课时跟踪检测 (三十一) 任 意 角
2019_2020学年新教材高中数学课时跟踪检测(三十一)任意角新人教A版必修第一册
课时跟踪检测（三十一） 任 意 角A 级——学考水平达标练1．以下说法，其中正确的有( )①－75°是第四象限角； ②265°是第三象限角；③475°是第二象限角； ④－315°是第一象限角．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D 由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.2．若角α的终边在y 轴的负半轴上，则角α－150°的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．y 轴的正半轴上D ．x 轴的负半轴上解析：选B 因为角α的终边在y 轴的负半轴上，所以α＝k ·360°＋270°(k ∈Z)，所以α－150°＝k ·360°＋270°－150°＝k ·360°＋120°(k ∈Z)，所以角α－150°的终边在第二象限．故选B.3．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )A ．－300°B ．－60°C ．600°D ．1 380°解析：选A 与60°角终边相同的角α＝k ·360°＋60°，k ∈Z ，令k ＝－1，则α＝－300°.4．集合M ＝{α|α＝k ·90°，k ∈Z}中，各角的终边都在( )A ．x 轴正半轴上B ．y 轴正半轴上C ．x 轴或y 轴上D ．x 轴正半轴或y 轴正半轴上解析：选C k ＝1,2,3,4，终边分别落在y 轴正半轴上，x 轴负半轴上，y 轴负半轴上，x 轴正半轴上，又k ∈Z ，故选C.5.若角α是第三象限角，则角α2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦解析：选A ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°(k ∈Z)，∴k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°(k ∈Z)． 当k ＝2n (n ∈Z)时，n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°(n ∈Z)，其终边在区域③内；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°(n ∈Z)，其终边在区域⑦内． ∴角α2的终边所在的区域为③⑦. 6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．解析：2小时40分＝83小时，分针是按顺时针方向旋转的，所以－360°×83＝－960°，故分针走过的角为－960°.答案：－960°7．已知锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，则角α＝________.解析：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}， 因为锐角α的10倍角的终边与其终边相同，所以10α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＝k ·40°，k ∈Z.又α为锐角，所以α＝40°或80°.答案：40°或80° 8.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°＜α＜150°或210°＜α＜330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k ·360°＋30°＜α＜k ·360°＋150°，k ∈Z}∪{α|k ·360°＋210°＜α＜k ·360°＋330°，k ∈Z}＝{α|2k ·180°＋30°＜α＜2k ·180°＋150°，k ∈Z}∪{α|(2k ＋1)180°＋30°＜α＜(2k ＋1)·180°＋150°，k ∈Z}＝{α|n ·180°＋30°＜α＜n ·180°＋150°，n ∈Z}．答案：{α|n ·180°＋30°＜α＜n ·180°＋150°，n ∈Z}9．如图所示，分别写出终边在阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|150°＋k ·360°≤α≤390°＋k ·360°，k ∈Z}．(2){α|45°＋k ·180°≤α≤60°＋k ·180°，k ∈Z}．10．在0°到360°之间，找出与下列各角终边相同的角α，并指出它们分别为第几象限角．(1)－1 154°18′.(2)2 428°.解：(1)因为－1 154°18′÷360°＝－4余285°42′，所以－1 154°18′＝－4×360°＋285°42′，相应α＝285°42′，从而－1 154°18′为第四象限角．(2)因为2 428°÷360°＝6余268°，所以2 428°＝6×360°＋268°，相应α＝268°，从而2 428°为第三象限角．B级——高考水平高分练1．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上 D．y轴的非正半轴上解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．2．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x轴对称：________________.解析：根据终边相同的角的概念，数形结合可得：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)，(2)α＝k·360°－β(k∈Z)．答案：(1)α＝k·360°＋β(k∈Z)(2)α＝k·360°－β(k∈Z)3．已知α＝－315°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1 080°＜θ＜－360°.解：(1)因为－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)，它是第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为θ＝k·360°＋45°(k∈Z)，所以当k＝－3，－2时，θ＝－1 035°，－675°，满足－1 080°＜θ＜－360°.即得所求角θ为－1 035°和－675°.4．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，。
高中数学人教A版必修四课时跟踪训练1 任意角
课时跟踪训练(一)(时间45分钟)题型对点练(时间20分钟)题组一任意角的概念1．给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．[解析]①正确；②错，若顺时针旋转终边落在第一象限，则为负角；③错，第二象限角不都是钝角，钝角都是第二象限角；④错，小于180°的角包括负角和零角．[答案]①2．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．[解析]时钟拨快20分钟，相当于转了13小时．因为时针转过1小时，分针转－360°，所以时针转13小时，分针转过的度数为13×(－360°)＝－120°.[答案]－120°3．写出图(1)，(2)中的角α，β，γ的度数．[解]题干图(1)中，α＝360°－30°＝330°；题干图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.题组二终边相同的角与象限角4．与405°角终边相同的角是()A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z[解析]因为405°＝360°＋45°，所以与405°终边相同的角为k·360°＋45°，k∈Z.[答案] C5．－435°角的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]因为－435°＝－360°－75°，而－75°为第四象限角，所以－435°为第四象限角．[答案] D6．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在()A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴[解析]∵角α，β终边相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)，∴α－β＝k ·360°(k ∈Z )，故α－β的终边在x 轴的非负半轴上．[答案] A题组三 角αn ，(n ∈N *)所在象限的确定7．已知α为第一象限角，则α2所在的象限是( ) A ．第一象限或第二象限 B ．第一象限或第三象限 C ．第二象限或第四象限 D ．第二象限或第三象限[解析] 由于k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， 得k ·180°<α2<k ·180°＋45°， 当k 为偶数时，α2为第一象限角； 当k 为奇数时，α2为第三象限角． [答案] B8．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一、二象限角 C ．第一、三象限角D ．第一、四角限角[解析] 由题意知k ·360°<2α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，故k ·180°<α<90°＋k ·180°(k ∈Z )，按照k 的奇偶性进行讨论．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α<90°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第一象限；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，180°＋n ·360°<α<270°＋n ·360°(n ∈Z )，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．[答案] C综合提升练(时间25分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] ①正确；②正确；③中475°＝360°＋115°，因为115°为第二象限角，所以475°也为第二象限角，正确；④中－315°＝－360°＋45°，因为45°为第一象限角，所以－315°也为第一象限角，正确．[答案] D2．终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋135°，k ∈Z } B ．{α|α＝k ·360°－45°，k ∈Z } C ．{α|α＝k ·180°＋225°，k ∈Z } D ．{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }[解析] 因为直线y ＝－x 为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k ·360°－45°＝2k ·180°－45°，k ∈Z ；终边落到第二象限可表示为k ·360°－180°－45°＝(2k －1)·180°－45°，k ∈Z ，综上可得终边在直线y ＝－x 上的所有角的集合为{α|α＝k ·180°－45°，k ∈Z }．[答案] D3．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] ∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，∴φ2是第一或第三象限角，而－φ是第三象限角， ∴90°－φ是第四象限角，故选B. [答案] B 二、填空题4．与角－1560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．[解析] 由于－1560°÷360°＝－4×360°－120° 即最大负角为－120°，最小正角为240°. [答案] 240° －120°5．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.[解析] 由题意知，β角的终边与60°角终边相同，则β＝k ·360°＋60°，k ∈Z .[答案] k ·360°＋60°，k ∈Z 三、解答题6．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．[解] 由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z ， ∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.① ∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴{0°<α<90°－90°<－β<0°，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.7．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解](1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．由Ruize收集整理。
高一数学 课时跟踪检测(全一册) 苏教版必修
高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABCA′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCDA1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ABCDEF 的直观图六棱锥P A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。
课时跟踪检测(十七) 任意角和弧度制及任意角的三角函数
∴圆心角 α＝2，弦长 AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
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课时跟踪检测(十七) 任意角和弧度制及 任意角的三角函数
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课时跟踪检测(十七) 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 1 故 A、B 不正确，又因为拨快 10 分钟，故应转过的角为圆周的 . 6 1 π 即为－ ×2π＝－ . 6 3 答案：C 2．解析：∵cos α≤0，sin α>0， ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上．
3a－9≤0， ∴ a＋2>0，
∴－2<a≤3.故选 A.
答案：A
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课时跟踪检测(十七) 任意角和弧度制及 任意角的三角函数
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3．解析：依题意得 cos α＝ 选 D. 答案：D
x 2 ＝ x＜0，由此解得 x＝－ 3， 2 4 x ＋5
2π 4．解析：由三角函数定义可知 Q 点的坐标(x，y)满足 x＝cos 3 ＝－ 1 2π 3 2，y＝sin 3 ＝ 2 . 答案：A 5．解析：取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义， 5 3 2 可得 cos θ＝± 5 ，故 cos 2θ＝2cos θ－1＝－5. 答案：B
2r＋l＝8， (1)由题意可得1 2lr＝3，
r＝3， 解得 l＝2 r＝1， 或 l＝6，
高中数学课时跟踪检测任意角
第一章 1.1 1．1.1任意角课时跟踪检测一、选择题1．下列叙述正确的是()A．斜三角形的内角必定是第一或第二象限角B．始边相同且终边相同的角一定相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：由于三角形的内角和为180°，故三角形的任何一个内角均在(0°，180°)内，又三角形为斜三角形，故A正确．答案：A2．角－3 290°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：－3 290°＝310°－10×360°.答案：D3．(2017·湖南省浏阳一中高一测试)终边在直线y＝x上的角α的集合是()A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－45°＋k·180°，k∈Z}答案：C4．把－1 125°化成α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是()A．－45°－3×360°B．315°－3×360°C．－450°－4×360°D．315°－4×360°解析：∵－1 125°＝315°－4×360°，故选D.答案：D5．若0°<θ<180°，且7θ的终边与θ角的终边相同，则θ角为()A．60°B．120°C．90°D．60°或120°解析：由题意得7θ＝θ＋k·360°，θ＝k·60°，当k＝1时，θ＝60°；当k＝2时，θ＝120°；当k＝3时θ＝180°(舍)，故θ的值为60°或120°.答案：D6．已知α，β角的终边相同，那么α－β的终边在()A．x轴的非负半轴上B．y轴在非负半轴上C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上解析：由α，β角的终边相同，可知α－β＝k·360°(k∈Z)，∴α－β的终边在x轴的非负半轴上．答案：A二、填空题7．若0°≤α＜360°，且α与－1 050°的终边相同，则α＝________.解析：∵－1 050°＝30°＋(－3)×360°，∴α＝30°.答案：30°8．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．解析：－1 560°＝240°－5×360°，而240°＝360°－120°，故最小正角为240°，而最大负角为－120°.答案：240°－120°9．将90°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角等于________．答案：30°三、解答题10．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解：(1)因为－150°＝210°－360°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝290°＋360°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝129°45′－3×360°，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.11．(1)已知角α的终边与－60°的终边关于y轴对称，求角α的集合A；(2)写出与363°14′终边相同的角的集合S，并把S中适合－360°≤α≤720°的元素α写出来．解：(1)在0°～360°之间与－60°终边关于y轴对称的角为240°，∴A＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．(2)与363°14′终边相同的角的集合S为S＝{α|α＝363°14′＋k·360°，k∈Z}，由α＝363°14′＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，α＝363°14′，当k＝－1时，α＝3°14′，当k＝－2时，α＝－356°46′，∴S中适合－360°≤α≤720°的角有－356°46′，3°14′，363°14′.12．写出角的终边落在下列区域内的角的集合．解：(1)在[－180°，180°)，角的终边落在阴影部分的角为－45°≤α≤30°，∴满足条件的角的集合为{α|－45°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．(2)在[0°，360°)，角的终边落在阴影部分的角为30°≤α≤60°或210°≤α≤240°，∴满足条件的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|210°＋k·360°≤α≤240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|30°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．考题过关13．(2017·山东省乐陵市一中高一测试)下列各角中，与角330°的终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°解析：∵与330°终边相同的角为330°＋k·360°(k∈Z)，当k＝－2时，330°＋(－2)×360°＝－390°，∴－390°与330°的终边相同．答案：D。
高中数学课时跟踪检测(三十一)--弧度制
课时跟踪检测（三十一） 弧度制A 级——学考合格性考试达标练1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C 由于1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°，所以3π4＝34π×⎝⎛⎭⎫180π°＝135°，故选C.2．与角－π6终边相同的角是( )A.5π6B.π3C.11π6D.2π3解析：选C 与角－π6终边相同的角为2k π－π6，k ∈Z ，当k ＝1时，此角等于11π6.故选C.3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为( ) A ．－3π－16πB ．－4π＋150°C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π解析：选D 因为－570°与56π的终边相同，所以把角－570°化为2k π＋α(0≤α<2π)的形式为－4π＋56π.4．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ) A.π3 B ．－π3 C.π6D ．－π6解析：选B 分针拨快10分钟，决定了分针转动的方向是顺时针，即转过的弧度数是负的．因为分针拨快60分钟时转过弧度数为－2π，所以拨快10分钟转过的弧度数为－π3.5．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈ZC ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z解析：选D A 选项表示的角的终边在x 轴上，B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴的非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴的非负半轴上．故选D.6．－105°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－105°＝－105×π180＝－712π， 113π＝113×180°＝660°. 答案：－712π 660°7．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则该扇形的周长为________ cm.解析：因为1°＝π180 rad ，所以54°＝π180×54＝3π10，则扇形的弧长l ＝αr ＝3π10×20＝ 6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.答案：40＋6π8．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角为α(0<α<2π)，则现在的圆的半径为3r ，弧长为l ，设弧所对的圆心角为β(0<β<2π)，于是l ＝αr ＝β·3r ，∴β＝13α.答案：139．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)236π.解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴－1 500°与5π3终边相同，是第四象限角． (2)∵236π＝2π＋116π， ∴236π与116π终边相同，是第四象限角．10.如图，扇形AOB 的面积是4 cm 2，它的周长是10 cm ，求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB 的长．解：设弧AB 长为l cm ，扇形半径为r cm ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝8(不合题意，舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，l ＝2.∴α＝24＝12(rad)．∴弦AB 的长为2r sin α2＝2×4×sin 14＝8sin 14(cm)．B 级——面向全国卷高考高分练1．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧αr ＝6，12αr 2＝6，解得α＝3，故选C.2．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，则α2的终边在( )A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上解析：选D ∵α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴α＝6k π＋π(k ∈Z )，∴α2＝3k π＋π2(k ∈Z )．当k 为奇数时，α2的终边在y 轴的非正半轴上；当k 为偶数时，α2的终边在y 轴的非负半轴上．综上，α2的终边在y 轴上，故选D.3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z )，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z . ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )． 4.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π2，则从动轮N 逆时针旋转( ) A.π8 B.π4 C.π2D ．π解析：选B 设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π4，选B.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0，2π)上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．令k ＝0，1，2，3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π106．在直径为10 cm 的轮上，有一长为6 cm 的弦，P 为该弦的中点，轮子以每秒5 rad 的角速度旋转，则经过5 s 后点P 转过的弧长是________cm.解析：点P 在以轮的中心为圆心，半径为4 cm 的圆上，5 s 后点P 转过的圆心角为 25 rad ，由弧长公式知，该弧长为100 cm.答案：100 7．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z )．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z )．解得－9736<k <4736(k ∈Z )，∴k ＝－2，－1，0，1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8.用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在图中阴影部分的角的集合．解：以射线OB 为终边的225°角与－135°角的终边相同，－135°＝－135×π180＝－3π4，而135°＝3π4，阴影部分(包括边界)位于－3π4与3π4之间且跨越x 轴的非负半轴．所以，终边在阴影部分(包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫－3π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z .C 级——拓展探索性题目应用练如图，一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)解：在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·AB ＝π2·3＋1＝π，面积S 1＝12·π2·AB 2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·A 1C ＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·A 1C 2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·A 2D ＝π3·3＝33π，面积S 3＝12·π3·A 2D 2＝12·π3·(3)2＝π2，∴点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝（9＋23）π6，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中物理课时跟踪检测(13)原子核的组成
课时跟踪检测（三十一）原子核的组成一、单项选择题1．下列说法正确的是( )A．任何元素都具有放射性B．同一元素,单质具有放射性,化合物可能没有C．元素的放射性与温度无关D．放射性就是该元素的化学性质解析：选C 原子序数大于或等于83的所有元素都有放射性,小于83的元素有的就没有放射性,所以A项错；放射性是由原子核内部因素决定的,与该元素的物理状态、化学性质无关,所以C项对,B、D项错。
2．下列说法正确的是( )A．质子和中子的质量不同,但质量数相同B．质子和中子构成原子核,原子核的质量数等于质子和中子的质量总和C．同一种元素的原子核有相同的质量数,但中子数可以不同D．中子不带电,所以原子核的总电荷量等于质子和电子的总电荷量之和解析：选A 质子和中子的质量不同,但质量数相同,A对；质子和中子构成原子核,原子核的质量数等于质子和中子的质量数总和,B错；同一种元素的原子核有相同的质子数,但中子数可以不同,C错；中子不带电,所以原子核的总电荷量等于质子总电荷量,D错。
3．原子核中能放出α、β、γ射线,关于原子核的组成,下列说法正确的是( )A．原子核中,有质子、中子、还有α粒子B．原子核中,有质子、中子、还有β粒子C．原子核中,有质子、中子、还有γ粒子D．原子核中,只有质子和中子解析：选D α射线是被抛出的氦核粒子流,β射线是中子转变成质子释放的电子流,γ射线是伴随α、β射线放出的光子流,故原子核中,只有质子和中子,D对。
4．下面说法正确的是( )①β射线的粒子和电子是两种不同的粒子②红外线的波长比X射线的波长长③α射线的粒子不同于氦原子核④γ射线的穿透本领比α射线的强A．①② B．①③C．②④ D．①④解析：选C X、γ射线均为电磁波,只是波长不同。
红外线也是电磁波,由电磁波谱知红外线的波长比X射线波长要长。
另外,β射线是电子流,α粒子是氦核,从α、β、γ三种射线的穿透本领来看,γ射线最强,α射线最弱,故选项C对。
高一数学 课时跟踪检测(全一册) 苏教版必修
高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABCA′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCDA1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ABCDEF 的直观图六棱锥P A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。
高考物理复习高三一轮复习：课时跟踪检测31带电粒子在复合场中的运动(一)
高考物理复习课时跟踪检测(三十一) 带电粒子在复合场中的运动(一)高考常考题型：选择题＋计算题1．如图1所示，虚线空间中存在由匀强电场E和匀强磁场B组成的正交或平行的电场和磁场，有一个带正电小球(电荷量为＋q，质量为m)从正交或平行的电磁混合场上方的某一高度自由落下，那么，带电小球可能沿直线通过的是( )图12.如图2所示，一电子束垂直于电场线与磁感应线方向入射后偏向A极板，为了使电子束沿射入方向做直线运动，可采用的方法是( )A．将变阻器滑动头P向右滑动B．将变阻器滑动头P向左滑动图2C．将极板间距离适当减小D．将极板间距离适当增大3．(2012·南通联考)如图3所示，某一真空室内充满竖直向下的匀强电场E，在竖直平面内建立坐标系xOy，在y<0的空间里有与场强E垂直的匀强磁场B，在y>0的空间内，将一质量为m的带电液滴(可视为质点)自由释放，此液滴则沿y轴的负方向，以加速度a＝2g(g为重力加速度)做匀加速直线运动，当液滴运动到坐标原点时，瞬间被安置在原点的一个装置改变了带电性质(液滴所带电荷量和质量均不变)，随后液滴进入y<0的空间内运动，液滴在y<0的空间内运动过程中( ) 图3A．重力势能一定是不断减小B．电势能一定是先减小后增大C．动能不断增大D．动能保持不变4.医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度。
电磁血流计由一对电极a和b以及磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的。
使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如图4所示。
由于血液中的正负离子随血液一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差。
图4在达到平衡时，血管内部的电场可看做是匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零。
在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm ，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV ，磁感应强度的大小为0.040 T 。
课时跟踪检测(三十一) 种群及其动态
课时跟踪检测(三十一)种群及其动态一、单项选择题1．下列有关种群特征的叙述中，正确的是()A．种群密度、出生率、死亡率、年龄结构和性别比例都是种群内个体特征的统计值B．使用性引诱剂防治害虫会使下一代中的性别比例失调C．种群的年龄结构体现种群中各年龄组间个体数量比例关系并只能用年龄金字塔图形表示D．任何种群都有年龄结构，但并不都有性别比例解析：选D种群密度是种群内个体数量的统计值，A错误；使用性引诱剂防治害虫会使当代中的性别比例失调，B错误；种群的年龄结构体现种群中各年龄组间个体数量比例关系，既可以用年龄金字塔图形表示，也可用其他方式表示，如柱形图、曲线图等，C错误；任何种群都有年龄结构，但并非所有的种群都有性别比例这一特征，如有些生物无性别分化，D正确。
2．(2020·东营检测)下列有关种群实验的叙述，正确的是()A．用样方法调查某种双子叶植物的种群密度应选择植物生长茂盛处取样B．调查作物植株上的蚜虫、跳蝻的种群密度应用标记重捕法C．调查眼镜蛇种群密度的时间应选择冬季D．调查培养液中酵母菌数量可用抽样检测法解析：选D用样方法调查某种双子叶植物的种群密度应随机取样，A错误；调查作物植株上活动能力弱、活动范围小的蚜虫、跳蝻的种群密度应用样方法，B错误；冬季蛇进入休眠期，所以调查眼镜蛇种群密度的时间不应选择冬季，C错误；调查培养液中酵母菌数量可用抽样检测法，D正确。
3．(2020·淄博二模)种群研究的核心是种群数量的变化规律，它与种群的特征有关。
下列叙述错误的是()A．某一地域内，某种鼠的种群密度可用标记重捕法调查B．某一草原，野兔的迁入和迁出直接决定其种群数量C．研究某种鸟的年龄结构能够预测其种群数量变化趋势D．在某一地域大量释放经绝育后的雄蚊，是通过控制性别比例控制其种群数量解析：选B鼠属于活动能力强，活动范围大的动物，因此调查某种鼠的种群密度可用标记重捕法，A正确；某一草原，野兔的迁入率和迁出率直接决定其种群数量，B错误；年龄结构能预测种群密度变化，因此研究某种鸟的年龄结构能够预测其种群数量变化趋势，C 正确；在某一地域大量释放经绝育后的雄蚊，具有生殖能力的雄蚊减少，改变蚊的性别比例，从而降低蚊的出生率，控制蚊的种群数量，D正确。
高中数学1.1.1任意角课时跟踪检测新人教A版必修4
【优化指导】2015年高中数学 1.1.1任意角课时跟踪检测新人教A版必修41．下列各角中，与60°角终边相同的角是( )A．－300°B．－60°C．600°D．1 380°解析：与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.答案：A2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α解析：特值法，取α＝30°，可知C正确．答案：C3．角α的终边经过点C(－1,0)，则α是( )A．第二象限角B．第三象限角C．终边落在x轴非正半轴上的角D．既是第二象限角又是第三象限角解析：点C(－1,0)在x轴的非正半轴上，故选C.答案：C4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α是第________象限角．解析：当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．答案：一或三5．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式： (1)重合：___________________________________________________________； (2)关于x 轴对称：____________________________________________________. 解析：据终边相同角的概念，数形结合可得：(1)α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，(2)α＝k ·360°－β(k ∈Z )．答案：α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) α＝k ·360°－β(k ∈Z )6．已知角x 的终边落在图示阴影部分区域(包括边界)，写出角x 组成的集合．解：(1){x |k ·360°－135°≤x ≤k ·360°＋135°，k ∈Z }． (2){x |k ·360°＋30°≤x ≤k ·360°＋60°，k ∈Z }∪ {x |k ·360°＋210°≤x ≤k ·360°＋240°，k ∈Z } ＝{x |2k ·180°＋30°≤x ≤2k ·180°＋60°或(2k ＋1)·180°＋30°≤x ≤(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z } ＝{x |k ·180°＋30°≤x ≤k ·180°＋60°，k ∈Z }．7．在(－360°，0°)内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°解析：与1 250°角的终边相同的角α＝1 250°＋k ·360°，∵－360°＜α＜0°，∴－16136<k <－12536.∵k ∈Z ，∴k ＝－4.∴α＝－190°.答案：C8．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( ) A ．第一象限角 B ．第一或第二象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第一或第四象限角 解析：∵角2α的终边在x 轴上方，∴k ·360°<2α<k ·360°＋180°，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )．当k 为奇数时，α在第三象限；当k 为偶数时，α在第一象限．答案：C9．若将时钟拨快了10分钟，则分针转过了______度．解析：将时钟拨快10分钟，分针按顺时针方向转动，故为负角．分针转过的角度数是：－360°6＝－60°.答案：－6010．已知有锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，求角α. 解：与角α终边相同的角连同角α在内可表示为 {β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．∵锐角α的10倍角的终边与其终边相同， ∴10α＝α＋k ·360°，α＝k ·40°，k ∈Z . 又α为锐角，∴α＝40°或80°.11．已知集合A ＝{α|k ·180°＋30°≤α≤k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z }，求A ∩B .解：如图所示，集合A 中角的终边是30°至90°角的终边或210°至270°角的终边，集合B 中角的终边是－45°至45°角的终边，∴A ∩B 的角的终边是30°至45°角的终边．∴A ∩B ＝{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋45°，k ∈Z }．12．已知角α是第二象限角，求： (1)角α2是第几象限的角；(2)角2α终边的位置．解：(1)∵k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ， ∴k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z .当k 为偶数时， α2在第一象限，当k 为奇数时，α2在第三象限，即α2为第一或第三象限角．(2)∵2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z ， ∴2α的终边在x 轴的下方．本课时是在初中学习角的概念的基础上，拓展角的范围，即任意实数大小的角．利用数形结合法理解各个概念是学习本节的关键．1．任意角包括正角、负角和零角，区分它们的关键是看角的终边按逆时针还是顺时针方向旋转．2．象限角和轴线角对于象限角的理解，要注意角的顶点必须为坐标原点，同时角的始边要与x轴的非负半轴重合，否则不能判断角是哪一个象限角．如果角的终边在坐标轴上，称这样的角为轴线角．3．终边相同的角终边相同的角是本课时的重点和难点，在理解时应注意：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．(3)为了使用方便，经常使角α在0°～360°之间，因此求终边相同的角时，可用此角减去360°的整数倍，使差在0°～360°之间．。
课时跟踪检测(一) 任 意 角
课时跟踪检测（一）任意角A级——学考水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．如果角α的终边上有一点P(0，－3)，那么角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．是第三或第四象限角D．不属于任何象限角解析：选D因为点P在y轴的负半轴上，即角α的终边落在y轴的非正半轴上，因此角α不属于任何象限角．3．给出下列命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D∵－90°＜－75°＜0°，∴－75°是第四象限角，①正确；∵180°＜225°＜270°，∴225°是第三象限角，②正确；∵360°＋90°＜475°＜360°＋180°，∴475°是第二象限角，③正确；∵－360°＜－315°＜－270°，∴－315°是第一象限角，④正确．故这4个命题都是正确的．4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称D．关于原点对称解析：选A因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称．6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④2 018°是第三象限角．其中错误说法的序号为______．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④2 018°＝5×360°＋218°与218°终边相同，是第三象限角，所以④正确．答案：①③7．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.解析：∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称且－360°＜α＜360°，则角α的值为________．解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又－360°＜α＜360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°.答案：－75°或285°9．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角α的集合．解：(1){α|k·360°＋135°＜α＜k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－133<k<113，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.B级——高考能力达标1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则A，B，C关系正确的是()A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C解析：选B由题意得B A∩C，故A错误；B C，所以B∪C＝C，故B正确；A 与C互不包含，故C错误；由以上分析可知D错误．2．下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是()A．－37°B．143°C．379°D．－143°解析：选D与37°角的终边在同一直线上的角可表示为37°＋k·180°，k∈Z，当k＝－1时，37°－180°＝－143°，故选D.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．与－468°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}解析：选B因为－468°＝－2×360°＋252°，所以252°角与－468°角的终边相同，所以与－468°角的终边相同的角为k·360°＋252°，k∈Z，故选B.5．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx ＝45°，点P 从点A 处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°＜θ＜180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．解：根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z .又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，∴67.5＜k ·180°7＜112.5°. 又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为540°7或720°7. ∵0°＜540°7＜90°，90°＜720°7＜180°， ∴θ在第一象限或第二象限．。
2025届高考数学一轮总复习课时跟踪练三十一数系的扩充与复数的引入理含解析新人教A版
课时跟踪练(三十一)A 组 基础巩固1．(2024·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( ) A ．－3－i B ．－3＋i C ．3－iD ．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i. 答案：D2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－3，m ＜1，⇒－3＜m ＜1. 答案：A3．(2024·武邑模拟)设i 是虚数单位，复数a ＋i2－i是纯虚数，则实数a ＝( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2解析：因为a ＋i 2－i ＝（a ＋i ）（2＋i ）5＝（2a －1）＋（a ＋2）i5是纯虚数，所以2a －1＝0且a ＋2≠0，所以a ＝12.答案：B4．(2024·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：因为x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，所以x ＋x i ＝1＋y i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.答案：B5．(2024·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i 1＋i，则实数a ＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：因为1－i ＝2＋a i 1＋i ＝（2＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋a 2＋a －22i ，所以2＋a 2＝1，且a －22＝－1，解得a ＝0.答案：C6．(2024·安庆二模)已知复数z 满意：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( )A.15－35iB.15＋35iC.13－i D.13＋i 解析：由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，所以z —＝15＋35i. 答案：B7．(2024·深圳二模)设i 为虚数单位，则复数|1－3i|1＋i ＝( )A ．－1＋iB ．－2＋2iC ．1－iD ．2－2i解析：|1－3i|1＋i ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i.答案：C8．(2024·九江联考)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z 等于( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i解析：因为复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，所以z ＝1－i. 答案：D9．(2024·天津十二所重点中学毕业班联考)已知复数3i －ai 的实部与虚部相等(i 为虚数单位)，那么实数a ＝________．解析：因为3i －a i ＝－3－a i－1＝3＋a i 的实部与虚部相等，所以a ＝3. 答案：310．[一题多解](2024·江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：法一 因为z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， 所以|z |＝（－1）2＋32＝10.法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 答案：1011．(2024·江苏卷)若复数z 满意i·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．解析：因为i·z ＝1＋2i ，所以z ＝1＋2i i ＝（1＋2i ）（－i ）i ×（－i ）＝2－i.所以复数z 的实部为2. 答案：212．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 解析：因为|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 3B 组 素养提升13．(2024·江西八所重点中学联考)设复数z 满意z ＝|2＋i|＋2i i (i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．3 B.10 C ．9 D ．10解析：z ＝|2＋i|＋2i i ＝5＋2i i ＝（5＋2i ）（－i ）i·（－i ）＝2－5i ，则|z |＝|2－5i|＝4＋5＝3. 答案：A14．(2024·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z —，若(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 所对应的点位于( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z ＝a －b i ，则3z 2＋z－2＝2a ＋b i ， 故2a ＋b i ＝5－2i 1－22i＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝ 2.则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．答案：A15．(2024·三湘名校教化联盟联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i ，则以下为真命题的是( )A ．z 的共轭复数为75－4i5B ．z 的虚部为85C ．|z |＝3D ．z 在复平面内对应的点在第一象限解析：因为z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5，所以z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限．答案：D16．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R)的实部为－3，则|z |＝________．解析：因为z ＝1－a i 1＋i ＝（1－a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－a －（a ＋1）i2的实部为－3，所以1－a 2＝－3，解得a ＝7.所以z ＝－3－4i ，故|z |＝（－3）2＋（－4）2＝5. 答案：5。
2018高考数学大一轮复习第五章数列课时跟踪检测(三十一)数列求和练习文
(三^一 )数列求和S,若 S 3= 9, S 5= 25,贝V S 7=()B. 48 D. 56解得 A = 1, B = 0,)B. 2+ 2n D. n + 2 + 2n解析：选C 由题意得a n = 1 + 2n —1,1 — 2n n所以 S = n + ~1 = n + 2 — 1.3 . （2017 •江西新余三校联考 ）数列｛a n ｝的通项公式是 a n = （— 1）n （2 n — 1），则该数列的前100项之和为（）A. — 200B. — 100C. 200D. 100解析：选 D 根据题意有 S 100=— 1+ 3— 5 + 7 — 9+ 11—…—197+ 199 = 2X 50= 100,故 选D.2 24.已知正项数列｛&｝满足a n +1 — 6a n = a n +1a n .若a 1 = 2，则数列｛a n ｝的前n 项和 S =解析：• a n + 1 — 6a n = a n + 1a , --(a “+1 — 3a “)( +1 + 2a n ) = 0,a n >0,.°. a n +1 = 3a n ,又a 1= 2,「. ｛a n ｝是首项为2,公比为3的等比数列,—3n• $ = 「答案：3n — 15 . （2017 •广西高三适应性测试 ）已知数列｛體｝的前n 项和S = n 2，则数列\ 1 .『的0n + 1 — I课时跟踪检测 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 .已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为 A. 41 C. 49解析：选C 设An 2+ Bn,S 3 = 9A + 3 B = 9,由题知， S 5= 25A + 5B = 25,••• S = 49.2.数列｛1 + 2n _1｝的前n 项和为（ A. 1+ 2n C. n + 2n — 1前n项和T n= _________ .:an = 2n — 1.1 = 1 = 1 口 __ a n + 1 — 7= 打+1 __= 4 n —n +1，T n = 4 1- =+；； — ；；+•••+ 二―“宀 n 答案：市—保咼考，全练题型做到咼考达标5项和为（ ）31 B 兀或515D "a解析：•••a n 1, n = 1, n 2— n —]2, n 》2 1, n = 1,2n — 1, n >2,解析：选C 设｛a n ｝的公比为q ,显然q z 1,由题意得 9 [— q 3 1 — q 63-n —r =1—5，所以 1+q 3 1 1=9，得q = 2，所以—是首项为1，公比为石的等比数列，前 a n 2an、1-G) 315项和为 ----- —=16 .1 —22.已知数列｛a n ｝中，a n =— 4n +5,等比数列｛b n ｝的公比 q 满足 q = a n — a n -1 (n 》2)且 b=a 2,则 | b 1| +1 b 2| + | b 3| +…+ | b n | =( ) nA. 1 — 4B .D . 解析：选B 由已知得b 1 = a 2= — 3, q = — 4, ・ n — 1 • = ( — 3) X ( — 4) , • | b n | = 3X4n —1, 即｛| b n |｝是以3为首项，4为公比的等比数列.I — 4 n=4n — 11 — 4 .I b 1| + | b 2| + …+ | b n | =3. （2017 •江西重点中学联考）已知数列5,6,1 , — 5,…，该数列的特点是从第二项起, 1 1 nn +1=41-1'n + 1 = 4n + 4'1.已知｛a n ｝是首项为1的等比数列,S 是｛a n ｝的前n 项和，且983=则数列 的前a n31A. 5解析：选C 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，— 5,— 6, — 1,5,6，发现从第+ ( — 6) + ( — 1) = 0.每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 16项之和S 16等于( )C. 7 D .16B. 7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列, 且周期为 6,前 6 项和为 5+ 6+ 1 + ( — 5)又因为16 = 2X 6+ 4,所以这个数列的前16项之和S 6= 2X 0+ 7 = 7.故选C.4. 已知数列｛的的通项公式是a n = n 2sin2n + 1 “， 、~2~n ，贝U a 1+ a 2 + a 3+…+ a ? 018=( )A. 2 017 X 2 018 B .2 018 X 2 019C.2 017 X 2 017D.2 018 X 2 018解析：选 B a n = n 2sinnk 2丿 ■ 2—n ,2 n ,n 为奇数, n 为偶2222222222• a 1 + a 2+ a 3 + …+ a 2 018 = — 1 + 2 — 3 + 4—…一2 017 + 2 018 = (2 — 1 ) + (4 — 3 ) + …+ (2 018 2— 2 0172) = 1 + 2 + 3+ 4+-+ 2 018 = 2 % X 2 0195.对于数列｛&｝，定义数列｛a n +1 — a n ｝为数列｛a n ｝的 2n ，则数列｛a n ｝的前n 项和S n =(“差数列”，若 a 1= 2，数列｛a n ｝的“差数列”的通项为A. 2 nB. 2C. 2n +1 — 2n — 1小D. 2—解析：选Cnn — 1a n +1 — ch = 2，…a n = (a n — a n — 1) + (—1 — a n —2) +…+ (a 2 — aj + a 1 = 2+ 2n —2+-+ 22 + 2+ 2 =2n n +1 ——2 2——2 「+ 2= 2n — 2 + 2 = 2n ,. $= 丁片=2n +1 — 2.故选 C.1 —2 1 — 2 6.在数列｛a n ｝中，若a 1 = 2，且对任意正整数 m k ,总有a m+ k = am + a k ,则｛ a n ｝的前 n 解析：依题意得 a n +1 = a n + a 1,即有a n +1 — a n = a 1= 2，所以数列｛a n ｝是以2为首项、2为 + 2n公差的等差数列， a n = 2 + 2(n — 1) = 2n , S = -__= n ( n + 1).答案：n (n + 1)7. (2016 •浙江高考)设数列｛a n ｝的前n 项和为 S.若S 2 = 4, a n +1 = 2S + 1, n € N ,则,S =解析：T a n + 1 = 2S n + 1 ,.•. S+ 1 — Si = 2S n + 1 ,••• S+1= 3S + 1 ,••• S+1 + 2 = 3 s +1 ,（1）求｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式;⑵设数列｛C n ｝满足C n = 2S ，求｛C n ｝的前n 项和 解：（1）设数列｛b n ｝的公差为d ,v a 3+ S= 27,T n.•- q 2 + 3d = 18,6 + d = q 2,联立方程可求得 q = 3, d = 3,• a n = 3 1, b n = 3n .、卄—n 3 + 3n(2)由题意得： S=2111113 3 2 11 1C n = =_X_X=_—一2S 2 3 n n+1 n n +11 1 • T n = 1 _一+ 一_一+ —_—+•••+ 一一 -------------------------------------•数列“s+ 2煜公比为3的等比数列,1$ + 2 = 3. S + 2又 S 2= 4,「. S= 1 ,.•. a i = 1, 1 < 1 \ 4 34243• $+2= $+2 X3 = 2X3 =〒 ••• S 5 = 121. 答案：1121&已知数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 • a n = 2n (n € N)，则 S 。
高中数学课时跟踪检测(三十)--任意角
课时跟踪检测（三十） 任意角A 级——学考合格性考试达标练1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．240°D ．－240°解析：选D 按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A 、C ；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.2．(2019·江西高安中学高二期末)给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°角是第四象限角；②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．所以四个结论都是正确的．3．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B ＝( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}解析：选C 令k ＝－1，0，1，2，则A ，B 的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.4．若α是第一象限角，则－α2是( ) A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选D 法一 由题意知k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ，则k ·180°<α2<k ·180°＋45°，k ∈Z ，所以－k ·180°－45°<－α2<－k ·180°，k ∈Z .当k 为偶数时，－α2为第四象限角；当k 为奇数时，－α2为第二象限角． 法二 由几何法易知α2为第一象限角或第三象限角，根据－α2与α2的终边关于x 轴对称，知－α2为第四象限角或第二象限角．5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称解析：选A 因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x 轴对称．6．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________．解析：因为α与120°角终边相同，故有α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又因为－990°<α<－630°，所以－990°<k ·360°＋120°<－630°，即－1 110°<k ·360°<－750°.当k ＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.答案：－960°7．已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小的正角是________．解析：与α角终边相同的角为β＝k ·360°－3 000°(k ∈Z )．由题意，令k ·360°－3 000°>0°，则k >253，故取k ＝9，得与α终边相同的最小正角为240°. 答案：240°8．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________． 解析：∵5α＝α＋k ·360°，k ∈Z ，∴α＝k ·90°，k ∈Z .又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°9．已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．解：因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1 845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k ·360°，k ∈Z }．(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.10．已知角的集合M ＝{α|α＝30°＋k ·90°，k ∈Z }，回答下列问题：(1)集合M 中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，得－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)∵集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z .B 级——面向全国卷高考高分练1．已知A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则A ，B ，C 关系正确的是( )A ．B ＝A ∩CB ．B ∪C ＝C C ．A CD ．A ＝B ＝C解析：选B 由题意得BA ∩C ，故A 错误；BC ，所以B ∪C ＝C ，故B 正确；A 与C 互不包含，故C 错误；由以上分析可知D 错误．2．集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围(用阴影表示)是图中的( )解析：选B 集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中，当k 为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k 为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k ·180°≤α≤k ·180°＋45°，k ∈Z }中角表示的范围为B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．y 轴的非负半轴上D ．y 轴的非正半轴上解析：选A ∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ，∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ，∴其终边在x 轴的非负半轴上．4．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角解析：选C因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°<α<k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°<α<n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<α<n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角．故选C.5.如图，终边在阴影部分内的角的集合为________．解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得终边在阴影部分内的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}6．终边在第二或第四象限的角的集合是________．解析：因为终边在第二象限的角的集合为{α|k·360°＋90°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，终边在第四象限的角的集合为{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}，故终边在第二或第四象限的角的集合为{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}．答案：{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}7.已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题图可知，阴影部分的角的集合是终边与介于－30°≤α≤135°之间的角的终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.C 级——拓展探索性题目应用练如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx ＝45°，点P 从点A 处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P 在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A ，求θ，并判断θ所在的象限．解：根据题意知，14秒钟后，点P 在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k ·360°＝14θ＋45°，k ∈Z .又180°<2θ＋45°<270°，即67.5°<θ<112.5°，∴67.5°<k ·180°7<112.5°. 又k ∈Z ，∴k ＝3或4，∴所求的θ的值为540°7或720°7. ∵0°<540°7<90°，90°<720°7<180°， ∴θ在第一象限或第二象限．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
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课时跟踪检测（三十一）任意角层级(一)“四基”落实练1．下列命题正确的是()A．第一象限的角都是锐角B．小于90°的角是锐角C．2 019°是第三象限的角D．2 019°是第四象限的角解析：选C当α＝390°时，位于第一象限，但α＝390°不是锐角，故A错误；α＝0°＜90°但α不是锐角，故B错误；2019°＝5×360°＋219°，∵219°是第三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C正确，D错误，故选C.2．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是()A．120°B．60°C．180°D．240°解析：选D∵与－120°终边相同角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是240°.3．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()A．第一象限角B．第一、二象限角C．第一、三象限角D．第一、四象限角解析：选C由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．4．若角α＝m·360°＋60°，β＝k·360°＋120°，m，k∈Z，则角α与β的终边的位置关系是()A．重合B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称解析：选Dα的终边和60°的终边相同，β的终边与120°的终边相同，∵180°－120°＝60°，∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称．5．(多选)如果角α与角γ＋45°的终边重合，角β与角γ－45°的终边重合，那么α－β的可能值为()A．90°B．360°C．450°D．3 330°解析：选ACD由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)．将两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．当k＝0时，α－β＝90°；当k＝1时，α－β＝450°；当k＝9时，α－β＝3 330°，故选A、C、D.6．若角α＝2 020°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 020°＝5×360°＋220°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝220°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是220°，最大负角是－140°.答案：220°－140°7．已知α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：由题意知5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于__________________．解析：因为A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，所以当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.又B＝{β|－180°<β<180°}，所以A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．答案：{－126°，－36°，54°，144°}9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角α＝45°.(1)在－720°≤β≤0°范围内找出所有与角α有相同终边的角β；(2)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ，那么两集合的关系是什么？ 解：(1)由题意知：β＝45°＋k ·360°，k ∈Z ，则令－720°≤45°＋k ·360°≤0°，解得－765360≤k ≤－45360， 从而k ＝－2或k ＝－1，故β＝－675°或 β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合，而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而M N .层级(二) 素养提升练1．角α＝－60°＋k ·180°(k ∈Z )的终边落在( )A ．第四象限B ．第一、二象限C ．第一象限D ．第二、四象限解析：选D 令k ＝0，α＝－60°，在第四象限；再令k ＝1，α＝－60°＋180°＝120°，在第二象限．2.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°＜α＜150°或210°＜α＜330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}3．终边落在直线y＝3x上的角α的集合为____________．解析：如图所示，终边落在射线y＝3x(x≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线y＝3x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是终边落在直线y＝3x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．答案：{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}4．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°. ①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°. ②由①②，得α＝15°，β＝65°.5．已知α为第二象限角，试判断α3是第几象限角？解：∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°<α3<60°＋k·120°，k∈Z.当k ＝3n ，n ∈Z 时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°，n ∈Z ，此时α3为第一象限角； 当k ＝3n ＋1，n ∈Z 时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°，n ∈Z ，此时α3为第二象限角； 当k ＝3n ＋2，n ∈Z 时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°，n ∈Z ，此时α3为第四象限角． ∴α3为第一、第二或第四象限角．。