高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2

《高等数学》2 期末复习题

一、填空题：

1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦

X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y

, 则

∂z =

∂y

(1+ x ) y

ln(1+ x ) .

3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1

dx + 2 dy

(1,2)

3 3

4．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =

.

设 f (x + y , y

) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .

x

5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =

∂y

e xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]

6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，

2 + ）的方向

导数是

1+ 2

2

2 y 1

7. 改换积分次序

⎰0

dy ⎰

y 2

f (x , y )dx =

； ⎰0 dy ⎰

y -1

f (x , y )dx = .

8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰

xydx =

L

9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为

.

二、选择题： 1.

lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )

y 等于 （

）（上下求导）

A ．2，

B. 1

2

C.0

D.不存在

2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）

A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }

B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }

3 x - y

2

3.

∂f (x , y ) | ∂x

( x

0 ,

y 0 ) = （ B ）

A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )

∆x

B. lim

∆x →0

f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )

∆x

C. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )

∆x

D. lim

∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x

5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则

∂z + ∂z

= （D ）

∂x ∂y

A. 2x + 2 y ；

B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；

C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；

D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .

6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）

4

A ． (1,1, 2)

B. (-1,1, 2)

C. (1,1, 2m )

D. (-1,1, 2m )

7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)

（ A ）

A ．是驻点但不是极值点

B.不是驻点

C.是极大值点

D.是极小值点

8．设 I= ⎰⎰

5

D

x 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零

C.I 等于零

D.I 不等于零，但符号不能确定。

9. 已知 L 是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分

，则 a 等于 （

）.

A -1

B 1

C 2

D -2

⎰

L

xdx - aydy = 0

x 2 + y 2

10. 若 L 为连接(1,0) 及(0,1) 两点的直线段，则曲线积分⎰L (x + y )ds =（

）

A ．0

B.1

C. D.2

11.设 D 为 x 2 + y 2 ≤ 2 y , 则⎰⎰ f (x 2 + y 2 )dxdy = （

）

D

1

⎰ ⎰

⎩

2

A. ⎰0

dy ⎰0 f (x 2 + y 2

)dx ； B. 0 d ⎰0

f (r 2 ) rdr ；

2 sin

C. d

f (r 2

) rdr ；

D. ⎰ dx ⎰ f (x 2 + y 2 )dy .

12. 微分方程e x ( y ' + y ) = 1 的通解为（

）

A. ye x = c ；

B. ye -x = x + c ；

C. y = (x + c )e -x ；

D. y = cxe -x

13.（ ）是微分方程 y ' + y ' = e -x 在初始条件 y x =0 = 1, y ' x =0 = -1下的特解.

A. y = c - c xe -x ；

B. y = -xe -x ；

C. y = 1- 2xe -x ；

D. y = 1- xe -x .

1

2

三、计算题：

1. 设 z = f (e x sin y , x 3 + y 3 ) ，求

∂z

及∂z

，其中 f 具有一阶连续偏导数. ∂x ∂y

⎧x + y = u + v 2. 设⎨x sin v = y sin u ， 求 ∂u ， ∂v ∂x ∂x

3. 求旋转抛物面

z = x 2 + y 2 -1 在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程。

4．求函数 f (x , y ) = x 3 - y 3 + 3x 2 + 3y 2 - 9x 的极值

2 y - y 2

2 ⎰

1

2

-1 0