弹塑性力学线弹性力学问题的基本解法和一般性原理
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弹塑性力学讲义 第十章弹性力学的能量原理
V
V S
取
V
=0 ， 得
(k ) ij
或
ij dV V f i u i dV S X i u i dS ——虚位移方程
V ( ij , j f i )u i dV S
(k )
(k ) ( X i n j ij )dS 0
ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而 =0，表明由 ui(k)
V V
V
(1) ( 2 ) ij ij
(1) ( 2 ) ( 2 ) (1) ( 2 ) (1) dV Eijkl kl ij dV E klij kl ij dV ij ij dV V
W12=W21
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做 的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上 所做的功。
1 ( k1 ) ( k 2 ) 1 ( k1 ) ( k 2 ) ij u i , j ji u j ,i 2 2
( k1 ) ( k 2 ) ( k1 ) ( k 2 ) ij u dV ,j i ij ij dV V V
代入虚功方程左端，得
( k1 ) ( k2 ) ( k1 ) ( k2 ) We f i ui( k2 ) dV ij dV ij ij dV , j ui V V V
导出ij 满足静力方程， 所以由=0 即为真解应满足的控制方程。
(k)
最小势能原理的表述： 在位移满足几何方程和位移边界条件的前 提下， 如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条 件，则该位移必使势能
为驻值（极值） 。如可能位移使 的变分
V S
取
V
=0 ， 得
(k ) ij
或
ij dV V f i u i dV S X i u i dS ——虚位移方程
V ( ij , j f i )u i dV S
(k )
(k ) ( X i n j ij )dS 0
ui(k)为可能位移，同时满足本构方程。而 =0，表明由 ui(k)
V V
V
(1) ( 2 ) ij ij
(1) ( 2 ) ( 2 ) (1) ( 2 ) (1) dV Eijkl kl ij dV E klij kl ij dV ij ij dV V
W12=W21
第一种状态的外力在第二种状态的相应弹性位移上所做 的功等于第二种状态外力在第一种状态的相应弹性位移上 所做的功。
1 ( k1 ) ( k 2 ) 1 ( k1 ) ( k 2 ) ij u i , j ji u j ,i 2 2
( k1 ) ( k 2 ) ( k1 ) ( k 2 ) ij u dV ,j i ij ij dV V V
代入虚功方程左端，得
( k1 ) ( k2 ) ( k1 ) ( k2 ) We f i ui( k2 ) dV ij dV ij ij dV , j ui V V V
导出ij 满足静力方程， 所以由=0 即为真解应满足的控制方程。
(k)
最小势能原理的表述： 在位移满足几何方程和位移边界条件的前 提下， 如果由位移导出的相应应力还满足平衡微分方程和力的边界条 件，则该位移必使势能
为驻值（极值） 。如可能位移使 的变分
弹塑性力学 第05章弹性力学问题的建立和一般原理
假设其余应力分量全为零，并且由图中的几何关系，于是 可得下列一组应力分量
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij
应力分量
M O
τ xz = −αGy ，τ yz = αGx σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
代入平衡微分方程
τ zy
ϕ
τ
x
τ zx
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + Fbx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + Fby = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + Fbz = 0 ∂x ∂y ∂z
假设弹性体受已知体力作用，在物体的边界上，或者面 力已知，或者位移已知，或者一部分上面力已知，而另一部 分上位移已知，则弹性体平衡时，体内各点的应力分量与应 变分量是唯一的，对于后两种情形，位移也是唯一的。
这一定理以这样一个假设为依据：当物体不受外力作用 时，体内的应变能为零，应力分量和应变分量也全为零。当
∫∫τ
∫∫τ
zx
dxdy = 0
dxdy = 0
M O
τ zy
ϕ
τ
x
zy
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
将应力分量代入
τ zx
τ yz = αGx
y
τ xz = −αGy
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
∫∫τ zx dxdy = 0
∫∫τ
zy
τ xz = −αGy
1 ε ij = (1 +ν )σ ij −νσ kk δ ij E
或
[
]
σ ij = λε kk δ ij + 2Gε ij
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
#43; v ε ij = σ ij − δ ijσ kk E E
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件 ：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本 方程与边界条件有所不同。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学边界条件
应力边界条件 ：
p x = σ x nx + τ yx n y + τ zx nz ⎫ ⎪ p y = τ xy nx + σ y n y + τ zy nz ⎬ ⎪ pz = τ xz nx + τ yz n y + σ z nz ⎭
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡 方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。
6.3 塑性力学基本方程与求解方法
6.3.1 基本方程
塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本 方程与边界条件有所不同。
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
增量理论对应的解法：
根据增量理论的平衡方程、几何方 σ ij = σ ij + dσ ij ⎫ t +Δt t ⎪ 程、本构方程、屈服条件、边界条件， ⎪ 求出 t + Δ t时刻的应力增量、应变增量、 ε ij t +Δt = ε ij t + d ε ij ⎬ ⎪ 位移增量，从而获得此时的应力、应变 ui t +Δt = ui t + dui ⎪ ⎭ 和位移场。
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
(1)位移法：即以位移分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用位移分量 来表示。通常给定位移边界条件的边值问题，宜用此法。 (2)应力法：即以应力分量作为基本未知量，来求解边值 问题。此时将一切未知量和基本方程都转换成用应力分量 来表示。通常当给定应力边界条件时，宜用此法。 (3)混合法：即以一部分位移分量和一部分应力分量作为 基本未知量，来混合求解边值问题。显然，这种方法适宜 于求解混合边值问题。
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
既能找出变形体中各点的应力分量，也能找出相 对的位移增量分量。
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
弹塑性力学___第四章_弹性力学的求解方法
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
叠加原理成立的条件：小变形条件（平衡、几何方程才 为线性的），弹性本构方程（虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为：
上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 连续函数（保持连续）的条件。 为单值
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数 则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对比，也可将本构方程表示为
（2）在弹塑性变形阶段，屈服函数
1. 平衡（或运动方程）
若等式右式不等零，即表示物体内质点处于运动状态， 则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号 内的惯性力项。 方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力 状态之间在平衡（或运动）时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
（1）几何方程
此式表明在小变形条件下，物体内一点附近的变形情况和该点的 应变状态之间的关系。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：平衡方 程 ；几何方程 ；本构方程
弹塑性力学弹性力学的求解方法模板
部分应力分量作为基本未知量混合求解。
位移法、应力法、混合法统称为直接求解法。
由于这些方法在数学上的困难和复杂性，人们又研究了 各种解题方法：（1）逆解法（2）半逆解法（或凑合解 法）（3）迭代法
? 求解物理量： 6个应力分量 6 个应变分量 3 个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个
叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作 用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的 弹性力学问题的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加 方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为： 上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 为单值 连续函数（保持连续）的条件。
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数
则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：?平衡方 程 ；?几何方程 ；?本构方程
叠加原理成立的条件 ：小变形条件 （平衡、几何方程才 为线性的）， 弹性本构方程 （虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
位移法、应力法、混合法统称为直接求解法。
由于这些方法在数学上的困难和复杂性，人们又研究了 各种解题方法：（1）逆解法（2）半逆解法（或凑合解 法）（3）迭代法
? 求解物理量： 6个应力分量 6 个应变分量 3 个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个
叠加原理 实际结构件往往同时受到几组载荷作用，如果直接求所有载荷作 用下的弹性力学问题的解，可能很复杂。而求单一载荷作用下的 弹性力学问题的解，一般更简单。
通过求不同单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再用叠加 方法获得复杂载荷的解的过程称为 解的叠加原理。
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为： 上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 为单值 连续函数（保持连续）的条件。
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数
则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：?平衡方 程 ；?几何方程 ；?本构方程
叠加原理成立的条件 ：小变形条件 （平衡、几何方程才 为线性的）， 弹性本构方程 （虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并 验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问 题离散化，通过求解差分方程得到近 似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个 网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合 适的差分格式，如向前差分、向后差 分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换 为电阻变化，通过测量电路获取应变信 息。该方法具有测量精度高、稳定性好 、适用于各种环境和试件形状的优点， 但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且 只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变 转换为电容变化，通过测量电路获取相关 信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏 度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且 需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理 根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得 到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组
弹性与塑性力学基础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法
➢ 滑移线的基本概念
作用于最大剪应力面上的正应力13恰等于平均应力m或中间主应
力2 ，即
1 3 m 2 1 2 (13 ) 1 2 (xy)
任一点应力状态可用静水压(平均
应力)与最大剪切力K相叠加来表
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弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-3 滑移线场概念及其在平冲头镦粗半无限体中的应用
6.3.1 滑移线的定义与滑移线法 ➢ 滑移线的基本概念 塑性变形体（或变形区）内任一点的应力状态如图所示
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弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
压力容器、管道、挤压凹模等) 2020/10/16轴对称平面问题
应力分析：
rz、θr为零 θ 、 r为主应力，仅随 r 变化； 平衡微分方程：
dr r 0 (6-1)
dr r
弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
§6-1 平衡微分方程和屈服准则联立求解及其应用
6.1.2 受内压塑性圆筒及受内拉的塑性圆环应力计算
弹性与塑性力学基础
第六章
塑性力学解题方法及应用举例
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弹性与塑性
力 学 基 础 第六章 塑性力学解题方法及应用举例
1、塑性力学问题求解现状
(1) 在塑性状态物体内应力的大小与分布求解比较弹性状态困难； (2) 非线性塑性应力应变关系方程； (3) 联解平衡方程和屈服准则，补充必要的物理方程和几何方程，在
代入式(6-12)得
z =s
清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法
弹塑性力学第四章 弹性力学的基本方程与解法一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起的小变形问题，若以, ,u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程()1,,2ij i j j i u u ε=+ ()12∇+∇u u ε= (1a)广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε(1b)平衡方程 ,0ij j i f σ+= ∇⋅+=f 0σ V∀∈x (1c)以上方程均要求在域内各点均满足。
边界条件 u u i i = ∀∈x S ui (2a)n t j ji i σ= ∀∈x S ti(2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。
当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。
对于边界条件的提法就有严格的要求。
即要求：S S S S S ui ti ui ti U I ==∅(2c)对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a)()11ij ij kk ij E ενσνσδ⎡⎤=+−⎣⎦ ()()1tr Eνν=⎡⎤⎣⎦I ε1+σ−σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。
对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。
这三个正交第四章 弹性力学的基本方程与解法方向可以是整体笛卡儿坐标系的三个方向，也可以是边界自然坐标系的三个方向（即法向和两个切向）。
从更一般来说，除去给定位移或面力外，还有另一种线性的边界条件t K u c i ij j i +=(4)这是一种弹性约束条件。
用这个条件可以取代给定位移或给定面力的条件。
弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理一.内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二. 重点1.弹性力学基本方程与边界条件分类；2.位移解法与位移表示的平衡微分方程；3. 应力解法与应力表示的变形协调方程；4. 混合解法；5. 逆解法和半逆解法；6. 解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
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w ij ij Eijkl kl 线性关系 各向同性 ij
指标符号表示
ij 2G ij ij kk
E ( ij ij kk ) (1 ) 1
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
X l x m yx n zx n1 11 n2 21 n3 31
Y l xy m y n zy n1 12 n2 22 n3 32
Z l xz m yz n z n1 13 n2 23 n3 33
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
在第二、三、四章较全面的讨论了弹性变 形体在承受外力作用时，发生变形和抗力（内
力），这些变形和内力应遵循的三个基本规律，
从而导出了待求物理量（应力、应变、位移）
所须满足的基本方程，共十五个，现汇总如下。
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1
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1 基本方程汇总
当 S = S时称为微分方程第一边值问题；
当 Su = S时称为偏微分方程第二边值问题； 当 Su +S = S 称为偏微分方程第三边值问题。
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11
§5-2 位移法
弹性力学问题的待求函数共15个（ij、 ij 、 ui），如果一视同仁的同等看待，由给定的边界 条件下求偏微分方程组的定解是不可能的。由 物理量所满足的方程组中显示出来）。
2
yz
xy
y yz zx xy ( )2 y x y z zx
2
2 zx z yz xy ( )2 z x y z yx
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.3 本构（物理）方程（六个）
kl 用ui 表示
用 ui 表示的平衡 微分方程 用ui表示的力的边界条 件（在S上）
位移边界条件（在Su上）
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§5-2 位移法
位移法的基本方程（3个） 推导（用指标符号 表示） 应变用位移表示
1 ij (ui , j u j ,i ) 2
线性各向同性材料的应力用位移表示：
2019/1/3 9
ห้องสมุดไป่ตู้
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2.2 位移边界条件
ui ui
u u
在 Su 上
vv
ww
由三个基本规律导出的应力、应变和位移 满足的基本方程加上相应的边界条件建立了线 弹性问题解析法（微分提法）体系，从数学上 看是求偏微分方程组的边值问题。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
u v y x
xy
yz
v w z y
zx
w u x z
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4
§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程 指标符号表示
2
ij,kl kl ,ij ik , jl jl ,ik 0
2
x 2 2 xy y x
1.3 本构（物理）方程（六个） 指标符号表示
(1 ) ij ij ij kk E E
上述所有方程为 ij 、 ij、ui在V上必须满足的 方程，同时在 S 上（边界上）有边界力或边界 位移。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.2边界条件
1.2.1力的边界条件 Fi X i n j ji 在S 上
1.1.1 平衡微分方程（3个） 指标符号表示 ji,j+fi=0 体力与应力之关系： 11 21 31 f1 01 x x x 1 2 3 12 22 32 f2 0 x2 x3 x1 13 23 33 f 0 3 x x2 x3 1
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
1.1.2 几何方程（六个） 或变形协调方程（六个） 几何方程表示了位移与应变之关系，当由 位移场确定应变场时仅利用几何方程就够了， 但反之，应变场还需补充变性协调条件。
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
a. 几何方程
1 ( u u ) ij i , j j , i 指标符号表示 2 u v w x y z x y z
2
y
xy
2
2
y
2
z yz 2 2 zy z y
2 2
x z zx 2 2 xz z x
2
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§5-1 基本方程和边界条件的汇总
b. 变形协调方程
zx x ( )2 x x y z yz
ij G(ui, j u j ,i ) ijuk , k
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§5-2 位移法 ij G(ui, j u j ,i ) ijuk , k
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§5-2 位移法
为了有效地求解，从 15 个量中选取一部分 作为基本待求未知函数，而其它待求函数看成 由基本待求函数导出的未知函数，这样使得求 解方程减少，且主攻方向明确（求基本未知 量），基本未知函数选取不同，导出的求解步 骤和方程名称不同，如：位移法、应力法和混 合法。
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§5-2 位移法
位移法求解思想： 选取 ui 为基本未知函数，而 ij 和 ij 均看成是由ui导出的未知函数，这样15 个方程中某些方程成为的ui ij ij 关系式。
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§5-2 位移法
位移法基本步骤：
基本未 几何方程 知 函数ui 应 变 kl 用 ui 物理方程 应 力 kl 用 ui 表示 表示