梁单元公式
abaqus第四讲：应用梁单元解析
（a）梁截面无偏置
（b）梁截面有偏置
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如图所示的工字型梁附着在一个1.2单位厚的壳上。通过定义梁的节点从I截面的底部的偏移量，梁截面的定位可以如图所示。在这种情况下，偏移 量为0.6，亦即壳厚度的一半。
壳截面厚度1.2
梁单元曲率
梁单元的曲率是基于梁的n2方向相对于梁轴的取向。如果n2方向不与 梁轴正交（即，梁轴的方向不与切向t一致），则认为梁单元有初始弯曲。 要模拟曲梁结构，可能需要使用两种方法直接定义n2方向，它允 许你更好地控制对曲率进行模拟： 一种是给出n2矢量的分量作为节点坐标的第4、第5和第6个数据 值； 另一种是使用*NORMAL选项直接地指定法线方向（添加该选项可 以通过ABAQUS/CAE中的Keywords Editor（关键词编辑器））
图 工字型梁用作壳单元的加强件
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你也可以指定形心和剪切中心的位置；这些位置也可以从梁的节点偏置， 从而使你很容易地模拟加强件。 另外也可以分别定义梁节点和壳节点，并在两个节点之间采用一个刚 性梁的约束连接梁和壳。
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二、计算公式和积分
在ABAQUS中的所有梁单元都是梁柱类单元，这意味着它们可以产 生轴向、弯曲和扭转变形。Timoshenko梁单元还考虑了横向剪切变形 的影响。
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剪切变形 ：
线性单元（B21和B31）和二次单元（B22和B32）是考虑剪切变形的 Timoshenko梁单元；因此，它们既适用于模拟剪切变形起重要作用的深梁 又适用于模拟剪切变形不太重要的细长梁。 ABAQUS假设这些梁单元的横 向剪切刚度为线弹性和常数 。 三次单元，称为Euler-Bernoulli梁单元（B23和B33），它们不能模拟 剪切变形。这些单元的横截面在变形过程中与梁的轴线保持垂直 ，因此， 应用三次梁单元模拟相对细长构件的结构更为有效。 对于静态分析，常常可用一个三次单元模拟一个结构构件，而对于动态 分析，也只采用很少数量的单元。这些单元假设剪切变形是可以忽略的。
abaqus第四讲：应用梁单元共20页文档
如图所示的工字型梁附着在一个1.2单位厚的壳上。通过定义梁的节点从I截面的底部的偏移量，梁截面的定位可以如图所示。在这种情况下，偏移 量为0.6，亦即壳厚度的一半。
壳截面厚度1.2 图 工字型梁用作壳单元的加强件
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扭转响应翘曲
结构构件经常承受扭矩，几乎所有的三维框架结构都会发生这种情况。 在一个构件中引起弯曲的载荷，可能在另一个构件中引起了扭转，如图所 示
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剪切变形 ：
线性单元（B21和B31）和二次单元（B22和B32）是考虑剪切变形的 Timoshenko梁单元；因此，它们既适用于模拟剪切变形起重要作用的深梁 又适用于模拟剪切变形不太重要的细长梁。 ABAQUS假设这些梁单元的横 向剪切刚度为线弹性和常数 。
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ABAQUS中常用的横截面形状：
当梁的轮廓与梁的截面特性相关时，可以指定或者是在分析过程中计算 截面的工程性质，或者是让ABAQUS预先计算它们（在分析开始时）。
选择前者可以应用于线性或者非线性的材料行为（例如，截面刚度因非
另一种是使用*NORMAL选项直接地指定法线方向（添加该选项可 以通过ABAQUS/CAE中的Keywords Editor（关键词编辑器））
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梁单元的几何刚度
梁单元的几何刚度全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：梁单元是有限元分析中常用的一种元素，用于模拟结构中的梁元件。
在有限元分析中，每个梁单元由两个节点、一个横截面和一系列物理性质组成，如材料的弹性模量、截面的面积和惯性矩等。
梁单元的几何刚度是评估结构在受力情况下的扭曲和弯曲变形能力的重要参数之一。
梁单元的几何刚度反映了梁元件在受力情况下的抗弯能力，具有重要的物理意义。
在实际的工程应用中，梁元件的几何刚度可以通过梁单元的有限元模拟来评估，帮助工程师更好地了解结构的受力性能，制定合理的结构设计方案。
在计算梁单元的几何刚度时，需要考虑横截面的形状、尺寸和材料的物理性质等因素。
一般来说，梁单元的几何刚度与截面的几何形状密切相关，例如矩形梁和圆形梁的几何刚度相差较大。
材料的弹性模量、截面的高度和宽度等参数也会影响梁单元的几何刚度。
第二篇示例：梁单元是有限元分析中常用的一个元素，用于模拟实际物体中的横向力和弯曲力。
在有限元分析中，主要包括四个基本力学元素：杆单元、梁单元、壳单元和体单元。
梁单元是用来模拟梁的弯曲变形、传递弯曲载荷和抗弯刚度。
梁单元的几何刚度指的是梁在其几何形状和尺寸的影响下对弯曲应变的抵抗能力，也可以理解为梁在受到外力作用时对弯曲变形的抵抗程度。
梁单元的几何刚度与梁的材料性质、截面形状和尺寸等因素密切相关。
一般来说，梁的几何刚度随着横截面积的增大而增加，随着长度的增大而减小。
这是因为较大的横截面积可以承受更大的弯曲力，而较长的长度则会导致梁在弯曲过程中发生更明显的变形，从而减小梁的抵抗能力。
在设计梁单元时，需要综合考虑这些因素，以确保梁具有足够的几何刚度来承受外部载荷。
在有限元分析中，梁单元的几何刚度通常通过弯曲刚度矩阵来描述。
弯曲刚度矩阵包括四个弯曲刚度分量，分别表示梁在x、y和z方向上的弯曲刚度以及横截面的剪切刚度。
这些弯曲刚度分量可以通过梁单元的几何形状和尺寸来计算，从而得到梁单元的整体几何刚度矩阵。
汽车结构有限元分析03单元类型及单元分析
1.一维单元分析
主要有：杆单元、梁单元、管单元等 。
1.1杆单元---最简单的两节点一维单元， 用于杆件承受轴向力分析。
设杆单元横截面积为Ａ，长度为l，轴 向分布载荷q为(x) 。单元2个节点的位移 向量为： e ui u j T
由空间弹性力学几何方程，得应变表达式：
{} [B]{ }e [[B1 ][B2 ][B20 ]]{ }e
由空间弹性力学物理方程，单元内的应力可 以表示成：
[ ] [D][ ] [D][B]{ }e [S]{ }e
单元刚度矩阵为 ：
[k]e
[B]T [D][B]dV
[k1e1
[k
e 21
这其中设定单元位移模式，利用虚功 原理建立单元节点力与节点位移关系并组建 单元刚度矩阵的过程，我们将其称为单元分 析。
为了使有限元法的解在单元尺寸逐步趋 小时能够收敛于精确解，所构造的单元位移 函数必须满足以下三方面的条件：
1）位移模式中必须包括反映刚体位移的项；
2）位移模式中必须包括反映常应变的线性位 移项；
这样空间梁单元就由3个节点组成i,，j,k 点必
须在一个平面内，但不能共线。i节点到j节
点为单元坐标系的x轴，y轴(或z轴)在节点i、
j和k构成的平面上且与x轴垂直，应用右手定
则可以确定另一坐标iz, 轴j, k(或y轴)。
三点
确定后，单元坐标系即确定，梁单元的截面
方位也就完全确定下来。所增加的一个用于
] ]
[k1e2 ]
[k
e 22
]
[k1e20
[k
第5章 杆单元和梁单元
1 u2 E (2) A(2) (2) 2 u3 l
1 1 u2 1 1 1 u 2 R2 3
u1 在这里，把表达成整体位移矢量 u 2 的函数，如下： u 3
5.1 杆件系统的有限元分析方法
(1) (1) (1)
F3 10N
，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：
0 u1 4 u2 2.5 10 m u 7.5 10 4 m 3
(2) ( x) 5 103 (1) 0.05MPa (2) = 0.1MPa
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
E (2) A(2) (2) u2 1 u2 l 0 F3 (2) (2) E A u3 2 u3 l (2)
5.1.1 一维杆单元
u2 由最小势能原理，势能函数对未知位移 求变分，满足 u3 的条件是 ，得如下方程式 0, 0
P 1 , u1
E e , Ae , l e
1
图 5-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关 系式 u P 1 e 1 (5.1) k
P2
u2
其中， k e 称为单元刚度矩阵
5.1.1 一维杆单元
第十七章LS-DYNA的隐式求解.
第十七章 LS-DYNA 的隐式求解LS-DYNA作为著名的显式求解程序只能求解瞬态动力问题，对于时间历程较长的静、动力问题， LS-DYNA的显式中心差分法有它的局限性，而一些与瞬态动力分析紧密相关的问题要求LS-DYNA也能够求解，如：冲压成型后的回弹计算应力初始化冲击后常时间低频动力响应静力分析特征值分析实际上从950版本开始，LS-DYNA已增加了隐式求解功能。
刚开始的应用主要在冲压成型后的回弹计算，经过960版到970版的发展，LS-DYNA的隐式求解功能已大增强，已经能满足以上的求解需要。
17.1显式与隐式的区别：17.1.1 LS-DYNA显式求解：采用中心差分方法进行显式时间积分Man fn方程非耦合，可以直接求解(显式)但需要常小的时间步保持稳定状态不需要求解刚度矩阵 ext fnint适合冲击、穿透等高频非线性动力响应问题17.1.2 LS-DYNA隐式求解：采用Newmark隐式时间积分M an K un1 f对于线性问题，无条件稳定可以采用大的时间步 extn1fintn Man对于非线性问题，需要一系列线性逼近（Newton-Raphson）叠代求解需要求解刚度矩阵适合静力问题、低频动力问题及特征值分析。
17.2 LS-DYNA中隐式分析的激活及相关关键字在LS-DYNA中，缺省的求解是显式求解，可以通过下面的关键字来激活隐式求解：*CONTROL_IMPLICIT_GENERAL*CONTROL_IMPLICIT_GENERAL$ imflag dt0 iefs nstepsb igso1 0.01 0 0 0其中参数imflag=1激活全隐式求解imflag=0为缺省的显式求解。
imflag=2为显式求解后无缝进行隐式回弹求解。
该关键字对于所有隐式求解分析来说都是必需的。
与隐式求解相关的其它关键字：*CONTROL_IMPLICIT_LINEAR(v960版本改为*CONTROL_IMPLICIT_SOLVER)*CONTROL_IMPLICIT_NONLINEAR(在v960版后改为*CONTROL_IMPLICIT_SOLUTION)*CONTROL_IMPLICIT_AUTO*CONTROL_IMPLICIT_STABILIZATION*CONTROL_IMPLICIT_DYNAMICS*CONTROL_IMPLICIT_EIGENVALUE*CONTROL_IMPLICIT_BUCKLE（v970）*CONTROL_IMPLICIT_MODES（v970）使用*CONTROL_IMPLICIT_GENERAL激活隐式求解后，还需要与上面的相关关键字进行联合，从而对不同的问题设置不同的关键字进行求解。
梁单元分布弯矩
梁单元分布弯矩介绍梁单元分布弯矩是结构力学和有限元分析中一个重要的概念。
在建筑和工程领域中，梁承受着各种静力和动力荷载，弯矩是描述梁在受力过程中产生弯曲变形的一种指标。
梁单元分布弯矩的计算和分析对于结构的设计、安全评估和优化具有重要意义。
梁单元的基本概念梁单元是有限元分析中的一种元素，用于建模和分析实际梁结构。
梁单元通常由两个节点和一个连接节点的单元组成。
梁单元的长度可以根据实际情况进行调整，以满足模型的需求。
梁单元通常具有两个自由度，即横向位移和转角，可以通过梁单元力反力关系来求解。
梁单元分布弯矩的定义梁单元分布弯矩是指在梁单元的每一个点上，所受到的弯矩大小和方向。
梁单元分布弯矩可以根据材料力学和结构力学的基本原理进行计算。
在有限元分析中，往往通过施加不同类型的荷载来计算梁单元分布弯矩，例如均布荷载、集中荷载和扭转荷载等。
梁单元分布弯矩的计算方法梁单元分布弯矩的计算方法主要有两种：解析解和数值解。
解析解解析解是指通过数学公式和理论推导得到的精确解。
对于简单的梁结构，可以通过解析解的方法来计算梁单元分布弯矩。
解析解的优点是精确度高，可以直接得到梁单元各个点的分布弯矩值。
但是，解析解的适用范围有限，对于复杂结构和非线性问题，解析解往往难以得到。
数值解数值解是通过有限元分析等数值方法计算得到的近似解。
在数值解的计算中，梁结构被离散为许多小单元，然后通过数值方法进行求解。
数值解的优点是适用范围广，可以处理各种形状和边界条件的梁结构。
在计算梁单元分布弯矩时，数值解可以通过迭代计算每个节点上的弯矩值，得到整个梁单元的分布弯矩图。
梁单元分布弯矩的影响因素梁单元的分布弯矩受到多种因素的影响，主要包括以下几点：荷载类型和大小梁单元的分布弯矩与荷载类型和大小密切相关。
不同类型的荷载会对梁单元产生不同的弯矩分布。
例如，在均布荷载下，梁单元的弯矩分布呈现抛物线形状；而在集中荷载下，梁单元的弯矩分布呈现尖峰状。
梁单元的几何形状和长度梁单元的几何形状和长度对分布弯矩具有重要影响。
梁的有限元分析原理 - 考虑剪切变形影响的梁单元
代人
比较：弯曲梁 单元中的单刚
得到：
等截面梁单元有限元分析
8
长沙理工大学
小结
剪切变形的影响通过系数b反映在刚度矩阵中，使刚度减弱。 对矩形截面：
，当l >>h，b趋于0，可以忽略剪力变形的影响。
等截面梁单元有限元分析
9
长沙理工大学
Timoshenko梁单元
铁木辛柯梁单元——采用两个独立变量 挠度 w
几何关系，曲率
对比
等截面梁单元有限元分析
3
最小势能原理
长沙理工大学
k为截面剪切校正因子
1.经典梁单元 2.铁木辛柯梁单元
——C1型单元 ——C0型单元
等截面梁单元有限元分析
4
长沙理工大学
在经典梁单元基础上引入剪切变形的影响. 挠度叠加
结点位移
其中
采用不考虑剪切变形梁单元的w相同的Hermite插值； 采用2结点的Lagrange插值，即线性插值。
解决方法
假设剪切应变
代替插值函数
计算泛函的剪切应变能时，θ采用低一 阶，和dw/dx同阶插值函数代替原插值 函数
18
等截面梁单元有限元分析
长沙理工大学
等截面梁单元有限元分析
——考虑剪切变形的梁单元
2014.4.13
1
长沙理工大学
介绍.
轴力构件 axial elements 杆单元
受弯构件 flexural elements 梁单元
考虑剪切变形的梁单元
等截面梁单元有限元分析
2
长沙理工大学 假设：梁内的横向剪切力Q所产生的剪切变形将引起梁的附加挠度， 并使原来垂直于中面的截面变形后不再和中面垂直，而且发生翘曲。 考虑剪切变形的梁单元 但在这里，假设原来垂直于中面的截面变形后仍保持为平面。 几何描述
有限元分析梁单元内力计算
1.385 0 3.462 1.385 0 3.462 0 0 0
0 252 0 0 252 0 0 0 0
3.462 0 11.541 3.462 0 5.711 0 0 0
K
103
1.385 0
0 252
3.462 0
253.385 0 0 253.385
3.462 3.462
py3 m3
px3
6.25
5.208
py3 m3
6. 引入约束条件, 构成总体方程
2 px1 p y1
2.5 m1 3
4.25
1.385
0
3.462
103
1.385 0
0 252 0 0 252
3.462 0
11.541 3.462
0
1.385 0
0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
[
K112
]
[
K
2 23
]
103
0 252
3.462 0
11.542 0
0 252
3.462 0
5.771 0
0 1.385 3.462 0 1.385 3.462
0 3.462 5.771 0 3.462 11.542
3. 单元刚度矩阵的座标变换
求：每根梁的内力。
P2 1kN P1 4kN
2.5m
解：
1.建座标系，对梁单元各节点编号 如图所示。
2.5m
2单元，三节点系统(即自然划分。也可以在集中 力作用处设一节点)。由于每一节点有3个自由度 ，故系统有9个自由度。总刚度矩阵[K]为9×9阶
y 2
5m
②3
在Abaqus中使用梁单元进行计算
在Abaqus中使用梁单元进行计算在Abaqus中使用梁单元进行计算(2012-03-26 11:28:00)转载▼标签：分类：ABAQUSabaqus梁杂谈xiaozity 助理工程师:在练习老庄的Crane例题时，欲提取梁元的截面应力。
反复折腾后，小小体会，总结如下：（1）书中讲到：“线性梁元B21、B31及二次梁元B22、B32是考虑剪切变形的Timoshenko 梁单元；而三次梁元B23、B33不能模拟剪切变形，属Euler梁单元”。
（2）众所周知，当要考虑剪切变形时，例如深梁，采用Timoshenko梁单元比较合适。
三次梁元由于可模拟轴线方向的三阶变量，因而对static问题，一个构件常常用一个三次单元就足够，特别对于分布载荷的梁，三次梁元的精度相当高。
（3）Abaqus 会默认在积分点处的若干截面点输入应力值；但用户可自定义应力输出的截面点位置，这通过property-section-manage-edit-output points 来定义输出应力值的截面点；（4）特别要指出的是，无论B22还是B33还是其它梁元，其输出的应力分量只有S11，如图所示；那么，现在的问题是：1：S11代表什么应力，根据经验，大家会认为11是1方向的正应力或主应力等等2：为什么没有S22、S33、S12......下面分别说明：1：S11表达的是梁元的弯曲应力，即局部坐标系下截面上的正应力2：只输出S11，而无其它应力，这是因为梁元之所以成为梁元，有一基本前提就是用梁元来模拟的构件，其正应力是最主要的，而剪应力是可忽略的；一个基本的佐证就是：众所周知，在建立梁的总势能方程时，总是讲剪切应变能是小量，因而它总是被忽略掉的；忽略剪应力的一个结果是：mises应力将与S11在数值上完全相同，不仅Abaqus如此，Ansys 也是如此，这也难怪有人讲：“Timoshenko梁单元是骗人的，它根本没有考虑剪应力”；对这件事情，我想作如下评价：（A）不仅Timoshenko梁单元，其它梁元（不考虑剪切变形）确实在应力的层面没有考虑剪应力的影响，这可从mises应力与S11的比较看出来；而为什么这样处理，理由如上所述，剪应力是高阶量，可忽略，否则就认为不能用梁元来模拟。
第5章 杆、梁结构有限元分析
Q1l 2 M 1l 转角： i 0 2EI EI 6EI M i 2 a21 l M j Qi l M i a41
即求得了单元刚度矩阵[Ｋ]中第一列的四个元素：（分别等于上述四个结点力）
12EI a11 3 l
6EI a21 2 l
12EI a31 3 l
5.2 平面梁单元
5.2.4 铰结点的处理
在杆件系统中会遇到一些杆件通过铰结点和其它杆件相联结。 如图的框架结构，4根杆件汇交于结点4，杆件②与结点4铰接，其它杆则为 在这种结点(结点4)上应该注意到: 刚接。 (1) 结点4上各杆具有相同的线位移， 但截面转动不相同。
刚接于结点上的各杆具有相同的截面转动， 而与之铰接的杆件却具有另外的截面转动。 例如在图示结构中，在受载后，在结点4，杆 件③，④，⑥将具有相同的截面转动，而杆 件②则具有与其它杆件不同的截面转动。
(2) 结点上具有铰接的杆端不承受弯矩，因此在结点上只有刚接的各 杆杆端弯矩参与结点的力矩平衡。
杆件②在铰接端的杆端弯矩为零，只有杆件③，④，⑥在结点4上与外弯矩保 持平衡。
单元②的铰接端，只有位移自由度参加总体集成，而转动自由度是不参加集 成的。 对于单元②来说，此自由度属于内部自由度性质，为算法的方便起见，在总 体集成前，应在单元层次上将此自由度凝聚掉。具体方法 (参见王勖成的有 限单元法基本原理)，略。 对于一端为铰接的单元：
e e {a } [T ]{a}
同理：
e e {P } [T]{P}
e
K
[T ] K [T ]
T e
5.1 平面杆单元
5.1.4 任意取向的平面杆单元
{a}e [T ]{a}e {P}e [T]{P}e
梁的有限元分析原理
j
·
x
i·
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
z
27
福州大学研究生课程－有限元程序设计
平面桁架杆单元（2D LINK1）
空间杆单元（3D
LINK8）
平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
28
福州大学研究生课程－有限元程序设计
举例说明
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
18
福州大学研究生课程－有限元程序设计
这种高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确 积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。 实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较 完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的 最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多 项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不 能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较 低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多 项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多 项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函 数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善 19 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam 了单元的精度。
福州大学研究生课程－有限元程序设计
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
谷 音 福州大学土木工程学院
2012
1
福州大学研究生课程－有限元程序设计
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁 轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
梁单元
e
上述按分块形式表示的单元节点力与节点位移之间的关系在结 构的整体分析时更简洁。
3.1.3、离散结构的整体分析
•设已知分块形式的各单元特性：
p2 k 22 p3 k 32 k 33 p3 p4 k 43
可见，某列刚度系数就是相应节点位移分量为1，其他位移分 量皆为0时的所有节点力分量——单元刚度矩阵元素的物理意义
现根据刚度矩阵的物理意义确定刚度系数：
1 0 0 0
则梁单元变形如右图：
设
e
s 1 a 11 s 2 a 21 s 3 a 31 s a 4 41
3
2
k 23 2 k 33 3 k 34 3 k 44 4
3
2
2
3
• 离散结构的各节点作为隔离体，分析其受力平衡。 单元节点力 外载荷
单元节点力 的反作用力
单元节点力
以节点2为例，分析其受力与平衡。 节点2的受力分为两类：
2
6l 2 2l 6l 2 4l
显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵 具有如下性质： 1）对称性；
2）奇异性；
3）主对角元素恒正。 刚度矩阵求得后，单元特性就完全确定。
p
e
k
e
e
（3）单元刚度方程的分块
采用矩阵分块方法和运算规则，对梁单元的刚度方程 按节点进行分块。 单元节点位移列阵分块 单元节点力列阵分块
3
目
梁单元
标：掌握用梁单元进行结构有限元分析的原理。
梁板理论伸长量计算公式
梁板理论伸长量计算公式梁板理论是一种用于计算梁的伸长量的理论。
在梁板理论中，梁被视为一个薄的、长的平面结构，其厚度相对较小，可以忽略。
梁板理论可以应用于各种工程结构的计算中，如桥梁、楼房等。
在计算梁的伸长量时，我们可以使用以下公式：ΔL=ε×L其中，ΔL是梁的伸长量，ε是单位应力下的应变，L是梁的长度。
梁的伸长量是由外加的拉伸力引起的，梁在受力中会发生弹性变形。
弹性变形是指物体在受到外力后，在力撤离后能够恢复到原来形状的变形。
在弹性变形中，应变与应力之间的关系可以通过应力-应变曲线来描述。
在应力-应变曲线中，弹性阶段的线性部分被称为弹性模量E。
弹性模量是描述物体材料刚度的物理量。
在梁板理论中，我们假设材料的应力与应变之间的关系是线性的，即可以使用Hooke定律来描述。
根据Hooke定律，应变与应力之间的关系可以表示为：ε=σ/E其中，ε是应变，σ是应力，E是弹性模量。
根据梁板理论，我们可以将梁看作是一维杆件，其伸长量可以用上述公式来描述。
根据梁板理论，我们还可以计算出梁的挠度以及剪切力等其他参数。
在实际工程中，梁板理论通常只适用于低应力、小变形的情况。
对于高应力、大变形的情况，梁板理论可能不再适用。
在这种情况下，需要使用更加复杂的理论和方法来计算梁的伸长量。
总结起来，梁板理论是一种简化的理论，用于计算梁的伸长量。
根据该理论，梁的伸长量可以通过单位应力下的应变乘以梁的长度来计算。
梁板理论在工程实践中被广泛应用，但在一些情况下可能会存在局限性。
因此，在实际工程设计中，需要根据具体情况选择合适的理论和方法来计算梁的伸长量。
求梁单元的刚度矩阵
u 1
x l
0 0
x l
v 0
1
3x 2 2l
0
3x 2 2 x 3 3 l2 l
dx 代入 0 2 d v b y dx 2
0 0 0 0 1 0 0 0 1 l 0 0 0 1 l 0 0 1
0
0 a0 0 0 a1 b0 0 0 0 0 b 1 l 2 l 3 b2 2l 3l 2 b3 0
1
0 0 0 0 1 0 0 0 1 l 0 0 0 1 l 0 0 1
以得到单元刚度矩阵
EA 0 l 12 EI 0 l3 6 EI 0 l2 e K EA 0 l 12 EI 3 0 l 6 EI 0 l2
A
0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l
e 于是，单元刚度矩阵 K V B D B d (vol ) T
1 l2 0 0 T B D B E 1 l2 0 0
0 36 y 2 4 x 2 4 x 1 l l4 l2 12 y 2 6 x 2 7 x 2 2 3 l l l 0
A
解：求解应变向量和应力向量： 由第 1 题的结果有：
ui v i i 0 0 u j v j j ui v i i x 2 x3 2 l l u j v j j
取 xi 0, x j l ，有，
第三讲 梁单元
1 11 1 21
k 1 2 k 22 + k 22 2 k32 0
1 12
0 2 k 23 2 3 k33 + k33
3 k 43
0 δ 1 Q1 0 δ 2 Q2 = 3 k34 δ 3 Q3 3 k 44 δ 4 Q4
注意： 1) 如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴正方向 一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！ 2) 节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。
• 单元特性研究 结构中的一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力 平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关 系就是单元的弹性特性（刚度特性）。 下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵物理意义建立梁单元特性。 在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节 点位移之间有线性关系：
再由梁单元的静力平衡条件得：
转角：
联立解出：
12EJ = a11 3 l 6EJ s2 = 2 = a21 l s1 =
12EJ = a31 3 l 6EJ s4 = s1l − s2 = 2 = a41 l s3 = −s1 = −
至此已求出刚度矩阵的第一列元素。
0 1 e 再设：δ } = { 0 0
{δi } 称为节点i的节点位移。
• 对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力 Zi 和 弯矩 M ，称为广义力。
i
结构上一个节点的载荷用列阵表示为：
Zi {Qi } = = [Z i M i
Mi ]
T
{Qi } 称为节点i的节点载荷。
• 梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。
第二章 有限元法的直接刚度法-1梁单元
2l
2
l 3 12 6l 12 6l
6l
2l 2
6l
4l
2
2.1直梁的有限元分析
从式（2-22）可以看出，单元刚度矩阵 K e是一个对称矩阵，
即 aij a ji 。
将单元刚度矩阵K e的公式，即式（2-22），应用于三个实际的梁
单元，如图2.5所示，得到每个单元的节点力和节点位移的关系分别
。 见式（2-23）、（2-24）和（2-25）
图2.5 三个单元的受力图
2.1直梁的有限元分析
q11
12 6l 12 6l f1
mq2111
m21
2EI l3
6l
12
6l
4l 2 6l 2l 2
6l 12 6l
2l 2 6l 4l 2
f122
mqq322222 m32
知识点： 直梁和平面刚架的直接刚度法
重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度 单元的坐标变换
难点：直接刚度法的计算过程与物理意义
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
f ii
f
' i
f
" i
1
' i
" i
0
（2-13）
其中，f i'
移， fi 、
i、 为图i' 为2.3图（2b.3）（所b）示所m示i单独qi作单用独所作产用生所的产位生移的。位
图2.3 (b) 节点i的节点力
2.1直梁的有限元分析
教材有误