弹塑性力学线弹性力学问题的基本解法和一般性原理

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§5-2 位移法
位移法求解思想： 选取 ui 为基本未知函数，而 ij 和 ij 均看成是由ui导出的未知函数，这样15 个方程中某些方程成为的ui ij ij 关系式。
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§5-2 位移法
位移法基本步骤：
基本未 几何方程 知 函数ui 应 变 kl 用 ui 物理方程 应 力 kl 用 ui 表示 表示
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yz
xy
y yz zx xy ( )2 y x y z zx
2
2 zx z yz xy ( )2 z x y z yx
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.3 本构（物理）方程（六个）
X l x m yx n zx n1 11 n2 21 n3 31
Y l xy m y n zy n1 12 n2 22 n3 32
ຫໍສະໝຸດ Baidu
Z l xz m yz n z n1 13 n2 23 n3 33
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2.2 位移边界条件
ui ui
u u
在 Su 上
vv
ww
由三个基本规律导出的应力、应变和位移 满足的基本方程加上相应的边界条件建立了线 弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上 看是求偏微分方程组的边值问题。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
u v y x
xy
yz
v w z y
zx
w u x z
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程 指标符号表示
2
ij,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik 0
2
x 2 2 xy y x
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1.2 几何方程（六个） 或变形协调方程（六个） 几何方程表示了位移与应变之关系，当由 位移场确定应变场时仅利用几何方程就够了， 但反之，应变场还需补充变性协调条件。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
1 ( u u ) ij i , j j , i 指标符号表示 2 u v w x y z x y z
1.3 本构（物理）方程（六个） 指标符号表示
(1 ) ij ij ij kk E E
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的 方程，同时在 S 上（边界上）有边界力或边界 位移。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2边界条件
1.2.1力的边界条件 Fi X i n j ji 在S 上
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变 形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内
力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，
从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）
所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
2
y
xy
2
2
y
2
z yz 2 2 zy z y
2 2
x z zx 2 2 xz z x
2
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
zx x ( )2 x x y z yz
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§5-2 位移法
为了有效地求解，从 15 个量中选取一部分 作为基本待求未知函数，而其它待求函数看成 由基本待求函数导出的未知函数，这样使得求 解方程减少，且主攻方向明确（求基本未知 量），基本未知函数选取不同，导出的求解步 骤和方程名称不同，如：位移法、应力法和混 合法。
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1.1.1 平衡微分方程（3个） 指标符号表示 ji,j+fi=0 体力与应力之关系： 11 21 31 f1 01 x x x 1 2 3 12 22 32 f2 0 x2 x3 x1 13 23 33 f 0 3 x x2 x3 1
ij G(ui, j u j ,i ) ijuk , k
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§5-2 位移法 ij G(ui, j u j ,i ) ijuk , k
w ij ij Eijkl kl 线性关系 各向同性 ij
指标符号表示
ij 2G ij ij kk
E ( ij ij kk ) (1 ) 1
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题；
当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
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§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、 ij 、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界 条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由 物理量所满足的方程组中显示出来）。
kl 用ui 表示
用 ui 表示的平衡 微分方程 用ui表示的力的边界条 件（在S上）
位移边界条件（在Su上）
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§5-2 位移法
位移法的基本方程（3个） 推导（用指标符号 表示） 应变用位移表示
1 ij (ui , j u j ,i ) 2
线性各向同性材料的应力用位移表示：