2015年上海中学高二上学期数学期中考试试卷

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上海市卢湾高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

上海市卢湾高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（每小题3分，总分36分）1．（3分）计算：=．2．（3分）已知，若，则t=．3．（3分）已知等差数列{a n}中，a1=﹣4，a5=﹣12，则a3=．4．（3分）化简：=．5．（3分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=．6．（3分）若，则与同向的单位向量是．7．（3分）设S n表示等差数列{a n}的前n项和，且S9=18，S n=240，若a n﹣4=30（n＞9），则n=．8．（3分）若，，与的夹角为120°，则=．9．（3分）在数列{a n}中，a1=，a n+a n+1=（n=1，2，3…），此数列前n项和S n的公式为．10．（3分）在△ABC中，已知，的值为．11．（3分）如图，相交于点O的两条直线OA，OB，在OA上取一点A，作A1B1⊥OB，作B1A2⊥OA，作A2B2⊥OB…一直无限地作下去，若已知A1B1=7，B1A2=6，则所有垂线长度的和等于．12．（3分）已知数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1，数列{b n}的通项公式是b n=3n，令集合A={a1，a2，…，a n，…}，B={b1，b2，…，b n，…}，n∈N*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c n}．则数列{c n}的前28项的和S28=．二、选择题（每小题3分，总分12分）13．（3分）点P的坐标为（1，2），，则（）A．点P与点A重合B．点P与点B重合C．点P就表示D．14．（3分）我们把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A．27 B．28 C．29 D．3015．（3分）若两个非零向量、，互相垂直，则下列一定成立的是（）A．B．C．D．16．（3分）设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同三、解答题（本大题共5题，共52分，姐答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）如图．已知向量、，求作向量．18．（10分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元．写出a n，b n的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？19．（10分）若，，且，求（1）向量的夹角θ；（2）．20．（12分）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n+1﹣4n（n≥2，n∈N*），数列{a n}的前n项和S n．（1）证明：数列{a n+2n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求S n．21．（12分）已知、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，（a∈R），对任意正整数n，．（1）若，求a的值；（2）求向量；（3）设向量，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x n＜y n成立．上海市卢湾高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，总分36分）1．（3分）计算：=1．考点：数列的极限．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：直接利用分式分母同除n，利用数列的极限的运算法则求解即可．解答：解：===1．故答案为：1．点评：本题考查数列的极限的运算法则的应用，基本知识的考查．2．（3分）已知，若，则t=5．考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量平行的充要条件，列出方程求解即可．解答：解：知，若，则：1﹣t=﹣2×2，解得t=5．故答案为：5．点评：本题考查向量共线的充要条件应用，基本知识的考查．3．（3分）已知等差数列{a n}中，a1=﹣4，a5=﹣12，则a3=﹣8．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式和题意求出公差d，再求出a3的值．解答：解：设等差数列{a n}的公差是d，因为a1=﹣4，a5=﹣12，所以d==﹣2，则a3=a1+2d=﹣8，故答案为：﹣8．点评：本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．4．（3分）化简：=．考点：向量的加法及其几何意义；向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的加法与减法的法则，进行化简即可．解答：解：∵=（﹣）+（+）=（+）+=﹣=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应灵活应用平面向量的合成法则，是基础题．5．（3分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=10．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的性质可知a1a10=a2a9=…a5a6，再利用对数的性质即可得到答案．解答：解：log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a10）+log3（a2a9）+…log3（a5a6）=5log3（a5a6）=10 故答案为：10点评：本题主要考查了等比数列的性质．即若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则a m a n=a p a q．6．（3分）若，则与同向的单位向量是﹣．考点：单位向量．专题：平面向量及应用．分析：求与同向的单位向量，化简即可．解答：解：∵，∴与同向的单位向量是==﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量的单位向量的概念，也考查了向量的线性运算问题，是容易题．7．（3分）设S n表示等差数列{a n}的前n项和，且S9=18，S n=240，若a n﹣4=30（n＞9），则n=15．考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：先根据等差数列的求和公式和等差数列的等差中项的性质利用S9=18求得a5，进而根据等差中项性质可知S n===240，求得n．解答：解：S9=9a5∴a5=2∴S n====240n=15故答案为15点评：本题主要考查了等差数列的前n项和的问题．巧妙地利用了等差中项的性质．8．（3分）若，，与的夹角为120°，则=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题设条件，对进行平方，先出和向量模的平方，再开方求两者和的模．解答：解：，，与的夹角为120°，由题意2===4+1﹣2×2×1×cos120°=7，∴．故答案为：．点评：本题考查向量模的求法，对向量的求模运算，一般采取平方方法表示成向量的内积，根据内积公式求出其平方，再开方求模，本题是向量中的基本题．9．（3分）在数列{a n}中，a1=，a n+a n+1=（n=1，2，3…），此数列前n项和S n的公式为．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：根据数列的递推关系依次求出数列的前几项，根据数列的规律，即可得到结论．解答：解：∵数列{a n}中，a1=，a n+a n+1=（n=1，2，3…），∴a1+a2=，则a2=﹣=，∴a2+a3=，则a3=﹣=，∴a3+a4=，则a4=﹣=，…，则数列{a n}是公比q=，首项a1=的等比数列，则数列前n项和S n==，故答案为：点评：本题主要考查数列的前n项和的计算，根据递推关系判断数列是等比数列是解决本题的关键．10．（3分）在△ABC中，已知，的值为2或﹣2．考点：平面向量数量积的运算．分析：本题是通过正弦定理，做出两个向量的夹角，由夹角的正弦值写出余弦值，注意余弦值有两个，不要漏解，最后代入公式求出结果．解答：解：∵∴，∴，∴=±2故答案为：±2．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，发现向量的夹角和模都要根据所给的三角形自己求出再用，因此解三角形在本题中所占的比重较大．11．（3分）如图，相交于点O的两条直线OA，OB，在OA上取一点A，作A1B1⊥OB，作B1A2⊥OA，作A2B2⊥OB…一直无限地作下去，若已知A1B1=7，B1A2=6，则所有垂线长度的和等于．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：首先利用三角形的相似求出部分的线段长，发现线段成等比数列，进一步利用等比数列的前n项和求出结果．解答：解：相交于点O的两条直线OA，OB，在OA上取一点A，作A1B1⊥OB，作B1A2⊥OA，作A2B2⊥OB…一直无限地作下去，若已知A1B1=7，B1A2=6，所以：利用△A1B1A2∽△A1B1B2解得：，由于所得的三角形相似所以成等比数列：设公比为q则解得：q==点评：本题考查的知识要点：等比数列前n项和的应用，属于基础题型．12．（3分）已知数列{a n}的通项公式是a n=2n﹣1，数列{b n}的通项公式是b n=3n，令集合A={a1，a2，…，a n，…}，B={b1，b2，…，b n，…}，n∈N*．将集合A∪B中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{c n}．则数列{c n}的前28项的和S28=820．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：由题意可知两集合中无公共项，{c n}的前28项由{a n}中的前7项及{b n}中的前21项构成．进而根据等比和等差数列的求和公式即可得到答案．解答：解：两集合中无公共项，{c n}的前28项由{a n}中的前7项及{b n}中的前21项构成．所以．点评：本题主要考查了数列的求和问题．熟练掌握等比和等差数列的求和公式，是正确解题的前提．二、选择题（每小题3分，总分12分）13．（3分）点P的坐标为（1，2），，则（）A．点P与点A重合B．点P与点B重合C．点P就表示D．考点：向量的几何表示．专题：平面向量及应用．分析：由点P的坐标得出向量的坐标，从而得出=．解答：解：∵点P的坐标为（1，2），∴=（1，2）；又∵，∴=．故选：D．点评：本题考查了平面向量的坐标表示的问题，解题时应区分平面向量的坐标表示与平面内的点的坐标的区别，是基础题．14．（3分）我们把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如图）则第七个三角形数是（）A．27 B．28 C．29 D．30考点：数列的应用．分析：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．解答：解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数，…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．故选B．点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，注意总结规律．15．（3分）若两个非零向量、，互相垂直，则下列一定成立的是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：首先，根据向量垂直，则它们的数量积为0，可以容易得到选项A错误，然后，再利用向量的运算法则及运算律求解其它选项即可．解答：解：∵非零向量、，互相垂直，∴=0，对于选项A，显然错误；对于选项B，根据向量的运算，得到，显然，与题目条件矛盾，故选项B错误；对于选项C，∵||=||，∴（）2=（）2，∴||2+2+||2=||2﹣2+||2，∴=0，∴．故选项C正确；对于选项D，得到||=||．故选项D错误，故选：C．点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量的运算法则、向量的运算律．属于中档题，但也是易错题．16．（3分）设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A n}为等比数列的充要条件是（）A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n﹣1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同考点：等比数列的性质．专题：压轴题．分析：根据题意可表示A i，先看必要性，{A n}为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．解答：解：依题意可知A i=a i•a i+1，∴A i+1=a i+1•a i+2，若{A n}为等比数列则==q（q为常数），则a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；反之要想{A n}为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；故{A n}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n﹣1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．三、解答题（本大题共5题，共52分，姐答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）如图．已知向量、，求作向量．考点：向量的减法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，作，连接OE，以EO，EF为邻边作平行四边形OCFE，连接BC，则=．解答：解：如图所示，作，连接OE，以EO，EF为邻边作平行四边形OCFE，连接BC，则==．点评：本题考查了向量的三角形法则、作图能力，属于基础题．18．（10分）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元．写出a n，b n的表达式；（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n年投入量，从而求出n年内的总投入量a n，再由第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，归纳出第n年旅游业收入为400×（1+）n﹣1万元．从而得出n年内的旅游业总收入b n．（2）先设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n﹣a n＞0，解得n的取值范围即可．解答：解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1﹣）万元，第n年投入为800×（1﹣）n﹣1万元．所以，n年内的总投入为a n=800+800×（1﹣）+…+800×（1﹣）n﹣1==4000×；（3分）第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1+）万元，第n年旅游业收入为400×（1+）n﹣1万元．所以，n年内的旅游业总收入为b n=400+400×（1+）+…+400×（1+）n﹣1==1600×．（6分）（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n﹣a n＞0，即1600×﹣4000×＞0．化简得5×（）n+2×（）n﹣7＞0，（9分）设x=（）n，代入上式得5x2﹣7x+2＞0，解此不等式，得，x＞1（舍去）．即（）n＜，由此得n≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．（12分）点评：本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．19．（10分）若，，且，求（1）向量的夹角θ；（2）．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意根据cosθ==，求得θ的值．（2）由条件根据==，计算求得结果．解答：解：（1）∵向量的夹角θ，，，且，∴cosθ===，∴θ=．（2）====．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．20．（12分）在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n+1﹣4n（n≥2，n∈N*），数列{a n}的前n项和S n．（1）证明：数列{a n+2n+1}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求S n．考点：数列递推式；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a n+2n+1=﹣a n﹣1﹣4n+2n+1=﹣a n﹣1﹣2n+1=﹣a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣1，由此能证明{a n+2n+1}是一个公比为﹣1的等比数列．由此能求出a n=﹣6•（﹣1）n﹣2n﹣1．（2）当n为奇数时，S n=6﹣2（1+2+3+…+n）﹣n=﹣n2﹣2n+6，当n为偶数时，S n=0﹣2（1+2+3+…+n）﹣n=﹣n2﹣2n，由此能求出S n．解答：解：（1）∵在数列{a n}中，a1=3，a n=﹣a n+1﹣4n（n≥2，n∈N*），∴a n+2n+1=﹣a n﹣1﹣4n+2n+1=﹣a n﹣1﹣2n+1=﹣a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣1即：a n+2n+1=﹣，∴{a n+2n+1}是一个公比为﹣1的等比数列．∵a1+2×1+1=6，∴a n+2n+1=6•（﹣1）n﹣1=﹣6•（﹣1）n，∴a n=﹣6•（﹣1）n﹣2n﹣1．（2）∵a n=﹣6•（﹣1）n﹣2n﹣1，∴当n为奇数时，S n=6﹣2（1+2+3+…+n）﹣n=﹣n2﹣2n+6，当n为偶数时，S n=0﹣2（1+2+3+…+n）﹣n=﹣n2﹣2n，∴S n=．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．21．（12分）已知、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，（a∈R），对任意正整数n，．（1）若，求a的值；（2）求向量；（3）设向量，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x n＜y n成立．考点：数列与向量的综合；函数恒成立问题；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：综合题．分析：（1）由题意，知51a+12=0，由此能求出a的值．（2）由题意=，由此能求出结果．（3）x n=51n+a﹣51，y n=3•2n﹣1﹣1，由51n+a﹣51＜3•2n﹣1﹣1恒成立，得a＜3•2n﹣1﹣51n+50恒成立，令a n=3•2n﹣1﹣51n+50，只需求数列{a n}得最小项．由此能求出最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x n＜y n成立．解答：解：（1）由题意，所以51a+12=0，解得．（5分）（2）==（10分）（3）x n=51n+a﹣51，y n=3•2n﹣1﹣1，由51n+a﹣51＜3•2n﹣1﹣1恒成立，得a＜3•2n﹣1﹣51n+50恒成立，令a n=3•2n﹣1﹣51n+50，只需求数列{a n}得最小项．（13分）由，得6≤n≤6，即n=6，a6=﹣160，所以a=﹣161．（16分）点评：本题考查数列和向量的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)

此时z最大，
由
由于B在直线上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图，的边长为，分别是中点，记，，则（）
A. B.
C. D. ，但的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为分别是中点，所以根据平面向量的线性运算可得 ,所以由可得 ,故选C.
（1）求向量与的夹角；
（2）若，且，求实数t的值及 .
【答案】（1）；（2）， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设分别是直线l和圆C上的动点，求的最小值及此时点的坐标．
【答案】（1）所在的直线方程为，圆C的方程为（2）
【解析】
【详解】（1）直线设 .
的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为，请利用行列式求解此方程组.

高二上学期数学期中考试卷(含答案)

高二上学期数学期中考试卷（含答案）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线10x y +-=的倾斜角为（）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．135︒ 2．76是等差数列4，7，10，13，的第（）项A ．25B ．26C ．27D ．283．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=互相垂直，则a 的值为（）A ．4B ．-4C ．1D ．-14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1073=+a a ，则=9S （）A ．22.5B ．45C ．67.5D ．905．已知直线l 过()2,1A -，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l 的方程是（）A ．02=+y x 或30x y -+=B ．10x y --=或30x y -+=C ．10x y --=或30x y +-=D ．02=+y x 或30x y +-= 6．设等比数列{}n a 的前n 项和为147258,9,18,n S a a a a a a ++=++=则9S =（）A ．27B ．36C ．63D ．727．已知圆()()111:221=-++y x C ，圆2C 与圆1C 关于直线01=--y x 对称，则圆2C 的方程为( )A ．B ．C ．D ．8．若数列{n a }的前n 项和为n S ＝2133n a +，n S =（）A ．123n -B ．1(2)3n --C ．2123+ D ．1(2)3n +- 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．9．一条光线从点()0,1射出，经x 轴反射后与圆22430x y x +-+=相切，则反射光线所在直线的方程是（）A ．4330x y --=B ．1=yC ．3440x y --=D ．1y =-10．已知等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（）A ．4B ．5C ．6D ．711．已知圆222450x y x y a +--+-=上有且仅有两个点到直线34150x y --=的距离为1，则实数a 的可能取值为（）A ．12-B ．8-C ．6D ．1-12．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知27n S n n =-+，则下列说法正确的是（）A ．{}n a 是递增数列B ．1014a =-C ．当4n >时，0n a <D ．当3n =或4时，n S 取得最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{}n a 中，11,111+-==+n n a a a ，则=2022a _________． 14．已知两条直线0162:,033:21=++=-+y x l y ax l ，若12//l l ，则直线1l 与2l 之间的距离=d ______．15．由正数组成的等比数列{}n a 中，若3654=a a a ，则=+++93832313log log log log a a a a ．16．点M 在圆()()93522=-+-y x 上，点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边的垂直平分线DE 的方程． 18．（本小题满分12分）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 3＝17，S 7＝98．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n 的最大值． 19．（本小题满分12分）已知圆()()2521:22=-+-y x C 及直线()()()R m m y m x m l ∈+=+++47112:．（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程． 20．（本小题满分12分）数列{}n a 中13a =，已知1(,)n n a a +在直线2y x =+上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3nn n b a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，11a =，且22a 是1a 和14a 的等差中项．数列{}n b 满足，且12712,13,1++=+==n n n b b b b b ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T ． 22．（本小题满分12分）已知圆C 过点()6,2A ，且与直线010:1=-+y x l 相切于点()4,6B ．（1）求圆C 的方程；（2）过点()24,6P 的直线2l 与圆C 交于N M 、两点，若CMN ∆为直角三角形，求直线2l 的方程；（3）在直线2:3-=x y l 上是否存在一点Q ，过点Q 向圆C 引两切线，切点为F E 、，使QEF ∆为正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．参考答案一、单选题题目 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DA AB AC BB二、多选题题目 9 10 11 12 答案ADCDABDCD三、填空题：13.2 14.20107 15.34 16.2 三、解答题：17.解：(1)因为直线BC 经过B (2，1)和C (－2，3)两点，所以BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.因为BC 边的垂直平分线DE 经过BC 的中点(0，2)，所以所求直线方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.18.解：（1）因为{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 3＝17，S 77a 4＝98所以a 4＝14，由d ＝a 4﹣a 3＝﹣3，所以a n ＝a 3+（n ﹣3）d ＝17﹣3（n ﹣3）＝﹣3n +26；（2）易知S n，当n ＝8时，S n 取得最大值S 8＝100．19.（1）将直线的方程变形为，令，解得，即直线过定点．因为，所以点在圆内部．所以不论m 为何实数，直线与圆恒相交．（2）由（1）的结论知直线过定点，且当直线时，此时圆心到直线的距离最大，进而被圆所截的弦长最短，故,从而此时，此时,直线方程为，即.20、【解析】（1）∵1(,)n n a a +在直线2y x =+上， ∴12n n a a +=+，即12n n a a +-=∴{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列.32(1)21n a n n ∴=+-=+.（2）3,(21)3n n n n n b a b n =⋅∴=+⋅231335373(21)3(21)3n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅ ① 23133353(21)3(21)3n n n T n n +∴=⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅ ②由①-②得()23+12332333(21)3n n n T n -=⨯+++⋯+-+⋅()11191392(21)32313n n n n n -++-=+⨯-+⋅=-⋅-，13n n T n +∴=⋅.21、解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q 因为11a =，所以222131,a a q q a a q q ====.因为22a 是3a 和14a 的等差中项，所以23144a a a =+，即244q q =+，解得2,q =所以1112n n n a a q --==.（2）因为212n n n b b b +++=，所以{}n b 为等差数列. 因为171,13b b ==，所以公差131271d -==-. 故21n b n =-.所以1122n n n T a b a b a b =++++⋯++()()1212n n a a a b b b =++⋅⋅⋅++++⋯+2121212112()2n n n n n -+-=+=+--22、（1）设圆心坐标为，则，解得：，圆的半径，圆的方程为：.（2）为直角三角形，，，则圆心到直线的距离；当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；当直线斜率存在时，可设，即，，解得：，，即；综上所述：直线的方程为或.（3）假设在直线存在点，使为正三角形，，，设，，解得：或，存在点或，使为正三角形.。

交大附中2015-2016高二上期中数学卷

→→
原点，G 为△ABC 的重心，则 OG⋅ OC 的最小值为
.
10. 向
→
a
=
(cos y,sin
→
y), b
= (cos x, sin x) →→
，则 a 与 b 的夹角为
.
3
11. 已知数列{an }的通项公式 an = 2n ,
n ∈ N * ，则 a1 a3
a2 + a2 a4 a4
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（1） a12 ， a14 ， a31 ， a113 均是选物化地考试的成绩向，顺序均为：语数外物化地，而我们知道高考成绩小三门是
会考合格 40 分 + 等级考分数，全市前 5% 为满分 30 分， 5% ~ 15% 记为 27 分。参照我校以往成绩假定物化地年级前 150 名均可记为 30 分满分，151 ~ 250 名可记为 27 分，余下基本 24 分，个别更低。现已知物化地的满分标准是 48（即物理成绩大于等于 48 分的可记为等级考满分 30 分） 55 ， 47 分；分标准为 42，47，41。试计算第12，14，31，131 名同学
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交大附中 2015-2016 年高二第一学期期中考试试卷
一、填空题（本大题满分 56 分）
1. 若向
→
→
a = (−1,3), b = (x,
2)
，且
→
a//
→
b
，则
x
=
.
→
2. 直线 l 的一个方向向是 a = (1,−3) ，其斜率等于
.
10
3. 行列式
的值为
.
23
2x + my = 5

【数学】上海市金山中学2015-2016学年高二上学期期中考试.docx

金山中学 2015 学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：90 分钟满分：100分）一、填空题（本大题满分36 分）本大题共有12 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分。

1．已知向量a(1, k), b (9,k 6). 若a / /b，则实数k________.1232．行列式45 6 中，6的代数余子式的值是_______．7893．若向量a (1, x), b(2,1), 且a b ，则| a b |．4．直线l经过点P( 2,1)，且点 A(1,2) 到 l 的距离为1，则直线 l 的方程为．5．执行右图的程序框图，如果输入i 6 ，则输出的 S值为．6．已知直线l : x 2 y0, 圆C : x2y 26x 2 y 150 ，直线l被圆所截得的线段长为．7| OA | | OB |1,OA与OB的夹角为120 , OC与OA的夹角为 30，| OC | 5,则．如图OC ．（用 OA和OB 表示）8．过点M ( 3, y0)作圆O : x2y2 1 的切线，切点为N ，如果 OMN，那么 y0的6取值范围是 _________．9．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线 l : ax y 3 0 ，点 A(0,2) ，若直线 l 上存在点 M ，满足 | MA |2| MO |2 10 ，则实数 a 的取值范围是 __________ ．10．已知点 P(a,b) 关于直线 l 的对称点为 P (b1,a 1) ,则圆 C : x 2y 26x 2 y 0 关于直线 l 对称的圆 C 的方程为．11．已知向量 a 、 b ，满足 | a |1 ， (a b) ( a2b)0 ，则 | b |的最小值为 _________．．在圆22上有一点 P(4,3) ，点 E, F 是 y 轴上两点，且满足| PE | | PF | 直线12 xy 25,PE ， PF 与圆交于 C , D ，则直线 CD 的斜率是 ________．二、选择题（本大题满分12 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3 分，否则一律得零分。

上海中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析

2016-2017学年上海中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=．2．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=．3．“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是．4．若f（x+）=x2+，则f（3）=．5．不等式x＞的解是．6．若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是．7．不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0的解是．8．已知集合A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则m的取值范围是．9．不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为．10．设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为．11．对于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1，若在区间[﹣1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是．12．已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为．二.选择题13．不等x|x|＜x的解集是（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，D．{x|﹣1＜x＜0，x＞1}14．若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A 的个数为（）A．4 B．15 C．16 D．3215．不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），则a﹣b=（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．516．已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件三.解答题17．解不等式：（1）|x﹣2|+|2x﹣3|＜4；（2）≤x．18．已知a，b，c，d∈E，证明下列不等式：（1）（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）a2+b2+c2≥ab+bc+ca．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，当x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；（1）求f（x）解析式；（2）关于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围．20．设关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p的取值范围．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），记f[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x2+1，则f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；（1）f（x）=x2﹣x，解关于x的方程f[2]（x）=x；（2）记△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．2016-2017学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2016秋•徐汇区校级期中）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10} ．【考点】补集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据补集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，所以∁A B={0，2，6，10}．故答案为：{0，2，6，10}．【点评】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题目．2．（2016秋•徐汇区校级期中）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B= {﹣1，0，1} ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】通过求解绝对值不等式化简集合A，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：∵A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故答案为：{﹣1，0，1}【点评】本题考查绝对值不等式的解法，以及求两个集合的交集的方法．3．（2016秋•徐汇区校级期中）“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是“若x+y≠2，则x ≠1，或y≠1”．【考点】四种命题．【专题】定义法；简易逻辑．【分析】根据已知中的原命题及逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是“若x+y≠2，则x≠1，或y≠1”，故答案为：“若x+y≠2，则x≠1，或y≠1”【点评】本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握逆否命题的定义，是解答的关键．4．（2016秋•徐汇区校级期中）若f（x+）=x2+，则f（3）=7．【考点】函数的值；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；配方法；函数的性质及应用．【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：f（x+）=x2+=（x+）2﹣2，所以f（x）=x2﹣2，则f（3）=7．故答案为：7．【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力．5．（2016秋•徐汇区校级期中）不等式x＞的解是（﹣3，0）∪（3，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】首先通分化简分式不等式，最后化简为整式不等式，利用穿根法解答即可．【解答】解：原不等式等价于等价于（x+3）（x﹣3）x＞0，由穿根法得到不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）；故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）；【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是转化为整式不等式解之；运用穿根法使得解集易得．6．（2016秋•徐汇区校级期中）若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则，解得a的取值范围．【解答】解：若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则，解得：a∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，转化思想，难度中档．7．（2016秋•徐汇区校级期中）不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0的解是（0，6）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】设=t，则原不等式化为t2﹣2t﹣3＜0，（t≥0），解关于t的不等式，然后解出x范围．【解答】解：设=t，则原不等式化为t2﹣2t﹣3＜0，（t≥0），所以t∈[0，3），即∈[0，3），所以（x﹣3）2＜9，解得﹣3＜x﹣3＜3，所以0＜x＜6，故原不等式的解集为（0，6）；故答案为：（0，6）．【点评】本题考查了利用换元法解不等式；属于基础题．8．（2016秋•徐汇区校级期中）已知集合A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则m的取值范围是[﹣6，8] ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；转化法；集合．【分析】根据集合的并集和集合的交集得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则，故答案为：[﹣6，8]．【点评】本题考查了集合的交集、并集的定义，是一道基础题．9．（2016秋•徐汇区校级期中）不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为16．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】转化思想；转化法；不等式．【分析】利用基本不等式进行求解，先求出（x+y）（+）的最小值为（+1）2，然后解不等式即可．【解答】解：（x+y）（+）=1+a++≥1+a+2=1+a+2=（+1）2，即（x+y）（+）的最小值为（+1）2，若不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，∴（+1）2≥25，即+1≥5，则≥4，则a≥16，即正实数a的最小值为16，故答案为：16．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式先求出（x+y）（+）的最小值为（+1）2是解决本题的关键．10．（2016秋•徐汇区校级期中）设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为25．【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】利用基本不等式可将ab=a+4b+5转化为ab的不等式，求解不等式可得ab的最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴a+4b+5=ab，可得ab≥5+2=5+4，当且仅当a=4b时取等号．∴（+1）（﹣5）≥0，∴≥5或≤﹣1（舍去）．∴ab≥25．故ab的最小值为将25；故答案为：25．【点评】本题考查基本不等式，将2ab=a+b+12转化为不等式是关键，考查等价转化思想与方程思想，属于中档11．（2012•天宁区校级模拟）对于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1，若在区间[﹣1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是（﹣3，1.5）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；转化思想．【分析】由于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1的图象是开口方向朝上的抛物线，故二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定为对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，即f（﹣1），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于p的不等式组，解不等式组即可求出实数p的取值范围．【解答】解：二次函数f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，∴即整理得解得p≥，或p≤﹣3，∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的实数p的取值范围是（﹣3，）．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0时，是解答本题的关键．12．（2014秋•苏州期末）已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为．【考点】函数在某点取得极值的条件；基本不等式．【专题】导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】由a，b为正实数，且a+b=2，变形可得=+a+b﹣1+=+1=f（a），0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵a，b为正实数，且a+b=2，∴=a++=+a+b﹣1+=+1=f（a），0＜a＜2．f′（a）=+=，令f′（a）＞0，解得，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得，此时函数f（a）单调递减．∴当且仅当a=6﹣3时函数f（a）取得极小值即最小值，=．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题13．（2016秋•徐汇区校级期中）不等x|x|＜x的解集是（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，D．{x|﹣1＜x＜0，x＞1}【考点】绝对值不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】建议修改C为{x|0＜x＜1，或x＜﹣1}原不等式即x（|x|﹣1）＜0，等价转化为①，或②．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：不等x|x|＜x，即x（|x|﹣1）＜0，∴①，或②．解①可得0＜x＜1，解②可得x＜﹣1．把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，故选C．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．14．（2016秋•徐汇区校级期中）若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（）A．4 B．15 C．16 D．32【考点】子集与真子集．【专题】综合题；方程思想；演绎法；集合．【分析】利用A⊆B，A⊆C，可得A⊆（B∩C），求出B∩C，即可得出结论．【解答】解：∵A⊆B，A⊆C，∴A⊆（B∩C），∵B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，∴B∩C={0，2，4，6}，∴A的个数为16，故选C．【点评】本题考查集合的运算与关系，考查学生的计算能力，比较基础．15．（2016秋•徐汇区校级期中）不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），则a﹣b=（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5【考点】其他不等式的解法．【专题】方程思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式的解集构造不等式，化简后于已知得不等式对比即可求出a与b的值，进而求出a﹣b的值．【解答】解：由不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），构造不等式（x+）（x﹣）＜0，整理得：6x2+x﹣1＜0，即﹣6x2﹣x+1＞0，与ax2+bx+1＞0对比得：a=﹣6，b=﹣1，则a﹣b=﹣6+1=﹣5，故选：C．【点评】此题考查学生理解不等式解集的意义，会根据解集构造不等式，是一道基础题．16．（2016•浙江）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】求出f（x）的最小值及极小值点，分别把“b＜0”和“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”当做条件，看能否推出另一结论即可判断．【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，f min（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）若f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等，则f min（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，简易逻辑关系的推导，属于基础题．三.解答题17．（2016秋•徐汇区校级期中）解不等式：（1）|x﹣2|+|2x﹣3|＜4；（2）≤x．【考点】绝对值不等式的解法；其他不等式的解法．【专题】对应思想；分类法；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，从而求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x的范围得到x﹣1=0或或，解出即可．【解答】解：（1）x≥2时，x﹣2+2x﹣3＜4，解得：x＜3，＜x＜2时，2﹣x+2x﹣2＜4，解得：x＜4，x≤时，2﹣x+3﹣2x＜4，解得：x＞，故不等式的解集是：{x|＜x＜3}；（2）∵≤x，∴≥0，∴x﹣1=0或或解得：﹣1＜x≤0或x=1或x＞2，故不等式的解集是（﹣1，0]∪{1}∪（2，+∞）．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查解分式不等式以及分类讨论思想，是一道中档题．18．（2016秋•徐汇区校级期中）已知a，b，c，d∈E，证明下列不等式：（1）（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）a2+b2+c2≥ab+bc+ca．【考点】不等式的证明．【专题】证明题；转化思想；演绎法；不等式．【分析】（1）根据不等式的左边减去右边化简结果为（ad﹣bc）2≥0，可得不等式成立；（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．【解答】证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立；（2）a2+b2+c2=（a2+b2+c2+a2+b2+c2）≥（2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．【点评】本题主要考查用比较法证明不等式，考查均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，把差变为因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题．19．（2016秋•徐汇区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，当x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；（1）求f（x）解析式；（2）关于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围．【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数的对称轴和函数的最值，即可求出函数的解析式，（2）设|x+1|=t，t≥0，得到t2﹣t+k﹣3=0，由x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，得到关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，解得即可．【解答】解：（1）x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0，∴﹣=﹣1，f（﹣1）=a﹣b+1=0，解得a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+1，（2）：f（x）=|x+1|﹣k+3，∴x2+2x+1=|x+1|﹣k+3，即（x+1）2=|x+1|﹣k+3，设|x+1|=t，t≥0，∴t2﹣t+k﹣3=0，∵x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，∴关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，∴△=1﹣4（k﹣3）=0，或解得k=，或k＜3，故有k的取值范围为{k|k=，或k＜3}【点评】本题考查了二次函数的性质，以及参数的取值范围，关键是换元，属于中档题．20．（2016秋•徐汇区校级期中）设关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据根与系数的关系和判别式即可求出p的范围．【解答】解：关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，则△=（p﹣1）2﹣4p（p+1）=﹣3p2﹣6p+1＞0，解得﹣1﹣＜p＜﹣1+，当x1+x2=＞0，及x1x2=＞0时，方程的两根为正．解之，得0＜p＜1．故0＜p＜﹣1．记x1=，x2=，由x2＞2x1，并注意p＞0，得3＞1﹣p＞0，∴28p2+52p﹣8＜0，即7p2+13p﹣2＜0．∴﹣2＜p＜．综上得p的取值范围为{p|0＜p＜}．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．21．（2016秋•徐汇区校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），记f[2]（x）=f（f （x）），例：f（x）=x2+1，则f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；（1）f（x）=x2﹣x，解关于x的方程f[2]（x）=x；（2）记△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．【考点】二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．【专题】阅读型；函数思想；构造法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据新类型的定义，求解f[2]（x），再解方程即可．（2）换元思想，根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，则f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）﹣t．带入二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），求出t，t又是二次函数的值，即ax2+bx+c=t函数必有两个根，△＞0．化简可得（b﹣1）2﹣4ac的取值范围．【解答】解：（1）由题意：当f（x）=x2﹣x时，则：f[2]（x）=（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）=x4﹣2x3+x；那么：f[2]（x）=x；即：x4﹣2x3+x=x；解得：x=0或x=2．（2）根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，则f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）﹣t．即a（t+x）2+b（t+x）+c=ax2+bx+c﹣t，化简可得：at2+（2ax+b+1）t=0，解得：t=0或t=．当t=0时，即ax2+bx+c=x，有两个不相同的实数根，可得（b﹣1）2﹣4ac＞0．当t=时，ax2+bx+c=x，整理可得：，∴△==（b+1）2﹣4ac+4（b+1）=（b﹣1）2﹣4ac﹣4∵有两个不相同的实数根△＞0．∴（b﹣1）2﹣4ac﹣4＞0，即（b﹣1）2﹣4ac＞4．综上所得△=（b﹣1）2﹣4ac的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题考查了新定义的应用和理解，计算能力！反函数的利用和构造思想．换元的代换是解决此题的关键．属于难题．。

2015高二(上)期中数学试卷答案

中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数学学科试题参考答案（第一部分满分100分）一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去）所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。

上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

上海市行知中学第一学期期中考试高二年级数学试卷题类一二 19 20 2l 22 23 总分得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为。

2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是。

3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为。

4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。

5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。

6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是。

7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是。

8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为。

9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。

10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =，上述命题中，真命题的个数是。

11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为。

12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是。

高二上册数学期中试卷及答案精选

高二上册数学期中试卷及答案精选学生的时代只有课本、作业、同学和试卷，单纯却美好。

下面小编整理了高二上册数学期中试卷及答案精选，欢迎阅读参考。

高二上册数学期中试卷及答案精选(一)一、单项选择(注释)1、在△ABC中，已知60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围是 ( )A.(1，2)B. (3，+∞)C.( 2，+∞)D.( 1，+∞)2、已知函数，若则实数的取值范围是 ( )A.(1，+∞)B. (1，-∞)C. (+∞，2)D.(-∞，2)3、设函数则不等式的解集是( )A.(1，2) (3，+∞)B.(1，2) (2，+∞)C. (1，2) (3，-∞)D.(1，2) (2，-∞)4、已知正数满足 , ,则的取值范围是______ .5、已知实数满足则的最大值是( )A.4B.5C. 7D.46、设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( )A.(1，2) (3，+∞)B.( ，+∞)C.(1，2) ( ，+∞)D.(1，2)7、下列不等式(1)m-3>m-5;(2)5-m>3-m;(3)5m>3m ;(4)5+m>5-m其中正确的有( )(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)4个8、已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为( )A. B. C. D.9、设等差数列的前项和为 ,若 ,则等于( )A.18B.36C.45D.6010、S={1,2,…,2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列.那么，这样的三元子集A的个数是( )A. B.C. D.11、设等差数列满足： ,则 ( )A.14B.21C.28D.3512、在中，，，分别是，，的对边，已知，，成等比数列，且，则的值为( )A. 4B.2C. 1D.5评卷人得分二、填空题(注释)13、已知 ,若恒成立,则实数的取值范围_________14、已知不等式(x+y) 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为__________15、在△ 中，若，则△ 的形状是16、在△ABC中，已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC=________.评卷人得分三、解答题(注释)17、设数列满足下列关系：为常数)， ;数列满足关系： .(1)求证：(2)证明数列是等差数列.18、已知集合A={x|x2<4}，B={x|1< }.(1)求集合A∩B;(2)若不等式2x2+ax+b<0的解集为B，求a、b的值.19、已知数列的各项均为正整数,且 ,设集合 .性质1 若对于 ,存在唯一一组 ( )使成立,则称数列为完备数列,当k取最大值时称数列为k阶完备数列.性质2 若记 ,且对于任意 , ,都有成立,则称数列为完整数列,当k取最大值时称数列为k阶完整数列.性质3 若数列同时具有性质1及性质2,则称此数列为完美数列,当取最大值时称为阶完美数列;(Ⅰ)若数列的通项公式为 ,求集合 ,并指出分别为几阶完备数列,几阶完整数列,几阶完美数列;(Ⅱ)若数列的通项公式为 ,求证:数列为阶完备数列,并求出集合中所有元素的和 .(Ⅲ)若数列为阶完美数列,试写出集合 ,并求数列通项公式.20、已知数列为等差数列,公差 ,其中恰为等比数列,若 , , ,⑴求等比数列的公比⑵试求数列的前n项和21、已知是各项均为正数的等比数列,且 ,;(1)求的通项公式;(2)设 ,求数列的前项和 .22、在数列中, .(1)证明数列是等比数列;(2)设是数列的前项和,求使的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】C2、【答案】C【解析】由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择C。

上海高二数学上学期期中试卷含答案(共3套)

上海高二年级第一学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为__ ____．(用弧度制表示)7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈，定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ．那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有向量a的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【】（A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记12121(,),(,),(,)a a a bb bc c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【】 (A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【】（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始（B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程；（2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上．（1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ； (2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值；（2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值；（3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=，当P 变化时，求||OT 的取值范围．x参考答案（考试时间：120分钟满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33.. 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15. B 16. B 17.18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解，又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。

上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

上海市行知中学第一学期期中考试高二年级数学试卷题类一二 19 20 2l 22 23 总分得分值一、填空题： (本题共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分)21. 若 P 1PPP 2 ，设 5P 1P 2 PP 1 ，则的值为。

a 1x a 2 y a 42. 已知 { a n } 是等比数列，则方程组的解的个数是。

a 5 x a 6 y a 83. 已知角的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，sintan 3 )，则行列式1cos的值为。

4. 等边△ ABC 边长为 1，则 AB BC BC CA CA AB =。

5. 向量x 经矩阵y0 1 变换后得到矩阵1 02 ，则 x y。

36. 执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是 7，则输出 S 的值是。

7. 如果 3nlimn 11 n，那么 a 的取值范围是。

x3(a 1)38. 用数学归纳法证明 “ (n1)(n 2)...(n n) 2n1 3...(2 n 1) ”，从“ k到 k1 ”左端需增乘的代数式为。

9. 已知等差数列 { a n } 前 n 项和为S n ，若 OB a 1007 OA a 1008 OC ，且 A ， B ， C 三点共线 (不过原点 )，则S 2014 =。

10. 已知 a 与 b 均为非零向量，给出下列命题： ①( a b) ( a) 2(b)2；② | a | a (a)2； ③若 a c b c ，则 a b ；④ (a c) b a (c b) ，上述命题中，真命题的个数是。

11. 在等差数列 { a n } 中， a 113 ，前 n 项和为 S n ，且 S 3 S 11 ，则使得 S n 最大的正整数 n 为。

12. 已知 A ， B ， C ， D 四点的坐标分别为 A(-1 ， 0)， B(1 ， 0)，C(0 ， 1)， D(2 ， 0)， P 是线段 CD 上的任意一点，则 AP BP 的最小值是。

上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷

上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（3分×14=42分）1．（3分）行列式的值是．2．（3分）向量，若⊥，则实数k=．3．（3分）与向量平行的单位向量是．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=．5．（3分）不等式＜0的解集为．6．（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n=．7．（3分）设数列{a n}的首项a1=1且前n项和为S n．已知向量，满足，则=．8．（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=．9．（3分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．10．（3分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．11．（3分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是．12．（3分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．13．（3分）已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为．14．（3分）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15．（4分）等边△ABC中，向量的夹角为（）A．B．C．D．16．（4分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．A C B．B AC C．A BC D．AB﹣AC17．（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形18．（4分）记，若a i，j=icosx+jsinx，其中i，j∈{1，2，3}，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A．﹣3 B．1C．﹣1 D．0三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．（8分）如图所示，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，且．（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值．20．（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．21．（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．22．（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A n，…，在OB上有点列B1，B2，B3，…，B n，…已知，A1（5，0），．（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求△A n OB n面积的最大值，并说明理由．上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（3分×14=42分）1．（3分）行列式的值是﹣1．考点：二阶矩阵；同角三角函数基本关系的运用．专题：矩阵和变换．分析：本题可以利用二阶行列式的计算公式直接计算，求出行列式的值，得到本题结论．解答：解：∵行列式=ad﹣bc，∴行列式=sinx•（﹣sinx）﹣cosx•cosx=﹣（sin2x+cos2x）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了二阶行列式的计算，本题难度不大，属于基础题．2．（3分）向量，若⊥，则实数k=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据非零向量垂直的充要条件及向量数量积的坐标运算即可求出k．解答：解：；∴；∴．故答案为：．点评：考查两非零向量垂直的充要条件：=0，以及数量积的坐标运算．3．（3分）与向量平行的单位向量是±（，﹣）．考点：单位向量．专题：计算题．分析：根据题意，设要求的向量为，由向量的共线的性质，可得=λ=（3λ，﹣4λ），又由为单位向量，可得（3λ）2+（﹣4λ）2=1，解可得λ的值，进而将λ的值代入（3λ，﹣4λ）中，即可得答案．解答：解：设要求的向量为，则=λ=（3λ，﹣4λ），又由为单位向量，则（3λ）2+（﹣4λ）2=1，解可得，λ=±，则=±（，﹣），故答案为±（，﹣）．点评：本题考查向量的运算，涉及单位向量的定义与向量平行的性质，注意向量的表示形式．4．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k=﹣14．考点：三阶矩阵．专题：计算题．分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．解答：解：由题意得M21=（﹣1）3=2×2+1×k=﹣10解得：k=﹣14．故答案为：﹣14．点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（3分）不等式＜0的解集为（10，100）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，利用行列式的意义可得lgx（3lgx﹣4）﹣5（lgx﹣）＜0，解此对数不等式即可求得答案．解答：解：∵＜0，∴lgx（3lgx﹣4）﹣5（lgx﹣）=3lg2x﹣9lgx+6＜0，即（lgx﹣1）（lgx﹣2）＜0，整理得：1＜lgx＜2，解得10＜x＜100．故答案为：（10，100）．点评：本题考查行列式的应用，着重考查对数不等式的解法，属于中档题．6．（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则m•n=﹣24．考点：几种特殊的矩阵变换．专题：矩阵和变换．分析：本题利用增广矩阵得到相应的三元一次方程组，通过方程组的解，求出相关参数m、n的值，得到本题结论．解答：解：∵关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，∴，∵方程组的解为，∴，∴m•n=﹣24．故答案为﹣24．点评：本题考查的是增广矩阵的应用，要求正确理解增广矩阵的意义，准确进行计算，本题难度不大，属于基础题．7．（3分）设数列{a n}的首项a1=1且前n项和为S n．已知向量，满足，则=．考点：数列的极限；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列{a n}是以首项a1=1，公比为的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求．解答：解：由题意，∵，∴，∴即数列{a n}是以首项a1=1，公比为的等比数列，∴故答案为点评：本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和．8．（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=．考点：矩阵乘法的性质．专题：选作题；矩阵和变换．分析：由题意，恒成立，可得a=d=0，b=c=1，即可得出结论．解答：解：由题意，恒成立，∴a=d=0，b=c=1，∴=．故答案为：．点评：本题考查矩阵乘法的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（3分）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．解答：解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．10．（3分）设平面向量=（﹣2，1），=（λ，﹣1），若与的夹角是钝角，则λ的范围是．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由于与的夹角是钝角，可得=﹣2λ﹣1＜0，且．解出即可．解答：解：∵与的夹角是钝角，∴=﹣2λ﹣1＜0，且．解得，且λ≠2．故答案为：点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．11．（3分）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（，﹣1），则|2﹣|的最大值是4．考点：三角函数的最值；向量的模．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算得到2﹣的表达式，再由向量模的求法表示出|2﹣|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．解答：解：∵2﹣=（2cosθ﹣，2sinθ+1），∴|2﹣|==≤4．∴|2﹣|的最大值为4．故答案为：4点评：本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．12．（3分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=4．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．解答：解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：4点评：本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．13．（3分）已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题中的向量等式，结合向量的线性运算可得：点P是线段AC的中点且Q是线段AB 的靠近B点的三等分点．由此结合正弦定理的面积公式，算出S△APQ==S△ABC=，即可得到则四边形BCPQ的面积．解答：解：∵点P满足，∴，可得点P是线段AC的中点又∵∴=2可得Q是线段AB的靠近B点的三等分点因此，△APQ的面积为S△APQ=||•||sinA=•||•||=S△ABC∵△ABC的面积为1，∴S△APQ=由此可得四边形BCPQ的面积为S=S△ABC﹣S△APQ=1﹣=故答案为：点评：本题在△ABC中给出两个向量的等式，求四边形BCPQ的面积．着重考查了平面向量的线性运算和运用正弦定理求三角形面积等知识，属于基础题．14．（3分）设n阶方阵A n=任取A n中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n﹣1阶方阵A n﹣1，任取A n﹣1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x n，记S n=x1+x2+…+x n，则S n=x1+x2+…+x n，则=1．考点：高阶矩阵；数列的极限．专题：综合题；压轴题．分析：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=n3，故可求．解答：解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，…，x n=2n2﹣1，故S n=1+（2n+3）+（4n+5）+…+（2n2﹣1）=+=n2+（n﹣1）×n2=n3，故===1，故答案为：1．点评：本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15．（4分）等边△ABC中，向量的夹角为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的含义与物理意义．专题：平面向量及应用．分析：根据两向量夹角的定义，结合图形，得出结论．解答：解：如图所示，在等边△ABC中，向量的夹角是∠A，∠A=．故选：B．点评：本题考查了平面向量夹角的概念，解题时应熟知两向量夹角的概念是什么，取值范围是什么．16．（4分）有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（）A．A C B．B AC C．A BC D．AB﹣AC考点：矩阵与向量乘法的意义．专题：计算题；矩阵和变换．分析：利用矩阵的乘法，即可得出结论．解答：解：由题意，AB=D3×3，ABC是DC=E3×3，故选：C点评：本题考查矩阵与向量乘法的意义，比较基础．17．（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：设BC的中点为D，由条件可得•2=0，故⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线，△ABC是以BC为底边的等腰三角形．解答：解：设BC的中点为D，∵，∴•（2﹣2）=0，∴•2=0，∴⊥，故△ABC的BC边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，得到△ABC的BC边上的中线也是高线，是将诶提的关键．18．（4分）记，若a i，j=icosx+jsinx，其中i，j∈{1，2，3}，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A．﹣3 B．1C．﹣1 D．0考点：三阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：首先，根据所给信息，得到第一列和第三列相同，以第二列展开容易求解．解答：解：根据题意，得∵a i，j=icosx+jsinx，∴a11=cosx+sinxa21=2cosx+sinxa31=3cosx+sinx，a13=cosx+3sinxa23=2cosx+3sinxa33=3sinx+3cosx第一列和第三列相同，以第二列展开易得：∴a13A11+a23A21+a33A31=0．∴f（x）的最小值是0，故选：D．点评：本题重点考查了行列式的基本计算，属于中档题．三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19．（8分）如图所示，，与的夹角为120°，与的夹角为30°，，且．（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据已知条件结合图形即可求出A，B，C三点的坐标；（2）求出的坐标，带入，即可得到关于m，n的方程组，解方程组即得m，n的值．解答：解：（1）如图所示，由已知条件得：A（1，0），B（），C；（2）；∴；解得．点评：考查由点的坐标求向量的坐标，向量的坐标运算．20．（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（a∈R），并对解的情况进行讨论．考点：二阶矩阵．专题：矩阵和变换．分析：本题先求出相关行列式D、D x、D y的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论．解答：解：∵关于x、y的方程组：（a∈R），∴，，，（1）当a≠±1时，D≠0，方程组有唯一解，，（2）当a=﹣1时，D=0，D x≠0，方程组无解；（3）当a=1时，D=D x=D y=0，方程组有无穷多解，．点评：本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．21．（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=﹣2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求||的取值范围．考点：平面向量数量积的运算；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数．专题：综合题；平面向量及应用．分析：（1）设出向量=（x，y），由向量与向量的夹角为及=﹣2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围．解答：解：（1）设=（x，y），则2x+2y=﹣2①又②联立解得，∴；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，∴，∵，∴．∴，∴=，∵，∴，∴．点评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了等差中项概念，解答过程中训练了三角函数的恒等变换，解答此题的关键是注意角的范围，此题是中档题．22．（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线．在OA上有点列A1，A2，A3，…，A n，…，在OB上有点列B1，B2，B3，…，B n，…已知，A1（5，0），．（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求△A n OB n面积的最大值，并说明理由．考点：数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由和A1（5，0）可求A2（4，0），由射线OB是第一象限角平分线和，利用向量模的公式可求B1（1，1）．（2）设，，得⇒{x n}成等比数列，又，得，进而得到；设，得，由，得y n+1=y n+1得{y n}是等差数列，可求得y n=1+（n﹣1）=n，进而求得；（3）由，可得，利用换元法设，当n≥2时，可知1≤n≤4时，{t n}是递增数列，n≥6时，{t n}是递减数列，即t1＜t2＜t3＜t4=t5＞t6＞t7＞…＞t n＞…进而求得．解答：解：（1），A2（4，0），（2分）设B1（x，x），x＞0，由||=，得，x=1，∴B1（1，1）．（2）设，则，{x n}成等比数列，，∴．（6分）设，由，∴{y n}是等差数列（8分）y n=1+（n﹣1）=n，∴．（9分）（3），（11分）设，当n≥2时，=，∴1≤n≤4时，{t n}是递增数列，n≥6时，{t n}是递减数列，t1＜t2＜t3＜t4=t5＞t6＞t7＞…＞t n＞…，∴．点评：本题考查点A2，B1的坐标的求法，考的坐标的求法，考查△A n OB n面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列和向量知识的综合应用．。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。