矩形菱形正方形讲义

特殊平行四边形

第一节 矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。

矩形性质⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪

⎨⎧=为矩形长宽）、（面积公式轴对称图形；既是中心对称图形又是两条对角线相等；四个角为直角；有平行四边形性质；b a ab S

矩形判定⎪⎩

⎪

⎨⎧形；对角线相等的平行四边；三个角为直角的四边形形；有一个直角的平行四边

【重点内容】

①具有的一切性质； ②内角都是直角； ③对角线相等； ④全等

三角形的个数；

⑤等腰三角形的个数； ⑥对称轴的条数； ⑦斜边中线定理； ⑧平方等式；

⑨两种面积计算方法； ⑩有一个直角的

→矩形；

⑾有三个直角的四边形→矩形； ⑿对角线相等的→矩形.

【典型例题】

1、矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）

A ．对角线相等

B ．对角相等

C ．对角线互相平分

D ．对边相等

2、（2015春•南京校级月考）下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两

条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

3、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，︒=∠120AOD ，AB=4cm ，求此矩形的面积。

4、如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形．

5、（2015•南平）如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ． 求证：BE=CF ．

6、（2015•湘西州）如图，在▱ABCD 中，DE ⊥AB ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ；

（2）求证：四边形BFDE 为矩形．

A

O

D

巩固训练

1、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ） A 、对角线相等

B 、对角线互相垂直

C 、对角线互相平分

D 、对角相等 2、矩形各内角平分线所围成的四边形是（ ）

A 、矩形

B 、平行四边形

C 、正方形

D 、菱形

3、（2015•甘州区校级模拟）在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ） A ．测量对角线是否相互平分 B ．测量两组对边是否分别相等 C ．测量对角线是否相等 D ．测量其中三个角是否都为直角

4、顺次连结四边形ABCD 各边的中点，得到四边形EFGH ，可使四边形EFGH 为矩形的是（ ） A 、CD AB =

B 、BD A

C =

C 、B

D AC ⊥

D 、AD//BC

5、若矩形的对角线长为4cm ，一条边长为2cm ，则此矩形的面积为（ ）

A ．83cm 2

B ．43cm 2

C ．23cm 2

D ．8cm

2

6、矩形ABCD 的周长为56，对角线AC ，BD 交于点O ，△ABO 与△BCO 的周长差为4，•则AB 的长是（ ）

A ．12

B ．22

C ．16

D ．26

7、（2015•宁化县模拟）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件 ．（只添一个即可），使平行四边形ABCD 是矩形．

8、矩形的两条对角线的交角之一是︒60，矩形较短的边与一条对角线长度之和为12cm ，则

对角线的长为 ，较短的边的长为 ，较长的边的长为 。 9、（2015春•遂宁期末）平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC ⊥BD ；③AB=BC ；④AC 平分∠BAD ；⑤AO=DO ．使得四边形ABCD 是矩形的条件有 ，是菱形的条件有 ．（填序号） 10、（2015•青羊区模拟）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为 ． 11、（2015•玉林）如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点P 是AB 边上一点（不与A ，B 重合），连接CP ，过点P 作PQ ⊥CP 交AD 边于点Q ，连接CQ ． （1）当△CDQ ≌△CPQ 时，求AQ 的长；

（2）取CQ 的中点M ，连接MD ，MP ，若MD ⊥MP ，求AQ 的长．

12、（2015•溧水县一模）如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；

（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．

13、（2015•内江）如图，将▱ABCD 的边AB 延长至点E ，使AB=BE ，连接DE ，EC ，DE 交BC 于点O ．

（1）求证：△ABD ≌△BEC ；

（2）连接BD ，若∠BOD=2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．

14、如图，矩形ABCD 中，ABCD EB EF EB EF ,,=⊥周长为22cm ，CE=3cm ，求：DE 的长。

15、（2015•得荣县三模）如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ． （1）求证：OE=OF ；

（2）若CE=8，CF=6，求OC 的长；

（3）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．

C

E

D

F