安徽省池州一中年高二年级上学期期中考试文科数学试卷

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2023-2024学年安徽省池州市贵池区高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省池州市贵池区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．直线l 1：x +2y ﹣1＝0与直线l 2：ax +y +2＝0平行，则a ＝（） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣22．已知两条直线l 1：x ﹣2y +4＝0和l 2：x +y ﹣2＝0的交点为P ，则过点P 且与直线l 3：3x ﹣4y +5＝0垂直的直线l 的方程为（） A ．4x ﹣3y +6＝0B ．4x +3y ﹣6＝0C ．3x ﹣4y +6＝0D ．3x +4y ﹣6＝03．椭圆x 2+my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（） A ．14B ．12C ．2D ．44．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1＝2，则点C 到直线AB 1的距离为（）A ．√14B ．√142C ．√143D ．√1445．已知四面体A ﹣BCD 的所有棱长都等于2，E 是棱AB 的中点，F 是棱CD 靠近C 的四等分点，则EF →⋅AC →等于（） A ．−12B ．12C ．−52D ．526．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，过点A （0，1）的两条直线l 1，l 2互相垂直，圆心C 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2的最大值为（） A ．√22B ．1C ．√2D ．47．已知EF 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（） A ．3√2+1B ．4√2+2C ．4√3+1D ．4√3+28．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB =√3AD =√3AA 1=√3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．当A 1C →=2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线 B ．当A 1C →=5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1APC ．当A 1C →=3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1D ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P →二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于空间一点O ，下列命题中正确的是（） A ．若OP →=12OA →−OB →+12OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面B ．若OP →=−13OA →+2OB →−23OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．若OP →=−13OA →+43OB →，则P ，A ，B 三点共线D ．若OP →=OA →+2AB →，则B 是线段AP 的中点 10．以下四个命题表述正确的是（）A ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22B ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与曲线C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为m ＞4C ．已知圆C ：x 2+y 2＝2，P 为直线x +y +2√3=0上一动点，过点P 向圆C 引一条切线P A ，其中A 为切点，则|P A |的最小值为2D ．已知圆C ：x 2+y 2＝4，点P 为直线l ：2x +y ﹣8＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点(1，12) 11．已知左、右焦点分别是F 1，F 2的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，过左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，则下列说法中正确的有（） A ．△ABF 2的周长为4aB ．若直线OP 的斜率为k 1，AB 的斜率为k 2，则k 1k 2=−a 2b2C ．若AF 1→⋅AF 2→=5c 2，则e 的最小值为√77D ．若AF 1→⋅AF 2→=6c 2，则e 的最大值为√7712．如图所示，该几何体由一个直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1和一个四棱锥D ﹣ACC 1A 1组成，AB ＝BC ＝AC ＝AA 1＝2，则下列说法正确的是（）A ．若AD ⊥AC ，则AD ⊥A 1CB ．若平面A 1C 1D 与平面ACD 的交线为l ，则AC ∥lC ．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的表面积为14π3D ．当该几何体有外接球时，点D 到平面ACC 1A 1的最大距离为√21−√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．圆C 1：x 2+y 2+2x −12=0与圆C 2：x 2+y 2+4x −4y =0的交点为A ，B ，则弦AB 的长为． 14．已知点P （2cos10°，2sin10°），点Q （2cos50°，﹣2sin50°），则直线PQ 的倾斜角为． 15．如图，已知两个正四棱锥P ﹣ABCD 与Q ﹣ABCD 的高分别为1和2，AB ＝4，则异面直线AQ 与BP 所成角的余弦值为．16．已知椭圆C ：x 29+y 24=1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |+|BN |＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知圆M 经过点A （﹣3，﹣1），B （﹣6，8），C （1，1）．（1）求圆M 的标准方程；（2）过点P （2，3）向圆M 作切线，求切线方程． 18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点A 为上顶点，直线AF 1交椭圆于点B ．（1）若a =√2，c ＝1，求点B 的坐标；（2）若AF 2⊥BF 2，求椭圆的离心率．19．（12分）如图，四边形ACC 1A 1与四边形BCC 1B 1是全等的矩形，AB =√2AC =√22AA 1．（1）若P 是棱AA 1的中点，求证：平面PB 1C 1⊥平面PB 1C ；（2）若P 是棱AA 1上的点，直线BP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值为3√1313，求二面角B 1﹣PC ﹣C 1的正弦值．20．（12分）如图，△ACD 和△BCD 都是边长为2的等边三角形，平面ACD ⊥平面BCD ，EB ⊥平面BCD ．（1）证明：EB ∥平面ACD ；（2）若点E 到平面ABC 的距离为√5，求平面ECD 与平面BCD 夹角的正切值．21．（12分）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面P AC ⊥平面ABC ，△P AC 为正三角形，E ，F 分别是PC ，PB 上的动点．（1）求证：BC ⊥AE ；（2）若E ，F 分别是PC ，PB 的中点且异面直线AF 与BC 所成角的正切值为√32，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线y=√3x上．（1）设直线l：y=−√33x+4与圆M交于C，D两点，且|OC|＝|OD|，求圆M的方程；（2）设直线y=√3与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线x＝5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．2023-2024学年安徽省池州市贵池区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．直线l 1：x +2y ﹣1＝0与直线l 2：ax +y +2＝0平行，则a ＝（） A ．12B ．−12C ．2D ．﹣2 解：直线l 1：x +2y ﹣1＝0与直线l 2：ax +y +2＝0平行，则a 1=12≠2−1，解得a =12．故选：A ．2．已知两条直线l 1：x ﹣2y +4＝0和l 2：x +y ﹣2＝0的交点为P ，则过点P 且与直线l 3：3x ﹣4y +5＝0垂直的直线l 的方程为（） A ．4x ﹣3y +6＝0B ．4x +3y ﹣6＝0C ．3x ﹣4y +6＝0D ．3x +4y ﹣6＝0解：设所求直线l 的方程为x ﹣2y +4+λ（x +y ﹣2）＝0，即（1+λ）x +（λ﹣2）y +4﹣2λ＝0，因为直线l 与l 3：3x ﹣4y +5＝0垂直，所以3（1+λ）﹣4（λ﹣2）＝0，解得λ＝11，所以直线l 的方程为12x +9y ﹣18＝0，即4x +3y ﹣6＝0．故选：B ．3．椭圆x 2+my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（） A ．14B ．12C ．2D ．4解：椭圆x 2+my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴√1m =2⇒m =14，故选：A ．4．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1＝2，则点C 到直线AB 1的距离为（）A ．√14B ．√142C ．√143D ．√144解：取AC 的中点O ，△ABC 为等边三角形，则BO ⊥AC ，BO =√3，以O 为原点，OB →，OC →的方向分别为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0，−1，0)，B 1(√3，0，2)，C(0，1，0)，则AB 1→=(√3，1，2)，CA →=(0，−2，0)，则CA →在AB 1→上的投影的长度为|CA →⋅AB 1→||AB 1→|=2√2=√22，故点C 到直线AB 1的距离d =√22−(√22)2=√142．故选：B ．5．已知四面体A ﹣BCD 的所有棱长都等于2，E 是棱AB 的中点，F 是棱CD 靠近C 的四等分点，则EF →⋅AC →等于（） A ．−12B ．12C ．−52D ．52解：如图：∵E 是棱AB 的中点，F 是棱CD 靠近C 的四等分点，∴EF →=EB →+BC →+CF →=12AB →+BC →+14CD →， ∵空间四面体D ﹣ABC 的每条棱长都等于2， ∴每个面都是等边三角形， ∴EF →⋅AC →=（12AB →+BC →+14CD →）•AC →=12AB →⋅AC →+CA →⋅CB →−14CA →⋅CD →=12×2×2×cos60°+2×2×cos60°−14×2×2×cos60° ＝1+2−12=52．故选：D ．6．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4，过点A （0，1）的两条直线l 1，l 2互相垂直，圆心C 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，则d 1d 2的最大值为（） A ．√22B ．1C ．√2D ．4解：设l 1，l 2被圆C 所截得的弦的中点分别为E ，F ．由题意可得四边形AECF 为矩形．∴|CE |2+|CF |2＝|AC |2＝2，∴d 12+d 22=2，∴d 1d 2≤d 12+d 222=1，当且仅当d 1＝d 2时，取等号，∴d 1d 2的最大值为1．故选：B ．7．已知EF 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（） A ．3√2+1B ．4√2+2C ．4√3+1D ．4√3+2解：由题可知：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2，圆心C （1，2），半径r =√2，又CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，所以CP =12EF ＝1，所以点P 的轨迹方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，圆心为点C （1，2），半径为R ＝1，若直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，点C （1，2），到直线l 的距离为d =√1+(−1)=2√2，所以AB 长度的最小值为2（d +1）＝4√2+2，故选：B ．8．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB =√3AD =√3AA 1=√3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．当A 1C →=2A 1P →时，B 1，P ，D 三点共线 B ．当A 1C →=5A 1P →时，A 1C ⊥平面D 1APC ．当A 1C →=3A 1P →时，D 1P ∥平面BDC 1 D ．当AP →⊥A 1C →时，AP →⊥D 1P →解：由题意，如图建系：则D(0，0，0)，C(0，√3，0)，D 1(0，0，1)，A(1，0，0)，A 1(1，0，1)，B(1，√3，0)，C 1(0，√3，1)，设A 1C →=kA 1P →，A 1C →=（﹣1，√3，﹣1），则A 1P →=(−1k，√3k，−1k )，可得D 1P →=D 1A 1→+A 1P →=（1−1k，√3k，−1k ），AP →=AA 1→+A 1P →=（−1k ，√3k，1−1k ），对于A ：当A 1C →=2A 1P →时，则点P 为对角线A 1C 的中点，根据长方体性质可得B ，P ，D 1三点共线，故A 正确；对于B ：当A 1C →=5A 1P 时，可得AP →=(−15，√35，45)，D 1A →=(1，0，−1)，设平面D 1AP 的法向量为m →=(a ，b ，c)，则m →⋅AP →=−15a +√35b +45c =0，m →⋅D 1A →=a −c =0，取a ＝﹣1，则b =√3，c =−1，∴m →=(−1，√3，−1)，而A 1C →=(−1，√3，−1)，∴A 1C →∥m →，∴A 1C ⊥平面D 1AP ，故B 正确；对于C ：当A 1C →=3A 1P →时，D 1P =(23，√33，−13)，设平面BDC 1的法向量为n →=(x ，y ，z)， ∵DB →=（1，√3，0），DC 1→=（0，√3，1）， ∴n →⋅DB →=x +√3y =0，n →⋅DC 1→=√3y +z =0，当y ＝﹣1时，x =√3，z =√3，故n →=(√3，−1，√3)，∴n →⋅D 1P →=23×√3−√33−13×√3=0，∴n →⊥D 1P →，又D 1P ⊄平面BDC 1，∴D 1P ∥平面BDC 1，故C 正确；对于D ：当AP ⊥A 1C →时，∴AP →⋅A 1C →=1k +3k +1k −1=0，解得k ＝5，所以AP →=(−15，√35，45)，D 1P →=(45，√35，−15)．则AP →⋅D 1P →=(−15，√35，45)⋅(45，√35，−15)=−425+325−425≠0 因此AP →⊥D 1P →不正确，故D 错误．故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于空间一点O ，下列命题中正确的是（） A ．若OP →=12OA →−OB →+12OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面B ．若OP →=−13OA →+2OB →−23OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．若OP →=−13OA →+43OB →，则P ，A ，B 三点共线D ．若OP →=OA →+2AB →，则B 是线段AP 的中点解：对A ，因为12−1+12=0≠1，则P ，A ，B ，C 四点不共面，故A 错误；对B ，因为−13+2−23=1，则P ，A ，B ，C 四点共面，故B 正确；对C ，因为−13+43=1，则P ，A ，B 三点共线，故C 正确；对D ，OP →=OA →+2AB →，即OP →−OA →=2AB →，即AP →=2AB →，则|AP →|=2|AB →|，AP →，AB →共线，且点P ，B 在点A 的一侧，又因为AP →，AB →有公共点A ，则点A ，P ，B 三点共线，则B 是线段AP 的中点，故D 正确．故选：BCD ．10．以下四个命题表述正确的是（）A ．圆x 2+y 2＝2上有且仅有3个点到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离都等于√22B ．曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0与曲线C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为m ＞4C ．已知圆C ：x 2+y 2＝2，P 为直线x +y +2√3=0上一动点，过点P 向圆C 引一条切线P A ，其中A 为切点，则|P A |的最小值为2D ．已知圆C ：x 2+y 2＝4，点P 为直线l ：2x +y ﹣8＝0上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过点(1，12)解：对于A ：圆x 2+y 2＝2的圆心（0，0）到直线l ：x ﹣y +1＝0的距离d =1√2=√22，平分半径，故存在的点有3个，故A 正确；对于B ：曲线C 1：x 2+y 2+2x ＝0，整理得：（x +1）2+y 2＝1，圆心（﹣1，0），半径为1．曲线C 2：x 2+y 2﹣4x ﹣8y +m ＝0，整理得：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2＝20﹣m ，圆心为（2，4），半径为√20−m ，由于两圆恰有四条公切线，故√(2+1)2+42＞1+√20−m ，解得4＜m ＜20，故B 错误；对于C ：已知圆C ：x 2+y 2＝2，P 为直线x +y +2√3=0上一动点，过点P 向圆C 引一条切线P A ，其中A 为切点，所以圆心（0，0）到直线x +y +2√3=0的距离d =2√32，所以|PA|min =√4×32−2=2，故C 正确；对于D ：设P （x 0，y 0），点P 在直线2x +y ﹣8＝0上，所以2x 0+y 0﹣8＝0，故y 0＝8﹣2x 0，由圆的切线的性质：直线AB 的方程为xx 0+yy 0＝4，xx 0+y （8﹣2x 0）＝4，整理得（x ﹣2y ）x 0+8y ﹣4＝0，故{x −2y =08y −4=0，解得{x =1y =12，故直线AB 经过（1，12），故D 正确．故选：ACD ．11．已知左、右焦点分别是F 1，F 2的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，过左焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，则下列说法中正确的有（） A ．△ABF 2的周长为4aB ．若直线OP 的斜率为k 1，AB 的斜率为k 2，则k 1k 2=−a 2b2C ．若AF 1→⋅AF 2→=5c 2，则e 的最小值为√77 D ．若AF 1→⋅AF 2→=6c 2，则e 的最大值为√77解：A ，∵△ABF 2的周长为2a +2a ＝4a ，∴A 正确，B ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得AB 的中点P （12（x 1+x 2），12（y 1+y 2）），将A ，B 的坐标代入椭圆方程可得{ x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，作差可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2=−(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2，∴y 1−y 2x 1−x 2•y 1+y 2x 1+x 2=−b 2a2，即k OP •k AB =−b 2a 2，∴k 1•k 2=−b2a 2，∴B 错误，C ，设A （x 1，y 1），可得x 12a 2+y 12b 2=1，则AF 1→•AF 2→=（﹣c ﹣x 1，﹣y 1）•（c ﹣x 1，﹣y 1）=x 12−c 2+y 12=x 12+b 2（1−x 12a 2）﹣c 2=c 2a 2x 12+a 2﹣2c 2∈[a 2﹣2c 2，a 2﹣c 2]，∴a 2﹣2c 2≤5c 2≤a 2﹣c 2，6c 2≤a 2≤7c 2，可得e ∈[√77，√66]，∴C 正确， D ，设A （x 1，y 1），可得x 12a 2+y 12b 2=1，x 1∈[﹣a ，a ]，则AF 1→•AF 2→=（﹣c ﹣x 1，﹣y 1）•（c ﹣x 1，﹣y 1）=x 12−c 2+y 12=x 12+b 2（1−x 12a 2）﹣c 2=c 2a2x 12+a 2﹣2c 2∈[a 2﹣2c 2，a 2﹣c 2]， ∴a 2﹣2c 2≤6c 2≤a 2﹣c 2，7c 2≤a 2≤8c 2，可得e ∈[√24，√77]，∴D 正确，故选：ACD ．12．如图所示，该几何体由一个直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1和一个四棱锥D ﹣ACC 1A 1组成，AB ＝BC ＝AC ＝AA 1＝2，则下列说法正确的是（）A ．若AD ⊥AC ，则AD ⊥A 1CB ．若平面A 1C 1D 与平面ACD 的交线为l ，则AC ∥lC ．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的表面积为14π3D ．当该几何体有外接球时，点D 到平面ACC 1A 1的最大距离为√21−√33解：对于选项A ，若AD ⊥AC ，又因为AA 1⊥平面ABC ，但是D 不一定在平面ABC 上，所以A 不正确；对于选项B ，因为A 1C 1∥AC ，所以AC ∥平面A 1C 1D ，平面A 1C 1D ∩平面ACD ＝l ，所以AC ∥l ，所以B 正确；对于选项C ，取△ABC 的中心O ，△A 1B 1C 1的中心O 1， OO 1的中点为该三棱柱外接球的球心，所以外接球的半径R =√12+(2√33)2=√213，所以外接球的表面积为4πR 2=283π，所以C 不正确；对于选项D ，该几何体的外接球即为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球， OO 1的中点为该外接球的球心，该球心到平面ACC 1A 1的距离为√33，点D 到平面ACC 1A 1的最大距离为R −√33=√21−√33，所以D 正确．故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．圆C 1：x 2+y 2+2x −12=0与圆C 2：x 2+y 2+4x −4y =0的交点为A ，B ，则弦AB 的长为 4√2 ．解：圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣12＝0与圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0，联立两个圆的方程可得：x ﹣2y +6＝0，故公共弦AB 所在直线方程为x ﹣2y +6＝0，圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0，即（x +2）2+（y ﹣2）2＝8，圆心C 2为（﹣2，2），r ＝2√2，圆心C 2到直线AB 的距离为：√12+(−2)2=0，故公共弦AB 的长为2r ＝4√2，故答案为：4√2．14．已知点P （2cos10°，2sin10°），点Q （2cos50°，﹣2sin50°），则直线PQ 的倾斜角为 70° ．解：设直线PQ 的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=2sin10°+2sin50°2cos10°−2cos50°=sin(60°−50°)+sin50°cos(60°−50°)−cos50°=√32cos50°+12sin50°32sin50°−12cos50°=sin(50°+60°)sin(50°−30°)=sin110°sin20°=sin70°cos70°=tan70°，所以直线PQ 的倾斜角为70°．故答案为：70°．15．如图，已知两个正四棱锥P ﹣ABCD 与Q ﹣ABCD 的高分别为1和2，AB ＝4，则异面直线AQ 与BP 所成角的余弦值为√39．解：由题设知，四边形ABCD 是正方形，连接AC ，BD ，交于点O ，则AC ⊥BD ．连接PQ ，则PQ 过点O ．由正四棱锥的性质知PQ ⊥平面ABCD ，故以O 为坐标原点，以直线CA ，DB ，QP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，1），A(2√2，0，0)，Q （0，0，﹣2），B(0，2√2，0)，所以AQ →=(−2√2，0，−2)，BP →=(0，−2√2，1)．于是cos〈AQ →，BP →〉=AQ →⋅BP →|AQ →||BP →|=−√39，所以异面直线AQ 与BP 所成角的余弦值为√39．故答案为：√39．16．已知椭圆C ：x 29+y 24=1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |+|BN |＝ 12 ．解：设MN 的中点为D ，椭圆C 的左右焦点分别为F 1，F 2，如图，连接DF 1，DF 2，∵F1是MA的中点，D是MN的中点，∴F1D是△MAN的中位线．∴|DF1|=12|AN|，同理|DF2|=12|BN|．∴|AN|+|BN|＝2（|DF1|+|DF2|），∵D在椭圆上，∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知：|DF1|+|DF2|＝6，∴|AN|+|BN|＝12．故答案为：12．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知圆M经过点A（﹣3，﹣1），B（﹣6，8），C（1，1）．（1）求圆M的标准方程；（2）过点P（2，3）向圆M作切线，求切线方程．解：（1）设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将A、B、C三点坐标代入圆M的一般方程，得{9+1−3D−E+F=036+64−6D+8E+F=01+1+D+E+F=0，解得{D=6E=−8F=0，所以圆M的一般方程为x2+y2+6x﹣8y＝0，圆M的标准方程为（x+3）2+（y﹣4）2＝25；（2）当切线与x轴垂直时，则该直线的方程为x＝2，此时，圆心M到直线x＝2的距离为5，则直线x＝2与圆M相切；当切线的斜率存在时，设切线的方程为y﹣3＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+3＝0．圆心M到直线kx﹣y﹣4k+5＝0的距离为√1+k2=5，解得k=125，此时，切线的方程为y﹣3=125（x﹣2），即12x﹣5y﹣9＝0．综上，该切线方程为x＝2或12x﹣5y﹣9＝0．18．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），点A为上顶点，直线AF1交椭圆于点B．（1）若a=√2，c＝1，求点B的坐标；（2）若AF2⊥BF2，求椭圆的离心率．解：（1）当a=√2，c＝1可得b2＝a2﹣c2＝2﹣1＝1，所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1，所以由题意可得A （0，1），F 1（﹣1，0），F 2（1，0），所以直线AF 1的方程为：y ＝x +1，代入椭圆可得：3x 2+4x ＝0，所以x B =−43，代入直线方程可得y B =−43+1=−13，所以点B 的坐标为：（−43，−13）；（2）由题意可得直线AF 1的方程为：x −c +y b=1，与椭圆的方程联立{x 2a 2+y 2b 2=1x −c +y b=1，整理可得：（a 2+c 2）x 2+2a 2cx ＝0，所以可得x B =−2a 2ca 2+c2，代入直线方程可得y B =(c 2−a 2)b a 2+c 2，即B （−2a 2c a 2+c 2，(c 2−a 2)ba 2+c2），因为AF 2⊥BF 2，所以AF 2→⋅BF 2→=0，而AF 2→=（c ，﹣b ），同理可得BF 2→=（c 3+3a 2c a 2+c 2，−(c 2−a 2)ba 2+c 2），所以c ⋅c 3+3a 2c a 2+c 2−[﹣b ⋅(c 2−a 2)ba 2+c2]＝0，整理可得：5c 2＝a 2，所以离心率e =√55．19．（12分）如图，四边形ACC 1A 1与四边形BCC 1B 1是全等的矩形，AB =√2AC =√22AA 1．（1）若P 是棱AA 1的中点，求证：平面PB 1C 1⊥平面PB 1C ；（2）若P 是棱AA 1上的点，直线BP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值为3√1313，求二面角B 1﹣PC ﹣C 1的正弦值．解：（1）证明：由题意知AC =BC =√22AB ，所以AC ⊥BC ，又因为CC 1⊥BC ，且CC 1∩AC ＝C ，AC ⊂平面ACC 1A 1，CC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，又CP ⊂平面ACC 1A 1，所以BC⊥CP．√2AC=√22AA1，即AC=12AA1，所以AC＝AP，所以∠APC=π4，同理∠A1PC1=π4，所以∠CPC1=π2，即PC1⊥CP．又由于BC∥B1C1，所以B1C1⊥CP，且PC1∩B1C1＝C1，又PC1⊂平面PB1C1，B1C1⊂平面PB1C1，所以CP⊥平面PB1C1，又因为CP⊂平面PB1C，所以平面PB1C1⊥平面PB1C．（2）由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，所以CP是直线BP在平面ACC1A1内的射影，所以∠BPC就是直线BP与平面ACC1A1所成的角，即tan∠BPC=3√1313，所以CP=√133BC=√133AC，所以由勾股定理得AP=23AC=13AA1，又由（1）知，A1C 1，B1C1，CC1两两垂直，以C1C，C1B1，C1A1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设AA1＝2，则C（2，0，0），B1（0，1，0），P(43，0，1)，B1C→=(2，−1，0)，PC→=(23，0，−1)，设平面PB1C的一个法向量为m→=(x，y，z)，则{m→⋅B1C→=0m→⋅PC→=0，即{2x−y=023x−z=0，则可取m →=(3，6，2)，易知平面PCC 1的一个法向量为n →=(0，1，0)，设二面角B 1﹣PC ﹣C 1的大小为θ，由图知θ为锐角，所以cosθ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=6√2+6+3=67．则二面角B 1﹣PC ﹣C 1的正弦值为√1−(67)2=√137．故二面角B 1﹣PC ﹣C 1的正弦值为√137． 20．（12分）如图，△ACD 和△BCD 都是边长为2的等边三角形，平面ACD ⊥平面BCD ，EB ⊥平面BCD ．（1）证明：EB ∥平面ACD ；（2）若点E 到平面ABC 的距离为√5，求平面ECD 与平面BCD 夹角的正切值．解：（1）证明：如图，取CD 的中点，连接AO ，则AO ⊥CD ，又因为平面ACD ⊥平面BCD ，且平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，AO ⊂平面ACD ，则AO ⊥平面BCD ，又EB ⊥平面BCD ，所以EB ∥AO ，又EB ⊄平面ACD ，AO ⊂平面ACD ，所以EB ∥平面ACD ．（2）如图，连接EO ，BO ，取BC 的中点F ，连接DF ，则DF ⊥BC ，因为|AB|=√|AO|2+|BO|2=√6，则等腰△BAC 的面积为S △BAC =12×√6×√102=√152，所以三棱锥E ﹣ABC 的体积为V E−ABC =13×√152×√5=5√36，因为EB ⊥平面BCD ，DF ⊂平面BCD ，则DF ⊥EB ，又因为DF ⊥BC ，EB ∩BC ＝B ，EB ⊂平面EBC ，BC ⊂平面EBC ，则DF ⊥平面EBC ，因为EB ∥AO ，则点A 到平面EBC 的距离等于点O 到平面EBC 的距离等于12|DF|=√32，因为S △EBC =12×2×|EB|=|EB|，则V A−EBC =13×|EB|×√32=√36|EB|，又V E ﹣ABC ＝V A ﹣EBC ，所以|EB |＝5，因为EB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，则EB ⊥BC ，EB ⊥BD ，所以|EC |＝|ED |，所以EO ⊥CD ，所以平面ECD 与平面BCD 夹角的平面角为∠EOB ，则tan ∠EOB =|EB||OB|=53=5√33，所以平面ECD 与平面BCD 夹角的正切值为5√33． 21．（12分）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面P AC ⊥平面ABC ，△P AC 为正三角形，E ，F 分别是PC ，PB 上的动点．（1）求证：BC ⊥AE ；（2）若E ，F 分别是PC ，PB 的中点且异面直线AF 与BC 所成角的正切值为√32，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ，点Q 为直线l 上动点，求直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围．（1）证明：因为C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，所以BC ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ，且平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面P AC ，AE ⊂平面P AC ．所以BC ⊥AE ．（2）解：由E ，F 分别是PC ，PB 的中点，连结AF ，AE ，EF ，所以BC ∥EF ，由（1）知BC ⊥AE ，所以EF ⊥AE ，所以在Rt △AFE 中，∠AFE 就是异面直线AF 与BC 所成的角．因为异面直线AF 与BC 所成角的正切值为√32，所以tan ∠AFE =√32，即AE EF =√32，又EF ⊂平面AEF ，BC ⊄平面AEF ，所以BC ∥平面AEF ，又BC ⊂平面ABC ，平面EF A ∩平面ABC ＝l ，所以BC ∥l ，所以在平面ABC 中，过点A 作BC 的平行线即为直线l ．以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝2．因为△P AC 为正三角形，所以AE =√3，从而EF ＝2，由已知E ，F 分别是PC ，PB 的中点，所以BC ＝2EF ＝4，则A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0，√3)，所以E(12，0，√32)，F(12，2，√32)，所以AE →=(−32，0，√32)，EF →=(0，2，0)，因为BC ∥l ，所以可设Q （2，t ，0），平面AEF 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅AE →=−3x 2+√3z2=0m →⋅EF →=2y =0，取z =√3，得m →=(1，0，√3)，又PQ →=(1，t ，−√3)，则|cos〈PQ →，m →〉|=|PQ⋅m→|PQ →|⋅|m →||=√4+t ∈(0，12]．设直线PQ 与平面AEF 所成角为θ，则sinθ=1√4+t ∈(0，12]．所以直线PQ 与平面AEF 所成角的取值范围为(0，π6]．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y =√3x 上．（1）设直线l：y=−√33x+4与圆M交于C，D两点，且|OC|＝|OD|，求圆M的方程；（2）设直线y=√3与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线x＝5上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标．解：（1）圆M过坐标原点O且圆心在曲线y=√3x 上，设M(t，√3t)，由|OC|＝|OD|，知OM⊥l，所以k OM=√3t2=√3，解得t＝±1，当t＝1时，圆心M(1，√3)到直线l：y=−√33x+4的距离d=2(√3−1)小于半径，符合题意；当t＝﹣1时，圆心M(−1，−√3)到直线l：y=−√33x+4的距离d=2(√3+1)大于半径，不符合题意．所以，所求圆M的方程为(x−1)2+(y−√3)2=4．（2）设P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），又知E(−1，√3)，F(3，√3)，所以k PE=y0−√36，k PF=y0−√32，显然3k PE＝k PF，设k PE＝m，则k PF＝3m，从而直线PE方程为：y−√3=m(x+1)，与圆M的方程(x−1)2+(y−√3)2=42联立，消去y，可得：（1+m2）x2+（2m2﹣2）x+m2﹣3＝0，所以−1×x1=m2−31+m2，即x1=3−m21+m2，同理直线PF方程为：y−√3=3m(x−3)，与圆M的方程(x−1)2+(y−√3)2=42联立，消去y，可得：（1+9m2）x2﹣（54m2+2）x+81m2﹣3＝0，所以3×x2=81m2−31+9m2，即x2=27m2−11+9m2．所以x1+x2=3−m21+m2+27m2−11+9m2=2+32m29m4+10m2+1，x1⋅x2=3−m21+m2⋅27m2−11+9m2=−3+112m29m4+10m2+1．消去参数m整理得2x1x2﹣7（x1+x2）+20＝0，①设直线GH的方程为y＝kx+b，代入(x−1)2+(y−√3)2=4，整理得(1+k2)x2+(2kb−2√3k−2)x+b2−2√3b=0，所以x1+x2=−2kb−2√3k−21+k2，x1⋅x2=b2−2√3b1+k2，代入①式，并整理得b2+(7k−2√3)b+10k2−7√3k+3=0，即(b+2k−√3)(b+5k−√3)=0，解得b=√3−2k或b=√3−5k，当b=√3−2k时，直线GH的方程为y=k(x−2)+√3，过定点(2，√3)；当b=√3−5k时，直线GH的方程为y=k(x−5)+√3，过定点(5，√3)，第二种情况不合题意（因为G，H在直径EF的异侧），舍去．所以，直线GH过定点(2，√3)．。

安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案

2024～2025学年第一学期高二期中检测数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,4a =，()1,0,2b =-r，则a b ⋅的值为（）A.()1,0,8- B.9C.－7D.7【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】()()1,1,2,00874,21a b ⋅⋅=-=-++=.故选：D2.直线+1=0x 的倾斜角为（）A.34π B.4π C.2π D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.3.与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（）．A.220x y -+=B.220x y --= C.220x y -+= D.220x y --=【答案】A 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为12，∴所求直线方程为10(2)2y x -=+，整理为220x y -+=．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.4.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA x AB y AD =++，则（）A.11,22x y =-=B.11,22x y ==-C.11,22x y =-=-D.11,22x y ==【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；11()2BE BB BA BC =++11122AA BA BC=++111,22AA AB AD =-+ 1BE AA xAB y AD =++ 又11,,22x y =-=∴故选：A5.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A6.若圆()()2213425O x y -+-=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()2213425O x y -+-=:的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,0D ，向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，则点O 到平面DEF 的距离为（）A.21B.7C.21D.21【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点O 到平面DEF 的距离.【详解】因为()2,1,0D ，所以()2,1,0OD = ，又向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，所以()4,1,2m =是平面DEF 的一个法向量所以点O 到平面DEF的距离为7OD m d m ⋅===.故答案为：7.8.已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l的距离的最大值为16OQ r +=+=，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线2y x =与0x y a ++=交于点()1,P b ，则（）A.3a =-B.2b =C.点P 到直线30ax by ++=的距离为13D.点P 到直线30ax by ++=的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a 、b ，进而应用点线距离公式求P 到直线30ax by ++=的距离即可.【详解】由题意，得：210b b a =⎧⎨++=⎩，解得3a =-，2b =，故A 、B 正确，∴()1,2到直线3230x y -++=的距离13d ==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.已知空间向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，则下列说法正确的是（）A.()32//a b a+B.()57a a b⊥+C.a =D.b =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.【详解】因为向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，可得214,10a a b =⋅=-，对于A 中，由()323,3,8a b +=-，设32a b a λ+= ，即()3,3,8(3,1,2)λ-=--，可得33382λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，此时方程组无解，所以32a b + 与a 不平行，所以A 错误；对于B 中，由()257575147(10)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯-=，所以()57a a b ⊥+，所以B 正确；对于C中，由a ==，所以C 正确；对于D中，由b == D 正确.故选：BCD.11.直线2y x m =+与曲线y =恰有两个交点，则实数m 的值可能是（）A.4B.5C.3D.4110【答案】AD 【解析】【分析】做出函数图象，数形结合，求出m 的取值范围，再进行选择.【详解】做出函数2y x m =+与y =的草图.设2y x m =+与圆224x y +=2=⇒m =m =-（舍去）.因为函数2y x m =+与y =有两个交点，所以4m ≤<.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在空间直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2,)3-，点B 的坐标为(0,1,4)--，点A 与点C 关于x 轴对称，则||BC =___________.【答案】【解析】【分析】首先根据对称求出点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求||BC 的值即可.【详解】因为点A 与点C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为()1,2,3-，又因为点B 的坐标为(0,1,4)--，所以BC ==．13.过点()2,4作圆224x y +=的切线，则切线方程为___________．【答案】2x =或34100x y -+=【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时2x =满足，②直线斜率存在时，设切线方程为()42y k x -=-，则324d k ==⇒=，所以切线方程为4y -=()324x -，即34100x y -+=．故答案为：2x =或34100x y -+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．【答案】【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD＝=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线l 过点()2,1P -．（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）20x y +=或30x y --=．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线l 与直线230x y ++=垂直，所以可设直线l 的方程为20x y m -+=，因为直线l 过点()2,1P -，所以()2210m -⨯-+=，解得4m =-，所以直线l 的方程为240x y --=【小问2详解】当直线l 过原点时，直线l 的方程是2xy =-，即20x y +=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a -=，把点()2,1P -代入方程得3a =，所以直线l 的方程是30x y --=．综上，所求直线l 的方程为20x y +=或30x y --=16.已知向量()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=.（1）若a b ⊥ ，求t 的值；（2）求b a -的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）计算出()1,21,0b a t t -=+-，利用模长公式得到b a -= ，求出最小值.【小问1详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即()()22110t t t t -+-+=，解得2t=；【小问2详解】()1,21,0 b a t t-=+-所以b a-=.所以当15t=时，b a-取得最小值为5.17.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，AP⊥平面ABCD，Q为线段PD上的点，2DQ PQ=，1AB BC PA===，2AD=．（1）证明：//BP平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用三角形相似得2MD MB=，结合2DQ PQ=，则有//MQ BP，利用线面平行的判定即可证明；（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵//BC AD，2AD BC=，则AMD CMB，∴2MD ADMB CB==，2MD MB=，∵2DQ PQ=，∴//MQ BP，BP ⊄ 平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，∴//BP 平面ACQ ；【小问2详解】AP ⊥ 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ,,AP AB AP AD ∴⊥⊥，因为底面AB BC ⊥,则AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，220,,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，由()1,1,0AC = ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，有02233AC m x y AQ m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，1y =-，1z =，可得()1,1,1m =- ，由()1,1,1CP =-- ，有1CP m ⋅=，CP m ==，则1cos ,3CP m == ．故直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13．18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）4242【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，设()2,,0E a ，利用111cos ,B E BG B E BG B E BG⋅= ，解得1a =，即可证得；（2）分别求得平面1B EF 与平面11ABC D 的法向量m n ，，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅ 求解即可.【小问1详解】证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()1,0,0G ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,1F ，设()2,,0E a ，则()10,2,2B E a =-- ，()1,2,0BG =-- ，所以()1121422cos ,5524B E BG a B E BG B E BG a ⋅-===-+ ，所以2430a a -+=，解得1a =（3a =舍去），即E 为AB 的中点.【小问2详解】由（1）可得()10,1,2B E =-- ，()2,1,1EF =- ，设(),,m x y z = 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ .令2z =，得()1,4,2m =-- .易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA == ，所以cos ,42m n m n m n ⋅===⋅ .所以所求锐二面角的余弦值为42.19.已知圆C 过点(1,0)M -且与直线20x +-=相切于点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线:30l kx y k --+=与圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与x 轴的正半轴交于点P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +是定值．【答案】（1）221x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆C 的方程.（2）把直线方程与圆C 方程联立，得到12x x +，21x x ，再表示出12k k +，运算整理即可.【小问1详解】过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线20x +-=垂直的直线为：1022x y ⎛⎫⎫---= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0y -=.又线段MN，其中1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的垂直平分线为：()222213122x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y +=.由00y y -=+=，得圆心()0,0C ，又221r CM ==.故圆C 的方程为：221x y +=.【小问2详解】将()3y kx k =+-代入221x y +=得：()2231x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦，整理得：()()()222123310k x k k x k ++-+--=.由0∆>⇒()()()22224341310k k k k ⎡⎤--+-->⎣⎦⇒43k >.设1,1，2,2，则()122231k k x x k -+=+，()2122311k x x k --=+.又()1,0P ，所以()111111133111k x y k k x x x -+===+---，同理：2231k k x =+-.所以121233211k k k x x +=++--()()()121236211x x k x x +-=+--()()1212123621x x k x x x x +-=+-++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++18629k k --=+23=-.所以1223k k +=-为定值.。

高二第一学期期中测试数学试题(文科)及答案doc

高二第一学期期中测试数学试题（文科）参考公式：回归直线方程a x by ˆˆ+=∧，其中∑∑==∧--=n i i ni ii xn x yx n yx b 1221，x b y aˆˆ-= 一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．设,a b 为非零实数,若a b <,0c ≠ 则下列不等式成立的是A. ac bc <B. 22a b < C. 22ac bc < D. a c b c -<+ 2．要完成下列两项调查：宜采用的抽样方法依次为①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况.A ．①随机抽样法，②系统抽样法B ．①分层抽样法，②随机抽样法C ．①系统抽样法，②分层抽样法D ．①②都用分层抽样法3．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立．．．．．．的两个事件是 A ．至少有1个白球，都是白球 B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球4．一组数据的平均数是2 .8 ，方差是3 .6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是A ．57.2 ，3.6B ．57.2 ，56.4C ．62.8 ，63.6D ．62.8 ，3.65．当1x >时，关于函数下列叙述正确的是A.函数()f x 有最小值2B.函数()f x 有最大值2C.函数()f x 有最小值3D.函数()f x 有最大值3 6．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90% , 则甲、乙二人下成和棋的概率为A. 50%B. 30%C. 10%D. 60% 7．如右图所示的程序框图输出的结果是S ＝120 ，则判断框内应填写的条件是A. i ≤5？B. i>5？C. i ≤6？D. i>6？,11)(-+=x x x f354555658．已知回归直线斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的回归方程是 A. 1.230.08y x ∧=+ Ｂ． 1.235y x ∧=+ Ｃ． 1.234y x ∧=+ Ｄ．0.08 1.23y x ∧=+9．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c ，若 A=2B ，则cosB 等于A. B. C. D.10．ABCD 为长方形，AB=2 ，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到点O 的距离大于1的概率为 A ．4π B ． 14π- C ． 8π D ．18π- 二、填空题（本大题共4小题，每小题５分，共20分）11．把5进制数4301（5）化为十进制数：4301（5）= 。

安徽省池州市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(文)试卷

池州一中 2020～2021 学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学（文科）试卷
满分 150 分，考试时间 120 分钟
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1．若直线过点(1,2)，(4,2＋ 3)，则此直线的倾斜角是 ( )
（1）求证：PA∥面 BDE；（2）求证：平面 PAC⊥平面 BDE；（3）若二面角 E－BD－C 为 30°，求四棱锥 P－ABCD 的体积．
22．如图 1，在直角梯形 ABCD 中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝1AB＝2，E 为 AC 的中 2
点，将△ACD 沿 AC 折起，使折起后的平面 ACD 与平面 ABC 垂直，如图 BC⊥平面 ACD；（2）点 F 在棱 CD 上，且满足 AD∥平面 BEF，求几何体 F－BCE 的体积．
∵平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ACD∩平面 ABC＝AC，
∴BC⊥平面 ACD．
(2)∵AD∥平面 BEF，AD⊂平面 ACD，平面 ACD∩平面 BEF＝EF，
∴AD∥EF，
∵E 为 AC 的中点，
∴EF 为△ACD 的中位线，
由(1)知，VF－BCE＝VB－CEF＝13×S△CEF×BC，
C．
2
D．
13
20
5
13
1
9．给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

安徽高二上学期期中考试文科数学试题 Word版含答案

安徽师范大学附属中学期中考查高二文科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、下列说法正确的是（）A．任意三点可确定一个平面 B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形 D．一条直线和一个点确定一个平面2、某几何体的正视图和侧视图均如右图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）第2题图A． B． C． D．3、已知水平放置的ΔABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中''''1,''2B OC O A O===那么原ΔABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．仅有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形4、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6 C．5 D．35、在梯形ABCD中，∠ABC＝π2，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A．2π3B．4π3C．5π3D．2π6、对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（）A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线'第3题图7、若有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβC ．若αβ⊥，α⊂m ，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，α⊄m ，则//m α 8、如图正方体中,o ,1o 为底面中心,以1oo 所在直线为旋转轴,线段1BC 形成的几何体的正视图为（）第8题图 9、给出以下四个命题，①如果平面α，β，γ满足l =⊥⊥βαγβγα ,,,则γ⊥l ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l③已知a,b 是异面直线，βα,为两个平面，若αββα//,,//,b b a a ⊂⊂，则βα// ④一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线其中正确命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ． 3个D ．4个 10、在棱长为2的正方体内有一四面体A －BCD ，其中 B ，C 分别为正方体两条棱的中点，其三视图如图所示，则四面体A －BCD 的体积为( )A.83 B ．2 C.43D ．1 11、设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （）(A)(B)(C)(D)1A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有无数多个12.异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．]2,6[ππ B ．]2,3[ππ C ．]3,6[ππ D ．]32,6[ππ二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.） 13.已知球内接正方体的表面积为S ，那么球的半径是.14、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为．15、已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两垂直，且分别长为2、4、4，则顶点P到面ABC 的距离为．16、棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为_______________.三、解答题（本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.）17、（8分）如图所示的三幅图中，图(1)所示的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图（2）（3）所示(单位：cm)。

高二数学上学期期中教学质量检测试题文含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校贵池区二零二零—二零二壹高二数学上学期期中教学质量检测试题文〔含解析〕考生注意：1.本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，总分值是150分，考试时间是是120分钟.2.考生答题时，请将答案答在答题卡上.第一卷每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；第二卷请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1x ya b+=过二、三、四象限，那么〔〕 A.0a >，0b > B.0a >，0b < C.0a <，0b > D.0a <，0b <【答案】D 【解析】【分析】将直线1x ya b+=过二、三、四象限,转化为直线在两坐标轴上的截距都小于0可得答案. 【详解】因为直线1x ya b+=过二、三、四象限,所以直线在两坐标轴上的截距都小于0, 所以0,0a b <<. 应选:D【点睛】此题考察了直线方程的截距式,考察了截距的概念,属于根底题.3cos 350x y α++=的倾斜角的取值范围是〔〕A.0,B.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD.0,,42πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】将直线方程化为斜截式得斜率,根据余弦函数的值域求出斜率的取值范围,从而可求出倾斜角的取值范围.【详解】由3cos 350x y α++=可得5cos3y x , 所以直线的斜率为cos α-, 因为cos [1,1],即斜率的取值范围是[1,1]-,所以倾斜角的取值范围是3[0,][,)44πππ⋃, 应选:B【点睛】此题考察了直线方程的一般式化斜截式,考察了由直线的斜率的范围求倾斜角的范围,考察了余弦函数的值域,属于根底题.l ：3460ax y a --+=,无论a 取何值，直线l 恒过定点〔〕A.()0,4B.()2,2C.()2,4-D.()4,2【答案】D 【解析】【分析】由3460ax y a --+=可得(4)360a xy ,令a 的系数为0,即可得到答案.【详解】由3460ax y a --+=可得(4)360a x y,所以40x -=且360y ,解得4,2x y ==, 所以直线l 恒过定点(4,2). 应选:D【点睛】此题考察了直线过定点问题,利用参数a 的系数为0是解题关键,属于根底题.l 过点()3,2A -，且点()3,4B 到直线l 的间隔最远，那么直线l 的方程为〔〕A.370x y --=B.370x y ++=C.370x y ++=D.370x y --=【答案】B 【解析】【分析】过点()3,4B 作直线l 的垂线,垂足为D ,经分析可知,D 与A 重合,即BA l 时,点()3,4B 到直线l 的间隔最远,由此求出斜率,再由点斜式求出直线方程. 【详解】过点()3,4B 作直线l 的垂线,垂足为D , 那么||||BD BA ,当且仅当D 与A 重合,即BA l 时,||BD 最大,即点()3,4B 到直线l 的间隔最远,此时1132433lABk k ,所以直线l 的方程为:23(3)y x ,即370x y ++=.应选:B【点睛】此题考察了由两直线垂直求直线方程,推出BA l 时,()3,4B 到直线l 的间隔最远是解题关键,属于根底题.5.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p)，那么n 的值是() A.－12 B.－14C.10D.8【答案】A 【解析】【分析】由直线mx+4y ﹣2=0与直线2x ﹣5y+n=0垂直，求出m=10，把〔1，p 〕代入10x+4y ﹣2=0，求出p=﹣2，把〔1，﹣2〕代入2x ﹣5y+n=0，能求出n ．【详解】∵直线mx+4y ﹣2=0与直线2x ﹣5y+n=0垂直，垂足为〔1，p 〕， ∴2m ﹣4×5=0，解得m=10，把〔1，p 〕代入10x+4y ﹣2=0，得10+4p ﹣2=0，解得p=﹣2，把〔1，﹣2〕代入2x ﹣5y+n=0，得2+10+n=0，解得n=﹣12．故答案为：A【点睛】此题考察实数值的求法，考察直线与直线垂直的性质等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．90︒，那么圆锥的外表积是底面积的〔〕倍.A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,根据圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为90︒,可得4l r ,然后,可计算侧面积,底面积,得外表积,可求得比值为5. 【详解】设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,依题意可得:22r l,所以4l r ,所以圆锥的侧面积为122l r rl24r ,圆锥的底面积为2r π, 所以22245r r r .应选:D【点睛】此题考察了圆锥的侧面展开图,考察了圆锥的侧面积,外表积,考察了弧长公式,属于根底题.7.m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ〕 A.假设//m n ，//n α，那么//m α B.假设//m α，m β⊂，那么//αβ C.假设αγ⊥，βγ⊥，那么//αβ D.假设m α⊥，n α⊥，那么//m n【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面,平面与平面平行与垂直的概念以及直线与平面垂直的性质定理逐个判断可得答案.【详解】假设//m n ，//n α，那么//m α或者m α⊂,故A 不正确; 假设//m α，m β⊂，那么//αβ或者α与β相交,故B 不正确; 假设αγ⊥，βγ⊥，那么//αβ或者α与β相交,故C 不正确; 假设m α⊥，n α⊥，那么//m n ,是正确的. 应选:D.【点睛】此题考察了直线与平面,平面与平面平行与垂直概念,考察了直线与平面垂直的性质定理,属于根底题.8.如图，在ABC ∆中，PA ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点，那么图中直角三角形的个数是〔〕 A.5 B.6C.7D.8【答案】C 【解析】试题分析：因为PA ⊥面ABC ，所以，那么三角形为直角三角形，因为，所以，所以三角形是直角三角形，易证，所以面，即，那么三角形为直角三角形，即一共有7个直角三角形；应选C ．考点：空间中垂直关系的转化．9.如下列图是一个几何体的三视图，这个几何体及其外接球的体积分别为〔〕 A.32，323π B.208245+32πC.323，6423D.208245+23【答案】C 【解析】根据三视图可知,几何体是一个四棱锥,由棱锥的体积公式可求得几何体的体积,再将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球,利用长方体的对角线长定理求得外接球的半径即可求得体积.【详解】∵三视图对应的几何体如下列图，是四棱锥P ABCD -， ∴2113242333P ABCD ABCD V S h -==⨯⨯=⋅，∴AP BP ===4AB =，∴222AP BP AB +=， ∴AP BP ⊥.∴四棱锥P ABCD -的外接球就是如下列图长方体的外接球，∴外接球半径R ==∴外接球体积为(3344333R ππ=⋅=. 应选:C【点睛】此题考察了由三视图复原直观图,考察了棱锥的体积公式,考察了长方体与球的组合体,考察了长方体的对角线长定理,考察了球的体积公式,属于中档题.ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如下列图的'''A B C ，其中''''2O A O B ==，''O C =ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的外表积为()A. B. C.()3πD.()12π【答案】B 【解析】根据“斜二测画法〞可得AB=4，AC=BC=4，△ABC 是等边三角形；△ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个一样圆锥的组合体，求它的外表积即可．【详解】根据“斜二测画法〞可得AO=BO=2，∴，如下列图，∴△ABC 是边长为4的等边三角形；△ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体是两个一样圆锥的组合体，它的外表积为S=2πrl=2π× 故答案为：B【点睛】此题考察了平面图形的直观图问题，也考察了旋转体的外表积求法，是根底题．111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为P 为底面111A B C 的中心，那么PA 与平面ABC 所成角的大小为〔〕A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】【分析】先作出PA 与平面ABC 所成角:根据P 在底面ABC 的投影O 为底面ABC 的中心，连接PA 、PO 、AO ，那么PAO ∠为PA 与平面ABC 所成的角，然后根据体积求出侧棱长,最后在Rt PAO ∆中计算可得.【详解】解：如下列图，P 在底面ABC 的投影O 为底面ABC 的中心，连接PA 、PO 、AO ，那么PAO ∠为PA 与平面ABC 所成的角，设三棱柱的侧棱为a22a ⨯=，∴2a =， ∴Rt PAO ∆中，tan PO PAO AO ∠===∴3PAO π∠=.应选:B【点睛】此题考察了棱柱的体积公式,考察了直线与平面所成的角,作出直线与平面所成的角是解题关键,此题属于根底题.1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11C D 的中点，那么正方体过P ，Q ，R 的截面图是〔〕A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【答案】D 【解析】【分析】利用公理3:假设两个平面有一个公一共点,那么它们有且只有一条过这个公一共点的公一共直线.找到所求截面与正方体的外表的公一共点,然后连线得到截面即可.【详解】解：延长PQ 交CD 的延长线与E ,连ER 交1DD 于T ,那么T 为1DD 的中点, 延长TR 交1CC 的延长线与F ,延长QP 交CB 的延长线与G ,连接FG 交1BB 于M ,交11B C 于S ,那么易得M ,S 分别为1BB ,11B C 的中点, 连接,,QT RS PM ,那么截面为正六边形PQTRSM 为所求截面. 如下列图: 应选:D【点睛】此题考察了利用公理3找两个平面的交线,考察了作几何体的截面,利用公理3找两个平面的公一共点是解题关键,属于中档题.第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.如下列图，在三棱锥A BCD -中，E 、F 、G 分别是AB ，BC ，AD 的中点，135GEF ∠=︒，那么BD 与AC 所成角的度数为______.【答案】45︒ 【解析】【分析】根据异面直线所成的角是与它们平行的两条相交直线所成的角或者其补角,以及异面直线所成角的范围分析可得答案.【详解】因为,,E F G 分别是AB ，BC ，AD 的中点, 所以//EG BD ,//EF AC ,所以BD 与AC 所成角为GEF ∠或者EGF ∠的补角, 因为135GEF ∠=︒,所以BD 与AC 所成角为EGF ∠的补角为45°, 即BD 与AC 所成角为45°. 故答案为:45°.【点睛】此题考察了异面直线所成角以及异面直线所成角的取值范围,解题的关键是掌握异面直线所成角的取值范围,属于根底题.1l 和直线2l 的方程分别为34100x y -+=，34150x y --=，直线l 平行于1l ，直线l 与1l 的间隔为1d ，与2l 的间隔为2d ，且1223d d =，那么直线l 的方程为______.【答案】340x y -=或者34600x y -+= 【解析】【分析】设(,)P x y 为l 上任一点,利用1223d d =,结合点到直线的间隔公式可得答案. 【详解】设(,)P x y 为l 上任一点,那么1d =2d =,又由1223d d =,即1232d d =, 那么3|3410|2|3415|x y x y -+=--,那么3(3410)2(3415)x y x y -+=--或者3(3410)2(3415)x y x y -+=---, 化简得直线l 的方程为:34600x y -+=或者.340x y -= 故答案为:34600x y -+=或者.340x y -=【点睛】此题考察了点到直线的间隔公式,利用点到直线的间隔公式代入化简是解题关键,属于中档题.()1,2A 和点()1,4B -到直线40mx y m +--=的间隔相等，那么m =______.【答案】±1 【解析】【分析】根据点到直线的间隔公式列等式,解方程可得答案. 【详解】利用点到直线的间隔公式可得:=,所以2||2m =,解得1m =±. 故答案为:±1.【点睛】此题考察了点到直线的间隔公式,属于根底题.P ABC -，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，假设PA 、PB 、PC 两两垂直，那么球心到截面ABC 的间隔为______. 【答案】1 【解析】【分析】将正三棱锥P ABC -补形成以PA 、PB 、PC 为长宽高的正方体,利用正三棱锥P ABC -与其所在正方体一共外接球,以及等体积法可求得答案.【详解】∵正三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC ==. ∴如下列图，将正三棱锥P ABC -补形成以PA 、PB 、PC 为长宽高的正方体, ∴正三棱锥P ABC -的外接球即为其所在正方体的外接球， ∴外接球的球心O 为正方体的中心，设PA PC PC x ===，那么外接球半径为2x ，由题意知32x =，∴x =设点P 到面ABC 的间隔为h ， ∴1133C PAB PAB P ABC ABC V S PC V S h --=⋅==⋅，∴(212PAB ABC S PC h S ⨯⨯⋅===， ∴球心O 到平面ABC 的间隔为321OP h ==-=. 故答案为:1【点睛】此题考察了补形法,考察了正方体的外接球,考察了等体积法,补形是解题关键,求点到面的间隔,属于中档题.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分〕ABC ∆中，()1,2A -，()4,4B ，点C 在抛物线2yx 上.〔1〕求ABC ∆的边AB 所在的直线方程；〔2〕求ABC ∆的面积最小值，并求出此时点C 的坐标；〔3〕假设(),P x y 为线段AB 上的任意一点，求yx的取值范围. 【答案】〔1〕240x y --=〔2〕ABC ∆的面积最小值为3，此时C 点坐标为()1,1.〔3〕[]2,1- 【解析】【分析】(1)直接由两点式可得直线方程; (2)设点C 坐标为()2,t t,利用点到直线的间隔求出点C 到AB 的间隔,再根据二次函数知识求出这个间隔的最大值,以及获得最大值的条件,再根据面积公式可求得面积的最大值,根据获得最大值的条件可求得点C 的坐标; (3)根据yx的几何意义,转化为OA ,OB 的斜率,结合图象可得答案. 【详解】解：〔1〕∵()1,2A -，()4,4B ，∴直线AB 的方程为()()214241y x ---=---，即240x y --=.〔2〕设点C 坐标为()2,t t，那么点C 到直线AB 间隔)213d t ==-+≥又∵AB ==，∴132ABC S AB d ∆=⋅≥， ∴ABC ∆1t =时等号成立，此时C 点坐标为()1,1. 〔3〕∵(),P x y 为线段AB 上任意一点，∴yx 的几何意义为坐标原点()0,0O 与线段AB 上的点所确定直线的斜率，即yx的几何意义为当直线OP 与线段AB 有交点时，直线OP 的斜率, 如下列图:20210OA k --==--，40140OB k -==-， ∴[]2,1yx∈-. 【点睛】此题考察了直线方程的两点式,考察了点到直线的间隔公式,考察了斜率公式,数形结合思想,考察了二次函数求最值,考察了抛物线方程,属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，E 为棱PC 中点，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAD ∆为正三角形，平面ABE 与棱PD 交于点F ，平面PCD 与平面PAB 交于直线l ，且平面PAD ⊥平面ABCD . 〔1〕求证：//l EF ；〔2〕求四棱锥P ABEF -的外表积.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕52+【解析】(1)根据直线与平面平行的断定定理得//AB 面PCD ,根据直线与平面平行的性质定理得//AB EF ,同理//AB l ,再根据平行公理4可证//l EF ,(2)利用三角形的面积公式和直角梯形的面积公式计算五个面的面积再相加即可得到答案. 【详解】解：〔1〕如下列图: ∵ABCD 为正方形，∴//AB CD ，∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴//AB 面PCD . ∵E 为PC 中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ，∴面ABEF 面PDC EF =，∴//AB EF .同理//AB l ，∴//l EF . 〔2〕由〔1〕知//AB EF ，又∵//AB CD ，∴//EF CD ，又∵E 为PC 中点，∴F 为PD 中点，且112EF CD ==，又∵PAD ∆正三角形，且边长为2，∴AF PD ⊥，AF =1PF =，∴122PAF S PF AF ∆=⨯⨯=. ∵ABCD 为正方形，∴AB AD ⊥，又∵面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，∴AB ⊥面PAD ，又∵AF ⊂面PAD ，∴AB AF ⊥. 又∵//AB EF ，∴ABEF 为直角梯形，∴2122ABEF AB EF S AF ++=⋅==.∵AB ⊥面PAD ，PA ⊂面PAD ，∴AB PA ⊥. ∴1122222PAB S AB PA =⋅=⨯⨯=. 同理2PCD S =， ∴1142PEF PCD S S ==，∵AB PA ⊥，∴PB ===同理PC PB ==，又∵2BC =，∴12PBCS BC =⋅=又∵E 为PC 中点，∴12PBE PBC S S ==.∴四棱锥P ABEF -的外表积PAF PAB PBE PEF ABEF S S S S S S =++++表52=+. 【点睛】此题考察了直线与平面平行的断定定理,性质定理,平行公理4,考察了平面与平面垂直的性质定理,考察了三角形和梯形的面积公式,此题属于中档题.19.BCD ∆中，90BCD ∠=︒，1BC CD ==，面ABC ⊥平面BCD ，且AB BC ⊥，AD 与平面BCD 所成角为60︒，E ，F 分别是AC 、AD 上的动点，且()0AE AFEC FDλλ==>. 〔1〕求证：不管λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC . 〔2〕当λ为何值时，BE ⊥平面ACD ？【答案】〔1〕证明见解析〔2〕6λ=时，面BE ⊥面ACD .. 【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质定理可得AB ⊥面BCD ,所以AB CD ⊥,再根据线面垂直的断定定理可得CD ⊥面ABC ,从而可得EF ⊥面ABC ,再根据面面垂直的断定定理可证面BEF ⊥面ABC ;(2)根据EF BE ⊥,可知当BE AC ⊥时，BE ⊥面ACD ，然后结合条件可求得λ的值. 【详解】解：〔1〕如下列图:因为面ABC ⊥平面BCD ，且AB BC ⊥, 所以AB ⊥面BCD ，又CD ⊂面BCD ， ∴AB CD ⊥，∵90BCD ∠=︒，∴BC CD ⊥，又∵ABBC C =，∴CD ⊥面ABC ，∵AE AFAC AD=，∴//EF CD ，∴EF ⊥面ABC ，又∵EF ⊂面BEF ，∴面BEF ⊥面ABC . 〔2〕由〔1〕知，EF ⊥面ABC ，又∵BE ⊂面ABC ，∴EF BE ⊥， ∴当BE AC ⊥时，BE ⊥面ACD ， ∵1BC CD ==，90BCD ∠=︒，∴BD ==.∵AB ⊥面BCD ，∴60ADB ∠=︒，∴Rt ABD ∆中，BA =∴Rt ABC ∆中，AC =.∵Rt ABCRt BEC ∆∆，∴AB AC BCBE BC EC==，∴2BC EC AC ==，∴6AE AC EC EC EC λ-===， ∴6λ=时，面BE ⊥面ACD .【点睛】此题考察了面面垂直的性质定理和断定定理,考察了线面垂直的断定定理,属于中档题.20.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，其中O 为底面ABCD 的中心，P ，Q 分别为1DD ，1CC 的中点，平面1D BQ 与底面ABCD 交于直线l . 〔1〕求证：//AO l .〔2〕求点1B 到平面1D BQ 的间隔.【答案】〔1〕证明见解析〔2 【解析】【分析】(1)先利用面面平行的断定定理证明面//APO 面1BQD ,再根据面面平行的性质定理可证//AO l ;(2)根据11D BQB V -11B BQD V -=以及体积公式可求得点1B 到平面1D BQ 的间隔. 【详解】〔1〕解：如下列图，连接PQ 、BD ，∵O 为正方形ABCD 的中心，∴O 为BD 中点，又∵P 为1DD 的中点，∴PO 为△1BDD 的中位线，∴1//PO BD . 又∵1BD ⊂面1BQD ，PO ⊄面1BQD ，∴//PO 面1BQD ，因为//PD QC ，且PD QC =，∴PDQC 为平行四边形， ∴//PQ DC ，且PQ DC =，又∵//DC AB ，且DC AB =，∴//PQ AB ，且PQ AB =， ∴ABQP 为平行四边形，所以//AP BQ .又∵BQ ⊂面1BQD ，AP ⊄面1BQD ，∴//AP 面1BQD ，又∵//PO 面1BQD ，且AP PO P =，∴面//APO 面1BQD ，又∵面APO 面ABCD AO =，面1BQD 面ABCD l =，∴//AO l .〔2〕设点1B 到面1D BQ 的间隔为d ，连接11D B 、1B Q ，如下列图:∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，且Q 为1CC 中点，∴BQ ===，同理可求1D Q =，1D B ==， ∴1BQ D Q =，∴1111222BQDS D B a ∆=⋅=⋅2=， ∵1BC BB ⊥，且1BC BB a ==，∴1211122BQB S BC BB a ∆=⋅=，又∵11D C ⊥面11BCC B ，且11D C a =，∴1113111136D BQB BQB V S D C a -∆=⋅=，又∵1111113B BQD BQD D BQB V S d V -∆-=⋅=，∴1113133D BQB BQD a V d S -∆⨯===，∴点1B 到面1D BQ的间隔为3a . 【点睛】此题考察了平面与平面平行的断定定理和性质定理,考察了用等体积法求点到面的间隔,考察了棱锥的体积公式,属于中档题.21.如下列图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，E ，F 分别在线段BC ，AD 上，EF∥AB，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)在线段BC 是否存在一点E ，使得ND⊥FC，假设存在，求出EC 的长并证明；假设不存在，请说明理由． (2)求四面体NEFD 体积的最大值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕2. 【解析】【分析】〔1〕EC ＝3时符合；连接ED ，交FC 于点O ，先证明FC⊥平面NED ，再证明ND⊥FC.(2)设NE ＝x ，那么FD ＝EC ＝4－x ，其中0<x<4，再求出()11432NFED EFD V S NE x x ∆=⋅=-，再利用根本不等式求四面体NEFD 体积的最大值.【详解】〔1〕证明：EC ＝3时符合；连接ED ，交FC 于点O ，如下列图．∵平面MNEF⊥平面ECDF ，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF ＝EF ，NE ⊂平面MNEF ，∴NE⊥平面ECDF.∵FC ⊂平面ECDF ，∴FC⊥NE.∵EC＝CD ，∴四边形ECDF 为正方形，∴FC⊥ED. 又∵ED∩NE＝E ，ED ，NE ⊂平面NED ， ∴FC⊥平面NED.∵ND ⊂平面NED ，∴ND⊥FC.(2)设NE ＝x ，那么FD ＝EC ＝4－x ，其中0<x<4，由(1)得NE⊥平面FEC ， ∴四面体NEFD 的体积为()11432NFED EFD V S NE x x ∆=⋅=-，所以()241222NFEDx x V ⎡⎤+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当x ＝4－x ，即x ＝2时，四面体NEFD 的体积最大，最大值为2【点睛】此题主要考察空间几何元素位置关系的证明，考察体积的最值的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理计算才能.22.在平面直角坐标系中，直线l 的方程为()32360x k y k +--+=，k ∈R .〔1〕假设直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为-1，求坐标原点O 到直线l 的间隔；〔2〕假设直线l 与直线1l ：3250x y --=和2l ：10x y +-=分别相交于A 、B 两点，点()0,3P 到A 、B 两点的间隔相等，求k 的值.【答案】〔1〕125〔2〕11k = 【解析】【分析】(1)根据直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和为-1,列等式可得2k =-,从而可得直线l 的方程,再用点到直线的间隔公式可得答案;(2)先判断得点P 为线段AB 的中点,设出(),A a b ,根据中点公式求出(),6B a b --,将其代入直线1l 可解得A 的坐标,再将A 的坐标代入l 的方程可解得11k =.【详解】〔1〕解法一：令0x =得横截距03y =；令0y =，得横截距02x k =-；那么有231k -+=-，解得2k =-，此时，直线l 的方程为143x y +=-，即34120x y -+=. 坐标原点O 到直线l 的间隔125d ==.〔2〕∵点()0,3P 在直线l 上，且点P 到A 、B 间隔相等，∴点P 为线段AB 的中点，如下列图:设直线l 与1l ：3250x y --=的交点为(),A a b ，那么直线l 与2l ：10x y +-=的交点(),6B a b --.∴()3250610a b a b --=⎧⎨-+--=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩. ∴()3,2A .又∵点A 在直线l 上，∴()3322360k k ⨯+-⨯-+=，解得11k =.【点睛】此题考察了截距的概念,考察了点与直线的位置关系,考察了直线与直线的交点,考察了点到直线的间隔公式,属于根底题.。

2019-2020学年安徽省池州一中高二(上)期中数学试卷及答案

2019-2020学年安徽省池州一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣2，1]D．[1，2）2．（5分）经过点（﹣1，1），倾斜角是直线y＝x﹣2的倾斜角的2倍的直线方程是（）A．x＝﹣1B．y＝1C．y﹣1＝（x+1）D．y﹣1＝2（x+1）3．（5分）已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于直线y＝﹣x对称，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+y2＝1B．x2+y2＝1C．x2+（y+1）2＝1D．x2+（y﹣1）2＝14．（5分）设m，n是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A．过m且与n平行的平面有且只有一个B．过m且与n垂直的平面有且只有一个C．m与n所成的角的范围是（0，π）D．过空间一点P与m、n均平行的平面有且只有一个5．（5分）已知cos x＝，则cos2x＝（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）过圆x2+y2﹣4x＝0外一点P（m，n）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n应满足的关系式为（）A．（m﹣2）2+n2＝4B．（m+2）2+n2＝4C．（m﹣2）2+n2＝8D．（m+2）2+n2＝87．（5分）如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+8．（5分）某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π9．（5分）直线l：kx﹣2y﹣3＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4交于A、B两点，若△ABC 的周长为，则实数k的值为（）A．B．C．D．10．（5分）在底面为菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BD1＝4，若∠BAD ＝60°，则异面直线B1C与AD1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．（5分）已知圆C：x2+y2＝4上恰有两个点到直线l：x﹣y+m＝0的距离都等于1，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）若二面角α﹣l﹣β的大小为，直线m⊥α，直线n⊂β，则直线m与n所成的角取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知单位向量与的夹角为60°，则＝．14．（5分）与直线l：3x+4y﹣4＝0、直线m：3x+4y+6＝0都相切，且圆心在直线x+2y+1＝0的圆的标准方程是．15．（5分）正四面体P﹣ABC中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在侧面CBB1C1及其边界上运动，并且总保持B1P∥平面A1BD，则动点P的轨迹的长度是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2＝0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；（2）若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC．20．已知等差数列{a n}的前n项和S n，且满足a n+S n＝n2+3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设∁n＝，数列{∁n}的前n项和为T n，求证：．21．如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD．（1）设EF＝λBD，是否存在实数λ，使BF∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）当EF＝BD时，求几何体ABCDEF的体积．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|＝2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2k+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．2019-2020学年安徽省池州一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣2，1]D．[1，2）【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）≥0，解得：x≤﹣3或x≥1，即A＝（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[1，2），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）经过点（﹣1，1），倾斜角是直线y＝x﹣2的倾斜角的2倍的直线方程是（）A．x＝﹣1B．y＝1C．y﹣1＝（x+1）D．y﹣1＝2（x+1）【分析】先求出直线的倾斜角，再用点斜式求得直线的方程．【解答】解：直线y＝x﹣2的倾斜角为α，tan，经过点（﹣1，1），倾斜角是直线y＝x﹣2的倾斜角的2倍的直线的倾斜角为2α，∴直线的斜率K＝＝＝2再根据直线经过点（﹣2，1），可得直线的方程为y﹣1＝2（x+1），故选：D．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，用点斜式求直线的方程，属于基础题．3．（5分）已知圆C与圆（x﹣1）2+y2＝1关于直线y＝﹣x对称，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+y2＝1B．x2+y2＝1C．x2+（y+1）2＝1D．x2+（y﹣1）2＝1【分析】设出圆C上的任意一点M坐标，求出关于直线y＝﹣x对称的点的坐标，代入已知圆的方程化简即可．【解答】解：由圆C上的任意一点M（x，y）关于y＝﹣x的对称点为（﹣y，﹣x），（﹣y，﹣x）在圆（x﹣1）2+y2＝1上，代入化简即得x2+（y+1）2＝1．故选：C．【点评】本题考查关于直线对称的圆的方程，考查计算能力，是基础题．4．（5分）设m，n是两条异面直线，下列命题中正确的是（）A．过m且与n平行的平面有且只有一个B．过m且与n垂直的平面有且只有一个C．m与n所成的角的范围是（0，π）D．过空间一点P与m、n均平行的平面有且只有一个【分析】A，过m上一点作n的平行线，只能作一条l，l与m是相交关系，故确定一平面与n平行．B，只有当m与n垂直时才能；C，两异面直线所成的角的范围是；D当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在，【解答】解：A，过m上一点P作n的平行直线l，则m与l确定一平面α，由l⊂α，n⊄α，故n∥α．故正确．B，设过m的平面为β，若n⊥β，则n⊥m，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直．故不正确．C，根据异面直线所成角的定义可知，两异面直线所成的角的范围是．故不正确．D，当点P与m，n中一条确定的平面与另一条直线平行时，满足条件的平面就不存在．故不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了对异面直线的理解，涉及到公理、线面平行、垂直的简单判断，对空间想象能力要求较高．5．（5分）已知cos x＝，则cos2x＝（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：∵根据余弦函数的倍角公式cos2x＝2cos2x﹣1，且cos x＝，∴cos2x＝2×﹣1＝．故选：D．【点评】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）过圆x2+y2﹣4x＝0外一点P（m，n）作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n应满足的关系式为（）A．（m﹣2）2+n2＝4B．（m+2）2+n2＝4C．（m﹣2）2+n2＝8D．（m+2）2+n2＝8【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，根据题意画出图形，如图所示，证明四边形PQMN为边长为半径r的正方形，则点P到圆心间的距离为正方形对角线的长，由正方形的边长求出对角线的长，然后由P和M的坐标，利用两点间的距离公式表示出线段PM的长，让其值等于对角线的长，即可得到m与n满足的关系式．【解答】解：把圆的方程化为标准方程：（x﹣2）2+y2＝4，故圆心坐标为（2，0），半径r＝2，根据题意画出图形，如图所示：连接MQ，MN，得到∠MQP＝∠MNP＝90°，又∠QPN＝90°，∴PQMN为矩形，又MQ＝MN＝2，∴PQMN为边长为2的正方形，则|PM|＝2，即（m﹣2）2+n2＝8．故选：C．【点评】此题考查了切线的性质，正方形的性质及两点间的距离公式．通过证明得到四边形PQMN为正方形是解本题的关键，同时注意数形结合数学思想的运用．7．（5分）如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（）A．B．C．2+D．1+【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S＝（1++1）×2＝2+．故选：C．【点评】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．8．（5分）某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）A．92+14πB．82+14πC．92+24πD．82+24π【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．据此即可得出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，下面是棱长为5，4，4的长方体；上面是一个半圆柱，其轴截面与长方体的上面重合．∴该几何体的表面积＝5×4×3+4×4×2+π×22+2π×5＝92+14π．故选：A．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．9．（5分）直线l：kx﹣2y﹣3＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝4交于A、B两点，若△ABC 的周长为，则实数k的值为（）A．B．C．D．【分析】由圆的方程可得圆心与半径，再由三角形ABC的周长可得弦AB的长度，构造直角三角形，利用勾股定理可算出圆心到直线的距离，再利用圆心到直线的距离即可求解．【解答】解：由圆的方程可得圆心C（1，﹣2），半径r＝2，又三角形ABC的周长为2r+|AB|＝4+2，所以|AB|＝2，而圆心到直线的距离为d＝＝，又|AB|＝2＝2＝2，解得k＝，故选：A．【点评】本题考查了直线与圆相交的问题以及点到直线的距离公式，属于基础题．10．（5分）在底面为菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BD1＝4，若∠BAD ＝60°，则异面直线B1C与AD1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连结A1D，交AD1于点O，由A1D∥B1C，得∠AOD是异面直线B1C与AD1所成的角，由此能求出异面直线B1C与AD1所成的角．【解答】解：连结A1D，交AD1于点O，∵A1D∥B1C，∴∠AOD是异面直线B1C与AD1所成的角，∵在底面为菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BD1＝4，∠BAD＝60°，∴DD1＝＝＝4，∴四边形ADD1A1是正方形，∴∠AOD＝90°．∴异面直线B1C与AD1所成的角为90°．故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知圆C：x2+y2＝4上恰有两个点到直线l：x﹣y+m＝0的距离都等于1，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】若圆x2+y2＝4上恰有2个点到直线l的距离等于1，则满足O到直线l：x﹣y+m ＝0的距离1＜d＜3，代入点到直线的距离公式，可得答案．【解答】解：由圆C的方程：x2+y2＝4，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2若圆x2+y2＝4上恰有2个点到直线l的距离等于1，则满足O到直线l：x﹣y+m＝0的距离1＜d＜3，∵直线l的一般方程为：x﹣y+m＝0，∴1＜＜3，解得﹣3＜m＜﹣或＜m＜3，故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，其中分析出O到直线l：x﹣y+m＝0的距离是解答的关键．12．（5分）若二面角α﹣l﹣β的大小为，直线m⊥α，直线n⊂β，则直线m与n所成的角取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据二面角的平面角大小可知m与β所成的角的大小，考虑特殊位置可得β所在平面内的直线与m所成角，从而求出所求．【解答】解：由二面角α﹣l﹣β的大小为，直线m⊥α，得m与β所成的角的大小为，于是β所在平面内的直线与m所成的角的最小值为，而最大值为．故选：B．【点评】本题主要考查了二面角的应用，以及直线与平面所成角的求解，同时考查了空间想象能力，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知单位向量与的夹角为60°，则＝．【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到．【解答】解：∵单位向量与的夹角为60°，∴||＝||＝1，•＝||•||•cos60°＝∴．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，属于基础题．14．（5分）与直线l：3x+4y﹣4＝0、直线m：3x+4y+6＝0都相切，且圆心在直线x+2y+1＝0的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2＝1．【分析】设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，由直线和圆相切的条件：d＝r，得到a，b的方程，再由圆心在已知直线上，可得a，b，再由两直线间的距离为直径，即可得到圆的方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，则由直线和圆相切的条件可得，＝，解得，3a+4b+1＝0，又圆心在直线x+2y+1＝0上，则a+2b+1＝0，解得，a＝1，b＝﹣1，直线l：3x+4y﹣4＝0与直线m：3x+4y+6＝0的距离为d＝＝2．则r＝1．则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝1．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2＝1．【点评】本题考查直线和圆相切的条件，考查待定系数法求圆的方程，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）正四面体P﹣ABC中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为π．【分析】设四面体的棱长为a，分别取出四面体的底面积和侧面积，由题意可得棱长a 的值，进而求出四面体的高，及都没外接圆的半径，由四面体的外接球的半径与四面体的高和底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径，代入球的体积公式可得球的体积．【解答】解：设M，D分别是AC，AB的中点，PG⊥面ABC交于G，由题意可得B，G，M三点共线，PD⊥AB，设正四面体的棱长为a，则S侧＝3a a＝a2，S底＝a2，由题意可得a2﹣a2＝2，解得a＝2，所以可得底面外接圆的半径r＝a＝，四面体的高h＝PG＝＝＝，设外接球的半径为R，则可得R2＝（R﹣h）2+r2，整理可得2Rh＝h2+r2，即2R＝（）2+（）2，解得：R＝，所以球的体积V＝πR3＝π•（）2＝π．故答案为：π．【点评】本题考查四面体的棱长与外接球的半径的关系及球的体积公式的应用，属于中档题．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在侧面CBB1C1及其边界上运动，并且总保持B1P∥平面A1BD，则动点P的轨迹的长度是．【分析】连接B1D1、CD1、B1C，根据面面平行的判定定理可知平面B1D1C∥平面A1BD，又点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，则点P须在线段CD1上运动，即满足条件，求出CD1即可求出所求．【解答】解：连接B1D1、CD1、B1C，易证B1D1∥BD，CD1∥BA1，则平面B1D1C∥平面A1BD，又点P在侧面CDD1C1及其边界上运动，则点P须在线段CD1上运动，即满足条件，CD1＝，则点轨迹的长度是，故答案为：．【点评】本题主要考查了平面与平面平行的性质，以及线段长度的求解，同时考查了推理能力，转化与划归的思想，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2＝0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由，得顶点A．利用直线AB的斜率计算公式可得k AB，x轴是∠BAC的平分线，可得直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程．直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2＝0，故直线BC的斜率为﹣3，可得直线BC方程为．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC的方程是3x+y﹣6＝0，利用点到直线的距离公式可得：A到直线BC的距离d，即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）由，得顶点A（﹣2，0）．…（2分）又直线AB的斜率，x轴是∠BAC的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程为y＝﹣x﹣2①直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2＝0，故直线BC的斜率为﹣3，直线BC方程为y﹣3＝﹣3（x﹣1），即y＝﹣3x+6．②…（4分）联立方程①②，得顶点C的坐标为（4，﹣6）．…（6分）（2），…（8分）又直线BC的方程是3x+y﹣6＝0，所以A到直线BC的距离，…（10分）所以△ABC的面积＝．…（12分）【点评】本题考查了直线方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A＝2B（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，则bc sin A＝，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点．（1）求证：PB∥平面MNC；（2）若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC．【分析】（1）根据中位线定理可得MN∥PB，故而PB∥平面MNC．（2）由三线合一可得CM⊥AB，再有面面垂直得出CM⊥平面P AB，故CM⊥P A，由AP ⊥PB，MN∥PB可得P A⊥MN，故而P A⊥平面MNC．【解答】证明：（1）∵M，N分别为AB，P A的中点，∴MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，∴PB∥平面MNC．（2）∵AC＝BC，M是AB中点，∴CM⊥AB，又∵平面P AB⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB，CM⊂平面ABC，∴CM⊥平面P AB，∵AP⊂平面P AB，∴AP⊥CM．∵P A⊥PB，MN∥PB，∴P A⊥MN，又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM＝M，∴P A⊥平面MNC．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质和线面垂直的判定，属于中档题．20．已知等差数列{a n}的前n项和S n，且满足a n+S n＝n2+3n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设∁n＝，数列{∁n}的前n项和为T n，求证：．【分析】（1）代值求出a1，a2的值，即可求出数列{a n}的通项公式；（2）根据裂项求和以及放缩法即可证明．【解答】（1）解：，当n＝1时，a1+S1＝4得a1＝2，当n＝2时，a2+a1+a2＝10得a2＝4，∵{a n}是等差数列，∴d＝2，∴a n＝2n．（2）证明：∵，∴＝，∴＝．当n∈N*且n逐渐增大时T n增大，∴，∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF∥BD．（1）设EF＝λBD，是否存在实数λ，使BF∥平面ACE；（2）求证：平面EAC⊥平面BDEF（3）当EF＝BD时，求几何体ABCDEF的体积．【分析】（1）存在．证明四边形EFBO是平行四边形，可得BF∥EO，使BF∥平面ACE；（2）利用面面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面BDEF；（3）几何体的体积V ABCDEF＝2V A﹣BDEF＝2×S BDEF•AO【解答】（1）解：存在．证明：记AC与BD的交点为O，则DO＝BO＝BD，连接EO，∵EF∥BD，当时，即EF＝BD，∴EF∥BO且EF＝BO，则四边形EFBO是平行四边形，∴BF∥EO，又∵EO⊂面ACE，BF⊄面ACE，∴BF∥平面ACE；…4’（2）证明：∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC．∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又ED∩BD＝D，∴AC⊥平面BDEF，又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面BDEF；…8’（3）解：∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD，又∵EF∥BD且EF＝BD，∴BDEF是直角梯形，又∵ABCD是边长为2的正方形，BD＝2，EF＝，∴梯形BDEF的面积为＝，由（1）知AC⊥平面BDEF，∴几何体的体积V ABCDEF＝2V A﹣BDEF＝2×S BDEF•AO＝2×＝2．…13’【点评】本题主要考查空间直线与平面，面面垂直的判定以及空间几何体的体积，要求熟练掌握相应的判定定理．22．已知点A（6，2），B（3，2），动点M满足|MA|＝2|MB|．（1）求点M的轨迹方程；（2）设M的轨迹与y轴的交点为P，过P作斜率为k的直线l与M的轨迹交于另一点Q，若C（1，2k+2），求△CPQ面积的最大值，并求出此时直线l的方程．【分析】（1）设M（x，y），由|MA|＝2|MB|，利用两点之间的距离公式即可得出．（2）令x＝0，可得P（0，2）．直线l的方程为：y＝kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k2）x2﹣4x＝0，解出可得Q坐标，|PQ|．求出点C到直线l的距离d，△CPQ面积S＝|PQ|•d，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设M（x，y），∵|MA|＝2|MB|，∴＝2，化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4．（2）令x＝0，解得y＝2，∴P（0，2）．直线l的方程为：y＝kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k2）x2﹣4x＝0，解得x＝0，或x＝．∴Q．∴|PQ|＝＝．点C到直线l的距离d＝＝．∴△CPQ面积S＝|PQ|•d＝××＝＝≤＝1，当且仅当|k|＝1时取等号．∴△CPQ面积的最大值1时，此时直线l的方程为：y＝±x+2．【点评】本题考查了圆的标准方程及其性质、直线与圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、两点之间距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

安徽省池州一中年高二年级上学期期中考试文科数学试卷

池州市第一中学2012～2013学年度第一学期期中教学质量检测高二数学（文科）试卷时间：120分钟分值：150分命卷：金华芬审卷：余良云一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、下列三视图表示的几何图形是（）A ．正六棱柱B ．正六棱锥C ．正六棱台D ．正六边形2、如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图（斜二测），若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，1111223A B C D ==，A 1D 1＝1，则四边形ABCD 的面积是（） A ．10 B ．5C ．D ．3、已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC 则球O 的表面积是（）A ．6πB ．8πC ．9πD ．16π4、已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与A 1B 成45°角的棱有（）A ．2条B ．4条C ．6条D ．8条6、直线经过点A (2，1)，B (1，2m )两点（m R ∈），那么直线l 的倾斜角取值范围是（）A ．[)0,πB ．[0,](,)42πππ C ．[0,]4π D ．[,)(,)422ππππA ．12 B ．12- C ．2 D ．－2 10、直线cos sin 0x y a θθ++=与直线sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、如图，是一个几何体的三视图，若它的体积是则a = .12、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝8，∠BAC ＝60°，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 边上一动点，则PM 的最小值为 .13、如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1，BC 1的中点，则以下结论不成立的是 . ①EF 与A 1C 1异面 ②EF 与BB 1垂直 ③EF 与BD 垂直 ④EF 与CD 垂直14、点P （4，0）到直线430x y a --=的距离不大于3，则a 的取值范围是 .15、如果对任何实数k ，直线(3)(12)150k x k y k ++-++=都过一个定点A ，那么点A的坐标是 . 三、解答题（本大题6小题，共75分） 16、（本小题满分12分）经过直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点P ，求：（1）与直线3:3450l x y -+=垂直的直线l 的方程；（2）与3l 平行的直线l '的方程；17、（本小题满分12分）如图，在底面半径为2，母线长为4积、体积。

安徽省池州市高二上学期期中数学试卷

安徽省池州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某广告的广告费用x与销售额y的统计数据如表广告费用x（万元）2345销售额y（万元）26394954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A . 63.6万元B . 65.5万元C . 67.7万元D . 72.0万元2. （2分）(2017·山东模拟) 若x1 ， x2 ，…，x2017的平均数为4，标准差为3，且yi=﹣3（xi﹣2），i=1，2，…，2017，则新数据y1 ， y2 ，…，y2017的平均数和标准差分别为（）A . ﹣6 9B . ﹣6 27C . ﹣12 9D . ﹣12 273. （2分）为了解某校身高在1.60m～1.78m的高一学生的情况，随机地抽查了该校200名高一学生，得到如图1所示频率直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在1.66m～1.74m的学生数为n，则m，n的值分别为（）A . 0.27，78B . 0.27，156C . 0.81，78D . 0.09，834. （2分） (2017高一下·伊春期末) 从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 设随机变量ξ～N（2，1），若P（ξ＞3）=m，则p（1＜ξ＜3）等于（）A . ﹣2mB . 1﹣mC . 1﹣2mD . ﹣m6. （2分） (2018高一下·河南月考) 下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）若样本的频率分布直方图中一共有n个小矩形，中间一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数是（）A . 32B . 20C . 40D . 258. （2分） 2007名学生中选取50名学生参加中学生夏令营，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）A . 不全相等B . 均不相等C . 都相等，且为D . 都相等，且为9. （2分） (2016高二上·昌吉期中) 抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·庐江期末) 下列四个数中数值最大的是（）A . 1111（2）B . 16C . 23（7）D . 30（6）11. （2分）(2020·上饶模拟) 上海地铁号线早高峰时每隔分钟一班，其中含列车在车站停留的分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）如图是巴蜀中学“高2017级跃动青春自编操”比赛上，七位评委为某班打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为（）A . 84，84B . 84，85C . 85，84D . 85，85二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）将一个骰子先后抛掷两次，事件A表示“第一次出现奇数点”，事件B表示“第二次的点数不小于5”，则P（A+B）=________14. （1分）已知随机变量ξ服从正态分布，且方程x2+2x+ξ=0有实数解得概率为，若P（ξ≤2）=0.75，则P（0≤ξ≤2）=________．15. （1分） (2020高三上·渭南期末) 从的展开式各项中随机选两项,则这两项均是有理项的概率为________.16. （1分）由正整数组成的一组数据x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）(2017·武汉模拟) 近年来，武汉市出现了非常严重的雾霾天气，而燃放烟花爆竹会加重雾霾，是否应该全面禁放烟花爆竹已成为人们议论的一个话题．武汉市环保部门就是否赞成禁放烟花爆竹，对400位老年人和中青年市民进行了随机问卷调查，结果如下表：赞成禁放不赞成禁放合计老年人60140200中青年人80120200合计140260400附：K2=P（k2＞k0）0.0500.0250.010k0 3.841 5.024 6.635（1）有多大的把握认为“是否赞成禁放烟花爆竹”与“年龄结构”有关？请说明理由；（2）从上述不赞成禁放烟花爆竹的市民中按年龄结构分层抽样出13人，再从这13人中随机的挑选2人，了解他们春节期间在烟花爆竹上消费的情况．假设一位老年人花费500元，一位中青年人花费1000元，用X表示它们在烟花爆竹上消费的总费用，求X的分布列和数学期望．18. （5分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．19. （10分）(2019·南昌模拟) 已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，不等式恒成立，求的取值范围.20. （5分）某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M 名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E（X）．分组频数频率[10，15）50.25[15，20）12n[20，25）m p[25，30）10.05合计M121. （10分）(2018·雅安模拟) 某校初一年级全年级共有名学生，为了拓展学生的知识面，在放寒假时要求学生在假期期间进行广泛的阅读，开学后老师对全年级学生的阅读量进行了问卷调查，得到了如图所示的频率分布直方图（部分已被损毁），统计人员记得根据频率直方图计算出学生的平均阅读量为万字.根据阅读量分组按分层抽样的方法从全年级人中抽出人来作进一步调查.（1）从抽出的人中选出人来担任正副组长，求这两个组长中至少有一人的阅读量少于万字的概率；（2）为进一步了解广泛阅读对今后学习的影响，现从抽出的人中挑选出阅读量低于万字和高于万字的同学，再从中随机选出人来长期跟踪调查，求这人中来自阅读量为万到万字的人数的概率分布列和期望值.22. （5分） (2019高二上·尚志月考) 设有关于的一元二次方程．（Ⅰ）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。