2=k ，得l 的方程为y=-2x ，即2x+y=0.当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为x y 1a 0a a +=≠（），将（1，-2）代入得：a=-1，得l 的方程为x+y+1=0.综上l 的方程为2x+y=0或x+y+1=0.3.【解析】选D.曲线C 的方程可化为（x+a ）2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为（-a,2a ），半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限内，所以a ＞2.4.【解析】选C.由已知得m 2+m 2＜8，即m 2＜4，解得-2＜m ＜2.5.【解析】选A.由已知得直线AB 的方程为x y 122+=-，即：x-y+2=0，又圆x 2+y 2-4x+4y+6=0的圆心为（2，-2），半径r所以其圆心到直线x-y+2=0的距离为d ==由平面图形的性质得点C 到直线AB 距离的最小值为=6.【解析】选B.圆C 2的圆心与圆C 1的圆心关于直线x-y-1=0对称，所以设圆C 2的圆心为(a,b)，则b 11a b 0a 1-=-⇒+=+，且a 1b 1(,)22-+在x-y-1=0上，解得a=2,b=-2.所以圆C 2的方程为（x-2）2+(y+2)2=1. 7.【解析】选D.由已知圆内的点需有范围限制，而A 中，x ≠0,y ≠0,B 中，x ∈R ，C 中，x,y ∈R ，只有D 中，x需满足：30⎨⎪⎩，得0≤x ≤9. 8.【思路点拨】先求点P 到直线AB 的距离，再求S △ABP 的最小值.【解析】选B.如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小.直线AB 的方程为x y 143+=-，即3x-4y-12=0，圆心C 到直线AB 的距离为16d 5==， ∴△ABP 的面积的最小值为1161151.252⨯⨯-=（） 9.【解析】因为圆心坐标为(-1,1)，所以圆心到直线3x+4y+14=03.=答案：3 10.【解析】依题意知直线x-y+1=0经过圆x 2+y 2+(a 2-1)x+2ay-a=0的圆心2a 1,a 2---（），所以2a 1a 102--++=，解得a=3或a=-1，当a=-1时，方程x 2+y 2+(a 2-1)x+2ay-a=0不能表示圆，所以只能取a=3.答案：311.【思路点拨】先由已知求出A ，B ，C 三点坐标，再根据坐标特点选出方程，求方程.【解析】由已知三个交点分别为A （1，0），B （3，0），C （0，1），易知圆心横坐标为2，则令圆心为E （2，b ），由|EA|=|EC|得b=2故圆的方程为（x-2）2+(y-2)2=5. 答案：（x-2）2+（y-2）2=512.【解析】设圆心为（a,0）(a ＜0),则r == 解得a=-2,所以圆的方程为（x+2）2+y 2=2.答案：（x+2)2+y 2=2 13.【解析】设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则k,2为x 2+Dx+F=0的两根，∴k+2=-D,2k=F,即D=-(k+2)，F=2k.又圆过R （0，1），故1+E+F=0.∴E=-2k-1.故所求圆的方程为x 2+y 2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0，圆心坐标为k 22k 1.22++（，） ∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， CP 2k 1k 12k+∴=-=-，∴k=-3，∴D=1, E=5,F=-6. ∴所求圆C 的方程为x 2+y 2+x+5y-6=0.14.【解析】（1）方法一：由已知得，r=2时，可求得M 点的坐标为M （-1，0）.设P （0，b ），则由k CP k MP =-1（或用勾股定理）得：b 2=1，∴b=±1，即点P 的坐标为（0，±1）.方法二：同上可得M （-1，0），设N （x,y ），则()22x 1y 4,x 10⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，解得N （1，±2），∴MN 的中点P 的坐标为（0，±1）.（2）方法一：设N （x,y ），由已知得，在圆方程中令y=0，求得M 点的坐标为（1-r,0）.设P （0，b ），则由k CP k MP =-1（或用勾股定理）得:r=b 2+1，∵点P 为线段MN 的中点，∴x=r-1=b 2,y=2b,又r ＞1，∴点N 的轨迹G 的方程为y 2=4x(x ≠0).方法二：设N （x,y ），同上可得M （1-r,0），则222x 1y r ,x 1r 0⎧-+=⎨+-=⎩（），消去r ，又r ＞1， ∴点N 的轨迹G 的方程为y 2=4x(x ≠0).15.【解析】（1）圆弧C 1所在圆的方程为x 2+y 2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5,-12).则线段AM 中垂线的方程为y-6=2(x-17)，令y=0，得圆弧C 2所在圆的圆心为(14,0),又圆弧C 2所在圆的半径为r 2=29-14=15,所以圆弧C 2的方程为(x-14)2+y 2=225(5≤x ≤29).(2)假设存在这样的点P(x,y)，则由PA 得x 2+y 2+2x-29=0,由2222x y 2x 290x y 169(13x 5)⎧++-=⎪⎨+=-≤≤⎪⎩，，解得x=-70（舍去）.由()2222x y 2x 290x 14y 225(5x 29)⎧++-=⎪⎨-+=≤≤⎪⎩，，解得x=0（舍去），综上知，这样的点P 不存在.【误区警示】求圆弧C 2的方程时经常遗漏x 的取值范围，其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.【变式备选】如图，在平面直角坐标系中，方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线AC 和BD 互相垂直，且AC 和BD 分别在x 轴和y 轴上.(1)求证：F ＜0.(2)若四边形ABCD 的面积为8，对角线AC 的长为2，且A B A D 0=，求D 2+E 2-4F 的值.(3)设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，OH ⊥AB 且垂足为H.试用平面解析几何的研究方法判断点O ，G ，H 是否共线，并说明理由.【解析】（1）方法一：由题意，原点O 必定在圆M 内，即点(0,0)代入方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0的左边所得的值小于0，于是有F ＜0，即证.方法二：由题意，不难发现A ，C 两点分别在x 轴正、负半轴上.设两点坐标分别为A(a,0),C(c,0)，则有ac ＜0.对于圆的方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，当y=0时，可得x 2+Dx+F=0,其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，于是有x A x C=ac=F.因为ac ＜0,故F ＜0.(2)不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 的面积AC BD S 2=，因为S=8， |AC|=2，可得|BD|=8. 又因为AB AD 0=，所以∠BAD 为直角，又因为四边形是圆M 的内接四边形，故|BD|=2r=8⇒r=4. 对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0所表示的圆，可知222D E F r ,44+-=所以D 2+E 2-4F=4r 2=64. (3)设四边形四个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).则可得点G 的坐标为c d (,),22即c d OG (,).22= 又AB a,b),=-（且AB ⊥OH,故要使G ，O ，H 三点共线，只需证AB OG 0=即可.而bd ac AB OG ,2-=且对于圆M 的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，当y=0时可得x 2+Dx+F=0，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，于是有x A x C =ac=F.同理，当x=0时，可得y 2+Ey+F=0，其中方程的两根分别为点B 和点D 的纵坐标，于是有y B y D =bd=F. 所以bd ac AB OG 0,2-==即AB ⊥OG. 故O ，G ，H 三点必定共线.。

高考数学一轮总复习第八章解析几何8.3圆的方程课时训练理(2021年整理)

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8.3 圆的方程［课时跟踪检测]［基础达标]1．方程y＝错误!表示的曲线是( )A．上半圆B．下半圆C．圆D．抛物线解析：由方程可得x2＋y2＝1(y≥0），即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．答案：A2．以M(1，0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是( ）A．（x－1）2＋y2＝8B．（x＋1)2＋y2＝8C．(x－1）2＋y2＝16D．(x＋1)2＋y2＝16解析：因为所求圆与直线x－y＋3＝0相切,所以圆心M(1，0)到直线x －y＋3＝0的距离即为该圆的半径r，即r＝错误!＝2错误!。

所以所求圆的方程为(x－1）2＋y2＝8.故选A.答案：A3．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a,b）到原点的距离为（）A．1 B．2C。

2 D．4解析：由半径r＝错误!错误!＝错误!错误!＝2，得错误!＝2.∴点（a，b）到原点的距离d＝错误!＝2，故选B.答案：B4．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A．(x－2）2＋(y＋1)2＝1B．（x＋2）2＋（y＋1)2＝4C．（x＋4）2＋（y－2)2＝4D．（x＋2）2＋(y－1)2＝1解析:设圆上任一点为Q（x0，y0），PQ的中点为M（x，y)，则错误!解得错误!因为点Q在圆x2＋y2＝4上,所以x20＋y2，0＝4,即（2x－4)2＋(2y＋2）2＝4，化简得(x－2）2＋(y＋1)2＝1。

(广东专用)2020高考数学总复习第八章第三节课时跟踪训练理

课时知能训练一、选择题1.(2020广州模拟)若圆心在x 轴上，半径为."5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线相切，则圆O 的方程是( ) A . (x - _ 5)2 + y2= 5B . (x + .5)2 + y2= 5C . (x — 5)2 + y2= 5D . (x + 5)2 + y2= 5【解析】设圆心为(a,0)(a v 0),则 r = |a + 2"I 5,解得 a =— 5,p 12+ 22所以，圆的方程为(x + 5)2 + y2 = 5.【答案】 D2. 已知圆 C : x2 + y2 + mx — 4= 0上存在两点关于直线 x — y + 3 = 0对称，则实数 ( ) A . 8 B . — 4C . 6D .无法确定【解析】因为圆上两点 A 、B 关于直线x — y + 3 = 0对称，所以直线x — y + 3= 0过圆心(—学,0),从而一罗+ 3= 0,即m = 6.【答案】 C3. 已知两点 A( — 2,0), B(0,2)，点C 是圆x2 + y2 — 2x = 0上任意一点，则△ ABC小值是( A . 3— 2【解析】圆的标准方程为(x — 1)2 + y2 = 1,直线AB 的方程为x — y + 2 = 0, 圆心(1,0)到直线AB 的距离d =卩一 f 2| =鐸寸2 2则点C 到直线AB 的最短距离为节一1,又|AB| = 2 2,S A ABC 的最小值为|x2 .2人誉 —1)= 3— 2.【答案】 A4.点P(4, — 2)与圆x2 + y2 = 4上任一点连线的中点轨迹方程是 ( )A . (x — 2)2 + (y + 1)2 = 1B . (x — 2)2 + (y + 1)2 = 4C . (x + 4)2 + (y — 2)2 = 4D . (x + 2)2 + (y — 1)2 = 1 【解析】设圆上任一点坐标为(x0 , y0), 则x2+ y0= 4，连线中点坐标为(x , y),2x = x0 + 4, 则 2y = y0— 2,D. 3— ,.2 2x + 2y = 0 m 的值为面积的最x0 = 2x — 4,y02y 2代入x2 + y0= 4 中得(x-2)2 + (y + 1)2= 1.【答案】A5.(2020重庆高考)在圆x2 + y2- 2x - 6y= 0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为()A. 5 ： 2B. 10 ：2C. 15 扭D . 20 ;2【解析】圆的标准方程为(x -1)2 + (y- 3)2= 10,则圆心F(1,3)半径r = 10,由题意知AC丄BD，且AC = 2 10, |BD| = 2 .'10- 5 = 2 '5,1所以四边形ABCD的面积为S= 2|AC| |BD|=-2^2 . 10 X2 .5= 10 ：2.【答案】B二、填空题6. _______________ (2020潮州模拟)直线x-2y- 2k = 0与2x- 3y- k= 0的交点在圆x2 + y2= 9的外部，则k的范围是___ .x —2y —2k = 0 x =- 4k【解析】由，得2x —3y —k = 0 y =- 3k•••( - 4k)2 + (- 3k)2 > 9，即25k2 > 9,3 3解得k> 3或k v—L.5 5【答案】(-m，- |) u (5, + I5 57. ___________ 圆C的圆心在直线2x- y- 7= 0上，且与y轴交于点A(0，- 4), B(0，- 2)，则圆C 的方程是_______ .【解析】圆心也在直线y=—3上，故圆心为(2 , —3)，半径为'5.•••所求圆的方程为(x- 2)2+ (y + 3)2 = 5.【答案】(x - 2)2 + (y + 3)2= 5& (2020佛山模拟)已知圆C的圆心是直线x - y+ 1 = 0与x轴的交点，且圆C与直线x + y + 3 =0相切.则圆C的方程为__________________________ .【解析】由题意可得圆心(一1,0)，圆心到直线x + y+ 3 = 0的距离即为圆的半径,=2所以圆的方程为(x + 1)2 + y2= 2.【答案】(x + 1)2 + y2 = 2三、解答题9. (2020福建高考改编)已知直线I: y= x+ m, m€ R，若以点M(2,0)为圆心的圆与直线I 相切于点P,且点P在y轴上，求该圆的方程.【解】法一依题意，点P的坐标为(0, m),因为MP丄I，所以号X1 = - 1,2—0解得m = 2,即点P的坐标为(0,2),从而圆的半径r = |MP|=，: 2 - 0 2+ 0-2 2 = 2 2,故所求圆的方程为(X — 2)2+ y2 = 8.法二设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x — 2)2 + y2= 2依题意，所求圆与直线 I : x — y + m = 0相切于点P(0, m),4 + m2 = r2, m = 2,解得r = 2返所以所求圆的方程为(x — 2)2 + y2 = 8.10.图 8— 3 — 1如图8— 3— 1，矩形ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0)，边AB 所在直线的方程为 x — 3y —6 = 0，点T( — 1, 1)在边AD 所在直线上.求：(1) 边AD 所在直线的方程；⑵矩形ABCD 外接圆的方程.1【解】 (1)•••直线AB 的斜率为丄，AD 丄AB ,••• kAD =— 3. 3••• T( — 1,1)在边AD 所在直线上，•直线 AD 的方程为 y — 1 = — 3(x + 1)，即 3x + y + 2= 0.⑵•••点A 为直线AB , AD 的交点，一 3x + y + 2= 0,•••点A 坐标为方程组的解,x — 3y — 6= 0x = 0,解之得 • A(0，— 2).y =— 2,• • •矩形的对角线的交点即为其外接圆的圆心，•••所求圆的方程为(x — 2)2+ y2 = 8.11.已知以点P 为圆心的圆过点 A( — 1,0)和B(3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆 P 于点C 、D ，且 |CD|= 4 10.(1) 求直线CD 的方程；(2) 求圆P 的方程；(3) 设点Q 在圆P 上，试探究使△ QAB 的面积为8的点Q 共有几个？证明你的结论.【解】 (1) • kAB = 1, AB 的中点坐标为(1,2),•直线 CD 的方程为 y — 2 =— (x — 1), 即卩 x + y — 3 = 0.⑵设圆心P(a , b),则由P 在CD 上得a + b — 3= 0,①又直径 |CD| = 4 10 ,• |PA|= 2 10,|2— 0 + m| r ,•••(a + 1)2 + b2= 40,②①代入②消去a得b2- 4b—12= 0,解得b= 6或b=- 2. 当b= 6 时，a=- 3，当b=- 2 时，a= 5.•圆心P(-3,6)或P(5,- 2),•••圆P 的方程为(x + 3)2 + (y- 6)2 = 40 或(x - 5)2 + (y + 2)2 = 40.⑶•/ |AB| = 42+ 42 = 4 ,：2,•••当厶QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2 2 又圆心到直线AB的距离为! 2 10 2 - 2 2 2 = 4.2,圆P的半径r = 2 10,且4.2 + 2 2> 2 10,故点Q不在劣弧TAB 上,•••圆上共有两个点0,使厶QAB的面积为8.。

(广东专用)高考数学一轮复习第八章第三节圆的方程配套课件文

【答案】
32 5 (x－2) ＋(y－ ) ＝ 2 4
2
已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. y (1)求的大值和最小值．
【思路点拨】
根据代数式的几何意义，借助于平面几
何知识，数形结合求解．
【尝试解答】
(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示
1．用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆
的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a，b，r
的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组求解． 2 ．几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求
出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．
3．圆的一般方程
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. D2＋E2－4F＞0 时，表示圆心为(－，－)，半 (1)当__________________
1 径为 D2＋E2－4F的圆； 2
(2)当_______________ D2＋E2－4F＝0 时，表示一个点(－，－ )； 2 2 D2＋E2－4F＜0 时，它不表示任何图形． (3)当_______________
【提示】
充要条件是D2＋E2－4F＞0.
1．(人教A版教材习题改编)圆的方程为x2＋y2＋2by－ 2b2＝0，则圆的圆心和半径分别为( ) A．(0，b)， 3b C．(0，－b)， 3b
【解析】
B．(0，b)， 3|b| D．(0，－b)， 3|b|
圆的标准方程为x2＋(y＋b)2＝3b2，
从而圆的圆心坐标为(0，－b)，半径为 3|b|.
以(2，0)为圆心， 3为半径的圆， y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率． x y 所以设＝k，即y＝kx. x 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值， |2k－0| 此时 2 ＝ 3，解得k＝± 3. k ＋1 y 所以的最大值为 3，最小值为－ 3. x

高考数学一轮复习第八章平面解析几何第三节圆的方程课时作业

第三节圆的方程课时作业A组——基础对点练1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )A．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆B．以(1,2)为圆心，11为半径的圆C．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆D．以(－1,2)为圆心，11为半径的圆解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为11. 答案：D2．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( ) A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：A3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：B4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：45．(2018·唐山一中调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则|－k －3|1＋k2＝2，所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. 由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝－2＋－1－2－2＝2 2.7．(2018·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C . (1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝04－2D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1E ＝5F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为(12，－52)，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组——能力提升练1．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( ) A.12 B ．18 C.14D ．24解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥2 2ab ，解得ab ≤18，故ab的最大值为18，故选B.答案：B2．(2018·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝3解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A. 答案：A3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝ 2.又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 答案：D4．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝3D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1，OA ＝－2＋32＝13，OB ＝－2＋－2＝5，OC ＝62＋－2＝37，∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)， ∴圆的半径为1或37，则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D. 答案：D5．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝46．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解析：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2， PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，又⎣⎢⎡⎦⎥⎤θ＋π4min ＝－1，所以PQ →·MQ →的最小值为－4.。

近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.3圆的方程课后作业理(2021年整理)

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8．3 圆的方程［基础送分提速狂刷练］一、选择题1．（2017·豫北名校联考)圆（x－2）2＋y2＝4关于直线y＝错误!x对称的圆的方程是（)A．(x－错误!)2＋(y－1）2＝4B．（x－错误!)2＋(y－错误!)2＝4C．x2＋（y－2)2＝4D．(x－1）2＋（y－3）2＝4答案D解析设圆(x－2）2＋y2＝4的圆心(2，0）关于直线y＝错误!x对称的点的坐标为（a，b），则有错误!解得a＝1，b＝错误!，从而所求圆的方程为（x －1)2＋（y－错误!）2＝4.故选D.2．(2017·湖南长沙二模）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y ＝2距离的最大值是（）A．1＋ 2 B．2C．1＋错误!D．2＋2错误!答案A解析将圆的方程化为（x－1)2＋(y－1）2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝错误!＝错误!，故圆上的点到直线x－y ＝2距离的最大值为d＋1＝错误!＋1，故选A.3．已知点P在圆x2＋y2＝5上,点Q（0，－1），则线段PQ的中点的轨迹方程是( ）A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0答案B解析设P（x0，y0），PQ中点的坐标为(x,y），则x0＝2x，y0＝2y＋1,代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋（2y＋1）2＝5，化简得x2＋y2＋y－1＝0。

2020版高考数学新设计一轮复习新课改省份专用讲义：第八章第三节圆的方程含答案

第三节圆的方程1．圆的定义及方程如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点⎝⎛⎭⎫－D2，－E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[熟记常用结论](1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．()(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＞0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、选填题1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，故选D. 2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B.(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B.(0,1) C.⎝⎛⎭⎫－1，15 D.⎝⎛⎭⎫－15，1 解析：选D 由(2a )2＋(a －2)2＜5，得－15＜a ＜1.4．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0，即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－2，23 5．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是________．解析：根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：x 2＋(y －2)2＝1考点一求圆的方程[师生共研过关][典例精析][例1] 已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254[解析] 法一：(待定系数法)设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.法二：(几何法)因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上，所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝ ⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.[答案] C[例2] 圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________________________．[解析] 法一：(几何法)设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )．又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |，即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2，所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. [答案] (x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10[解题技法]1．求圆的方程的两种方法[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[过关训练]1．若不同的四点A (5,0)，B (－1,0)，C (－3,3)，D (a,3)共圆，则a 的值为________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为 x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7. 答案：72．已知圆心在直线y ＝－x ＋1上，且与直线x ＋y －2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________．解析：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ＋1，(a －1)2＋(b －1)2＝|a ＋b －2|2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.所以r ＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＝22.故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 答案：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12考点二与圆有关的最值问题 [全析考法过关][考法全析]考法(一) 斜率型最值问题[例1] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． [解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. 考法(二) 截距型最值问题[例2] 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上，求x ＋y 的最大值与最小值．[解] (转化为截距的最值问题求解)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆C 相切时，b 取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆C 的半径，可得|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.考法(三) 距离型最值问题[例3] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求x 2＋y 2的最大值和最小值． [解] 如图所示，x2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 考法(四) 利用对称性求最值[例4] 已知A (0,2)，点P 在直线x ＋y ＋2＝0上，点Q 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0上，则|PA |＋|P Q |的最小值是________．[解析] 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于Q (图略)，由对称性可知|PA |＋|P Q |＝|A ′P |＋|P Q |≥|A ′Q |＝|A ′C |－r ＝2 5. [答案] 2 5[规律探求][过关训练]1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是()A．2,2－52B．2＋52，2－52C.5，4－ 5D.52＋1，52－1解析：选B由题意知|AB|＝(－1)2＋(－2)2＝5，l AB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，∴圆心到直线l AB的距离d＝|2－0＋2|4＋1＝455.∴S△PAB的最大值为12×5×⎝⎛⎭⎫455＋1＝2＋52，S△PAB的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫455－1＝2－52.2．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1,1)，半径r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |最小时为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2.所以四边形PACB 面积的最小值为(|PC |min )2－r 2＝4－1＝ 3.答案： 3考点三与圆有关的轨迹问题 [师生共研过关][典例精析]已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)． (1)求直角顶点C 的轨迹方程；(2)求直角边BC 的中点M 的轨迹方程．[解] (1)设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[解题技法]求与圆有关轨迹问题的3种方法(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程． (3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．[过关训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，P Q 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D 由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|P Q |＝|PO |，且P Q ⊥C Q ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42. 因为平行四边形的对角线互相平分，所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上，所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆⎝⎛⎭⎫因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285.[课时跟踪检测]一、题点全面练1．圆(x －3)2＋(y －1)2＝5关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝5解析：选C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为5，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5，故选C.2．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213C.253D.43解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 3．(2019·成都模拟)若抛物线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －1)2＝4 B.(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析：选D 抛物线y ＝x 2－2x －3关于直线x ＝1对称，与坐标轴的交点为A (－1,0)，B (3,0)，C (0，－3)，设圆心为M (1，b )，半径为r ，则|MA |2＝|MC |2＝r 2，即4＋b 2＝1＋(b ＋3)2＝r 2，解得b ＝－1，r ＝5，∴由交点确定的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，故选D.4．(2019·银川模拟)若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2解析：选C 设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝2＝|CP |，故C (2，1)，故圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝2，故选C.5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A. 6．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝98．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝29．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410， ∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|M Q |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|Q C |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，所以|M Q |max ＝42＋22＝62， |M Q |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线M Q 的斜率，设直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .因为直线M Q 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 二、专项培优练 (一)易错专练——不丢怨枉分1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )A ．一个椭圆B.一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.2．(2019·海口模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B.[－23，4] C ．[－4,4] D ．[－4,23]解析：选B x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m .当直线3x＋y －m ＝0过点(－2,0)时，m ＝－2 3.设圆心(0,0)到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎨⎧ m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]．3．若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B.[－4,6] C ．(－∞，－4]∪[6，＋∞) D ．[6，＋∞)解析：选D |3x －4y －9|表示点P 到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |表示点P 到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，即点P 到直线l 1，l 2的距离之和与点P 的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以错误!≥1，且a ＞0，解得a ≥6，故选D.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________________．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝435．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(32＋42＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案：74(二)交汇专练——融会巧迁移6．[与不等式交汇]已知圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b的最小值是( ) A ．2 3B.203 C ．4 D.163解析：选D 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.7．[与线性规划交汇]已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________．解析：如图，不等式表示的平面区域是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OP Q 为直角三角形，∴圆心为斜边P Q 的中点(2,1)，半径r ＝|P Q |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5 8．[与函数交汇]如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b a的取值范围为________．解析：易知函数f (x )＝m x ＋1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象过定点(－1,2)，∴直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)过定点(－1，2)，∴a ＋b ＝7，①又定点(－1,2)在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25，②由①②解得3≤a ≤4，∴14≤1a ≤13， ∴b a ＝7－a a ＝7a －1∈⎣⎡⎦⎤34，43.答案：⎣⎡⎦⎤34，439．[与向量交汇]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的最小值．解：(1)设圆C 的圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝2，P Q ―→·M Q ―→＝(x 0－1，y 0－1)·(x 0＋2，y 0＋2)＝x 20＋y 20＋x 0＋y 0－4＝x 0＋y 0－2.令x 0＝2cos θ，y 0＝2sin θ，所以P Q ―→·M Q ―→＝x 0＋y 0－2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2，又⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1，所以P Q ―→·M Q ―→的最小值为－4.(三)难点专练——适情自主选10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1,0)，B (x 2,0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8.x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC ―→·BC ―→＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12. 此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0.整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和⎝⎛⎭⎫25，45.。

高三数学课时作业：第8章第3节圆的方程

课时作业一、选择题1．圆（x＋2)2＋y2＝5关于原点P（0,0)对称的圆的方程为（）A．（x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2）2＝5C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5A [圆上任一点(x，y）关于原点对称点为（－x，－y)在圆（x＋2）2＋y2＝5上，即（－x＋2)2＋(－y)2＝5。

即(x－2)2＋y2＝5。

］2．（2014·郑州第一次质检）以抛物线y2＝4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（）A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0D ［抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），选项A中圆的圆心坐标为（－1，0），排除A；选项B中圆的圆心坐标为(－0.5，0)，排除B；选项C中圆的圆心坐标为（0。

5，0），排除C.］3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（) A．(x－3)2＋错误!错误!＝1 B．（x－2）2＋（y－1）2＝1C．（x－1）2＋(y－3)2＝1 D.错误!错误!＋（y－1）2＝1B ［依题意设圆心C(a，1）(a＞0），由圆C与直线4x－3y＝0相切，得错误!＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是（x－2)2＋（y－1)2＝1。

］4．点P（4，－2）与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A．(x－2)2＋（y＋1）2＝1 B．(x－2)2＋（y＋1)2＝4C．(x＋4）2＋(y－2)2＝4 D．（x＋2）2＋(y－1）2＝1A ［设圆上任一点为Q（x0，y0)，PQ的中点为M（x，y)，则错误!解得错误!因为点Q在圆x2＋y2＝4上,所以(2x－4）2＋（2y＋2)2＝4，即（x－2）2＋(y＋1)2＝1。

]5．(2014·杭州模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0，关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( ）A．(－∞,4) B．（－∞,0）C．(－4,＋∞) D．（4，＋∞）A [将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3）2＝10－5a，可知,圆心为（1，－3),且10－5a＞0,即a＜2.∵圆关于直线y＝x＋2b对称，∴圆心在直线y＝x＋2b上,即－3＝1＋2b，解得b＝－2，∴a－b＜4.］6．已知点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆（x＋1）2＋(y＋1）2＝1上的动点,则｜MN｜的最小值是（) A.错误!B．1C.错误!D.错误!C [圆心（－1，－1）到点M的距离的最小值为点(－1，－1）到直线的距离d＝错误!＝错误!,故点N到点M的距离的最小值为d－1＝错误!。

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