高中数学--2.3.1-平面向量基本定理--新人教A版必修4PPT课件
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【人教.高中.数学】必修四：2.3.1《平面向量的基本定理》 【PPT课件】
A
er1
er2
1 2
er1
1 2
er1
er2
N
er1
B
uuuur uuuur uuur uuur
MN MD DA AN
1 4
er1
er2
1 2
er1
1r 4 e1
r e2
课堂小结：
本节学习了：（1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量 来表示.即 ar 1er1 2er2. 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
4er1
O
C
O
r
1.如图，已知向量 e1
r 、 e2 求作下列向量：
(1) 3er1 2er2 ; (2) 4er1 er2 ;
2er1
O
2er1
1 2
er2 ;
2er1
(3)
2er1
1 2
er2
.
er1
er 2
O C
A
1 2
r e2
B
A B
2.如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是
2.3.1平面向量的基本定理
一、创设情境、引入新课：
如何求此时竖直和水平 方向速度？
二、自主学习、合作探究：
自学教材：P93—P94
1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向 量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能 够用基底来表示.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
人教A版必修四 2.3.1 平面向量基本定理 课件(34张)
其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基 底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和 任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本 题中，①错，②、③正确，故选 B.
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
r ur uur 即 a 1e1 +2 e2.
e1
e2
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图, OC OM ON,
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
因为OM 1OA 1e1,
uuur ur uur
ON 2 OB 2 e2,
所以OC 1e1 2 e2,
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① ②
areur1是，e平uur2 面是内两的个任不意共向线量的；向量；
③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
我们把不共线的向量
ur e1
，euur2
叫做这一平面内所有向量
的一组基底.
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
那么对于这一平面内的任意向量 有且只有
一对实数
使
.
不共线的向量 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
r ur uur
即 a 1e1 +2 e2.
r ur uur
a 1e1 +2e2
这就是说平面内任 r
一向量a都可以表示 ur uur ur uur
成1e1 2 e2 (e1, e2 不共线)的形式.
课件平面向量基本定理学年人教A版高中数学必修四PPT课件_优秀版
分 层
究
作
释 疑
D [A、B、C中两个向量都满足a＝λb，故选D.]
业
难
返 首 页
9
2．给出下列三种说法：
课
自
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有 堂
主
小
预
习 向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面
结 提
探
新 知
内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
已知两个非零向量a和b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB 探平面向量基本定理的唯一性及其应用
＝θ，叫 新3平面平向面量向基量本的定基理本的定唯理一及性坐及标其表应示用
做向量a与b的夹角． 知平面向量基本定理的唯一性及其应用
平面向量基本定理的唯一性及其应用
结 提 素 养
平面向量基本定理的唯一性及其应用
养 课
合
时
作 探
B→F＝B→A＋A→D＋D→F
分 层
究
作
释 疑 难
＝－A→B＋A→D＋12A→B＝b－12a.
业
返 首 页
17
课
自
堂
主
预 习
1．若本例(2)中条件不变，试用 a，b 表示A→G.
小 结 提
探
新
素
知
[解] 由平面几何的知识可知B→G＝23B→F，
养
课
合 作 探
故A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→F
素 养
其中，说法正确的为( )
课
合
时
作 探
A．①②
B．②③
分 层
究
作
释 疑
C．①③
D．①②③
人教A版必修四 2.3.1平面向量基本定理 课件(43张)
底 量的一组基底
2.向量的夹角
图示
定义
作向量 OA a， OB b,则∠AOB=θ 叫做向量a,b的夹 角
范围 __≤0__°__1__8≤__0__θ°____
特例
θ=0°时, _同__向__; θ=90°时, 垂直; θ 时=,1_反8_0_向_°_
【点拨】(1)平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分 解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
类型三 向量的夹角
【典例】1.在菱形ABCD中,∠A= ,则 AB与AC的夹角
3
为( )
A. B． C. 5 D. 2
6
3
6
3
2.已知向量a与b的夹角为 ,则向量2a与-3b的夹角为
3
()
A.
B.
C. 2
D. 5
6
3
3
6
【审题路线图】1.菱形ABCD⇒角平分线性质⇒向量的 夹角. 2.数乘向量2a与-3b⇒实数的正负对向量方向的影响⇒ 向量的夹角.
22
22
因为EF 1 b a，
4
所以 BH 1 b 1 a 1 b 1 a 5 b.
8 22 28
【方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示 任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则 或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.
【变式训练】已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°, 则a+b与a的夹角是________,a-b与b的夹角是 ________.
【解析】如图所示,作 OA a,OB b, 且∠AOB=60°, 以OA,OB为邻边作▱OACB,则 OC OA OB a b,
2.向量的夹角
图示
定义
作向量 OA a， OB b,则∠AOB=θ 叫做向量a,b的夹 角
范围 __≤0__°__1__8≤__0__θ°____
特例
θ=0°时, _同__向__; θ=90°时, 垂直; θ 时=,1_反8_0_向_°_
【点拨】(1)平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分 解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
类型三 向量的夹角
【典例】1.在菱形ABCD中,∠A= ,则 AB与AC的夹角
3
为( )
A. B． C. 5 D. 2
6
3
6
3
2.已知向量a与b的夹角为 ,则向量2a与-3b的夹角为
3
()
A.
B.
C. 2
D. 5
6
3
3
6
【审题路线图】1.菱形ABCD⇒角平分线性质⇒向量的 夹角. 2.数乘向量2a与-3b⇒实数的正负对向量方向的影响⇒ 向量的夹角.
22
22
因为EF 1 b a，
4
所以 BH 1 b 1 a 1 b 1 a 5 b.
8 22 28
【方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意点 (1)根据平面向量基本定理,任何一组基底都可以表示 任意向量.用基底表示向量,实质上是利用三角形法则 或平行四边形法则,进行向量的加减法运算.
【变式训练】已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°, 则a+b与a的夹角是________,a-b与b的夹角是 ________.
【解析】如图所示,作 OA a,OB b, 且∠AOB=60°, 以OA,OB为邻边作▱OACB,则 OC OA OB a b,
2.3.1_平面向量基本定理_课件(人教A版必修4)
④若实数λ,μ使得λe1＋μe2＝0,则λ＝μ＝0.
【解】 由平面向量基本定理可知，①④ 是正确的．
栏目 导引
利用基底表示其他向量
第二章
平面向量
3、设P, Q分别是四边形 ABCD的对角线AC与BD 的中点， BC a, DA b, 并且a, b不是共线向量， 试用基底a, b表示向量PQ.
第二章
平面向量
栏目 导引
第二章
平面向量
新知初探思维启动
1.平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任 __________ 意向量 a ，有且只有一对实数 λ1 、 λ 2 ，使 a ＝
λ1 e1 ＋ λ 2 e2 _______________ ．
栏目 导引
第二章
平面向量
平面向量基本定理唯一性的应用 【例 3】 如图所示，在△ABC 中，点 M 是 AB 的中点， → 1→ → → 且AN＝ NC，BN 与 CM 相交于 E，设AB＝a，AC＝b，试用 2 → 基底 a，b 表示向量AE.
栏目 导引
第二章
平面向量
[活学活用] 如图，△ABC 中，D 为 BC 的中点，G 为 AD 的中点，过点 G 任作一直线 MN 分别交 AB、 AC 于 M、N 两点，若 AM ＝x AB ， AN ＝y AC ， 1 1 试问：x＋y是否为定值？
返
第二章
平面向量
典题例证技法归纳
题型探究 对基底概念的理解
例1 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向 量,判断下列说法是否正确？并说明理由.
① λe1 ＋ μ e2(λ ， μ ∈ R) 可以表示平面 α 内的所
高中数学必修四人教版2.3.1平面向量基本定理14ppt课件
题型三
向量的夹角
例3 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是________，
a－b与a的夹角是________．
【解析】 → → 如图，作OA＝ a， OB ＝ b，且∠ AOB＝ 60° ，
→ → 以 OA，OB 为邻边作▱ OACB，则OC＝ a＋b，BA＝ a－ b， → → BC＝OA＝ a.
1 1.已知向量 a 与 b 的夹角为 60° ，则向量－3a 和－ b 的 2 夹角为________．
答案：60°
→ → → 2．在△ABC 中，若BC＝λ1AB＋λ2AC，则 λ1λ2＝________.
【答案】－1
→ → 3．在等边△ABC 中，向量AB与BC的夹角为________．
【答案】120°
要点阐释 1．平面内任意两个不共线向量都可以作为基底，一旦选定一 组基底，则所给的向量只能唯一地被这组基底表示出来． 2．因为零向量与任意向量共线，所以零向量不会在基底中出 现． 3．在确定两个向量的夹角时，应把两个向量放在同一起点， → → 否则容易出错．如△ABC 中，向量AB与BC的夹角不是角 B，而是 角 B 的补角．
第二章
平面向量
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
问题提出 1.平面向量共线定理是什么？ 非零向量a与向量b共线 λa. 存在唯一实数λ ，使b＝
2.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1， 木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
③基底不惟一，关键是不共线。
2．两向量的夹角与垂直
→ → 非零向量 (1)夹角：已知两个 ___________ a 和 b，作OA ＝ a，OB
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共27张PPT)
＝－2(e1－2e2)， ∴e1－2e2 与 4e2－2e1 共线，不能作为基底．
前置学习
→ → → → 3．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用 a， 1 3 → → a＋ b 4 4 b 表示AD，则AD＝________.
→ → → → 3→ 解析 AD＝AB＋BD＝AB＋ BC 4
→ 3 → → ＝AB＋4(AC－AB)
1→ 3→ ＝ AB＋ AC 4 4 1 3 ＝4a＋4b.
前置学习
→ → 4．已知 G 为△ABC 的重心，设AB＝a，AC＝b.试用 a、b 表示 → 向量AG.
解 连接 AG 并延长，交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点， → 2→ 2 → → AG＝3AD＝3(AB＋BD)
(
D
)
前置学习
2．设 e1、e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序
①②④ 号是________ ．(写出所有满足条件的序号)
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2
→ → 答 过点 O 作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB＝θ，就是 a 与 b 的夹角．
(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量 夹角时，要注意什么事项？
答
两个非零向量夹角的范围是 0° ≤θ≤180° ，确定两个向
量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小．
(3)在等边三角形 ABC 中，试写出下面向量的夹角： → → a． 〈AB，AC〉＝ 60° ； → → b． 〈AB，CA〉＝ 120° ； → → c． 〈BA，CA〉＝ 60° ； → → d． 〈AB，BA〉＝ 180° .
前置学习
→ → → → 3．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用 a， 1 3 → → a＋ b 4 4 b 表示AD，则AD＝________.
→ → → → 3→ 解析 AD＝AB＋BD＝AB＋ BC 4
→ 3 → → ＝AB＋4(AC－AB)
1→ 3→ ＝ AB＋ AC 4 4 1 3 ＝4a＋4b.
前置学习
→ → 4．已知 G 为△ABC 的重心，设AB＝a，AC＝b.试用 a、b 表示 → 向量AG.
解 连接 AG 并延长，交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点， → 2→ 2 → → AG＝3AD＝3(AB＋BD)
(
D
)
前置学习
2．设 e1、e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序
①②④ 号是________ ．(写出所有满足条件的序号)
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2
→ → 答 过点 O 作OA＝a，OB＝b，则
∠AOB＝θ，就是 a 与 b 的夹角．
(2)两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量 夹角时，要注意什么事项？
答
两个非零向量夹角的范围是 0° ≤θ≤180° ，确定两个向
量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小．
(3)在等边三角形 ABC 中，试写出下面向量的夹角： → → a． 〈AB，AC〉＝ 60° ； → → b． 〈AB，CA〉＝ 120° ； → → c． 〈BA，CA〉＝ 60° ； → → d． 〈AB，BA〉＝ 180° .
高中数学必修四课件-2.3.1 平面向量基本定理(1)-人教A版
(1)已知向量e1,e2,求作向量 2.5e1 3e2
e2 e1
2.5e1 3e2
3e2
·
2.5e1
变式
(2)如图，P为 ABC内一点，且AD 1 AB, BE 1 BC，
3
2
记AB c, AC b,用c，b来表示AE, AP
F
例3
的应用
若P为 ABC内一点，且AP 2 AB 1 AC， 55
b a
二维平面
该如何表示？
用一个向量可以吗？ 用两个向量可以吗？
引例 已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a,b
表示 AM, AN .
B
M
C
a
解：AM AB BM A
AB 1 BC
N
bD
2
AN AD DN
AB 1 AD 2
AD 1 DC AD 1 AB
概念辨析 2、平面内，基底有几组（有无数组）
B
a
e1 O e2
M A
B
a x
Oy
M A
概念辨析
3、若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 、 是否相同？
（可以不同，也可以相同）
F
M
C
OC = OF + OE
OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON
O
N
E
例2 用基底表示向量
x12
x1
2
0 0
x1 1, x2 2
假设不成立
存在唯一的1, 2
平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量a
e2 e1
2.5e1 3e2
3e2
·
2.5e1
变式
(2)如图，P为 ABC内一点，且AD 1 AB, BE 1 BC，
3
2
记AB c, AC b,用c，b来表示AE, AP
F
例3
的应用
若P为 ABC内一点，且AP 2 AB 1 AC， 55
b a
二维平面
该如何表示？
用一个向量可以吗？ 用两个向量可以吗？
引例 已知平行四边形ABCD中,M,N分别是
BC,DC的中点且 AB a, AD b ，用 a,b
表示 AM, AN .
B
M
C
a
解：AM AB BM A
AB 1 BC
N
bD
2
AN AD DN
AB 1 AD 2
AD 1 DC AD 1 AB
概念辨析 2、平面内，基底有几组（有无数组）
B
a
e1 O e2
M A
B
a x
Oy
M A
概念辨析
3、若基底选取不同，则表示同一
向量的实数 、 是否相同？
（可以不同，也可以相同）
F
M
C
OC = OF + OE
OC = 2OA + OE A B a
OC = 2OB + ON
O
N
E
例2 用基底表示向量
x12
x1
2
0 0
x1 1, x2 2
假设不成立
存在唯一的1, 2
平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于这一平面内的任一向量a
人教A版高中数学必修四课件：2.3.1平面向量基本定理.pptx
两个不共线向量的线性组合. (5)零向量与任意向量共线,故不能作为基底中的向量.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
2.理解向量的夹角 剖析:(1)由于零向量的方向是任意的,因此,零向量可以与任一向 量平行,因此不讨论与零向量有关的夹角问题.
(2)垂直:如果向量 a 和 b 的夹角是 90°,我们就说向量 a 与 b 垂 直,记作 a⊥b.
12
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
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D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 2】 如图,在等边三角形 ABC 中, ������������与������������的夹角等于 ()
可作为该平面其他向量基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
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D典例透析 IANLI TOUXI
解析:(1)选项 A,B,C 中的两个向量都共线,所以不能作为基底,D 中的两个向量不共线,故可作为基底.
作为平面内所有向量的一组基底的是
.(写出所有满足条
件的序号)
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
解析:①设 e1+e2=λe1,则
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D典例透析 IANLI TOUXI
2.理解向量的夹角 剖析:(1)由于零向量的方向是任意的,因此,零向量可以与任一向 量平行,因此不讨论与零向量有关的夹角问题.
(2)垂直:如果向量 a 和 b 的夹角是 90°,我们就说向量 a 与 b 垂 直,记作 a⊥b.
12
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D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做 2】 如图,在等边三角形 ABC 中, ������������与������������的夹角等于 ()
可作为该平面其他向量基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
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题型一 题型二 题型三 题型四
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D典例透析 IANLI TOUXI
解析:(1)选项 A,B,C 中的两个向量都共线,所以不能作为基底,D 中的两个向量不共线,故可作为基底.
作为平面内所有向量的一组基底的是
.(写出所有满足条
件的序号)
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D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
解析:①设 e1+e2=λe1,则
人教A版高中数学必修四平面向量基本定理课件
OA1e1
OB2e2
a1e12e2
» 链接几何画板
平面向量基本定理
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
我们把不共线的向量 e ，1 e 叫2 做 表示这一平面内所有向量的一组基底，
记为：
e1，e2
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
» 探究定理 1. 基底 e 1、e 2 条件： 不共线向量
理知，有且只有一对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
2.3.1《平面向量基 本定理》
教学目的
• （1）了解平面向量基本定理；理解平面向 量的坐标的概念；
• （2）初步掌握应用向量解决实际问题的重 要思想方法；
• （3）能够在具体问题中适当地选取基底， 使其他向量都能够用基底来表达.
• 教学重点：平面向量基本定理. • 教学难点：平面向量基本定理的理解与应
ab
B
b [0°，180°]
O aA
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
OB2e2
a1e12e2
» 链接几何画板
平面向量基本定理
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
我们把不共线的向量 e ，1 e 叫2 做 表示这一平面内所有向量的一组基底，
记为：
e1，e2
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
如果 e 1 , e 2 是同一平面内的两个
不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a 1
、a 2 ，使 a=a1e1+a2e2
» 探究定理 1. 基底 e 1、e 2 条件： 不共线向量
理知，有且只有一对（x，y）叫做向量a
的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上
的坐标，y叫做a在y轴 上的坐标，上式叫做向量 y
的坐标表示.那么x、y的
ya
几何意义如何？
j
x
Oi
x
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
2.3.1《平面向量基 本定理》
教学目的
• （1）了解平面向量基本定理；理解平面向 量的坐标的概念；
• （2）初步掌握应用向量解决实际问题的重 要思想方法；
• （3）能够在具体问题中适当地选取基底， 使其他向量都能够用基底来表达.
• 教学重点：平面向量基本定理. • 教学难点：平面向量基本定理的理解与应
ab
B
b [0°，180°]
O aA
人教A版高中数学必修四第二章2.3.1 平面向量基本定理课件(共19张PPT )
人教A版数学必修四2.3.1《平面向量基本定理》课件
MA, MB, MC , MD . D
C
M
b
A
a
B
课堂练习
已知点M 是三角形AOB的边AB的中点，
若OA＝a，OB＝b，则OM
o
1（a b）
2
A
M
B
已知点M 是三角形AOB的边AB的中点，
若OA＝a，OB＝b，则OM
1（a b） 2
变式探究：
（1）若P是AB靠近A的三等分点， o
则OP
一般
作业 课本第76页练习第6题、第7题
思考 任意向量运算
基底向量运算
？ 实数运算
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1 A a
C
O
e2 B
观察如图三个不 共线向量e1 、a 、e2 , 它
e1
a
们之间会zxxk有w 怎样的关
系呢？
e2
将三个向量的起点移到同一点：
M
e1 A a
C
O
e2 B
N
观察如图三个不 共线向量e1 、a 、e2 , 它
e1
a
们之间会有怎样的关
系呢？
e2
将三个向量的起点移到同一点：
N
C
B' e2 A
a
e1
a
e1 O
A'
e2
C B
M
A
e1
O
e2 B
讨论：
⑶ 继续旋转a的位置，如下图，
又该如何构成平行四边形？
N
C
B' e2 A
a
e1
a
e1A'Oe2
C B
M
A
e1
人教版高中数学必修四2.3.1《平面向量的基本定理》精品课件
3.定理的价值何在？
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
试一试：请同学们自选基底 表示向量MA和MD.
D
C
M
A
B
例1. 已知： ABCD的两条对角线相交于点M，
且 AB = a ,AD = b ,用 a ,b 表示 MA和 MD
分析：为了求MA和MD， D
C
关键是先求AC,DB. b
P B A
结
若A、B是直线Ｌ上任意两点，Ｏ是Ｌ外一点。
则对直线Ｌ上任一点Ｐ，存在实数ｔ，使 OP 关于基底
论 ｛OA ，OB ｝的分解式为OP =（1－t）OA＋t OB （*） 并且满足（*）式的点一定在L上
P
说明：
B
（1）向量等式（*）叫做直线L的向量参数方程式. 其中实数ｔ叫做参变数，简称参数.
数形结合 、转化思想、 方程思想
类比归纳：特殊
一般
作业 课本第105页练习A第5题、B第2题
思考 任意向量运算
基底向量运算
？ 实数运算
记为： e1，e2
如果 e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内
的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1
、a 2 ，使 a = a1e1 + a2e2
» 探究定理 1. 基底 e1、e2 条件： 不共线向量
内涵
基底组数： 无数组
2.定理中a1，a
的值是否唯一？
2
M A
（2）特殊：当ｔ＝ 1 2
时，点M
是中点，
O L
则OM＝ OA OB (线段AB中点的向量表达式） 2
例2.设e1,e2是不共线的非零向量，
且a = e1 - 2e2,b = e1 + 3e2 （1）证明：a,b可以作为一组基底；
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6
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？
（一）向量的加法：
b
a
B
C
b
ab
O
a
A
平行四边形法则
B
ab
b
O
a
A
三角形法则
-
3
你复习了吗？
（二） 向量共线定理
若向 a (0 量 )与 b 共线则
-
9
根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这 个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，
※平面向量基本定理：
如果e1、 e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使 a1e1 +2e2
不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内
用 O A 、 O B , 表示O P .
解： APtAB
P B
O P O A A P
OAtAB
A
O At(AO O B) O
O A tO A tO B (1t)OAtOB
本题的实质是：
已 知 O 、 A 、 B 三 点 不 共 线 ， 若 点 P 在 直 线 A B 上 ，
则 O P m O A n O B ,且 m - n 1 .
所 有 向 量 的 一 组 基 底 .-
10
思考5 （1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）原因：平面中不共线的向量非常多
（2）对于给定的基底，向量的表示形式唯一吗？ 唯一
(3)若 a = 0 ，定理还成立吗？ 成立
1 = 2 =0
00e10e2
-
11
例 1 ： 已 知 向 量 e 1 , e （ 2 如 图 ） ， 求 作 向 量 - 2 . 5 e 1 3 e 2 . 作 法 :1.如 图 ， 任 取 一 点 O,作 OA2.5e1
7
e1
e2
a
N A
B
C O
如 图 O C O M O N M
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e1+2e2
-
8
思考4：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2 表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
第二章 平面向量
第三节 平面向量的基本定理及坐标表示
第一课时 平面向量基本定理
-
1
新疆 王新敞
奎屯
教学目的：
新疆 王新敞
奎屯
1．了解平面向量基本定理的证明．
2. 掌握平面向量基本定理及其应用：
新疆
王新敞
奎屯
①平面内的任何一个向量都可以用两个不
共线的向量来表示；
新疆 王新敞
奎屯
②能够在解题中适当地选择基底，使其它
14
五、小结 本节学习了：
（1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线
的向量来表示.即 a1e12e2
这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使 其它向量都能够统一用这组基底来表达.
-
15
, OB3e2.
2.作 OACB.
则 ， O C 就 是 所 求 的 向 量
C
B
e1
e2
A-2.5e1
-
3e2
O
12
例 2 :如 图 ， A B C D 的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 M ,且
A B a ， A D b ， 用 a 、 b 表 示 M A 、 M B 、 M C 和 M D .
三者有何相互关系？
F1
G
F2
那么平面内的任一向量能否用 两个不共线的向量来表示呢？
-
5
探究：平面向量基本定理
e 思考1：给定平面内两个不共线向量
作向量2e
＋1 3e
？
2
1
，e
，如何求
2
e1
B
D
e 2
e1
O D=2e13e2
Oe
A
e e 2
思考2：若已知O D=2e13e2 ，能用
表示吗？
-
1、 2
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
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例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？
（一）向量的加法：
b
a
B
C
b
ab
O
a
A
平行四边形法则
B
ab
b
O
a
A
三角形法则
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3
你复习了吗？
（二） 向量共线定理
若向 a (0 量 )与 b 共线则
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9
根据上述分析，平面内任一向量a都可以由这 个平面内两个不共线的向量e1，e2表示出来，
※平面向量基本定理：
如果e1、 e2是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对
实数1、2，可使 a1e1 +2e2
不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内
用 O A 、 O B , 表示O P .
解： APtAB
P B
O P O A A P
OAtAB
A
O At(AO O B) O
O A tO A tO B (1t)OAtOB
本题的实质是：
已 知 O 、 A 、 B 三 点 不 共 线 ， 若 点 P 在 直 线 A B 上 ，
则 O P m O A n O B ,且 m - n 1 .
所 有 向 量 的 一 组 基 底 .-
10
思考5 （1）一组平面向量的基底有多少对？
（有无数对）原因：平面中不共线的向量非常多
（2）对于给定的基底，向量的表示形式唯一吗？ 唯一
(3)若 a = 0 ，定理还成立吗？ 成立
1 = 2 =0
00e10e2
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11
例 1 ： 已 知 向 量 e 1 , e （ 2 如 图 ） ， 求 作 向 量 - 2 . 5 e 1 3 e 2 . 作 法 :1.如 图 ， 任 取 一 点 O,作 OA2.5e1
7
e1
e2
a
N A
B
C O
如 图 O C O M O N M
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e1+2e2
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8
思考4：若向量a与e1或e2共线，a还能用λ1e1＋λ2e2 表示吗？
e1
a
a=λ1e1+0e2
e2
a
a=0e1+λ2e2
第二章 平面向量
第三节 平面向量的基本定理及坐标表示
第一课时 平面向量基本定理
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1
新疆 王新敞
奎屯
教学目的：
新疆 王新敞
奎屯
1．了解平面向量基本定理的证明．
2. 掌握平面向量基本定理及其应用：
新疆
王新敞
奎屯
①平面内的任何一个向量都可以用两个不
共线的向量来表示；
新疆 王新敞
奎屯
②能够在解题中适当地选择基底，使其它
14
五、小结 本节学习了：
（1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线
的向量来表示.即 a1e12e2
这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使 其它向量都能够统一用这组基底来表达.
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, OB3e2.
2.作 OACB.
则 ， O C 就 是 所 求 的 向 量
C
B
e1
e2
A-2.5e1
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3e2
O
12
例 2 :如 图 ， A B C D 的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 M ,且
A B a ， A D b ， 用 a 、 b 表 示 M A 、 M B 、 M C 和 M D .
三者有何相互关系？
F1
G
F2
那么平面内的任一向量能否用 两个不共线的向量来表示呢？
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5
探究：平面向量基本定理
e 思考1：给定平面内两个不共线向量
作向量2e
＋1 3e
？
2
1
，e
，如何求
2
e1
B
D
e 2
e1
O D=2e13e2
Oe
A
e e 2
思考2：若已知O D=2e13e2 ，能用
表示吗？
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