云南省玉溪市玉溪一中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 (word版含答案)

玉溪一中2017—2018学年上学期高二年级期末考理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B = ，则U A B = ð( )A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82、在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a = ( )A ．1-B ．0C ．1D ．63、抛物线218x y =-的准线方程是( ) A ．2x =- B ．2x = C ．132y = D ．132y =- 4、已知直线,a b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“//a b ”是“平面//α平面β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则2x y -的最大值为( )A ．3-B ．1-C ．5D ．96、函数1()()4x f x =( ) A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．1(,1)27、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()cos()f x x ωϕ=+的单调递减区间为( )A ．3(2,2)44k k ππππ-+ k Z ∈ B ．13(,)44k k -+k Z ∈ C ．37(2,2)44k k ++k Z ∈D ．13(2,2)44k k -+k Z ∈ 8、某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．1 9、双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，12PF F ∆为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )A1 B 1 C 110、要得到函数3log (1)y x =-的图像，只需将函数3log y x =的图像( )A ．先向右平移1个单位，再关于x 轴对称B ．先向左平移1个单位，再关于x 轴对称C ．先关于y 轴对称，再向右平移1个单位D ．先关于y 轴对称，再向左平移1个单位11、平行四边形ABCD 中，6AB = ，4AD = .若点,M N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM = ( )A ．20B ．15C ．9D ．612、若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高是( )A ．．3C ．．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为 .14、执行右边的程序框图，若输入的,a b 的值分别为0和15，则输出的i 的值为________.15、曲线32x y e -=+在点(0,3)处的切线方程为 .16、已知函数函数ln ()x f x x=，3211()32g x x x m =-+，1(0,3]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x <，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（本题满分10分） 设函数()1f x x x a =---.（1）若3a =，解不等式()1f x ≤；（2）若不等式()2f x ≥有解，求实数a 的取值范围.18、（本题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2cos cos cos b A a C c A =+.（1）求A ；（2）若2b c +=，求a 的取值范围.19、（本题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （单位：吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.（结果保留到小数点后三位）20、（本题满分12分）如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形, //CD EF ，2AF FD =,90AFD ∠= ,且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60 ．（1）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（2）求直线BD 与平面BCE 所成角的正弦值．21、（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，1a t =，点1(,)n n S a +在直线21y x =+上，*n N ∈.（1）当实数t 为何值时，数列{}n a 是等比数列；（2）在（1）的结论下，设323221log log n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T .22、（本题满分12分） 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：AN BM 为定值.玉溪一中2017—2018学年上学期高二年级期末考理科数学试卷参考答案一、选择题：ABCD CCDA BCCB二、填空题：13、16. 14、4. 15、330x y +-=. 16、12(,)3e -+∞ . 三、解答题：17、解：（1）3a =,21()13241323x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩,......2分所以121x ≤⎧⎨-≤⎩或13241x x <<⎧⎨-≤⎩或321x ≥⎧⎨≤⎩解得1x ≤或512x <≤或x ∈∅......4分 综上所述，不等式的解集为5(,]2-∞.....5分 （2）()()()111f x x x a x x a a =---≤---=-，所以max ()12f x a =-≥，.....8分解得1a ≤-或3a ≥，所以实数a 的取值范围是(,1][3,)-∞-⋃+∞.....10分18、解：（1）由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos sin()sin B A A C C A A C B =+=+= ，.....4分(0,)B π∈，sin 0B ≠，所以2cos 1A =，即1c o s 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=..6分（2）222222()2421cos 2222b c a b c bc a bc a A bc bc bc +-+----====， 所以243a bc -=，.8分 因为2()12b c bc +≤=（当且仅当1b c ==时取等号）....10分，所以243a -≤，解得1a ≥，又因为2a b c <+=，所以a 的取值范围是[1,2)....12分19、解：（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1,1.5)，[1.5,2)，[2,2.5)，[2.5,3)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]中的频率分别为0.08，0.5×a ,0.20，0.26，0.5×a ,0.06，0.04，0.02．由0.04+0.08+0.5×a +0.20+0. 26+0.5×a +0.06+0.04+0.02=1，解得a =0.30．.....4分（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12．由以上样本的频率分布，可以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为50万×0.12=6 万．.....8分（3）因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.80， 而前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.80，所以2.5≤x <3．由0.3×(x –2.5)=0.80–0.73，解得 2.733x ≈．所以，估计月用水量标准为2.733吨时，80%的居民每月的用水量不超过标准．.....12分20、解（1）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,F DF F ⋂E =，所以F A ⊥平面FDC E ．又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．.....4分（2）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（1）知DG ⊥平面F ABE ．以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．.....5分由（1）知DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E = ,则DF 2=,DG =4AF =，可得()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D．(3,D B =- .....7分 由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,C F 60∠E = ．又因为//CD EF ，所以四边形CDFE 为等腰梯形，可求得2CD =，从而可得(C -，(C E = ,()0,4,0EB = ．设(),,n x y z = 是平面C B E 的法向量,则C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩ ,即040x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩,所以可取(3,0,n = ．.....10分设直线BD 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos,14n BDn BDn BDθ⋅====所以直线BD与平面BCE所成角的正弦值为14.....12分21、解：（1）121n na S+=+*()n N∈①121n na S-=+(2)n≥②当2n≥时，①—②可得!12()2n n n n na a S S a+--=-=，化简得13(2)nnana+=≥，所以{}na从第二项起是等比数列. .....4分1a t=，212121a a t=+=+，因为数列{}na是等比数列，所以213aa=，213tt+=，1t=.....6分（2）由（1）可知：{}na是首项为1，公比为3的等比数列，所以13nna-=， (8)分21213311111()log3log3(21)(21)22121n n nbn n n n-+===--+-+，.....9分121111111...[()()...()]213352121n nT b b bn n=+++=-+-++--+11(1)22121nn n=-=++..12分22、解：（1）2ca=，OAB∆的面积为1，即112ab=，椭圆中222a b c=+列方程求解得2,1,a b c===，所以椭圆C的方程为1422=+yx......4分（2）由（1）知，)1,0(),0,2(BA，设),(yxP，则4422=+yx......5分i）当0≠x时，直线PA的方程为)2(20--=xxyy.令0=x，得22--=xyyM.从而2211-+=-=xyyBMM.......7分直线PB的方程为110+-=xxyy.令0=y，得1--=yxxN.从而122-+=-=yxxANN.......9分所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 20000(22)(1)(2)y x y x -+=-- 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.......11分 ii ）当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上所述，BM AN ⋅为定值4. ......12分。