2-5 信号流图与梅森公式

G5
G6
C(s)
H1
前向通路数： ＝ 前向通路数：n＝1
P1 = G1G2G3G4G5G6
13
求解步骤之二（ 求解步骤之二（例1）
确定系统中的反馈回路数
H4 R(s) G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
H1
14
1.寻找反馈回路之一 1.寻找反馈回路之一
H4 R(s)
-
G1
-
G2 H2
8
所有各回路的“回路传递函数”之和； ΣLi:所有各回路的“回路传递函数”之和； 两两互不接触的回路， ΣLiLj:两两互不接触的回路，其“回路传递 函数”乘积之和； 函数”乘积之和； 所有三个互不接触的回路， ΣLiLjLk:所有三个互不接触的回路，其“回 路传递函数”乘积之和； 路传递函数”乘积之和； n：前向通道数； 前向通道数；
L1 = −1 R 1 C1 s L2 = −1 R 2 C 2s L3 = −1 R 2 C1s L1 L 2 = 1 R 1C1sR 2 C 2 s ∆ = 1 − (L1 + L 2 + L 3 ) + L1 L 2 = 1+ 1 1 1 1 + + + R 1 C 1s R 2 C 2 s R 2 C 1 s R 1 C 1 R 2 C 2 s P1 = −1 R 1 R 2 C1C 2 s 2 ∆1 = 1
G3
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
H1 反馈回路1 反馈回路1： L1 = －G1G2G3G4G5G6H1
1
15
1.寻找反馈回路之二 1.寻找反馈回路之二
反馈回路2 ： 反馈回路2 L 2 = - G 2G 3 H 2 R(s)
-
H4 G3 H2
2
G1
-
G2
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
1
H1
16
1.寻找反馈回路之三 1.寻找反馈回路之三
2－5
信号流图及梅森公式
是表示复杂系统的又一种图示方法。 是表示复杂系统的又一种图示方法。 重点： 重点： 1）根据系统的结构框图可画出信号流图 2）根据信号流图求系统的传递函数
1
x5
一、信号流图的几个定义
x1
f
x3 输入节点（或源节点）： 输入节点（或源节点）： d 只有输出支路的节点, 只有输出支路的节点,如x1、 e x 5。 输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点,如 ）：只有输入支路的节点 输出节点（或阱节点）：只有输入支路的节点 如x4。 混合节点：既有输出支路,又有输入支路的节点 又有输入支路的节点,如 混合节点：既有输出支路 又有输入支路的节点 如：x2、 x 3。 两个节点之间的增益叫传输。 传 输：两个节点之间的增益叫传输。如：x1→x2 之间的增益为a，则传输也为a。 之间的增益为 ，则传输也为 。 前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时， 前向通路：信号由输入节点到输出节点传递时，每个 节点只通过一次的通路称为前向通路。 节点只通过一次的通路称为前向通路。如 x1→x2→x3→x4 。 2
H4 R(s)
-
反馈回路3 反馈回路3： L3 = - G4G5H3 G4 H3 G5
3 1
G1
-
G2 H2
G3
2
-
G6
C(s)
H1
17
1.寻找反馈回路之四 1.寻找反馈回路之四
反馈回路4 反馈回路4 ： L 4 = - G 3 G 4H 4 H4 R(s)
-
G1
-
G2 H2
-
4
-
G3
2
G4 H3
29
作业：
2-11 求C(s)/R(s) 2-12 (a) (d)
30
4
序号
方块图
信号流程图
1
R (s)
G (s)
C (s)
R (s)
G (s) C (s)
R (s) +
2
E (s) G (s)
C (s)
R (s)
1
E (s)
G (s)
C (s)
_
H (s)
− H (s)
N (s)
N (s)
C (s)
1
R (s) +
3
E (s)
_
G1 ( s )
+
+
G2 (s)
R (s)
1 E ( s ) G1 ( s )
G2 (s) C ( s )
H (s)
− H (s) N (s)
R (s)
4
+
E (s)
_
G (s)
+
+
N (s)
C (s) R (s)
1
E (s)
G (s)
1
1 C (s)
C (s)
H (s)
− H (s)
+ +
R1 ( s )
G11(s)
C1 (s )
R1 ( s )
25
因此，系统的闭环系统传递函数 因此，系统的闭环系统传递函数C(s) / R(s)为 为
C(s) 1 = G = (p1Δ + p2Δ + p3Δ) 1 2 3 R(s) Δ G1G2G3G4G5 + G1G6G4G3 + G1G2G7 (1+ G4H1 ) = 1+ G4H1 + G2G7H2 + G6G4G5H2 + G2G3G4G5H2 + G4H1G2G7H2
3
二、信流图的性质 1、每一个节点表示一个变量。 、每一个节点表示一个变量。 2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关 、 支路上的箭头方向表示信号的流向。 系。支路上的箭头方向表示信号的流向。 3、混合节点可以通过增加一个增益为 的支路变 、混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变 成为输出节点,且两节点的变量相同 且两节点的变量相同。 成为输出节点 且两节点的变量相同。 三、信号流图的绘制 1、根据方框图绘制 、
x5
ex3 fx5
信流图的表示形式
x1
f
a
x2
b
x3
c
x4
d
e
6
四、梅逊 (Mason)公式 公式
梅森公式的一般式为： 梅森公式的一般式为：
n
G (s) =
∑P ∆
K =1 K
K
Leabharlann Baidu
∆
7
梅森公式参数解释： 梅森公式参数解释：
G(s)：待求的总传递函数； G(s)：待求的总传递函数； Δ称为特征式， 称为特征式， Δ=1且Δ=1-ΣLi+ΣLiLj-ΣLiLjLk+… 从输入端到输出端第k Pk：从输入端到输出端第k条前向通路的总 增益； 增益； 将与第k Δk：在Δ中，将与第k条前向通路相接触的 回路所在项除去后所余下的部分，称余子式； 回路所在项除去后所余下的部分，称余子式；
19
= −G1G2G3G4G5G6 H 1 − G2G3 H 2 − G4G5 H 3 − G3G4 H 4
i j
∑LL
i j
∑ L L L 不存在
k
利用梅森公式求传递函数(1) 利用梅森公式求传递函数(1)
∆ =1− ∑Li + ∑Li Lj − ∑Li Lj Lk +⋯
i=1
4
=1+G1G2G3G4G5G6H1 +G2G3H2 +G4G5H3 +G3G4H4 +G2G3G4G5H2H3
a
x2
b
c
x4
x5
f
前向通路总增益： 前向通路总增益：前向通路 上各支路增益的乘积 ，如： x1→x2→x3→x4总增益 总增益abc。 。
x1
a
x2
b
x3
c
x4
d
e
回 路：通路的起点就是通路的终点，并且与其它节 通路的起点就是通路的终点， 通路的起点就是通路的终点 相交不多于一次的闭合通路叫回路。 点 相交不多于一次的闭合通路叫回路。 回路增益：回路中，所有支路增益的乘积。图中有两 回路中，所有支路增益的乘积。 回路中 个回路，一个是x 其回路增益为be， 个回路，一个是 2→x3→x2，其回路增益为 ， 路是x 又叫自回路，其增益为d。 另一个回 路是 2→x2，又叫自回路，其增益为 。 不接触回路：指相互间没有公共节点的回路。图中无。 指相互间没有公共节点的回路。图中无。 指相互间没有公共节点的回路
20
利用梅森公式求传递函数(2) 利用梅森公式求传递函数(2)
2 . 求 Pk , ∆k
P1 = G1G2G3G4G5G6
∆1 = ?
21
求余子式∆ 求余子式∆1
H4 R(s)
-
G1
-
4
-
G2 H2
G3
2
G4 H3
G5
3
G6
C(s)
1
H1
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特 征式 ∆ 的求法，计算 ∆1
26
例3：画出信流图，并利用梅逊公式求取它 ： 的传递函数C(s) / R(s)。
R (s)
A
1 R1
B
1 C1 s
D
1 R2
E
1 C2 s
C (s)
信流图：
R( s)
1
A
1 R1
1 C1s
−1
C
1
D
1 R2
1 C2 s
1
C ( s)
B −1
E
−1
27
注意： 注意：图中C位于比较点的前面，为了引出C处的信 号要用一个传输为1的支路把C、D的信号分开。 题目中单独回路有L1、L2和L3，互不接触回路有L1L2， 即：
H4 R(s) G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
H1
11
求解步骤之一（例1） 求解步骤之一（
找出前向通路数n 找出前向通路数
H4 R(s) G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
G5
G6
C(s)
H1
12
求解步骤之一（例1） 求解步骤之一（
H4 R(s)
-
G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
前向通路只有一条，即 所以
P∆ C(s) 1 =G= 1 1 = R(s) ∆ R 1 R 2 C1 C 2 s 2 + R 1 C1s + R 1 C 2 s + 1
28
练习
1 R(s) f a
e g b c h d C(s)
四个单独回路，两个回路互不接触 四个单独回路，
前向通路两条
abcd + ed (1–bg) C(s) = – af – bg – ch– ehgf afch R(s) 1 +
9
注意事项： 注意事项：
“回路传递函数”是指反馈回路的前 回路传递函数” 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 向通路和反馈回路的传递函数的乘积， 并且包含代表反馈极性的正 负号。 并且包含代表反馈极性的正、负号。
10
举例说明（梅森公式） 举例说明（梅森公式）
例1：试求如图所示系统的传递函数 ：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)
G5
3
G6
C(s)
1
H1
18
1 .求 ∆
利用梅森公式求传递函数(1) 利用梅森公式求传递函数(1)
4 i =1
∆ = 1 − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lk + ⋯
4
∑L
i =1
i
= L1 + L2 + L3 + L4
= L2 L3 = ( −G2G3 H 2 )( −G4G5 H 3 ) = G2G3G4G5 H 2 H 3
G11 (s)
C1(s)
5
G
21(s)
G12 (s) G12 (s) R2 (s) G
22
R2 (s)
G G
21(s)
C
22
2
(s)
+
(s)
+
C
2
(s)
(s)
5
2、根据线性代数方程组绘制。 、根据线性代数方程组绘制。 设一组线性方程式如下： 设一组线性方程式如下：
x1 x2 x3 x4 x5 x1 ax1 dx2 bx2 cx3 x5
22
求余式∆1 求余式∆
将第一条前向通道从图上除掉后的图
图中不再有回路，故∆1=1
23
利用梅逊公式， 例2 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s） （ ） （ ）
G7
G6
R(s)
G1
+ -
G2
G3
+
+
G4
-
G5
+
+ C ( s)
H1
H2
解：画出该系统的信号流程图
G6
R ( s ) G1
G2 G3
G7 G4 − H1 −H 2
24
G5
1 C (s)
该系统中有四个独立的回路：
L1 = -G4H1 L3 = -G6G4G5H2 L2 = -G2G7H2 L4 = -G2G3G4G5H2
互不接触的回路有一个L1 L2。所以，特征式
∆=1-（L1 + L2 + L3 + L4）+ L1 L2
该系统的前向通道有三个：
P1= G1G2G3G4G5 P2= G1L6G4G5 P3= G1G2G7 ∆1=1 ∆2=1 ∆3=1-L1