画法几何立体表面的交线
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画法几何全主编习题集答案
2-4 直线与平面、平面与平面的相对位置
1.求直线AB 与平面的交点，并判别直线的可见性。
4.求两平面的交线。
6.作一直线使与两交叉直线AB,CD 相交，同时平行于直线KL 。
作直线AE 平行于直线KL ；求CD 与平面（AE 和AB 确定）的交点M ；作MN 平行于KL 。
d
b c
a
b ’ a ’
c’ d ’ X
b 1'
d 1'
c 1'
a 1'
c 1
d 1
m 1
n 1'
b 1（a 1）
m 1'
m’
n ’
n
m
X1
X2
n 1
7.过点C作CD平行于AB，且点D于A,B等距。
说明：为使图形清晰，将AB的正面投影改变了一些方向。过AB的中点E作AB的中垂面；求CD与中垂面的交点D。其中MN为P H中垂面的交线。
8.求点K到直线AB的距离。
9.求点A到三角形BCD的距离。
说明：为使图形清晰，将A点的水平投影
往上移动了一些。
11.已知线段AB,CD正交，作线段AB的正面投影。
13.过点K作直线与交叉两直线AB和CD相交。
14.作一直线使与交叉二直线DE,FG相交，并垂直于三角形ABC。
作直线BC垂直于平面；求三角形ABC的实形（略);90°减角ABC即为所求（略)。
15.求直线与平面之间的夹角。
作直线EM垂直于三角形ABC;求FG与平面（DE和EM确定）的交点K；
过K作EM的平行线KN。
16.已知菱形ABCD的一边AD在直线AE上，另一边AB平行于三角形LMN，点B在
直线FG上，求作菱形的两面投影。
16.过点A作平行于三角形LMN的平面；求FG与平面的交点B;求AB的实长，AE的实
长，在AE上截取AD=AB,得D;再作AB,AD的平行线即可。
画法几何习题解答
87
【14-9】补全圆柱筒被截切后的水平投影,并做出其侧面投影。
88
【14-10】补全圆锥被截切后的侧面投影,并作出其水平投影及 截断面实形。
89
【15-1】求作圆锥被平面截切后的正面投影和侧面投影,并补全 其水平投影。
90
【15-2】求作圆锥被平面截切后的水平投影和侧面投影。
91
【15-3】求作半球被平面截切后的正面投影。
35
【6-2】已知平面△ABC和直线DE,求作下列直线或平面。 ⑴过点F作直线FG⊥△ABC;⑵过直线IJ作平面IJK⊥△ABC；⑶过 点P作平面PQR⊥DE。
36
【6-3】已知平面P、Q,直线AB、CD，求作下列直线或平面。 ⑴过点E作直线EF⊥平面P，直线EG⊥平面Q;⑵过直线IJ作平面 IJK⊥平面P,过直线IJ作平面R⊥平面Q；⑶过点U作平面S⊥AB， 作平面T⊥CD。
11
【2-6】已知直线AB对投影面H的倾角α＝30°,补全它的正平投 影，并回答有几解，图中任求一解。
12
【2-7】通过作图检验直线AB、CD、EF的相对位置。
13
【3-1】检验直线AB、CD的相对位置。
14
【3-2】已知一直线与直线AB、CD都相交,且与直线EF交于分线 段EF成2:3的点，求作该直线的两面投影。
19
【3-7】作两交叉线AB、CD的公垂线,并表明AB、CD之间的真实 距离。
【14-9】补全圆柱筒被截切后的水平投影,并做出其侧面投影。
88
【14-10】补全圆锥被截切后的侧面投影,并作出其水平投影及 截断面实形。
89
【15-1】求作圆锥被平面截切后的正面投影和侧面投影,并补全 其水平投影。
90
【15-2】求作圆锥被平面截切后的水平投影和侧面投影。
91
【15-3】求作半球被平面截切后的正面投影。
35
【6-2】已知平面△ABC和直线DE,求作下列直线或平面。 ⑴过点F作直线FG⊥△ABC;⑵过直线IJ作平面IJK⊥△ABC；⑶过 点P作平面PQR⊥DE。
36
【6-3】已知平面P、Q,直线AB、CD，求作下列直线或平面。 ⑴过点E作直线EF⊥平面P，直线EG⊥平面Q;⑵过直线IJ作平面 IJK⊥平面P,过直线IJ作平面R⊥平面Q；⑶过点U作平面S⊥AB， 作平面T⊥CD。
11
【2-6】已知直线AB对投影面H的倾角α＝30°,补全它的正平投 影，并回答有几解，图中任求一解。
12
【2-7】通过作图检验直线AB、CD、EF的相对位置。
13
【3-1】检验直线AB、CD的相对位置。
14
【3-2】已知一直线与直线AB、CD都相交,且与直线EF交于分线 段EF成2:3的点，求作该直线的两面投影。
19
【3-7】作两交叉线AB、CD的公垂线,并表明AB、CD之间的真实 距离。
第06章立体表面的交线习题.
6 - 1
6 - 5 6 - 9
6 - 13 6 - 1
7 6 - 21 6 - 25 6 - 29 6 - 2 6 - 6
6 - 10
6 - 14 6 - 18 6 - 22
6 - 26 6 - 30 6 - 3 6 -
7 6 - 11 6 - 15 6 - 19
6 - 23 6 - 27
6 - 4 6 - 8 6 - 12 6 - 16 6 - 20 6 - 24 6 - 28
6-1 补画立体的水平投影。
（1）（3）（2）（4）
6-4 补全切口的水平投影。
6-3 补全立
体的水平投
影和侧面投
影。
6-2 补画出立
体的水平投影。 y
y
6-5 补画立体的水平投影。
（1）（2）
（3）6-6 补画球面截交线的水平投影和侧面投影。
6-7 补画圆柱面截交线的侧面投影。6-8 补画圆锥面截交线的水平投影
和侧面投影。
6-9 补画平面与立体表面交线的投影。
（1）（2）
6-9 补画平面与立体表面交线的投影。
（3）（4）
6-10 补画立体及交线的水平投影。
（1）（2）
（1）（2）
（3）
6-13 补画立体的水平投影。6-12 补画立体的侧面投影。
6-14 根据立体图画出机件上截交线的正面投影。
6-15 补画第三视图。
（1）（2）
6-16 求作两圆柱的相贯线。
（1）（2）
6-17 求作圆柱与圆锥的相贯线。6-18 求作圆柱与球的相贯线。
6-19 求作两立体的交线。
（1）（2）
6-20 补画侧面投影。
（1）（2）
6-21 求作两圆柱体表面交线。6-22 求圆柱与另一回转体表面交线。
6-23 完成相贯线的投影。
画法几何及机械制图-两曲面立体表面的交线
二、辅助平面法
例3 求圆球与斜圆柱偏交时的相贯线。
§8-3 两曲面立体表面的交线
二、辅助平面法
例3 求圆球与斜圆柱偏交时的相贯线。
共有点
§8-3 两曲面立体表面的交线
共有点
二、辅助平面法
例3 求圆球与斜圆柱偏交时的相贯线。
1'
1'
1
P1H
作图：
(1)选辅助面(正平面);
(2)求斜圆柱轮廓线与半 球的交点;
7”(8)” 4”
1”(2)” 5”(6R)”W
3”
作图： (1)求特殊点;
(2)作辅助的 水平面,求一般点;
4
7
8
1
2
(3)判断可见 性,连线。
5
6
3
§8-3 两曲面立体表面的交线
二、辅助平面法
两形体相贯线的形式有三种： 外外相贯、内内相贯、外内相贯
外相贯线
内相贯线
外相贯线
内相贯线 外相贯线
§8-3 两曲面立体表面的交线
例1 求轴线正交的圆柱与圆台的相贯线。
1'
2'
3'(4')
7”(8)” 4”
1”(2)” 5”(6R)”W
3”
作图： (1)求特殊点;
(2)作辅助的 水平面,求一般点;
4
画法几何平面与立体相交
3 (4 )
PV 2
m (n ) 1 5 (6 )
4
n 6
2
3 m 5
1
n
6
4
1
2
5
3
m
例 求带切口圆锥的投影。
m 4
3
1
2
m 4
3
1
2
1
3 m 4
2 PH
例 求带切口圆锥的投影。
m 4
3
1
2
m 4
3
1
2
1
3 m 4
2 PH
例 求带切口圆锥的投影。
例 求带切口圆锥的投影。
3 (4 ) 1 (2 ) 5
s
s
2
1
a
3
m (n )
b
c
a1
c
2
n
s
m
3
b
2
1 n a (c)
3 m
b
整理轮廓线
例 补全带切口立体的投影
s
2
1
a
m (n ) b(c)
c n
1 a
s
2
m b
s
Ⅱ
2
N
M
1
Ⅰ
n
m
c
a
b
例 补全穿孔四棱锥的投影
s
s
画法几何 96学时 第9章 截交线
➢第9章 平面与立体相交
——求截交线 ➢9.1 平面与平面立体相交 ➢9.2 平面与曲面立体相交 ➢9.3 平面与组合体相交
•9.1 平面与平面立体相交
截平面
断面 断面的边界线是：截平面与立体表面的交线 —— 截交线。
例1: 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
5׳ 6׳
7׳
1 ׳2׳
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P 平面与圆柱相交
[例9] 补画侧面投影
同一立体被多个 平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分 析和作图。
●
解题步骤：
●
★空间及投Байду номын сангаас分析
截平面与体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
线为两相交直线。
平面截圆锥（二）
截平面倾斜于圆 锥轴线，且b=f，
截交线为抛物线。
截平面倾斜于圆
锥轴线，且 b>f，截交线
为椭圆。
截平面平行于圆锥轴
线，或截平面倾斜于 圆锥轴线，且b<f ，
截交线为双曲线。
求圆锥截交线上点的方法
素线法 纬圆法
[例题1]求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析：截平面过锥顶,截交线为
——求截交线 ➢9.1 平面与平面立体相交 ➢9.2 平面与曲面立体相交 ➢9.3 平面与组合体相交
•9.1 平面与平面立体相交
截平面
断面 断面的边界线是：截平面与立体表面的交线 —— 截交线。
例1: 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
5׳ 6׳
7׳
1 ׳2׳
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。
( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P 平面与圆柱相交
[例9] 补画侧面投影
同一立体被多个 平面截切，要逐个截 平面进行截交线的分 析和作图。
●
解题步骤：
●
★空间及投Байду номын сангаас分析
截平面与体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
线为两相交直线。
平面截圆锥（二）
截平面倾斜于圆 锥轴线，且b=f，
截交线为抛物线。
截平面倾斜于圆
锥轴线，且 b>f，截交线
为椭圆。
截平面平行于圆锥轴
线，或截平面倾斜于 圆锥轴线，且b<f ，
截交线为双曲线。
求圆锥截交线上点的方法
素线法 纬圆法
[例题1]求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析：截平面过锥顶,截交线为
机械制图9-1 平面与立体的表面交线
（2）画基本体的三视图。
(3)画两面角的E、F平 面投影。
（4）画“V”形槽的两侧 垂面G、H投影（交线AB、 AC的投影），并加深三视 图。
二、平面与曲面立体相交—曲面切割体视图
截平面截切立体所产生的表面交线称为截交线
平面截回转体所得到的截交线形状取决于： 回转体表面形状 截平面与回转体的相对位置。
例4：补画出视图中所缺的图线
主要作图步骤： （1）分析形体：四棱锥被两个水平面和侧平面切割，产 生水平面和侧平面，水平面由三条交线组成，侧平面由 四条交线组成。
1΄ 2΄ (3΄)
3 1
2
（2）画水平面的投 影
（3）画侧平面的投 影
（4）整理图形
例5 画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤： （1）分析形体：在长方体左上方 切出E、F两面角，右上方切出由 G、H两侧垂面围成的“V”形槽 （交线AB、AC均为倾斜线）。
二、平面与曲面立体相交 截交线的特性：
1.截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线 上的点是两相交面的共有点。
2.截交线一般是由平面曲线和直线组成的封闭 的平面图形。
截交线的几何形状取决于回转体的形状，以及 截平面与回转体轴线的相对位置。因此我们按圆 柱、圆锥、圆球切割，来介绍求回转体截交线的 方法
由于截平面、立体形状以及它们与投影面的相对位置不同，截 得的交线可能是投影面的平行线、投影面的垂直线或一般位置 直线。 平面立体是由平面围成，所以截平面截切平面立体表面产生 的截交线均为直线。
(3)画两面角的E、F平 面投影。
（4）画“V”形槽的两侧 垂面G、H投影（交线AB、 AC的投影），并加深三视 图。
二、平面与曲面立体相交—曲面切割体视图
截平面截切立体所产生的表面交线称为截交线
平面截回转体所得到的截交线形状取决于： 回转体表面形状 截平面与回转体的相对位置。
例4：补画出视图中所缺的图线
主要作图步骤： （1）分析形体：四棱锥被两个水平面和侧平面切割，产 生水平面和侧平面，水平面由三条交线组成，侧平面由 四条交线组成。
1΄ 2΄ (3΄)
3 1
2
（2）画水平面的投 影
（3）画侧平面的投 影
（4）整理图形
例5 画出如图所示平面切割体的三视图
主要作图步骤： （1）分析形体：在长方体左上方 切出E、F两面角，右上方切出由 G、H两侧垂面围成的“V”形槽 （交线AB、AC均为倾斜线）。
二、平面与曲面立体相交 截交线的特性：
1.截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线 上的点是两相交面的共有点。
2.截交线一般是由平面曲线和直线组成的封闭 的平面图形。
截交线的几何形状取决于回转体的形状，以及 截平面与回转体轴线的相对位置。因此我们按圆 柱、圆锥、圆球切割，来介绍求回转体截交线的 方法
由于截平面、立体形状以及它们与投影面的相对位置不同，截 得的交线可能是投影面的平行线、投影面的垂直线或一般位置 直线。 平面立体是由平面围成，所以截平面截切平面立体表面产生 的截交线均为直线。
画法几何形体表面截交线ppt课件
44
例题10：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
45
例题11：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
46
例题12：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
47
完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影
1′2′ 5′6′
9′10′
4′3′
7′8′
10
3
8
2
6
1
5
4
7
9
2〞6〞 1〞5〞
平形
行且
互
相
平
行
26
(二）棱台的投影
27
棱台表面截交线（ 多个平面）
例题9：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
28
例题10：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
29
例题11：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
30
例题12：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
31
10〞 3〞8〞
9〞 4〞7〞
空间分析
水平截平面与四 棱台四各棱面相交， 交于四条边；
两个侧平截平面 均与四棱台三个面 相交，分别交于三 条边；
截平面之间有二 条交线；
整理棱线投影
48
截交线在平面 图、侧视图上
例题10：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
45
例题11：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
46
例题12：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
47
完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影
1′2′ 5′6′
9′10′
4′3′
7′8′
10
3
8
2
6
1
5
4
7
9
2〞6〞 1〞5〞
平形
行且
互
相
平
行
26
(二）棱台的投影
27
棱台表面截交线（ 多个平面）
例题9：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
28
例题10：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
29
例题11：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
Pv
Qh Rh
30
例题12：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线
31
10〞 3〞8〞
9〞 4〞7〞
空间分析
水平截平面与四 棱台四各棱面相交， 交于四条边；
两个侧平截平面 均与四棱台三个面 相交，分别交于三 条边；
截平面之间有二 条交线；
整理棱线投影
48
截交线在平面 图、侧视图上
画法几何形体表面截交线
确定了形体的摆放之后，一定要非常清楚 其最前、最后、最左、最右、最上、最下 的素线的三面投影位置在哪里。
你清楚了吗？
三、曲面体表面截交线求作的特点和规律
仍是形体表面的公有线（性质决定方法） 曲面体表面没有现成的“棱线”可利用，
但是也有控制点，这就是特殊点。
曲面体上截交线形式的可预测性，使得
我们可以避免一些低级错误，加快解题速 度。 要求：熟悉曲面体截交线的几种形式。
例1：完成圆柱体截切后的侧面投影。
例2：完成圆柱体截切后的侧面投影。
引申
●
解题步骤：
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
●
★分析圆柱体轮廓素线的投影
引申
组合
Q P
平面与圆柱相交
有何不同?
例3：画全水平投影，补画侧面投影。
虚实分界点
确定截交 线可见性
例4：画全水平投影，补画侧面投影。
例5:已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影
1’ (4)’
(2)’
3’
(8)’ (12)’ 5’ 7’ 11’ (6)’
9’ (10)’
10 8
6 12 4
11 3
7 9
5
2” 4”
圆
矩形
椭圆
根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交 线有矩形、圆、椭圆三种情况。
你清楚了吗？
三、曲面体表面截交线求作的特点和规律
仍是形体表面的公有线（性质决定方法） 曲面体表面没有现成的“棱线”可利用，
但是也有控制点，这就是特殊点。
曲面体上截交线形式的可预测性，使得
我们可以避免一些低级错误，加快解题速 度。 要求：熟悉曲面体截交线的几种形式。
例1：完成圆柱体截切后的侧面投影。
例2：完成圆柱体截切后的侧面投影。
引申
●
解题步骤：
●
★空间及投影分析
截平面与体的相对位置
●
截平面与投影面的相对位置
★求截交线
●
★分析圆柱体轮廓素线的投影
引申
组合
Q P
平面与圆柱相交
有何不同?
例3：画全水平投影，补画侧面投影。
虚实分界点
确定截交 线可见性
例4：画全水平投影，补画侧面投影。
例5:已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影
1’ (4)’
(2)’
3’
(8)’ (12)’ 5’ 7’ 11’ (6)’
9’ (10)’
10 8
6 12 4
11 3
7 9
5
2” 4”
圆
矩形
椭圆
根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交 线有矩形、圆、椭圆三种情况。
画法几何与机械制图-第2章-立体的投影-22平面与立体表面相交截交线23平面与回转体表面相交重点习题
截交线为两条曲线， 分别椭圆的一部分触头。
例例55：：求求左左视视图图
㈡ 圆锥体表面的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面 与圆锥面的交线有五种形状。
α
α
α
α
θ
θ
θ
过锥顶 θ=90° 90°＞θ＞α
两相交直线
圆
椭圆
θ＝α 0°≤θ＜α 抛物线 双曲线
例1:圆锥被正平面截切，补全主视图。P63
●
● 影是什么● 形状？
●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
45°
什么情况下
截投平影面为与圆圆呢柱？轴 线成45°时。
例：补全触头上截交线
3. 截交线的形状取决于被截立 体的形状及截平面与立体的 相对位置。
4.截交线的投影的形状取决于 截平面与投影面的相对位置。
一、平面立体的截交线和断面
截交线是一个由直线组成的封闭的平 面多边形。
截交线的每条边是截平面与棱面的交线。
⒈ 求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
[工学]画法几何及土木工程制图06-曲线和曲面-文档资料
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直纹面
第六章 曲线和曲面
29
§6-3 直纹面
四、双曲抛物面
直母线l 沿着两条交叉直导线AB、CD运动，且始终平行于某
一导平面Q，这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程上也称扭面。 双曲抛物面的投影图中，只需画出两条直导线和若干素线的投
影，而不必画出导平面。
第六章 曲线和曲面
30
§6-3 直纹面
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。 道路边坡过渡段
40
§6-3
1. 正螺旋面
直观图
直纹面
投影图
第六章 曲线和曲面
41
应用实例： 螺旋楼梯的 作图
§6-3 直纹面
第六章 曲线和曲面
42
§6-3 直纹面
塔柱上的螺旋楼梯
第六章 曲线和曲面
43
§6-3 直纹面
2. 斜螺旋面
在作出螺旋线的正面投影的基础上，首先 作一条平行于V 面的素线，使其与轴的夹角等
曲表面的交线
包络曲线
第六章 曲线和曲面
3
§6-1 曲线
曲线的分类：
可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面 等高线是不规则曲线；
又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一 个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面 上的曲线叫空间曲线。圆 柱螺旋线就是空间曲线的 例子。
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（2）求特殊点。相贯线上的特殊点包括极限位置点、轮廓 转向点、曲线特征点和结合点四种。
（３） 根据需要求出若干个一般点。
（４）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。
（５）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并 擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。
例1 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。
1. 表面取点法
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
截平面垂直于轴线， 交线为 圆
截平面倾斜于轴线， 交线为 椭圆
平面与圆柱的截交线
两条平行直线 垂直于轴线的圆
椭圆
例4 求斜切圆柱的截交线
1' 5‘6'
1" 6"
3‘(4‘)
4"
7'8'
2'
4
8" 2"
8
6
2
1
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆；
5"
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ；
这样形成的曲面称为柱状面 2 柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
2 柱状面的画法
5.3.2.3 锥状面
1 锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一
导平面，这样形成的曲面称为锥状面。 2 锥状面的画法 （1） 画出一直导线和曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
a'
b'
d'
e'
c'
a
" d"
b e"
"
c"
a
b
d
ce
yy
yy
圆柱表面交线的三种情况
两外表面相交
外表面与内表面相交
两内表面相交
两正交圆柱相贯线的变化趋势
相贯线的变化趋势动画
相贯线的变化趋势
例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。
e'
a' g'
d' f' b'
h'
c'
d" e“(f “a)“(b“) g“(h“)
5-3* 曲线与曲面
5.3.1 曲 线 5.3.2 曲 面
5.3.1.1 螺旋线
1 圆柱螺旋线的形成
当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行 的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。
2 圆柱螺旋线的画法
螺旋线的画法
5.3.1.2 正螺旋柱状面
1 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直
5.1.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题 可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平 面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’
3 2 1
a’
a 1
b’
s3 2
b
两圆锥共锥顶相贯线 为相交两直线
两圆柱轴线平行相贯线 为平行两直线
5.2.4 组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相 贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。
处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体 相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
例7 求作物体相贯线的投影
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影 为圆的一部分，侧面投影 为矩形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性；
4 整理轮廓线。
Ⅱ
Ⅳ Ⅰ
Ⅲ
点击动画
例7 求截切圆柱截交线的投影。
1'
4'
5'
3' 2'
4" 1" 5" 3"
2"
12 3
4 5
2. 平面与圆锥相交
2 1
4 53
步骤2
2 "
4 Βιβλιοθήκη Baidu3 5" 1" "
4 求一般点Ⅳ、Ⅴ；
5 顺次连接各点，并判别 可见性；
6 整理轮廓线。
5.2.3 相贯线的特殊情况
两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线， 但特殊情况下可能是平面曲线或直线。
两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆
5.2.1 概 述
立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面 立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回 转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面 曲线或直线。
相贯线性质图例
5.2.2 求两曲面立体的相贯线
a’
PV
e’(f ’)
QV
g’(h’) RV
b’
a” PW
QW
b”
RW
df
h
a
b g
ce
例5 求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3
3' 4' 1'
PV4 5'
2'
1" 4" 3"
5" 2"
yy
yy
1
PH1
2
5
4 3
3. 辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立体表 面交线的投影为直线或圆。
圆
两条相交直线
椭圆
抛物线
双曲线
例8 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 3 求出一般点Ⅴ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
点击动画
点击动画
例9 求正平面与圆锥的截交线。
第五章 立体表面的交线
5－1 平面与立体相交 5－2 两立体相交 5－3* 曲线与曲面
截交线的概念
截交线
截平面
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平 面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上 又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以 截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲 线和直线组成的平面图形或多边形。
c“
y
d
e
f
a
b
g
ch
y
2. 辅助平面法
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与 两立体表面交线的投影为直线或圆。
例3 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。
1' 4'
3' 5' 2'
PV2
PV1 PV3
1"
4" PW2 PW1
3" PW3
5" 2"
yy
yy
2
1
5
4
3
例4 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。
例6 求圆柱与圆锥斜交的相贯线
解题步骤
1 分析 圆 柱与圆锥轴 线斜交，相 贯线的三个 投影均未知 ，可利用辅 助球面法求 共有点；
2 '
3 ' 1 '
2 1
3
步骤1
2 "
3 " 1"
作图步骤 2 求特殊点Ⅰ、Ⅱ，其 中Ⅱ点也是最大辅助球 面上的点
3 求小辅助球面上的点Ⅲ
2 '
4' 3 ' 5' 1 '
2 锥状面的画法
4. 双曲抛物面
1 双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平
面，其运动轨迹称为双曲抛物面。 2 双曲抛物面的画法 （1） 画出两条直导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3 双曲抛物面的截交线
2 双曲抛物面的画法
1’ 6’
2’(3’) 4’(5’)
1”
3” 5” 6”
2” 4”
6 1
5 3
2 4
例11 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。
例12 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。
例13 分析并想象出圆球穿孔后的投影
5-2 两立体相交
5.2.1 概 述 5.2.2 求作两曲面立体的相贯线 5.2.3 相贯线的特殊情况 5.2.4 组合相贯线
3 双曲抛物面的截交线
本章小结
1.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交， 求表面交线的方法；掌握截交线的性质及求截 交线的方法；
2.掌握两回转体表面相交时相贯线的性质及用 表面取点法、辅助平面法求两回转体相贯线的 原理、作图方法；掌握相贯可见性的判别方法; 了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。
1 单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。
2 单叶双曲回转面的画法 （1） 画出回转轴及直导线的两面投影； （2） 作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影： （3） 作出若干素线及外视转向线的投影。
2 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
5.3.2.2. 柱状面
1 柱状面的形成 一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，
1’
4’
5’
2’
3’
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影已知，正面投影为 双曲线并反映实形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
1” 、ⅡⅢ；
3 求出一般点ⅣⅤ ；
4”(5”) 4 光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理轮廓线。
2”(3”)
24
1 53
点击动画
点击动画
例10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
例5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
动画
例6 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。
可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮
廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区
分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
3 求出若干个一般点Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 4 光滑且顺次地连接各点，作
出截交线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线。
7"
Ⅵ
Ⅰ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅷ
Ⅲ
7
5
3
Ⅱ
Ⅶ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别
截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别
y
s
3 2
1
c’ a(c) y
b
c
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
A B
例2 求带切口三棱锥的投影
s'
s"
4'
1' a'
4"
2' 3'
b'c' c"
c 3
3" y
1" 2" a" y
解题步骤
1 分析 截交线的正 面投影已知，水平投 影和侧面投影未知；
2 求出截交线上的折 点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
b" ；
3 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性；
母线始终垂直于圆柱轴线。 2 正螺旋柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2） 作出直母线的两面投影； （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3 正螺旋柱状面的应用的例子
2 正 螺 旋 柱 状 面 的 画 法
3 正螺旋柱状面应用的例子
螺旋扶手
螺旋楼梯
5.3.2.1. 单叶双曲回转面
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
5.1.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直 线所围成的平面图形或多边形。
截交线
点击动画
截交线
点击动画
1. 平面与圆柱相交
截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线
（３） 根据需要求出若干个一般点。
（４）判别可见性，顺次光滑连接各点，作出相贯线。
（５）补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮廓线，并 擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓线。
例1 已知两圆柱的三面投影,求作其相贯线的投影。
1. 表面取点法
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
截平面垂直于轴线， 交线为 圆
截平面倾斜于轴线， 交线为 椭圆
平面与圆柱的截交线
两条平行直线 垂直于轴线的圆
椭圆
例4 求斜切圆柱的截交线
1' 5‘6'
1" 6"
3‘(4‘)
4"
7'8'
2'
4
8" 2"
8
6
2
1
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆；
5"
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ；
这样形成的曲面称为柱状面 2 柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
2 柱状面的画法
5.3.2.3 锥状面
1 锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一
导平面，这样形成的曲面称为锥状面。 2 锥状面的画法 （1） 画出一直导线和曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
a'
b'
d'
e'
c'
a
" d"
b e"
"
c"
a
b
d
ce
yy
yy
圆柱表面交线的三种情况
两外表面相交
外表面与内表面相交
两内表面相交
两正交圆柱相贯线的变化趋势
相贯线的变化趋势动画
相贯线的变化趋势
例2 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。
e'
a' g'
d' f' b'
h'
c'
d" e“(f “a)“(b“) g“(h“)
5-3* 曲线与曲面
5.3.1 曲 线 5.3.2 曲 面
5.3.1.1 螺旋线
1 圆柱螺旋线的形成
当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行 的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。
2 圆柱螺旋线的画法
螺旋线的画法
5.3.1.2 正螺旋柱状面
1 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直
5.1.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边形， 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的问题 可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线与平 面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’
3 2 1
a’
a 1
b’
s3 2
b
两圆锥共锥顶相贯线 为相交两直线
两圆柱轴线平行相贯线 为平行两直线
5.2.4 组合相贯线
三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相 贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。
处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体 相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。
例7 求作物体相贯线的投影
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影 为圆的一部分，侧面投影 为矩形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；
3顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性；
4 整理轮廓线。
Ⅱ
Ⅳ Ⅰ
Ⅲ
点击动画
例7 求截切圆柱截交线的投影。
1'
4'
5'
3' 2'
4" 1" 5" 3"
2"
12 3
4 5
2. 平面与圆锥相交
2 1
4 53
步骤2
2 "
4 Βιβλιοθήκη Baidu3 5" 1" "
4 求一般点Ⅳ、Ⅴ；
5 顺次连接各点，并判别 可见性；
6 整理轮廓线。
5.2.3 相贯线的特殊情况
两曲面立体相交，一般情况下相贯线为空间曲线， 但特殊情况下可能是平面曲线或直线。
两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为垂直轴线的圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆
5.2.1 概 述
立体与立体相交在两个立体表面产生的交线称为相贯线。 相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面 立体表面的共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置、相贯线的形状不同。两回 转体相贯，相贯线一般是封闭的空间曲线, 特殊情况下为平面 曲线或直线。
相贯线性质图例
5.2.2 求两曲面立体的相贯线
a’
PV
e’(f ’)
QV
g’(h’) RV
b’
a” PW
QW
b”
RW
df
h
a
b g
ce
例5 求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3
3' 4' 1'
PV4 5'
2'
1" 4" 3"
5" 2"
yy
yy
1
PH1
2
5
4 3
3. 辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立体表 面交线的投影为直线或圆。
圆
两条相交直线
椭圆
抛物线
双曲线
例8 已知圆锥与正垂面P相交，求截交线的投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ； 3 求出一般点Ⅴ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
点击动画
点击动画
例9 求正平面与圆锥的截交线。
第五章 立体表面的交线
5－1 平面与立体相交 5－2 两立体相交 5－3* 曲线与曲面
截交线的概念
截交线
截平面
平面与立体相交在立体表面产生交线称为截交线，该平 面称为截平面。截交线是截平面和立体表面的共有线，截交 线上的点是截平面与立体表面上的共有点，它既在截平面上 又在立体表面上。由于任何立体都有一定的空间范围，所以 截交线一定是封闭的线条，通常是一条平面曲线或者是由曲 线和直线组成的平面图形或多边形。
c“
y
d
e
f
a
b
g
ch
y
2. 辅助平面法
常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与 两立体表面交线的投影为直线或圆。
例3 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。
1' 4'
3' 5' 2'
PV2
PV1 PV3
1"
4" PW2 PW1
3" PW3
5" 2"
yy
yy
2
1
5
4
3
例4 求水平圆柱与半球的相贯线的投影。
例6 求圆柱与圆锥斜交的相贯线
解题步骤
1 分析 圆 柱与圆锥轴 线斜交，相 贯线的三个 投影均未知 ，可利用辅 助球面法求 共有点；
2 '
3 ' 1 '
2 1
3
步骤1
2 "
3 " 1"
作图步骤 2 求特殊点Ⅰ、Ⅱ，其 中Ⅱ点也是最大辅助球 面上的点
3 求小辅助球面上的点Ⅲ
2 '
4' 3 ' 5' 1 '
2 锥状面的画法
4. 双曲抛物面
1 双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平
面，其运动轨迹称为双曲抛物面。 2 双曲抛物面的画法 （1） 画出两条直导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3 双曲抛物面的截交线
2 双曲抛物面的画法
1’ 6’
2’(3’) 4’(5’)
1”
3” 5” 6”
2” 4”
6 1
5 3
2 4
例11 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。
例12 求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。
例13 分析并想象出圆球穿孔后的投影
5-2 两立体相交
5.2.1 概 述 5.2.2 求作两曲面立体的相贯线 5.2.3 相贯线的特殊情况 5.2.4 组合相贯线
3 双曲抛物面的截交线
本章小结
1.掌握特殊位置平面与圆柱、圆锥、圆球相交， 求表面交线的方法；掌握截交线的性质及求截 交线的方法；
2.掌握两回转体表面相交时相贯线的性质及用 表面取点法、辅助平面法求两回转体相贯线的 原理、作图方法；掌握相贯可见性的判别方法; 了解和掌握相贯线的特殊情况和作图。
1 单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。
2 单叶双曲回转面的画法 （1） 画出回转轴及直导线的两面投影； （2） 作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影： （3） 作出若干素线及外视转向线的投影。
2 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
5.3.2.2. 柱状面
1 柱状面的形成 一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，
1’
4’
5’
2’
3’
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影已知，正面投影为 双曲线并反映实形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
1” 、ⅡⅢ；
3 求出一般点ⅣⅤ ；
4”(5”) 4 光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理轮廓线。
2”(3”)
24
1 53
点击动画
点击动画
例10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
例5 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ； 3 求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、 Ⅵ、Ⅶ； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
动画
例6 求截切圆柱的水平投影和侧面投影。
可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向轮
廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。
特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区
分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
3 求出若干个一般点Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 4 光滑且顺次地连接各点，作
出截交线，并且判别可见性；
5 整理轮廓线。
7"
Ⅵ
Ⅰ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅷ
Ⅲ
7
5
3
Ⅱ
Ⅶ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别
截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别
y
s
3 2
1
c’ a(c) y
b
c
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
A B
例2 求带切口三棱锥的投影
s'
s"
4'
1' a'
4"
2' 3'
b'c' c"
c 3
3" y
1" 2" a" y
解题步骤
1 分析 截交线的正 面投影已知，水平投 影和侧面投影未知；
2 求出截交线上的折 点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
b" ；
3 顺次地连接各点， 作出截交线，并且判 别可见性；
母线始终垂直于圆柱轴线。 2 正螺旋柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2） 作出直母线的两面投影； （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3 正螺旋柱状面的应用的例子
2 正 螺 旋 柱 状 面 的 画 法
3 正螺旋柱状面应用的例子
螺旋扶手
螺旋楼梯
5.3.2.1. 单叶双曲回转面
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
5.1.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直 线所围成的平面图形或多边形。
截交线
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截交线
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1. 平面与圆柱相交
截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线