大学物理-82电通量高斯定理
大学物理-82电通量高斯定理
E dS
E d E E dS EdS cos
S S S
S
讨论
dE E dS
正与负
E dS
如右上图可知 E ds >0 若如红箭头所示，则 E ds <0
取决于面元的法线 方向的选取
S
dS
（3）任意电场中通过闭合面的电通量
q 2 S E dS E 4r 0
q E 40 r 2
（1）rR时，高斯面无电荷
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+ + + +
+ + + +
q
E 0
（2）rR时，高斯面包围电荷q
E
q 40 r
2
均匀带电球面的电场分布
E r关系曲线
+ + + +
该面元对点电荷所张的 立体角 d 点电荷在面元处的场强为 E
q
S
d
dS
E
点电荷在面元处的场强为
E
q 4 0 r 2
q
r
^ r
^ r
S
d
dS
E
dE E dS
E dS
S
qdscos q q ˆ dS d r 2 2 4 0 4 0 r 4 0 r
S S i
q
S内
0
推广到任意带电系统的电场： 用迭加原理
s
q1
q2
q3
大学物理电通量 高斯定理
P +
+ R r+
++
Q+
方向: ?
E
电场分布曲线如右图所示。 O 电场分布曲线 r
21
例5 “无限大”均匀带电平面上电荷面密度为 。
求:电场强度分布。 解:电场强度分布具有面对称性。
选取一个圆柱形高斯面
根据高斯定理,有
22
例6 无限长均匀带电直线的电荷线密度为+ 。
求: 距直线 r 处一点P 的电场强度。 解:电场分布具有轴对称性。
16
利用高斯定理求解特殊电荷电场分布的思路: 分析电场对称性； 根据对称性同心球壳、同心球体与 球壳的组合。
轴对称: 长直导线、圆柱体、圆柱面、同轴圆 柱面和同轴圆柱体的组合。
面对称: 无限大带电平板、平行平板的组合。
17
四、高斯定理的应用 例3 已知球体半径为R,带电量为q（电荷体密
度为），求:均匀带电球体的电场强度分布。
解:根据对称性分析，选择如图所示高斯面
球外
r
++ R
+ q+
18
球内
r
++ R
++
E
r
O
R
电场分布曲线
19
例4 均匀带电球面,总电量为Q ,半径为R 。
求:电场强度分布。
解 对球面外一点P : 取过场点P 的同心球面为高斯面
P
+
+ R r+
++
Q+
20
故，球面外 对球面内一点:
电场线净穿入，
15
因此，电场线起于正，止于负，即静电场 为有源场，电荷即为其源。
电通量 高斯定理
1
只有S内的电荷对穿过S的电通量有贡献.
P.12/29
0
q
内
电荷与电场
三、真空中高斯定理(Gauss theorem) 真空中静电场内,通过任意封闭曲面(高斯面)的电通 量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的1/0倍： 讨论： 1. 式中各项的含义
1 SE dS 0 q内
E 大小相等 E 方向沿径向
o
r
dq
r0 r0
P
dE
d E
dE dE
E (q内) (4 π 0r )
2
P.16/29
电荷与电场
S
r R:
R
q
内
q
q
r
o
r
P
q 4 3 r R : q内 4 πr 3 3 3πR
q E外 2 4 π 0r
0
Φes 0
(3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面 结论
Φe sE dS
q 0 0
q在S内 q在S外
P.11/29
电荷与电场
思考：1) 是否存在 q 恰好在S上的情况？ 2)上述结论与库仑定律 F 1 r 2 有何关系？ 练习2：空间有点电荷系q1,q2,…qn ,求穿过空间任意封 闭曲面S的电通量. 曲面上各点处电场强度： q
E dS E dS E dS E dS
上 下 侧
电荷与电场
r
P
π π E cos dS E cos dS E cos0 dS 2 2 上 下 侧 E 2 π rL
由高斯定理 E dS E 2 π rL
大学物理电场的高斯定律与电通量
大学物理电场的高斯定律与电通量电场是物理学中一个重要的概念，它描述了电荷在空间中产生的力的作用。
为了更好地理解电场的性质与行为，科学家们提出了一系列电场定律。
其中，高斯定律是电场学中的基本原理之一。
本文将详细介绍大学物理中的电场的高斯定律以及与之相关的电通量。
一、电场的概念回顾在深入探讨高斯定律之前，我们先来回顾一下电场的概念。
电场是由电荷产生的一种物理场。
当一个电荷在空间中存在时，其周围就形成了一个电场。
电场可以用向量表示，它的方向和大小分别表示了该点上所受到的电场力的方向和大小。
二、高斯定律的提出高斯定律是由德国科学家高斯在19世纪初提出的。
该定律是描述电场与电荷分布之间关系的基本原理。
高斯定律的数学表达为：∮E·dA = Q/ε0其中，∮E·dA表示电场E通过闭合曲面的电通量，Q表示该闭合曲面内的电荷总量，ε0为真空中的介电常数。
三、电通量的概念在理解高斯定律之前，我们需要先了解电通量的概念。
电通量是表示电场通过某一给定曲面的电量的概念。
电通量可以用数学公式∮E·dA来表示，其中E为该点的电场强度矢量，dA表示曲面元素的面积，∮表示对整个闭合曲面进行积分。
四、高斯定律的意义与应用高斯定律的意义在于揭示了电荷分布如何影响电场的性质和分布。
通过高斯定律，我们可以计算电场通过一个闭合曲面的电通量，并利用电通量的性质推导相关的物理量。
高斯定律的应用非常广泛，例如在电场分析、电荷分布计算以及电场强度的测量等方面都有着重要的作用。
通过高斯定律，我们可以简化一些复杂的电场计算问题，节省时间和工作量。
五、高斯定律的适用条件高斯定律的适用条件主要有两个：1. 电场要具有空间的轴对称性或平面对称性。
这意味着，电场应当在某个坐标系下保持不变，使得我们可以简化电场的计算。
2. 电场的电荷分布应当在所选择的闭合曲面内或外具有一定的对称性。
这样，我们才能利用高斯定律进行计算。
六、高斯定律的推导过程我们通过推导可以更好地理解和应用高斯定律。
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
大学物理 高斯定理
第8章 静电场和稳恒电场
17
8-2 电通量 高斯定理
例8.6 均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 q 的球 求球面内外任意点的电场强度. 面 . 求球面内外任意点的电场强度
r
+ + 1+ + + +
S
O
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
解（1） 0 < r < R ）
r
R
+ + +
1 q d Φ e = E cos 0d S = dS 2 4π ε 0 r
qd S Φe = dΦe = ∫S ∫ S 4πε 0 r 2
=
=
r
+
v dS
q
4 πε 0r q
2
∫
S
dS
ε0
Φ e 与r无关
第8章 静电场和稳恒电场
12
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在任意闭合曲面内 点电荷在任意闭合曲面内
+ q 发出的 q / ε 0
条电力线不会中断， 条电力线不会中断，仍全 部穿出封闭曲面 S ，即：
+
Φe =
q
ε0
点电荷位于球面中心
Φe =
q
ε0
第8章 静电场和稳恒电场
13
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面之外 点电荷在闭合曲面之外
r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0 v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
6
8-2 电通量 高斯定理
带电平行板电容器的电力线 + + + + + + + + + + + +
电通量高斯定理
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
大学物理电通量高斯定理
高斯定理的应用范围
在静电场中，高斯定理广泛应用 于电荷分布和电场关系的分析。
在恒定磁场中，高斯定理可以用 来分析磁通量与电流之间的关系
。
高斯定理是解决物理问题的重要 工具之一，尤其在计算电场分布 、求解电势、分析带电体的相互
作用等方面具有广泛应用。
02
电通量和高斯定理的关系来自 电通量的定义和性质总结词
大学物理电通量高斯定理
汇报人： 202X-01-04
contents
目录
• 高斯定理的概述 • 电通量和高斯定理的关系 • 高斯定理的证明 • 高斯定理的应用实例
01
高斯定理的概述
高斯定理的内容
总结了电荷分布与电场之间的关系， 指出在空间中任一封闭曲面内的电荷 量与该封闭曲面上的电场通量之间存 在正比关系。
利用电场线证明高斯定理
总结词：直观明了
详细描述：通过电场线的闭合曲线围成的面积的电通量与该闭合曲线所包围的电荷量的关系，证明高 斯定理。
利用高斯公式证明高斯定理
总结词：数学严谨
详细描述：利用高斯公式，将空间分成无数小的体积元，再通过求和得到整个空间的电场分布，从而证明高斯定理。
利用微积分证明高斯定理
详细描述
高斯定理是描述电通量与电荷分布关系的定理，它指出在任意闭合曲面内的电荷量等于该闭合曲面所包围的体积 内电场线的总条数。这个定理表明，电荷分布与电场线数之间存在一定的关系，即电荷分布影响电场线的分布。
电通量和高斯定理的推导过程
总结词
通过数学推导，我们可以证明高斯定理的正确性。首先，我们定义电场线密度为电场强 度与垂直于曲面的面积之比，然后利用微积分原理和格林公式，推导出高斯定理的表达
公式表达为：∮E·dS = 4πkQ，其中 ∮E·dS表示封闭曲面上的电场通量，Q 表示曲面内的电荷量。
大学物理-电通量-高斯定理
场分布；（2）板内何处电场为零。
解:利用无穷大带电
平板问题叠加，取厚
度为 dx 的薄平面,则 P1
d
dx’
xP
P2 x
面电荷密度为
Ox b
d dx kxdx
对点的 P 电场强
d kxdx
dE
2 0 2 0
大学物理
1)板内任意点：
E1
R2 r,
E
R1， Q1
R２， Q2
大学物理
结论
❖ 距离球心r处任意点的场强，只由半径小于r处的 球壳所带电量决定
❖ 其场强相当于将这些球壳上的电量、置于球心处 所产生的场强，而与半径大于r处的球壳所带电量 无关
❖ 分析高斯面内的静电荷时，要注意有时要分区间 讨论
大学物理
例2. 均匀带电球体的电场。已知q,R
x kx dx k x2
0 2 0
4 0
向右
E2
b kx dx
k
(b2 x2 )
x 2 0
4 0
向左
P1
E
p
E1
E2
k
4 0
(2x2
b2 )
O
EP 0,
xP
b 2
2)板外：x 0 ,
x b,
kb2
E P1
4 0
kb2
E P2 4 0
dx dx’
P
P2 x
xb
大学物理
[例] 如图所示，体电荷密度为 ，半径为 R1 的均匀带电球体， 内部挖去一个半径为 R2 的球体空腔，求腔内的电场强度。
对于均匀、对称 的电场，可用之求电场强度。
§8-2 电通量 高斯定理
∑q
i
i内
根据高斯定理列方程，解方程得 第4步：根据高斯定理列方程，解方程得E
∫
S
r r E ⋅ dS = E ∫ dS = E.S =∑ q内 / ε 0
∑q E=
内
Sε 0
......( A)
7
应用举例： 4、应用举例：
均匀带电体的场强分布 的场强分布(点 球面、球体) 例8.6P13:求球对称均匀带电体的场强分布 点、球面、球体 求
2
高斯定理 定理: 三. 高斯定理:
(K.F.Gauss——德国物理学家、数学家、天文学家) 德国物理学家、数学家、天文学家 德国物理学家
1、表述 168)：在真空中的任何静电场中 通过任 、表述(P ：在真空中的任何静电场中, 闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的 的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 数和的1/ε0倍, 即 数和的 ε
R P2
∴ E2 =
q 4πε0r
...(2)# ⇒ 球面外与点电 2
荷电场相同
（2)、 求均匀带电球体 的场强分布：P14 、 的场强分布： r 已知R, 求球内外P 已知 q, 求球内外 1、P2处的 E 作与带电球体同心半径为 半径为r的 作与带电球体同心半径为 的 球面为高斯面 球面为高斯面 r r 高斯面: 2 ∫S1E ⋅ dS = 4πr E =∑ q内 / ε 0 ∑ q内 ......( A) E= S 2 4πε 0 r
ε0 i 式中：闭合面ｓ 式中：闭合面ｓ——高斯面 高斯面 r r 通过ｓ 通过 ∫ E ⋅ dS ——通过ｓ的电通量
S i内
Φe =
∫
S
r r 1 E ⋅ dS =
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
电通量高斯定理
03 电通量高斯定理的应用场 景
静电场计算
静电场计算是电通量高斯定理的重要 应用场景之一。通过使用高斯定理， 可以方便地计算出给定区域内电荷产 生的电场强度和电势分布。
在实际应用中，静电场计算广泛应用 于电子设备、电磁兼容性分析、材料 科学等领域。
内的电荷分布仍然满足高斯定理。这一理论为分析复杂电场问题提供了重要的基础。
电通量高斯定理与麦克斯韦方程组的关系
要点一
总结词
要点二
详细描述
电通量高斯定理是麦克斯韦方程组的一个推论，表明在时 变电磁场中，电场线闭合的特性与电荷守恒定律相一致。
麦克斯韦方程组是描述电磁场运动的基本方程，其中包括 了波动方程、高斯定理和安培环路定律等。在高斯定理中 ，它指出在时变电磁场中，电场线闭合的特性与电荷守恒 定律相一致。这意味着在变化的电磁场中，电荷分布的变 化必须满足电荷守恒定律，从而保持电场线的闭合性。这 一关系表明了电通量高斯定理与麦克斯韦方程组之间的紧 密联系。
推动科学发展
电通量高斯定理的发现和应用，推动了科学技术的进步和发展。在电子工程、通信工程、生物医学工程 等领域，电通量高斯定理都发挥了重要的作用，为各种先进技术和设备的研发提供了重要的理论支持。
对未来研究的展望
要点一
深入研究电磁场的内 在机制
随着科学技术的发展，对电磁场的内 在机制和规律的认识越来越深入。未 来可以进一步深入研究电通量高斯定 理的内在机制和规律，探索更加复杂 和深入的电磁场问题。
02 电通量高斯定理的公式与 推导
公式表述
公式
$oiint_{S} vec{E} cdot dvec{S} = frac{1}{varepsilon_{0}} iint_{S} rho dS$
大学物理-电通量--高斯定理
Φe
q
0
点电荷在闭合曲面之外
只有与闭合曲面S相切的锥 体范围内的电力线才通过闭
合曲面S，每一条电力线从
某处穿入必从另一处穿出， q
一进一出正负抵消，总电通 ＋
量为零.
rrq
Ñ E dS 0
仍成立
14
S
E
多个点电荷的情况
vv
nv v
Ñ Ñ Φe
E dS
S
(
S
Ei ) dS
i 1
v nv
外侧. 因此，从曲面上
穿出的电力线，电通量
为正值；穿入曲面的电
力线，电通量为负值。
9
r
r
例：一电场强度为 E 的均匀电场 ，E 的方向与x轴正方
向平行，则通过图中一半径为R的半球面的电通量为 D
A、πR2E
B、πR2E/ 2
C、2πR2E
O
x
D、0
B
10
三 高斯定理
通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量 Φe
例8.6 均匀带电球面的电场强度
一半径为 R, 均匀带电+ q 的球
面 . 求球面内外任意点的电场强度.
解：电荷分布具有球对称性，所以 空间场强分布为球对称性，即
+ +S1+
r +
+O
+ +
+R +
+++
与球心距离相等的球面各点
场强大小相等，方向沿半径
呈辐射状。
取过场点P的同心球面为高斯面，半径为r
均匀电场 ，E 垂直平面
Φe ES
均匀电场 ，E 与平面法线 夹角为
电通量和高斯定理
05 电通量与高斯定理的意义 和影响
对电磁学理论的意义
描述电场分布
建立电磁场理论
电通量是描述电场分布的重要物理量， 通过高斯定理，我们可以计算出空间 中任意区域的电场强度和电通量密度。
电通量与高斯定理是电磁场理论中的 基础概念，为后续的麦克斯韦方程组 等理论奠定了基础。
揭示电场性质
高斯定理揭示了电场的一个重要性质， 即电场线总是闭合的，这一性质对于 理解电场的产生和传播机制具有重要 意义。
散度定理法
利用散度定理计算电通量， 公式为：∮E⋅dS=∫E⋅dS。
微元法
将闭合曲面划分为若干个 小面元，分别计算每个面 元的电通量，最后求和得 到总电通量。
02 高斯定理的表述
定理的表述
高斯定理的表述
在封闭曲面S内，总电荷量Q等于该封闭曲面内电通量Φ的积分， 即 ∫∫Σ Q = ∫∫Σ dΦ。
电通量的物理意义
表示电场分布的特性
电通量的大小反映了电场在某个闭合 曲面上的分布情况，可以用来描述电 场的强弱和方向。
与电荷分布的关系
电通量的大小与电荷分布有关，电荷 分布的不同会导致电通量的变化。
电通量的计算方法
01
02
03
公式法
根据电场强度E和闭合曲 面S的面积S，计算电通量。 公式为：Φ=∫∫E⋅dS。
要点一
总结词
要点二
详细描述
高斯定理是求解电场的强大工具，通过合理选择高斯面可 以简化问题求解过程。
高斯定理表述为：“通过任意闭合曲面的电场强度通量等 于该闭合曲面所包围的电荷量与真空电容率的比值。”在 求解电场问题时，可以根据问题的对称性和电荷分布情况 选择合适的高斯面，从而将复杂的积分运算简化为简单的 代数运算。例如，在求解无限大均匀带电平面或球壳产生 的电场时，利用高斯定理可以快速得出结果。
电通量_高斯定理
电量 ∑ qi = 0 由高斯定理 电量
P
r>R
∑q
i
= lλ
由高斯定理
E=0
λ E = 2π ε0 r
关于电通量
高斯定理的练习 1 Φ e = ∫ E • ds = ∑ qi
s
ε0
教材：P164 例1 P169 例2 P170例3 例4 P190 5-2 5-14 5-15 5-17 5-18 5-19 5-20 5-21
例.如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于正立方体的 A 角 上，则通过侧面 abcd 的电场 强度通量等于：
a
d
A
q
（A）q /6ε0 ; （B）q /12ε0 ； （C）q /24ε0 ; （D）q /36ε0 .
q
●q
●q
c
b
位于中 心 位于一顶点
过每一面的通量
[C] 若将此电荷移到正方体的一个顶点上，则通过整个正 方体表面的电场强度通量为 。q 8ε 0
3 r ρ 4 π 高斯定理 E 4 πr 2 = ε0 3
∑ qi ε0
ρr qr q 场强大小 E = = 场强大小 E = 3 4 πε 0 r 2 3ε 0 4 πε 0 R
q
∴E =
q e 2 r 4π ε0 r
r≥R
r≤R
oo RR
1 qr e, E= 3 r 4π ε0 R
5-4
电场强度通量
电场中的高斯定理
Eb
一．电场线（电场的图示法） c b 1、 E 方向：切线 E ∆N E a 2、 电场强度大小 E = ∆S a ⊥ 性质：不闭合；不相交； 定义：面积矢量 起于正、止于负。 S = Sn n 为面积的法向 闭合曲面的方向: 由曲面内指向曲面外 n n n n
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1.3几种电场的电场线（P-29）
点电荷的电场线
负电荷
+
正电荷
一对等量异号 电荷的电场线
+
一对等量正点 电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
2+q
q
带电平行板电容器的电场
++ ++ + + + + +
方向：曲线上各点切线方向
小结：电场强度 E 大小： E de =电力线密度
Eb
回顾：电场强度的计算
（1）点电荷的电场
EF 1
q0 40
rq3 r
（2）点电荷系的电场 E Ei
Ei
1
4 0
qi ri3
ri
（3）连续带电体的电场 dE
1
dqr
40 r3
1
40
rd3 lr(电荷线分)
1 dsr(电荷面分) 40 r3
1 dVr(电荷体分 ) 40 r3
1.电场的图示法—电力线（电场线2019年）
立体角 d
S d
dS
点电荷在面元处的场强为 E
点电荷在面元处的场强为
E
q
4 0r 2
^r
dEE dS4q0r2rˆdS
qr
S d
qdscos 4 0r 2
r^
E
dS
q d
4 0
S
EdS
S
q
40d
q
4 0
d
S
q 0
在所设的情况下得证
E ds
qi
内
S
0
2)源电荷仍是点电荷
该取在面一闭元闭合对合面点面上电不任荷包取张围面点元电d荷S1(如图q示dr)d2S2
dS
Ec
b
Ea a
c
E
1.4 电力线的性质
（1）起始于正电荷，终止于负电荷，有头有尾，不会在无电荷 处中断。 （2）在没有点电荷的空间，任何两条电力线不会相交。 （3）电力线不会形成闭合曲线。
这些基本性质，由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
2.电通量 藉助电力线认识电通量
用一族空间曲线形象描述电场分布
1.1 电场中电力线必须满足的两个条件：
（1）曲线上每一点的切线方向都表示该点的场强方向；
（2）曲线的密、疏程E度b 可反映E该c 点场强的强、弱S。
b
a
Ea
c
. P
E
1.2 电力线密度：经过电场中任一点P作与该点场强方向垂直的面 积元 S ，设通过它的电力线根数为 E。 定义：该面积元上的平均电力线密度 E ∴ P的电力线密度 lim EdE S
S 0S dS
引入“电力线”时，可使
E∝
d e dS
，
当比例系数为1时，则有： E de dS
即：电场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度。
d EEdS 通过一个横切面的电力线数就确定了。 若按此规定画出电力线，则在电力线密处场强大，
电力线疏处场强就小。
这样从电场的电力线图形就可看出电场中各处场强 的大小和方向，对电场的整体情况就一目了然。
匀强电场
2.1 定义：通过任一面的电力线条数叫做通过
E
en
该面的电场强度通量（电通量）“E ”。
2.2 电通量的计算
S
S
E
（1）匀强电场中通过任意平面的电通量
E e S
E E cS o E s S
SSen
（2）任意电场中通过任意曲面的电通量
把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场
E d E E d S E d Sc o s
S
S
S
E dS
S
讨论
正与负
E dS
取决于面元的法线
S
d EE d S 方向的选取
若如如右红上箭图头可所知示E ，则dsE >0ds<0
dS
（3）任意电场中通过闭合面的电通量
EEdSEdScos
S
S
S
规定：面元方向由闭合面内指向面外 E
q4
q5
s E 1 d s s E 2 d s s E 3 d s s E 4 d s s E 5 d s
➢ 课题:
§8－2 电通量 高斯定理
➢ 教学目标： 1、正确理解高斯定理； 2、掌握用高斯定理分析、求解电场强度的条件和方法，并能 熟练运用之。
➢ 教学重点： 1、高斯定理的理解； 2、应用高斯定理分析、求解电场强度。
➢ 教学难点： 高斯定理的证明(了解)
➢ 教学手段：多媒体教学与讲授相结合 ➢ 课时安排：2课时
的立体角 d , 也对应面元 dS2
r1 r^1
E2
S
2
E1
dS1
1
两面元处对应的点电荷的电场强度分别为 E1，E2
d E E 1 d s 1 E 2 d s 2 4q0r12^r1ds14q0r22r^2ds2
q4d 1c0 sr1o21sq4d2c0sr22o2s 0
d 1d 20
SEds0
q
s
（因为电力线穿入、穿出此曲面的数目一样）
q在面内对通量有贡献，q在面外对通量无贡献。
3) 源和面均任意 根据叠加原理可得
E ds
qi
S内
S
0
qi
EdS Ei dS
S
Si
S内
0
推广到任意带电系统的电场：
s
E
用迭加原理
q1
ds
q2 q3
E s E d ss E id s
l
lr
r l 0 0
平面
r0 r
l0
l
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
S
d
S
dS0 r02
4
球面度
3.2 高斯定理的证明 库仑定律 + 叠加原理
思路：先证明点电荷的场 然后推广至一般电荷分布的场
1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)
在闭合面S上任取面元 ds
q
E
该面元对点电荷所张的
rr
立体角：
r dl
•rd1
d
l
1r
d
0
l
0
面元dS 对某点所张的立体角，
r dS
锥体的“顶角”。
对比平面角，取半径为 r1
r1
•
dS1 dS0
r0
球面面元 ds 1
定义式
d
d
dS1 r12
dS0 r02
dS
d r2 cos
单位：球面度
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
d dl cos dl 0 2 弧度
EEdSEdScos
S
S
讨论：
dS
（1）电力线穿入
E ds<0
（2）电力线穿出
E ds>0
（3）电力线与曲面相切 Eds=0
S
dS
3.静电场的高斯定理 Gauss theorem
3.1 表述
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量
等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
qi
E EdS S内
q3
E
ds
s
q4
q5
补充：立体角的概念
平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角
r
dl
取 r 1 为半径的弧长 d l1
• dr1
d
lr1
d
0
l
0
d dl1 当然也 dl 0
r1
r0
r 射线长为
一般的定义：线段元 d l 对某点所张的平面角
ddl0 dlcos
rr
单位：弧度
平面角： ddl0 dlcos