2-5 信号流图与梅森公式
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系统结构图及等效变换、梅森公式
统结构图基础上应用等效变换和梅森 公式进行系统设计和实现，确保系统稳定性和可靠性。
05
结论与展望
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
研究结论
• 通过分析和比较不同系统结构图的特点和性能，本文得出了一些重要的结论。首先，等效变换在系统分析和设 计中具有重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的系统结构，降低分析和设计的难度。其次，梅森公式是一种 有效的系统性能评估方法，它可以用于计算系统的传递函数和频率响应等关键性能指标。最后，通过实例分析 和仿真验证，本文证明了等效变换和梅森公式在系统分析和设计中的有效性和实用性。
案例一
分析一个简单的RC电路，利用梅 森公式计算其传递函数，并与实 验结果进行对比分析。
案例二
针对一个控制系统，利用梅森公 式分析其稳定性，并给出相应的 控制器设计建议。
案例三
考虑一个复杂的信号流图，利用 梅森公式进行化简，得到简化的 数学模型，便于后续分析和设计。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
案例分析
案例一
串联等效变换的应用。在某控制系统中，存在两个串联的控制器，通过串联等效变换，可以将这两个控制器 合并为一个等效控制器，从而简化系统分析。
案例二
并联等效变换的应用。在某电力系统中，存在两个并联的电源，通过并联等效变换，可以将这两个电源合并 为一个等效电源，方便进行系统性能评估。
案例三
反馈等效变换的应用。在某通信系统中，存在一个反馈环节，通过反馈等效变换，可以将该反馈环节进行简 化，使得简化后的系统与原系统在性能上保持一致。
系统结构图及等效变换、
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
05
结论与展望
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
研究结论
• 通过分析和比较不同系统结构图的特点和性能，本文得出了一些重要的结论。首先，等效变换在系统分析和设 计中具有重要的作用，它可以帮助我们简化复杂的系统结构，降低分析和设计的难度。其次，梅森公式是一种 有效的系统性能评估方法，它可以用于计算系统的传递函数和频率响应等关键性能指标。最后，通过实例分析 和仿真验证，本文证明了等效变换和梅森公式在系统分析和设计中的有效性和实用性。
案例一
分析一个简单的RC电路，利用梅 森公式计算其传递函数，并与实 验结果进行对比分析。
案例二
针对一个控制系统，利用梅森公 式分析其稳定性，并给出相应的 控制器设计建议。
案例三
考虑一个复杂的信号流图，利用 梅森公式进行化简，得到简化的 数学模型，便于后续分析和设计。
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案例分析
案例一
串联等效变换的应用。在某控制系统中，存在两个串联的控制器，通过串联等效变换，可以将这两个控制器 合并为一个等效控制器，从而简化系统分析。
案例二
并联等效变换的应用。在某电力系统中，存在两个并联的电源，通过并联等效变换，可以将这两个电源合并 为一个等效电源，方便进行系统性能评估。
案例三
反馈等效变换的应用。在某通信系统中，存在一个反馈环节，通过反馈等效变换，可以将该反馈环节进行简 化，使得简化后的系统与原系统在性能上保持一致。
系统结构图及等效变换、
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
2-5 信号流图与梅森公式
G12 ( s ) R2 ( s )
G21 ( s )
C2 ( s ) G22 ( s )
G22 ( s )
+
+
C2 ( s )
5
2、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下：
x1 x1 x2 ax1 dx2 ex3 x3 x4 x5 bx2 cx3 x5
8
Σ Li:所有各回路的“回路传递函数”之和； Σ LiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； Σ LiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数；
9
注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正、负号。
结论：开环传递函数等于前向通路传递函数G(s)和反馈 通路传递函数H(s)的乘积。
30
推广到一般情况：
b m s m b m 1s m 1 b1s b 0 G(s)H(s) a n s n a n 1s n 1 a 1s a 0
2 2 Π( τ i s 1) Π( τ di s 2ζ di τ d s 1) i 2 s ν Π(Ti s 1) Π(Tni s 2ζ ni Tni s 1) i 1 i 1 i 1 ρ i 1 σ u η
26
例3：画出信流图，并利用梅逊公式求取它 的传递函数C(s) / R(s)。
R (s)
+
A
_
1 R1
+
-
B
1 C1 s
C +
D _
1 R2
E
1 C2 s
胡寿松版完整答案自动控制原理第五版课后习题答案
自动控制原理课后答案1请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装臵与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。
如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。
外扰是系统的输入量。
给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。
反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。
2请说明自动控制系统的基本组成部分。
解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：① 被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；② 执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③ 给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；④ 比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。
常用的比较元件有差动放大器、机械差动装臵和电桥等。
⑤ 测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。
常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；⑥ 放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。
如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。
⑦ 校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。
常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
3请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。
如何用梅逊公式求传递函数
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
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第21页，本讲稿共29页
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2 1
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
11,21G 1H 1
P 1 k 2 1 P k k 1 G 1 H 1 G 1 G G 3 2 H G 3 2 G G 1 3 G G 2 4 G 3 G H 1 1 G H 3 G 2 4 H G 1 1 G 3 H 1 H 2
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第19页，本讲稿共29页
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梅逊公式||例2-13
1
ui ue
1
1
R1
1
b 1
C1s
a
1
1
R2
I1 I u
1
C2s
I2 uo
1
1
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两
点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，
总传输将不一样。
不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
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梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2 1
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
11,21G 1H 1
P 1 k 2 1 P k k 1 G 1 H 1 G 1 G G 3 2 H G 3 2 G G 1 3 G G 2 4 G 3 G H 1 1 G H 3 G 2 4 H G 1 1 G 3 H 1 H 2
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梅逊公式||例2-13
1
ui ue
1
1
R1
1
b 1
C1s
a
1
1
R2
I1 I u
1
C2s
I2 uo
1
1
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两
点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，
总传输将不一样。
不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
控制工程基础6-第2章 (数学模型-4：信号流图及梅逊公式)
N 1
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
1 R E
G1
Q
G2
O
1
C
R(s ) 1 R( s )
1
×G
G5
H
1
G6 G3 -H 1 G4 1 C (s )
G2 -H2
三个回路
梅森公式
C ( s) 1 n pk k R( s) k 1
△为特征式，其计算公式为
D= 1 - 邋 1 + L
其中:
L2 -
L3 +
n 为从输入节点到输出节点间前向通路的条数；
R(s)
E ( s) B( s)
G1 ( s )
G2 ( s )
C (s)
1 R E
N 1
G1
Q
G2
O
1
C
H (s)
H
信号流图常用的名词术语
（1）输入节点(源节点)：只有输出支路而没有输入支路 的节点，称为源节点。它一般表示系统的输入变量，亦称 输入节点，如图中的节点R和N。 （2）输出节点（阱节点）：只有输入支路而没有输出支 路的节点，称为阱节点。它一般表示系统的输出变量，亦 称输出节点，如图中的节点C （3）混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点， 称为混合节点，如图中的节点E,Q,O
6
R(s) 1
G1 2
G2 3
G3 4
G4 H1 5
G5 6
C(s)
解：前向通路有3个
1 2 3 4 5 6
1 2 4 5 6来自H2P1 G1G2 G3G4 G5
2 1
1 1
P2 G1G6 G4 G5
1 2 3 6
P3 G1G2 G7
机械控制工程基础-第3章-梅森公式-信号流图
由系统结构图绘制信号流图 1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。
注意信号流图的节点只表示变量的相加。
R(s) C(s) R(s) G(s) C(s)
(节点)
G(s)
(节点) (支路) D(s) R(s) E(s) G (s) (-) 1 V(s)G (s) 2 H(s)
2 1
P2 G1G6G4G5
1 2 3 6
P3 G1G2G7
3 1 G4 H1
4个单独回路
4 54
L1 G4 H1
L2 G2G7 H 2
2 36 2
2 4 56 2
L3 G6G4G5 H 2
2 34 56 2
L4 G2G3G4G5 H 2
X4 1 aef (1 d ) abcf ( p1 1 p2 2 ) X1 1 d eg bcg de g
2. X 1 X 2 , p1 a, 1 1 d
X2 1 a(1 d ) p1 1 X1 1 d eg bcg de g
-1
Ui(s)
1/R1
I C (s)
1/C1s
1/R2
1/C2s
I 2 ( s)
Uo(s) Uo(s)
U(s)
-1
-1
例2 已知系统信号流图，求传递函数。
L 解：三个回路： 1 G 2 H 2
-H1 R G1 G2 G3 C
L 2 G 1G 2 H 2
L 3 G 2G 3 H1
• 回路相互均接触，则： • 前向通路有两条：
例4
G2 A2 R A1 G1 B G4 H G3 C
梅森公式的理解
是包含于，你理解的有点偏差，举个例子如果有三个互不接触的回路，取两个不接触的回路应有三项，取三个互不接触回路就一项。
具体的应该是这样：
梅森公式G(s)=Σ(Ρκ*△κ)╱△G(s)= ——系统总传递函数；n——是前向通道数；Ρκ——第k条前向通路的传递函数，由输入端单向传递至输出端的信号通道称为前向通道；△——流图的特征式△=1-ΣLi+ΣLjLk-ΣLiLjLk+······
L A
bc为每两个不接触回路增益乘积之和
a为所有回路增益之和；L a L b
Li——所有单独回路的增益之和；
LjLk——所有互不接触的单独回路中，取其中两个不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk——所有互不接触的单独回路中，取三个互不接触回路增益之和；
△κ——第k条前向通路特征式的余因子，即对于流图的特征式△，将与第k 条前向通路相接触的回路
增益代以零值，余下的即为△κ。
对于复杂的结构，理论上有很多项，但实际上△就取到前两三项。
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
W=[wij]，wij={ wij，i=j，wij是支路i的权，即支路传输 }
0，
i j
• 上述B，S，W三个矩阵完全描叙了信号流图。
梅森公式的推导
• 下面介绍一些定理和性质。
对于下列方程组： AX=Y ………………（1）
式中
A=
1
a a a a 21
...
12
1 ...
，Y=
y
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所 示，所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
• 由定理6和7很容易推出梅森公式。
梅森公式
• 梅森公式不仅能求输入输出函数的比值的 （传输函数），对与流图中的任意一个节 点的信号与输入结点信号的比值也同样是 成立的。这个很好理解，因为输出节点并 没有什么特殊的地方，也仅仅是流图中的 一般点，只是我们赋予了它特殊的含义罢 了。下面就就举一例说明梅森公式对流图 中任一点与输入点的信号的比值的作用。
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
mk e
于是传递函数为
(s) C(s) 2
bde f (1 m dl) bg
R(s) R 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
梅森公式-信号流图
L4 a23a34a45a52
x5 L5 a23a35a52
P
a12 a23a34 a45 (1 a44 )a12 a23a35
1 (a23a32 a23a34a42 a44 a23a34a52 a23a35a52 ) a23a32 a44 a23a35a52a44
G3(s)
梅逊公式求E(s)
R(s)
E(SG)GG3(33s(()ss))
RRR(s(()ss)) EEE(S((S)S))
P2= - G3G2H3
GGG1(11s(()ss))
△2= 1 P2△2=?
HHH1(11s(()ss))
G1(s)
NNN((s(ss)))
G2(s)
GGG2(22s(()ss))
CCC(s(()ss))
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
HHH3(33s(()ss))
C(s)
R(s)
E(S) P1=H–P1G(s1)2=H13 △△1=11=+G1 2HH2 2(s)P1△1= ?
E(s)= R(s)[ (1+G2H2) +(- G3G2H3)] +(–G2H3)N(s)
1 G1H1 G2G7 H 2 G6G4G5 H 2 G2G3G4G5 H 2 G4G5G7 H1H 2
x1
x2
x3
x7 I(s) x4
x5
o在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，
1/R1 1+R1C1s R2
它一般代表系统的输入变量。
-1
•阱节点（输出节点）：
在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它
信号流程图
Bs G s H s 为开环传递函数； 称 E s Y s G s 为前向通路传递函数； 称 E s
称 H s 1单位反馈，即有：
G s s 1 G s
4、信号流图模型 以传递函数和代数关系为基础，反映了 系统内部的信号变换、传递关系，表示了系 统的实现方式。与框图模型等效。
传递 函数 模型
流图 模型
梅森公式
微分方程与传递函数的转换
拉普拉斯变换与整 理（多对一）
微分 方程 模型
传递 函数 模型
拉普拉斯逆算子与 整理（一对多，不 要求）
3、框图模型 以传递函数和代数关系为基础，反映了系 统内部的信号变换、传递关系，表示了系统的 实现方式。
构图特点： 信号在线上，变换因子在框内。 优点： 图示化模型，直观。 除输入输出外，有新的系统实现信息。 不足： 框图的一致性、等效性需要仔细验证。 基本要求： 读懂框图！
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
例2.17 梅逊公式求Y(s)－－双输入系统
G3(s) N(s) Y(s) G1(s) G2(s) H2(s)
R(s)
E(S)
H1(s) H3(s) L1= G1H1 L2= –G2H2 L3= –G1G2H3
L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 )
G3(s)
R(s)
E(S)
G1(s) H1(s) H3(s)
Y(s) G2(s) H2(s)
E(s)=
(1+G2H2) + 1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2
G3(s)
梅逊公式求E(s)
G2(s)
R(s)
称 H s 1单位反馈，即有：
G s s 1 G s
4、信号流图模型 以传递函数和代数关系为基础，反映了 系统内部的信号变换、传递关系，表示了系 统的实现方式。与框图模型等效。
传递 函数 模型
流图 模型
梅森公式
微分方程与传递函数的转换
拉普拉斯变换与整 理（多对一）
微分 方程 模型
传递 函数 模型
拉普拉斯逆算子与 整理（一对多，不 要求）
3、框图模型 以传递函数和代数关系为基础，反映了系 统内部的信号变换、传递关系，表示了系统的 实现方式。
构图特点： 信号在线上，变换因子在框内。 优点： 图示化模型，直观。 除输入输出外，有新的系统实现信息。 不足： 框图的一致性、等效性需要仔细验证。 基本要求： 读懂框图！
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
例2.17 梅逊公式求Y(s)－－双输入系统
G3(s) N(s) Y(s) G1(s) G2(s) H2(s)
R(s)
E(S)
H1(s) H3(s) L1= G1H1 L2= –G2H2 L3= –G1G2H3
L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 )
G3(s)
R(s)
E(S)
G1(s) H1(s) H3(s)
Y(s) G2(s) H2(s)
E(s)=
(1+G2H2) + 1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2
G3(s)
梅逊公式求E(s)
G2(s)
R(s)
信号与系统7_梅森公式的证明及应用
梅森公式的证明及应用
电子工程系 无22班 喻浩 赵欣 肖元章 马存庆 蔡金蝉
梅森公式
梅森公式的回顾
大家都知道，用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得
从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所 示，所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
和
1 m bR l 2 g fR e (1 m) fR debR dlfR gbR
d 0 1 [bde f (1 m dl) bg]R
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
1 (m
[bde f (1 m dl) bg]R dl ke h gkl) mh dlh
j,k
而△值就是
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
i
j,k
可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。
梅森逊公式的推导
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
电子工程系 无22班 喻浩 赵欣 肖元章 马存庆 蔡金蝉
梅森公式
梅森公式的回顾
大家都知道，用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得
从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k 1
Pk k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与
第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；
梅森公式的推导
梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）
如右图已知信号流图如图所 示，所对应的代数方程为
V1 mV1 lV3 bR
f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
和
1 m bR l 2 g fR e (1 m) fR debR dlfR gbR
d 0 1 [bde f (1 m dl) bg]R
梅森公式的推导
根据克莱姆法则得
C
V2
2
1 (m
[bde f (1 m dl) bg]R dl ke h gkl) mh dlh
j,k
而△值就是
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
i
j,k
可见，传递函数的分母△取决于信号流图的拓扑结构特征。
梅森逊公式的推导
1 Li Lj Lk 1 (m dl ke h gkl) mh dlh mke
第2章 第4讲 信号流图及其梅逊公式
X
4
输入节点 输出节点 混合节点
混 合 节 点
X a X
输入节点 d 源点） （源点）
X
5
1
2
b
X
3
输入节点 源点） （源点）
c
输出节点 汇点） （汇点）
4
支路
连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方 连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数） 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。 路上沿箭头单向传递。 路上沿箭头单向传递。
-1 Ui 1
1/R1
I1
1/sC1
UA
1
1/R2
I2 1/sC 2
1 Uo
-1
-1
23
(Mason)公式 6 梅逊 (Mason)公式
G —系统总传递函数或增益
1 n G ( s) = ∑ Pk k k =1
条前向通路的传递函数（通路增益） Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益） —特征式
自动控制原理
第4讲 信号流图及梅 逊公式
杨金显
yangjinxian@
河南理工大学电气工程与自动化学院
1
本节内容
信号流图及其术语 信号代数运算法则 根据微分方程绘制信号流图 根据结构图绘制信号流图 梅逊公式 根据梅逊闭环传递函数
2
1 信号流图概念 信号流图起源于梅逊（ MASON） 信号流图起源于梅逊（S.J. MASON）利用图示法来 描述一个和一组线性代数方程， 描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成 的一种信号传递网络。 的一种信号传递网络。
步骤： 、画出前向通路(可能有多个 可能有多个)； 步骤：1、画出前向通路 可能有多个 ； 2、确定节点(多画一个没有关系 ； 、确定节点 多画一个没有关系 多画一个没有关系)； 3、连接各支路、回路 、连接各支路、
4
输入节点 输出节点 混合节点
混 合 节 点
X a X
输入节点 d 源点） （源点）
X
5
1
2
b
X
3
输入节点 源点） （源点）
c
输出节点 汇点） （汇点）
4
支路
连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方 连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数） 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支 程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。 路上沿箭头单向传递。 路上沿箭头单向传递。
-1 Ui 1
1/R1
I1
1/sC1
UA
1
1/R2
I2 1/sC 2
1 Uo
-1
-1
23
(Mason)公式 6 梅逊 (Mason)公式
G —系统总传递函数或增益
1 n G ( s) = ∑ Pk k k =1
条前向通路的传递函数（通路增益） Pk—第k条前向通路的传递函数（通路增益） —特征式
自动控制原理
第4讲 信号流图及梅 逊公式
杨金显
yangjinxian@
河南理工大学电气工程与自动化学院
1
本节内容
信号流图及其术语 信号代数运算法则 根据微分方程绘制信号流图 根据结构图绘制信号流图 梅逊公式 根据梅逊闭环传递函数
2
1 信号流图概念 信号流图起源于梅逊（ MASON） 信号流图起源于梅逊（S.J. MASON）利用图示法来 描述一个和一组线性代数方程， 描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成 的一种信号传递网络。 的一种信号传递网络。
步骤： 、画出前向通路(可能有多个 可能有多个)； 步骤：1、画出前向通路 可能有多个 ； 2、确定节点(多画一个没有关系 ； 、确定节点 多画一个没有关系 多画一个没有关系)； 3、连接各支路、回路 、连接各支路、
信号流图梅森公式
2/5/2020
14
梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
I(s) C 1s
-
1
1 uo(s)
R 2 I2(s) C 2 s
[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如
18
梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2
1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
P7 G6G3G4 P8 G6G8G4
P 9G 6H 2G 2G 7G 4
2/5/2020
19
梅逊公式||例2-15
对应的结构图为：
G6 G5
R - G1
R 1
G6
G5
1
G1
+
-
G2
H2
H1
G7
G2 1
G3
1
Байду номын сангаас
H2
G8
H1
G7
G3
+
++
+
G4
C
G8
为节点
注意：①信号流
G4
1
图与结构图的对
自动控制原理完整版课后习题答案
1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。
如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。
外扰是系统的输入量。
给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。
反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。
2 请说明自动控制系统的基本组成部分。
解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：①被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；②执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；④比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。
常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。
⑤测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。
常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；⑥放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。
如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。
⑦校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。
常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。
信号流图和梅森公式
接触回路增益乘积之和)–(任意三个互不接触回路增
益乘积之和)+¨¨¨
17:59
21
1N
G
Δ
Σ
k 1
Gk
Δk
Gk ——N条前向通路中第k条前向通路的增益； Δk——第k条前向通路余因式，即与第k条前向 通路不接触部分的Δ值（特征式）； 去掉第K条前向通路后剩余的流图的特征式。
N ——前向通路的总数。
b
x3
c
x4
d
g
e
回路：通路与任一节点相交不多于一次，但起点 和终点为同一节点的通路称为(单独)回路。
不接触回路：各回路间没有公共节点的回路。
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。一般用La
表示。
17:59
8
x1
a x2
x5
f
b
x3
c
x4
d
g
e
前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。
a43
a44
(source) x1
1
a12 2
3
x2
a23 x3 a34 4 x4 a45
单独回路(7个)
a24 a25
1 Output node
5
x5
x6
x4 x4
x2 x3 x2
x3 x4 x3
不接触回路(2组) x2 x3 x2 和 x4 x4
x2 x4 x3 x2
x3 x4 x5 x3
17:59
22
例1 利用梅森公式，求：C(s)/R(s)。
17:59
23
G6
G7
R(s)
G1
G2
G3
自动控制原理03信号流图,梅逊公式
1 1
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
2 1 P2 2
abcdefg
abhfg (1 d )
1 b d f bd df bf bdf
2.4.2 梅逊增益公式
例题2：已知系统的动态结构图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
解：首先进行分析
G1
X2
X3
G2 H1
G3
X4
G4
C(s)
R
1
X1
G1
X2
G2 X3 -1 -H1
G3
X4
G4
C
2.4 信号流图与梅森公式
2.4.2 梅逊增益公式
P G (s) 1
n
k 1
Pk
--特征式
k
1
La
Lb Lc
Ld Le L f
{
例题1：已知系统的信号流图，求系统的传递函数
C (s) R (s)
。
h a b -1 c d -1 e f -1
g
R(s)
C(s)
解：首先对信号流图进行分析，找到梅逊公式中的相关信息 系统有：2条前向通道，3个闭合回路，3组两两互不接触回 路， 1组三三互不接触回路 然后写出各项的取值：
2.4.2 梅逊增益公式 例题1：P1
3 1
，找到梅逊公式中 的相关信息
G2
R(s)
G1 H
G3 G4
C(s)
系统有：3条前向通道，2个闭合回路，0组两两互不接触回路
P1 G 1 G 3
P2 G 2 G 3
P3 G 1 G 4
1 G1H G 2 H
信号流图及梅逊公式
R(s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(2)扰动信号下的闭环 传函：R(s)=0
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
E(s)
N (s) = C (s) =
G2 (s)
N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
1
C(s)
所以当输入信号和扰动信号同时作用时， 系统输出为：
C (s) =(s) R(s) + N (s) N (s) = G1 (s)G2 (s) R(s) + G2 (s) N (s) 1 + G1 (s)G2 (s) H (s)
(3)闭环系统的误差传递函数(以E(s)为输
出的传递函数)：
N(s)
1
R(s) 1
G1(s) G2(s) -H(s)
1
C(s)
+ [G1G2 + G1G3 + G2G3 + G1G2G3 ] [ G1G2G3 ]
例4：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
P = C (s)= p1 1 + p2 2 + p3 3 + p4 4 R(s)
=
G1G3 K (1 + G1 ) + G2G3 K (1 + G2 )
1 + G1 + G2 + G3 + 2G1G2 + G1G3 + G2G3 + 2G1G2G3
L(1) —— 所有单独回路增益之和； L(2) —— 两个互不接触回路增益乘积之和； L( m ) —— m个不接触回路增益乘积之和。
例3：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
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a
x2
b
c
x4
x5
f
前向通路总增益： 前向通路总增益：前向通路 上各支路增益的乘积 ，如： x1→x2→x3→x4总增益 总增益abc。 。
x1
a
x2
b
x3
c
x4
d
e
回 路：通路的起点就是通路的终点，并且与其它节 通路的起点就是通路的终点， 通路的起点就是通路的终点 相交不多于一次的闭合通路叫回路。 点 相交不多于一次的闭合通路叫回路。 回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。图中有两 回路中，所有支路增益的乘积。 回路中 个回路，一个是x 其回路增益为be， 个回路，一个是 2→x3→x2，其回路增益为 ， 路是x 又叫自回路，其增益为d。 另一个回 路是 2→x2，又叫自回路，其增益为 。 不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。图中无。 指相互间没有公共节点的回路。图中无。 指相互间没有公共节点的回路
H4 R(s) G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
H1
11
求解步骤之一（例1） 求解步骤之一（
找出前向通路数n 找出前向通路数
H4 R(s) G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
H1
12
求解步骤之一（例1） 求解步骤之一（
H4 R(s)
-
G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
G5
3
G6
C(s)
1
H1
18
1 .求 ∆
利用梅森公式求传递函数(1) 利用梅森公式求传递函数(1)
4 i =1
∆ = 1 − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lk + ⋯
4
∑L
i =1
i
= L1 + L2 + L3 + L4
= L2 L3 = ( −G2G3 H 2 )( −G4G5 H 3 ) = G2G3G4G5 H 2 H 3
G3
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
H1 反馈回路1 反馈回路1： L1 = －G1G2G3G4G5G6H1
1
15
1.寻找反馈回路之二 1.寻找反馈回路之二
反馈回路2 ： 反馈回路2 L 2 = - G 2G 3 H 2 R(s)
-
H4 G3 H2
2
G1
-
G2
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
1
H1
16
1.寻找反馈回路之三 1.寻找反馈回路之三
4
序号
方块图
信号流程图
1
R (s)
G (s)
C (s)
R (s)
G (s) C (s)
R (s) +
2
E (s) G (s)
C (s)
R (s)
1
E (s)
G (s)
C (s)
_
H (s)
− H (s)
N (s)
N (s)
C (s)
1
R (s) +
3
E (s)
_
G1 ( s )
+
+
G2 (s)
R (s)
3
二、信流图的性质 1、每一个节点表示一个变量。 、每一个节点表示一个变量。 2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关 、 支路上的箭头方向表示信号的流向。 系。支路上的箭头方向表示信号的流向。 3、混合节点可以通过增加一个增益为 的支路变 、混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变 成为输出节点,且两节点的变量相同 且两节点的变量相同。 成为输出节点 且两节点的变量相同。 三、信号流图的绘制 1、根据方框图绘制 、
G11 (s)
C1(s)
5
G
21(s)
G12 (s) G12 (s) R2 (s) G
22
R2 (s)
G G
21(s)
C
22
2
(s)
+
(s)
+
C
2
(s)
(s)
5
2、根据线性代数方程组绘制。 、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下： 设一组线性方程式如下：
x1 x2 x3 x4 x5 x1 ax1 dx2 bx2 cx3 x5
H4 R(s)
-
反馈回路3 反馈回路3： L3 = - G4G5H3 G4 H3 G5
3 1
G1
-
G2 H2
G3
2
-
G6
C(s)
H1
17
1.寻找反馈回路之四 1.寻找反馈回路之四
反馈回路4 反馈回路4 ： L 4 = - G 3 G 4H 4 H4 R(s)
-
G1
-
G2 H2
-
4
-
G3
2
G4 H3
19
= −G1G2G3G4G5G6 H 1 − G2G3 H 2 − G4G5 H 3 − G3G4 H 4
i j
∑LL
i j
∑ L L L 不存在
k
利用梅森公式求传递函数(1) 利用梅森公式求传递函数(1)
∆ =1− ∑Li + ∑Li Lj − ∑Li Lj Lk +⋯
i=1
4
=1+G1G2G3G4G5G6H1 +G2G3H2 +G4G5H3 +G3G4H4 +G2G3G4G5H2H3
1 E ( s ) G1 ( s )
G2 (s) C ( s )
H (s)
− H (s) N (s)
R (s)
4
+
E (s)
_
G (s)
+
+
N (s)
C (s) R (s)
1
E (s)
G (s)
1
1 C (s)
C (s)
H (s)
− H (s)
+ +
R1 ( s )
G11(s)
C1 (s )
R1 ( s )
24
G5
1 C (s)
该系统中有四个独立的回路：
L1 = -G4H1 L3 = -G6G4G5H2 L2 = -G2G7H2 L4 = -G2G3G4G5H2
互不接触的回路有一个L1 L2。所以，特征式
∆=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2
该系统的前向通道有三个：
P1= G1G2G3G4G5 P2= G1L6G4G5 P3= G1G2G7 ∆1=1 ∆2=1 ∆3=1-L1
前向通路只有一条，即 所以
P∆ C(s) 1 =G= 1 1 = R(s) ∆ R 1 R 2 C1 C 2 s 2 + R 1 C1s + R 1 C 2 s + 1
28
练习
1 R(s) f a
e g b c h d C(s)
四个单独回路，两个回路互不接触 四个单独回路，
前向通路两条
abcd + ed (1–bg) C(s) = – af – bg – ch– ehgf afch R(s) 1 +
29
作业：
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)
30
L1 = −1 R 1 C1 s L2 = −1 R 2 C 2s L3 = −1 R 2 C1s L1 L 2 = 1 R 1C1sR 2 C 2 s ∆ = 1 − (L1 + L 2 + L 3 ) + L1 L 2 = 1+ 1 1 1 1 + + + R 1 C 1s R 2 C 2 s R 2 C 1 s R 1 C 1 R 2 C 2 s P1 = −1 R 1 R 2 C1C 2 s 2 ∆1 = 1
G5
G6
C(s)
H1
前向通路数： ＝ 前向通路数：n＝1
P1 = G1G2G3G4G5G6
13
求解步骤之二（ 求解步骤之二（例1）
确定系统中的反馈回路数
H4 R(s) G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
H1
14
1.寻找反馈回路之一 1.寻找反馈回路之一
H4 R(s)
-
G1
-
G2 H2
26
例3：画出信流图，并利用梅逊公式求取它 ： 的传递函数C(s) / R(s)。
R (s)
A
1 R1
B
1 C1 s
D
1 R2
E
1 C2 s
C (s)
信流图：
R( s)
1
A
1 R1
1 C1s
Hale Waihona Puke −1C1D
1 R2
1 C2 s
1
C ( s)
B −1
E
−1
27
注意： 注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信 号要用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。 题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有L1L2， 即：
8
所有各回路的“回路传递函数”之和； ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和； 两两互不接触的回路， ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； 函数”乘积之和； 所有三个互不接触的回路， ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数； 前向通道数；