叠加原理在物理学中的应用

目录

引言 (1)

1叠加原理在电磁学中的应用 (1)

1.1电场强度的分析计算 (1)

1.2磁感应强度的分析计算 (3)

1.3叠加原理的应用技巧 (3)

2根据叠加原理计算线性电路的电流电压 (4)

3叠加原理在数学物理问题中的应用 (6)

3.1弦的自由振动 (6)

3.2弦的受迫振动 (6)

4叠加原理在波动光学中的运用 (7)

5叠加原理在量子力学中的应用 (9)

6叠加原理的数学基础 ................................. 错误!未定义书签。结束语. (11)

参考文献： (12)

英文摘要. (12)

致谢................................................ 错误!未定义书签。

叠加原理在物理学中的应用

摘要：叠加原理是物理学中的基本原理之一,对物理学的研究起着极其重要的作用。但在物理学中叠加原理并不是一条普遍的原理,只有当描写物质运动的微分方程是线性方程时,才可应用叠加原理进行分析计算。本文列举叠加原理在电场中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、数学物理问题的求解、电路分析和光的波动特点的描述,以及量子力学态叠加原理及相关问题的讨论计算等等,最后对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理在应用方面的思维方法与灵活技巧的理解。

关键词：叠加原理；应用；数学基础；线性方程

引言

所谓叠加原理是指：几种不同原因综合所产生的总效果，等于这些不同原因单独存在时产生效果的总和[1]。自然界中有许多现象尤其是物理现象具有明显的叠加性，在解决与这些现象的有关实际问题时应用叠加原理会使问题易于解决，同时叠加原理为解决这些问题提供了简便方法。本文在总结分析叠加原理在电磁学、电路分析、数学物理问题、波动光学及量子力学中应用的基础上，对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理的认识理解，以便今后更好的加以应用。

1叠加原理在电磁学中的应用

电场中的电场力、电场强度、电势、介质极化强度、电位移矢量，磁场中的

磁场力、磁感应强度、磁场强度等等物理量的分析计算都可应用叠加原理使问题

简化[1]。若所求量为标量则直接相加减，若为矢量其叠加则服从平行四边形定则。通常利用对称性将矢量分解在两个相互垂直的方向上，化矢量叠加为标量叠加简

化计算，当其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消时，就转化为一个方

向的标量叠加。

1.1电场强度的分析计算

大家熟知，一个半径为R，带电量为q的均匀带电圆环[2]，可以看成许许多

多线元的叠加，而任一线元在轴线上一点产生的电场强度为一矢量，方向沿径向（kˆ），根据其电场的对称性分析知场强只有沿轴向分量，因而将矢量叠加退化

成标量叠加，由电荷的场强公式叠加求积分得轴线上一点的场强为

k

z R qz E ˆ)

(42

3220+=

περ

(1.1) 若求轴线上一点电势则可直接将点电荷电势公式求积分而得

2

2

41R

z q U +=

πε (1.2)

我们在应用叠加原理解决电场、磁场问题时，要注重思维的发散性，方法的

灵活性，体现叠加的灵魂与思想。如用上述方法求得均匀带电的4

1

圆弧在其中心

点产生的电场强度为

j R

i R E ˆ

4ˆ400πεηπεη-=

ρ (1.3) 其中η为电荷线密度，如图所示：

则均匀带电半圆环y 轴分量相互抵消，中心点的i R

E ˆ

20πεη=

ρ

；均匀带电圆环E ρ为零，由公式（1.1）令z=0同样得0=E ρ

。

若把均匀带电圆盘看成是一个个细圆环的叠加，则由公式（1.1）积分得圆盘轴线上一点的场强为

)1(2220z R z E +-=εσρ (1.4)

若许许多多这样的圆盘叠加起来可以组成一个均匀带电球体，亦可求积分得其产生的场的分布。广而推之这样的叠加思想可以用下面的积分公式统一表示，

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧===⎰⎰⎰⎰⎰⎰V r S r l r e r dV

E e r dS

E e r dl

E )(ˆ41)(ˆ41)(ˆ41202020为电荷体密度为电荷面密度为电荷线密度ρρπεσσπεηηπε （1.5） 1.2磁感应强度的分析计算

无穷长导线载有电流I ，在中间弯成一半径为R 的半圆弧，其余部分则与圆的轴线平行，如图所示，圆弧中心O 的磁

感应强度B ρ

等于两半无穷长直线与半圆电流在圆心处产生的磁感应强度[3]的叠加。根据Biot-Savart 定律和对称性，两段直线电流在O 点产生的磁感应强度大小相等，方向相同，都沿图中z 轴方向。每一段所产生的B 1大小为

R

I R l R l

IR R l dl

IR R l R

R l Idl

B l l πμπμπμπμ44)(4)(40022200220

02

222012

3

=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡+=+=

++=∞

==∞∞

⎰⎰

（1.6）

半圆电流在O 点产生的磁感应强度B 2方向沿x 轴负方向。其大小为

R I

R R I R Idl B R

44402

00

202μππμπμπ=⋅==⎰

（1.7）

于是得所求的磁感应强度为

)ˆ2ˆ(4ˆ2ˆ4ˆˆ20002

1k i R I k R I i R I i B k B B π

μπμμ-=-=-=ρ （1.8） B 与x 轴的夹角为

π

πθ2

arctan -= （1.9）

类似的问题有许多，我们不再重复，而叠加原理作为一种基本方法其在应用中的简洁性、技巧性同样值得我们深刻灵活的加以理解应用。

1.3叠加原理的应用技巧

电偶极矩为l q p ρρ

=的电偶极子，在空间任一点产生电场强度的计算，若在球坐