高考二轮复习考前增分训练数学(文) 小题提速练9

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高考数学(文)二轮复习练习：小题提速练9 Word版含答案

小题提速练(九) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{4}C ．{1,3}D ．{1,4}[答案] D2．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log a 3<log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B3．下列四个函数中，属于奇函数且在区间(－1,0)上为减函数的是( )【导学号：04024204】A ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |B ．y ＝x －42－xC ．y ＝log 2|x |D ．y ＝－x 13[答案] D4．复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3iC [因为z ＝(3－2i)i ＝3i －2i 2＝2＋3i ，所以z ＝2－3i ，故选C.]5．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．40A [由a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0，又a m ≠0，所以a m ＝2，则S 2m －1＝m －a 1＋a 2m －12＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.]6．某几何体的三视图如图1所示，则该几何体外接球的体积为( )图1A.12524π B.12522π C ．1252πD.12523π D [由三视图可知几何体是底面为直角三角形的三棱锥，且一侧棱垂直于底面，构造出一个棱长为3,4,5的长方体，则三棱锥的各顶点为长方体的顶点，长方体的外接球即为三棱锥的外接球．长方体的外接球半径与棱长的关系式为2r ＝a 2＋b 2＋c 2，解得r ＝522，外接球体积V ＝43πr 3＝12523π.]7．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )【导学号：04024205】A ．3 B.52C ．2D ．2 2C [因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图(阴影部分，含边界)所示的可行域为直角三角形，易得A (0,1)，B (1,0)，C (2,3)，故AB ＝2，AC ＝22，其面积为12×AB ×AC＝2.]8．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(3，22) C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)D [设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，则F 2A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ，F 2B →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a . F 2A →·F 2B →＝4c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＞0，e 2－2e －1＜0,1＜e ＜1＋ 2.] 9．设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( )A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；当b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关，但与c 无关，故选B.]10．(2015·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )图2A ．5B ．6C ．7D ．8C [运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01；运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01；运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01；运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01；运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01；运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.故选C.]11．点P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( ) A.1325 B.35 C.1325πD.35π[答案] B12．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA →－4OB →＋3OC →＝0，则|AB →||BC →|等于( )【导学号：04024206】A.13B.12 C ．3 D ．2[答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．现有红心1,2,3和黑桃4,5共五张牌，从这五张牌中随机取2张牌，则所取2张牌均为红心的概率为________．[解析] 从5张中取2张共有基本事件10种(用列举法)，其中2张均为红心有3种，则它的概率为310.[答案]31014．某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝5x ＋a ，当某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为________． [答案] 9.515．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． [解析] 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ＜π，所以φ＝π6. [答案]π616．如图3，VA ⊥平面ABC ，△ABC 的外接圆是以AB 边的中点为圆心的圆，点M 、N 、P 分别为棱VA 、VC 、VB 的中点，则下列结论正确的有________．(把正确结论的序号都填上)图3①MN∥平面ABC；②OC⊥平面VAC；③MN与BC所成的角为60°；④MN⊥OP；⑤平面VAC⊥平面VBC.【导学号：04024207】[解析]对于①，因为点M、N分别为棱VA、VC的中点，所以MN∥AC，又MN⊄平面ABC，所以MN∥平面ABC，所以①是正确的；对于②，假设OC⊥平面VAC，则OC⊥AC，因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC，矛盾，所以②是不正确的；对于③，因为MN∥AC，且BC⊥AC，所以MN与BC所成的角为90°，所以③是不正确的；对于④，易得OP∥VA，又VA⊥MN，所以MN⊥OP，所以④是正确的；对于⑤，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC，又BC⊥AC，且AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC，所以⑤是正确的．综上，应填①④⑤.[答案]①④⑤。

高考数学二轮专题复习小题提速练九文

小题提速练(九)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知复数z ＝4＋3ii ，i 为虚数单位，则z ＝( )A ．－4i －3B ．－4i ＋3C ．4i ＋3D ．4i －3解析：选B.z ＝4＋3i i ＝（4＋3i ）（－i ）－i 2＝－4i ＋3. 2．命题“∃x ∈R ，(1－3x )2－6≥0”的否定是( ) A ．“∃x ∈R ，(1－3x )2－6≤0” B ．“∃x ∈R ，(1－3x )2－6＜0” C ．“∀x ∈R ，(1－3x )2－6≤0” D ．“∀x ∈R ，(1－3x )2－6＜0”解析：选D.由于特称命题的否定是全称命题，因此命题“∃x ∈R ，(1－3x )2－6≥0”的否定是“∀x ∈R ，(1－3x )2－6＜0”．故选D.3．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2≤4}，Z 为整数集，则下列结论错误的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩Z ＝{－1，0，1，2} C ．A ⊆ZD ．B ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}解析：选C.由题意得，集合B ＝{x |－2≤x ≤2}，所以B ∩Z ＝{－2，－1，0，1，2}，又集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ⊆B ，A ∩Z ＝{－1，0，1，2}，显然A ⃘Z ，故C 选项错误，选C.4．如图，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a ，a ，连接CE ，CG ，现将一把芝麻随机撒在该图形中，则芝麻落在阴影部分的概率是( )A.310 B ．35 C.320D ．38解析：选A.设图中阴影部分的面积是S ，则S ＝S 正方形ABFG ＋S △BCE －S △AGC ，∵S 正方形ABFG ＝a 2，S △BCE ＝12×2a ×2a ＝2a 2，S △AGC ＝12(a ＋2a )×a ＝32a 2，∴S ＝32a 2，又整体区域的面积为5a 2，∴芝麻落在阴影部分的概率是32a 25a 2＝310，故选A.5．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)过点(2，3)，以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )A.x212－y2＝1 B．x2－y23＝1C.x29－y23＝1 D．x223－y232＝1解析：选B.由题意得，ba＝tan 60°＝3，因为双曲线C过点(2，3)，所以（2）2a2－（3）2b2＝1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝3，2a2－3b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝1，b2＝3，所以双曲线C的标准方程是x2－y23＝1.故选B.6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A．24＋π B．24＋(2－1)πC．20＋(2－1)π D．20＋π解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个圆锥后所得的几何体，正方体的侧面积为4×2×2＝16，正方体的一个底面面积为2×2＝4，一个底面截去一个圆后剩余部分的面积为4－π，圆锥的底面半径为1，高为1，母线长为12＋12＝2，侧面积为π×1×2＝2π，所以该几何体的表面积为16＋4＋4－π＋2π＝24＋(2－1)π，故选B.7．已知函数f(x)＝log12(x2－2x－3)，则下列关系正确的是( )A．f(－3)＜f(－2) B．f(10)＜f(11)C．f(－3)＞f(－2) D．f(log328)＜f(3log34)解析：选A.由x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞3.y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数，而y ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，∴f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数．∵－3＜－2＜－1，∴f (－3)＜f (－2)，选项A 正确，选项C 错误；∵3＜10＜11，∴f (10)＞f (11)，选项B 错误；∵3＜log 328＜3log 34， ∴f (log 328)＞f (3log 34)，选项D 错误．故选A.8．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1、CBB 1C 1都是矩形，AB ＝BC ＝2，BB 1＝4，∠ABC ＝60°，D 为BC 的中点，则四面体ADC 1A 1的体积为( )A.433 B ．233C.223D ．239解析：选B.由侧面ABB 1A 1、CBB 1C 1都是矩形，得BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，又AB 、BC 是底面ABC 内的两条相交直线，所以BB 1⊥平面ABC ，则三棱柱ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，又AB ＝BC＝2，∠ABC ＝60°，所以△ABC 是边长为2的等边三角形，则点B 到平面AA 1C 1的距离等于正三角形ABC 的高3，又D 为BC 的中点，则点D 到平面AA 1C 1的距离为32，则四面体ADC 1A 1的体积VD AA 1C 1＝13×12×2×4×32＝233.9．已知函数f (x )＝ln(1＋4x 2－2x )－2e x＋1e x ＋1，则f (2 020)＋f (－2 020)＝( )A ．0B ．2C ．－2D ．－3解析：选D.令g (x )＝ln(1＋4x 2－2x )，h (x )＝－2e x＋1e x ＋1，则f (x )＝g (x )＋h (x )，g (x )＝ln(1＋4x 2－2x )＝ln 11＋4x 2＋2x，g (x )＋g (－x )＝0，x ∈R .又h (x )＝－2e x＋1e x ＋1＝－2（e x＋1）－1e x＋1＝－2＋1e x ＋1，所以h (x )＋h (－x )＝－2＋1e x ＋1－2＋1e －x ＋1＝－4＋1e x ＋1＋ex1＋e x ＝－3，所以f (2 020)＋f (－2 020)＝g (2 020)＋h (2 020)＋g (－2 020)＋h (－2 020)＝－3.10．在Rt△ABC 中，AC ⊥BC ，AB ＝2，P 为△ABC 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( )A ．－1B ．－12C ．0D ．1解析：选B.解法一：设O 是线段AB 的中点，M 是线段CO 的中点，则PA →＋PB →＝2PO →，则(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝2·14[(PO →＋PC →)2－(PO →－PC →)2]＝2PM →2－12CO →2，又OC ＝12AB ＝1，则(PA→＋PB →)·PC →＝2PM →2－12CO →2＝2PM →2－12≥－12，当且仅当P 是斜边中线OC 的中点时取等号．解法二：由AC ⊥BC ，AB ＝2知，可以以AB 边所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，可设C (cos θ，sin θ)，P (x ，y )，则PA →＝(－1－x ，－y )，PB →＝(1－x ，－y )，PC →＝(cos θ－x ，sin θ－y )，∴(PA →＋PB →)·PC →＝(－2x ，－2y )·(cos θ－x ，sin θ－y )＝2x 2－2x cos θ＋2y 2－2y sin θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12cos θ2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12sin θ2－12(cos 2θ＋sin 2θ)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12cos θ2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12sin θ2－12≥－12，当且仅当x ＝12cos θ，y ＝12sin θ，即P 为OC 的中点时取等号．11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若AB →·BF 2→＝0，且∠F 1AF 2＝150°，则e 2＝( )A ．7－2 3B ．7－ 3C ．7＋ 3D ．7＋2 3解析：选A.因为AB →·BF 2→＝0，所以AB ⊥BF 2.设|BF 2|＝m ，则|BF 1|＝m ＋2a .因为∠F 1AF 2＝150°，所以∠BAF 2＝30°，所以|AF 2|＝2m ，|AB |＝3m ，所以|AF 1|＝2m －2a ，则|AB |＝|BF 1|－|AF 1|＝m ＋2a －2m ＋2a ＝4a －m ＝3m ，即m ＝4a 3＋1＝2(3－1)a .所以|BF 1|＝m ＋2a＝23a .在△BF 1F 2中，有|BF 1|2＋|BF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4c 2＝12a 2＋4(3－1)2a 2，所以e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝3＋(3－1)2＝7－2 3.12．已知数列{a n }满足a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)，且a 1＝1，a 2＝4，其前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2n ＋m ·2n≥0恒成立，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.由a n ＋2＝3a n ＋1－2a n 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3×1，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3×1＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．∴S n ＝3(1＋2＋22＋…＋2n －1)－2n ＝3·1－2n1－2－2n ＝3·2n－2n －3，由S n ＋2n ＋m ·2n≥0，得3·2n－2n －3＋2n ＋m ·2n≥0，∴3·2n－3＋m ·2n≥0，即m ≥－3＋32n ，∵12n ≤12，∴m ≥－3＋32＝－32，故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x ＋7)＝f (5－x )，且当x ∈[0，6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，若f (a )＝1(a ∈[0，2 020])，则a 的最大值是________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x －5)＝f (5－x )．又f (x ＋7)＝f (5－x )，所以f (x ＋7)＝f (x －5)，即f (x ＋12)＝f (x )，所以f (x )是周期为12的周期函数．因为当x ∈[0，6]时，f (x )＝log 6(x ＋1)，所以f (5)＝1，所以f (－5)＝1.从而f (2 009)＝f (5＋12×167)＝f (5)＝1，f (2 011)＝f (－5＋12×168)＝f (－5)＝1.所以满足f (a )＝1(a ∈[0，2 020])的a 的最大值是2 011.答案：2 01114．已知离心率为22的椭圆C ：x 22＋y2b 2＝1(0＜b ＜2)与y 轴的正半轴交于点A ，P 为椭圆C 上任意一点，则|PA |的最大值为________．解析：由已知得a ＝2，离心率e ＝c a ＝c 2＝22，则c ＝1，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，A (0，1)，设P (x ，y )，由两点间的距离公式得|PA |＝x 2＋（y －1）2＝2－2y 2＋y 2－2y ＋1＝ 4－（y ＋1）2，由于|y |≤1，因而y ＝－1时|PA |取得最大值2.答案：215．将函数f (x )＝sin(x ＋φ)cos(x ＋φ)－cos 2(x ＋φ)(φ＞0)的图象向右平移π3个单位长度，所得函数图象刚好经过坐标原点，则φ的最小值为________．解析：f (x )＝sin(x ＋φ)cos(x ＋φ)－cos 2(x ＋φ)＝12sin(2x ＋2φ)－1＋cos （2x ＋2φ）2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－π4－12，将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋2φ－π4－12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－11π12－12的图象．由题意，函数y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ－11π12－12的图象经过坐标原点，所以0＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ－11π12－12，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ－11π12＝22，得2φ－11π12＝2k π＋π4(k ∈Z )或2φ－11π12＝2k π＋3π4(k ∈Z )，解得φ＝k π＋7π12(k ∈Z )或φ＝k π＋5π6(k ∈Z )．又φ＞0，故φ的最小值为7π12. 答案：7π1216．某酒厂生产浓香型、老字号两种白酒，若每吨浓香型白酒含乙醇0.6吨，水0.4吨；每吨老字号白酒含乙醇0.4吨，水0.6吨．销售每吨浓香型白酒可获得利润5万元，销售每吨老字号白酒可获得利润4万元．该酒厂在一个生产周期内乙醇的总量不能超过 3.4吨，水总量不能超过3.6吨．那么该酒厂在一个生产周期内可获得的最大利润是________万元．解析：设该酒厂在一个生产周期内生产浓香型白酒x 吨，老字号白酒y 吨，该酒厂在一个生产周期内可获得的利润为z 万元，则z ＝5x ＋4y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.6x ＋0.4y ≤3.4，0.4x ＋0.6y ≤3.6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤17，2x ＋3y ≤18，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤17，2x ＋3y ≤18表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线5x ＋4y ＝0，平移该直线，易知在点P 处直线的纵截距最大，即在点P 处z 取得最大值，联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝17，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.所以P (3，4)，所以z max ＝5×3＋4×4＝31(万元)，故该酒厂在一个生产周期内可获得的最大利润为31万元．答案：31。

高考数学二轮复习考前冲刺必备六解题技法增分学案(含参考答案)

高考数学二轮复习：必备六解题技法增分技法一特例法在解填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法由于只需对特殊值、特殊情形进行检验,省去了推理论证及烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特例法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当会有事半功倍的效果. 典型例题例1 (1)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若a 、b 、c 成等差数列,则cos A +cos A 1+cos A cos A= .(2)AD,BE 分别是△ABC 的中线,若|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,且AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案 (1)45 (2)23解析 (1)利用特例法,令a=3,b=4,c=5,则△ABC 为直角三角形,cosA=45,cosC=0,从而所求值为45. (2)易知等边三角形为符合题意的△ABC 的一个特例,则|AB|=2√33,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=23.【方法归纳】当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理. 跟踪集训1.求值:cos 2a+cos 2(a+120°)+cos 2(a+240°)= .2.已知m,n 是直线,α,β,γ是平面,给出下列命题:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若n⊥α,n⊥β,则α∥β;③若α内不共线的三点到β的距离都相等,则α∥β;④若n ⊄α,m ⊄α,且n∥β,m∥β,则α∥β;⑤若m,n 为异面直线,n ⊄α,n∥β,m ⊄β,m∥α,则α∥β.其中正确的命题是 .(把你认为正确的命题序号都填上)3.如图,点P 为椭圆A 225+A 29=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线,它们相交于点C,过点P 引BC,AC 的平行线,分别交AC 于点N,交BC 于点M,交AB 于D 、E 两点,记矩形PMCN 的面积为S 1,三角形PDE 的面积为S 2,则S 1∶S 2= . 技法二图解法典型例题例2 (1)直线y=x+m 与曲线x=√1-A 2有且仅有一个公共点,则m 的取值范围是 .(2)已知函数f(x)={A 2+(4a -3)x +3a,A <0,log A (x +1)+1,A ≥0(a>0,且a≠1)在R 上单调递减,且关于x 的方程|f(x)|=2-A3恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 .答案 (1)-1<m≤1或m=-√2 (2)[13,23)解析 (1)作出曲线x=√1-A 2的图形,如图所示.由图形可得,当直线y=x+m 在b 和c 之间变化时,满足题意,同时,当直线在a 的位置时也满足题意,所以m 的取值范围是-1<m≤1或m=-√2.(2)因为函数f(x)在R 上单调递减,所以{02+(4a -3)·0+3a ≥f(0),3-4A 2≥0,0<A <1.解得13≤a≤34.在同一平面直角坐标系中作出函数y=|f(x)|,y=2-A3的图象,如图.由图象可知,在[0,+∞)上,方程|f(x)|=2-A 3有且仅有一个解;在(-∞,0)上,方程|f(x)|=2-A3同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<23.综上,a 的取值范围是[13,23).【方法归纳】图解法实质上是数形结合的思想在解题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果. 跟踪集训4.(2018江苏连云港期末)若方程组{A 2+A 2+8x -10y +5=0,A 2+A 2+2x -2y +2-t =0有解,则实数t 的取值范围是 .5.向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cosα,√2sinα),则向量AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的取值范围是 .6.(2018镇江高三期末考试)已知k 为常数,函数f(x)={A +2A +1,x≤0,|ln A |,A >0,若关于x 的方程f(x)=kx+2有且只有4个不同的解,则实数k 的取值范围为 . 技法三等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题,从而得到正确的结果.典型例题例3 对任意的|m|≤2,函数f(x)=mx 2-2x+1-m 恒负,则x 的取值范围为 .答案 (√7-12,√3+12) 解析对任意的|m|≤2,有mx 2-2x+1-m<0恒成立,等价于|m|≤2时,(x 2-1)m-2x+1<0恒成立.设g(m)=(x 2-1)m-2x+1,则原问题转化为g(m)<0在[-2,2]上恒成立,则{A (-2)<0,A (2)<0,即{2A 2+2x -3>0,2A 2-2x -1<0,解得√7-12<x<√3+12.从而实数x 的取值范围是(√7-12,√3+12). 【方法归纳】在处理多元的数学问题时,我们可以选取其中的常量(或参数),将其看做“主元”,通过构造函数进行求解.运用转化方法解题,要注意转化的方向性,使转化的目的明确,使解题思路自然流畅,此外还要注意转化前后的等价性. 跟踪集训7.无论k 为何实数,直线y=kx+1与曲线x 2+y 2-2ax+a 2-2a-4=0恒有交点,则实数a 的取值范围是 .8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E,F 分别是AB,CD 的中点,点G 是EF 上的动点,记△A 1B 1G,△C 1D 1G 的面积分别为S 1,S 2,则S 1+S 2的最小值为 .技法四待定系数法待定系数法是为确定变量间的函数关系,设出未知数,然后根据所给条件确定这些未知数的一种方法,其理论依据是多项式恒等.多项式f(x)≡g(x)的充要条件是:对于一个任意的a 值,都有f(a)≡g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等. 典型例题例4 已知圆M 的方程为x 2+(y-2)2=1,直线l 的方程为x-2y=0,点P 在直线l 上,过P 点作圆M 的切线PA,PB,切点为A,B.(1)若P 点的坐标为(2,1),过P 作直线与圆M 交于C,D 两点,当CD=√2时,求直线CD 的方程; (2)求证:经过A,P,M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.解析 (1)易知直线CD 的斜率k 存在,设直线CD 的方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由题知圆心M 到直线CD 的距离为√22,所以√22=√,解得k=-1或k=-17,故所求直线CD 的方程为x+y-3=0或x+7y-9=0. (2)证明:设P(2m,m),则MP 的中点Q (A ,A 2+1).因为PA 是圆M 的切线,所以经过A,P,M 三点的圆是以Q 为圆心,MQ 为半径的圆, 故其方程为(x-m)2+(A -A 2-1)2=m 2+(A2-1)2,化简得x 2+y 2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m 的恒等式,故{A 2+A 2-2y =0,2A +A -2=0,解得{A =0,A =2或{A =45,A =25.所以经过A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或(45,25). 【方法归纳】待定系数法解题的基本步骤: 第一步:确定含有待定系数的式子;第二步:根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程; 第三步:解方程(组)或者消去待定系数,得到结果. 跟踪集训9.已知二次函数f(x)的图象与x 轴的两交点坐标为(2,0),(5,0),且f(0)=10,则f(x)的解析式为 .10.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,其离心率为√53,短轴的端点是B 1,B 2,点M(2,0)是x 轴上的一定点,且MB 1⊥MB 2. (1)求椭圆C 的方程;(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A,B 两点.试问x 轴上是否存在定点P,使直线PA 与PB 的斜率互为相反数?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.技法五换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引入新的变量,可以把分散的条件联系起来,使隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等. 典型例题例5 已知函数f(x)=x 2,g(x)=alnx+bx(a>0).设G(x)=f(x)+2-g(x)有两个零点x 1,x 2,且x 1,x 0,x 2成等差数列,试探究G'(x 0)的符号.解析因为G(x)=x 2+2-alnx-bx 有两个零点x 1,x 2,所以{A 12+2-aln A 1-b A 1=0,A 22+2-aln A 2-b A 2=0,两式相减得A 22-A 12-a(lnx 2-lnx 1)-b(x 2-x 1)=0,即x 2+x 1-b=A (ln A 2-ln A 1)A 2-A 1, 于是G'(x 0)=2x 0-A A 0-b=(x 1+x 2-b)-2A A 1+A 2=A (ln A 2-ln A 1)A 2-A 1-2A A 1+A 2=A A 2-A 1[ln A 2A 1-2(A 2-A 1)A 1+A 2] =A A 2-A 1[ln A 2A 1-2(A 2A 1-1)1+A 2A1]. ①当0<x 1<x 2时,令A2A 1=t,则t>1,且G'(x0)=AA2-A1[ln A-2(A-1)1+A].设u(t)=lnt-2(A-1)1+A(t>1),则u'(t)=1A -4(1+A)2=(1-A)2A(1+A)2>0,则u(t)=lnt-2(A-1)1+A在(1,+∞)上为增函数,而u(1)=0,所以u(t)>0,即lnt-2(A-1)1+A>0.又因为a>0,x2-x1>0,所以G'(x0)>0.②当0<x2<x1时,同理可得,G'(x0)>0.综上所述,G'(x0)的符号为正.【方法归纳】本题涉及两个变量x1,x2,在解题时利用换元法简化过程,然后构造函数,再利用导数法,结合函数单调性进行符号的判断.本题把式子A2A1看成一个整体,用变量t去代替它,从而达到化二元为一元的目的,同时使本来零乱、分散的问题得到简化.这种技巧在解题时非常重要,需要灵活运用.跟踪集训11.若f(lnx)=3x+4,则f(x)的表达式为.12.已知函数f(x)=4x,g(x)=2x,则方程f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)=229的解为.13.y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是.技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的,首先应观察题目,观察已知条件形式上的特点,然后联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例6 在四面体ABCD中,若AB=CD=√13,AC=BD=5,AD=BC=2√5,则该四面体的体积V= .答案8解析构造如图所示的长方体,并且满足AB=CD=√13,AC=BD=5,AD=BC=2√5.设AP=p,AQ=q,AR=r,则p 2+q 2=AB 2=13,r 2+p 2=AD 2=20,q 2+r 2=AC 2=25. 由上述三式得p 2+q 2+r 2=29,于是r=4,q=3,p=2. 故V=V 长方体-4V C-AQB =2×3×4-4×13×4×12×2×3=8. 【方法归纳】构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向.一般通过构造新的函数、不等式或数列等模型将问题转化为熟悉的问题.在立体几何中,补形构造是最常用的解题技巧.通过补形可以将一般几何体的有关问题放在特殊的几何体中求解,如将三棱锥补成长方体等. 跟踪集训14.设函数f(x)=lnx+A A ,m∈R,若对任意b>a>0,A (A )-A (A )A -A<1恒成立,则m 的取值范围为 .15.(2018南通调研)已知a 为常数,函数f(x)=的最小值为-23,则a 的所有值为 . 技法七逆向思维法解数学问题时,一般总是从正面入手进行思考.但时常会遇到从正面入手较复杂或不易解决的情况,这时若灵活运用逆向思维来分析解题,则能使问题得到非常简捷的解决,起到事半功倍之效. 典型例题例7 若二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1,在区间[-1,1]内至少存在一个数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是 .答案 (-3,32)解析若f(x)在[-1,1]上不存在使f(c)>0的数c,则f(x)在[-1,1]内小于等于0,又Δ=36p 2≥0,故f(-1)≤0且f(1)≤0,因此若要满足题意,则只需f(-1)>0或f(1)>0即可,由f(1)>0,得2p 2+3p-9<0,即-3<p<32;由f(-1)>0,得2p 2-p-1<0,即-12<p<1.故所求实数p 的取值范围是(-3,32).【方法归纳】直接利用二次函数在区间[-1,1]上的图象特征求至少存在一个实数c,使f(x)>0,这个问题似乎无从下手,困难较大.若用逆向思维利用补集思想求解,则很直观简捷.跟踪集训16.已知集合A={x|x 2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠⌀,则实数m 的取值范围是 . 技法八分离参数法分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题,从而避免对参数进行分类讨论的烦琐过程.该方法也适用于含参方程有解、无解等问题.但要注意该方法仅适用于分离参数后能求出相应函数的最值或值域的情况. 典型例题例8 已知函数f(x)=e x(3x-2),g(x)=a(x-2),其中a,x∈R.(1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图象相切的直线方程; (2)若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a 的取值范围; (3)若存在唯一的整数x 0,使得f(x 0)<g(x 0),求a 的取值范围.解析 (1)设切点为(x 0,y 0),f'(x)=e x(3x+1),则切线斜率为e A 0(3x 0+1),所以切线方程为y-y 0=e A 0(3x 0+1)(x-x 0),因为切线过点(2,0), 所以-e A 0(3x 0-2)=e A 0(3x 0+1)(2-x 0), 化简得3A 02-8x 0=0, 解得x 0=0或x 0=83,当x 0=0时,切线方程为y=x-2, 当x 0=83时,切线方程为y=9e 83x-18e 83.(2)由题意,对任意x∈R 有e x(3x-2)≥a(x -2)恒成立, ①当x∈(-∞,2)时,a≥e A (3x -2)A -2⇒a≥[e A (3x -2)A -2]max,令F(x)=e A (3x -2)A -2,则F'(x)=e A (3A 2-8x)(A -2)2,令F'(x)=0,得x=0,x (-∞,0) 0 (0,2) F'(x) + 0 - F(x)单调递增极大值单调递减F max (x)=F(0)=1,故此时a≥1, ②当x=2时,恒成立,故此时a∈R.③当x∈(2,+∞)时,a≤e A (3x -2)A -2⇒a≤[e A (3x -2)A -2]min,令F'(x)=0⇒x=83,x (2,83)83 (83,+∞) F'(x) - 0 + F(x)单调递减极小值单调递增F min (x)=F (83)=9e 83,故此时a≤9e 83.综上,1≤a≤9e 83.(3)因为f(x)<g(x),即e x(3x-2)<a(x-2), 由(2)知a∈(-∞,1)∪(9e 83,+∞), 令F(x)=e A (3x -2)A -2,则x (-∞,0) 0 (0,2) (2,83)83 (83,+∞) F'(x) + 0 - - 0 + F(x)单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增当x∈(-∞,2)时,存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<g(x 0),等价于存在唯一的整数x 0使得a<e A (3x -2)A -2成立,因为F(0)=1最大,F(-1)=53e,F(1)=-e,所以当a<53e时,至少有两个整数成立,所以a∈[53e ,1).当x∈(2,+∞)时,存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<g(x 0), 等价于存在唯一的整数x 0使得a>e A (3x -2)A -2成立,因为F (83)=9e 83最小,且F(3)=7e 3,F(4)=5e 4,所以当a>5e 4时,至少有两个整数成立,所以当a≤7e 3时,没有整数成立,所以a∈(7e 3,5e 4], 综上,a∈[53e ,1)∪(7e 3,5e 4]. 【方法归纳】对于求不等式成立时参数范围的问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上的具体的函数.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,那么就不要使用分离参数法. 跟踪集训17.若不等式2xlnx≥-x 2+ax-3恒成立,则实数a 的取值范围为 .18.已知函数f(x)=13x 3-x 2-3x+43,直线l:9x+2y+c=0,当x∈[-2,2]时,函数f(x)的图象恒在直线l 下方,则c 的取值范围是 . 技法九整体代换法整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中,直接将多个数之和的表达式或多项式当成一个整体来处理,从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算. 典型例题例9 在等比数列{a n }中,公比q=2,前87项和S 87=140,则a 3+a 6+a 9+…+a 87= .答案 80解析设b 1=a 1+a 4+a 7+…+a 85,b 2=a 2+a 5+a 8+…+a 86,b 3=a 3+a 6+a 9+…+a 87, 因为b 1q=b 2,b 2q=b 3,且b 1+b 2+b 3=140, 所以b 1(1+q+q 2)=140,而1+q+q 2=7, 所以b 1=20,则b 3=q 2b 1=4×20=80. 【方法归纳】整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征,确定已知和所求之间的关系. 跟踪集训19.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2a 4a 6a 8=120,且1A 4A 6A 8+1A 2A 6A 8+1A 2A 4A 8+1A 2A 4A 6=760,则S 9的值为 .20.在正项等比数列{a n }中,a 4+a 3-2a 2-2a 1=6,则a 5+a 6的最小值为 . 技法十判别式法判别式法就是利用一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有解的充要条件(判别式Δ=b 2-4ac≥0)求解. 典型例题例10 已知α,β,γ为任意三角形的三个内角,求证:x 2+y 2+z 2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.证明设f(x)=x2+y2+z2-(2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ)=x2-2(ycosα+zcosγ)x+y2+z2-2yzcosβ,又Δ=4(ycosα+zcosγ)2-4(y2+z2-2yzcosβ)=-4(ysinα-zsinγ)2≤0,所以f(x)≥0,即x2+y2+z2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.【方法归纳】判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具,是不等式之间相互转化的重要桥梁,运用判别式法证明不等式有两种途径:(1)构造一元二次方程,然后利用Δ≥0来证明;(2)构造恒大于(或小于)零的一元二次函数,然后利用Δ≤0来证明.跟踪集训21.函数y=2A2+4x-7A2+2x+3的值域为.22.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0,则d的取值范围是.23.给定两个长度为1的平面向量AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心的AA⏜上运动,若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中x,y∈R,则x+y的最大值是.技法十一归纳法归纳法的过程可概括为从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出结论发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明.典型例题例11 (2018江苏沭阳调研)观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……据其中规律,可以猜想出:1+122+132+142+…+1102< .答案1910解析由已知中的不等式:1+122<32=2×2-12,1+122+132<53=2×3-13,1+122+132+142<74=2×4-14,……我们可以推断出:不等式右边分式的分母与左边最后一项分母的底数相等,分子是分母的2倍减1,即1+122+132+142+…+1A 2<2A -1A,∴1+122+132+142+…+1102<2×10-110=1910,故答案为1910.【方法归纳】归纳问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解. (2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性. 跟踪集训24.(2018江苏如皋调研)已知函数f 0(x)=Ae A ,设f n+1(x)为f n (x)的导函数,f 1(x)=[f 0(x)]'=1-Ae A ,f 2(x)=[f 1(x)]'=A -2e A ,……根据以上结果,推断f 2017(x)= . 25.某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°组成的;二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端再生成两条长度为原来的13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°;……,依此规律得到n 级分形图.(1)n 级分形图中共有条线段;(2)n 级分形图中所有线段长度之和为 . 技法十二等积转化法等积转化法是通过变换几何体的底面,利用几何体(主要是三棱锥)体积的不同表达形式求解相关问题的方法.其主要用于立体几何体中求解点到面的距离. 典型例题例12 如图,在四棱锥P-ABCD 中,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形,M 为PC 的中点.(1)求证:PC⊥AD;(2)求点D 到平面PAM 的距离.解析 (1)证明:如图,取AD 的中点O,连接OP,OC,AC,△PAD,△ACD 均为正三角形,所以OC⊥AD,OP⊥AD. 又OC∩OP=O,所以AD⊥平面POC, 又PC ⊂平面POC,所以PC⊥AD.(2)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离,由(1)可知,PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO ⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO 为三棱锥P-ACD 的高.在Rt△POC 中,PO=OC=√3,PC=√6,在△PAC 中,PA=AC=2,PC=√6,边PC 上的高AM=√AA 2-P A 2=√22-(√62)2=√102, 所以△PAC 的面积S △PAC =12PC·AM=12×√6×√102=√152. 设点D 到平面PAC 的距离为h,因为V D-PAC =V P-ACD , 所以13S △PAC ·h=13S △ACD ·PO,又S △ACD =12×2×√3=√3,所以13×√152×h=13×√3×√3,解得h=2√155.故点D 到平面PAM 的距离为2√155.【方法归纳】等积变换法求解点到平面的距离,关键是选择合适的底面,选择的底面应具备两个特征:一是底面的形状规则,面积可求;二是底面上的高比较明显,即线面垂直比较明显. 跟踪集训26.如图所示,四边形ABCD 是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F 分别是AC,PC 的中点,PA=2,AB=1,则三棱锥C-PED 的体积为 .27.如图所示,已知正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=12CD=1.(1)当点M为ED的中点时,求证:AM∥平面BEC;(2)求点D到平面BEC的距离.答案精解精析技法一特例法跟踪集训1.答案32解析题目中“求值”二字暗示答案为一定值,于是不妨令a=0°,得结果为32.2.答案②解析依题意可取特殊模型正方体AC1(如图),在正方体AC1中逐一判断各命题,易得正确的命题是②.3.答案 1解析不妨取点P(4,95),则可计算S1=(3-95)×(5-4)=65,易求得PD=2,PE=65,所以S2=12×2×65=65,所以S1∶S2=1.技法二图解法跟踪集训4.答案[1,121]解析原方程组有解,即两圆(x+4)2+(y-5)2=36与(x+1)2+(y-1)2=t有交点,则|√t-6|≤5≤√t+6,解得1≤√t≤11,则1≤t≤121.5.答案 [105°,165°]解析不妨令O 为坐标原点.∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),∴B(2,0),C(2,2), ∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cosα,√2sinα),∴|CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴点A 在以点C 为圆心,√2为半径的圆上.∴当OA 与圆C 相切时,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角取得最大值或最小值. 设切点分别为点A 和点A',连接OC,OA,OA',如图,则OC=2√2,AC⊥OA, ∵sin∠AOC=AC OC =12,∴∠AOC=∠A'OC=30°, ∴∠AOB=∠A'Oy=15°,∴当切点为点A 时,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角取得最小值15°+90°=105°, 当切点为点A'时,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角取得最大值180°-15°=165°. 故答案为[105°,165°]. 6.答案 {1e 3}∪(-e,-1)解析当x=0时,x+2x+1=kx+2成立,故当x≠0时,方程有三个根, 当x<0时,x+2x+1=kx+2⇒k=-1x+1,当x>0时,|lnx|=kx+2⇒k=|lnx |x -2x={-lnx -2x ,0<x <1,lnx-2x,x ≥1,故k={-1x+1,x <0,-lnx -2x ,0<x <1,lnx -2x ,x ≥1,令k=g(x),当0<x<1时,g'(x)=-1-(-lnx -2)x 2=lnx+1x 2,令g'(x)=0,则x=1e ,g (1e )=-e,当x≥1时,g'(x)=1-(lnx -2)x 2=-lnx+3x 2,令g'(x)=0,则x=e 3,g(e 3)=1e 3. 画出图象可得k∈(-e,-1)∪{1e 3}.技法三等价转化法跟踪集训 7.答案 [-1,3]解析题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,即等价于点(0,1)到圆心(a,0)的距离小于或等于圆半径,即2+1≤√2a +4,解得-1≤a≤3. 8.答案 2√5解析设EG=x,则FG=2-x,0≤x≤2,则S 1+S 2=12×2√x 2+4+12×2√(2-x )2+4=√(x -0)2+(0-2)2+√(x -2)2+(0-2)2,在平面直角坐标系中,它表示x 轴上的点P(x,0)到M(0,2)与N(2,2)两点的距离之和,而点M 关于x 轴的对称点为M'(0,-2),且当P 在直线M'N 上时,PM+PN 最小,为2√5,则S 1+S 2的最小值为2√5.技法四待定系数法跟踪集训9.答案 f(x)=x 2-7x+10解析设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0).∵二次函数f(x)的图象与x 轴的两交点坐标为(2,0),(5,0),f(0)=10, ∴{4a +2b +c =0,25a +5b +c =0,c =10,∴{a =1,b =-7,c =10,∴f(x)=x 2-7x+10.10.解析 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0), ∴MB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,b),MB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-b),∵MB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,解得b 2=4,又e=√a 2-b 2a=√1-b 2a 2=√53,解得a 2=9,故椭圆的标准方程为x 29+y 24=1. (2)是.假设存在满足条件的定点P,其坐标为(t,0),由题意可设直线AB 的方程为x=my+2,代入x 29+y 24=1, 整理得(4m 2+9)y 2+16my-20=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), ∴y 1+y 2=-16m4m 2+9,y 1·y 2=-204m 2+9. 又PA,PB 所在直线斜率分别为k PA =y 1x 1-t,k PB =y 2x 2-t,∴k PA +k PB =0⇔y 1(x 2-t)+y 2(x 1-t)=0⇔2my 1y 2+(2-t)(y 1+y 2)=0⇔-40m-16m(2-t)=0. 上式对任意m∈R 恒成立,其充要条件为-40m-16m(2-t)=0,解得t=92.故存在满足条件的定点P,其坐标为(92,0).技法五换元法跟踪集训11.答案 f(x)=3e x+4解析令lnx=t,则x=e t,f(t)=3e t+4,即f(x)=3e x+4. 12.答案 x=log 23或x=log 213解析由f(x)+f(-x)-2g(x)-2g(-x)=229,得4x +4-x -2(2x +2-x)=229,令t=2x +2-x ,则4x +4-x =t 2-2,故原方程可化为9t 2-18t-40=0,解得t=103或t=-43(舍去),则2x +2-x=103,即2x+12x =103, 解得2x=3或2x=13,所以x=log 23或x=log 213. 13.答案 12+√2解析设sinx+cosx=t,则t∈[-√2,√2],则y=t 22+t-12=12(t+1)2-1,当t=√2时,y 取最大值,y max =12+√2.技法六构造法跟踪集训14.答案 [14,+∞)解析对于任意的b>a>0,f (b )-f (a )b -a<1恒成立,等价于f(b)-b<f(a)-a 恒成立,设h(x)=f(x)-x=lnx+mx -x(x>0),则h(b)<h(a),所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h'(x)=1x -mx 2-1≤0在(0,+∞)上恒成立,所以m≥-x 2+x=-(x -12)2+14(x>0),所以m≥14,即实数m 的取值范围为[14,+∞).15.答案 4,14解析构造平面向量的数量积.由函数解析式可得a>0,a≠1, f(x)=x √a -x 2+x √1-x 2a -1,令m=(x,22,x),则|m|=1,|n|=√a ,设m,n 的夹角是α,α∈[0,π],则x √a -x 2+x √1-x 2=m·n=√a cosα∈[-√a ,√a ],当0<a<1时,f(x)min =√aa -1=-23,解得a=14,适合;当a>1时,f(x)min =-√a a -1=-23,解得a=4,适合,故a 的值为4或14.技法七逆向思维法跟踪集训16.答案 (-∞,-1] 解析若A∩B=⌀,则①当A=⌀时,有Δ=(-4m)2-4(2m+6)<0,解得-1<m<32;②当A≠⌀时,方程x 2-4mx+2m+6=0的两根x 1,x 2均为非负数,则{(-4m )2-4(2m +6)≥0,x 1+x 2=4m ≥0,x 1·x 2=2m +6≥0,解得m≥32,则当A∩B=⌀时,m>-1,故所求实数m 的取值范围为(-∞,-1].技法八分离参数法跟踪集训17.答案 (-∞,4]解析已知条件可转化为a≤2lnx+x+3x 恒成立.设f(x)=2lnx+x+3x , 则f'(x)=(x+3)(x -1)x 2(x>0).当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以f(x)min =f(1)=4,所以a≤4.18.答案 (-∞,-6)解析根据题意知13x 3-x 2-3x+43<-92x-c 2在x∈[-2,2]上恒成立,则-c 2>13x 3-x 2+32x+43,设g(x)=13x 3-x 2+32x+43,则g'(x)=x 2-2x+32,因为g'(x)>0恒成立,所以g(x)在[-2,2]上单调递增, 所以g(x)max =g(2)=3,则c<-6.技法九整体代换法跟踪集训 19.答案 632解析1a 4a 6a 8+1a2a 6a 8+1a2a 4a 8+1a2a 4a 6=a 2120+a 4120+a 6120+a 8120=760,则2(a 2+a 8)=14,即a 2+a 8=7,所以S 9=9(a 2+a 8)2=632.20.答案 48解析设正项等比数列的公比为q,q>0,则a 4+a 3-2a 2-2a 1=(a 2+a 1)(q 2-2)=6, 则a 2+a 1=6q 2-2>0,q 2>0, a 5+a 6=(a 2+a 1)q 4=6q 4q 2-2=6(q 2-2)+24q 2-2+24≥12√(q 2-2)·4q 2-2+24=48,当且仅当q=2时取等号,故a 5+a 6的最小值是48.技法十判别式法跟踪集训 21.答案 [-92,2)解析已知函数式可变形为yx 2+2yx+3y=2x 2+4x-7,即(y-2)x 2+2(y-2)x+3y+7=0, 当y≠2时,将上式视为关于x 的一元二次方程, ∵x∈R,∴Δ≥0,即[2(y-2)]2-4(y-2)·(3y+7)≥0,整理得2y 2+5y-18≤0,因式分解得2(y-2)·(y +92)≤0,解得-92≤y<2(也可以依据二次函数y=2x 2+5x-18在x 轴下方的图象求解).当y=2时,3×2+7≠0,不符合题意,应舍去. 故函数的值域为[-92,2).22.答案 (-∞,-2√2]∪[2√2,+∞) 解析因为S 5S 6+15=0, 所以(5a 1+10d)(6a 1+15d)+15=0,化简得2a 12+9da 1+10d 2+1=0.因为a 1∈R,所以Δ=81d 2-8(10d 2+1)≥0, 得d≥2√2或d≤-2√2. 23.答案 2解析因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(x OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2,所以x 2+y 2-xy=1.(*) 记x+y=t,则x=t-y,代入(*),得(t-y)2+y 2-(t-y)y=1,化简得3y 2-3ty+t 2-1=0,因为Δ=(-3t)2-12(t 2-1)≥0,所以t 2≤4,所以x+y 的最大值是2.技法十一归纳法跟踪集训 24.答案2017-x e x解析 f 3(x)=[f 2(x)]'=1×e x -(x -2)e x (e x )2=3-xe x ⇒f n (x)=(-1)n-1n -xe x⇒f 2017(x)=(-1)2017-12017-xe x=2017-x e x.25.答案 (1)3·2n-3 (2)9-9·(23)n解析 (1)由题图知,一级分形图中有3=3×2-3条线段,二级分形图中有9=3×22-3条线段,三级分形图中有21=3×23-3条线段,按此规律得n 级分形图中的线段条数为3·2n-3.(2)∵分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段,∴n 级分形图中第n 级的(最短的)所有线段的长度和为3·(23)n -1(n∈N *),∴n 级分形图中所有线段的长度之和为 3·(23)0+3·(23)1+…+3·(23)n -1=3·1-(23)n 1-23=9-9·(23)n.技法十二等积转化法跟踪集训 26.答案 16解析 ∵PA⊥平面ABCD, ∴PA 是三棱锥P-CED 的高,PA=2. ∵四边形ABCD 是正方形,E 是AC 的中点, ∴△CED 是等腰直角三角形, ∵AB=1,∴CE=ED=√22, ∴S △CED =12CE·ED=12×√22×√22=14.∴V C-PED =V P-CED =13·S △CED ·PA=13×14×2=16.27.解析 (1)证明:如图,取EC 的中点N,连接MN,BN. 在△EDC 中,M,N 分别为ED,EC 的中点,所以MN∥CD,且MN=12CD.又AB∥CD,AB=12CD,所以MN∥AB,且MN=AB.所以四边形ABNM 为平行四边形,所以BN∥AM.因为BN ⊂平面BEC,且AM ⊄平面BEC,所以AM∥平面BEC.(2)如图,连接BD.在正方形ADEF 中,ED⊥AD,因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD, 所以ED⊥平面ABCD,而BC ⊂平面ABCD,所以ED⊥BC. 在直角梯形ABCD 中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=√2. 在△BCD 中,BD=BC=√2,CD=2,所以BD 2+BC 2=CD 2,所以BC⊥BD.又DE∩DB=D,所以BC⊥平面EDB.又BE ⊂平面EDB,所以BC⊥BE.设点D 到平面BEC 的距离为d,由V D-BEC =V E-BCD ,得13S △BEC ·d=13S △BCD ·ED,即S △BEC ·d=S △BCD ·ED.在△EDB 中,BE=√DE 2+DB 2=√3,所以S △BEC =12·BE·BC=12×√3×√2=√62,又S △BCD =12·BD·BC=12×√2×√2=1,所以√62d=1×1,得d=√63,于是点D到平面BEC的距离为√6.3。

高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：小题练速度“12+4”限时提速练(一)含答案

一、小题练速度——“12＋4”限时提速练（每练习限时40分钟）“12＋4”限时提速练(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集为R ，集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}，则A ∪∁R B ＝( ) A ．[2，3] B ．(2，3)C ．[1，＋∞)D ．[1，2)∪[3，＋∞)解析：选C A ＝{x |x －1≥0}＝[1，＋∞)，B ＝{x |－x 2＋5x －6≤0}＝{x |x 2－5x ＋6≥0}＝{x |x ≤2或x ≥3}，∁R B ＝(2，3)，故A ∪∁R B ＝[1，＋∞)，选C.2．已知复数z 满足z ＋i ＝1＋i i (i 为虚数单位)，则z ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i 解析：选D 由题意可得z ＝1＋i i －i ＝1＋i ＋1i ＝（2＋i ）（－i ）i （－i ）＝1－2i ，故z ＝1＋2i ，选D.3.已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )1 0 12 0 1 2 43 1 3 5 5 7 84 3 3 356789 5 0 1 2 2 5 6 8 6267A ．44，45，56B ．44，43，57C ．44，43，56D ．45，43，57解析：选B 由茎叶图可知全部数据为10，11，20，21，22，24，31，33，35，35，37，38，43，43，43，45，46，47，48，49，50，51，52，52，55，56，58，62，66，67，中位数为43＋452＝44，众数为43，极差为67－10＝57.选B.4．已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2＋(y ＋3)2＝16相交于A ，B 两点，则“k ＝22”是“|AB |＝43”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3＋3|1＋k 2＝61＋k 2，弦长的一半为|AB |2＝23，故d ＝42－12＝2＝61＋k2，解得k 2＝8，可得k ＝22或k ＝－22，故“k ＝22”是“|AB |＝43”的充分不必要条件，故选A.5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，ω＞0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32解析：选C 由题意得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，将点P ⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin(2×π6＋φ)＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin(2×π3＋π6)＝sin 5π6＝12，选C. 6.某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15，60)B ．(15，60]C ．[12，48)D ．(12，48]解析：选B 根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组⎩⎨⎧x ＞3，x 3－2＞3，13⎝⎛⎭⎫x3－2－3≤3，解得15＜x ≤60，故选B.7．已知P (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2 2D ．6解析：选D 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，a ≤x ≤a ＋1变形可得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，a ≤x ≤a ＋1，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域的面积S ＝12(2a ＋2a ＋2)×1＝3，解得a ＝1，平移直线y ＝2x ，得z ＝2x －y 在点(2，－2)处取得最大值6，故选D.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B a 6＝S 6－S 5>0，a 7＝S 7－S 6<0，a 6＋a 7＝S 7－S 5>0，得S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6>0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝12（a 6＋a 7）2>0，S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，所以满足条件的正整数n 为12，选B.9．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5解析：选C 设B ⎝⎛⎭⎫x ，－ba x ，OA ⊥FB ，可知点O 在线段FB 的垂直平分线上，可得|OB |＝x 2＋⎝⎛⎭⎫－b a x 2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A ⎝⎛⎭⎫c －a 2，b 2，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.10．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意实数x ，都有f [f (x )－e x ]＝e ＋1(e 是自然对数的底数)，则f (ln 2)＝( )A ．1B ．e ＋1C ．3D ．e ＋3解析：选C 设t ＝f (x )－e x ，则f (x )＝e x ＋t ，则f [f (x )－e x ]＝e ＋1等价于f (t )＝e ＋1，令x ＝t ，则f (t )＝e t ＋t ＝e ＋1，分析可知t ＝1，∴f (x )＝e x ＋1，即f (ln 2)＝e ln 2＋1＝2＋1＝3.故选C.11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.76B.73C.53D.56解析：选B 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以体积为1×1×1－13×12×1×1×1＋12×1×(1＋2)×1＝73，故选B.12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c 且sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，若△ABC 的面积为24，c ＝13，则a 的值为( )A ．8B ．14 C.145 D ．12解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝7226，∴22sin A －22cos A ＝7226，∴sin A －cos A ＝713，与sin 2A ＋cos 2A ＝1联立可得cos 2A ＋713cos A －60169＝0，解得cos A ＝513 或cos A ＝－1213，故⎩⎨⎧sin A ＝1213，cos A ＝513，或⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213，∵0＜A ＜π，∴⎩⎨⎧sin A ＝－513，cos A ＝－1213舍去，由12bc sin A ＝24，得12×13×b ×1213＝24，得b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42＋132－2×4×13×513＝16＋169－40＝145，∴a ＝145，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，－2)，若(a －2b )⊥c ，则实数k 的值是________．解析：根据题意可知，向量a －2b ＝(1，4)，又(a －2b )⊥c ，则k －8＝0，解得k ＝8. 答案：814．在区间[0，1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为________．解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14.答案：1415.如图所示，已知两个圆锥有公共底面，且底面半径r ＝1，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为13，则球的半径R ＝________．解析：根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且AB ⊥O 1C ，所以OO 1＝R 2－1，因此体积较小的圆锥的高AO 1＝R －R 2－1，体积较大的圆锥的高BO 1＝R ＋R 2－1，故AO 1BO 1＝R －R 2－1R ＋R 2－1＝13，化简得R ＝2R 2－1，即3R 2＝4，得R ＝233.答案：23316．若函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点，则实数m 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝ln x －x －mx 在区间[1，e 2]内有唯一的零点等价于方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]内有唯一的实数解，又x ＞0，所以m ＝ln xx －1，要使方程ln x －x ＝mx 在区间[1，e 2]上有唯一的实数解，只需m ＝ln x x －1有唯一的实数解．令g (x )＝ln xx －1(x ＞0)，则g ′(x )＝1－ln xx 2，由g ′(x )＞0得0＜x ＜e ，由g ′(x )＜0得x ＞e ，所以g (x )在区间[1，e]上是增函数，在区间(e ，e 2]上是减函数．又g (1)＝－1，g (e)＝1e －1，g (e 2)＝2e 2－1，故－1≤m ＜2e 2－1或m＝1e－1. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，2e 2－1∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e－1。

2023年高考数学二轮复习第三篇小题提速练透大题规范增分第4讲排列、组合、二项式定理

项式系数之和为 64，则该展开式中的 x6 的系数是
(B )
A．60
B．160
C．180
D．240
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
【解析】由已知可得 2n＝64，解得 n＝6，则二项式的展开式的通项公式为 Tr＋1＝C6r (2x3)6-r1xr＝C6r ·26-rx18-4r，令 18－4r＝6，解得 r＝3，所以展开式中含 x6 的系数为 C36 ·23＝160，故选 B.
【解析】根据题意，分 2 种情况讨论： ①3 人中有 1 人分得 3 张，其余 2 人各 1 张，有 C13 A33 ＝18 种分法， ②3 人中有 1 人分得 1 张，其余 2 人各 2 张，有 3A33 ＝18 种分法，则有 18＋18＝36 种分法，即不同的分法种数为 36，故选 B.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
在yx2Tr＋1＝C5r x4-ryr+2 中，令 r＝1，可得：yx2T2＝C15 x3y3，该项中 x3y3 的系数为 5，
所以 x3y3 的系数为 10＋5＝15，故选 C.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
3．(2022·全国新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有
A．12种 C．36种
B．24种 D．48种
(B )
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
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2023年高考数学二轮复习第三篇小题提速练透大题规范增分第1讲集合与简易逻辑

¬p 为
(B )
A．∃a0≥0，使得 a0＋2 0122≤0
B．∀a＜0，都有 a＋2 0122≤0
C．∃a0＜0，使得 a0＋2 0122≤0
D．∀a＜0，都有
a＋2
1 022<0
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
【解析】命题是特称命题，则特称命题的否定是全称命题，得¬p 为∀a＜0，都有 a＋2 0122≤0，故选 B.
所以∁U(A∪B)＝{－2，0}．故选D.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
6．(2022·鹰潭二模)设全集U＝{x|－5＜x＜5}，集合A＝{x|x2－4x－5
＜0}，B＝{x|－3＜x＜4}，则(∁UA)∩B＝
A．[4，5)
B．(－3，－1]
(B )
C．(－5，－3)
D．(－5，2]
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
8．(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的 (A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
【解析】因为sin2x＋cos2x＝1可得：当sinx＝1时，cos x＝0，充分性成立；当cos x＝0时，sin x＝±1，必要性不成立；所以当x∈R，sin x＝1是cos x＝0的充分不必要条件．故选A.
第三篇
小题提速练透•大题规范增分
第1讲集合与简易逻辑
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红对勾讲与练系列高三文科数学二轮复习考前增分方略保分大题不失分

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第二部分专题一第三讲第1课时
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当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，
联立方程组ab2＝＋2ba2－ab＝4
，解得a＝2
3
3，b＝4 3
3 .
所以△ABC的面积S＝12absinC＝2 3
3 .
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第二部分专题一第三讲第1课时
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tan(x1＋x2)＝tan4π＋π6
＝1－tantaπ4n＋π4×tantaπ6nπ6＝11－＋
3 33＝2＋ 3
3.
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第二部分专题一第三讲第1课时
系列丛书
1．(2014·福建卷)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－12. (1)若0<α<π2，且sinα＝ 22，求f(α)的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
6 4.
(2)在△ABD中，由sAinDB＝sin∠BDBAD得3
3
＝BD， 66
84
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第二部分专题一第三讲第1课时
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解得BD＝2. 故DC＝2，从而在△ADC中，由AC2＝AD2＋DC2－ 2AD·DC·cos∠ADC＝32＋22－2×3×2×(－14)＝16，得AC＝4.
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【解】 (1)∵m＝(sinB,1－cosB)，n＝(2,0)， ∴m·n＝2sinB，又|m|＝ sin2B＋1－cosB2＝ 2－2cosB＝2sinB2， ∵0<B<π， ∴0<B2<π2， ∴sinB2>0，

2023年高考数学二轮复习第三篇小题提速练透大题规范增分第5讲统计、概率和成对数据的统计分析

∴P(X＞4)＝P(X＜0)＝0.158 7，
∴P(0≤X≤4)＝1－P(X＞4)－P(X＜0)＝1－0.158 7－0.158 7＝0.682
6.
故选C.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
5．(2022·萍乡三模)具有线性相关关系的变量 x，y 有一组观测数据(xi，
yi)(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程是^y＝b^x＋18，若 x1＋x2＋x3＋…＋x8
个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在
一个253
D．16
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
【解析】从 24 个节气中任选 2 个节气，这 2 个节气恰好在一个季节的事件总数为：4C26 ＝60，
从 24 个节气中选取两个节气的事件总数有：C224 ＝276， ∴P＝26706＝253，故选 C.
的平均数为2＋2 3＝2.5，
故选 D.
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
3．(2022·青岛二模)二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中
的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧四句
诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬
小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这
第三篇小题提速练透•大题规范增分
高考二轮总复习 • 数学
6．(2022·浦东新区二模)甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月
的产品生产产量(单位：件)情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：
60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是

高考数学(文)二轮复习练习：小题提速练7 Word版含答案

小题提速练(七) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{x ∈N |x ≤4}，B ＝{x |x 2－4＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{x |0≤x ＜2}B ．{x |－2＜x ＜2}C ．{0,1}D ．{－2,0,1,2}C [易知A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |－2＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{0,1}．] 2．已知复数z 满足(1＋i)z ＝(1－i)2，则z 的共轭复数的虚部为( )A ．2B ．－2C ．－1D ．1D [z ＝－21＋i＝－2i 1＋i＝－－2＝－1－i ，所以z ＝－1＋i ，其虚部为1.]3．已知正项等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝15，若a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13成等比数列，则a 10＝( )A ．19B ．20C ．21D ．22C [设等差数列{a n }的公差为d ，则d >0.因为a 1＋a 2＋a 3＝15，所以a 2＝5.因为a 1＋2，a 2＋5，a 3＋13成等比数列，所以(a 2＋5)2＝(a 1＋2)(a 3＋13)，所以(a 2＋5)2＝(a 2－d ＋2)·(a 2＋d ＋13)，所以102＝(7－d )(18＋d )，解得d ＝2，所以a 10＝a 2＋8d ＝5＋8×2＝21.]4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋x ，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )【导学号：04024196】A ．3B ．2C ．1D ．0B [当x ≤0时，f (x )＝2x －1＋x 是单调递增函数，因为f (0)>0，f (－1)<0，所以f (x )在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f (x )＝－1＋ln x 是单调递增函数，因为f (e)＝0，所以x ＝e 是函数的零点．综上知，函数f (x )有两个零点．]5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ＜0，g x ＋1，x ＞0，若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )A ．－4B ．－2C ．－3D ．2C [g (3)＋1＝f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2，所以g (3)＝－3.]6．已知平面直角坐标系中的三点A (1,0)，B (0,1)，C (1,1)，从以这三个点中的任意两点为起点和终点构成的向量中任取一个向量，则这个向量与向量a ＝(－1,1)构成基底的概率为( ) A.56 B.35 C.34D.23D [以A ，B ，C 三个点中的两个点为起点和终点构成的向量有6个，即AB →，BA →，AC →，CA →，CB →，BC →，其中与a ＝(－1,1)不共线的向量有4个，即AC →，CA →，CB →，BC →，所以所求概率为46＝23.]7．若非负实数x ，y 满足ln(x ＋y －1)≤0，则x －y 的最大值和最小值分别是( )A ．2和1B ．2和－1C ．1和－1D ．2和－2D [依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＋y －1≤1，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示．易求得x －y 的最大值在点C (2,0)处取得，最大值为2；最小值在点A (0,2)处取得，最小值为－2.故选D.]8．把“正整数N 除以正整数m 后的余数为n ”记为N ≡n (mod m )，例如8≡2(mod 3)．执行如图1所示的程序框图后，输出的i 值为( )【导学号：04024197】图1A ．14B ．17C ．22D ．23B [程序运行如下：第1步，i ＝11，i ≡2(mod 3)成立，i ≡2(mod 5)不成立；第2步，i ＝12，i ≡2(mod 3)不成立；第3步，i ＝13，i ≡2(mod 3)不成立；第4步，i ＝14，i ≡2(mod 3)成立，i ≡2(mod 5)不成立；第5步，i ＝15，i ≡2(mod 3)不成立；第6步，i ＝16，i ≡2(mod 3)不成立；第7步，i ＝17，i ≡2(mod 3)成立，i ≡2(mod 5)成立．循环结束，所以输出的i 值为17.]9．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx ，ω＞0，x ∈R ，且其图象上两个相邻最高点的距离为π，则下列说法正确的是( ) A ．ω＝1B ．曲线y ＝f (x )关于点(π，0)对称C ．曲线y ＝f (x )关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增D [f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，依题意知函数f (x )的周期为π，所以T＝2πω＝π，得ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.验证知，选项D 正确．] 10．已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为( ) A ．8B ．10C ．12D ．16C [依据题意画出f (x )的图象如图所示，方程f (x )－1＝0在(0,6)内有四个零点，这四个零点之和为2×1＋2×5＝12.]11．已知函数f (x )＝a ln x －x 2，在区间(0,1)内任取两个实数p ，q ，且p ≠q ，不等式f p －f qp －q＞1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ C ．[15，＋∞) D ．[1，＋∞)A [由f p －f q p －q＞1可知，函数f (x )＝a ln x －x 2的图象在区间(0,1)内过任意两点的割线的斜率都大于1，等价于函数f (x )的图象在区间(0,1)内的任意一点的切线斜率大于1.由f ′(x )＝a x －2x ，得a x－2x >1恒成立，整理得a >2x 2＋x (x ∈(0,1))，因为当x ∈(0,1)时，2x 2＋x <3，所以a ≥3.]12．已知实数p ＞0，直线4x ＋3y －2p ＝0与抛物线y 2＝2px 和圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24从上到下的交点依次为A ，B ，C ，D ，则|AC ||BD |的值为( )【导学号：04024198】A.18B.516C.38D.716C [依题意知，直线4x ＋3y －2p ＝0过抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＋y 2＝p24的圆心为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，半径为p 2.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由抛物线定义得|AC |＝|AF |＋|FC |＝p 2＋x 1＋p 2＝x 1＋p ，同理得|BD |＝x 2＋p .将4x ＋3y －2p ＝0代入抛物线方程，整理得8x 2－17px ＋2p2＝0，解得x 1＝p 8，x 2＝2p ，所以|AC ||BD |＝x 1＋p x 2＋p ＝38.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某单位有员工90人，其中女员工有36人，为做某项调查，拟采用分层抽样的方法抽取容量为15的样本，则应抽取的男员工人数是________． [解析] 应抽取的男员工人数为90－3690×15＝9.[答案] 914．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为________．图2[解析] 由三视图可知，该几何体是由横放着的三棱柱截去一个三棱锥后得到的，其体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×1＝56. [答案]5615．已知a ＝(1，t )，b ＝(t ，－6)，则|2a ＋b |的最小值为________.【导学号：04024199】[解析] |2a ＋b |＝|(2,2t )＋(t ，－6)|＝|(2＋t,2t －6)|＝＋t2＋t －2＝t －2＋4]≥5×4＝25，当且仅当t ＝2时取等号，所以|2a ＋b |的最小值为2 5.[答案] 2 516．如图3所示，在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的取值范围为________．图3[解析] 依题意知，△ABD 是正三角形，所以∠ADC ＝2π3.在△ADC 中，由正弦定理得ACsin2π3＝ADsin C ＝DCsin ∠DAC，即332＝AD sin C ＝DC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以AD ＝2sin C ，DC ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以△ADC 的周长为AC ＋AD ＋DC ＝2sin C ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋3＝sin C ＋3cos C ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋ 3.因为∠ADC ＝2π3，所以0＜C ＜π3，所以32＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3≤1，所以23＜2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋3≤2＋3，所以△ADC 的周长的取值范围为(23，2＋3]． [答案] (23，2＋3]。

高考文科数学二轮复习练习小题提速练2

小题加速练 (二 )“ 12选择＋ 4 填空 ” 80分练(时间： 45 分钟分值： 80 分 )一、选择题 (本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．已知会合 A ＝ { x|x ≥ 4}， B ＝ { x|－ 1≤2x － 1≤ 0}，则 ( ?R A) ∩B ＝ ()A ． (4，＋ ∞)B ． 0，121， 4D ． (1,4]C. 21[由于 A ＝ { x|x ≥ 4}，因此 ?R A ＝ { x|x ＜ 4} ，又 B ＝ { x|－ 1≤2x －1≤ 0}＝ x 0≤x ≤ ，因此 (? 21A) ∩B ＝ x 0≤x ≤，应选 B.]R25＋3i对应的点在复平面的 ()2．复数 4－ iA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5＋ 3i ＝＋＋＝17＋17i＝ 1＋ i ，因此该复数对应的点为 (1,1) ，应选－＋ A [ 由于 4－ i17A.]3．已知命题 p ：x ＋ y ≥2xy ，命题 q ：在△ ABC 中，若 sin A ＞ sin B ，则 A ＞ B.则以下命题为真命题的是()A ． pB ．﹁ qC ． p ∨ qD ． p ∧ qC [当 x ， y 中起码有一个负数时， x ＋y ≥2xy 不建立，因此命题 p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q 是真命题．因此 p ∨ q 是真命题． ]4.已知向量 a ＝ (2，－ 1)， b ＝ ( －1,3)，则以下向量与 2a ＋ b 平行的是 () A ． (1，－ 2) B ． (1，－ 3) C. 2，2D ． (0,2)32[由于 a ＝ (2，－ 1)， b ＝ ( －1,3)，因此 2a ＋ b ＝ (3,1)，而 1×2－ 3× ＝ 0，应选 C.] 3x ≥1，y5．若 x ， y ∈ R ，且 y ≥x ，则 z ＝ x 的最大值为 ()x －2y ＋ 3≥0，【导学号： 04024176】A ． 3B ． 21 C ． 1D. 2B [作出不等式组表示的平面地区，以下图，y的几何意义是地区内(包含界限 )的点 P(x ，xy)与原点连线的斜率，由图可知，当P 挪动到点 y获得最大值 2.]B(1,2) 时， x6．已知函数 f(x)＝sin 2x ＋π，则以下结论中正确的选项是 ()4A ．函数 f(x)的最小正周期为 2πB ．函数 f(x)的图象对于点π 对称，04πy ＝ sin 2x 的图象C ．将函数 f(x)的图象向右平移8个单位长度能够获得函数 π 5πD ．函数 f(x)在区间，上单一递加88π2，故函数 f(x)C [由题知，函数 f(x)的最小正周期为，求得 f(x)＝π，故 A 不正确；令 x ＝ 4 2的图象不对于点 π B ；将 f(x)的图象向右平移 π， 0 对称，故清除个单位长度，获得函数y4 8＝sin π ＋ π π 5π π π 3π2 x －84 ＝ sin 2x 的图象，应选 C ；当 x ∈ ，时， 2x ＋ ∈ ，，函数 f(x)8842 2单一递减，故清除 D.]7．履行图 1 中的程序框图 (此中 [x] 表示不超出 x 的最大整数 )，则输出的 S 值为 ()图 1A ． 5B ． 7C ． 9D ． 12C [ 程序运转以下：(1)S ＝ 0＋[ 0 ] ＝ 0， n ＝ 0＜ 5； (2)S ＝ 0＋[1 ＝ 1， n ＝ 1＜ 5； (3) S ＝ 1]＋ [ 2]＝ 2， n ＝ 2＜5； (4)S ＝ 2＋ [ 3]＝ 3， n ＝ 3＜ 5； (5)S ＝ 3＋[ 4]＝ 5， n ＝ 4＜ 5； (6) S ＝5＋[ 5]＝ 7， n ＝5； (7)S ＝ 7＋ [ 6]＝ 9， n ＝6＞ 5，循环结束，故输出S ＝ 9.]8．某几何体的三视图如图2 所示，则该几何体的体积为()【导学号：04024177】图 24 5 A. 3 B.27 5 C.3D. 3A [由三视图知，该几何体为一个由底面同样的三棱锥与三棱柱构成的组合体，其体积V＝1 1 1 4× ×2×1×1＋×2×1×1＝ .]3 2239．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有以下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？ ”其意思为 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得同样，且甲、乙、丙、丁、戊所得挨次成等差数列，问五人各得多少钱？ ”(钱“”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为 ()A. 5钱B.4钱43C. 3钱D. 5钱2 3B [设所成等差数列的首项为 a 1，公差为 d ，则依题意有5×4a 1＝ 4，5a 1 ＋2 d ＝ 5，解得3]a 1＋ a 1＋ d ＝ a 1＋ 2d ＋a 1＋ 3d ＋ a 1＋4d ，1d ＝－ 6.10．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 a ，b ，c 成等比数列．若 sin Asin C221 )＋ sin C － sin A ＝ sin Bsin C ，则 sin A ＝(213 A. 4B.41115C. 4D. 4D[由已知得2 221 22 2 1 bc ，因此 cos A ＝ 1 ，因此 sin A b ＝ ac ，ac ＋ c － a ＝ bc ，因此 b ＋ c－ a ＝422＝15 4 .]22x y11．过双曲线 C ：a 2 － b 2 ＝ 1(a ＞ 0，b ＞ 0)的左焦点 F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点 A.若 |OF |＝ |OA |(O 为坐标原点 )，则 C 的离心率 e 为 ( )【导学号： 04024178】A. 2 B ． 2 C. 5D ． 5C [不如设一条渐近线为bx，作 FA ⊥ l 于点 B(图略 )，由于 |OF|＝ |OA|，因此 B 为线l ： y ＝ a段 FA 的中点．设双曲线的右焦点为 F ′，连结 F ′A ，由于 O 为线段 FF ′的中点，因此 F ′A ⊥abFA.易得直线 FA ，F ′A 的方程分别为 y ＝－ b (x ＋ c) ，y ＝ a (x － c)，解方程组可得点 A 的坐标为2 22ab2222 2b － a，－.由于该点在双曲线C 上，因此b － a－4a b22 2cc2 22c 2 ＝ 1，联合 c＝ a ＋b ，整a cb22c理得 5a ＝ c ，即5a ＝ c ，因此 e ＝a ＝ 5.]π12．如图 3 所示，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ A ＝，AC ＝ 1， BC 边在 x 轴上，有一个半径为21 的圆 P 沿 x 轴向△ ABC 转动，并沿△ ABC 的表面滚过，则圆心 P 的大概轨迹是 (虚线为各段弧所在圆的半径 )()图 3D [当圆在点 B 的左边转动时，圆心P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段 AB 上转动时，圆心 P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点 A 接触而且绕过点 A 时，圆心 P 的轨迹是以点A 为圆心， 1 为半径的圆弧；当圆在线段AC 上和点 C 右边转动时，与在线段AB 上和点 B的左边转动时的状况同样．联合各选项中的曲线知，选项D 正确．]二、填空题 (本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上)13．如图 4 所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(此中 m为数字 0～ 9 中的一个 )，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的均匀数分别为 a 1 ， a 2，则 a 1， a 2 的大小关系是 ________．图 4[分析 ]由题意可知 a 1＝ 80＋1＋5＋5＋ 4＋ 5＝ 84， a 2＝ 80＋4＋4＋6＋ 4＋ 7＝ 85，因此 a 255＞a 1 .[答案 ]a 2＞a 1x ＋ y＝ 1 与 x 轴、 y 轴分别订交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则△ OAB 的内切圆14．若直线 l ： 4 3的方程为 ________．[分析 ]由题意，设圆心为 (a ，a)，则有|3a ＋4a －12|＝ a ，解得 a ＝ 1 或 a ＝ 6(舍去 )，因此所5求圆的方程为 (x －1)2＋( y －1) 2＝ 1. [答案 ](x － 1)2＋ (y － 1)2＝ 115．已知函数xC ，若曲线 C 不存在与直线1 f(x)＝ e － mx ＋ 1 的图象为曲线y ＝－ x 平行的切线，则e实数 m 的取值范围为 ________.【导学号： 04024179】[分析 ]由已知得 f ′(x)＝e x－ m ，由曲线 C 不存在与直线 y ＝－ 1x 平行的切线，知方程 e x － me＝－ 1无解，即方程 m ＝ e x＋ 1无解．由于 e x ＞ 0，因此 e x＋ 1＞ 1，因此 m 的取值范围是－ ∞，1eee ee.[答案 ]－∞，1e16．已知 A ， B ， C ， D 是同一球面上的四个点，此中△ABC 是正三角形， AD ⊥平面 ABC ， AD ＝4，AB ＝2 3，则该球的表面积为 ________．[分析 ]依题意，把三棱锥D -ABC 扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点 O 与A 之间的距离为球的半径(图略 )．设△ ABC 的中心为 E ，由于 AD ＝ 4， AB ＝ 2 3，△ ABC 是正三角形，因此 AE ＝ 2，OE ＝2，因此 AO ＝ 2 2，因此该球表面积S ＝ 4π× (22)2＝ 32π.[答案 ] 32π。

高考数学二轮专题复习小题提速练九文

解析：选 D.由于特称命题的否定是全称命题，因此命题“ ? x∈R，(1 － 3x) 2－6≥0”的
否定是“ ? x∈ R， (1 － 3x) 2－ 6＜0”．故选 D.
3．设集合 A＝ { x| －1≤ x≤2} ，B＝ { x| x2≤4} ， Z 为整数集，则下列结论错误的是 (
)
A． A? B
.
2
1) －4 在 ( －∞，－ 1) 上是减函数，在 (3 ，＋∞ ) 上是增函数，而
y＝ log 1x 在 (0 ，＋∞ ) 上是
2
减函数，∴ f ( x) 在 ( －∞，－ 1) 上是增函数，在 (3 ，＋∞ ) 上是减函数．∵－ 3＜－ 2＜－
1，∴ f ( － 3) ＜ f ( － 2) ，选项 A 正确，选项 C错误；∵ 3＜ 10＜ 11，
选 C.
4．如图，正方形 BCDE和正方形 ABFG的边长分别为 2a，a，连接 CE， CG，现将一把芝麻随机撒在该图形中，则芝麻落在阴影部分的概
率是 ( ) 3
A. 10
3 B． 5
3 C. 20 解析：选 A. 设图中阴影部分的面积是
3 D． 8
S，则
S＝ S 正方形
S S ＋－，∵ ABFG
选 B.
7．已知函数 f ( x) ＝ log 1( x2－ 2x－ 3) ，则下列关系正确的是 (
)
2
A． f ( － 3) ＜f ( － 2)
B． f ( 10) ＜ f ( 11)
C． f ( － 3) ＞f ( － 2)
D． f (log 328) ＜ f (3log 34)
解析：选 A. 由 x2－ 2x－ 3＝ ( x－ 3)( x＋ 1) ＞0，得 x＜－ 1 或 x＞ 3. y＝ x2－ 2x－3＝ ( x－

高考数学二轮复习第5部分短平快增分练专题一小题提速练5-1-9小题提速练(九)文(2021学年)

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小题提速练（九)(满分80分,押题冲刺,45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１.已知集合A＝{ｘ∈N|0≤ｘ≤５｝,B＝｛x｜2-x＜０｝,则Ａ∩(∁ＲB）＝( ）A．｛1} B.{0,１}C.｛1,2｝D.｛0,１，2｝解析:选Ｄ。

∵A=｛０,1，２,3,4,５}，B={x|ｘ＞2}，∁R B={x｜x≤2｝，∴Ａ∩（∁R B)＝{0，1，2},故选D.2.在复平面内,复数z＝错误!(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ）A．第一象限ﻩＢ.第二象限Ｃ．第三象限Ｄ.第四象限解析：选C。

∵ｚ=错误!=错误!＝错误!＝-错误!＋错误!，∴错误!=－错误!－错误!，故错误!对应的点在第三象限．３．设某中学的高中女生体重y(单位:kｇ）与身高ｘ(单位：ｃm)具有线性相关关系，根据样本数据（x i，y i）(i=1,２,3,…，n),用最小二乘法近似得到回归直线方程为错误!=0。

8５ｘ-8５．71,则下列结论中不正确的是( )A.ｙ与ｘ具有正线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(错误!,错误!)C．若该中学某高中女生身高增加1 cｍ，则其体重约增加0.85 kgD.若该中学某高中女生身高为16０cm,则可断定其体重必为50.2９ kg解析:选Ｄ.因为回归直线方程错误!=０.8５ｘ－85.71中x的系数为0。

高考数学(文)新思维二轮练习：题型专项练 “12+4”小题综合提速练(一)

“12＋4”小题综合提速练(一)单独成册：对应学生用书第139页一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·广西三校联考)如果集合M ＝{}x |y ＝5x －20，集合N ＝{}x |y ＝log 3x ，则M ∩N ＝( )A ．{x |0＜x ＜4}B ．{x |x ≥4}C ．{x |0＜x ≤4}D ．{x |0≤x ≤4}解析：由5x －20≥0，得x ≥4，∴M ＝{x |x ≥4}，N ＝{x |x ＞0}，∴M ∩N ＝{x |x ≥4}，故选B. 答案：B2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B.22 C. 2D ．1解析：由z (1－i)2＝1＋i ，得：z ＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，∴|z |＝(－12)2＋(12)2＝22.故选B. 答案：B3．(2018·石家庄二中模拟)已知命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝1－x 0，则命题p 的真假及綈p 依次为( )A ．真；∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠1－x 0B ．真；∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－xC ．假；∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－xD ．假；∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠1－x 0解析：当x 0＝1时，ln x 0＝1－x 0＝0，故命题p 为真命题； ∵p ：∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝1－x 0， ∴綈p ：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠1－x .故选B. 答案：B4．(2018·大连八中模拟)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S 3＝6，则S 4＝( ) A ．10或8 B ．－10 C ．－10或8D ．－10或－8解析：设等比数列的公比为q ，则2＋2q ＋2q 2＝6，解得q ＝1或q ＝－2.当q ＝1时，S 4＝S 3＋2＝8；当q ＝－2时，S 4＝S 3＋a 1q 3＝－10.故选C. 答案：C5．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43 B ．－34 C. 3D ．2解析：因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43. 答案：A6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≤1log 2(x －1)，x ＞1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)＝( )A ．－12 B ．－1 C ．－5D.12解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，x ≤1log 2(x －1)，x ＞1，∴f (52)＝log 232， f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (52)＝f (log 232)＝＝－12.故答案为A. 答案：A7．在下列命题中，属于真命题的是( ) A ．直线m ，n 都平行于平面α，则m ∥nB ．设α-l -β是直二面角，若直线m ⊥α，则m ∥β，C ．若直线m ，n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，(且m ⊥n )，则n 在α内或n 与α平行D ．设m ，n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交解析：直线m ，n 都平行于平面α，则m ，n 可平行，可异面，可相交；设α-l -β是直二面角，若直线m ⊥α，则m ∥β或m ⊂β；直线m 在平面α内的射影是一个点，所以m ⊥α，又m ⊥n ，所以n 在α内或n 与α平行；m ，n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交或n ⊂α，因此选C. 答案：C8．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A.726π5 mm 2 B.363π10 mm 2 C.363π5 mm 2D.363π20 mm 2解析：由题意可知，纪念币的直径为22毫米，所以纪念币的面积为π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝121π平方毫米，又向硬币内随机投掷芝麻100次，恰有30次芝麻落在军旗内，则芝麻落在军旗内的概率是30100＝310，所以军旗的面积大约为121π·310＝363 π10平方毫米．故本题正确答案为B. 答案：B9．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11答案：B10.(2018·天津市八校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一部分图象如图所示，将函数图象上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象表示的函数可以为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6解析：由题意得A ＝1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π⇒ω＝2πT ＝2，φω＝|－π6|⇒φ＝π3，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⇒y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，选A.答案：A11．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是( ) A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±217xD ．y ＝±213x解析：若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则|F 1P |＝c 2＋4b 2， ∵F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的三个顶点， ∴c 2＋4b 2＝2c ，∴c 2＋4b 2＝4c 2， ∴c 2＋4(c 2－a 2)＝4c 2， ∴c 2＝4a 2，即c ＝2a ， b ＝c 2－a 2＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±3x ，故选B. 答案：B12．(2018·石家庄二中模拟)已知函数f (x )满足对任意实数m ，n ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，设g (x )＝f (x )＋a x a x ＋1(a ＞0，a ≠1)，若g (ln 2 017)＝2 018，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12 017＝( ) A ．2 017 B ．2 018 C ．－2 016D ．－2 015解析：f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1中令m ＝n ＝0得f (0)＝1，再令m ＝x ，n ＝－x 得：f (x )＋f (－x )＝2，设h (x )＝a xa x ＋1，则h (x )＋h (－x )＝1，所以g (x )＋g (－x )＝f (x )＋f (－x )＋h (x )＋h (－x )＝3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12 017＝g (－ln 2 017)＝3－g (ln 2 017)＝－2 015.故选D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上)13．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x －y ＋1≥0x ≤3，若z ＝mx ＋y 的最小值为－3，则m的值为________．解析：由x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x －y ＋1≥0x ≤3，作出可行域如图：联立⎩⎨⎧x ＝3x ＋y ＝2，解得A (3，－1)，化目标函数z ＝mx ＋y 为y ＝－mx ＋z ，目标函数的最小值就是函数在y 轴上的截距最小，最小值为：－3，由图可知，m ＜0，使目标函数取得最小值的最优解为A (3，－1)，把A (3，－1)代入z ＝mx ＋y ＝－3，求得m ＝－23.答案：－2314．已知直线l ：x －3y ＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于O ，A 两点(其中O 是坐标原点)，则圆心C 到直线l 的距离为________，点A 的横坐标为________．解析：∵圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，∴C (2,0)，由点到直线的距离公式可得C 到直线l的距离为d＝|2－0|2＝1，由⎩⎨⎧x－3y＝0(x－2)2＋y2＝4，得O(0,0)，A(3，3)，A的横坐标为3.答案：1 315．已知△ABC的周长为2＋1，面积为16sin C，且sin A＋sin B＝2sin C，则角C的值为________．解析：设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则a＋b＋c＝2＋1，又sin A＋sin B＝2sin C，根据正弦定理得：a＋b＝2c，则c＝1，a＋b＝2，S△ABC＝12ab sin C＝16sin C，ab＝13，cos C＝a2＋b2－c22ab＝(a＋b)2－2ab－c22ab＝2－23－123＝12，所以C＝π3.答案：π316．(2018·南宁模拟)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的选项序号填到横线上)．①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥AEF所在平面．解析：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，又HE∩HF＝H，∴AH⊥平面EFH，②正确．∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确．∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴③不正确．由条件证不出HG⊥平面AEF，∴④不正确．答案：①③④。

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